VI – Sucessões Cronológicas
3. Análise de tendência. Método das médias móveis
e método analítico.
Tratamento de Dados
2º Semestre 2005/2006
Método das médias móveis (1)
Consiste em
1. dividir a sucessão em vários grupos com igual
número de termos k (período da média móvel), e
2. calcular a média aritmética desses grupos.
Cada grupo possui k-1 observações em comum com os
grupos adjacentes.
Tratamento de Dados
2º Semestre 2005/2006
Cálculo de médias móveis (2)
Período impar: k = 2m + 1, m = 1, 2, ...
Tˆt =
s=m
1
xt + s com t = m+1, m+2, ..., N-m
∑
2m + 1 s=− m
Período par: k = 2m
1 ⎛1
1
⎞
ˆ
Tt =
⎜ xt − m + ∑ xt + s + xt + m ⎟
2m ⎝ 2
2
s = − m +1
⎠
s = m +1
Tratamento de Dados
2º Semestre 2005/2006
Cálculo de médias móveis (3)
Tˆt (k=3)
t
xt
1
3
-
2
4
(3+4+8)/3 = 5
Tˆt
(k=4 )
não centradas
-
(k=4)
Tˆt centradas
-
(3+4+8+6)/4 = 5.25
3
8
5.750
(4+8+6)/3 = 6
(4+8+6+7)/4 = 6.25
4
6
7.125
(8+6+7)/3 = 7
(8+6+7+11)/4 = 8.00
5
6
7
-
(6+7+11)/3 = 8
11
Tratamento de Dados
-
2º Semestre 2005/2006
-
Método analítico (1)
Tˆt = a + bt
Min Q =
∑ (x
N
t =1
[1]
[2]
t
− Tˆt
) = ∑ (x
2
2
N
t =1
t
− a − bt )
N
∂Q
= 2 ∑ ( x t − a − bt )(− 1) = 0
∂a
t =1
N
∂Q
= 2 ∑ ( x t − a − bt )(− t ) = 0
∂b
t =1
Tratamento de Dados
2º Semestre 2005/2006
Método analítico (2)
N
De [1]
a=
N
∑x
t =1
t
−
N
N
De [2]
b=
∑ tx
t =1
b∑ t
t =1
N
N
t
− a∑ t
N
∑t
t =1
2
t =1
Tratamento de Dados
2º Semestre 2005/2006
Mudança de variável (1)
Se
N
∑t = 0
t =1
então
N
N
a=
∑x
t =1
t
e
N
b=
∑ tx
t =1
N
∑t
t =1
Tratamento de Dados
2º Semestre 2005/2006
t
2
Mudança de variável (2)
(número impar de observações)
Anos
1992
1993
1994
1995
1996
Tratamento de Dados
t
1
2
3
4
5
Σ
t´
-2
-1
0
1
2
0
xt
5
8
12
15
20
60
2º Semestre 2005/2006
t´ × x t
-10
-8
0
15
40
37
t´2
4
1
0
1
4
10
Mudança de variável (3)
(número par de observações)
Anos
t
t'
xt
t' × x t
t'2
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1
2
3
4
5
6
Σ
-5
-3
-1
1
3
5
0
5
8
12
15
20
25
85
-25
-24
-12
15
60
125
139
25
9
1
1
9
25
70
Tratamento de Dados
2º Semestre 2005/2006
Tendência exponencial
Tˆt
B >1
t
ˆ
Tt = A × B
B =1
A
0 < B <1
t
Tratamento de Dados
2º Semestre 2005/2006
Tendência exponencial modificada (1)
t
ˆ
Tt = C + A × B
Tˆt
C+ A
A>0
0 < B <1
C
t
Tratamento de Dados
2º Semestre 2005/2006
Tendência exponencial modificada (2)
t
ˆ
Tt = C + A × B
Tˆt
C
A<0
C+ A
0 < B <1
t
Tratamento de Dados
2º Semestre 2005/2006
Tendência potência (1)
Tˆt
B >1
B =1
B <1
A
1
Tratamento de Dados
B
ˆ
Tt = A × t
t
2º Semestre 2005/2006
Tendência potência (2)
Tˆt
B
ˆ
Tt = A × t
B = −1
−1 < B < 0
A
B<−1
1
Tratamento de Dados
2º Semestre 2005/2006
t
Tendência logística
Tˆt =
Tˆt
K
− at
1+ b× e
com a, b, K > 0
K
K
2
K
1+ b
Tratamento de Dados
b
log
a
2º Semestre 2005/2006
t
Tendência de Gompertz
ln Tˆt = A − B × C t
0 < C <1
lnTt
A-B
t
Temos ln Tt +1 − ln Tt = BC t (1 − C ) > 0 e decrescente.
Isto é, incrementos percentuais positivos e decrescentes.
Tratamento de Dados
2º Semestre 2005/2006
Exemplo, Murteira p. 262
ln Tˆt = 53,87 − 50,16 × (0,996 ) t
T(t)
500
23
2.5
Tt
x 10
450
400
2
350
300
1.5
250
200
1
150
100
0.5
50
0
0
2
4
6
time
8
10
12
ln(Tt)
60
0
0
200
400
600
800
1200
1400
1600
1800
2000
1200
1400
1600
1800
2000
T(t+1)/T(t)
1.25
50
1000
time
1.2
40
1.15
30
1.1
20
1.05
10
0
0
200
400
600
800
Tratamento de Dados
1000
time
1200
1400
1600
1800
2000
1
0
200
2º Semestre 2005/2006
400
600
800
1000
time