J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
2 – Sinais
2.1 – Introdução aos Sinais
3
2.2 – Exemplos de sinais
3
Circuito RC
4
Carro
5
Voz / Fala humana
6
Transmissões de rádio (AM & FM)
7
Música em CD ou no computador
9
Electrocardiograma (ECG)
10
Electroencefalograma (EEG)
11
Imagem monocromática (preto-branco)
13
Imagens coloridas e transmissões de TV
13
Sinais meteorológicos
14
Sinais geofísicos
15
Índices económicos e demográficos
17
2.3 – Sinais contínuos e discretos
18
2.4 – Sinais dinâmicos e estáticos
20
2.5 – Energia e Potência de Sinais
21
Exemplo 2.1
23
Exemplo 2.2
24
Exemplo 2.3
25
Exemplo 2.4
25
1
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
2.6 – Transformações da variável independente
26
Translação no tempo (“time shifting”)
26
Shift para direita (retardo)
26
Shift para esquerda (avanço)
27
Reversão no tempo / sinal reflectido (“time reversal”)
27
Escalonamento no tempo (“time scaling”)
28
Compressão ou encolhimento
28
Expansão ou esticamento
28
Caso geral
29
Exemplo 2.5
30
2.7 – Sinais periódicos
32
Exemplo 2.6
33
Exemplo 2.7
33
2.8 – Sinais pares e ímpares
33
Exemplo 2.8
34
Exemplo 2.9
35
Exemplo 2.10
35
2.9 – Sinais exponenciais e sinusoidais
37
O sinal sinusoidal contínuo x(t) = A cos(ωot + φ)
37
at
O sinal exponencial contínuo x ( t ) = C e
40
Caso 1: C ∈ R e a ∈ R
40
Caso 2: C = 1 e a é um número imaginário puro
42
Caso 3: C ∈ C e a ∈ C
44
Exemplo 2.11
44
O sinal sinusoidal discreto
45
O sinal exponencial discreto x[n ] = C α n = C e
βn
47
Caso 1: C ∈ R e α∈ R
47
Caso 2: C = 1 e β é um número imaginário puro
49
Caso 3: C ∈ C e α∈ C
55
2
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Sinais
2.1 – Introdução aos Sinais
A noção intuitiva de sinais e surge de uma variedade enorme de contextos. Qualquer
apontamento que se faça: em números por exemplo; ou qualquer registo que se faça:
do desempenho de uma máquina, ou da performance, ou dos consumos de um veículo
ao longo de uma viagem; ou qualquer medição que se faça: com o uso de algum
aparelho ou instrumento de medida; ou qualquer gravação que se faça, de um som, ou
de uma imagem ou mesmo de um vídeo, pode facilmente se tornar em um sinal.
Existe uma linguagem própria usada para descrever sinais, assim como existe
também um conjunto bastante poderoso de ferramentas para analisá-los. Neste
capítulo trataremos da linguagem que descreve os sinais. Em outros capítulos mais
adiante trataremos das ferramentas de análise.
2.2 – Exemplos de Sinais
Os sinais são usados para descrever uma grande variedade de fenómenos físicos e
podem ser descritos de muitas maneiras: através de números, ou de gráficos, ou de
uma sequência de dígitos (bits) para serem introduzidos no computador, etc.
Nesta secção iremos ver alguns exemplos de sinais antes de vermos as definições
básicas do mesmo.
3
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Circuito RC
Considere um sistema eléctrico simples de um circuito RC, ilustrado na figura 1
abaixo.
Fig. 1 – Um circuito eléctrico (circuito RC série).
O sinal da tensão vs(t) na fonte ou o sinal da tensão vc(t) no condensador, assim
como o sinal da corrente i(t) que atravessa a única malha do circuito podem ser medidos por aparelhos (voltímetro / amperímetro) que também são vistos na figura 1.
Na figura 2 vemos um possível exemplo do sinal da tensão vs(t) na fonte (à esquerda)
e do sinal da tensão vc(t) no condensador (à direita), ambos em Volts [V].
Fig. 2 – Um exemplo do sinal da tensão eléctrica vs(t) na fonte (à esquerda) e do
sinal da tensão eléctrica vc(t) no condensador (à direita).
4
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Carro
Os carros andam quando são acelerados. Mas isso equivale a imprimir uma força f(t)
que vai puxar o carro pois, pela Segunda Lei de Newton,
a força é igual a massa x aceleração
[ f(t) = m⋅a(t)] ,
onde m = massa do carro.
Fig. 3 – Um carro que se desloca puxado pela força f(t).
Suponha que o sinal da força f(t) aplicada em um carro, que como vimos é proporcional à aceleração que lhe foi dada, é mostrado na figura 3.
O sinal do deslocamento x(t) assim como da velocidade v(t) que o carro desenvolve,
decorrente desta força aplicada, podem ser medidos por aparelhos.
Na figura 4 e 5 vemos um possível exemplo destes 3 sinais em um carro: f(t) em
Newtons [N], x(t) em metros [m] e v(t) em metros/segundo [m/s].
Fig. 4 – Um exemplo do sinal da força f(t) aplicada num carro.
5
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Fig. 5 – Um exemplo do sinal do deslocamento x(t) (à esquerda) e do sinal da
velocidade v(t) (à direita) desenvolvidos pelo mesmo carro.
Voz / fala humana
O mecanismo vocal humano produz fala criando flutuações na pressão acústica. O ar
é expelido dos pulmões pelo diafragma e no seu caminho produz vibrações. Estas
vibrações são modificadas, ou moldadas, ao passar pelas cordas vocais, assim como
pela boca, lábios e a língua para se produzir os sons que se deseja.
O sinal de voz é obtido através do uso de um microfone que capta as variações da
pressão acústica e converte em sinais eléctricos. Estes sinais podem servir para uma
gravação do som da voz ou para serem transmitidos (telefone ou telemóvel por
exemplo).
Exemplos do sinal de voz, obtido com o uso de um microfone, podem ser visto na
figura 7.
Fig. 6 – O registo do sinal de voz, obtido com o uso de um microfone. Seja
para uma gravação ou para ser transmitido, por telefone ou telemóvel,
a voz humana se transforma em um sinal eléctrico.
6
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Fig. 7 – Exemplos do sinal de voz, obtido com o uso de um microfone.
Transmissões de rádio (AM & FM)
Uma transmissão de rádio é também composta de sinais eléctricos que transportam o
som (voz, música, etc.)
A portadora (sinal de frequência mais alta) transporta o sinal modulado (som) seja
ele modulado em amplitude (AM) ou em frequência (FM).
Estes sinais podem ser vistos na figura 8 e 9.
7
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Fig. 8 – O sinal da portadora (à esquerda) e o sinal modulador, i.e., o som a
ser transmitido (à direita).
Fig. 9 – Os sinais que são realmente transmitidos: sinal modulado em amplitude, no caso de modulação AM (à esquerda); e o sinal modulado em
frequência, no caso de modulação FM (à direita).
Na modulação AM o som a ser transmitido molda (ou modula) a amplitude da portadora com o formato do seu sinal gerando um sinal modulado que é transmitido. Já na
modulação FM a amplitude do sinal gerado para ser transmitido é constante. O que
som a ser transmitido molda (ou modula) é a frequência da portadora com o formato
do seu sinal.
Existem dispositivos electrónicos que modulam o sinal, sejam em AM ou em FM,
assim como existem dispositivos electrónicos que demodulam o sinal, isto é, recuperam o som que vem modulando a portadora.
Fig. 10 – Os rádios, em casa ou no carro, recebem sinais modulados em AM
ou em FM e têm a capacidade de demodular estes sinais, isto é,
transformarem de volta em som.
8
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Música em CD ou no computador
A música gravada em um CD ou armazenada no computador (em formato wav, wma
ou mp3, por exemplo) é feita através de uma série de números, uma sequência digital
de “zeros” e “uns”, que representam as tensões eléctricas (em Volts) do sinal de áudio
ao longo do tempo.
Portanto, o sinal analógico de áudio convertido
em um sinal digital, ou seja, dados binários, a
uma taxa que é medida em “bps” (bits per
second).
Claro que quanto maior o número de bits por
segundo melhor será a qualidade de reprodução
do som.
Fig. 11 – CDs (compact disc) de
música.
Alguns valores usuais desta taxa em gravação de música são:
96 mil bits por segundo [96kbps], ou
128 mil bits por segundo [128 kbps], ou
192 mil bits por segundo [192 kbps], ou
256 mil bits por segundo [256 kbps].
Fig. 12 – Gravação de músicas em estúdio.
Existem dispositivos electrónicos que transformam um sinal analógico em digital
(conversores A/D) assim como dispositivos electrónicos que transformam um sinal
digital em analógico (conversores D/A).
9
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Electrocardiograma (ECG)
O electrocardiógrafo é um dispositivo que mede sinais elétricos do coração para produzir um electrocardiograma (ECG).
A Electrocardiografia estuda a actividade eléctrica do coração a partir de eléctrodos
colocados em determinados pontos do corpo humano. O registo do electrocardiograma (ECG) é prática comum na medicina dos nossos dias, uma vez que é de reconhecido valor para a identificação e prognóstico de doenças cardiovasculares como o
enfarte do miocárdio, arritmia, entre outras condições patológicas.
Fig. 13 – O electrocardiógrafo (à esquerda) e um paciente submetido a exame no
mesmo (à direita).
Fig. 14 – Sinal típico de ECG, correspondendo a um ciclo completo, com o nome das
ondas que o compõe. O ECG normal é formado por uma onda P, um complexo QRS e uma onda T. O complexo QRS muitas vezes aparece sob a
forma de três ondas: a onda Q, a onda R e a onda S.
10
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Os tipos de sistemas de aquisição de ECG, que podem ser encontrados, hoje, comercialmente, abrangem desde as grandes unidades fixas usadas em ambiente hospitalar,
às pequenas unidades portáteis para uso móvel.
Os sinais cardiovasculares e os próprios complexos QRS no electrocardiograma
(ECG) apresentam variabilidade batimento a batimento. A análise da variabilidade de
sinais cardiovasculares é susceptível de variadas aplicações clínicas, sendo correntemente aceite que pode ser usada como um meio não invasivo para aceder à integridade do sistema cardiovascular e é como uma janela para a caracterização do sistema
nervoso autónomo.
Fig. 15 – Amostra do ECG de um paciente.
Electroencefalograma (EEG)
O electroencefalógrafo é uma máquina que regista o gráfico dos sinais eléctricos cerebrais desenvolvidos no encéfalo produzindo o electroencefalograma (EEG). Isto é
realizado através de eléctrodos que são aplicados no couro cabeludo, na superfície
encefálica, ou até mesmo (em alguns casos) dentro da substância encefálica.
Esses sinais cerebrais observados são muito fracos. Portanto coloca-se os electrodos
em posições pré-definidas sobre o couro cabeludo do paciente e um amplificador
aumenta a intensidade dos potenciais elétricos para então ser construído um gráfico
(EEG) analógico ou digital (dependendo do equipamento).
Analisando o EEG o médico pode detectar alterações dos padrões normais e isso permite fazer o diagnóstico clínico.
11
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Exemplos de descargas de ondas anormais (os casos patológicos) que são observadas
em EEG são: os picos de onda, os complexos ponta-onda e atividade lentas, sejam
estas locais (focais) ou generalizadas.
Algumas indicações dos exames EEG são;
o para avaliação inicial de sindromes epilépticos;
o avaliação de coma;
o morte encefálica;
o intoxicações;
o encefalites;
o síndromes demenciais;
o crises não epilépticas; e
o distúrbios metabólicos.
Fig. 16 – Um paciente submetido a exame EEG.
Fig. 17 – Amostra do ECG se um paciente.
12
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Imagem monocromática (preto-branco)
Uma imagem monocromática (preto-branco) é constituída por um padrão de variações no brilho através dela. Ou seja, o sinal da imagem é uma função da intensidade
de brilho em todos os pontos da imagem (bidimensional).
Fig. 18 – Uma foto monocromática (preto-branco) e o sinal de intensidade de brilho.
Imagens coloridas e transmissões de TV
Se a imagem for colorida, obviamente o sinal torna-se mais complexo. Normalmente
a imagem é decomposta em 3 cores básicas, que comummente são
“vermelho”, “verde” e “azul”
que é chamado de código de cores RGB:
R (red), G (green) e B (blue)
mas às vezes também é usado outros códigos de cores, como o “magenta” (parecido
com cor de rosa), o “ciano” (uma espécie de azul) e o “amarelo”:
“magenta”, “cyan” e “yellow”
que é comum em impressoras coloridas e em sistemas informáticos em geral. O sinal
de uma foto a cores portanto terá que ter informação de 3 cores (e não apenas uma
como na foto monocromática).
A transmissão de imagens (“broadcast”) como na televisão por exemplo, requer
sinais mais sofisticados ainda.
Enquanto que uma fotografia é um sinal “estático”, fixo no tempo, as transmissões de
imagens via TV são sinais dinâmicos pois vão variando com o tempo. Além disso, na
transmissão de TV (TV broadcast) a informação do som também tem que seguir junto
com a imagem.
13
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Desde que a TV à cores surgiu, muitos sistemas de transmissão já foram criados,
como por exemplo: o sistema PAL (europeu), o sistema NTSC (americano), ou mais
recentemente o HDTV.
Fig. 19 – Exemplo de um sinal RGB [R (red), G (green) e B (blue)] de uma
transmissão de TV.
Sinais meteorológicos
Em meteorologia é comum o uso de sinais de medidas como
pressão atmosférica [mbar]
x
altitude [km]
velocidade do vento [knots]
x
altitude [km]
Em particular, no tráfico aéreo usam este último sinal mas com outras unidades:
velocidade do vento [knots]
x
altitude [metros]
14
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
nas proximidades dos aeroportos para examinar as condições do vento que possam
afectar uma aeronave durante a aproximação final da pista e aterragem.
Estes 3 sinais mencionados acima estão ilustrados na figura 20
Fig. 20 – Sinais da velocidade do vento, da temperatura e da pressão atmosférica
versus a altitude.
Sinais geofísicos
Em geofísica, sinais que representam variações de quantidades físicas do solo são
usados para estudar o solo, assim como a estrutura do interior da terra, como a
mesosfera e a endoesfera.
15
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Alguns destes sinais são mostrados na figura 21. Eles representam levantamentos
geofísicos de
resistividade eléctrica [Ω⋅m], temperatura [ºC], densidade [g/cm3],
raios gama [eV] e porosidade [%]
versus
profundidade [metros].
Fig. 21 – Sinais de levantamento geofísico de características do solo: resistividade
eléctrica, densidade, temperatura, raios gama e porosidade versus a
profundidade.
16
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Índices económicos e demográficos
Os índices (ou indicadores) económicos (que normalmente só saem uma vez por mês)
como:
inflação (mensal);
taxa de desemprego (mensal);
dão origem a sinais discretos (i.e., sinal não contínuos).
O índice da bolsa de valores é também um exemplo de um sinal discreto, embora
este não seja mensal mas sim diário.
Fig. 22 – Um exemplo de sinal discreto (não contínuo) que retrata
o índice da bolsa de valores (que só sai uma vez por dia).
Há muitos outros exemplos de índices ou indicadores económicos como as taxas de
câmbio ou as taxas de crescimento do Produto Interno Bruto (PIB), etc.
Fig. 23 – Taxa de câmbio do Euro (€) em relação ao dólar americano (US $).
Apesar de parecer contínuo, este sinal é discreto pois os valores foram
tomados diariamente e depois os pontos foram ligados.
17
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Quaisquer destes índices, se forem tomados ao longo de um período grande de tempo
e os pontos forem ligados, fica-se com a impressão que o sinal é contínuo. Isso pode
ser visto na figura 23 com um exemplo da taxa de câmbio do Euro (€) em relação ao
dolar americano (US $) ao longo de vários anos.
As taxas de câmbio de uma moeda corrente em relação à outra são exemplos de sinais
discretos embora possam ser tomados diariamente, de hora em hora ou até de minuto
a minuto, se desejar.
Isso é semelhante ao caso da música ou das imagens digitalizadas em CDs ou em
computador (sistemas digitais de áudio ou de vídeo) ou da transmissão digital de imagens, casos já mencionados em exemplos anteriores.
Outros casos de sinais discretos:
taxas de natalidade de uma nação (ano a ano, ao longo de um período);
consumo de uma veículo [l/100 km](medido a cada vez que é abastecido);
lucro de um estabelecimento comercial (mês a mês, ao longo dos anos);
etc.
2.3 – Sinais contínuos e discretos
Na secção anterior viu-se alguns sinais contínuos e alguns sinais discretos.
Para distinguir os sinais contínuos e discretos no tempo nós usaremos
“t” para denotar o tempo como variável independente contínua e
“n” para denotar o tempo como variável independente discreta.
Além disso, nos sinais contínuos usaremos parêntesis normais ( ),
x(t), y(t), v(t), etc.
enquanto que nos sinais discretos usaremos parêntesis recto [ ],
x[n], y[n], v[n], etc.
Esta é uma notação comummente adoptada na literatura de Análise de Sinais.
18
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Um sinal discreto pode ser a representação de um fenómeno (sistema) inerentemente
discreto, como por exemplo o caso de índices demográficos ou os índices da bolsa de
valores.
Por outro lado há também sinais discretos no tempo que são oriundos da amostragem
de sinais contínuos.
Por outro lado há também sinais discretos no tempo que são oriundos da amostragem
de sinais contínuos.
os sistemas digitais de áudio ou de vídeo,
já mencionados acima, ou, para mencionar um outro exemplo:
o piloto automático digital;
Estes sistemas requerem o uso de sequências discretas no tempo que são representações (discretizações) de sinais contínuos no tempo.
Assim, sinais que são naturalmente contínuos no tempo são tornados sinais discretos
(por amostragem) para este propósito, como por exemplo:
a voz;
a música;
o som em geral;
(no caso de sistemas digitais de áudio), ou
as fotografias que aparecem nos jornais e livros;
as imagens de um filme gravado em DVD;
etc.
(no caso de sistemas digitais de imagem), ou
a posição da aeronave;
a velocidade da aeronave;
a direcção da aeronave;
(no caso do piloto automático digital).
Observe que esta digitalização é feita com uma quantidade muito grande de pontos.
No caso da música digital, como já vimos, pode ter mais de 250 mil pontos em cada
segundo [256 kbps].
19
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
2.4 – Sinais dinâmicos e estáticos
Sinais são representados matematicamente como funções de uma ou mais variáveis
independentes.
Em vários sinais da secção anterior o tempo ‘t’ é a variável independente (ou uma das
variáveis independentes), por exemplo, no caso de:
circuito RC
carro
emissões de rádio
voz/fala humana
transmissões de rádio
músicas em CDs
ECG
EEG
transmissões de TV
bolsa de valores
Logo, estes sinais são do tipo x(t), y(t), f(t) ou f(x,t), etc. e são chamados de
sinais dinâmicos,
pois variam com o tempo (ou evoluem no tempo, ou propagam no tempo, etc.), e
portanto representam
sistemas físicos dinâmicos.
Entretanto há sinais em que o ‘tempo’ não aparece como variável independente. Estes
sinais são de
sinais estáticos,
ou
sinais não dinâmicos,
pois não evoluem no tempo, e portanto representam
sistemas físicos estáticos.
Alguns sinais da secção anterior que são estáticos:
a imagem monocromática
a imagem colorida
os sinais meteorológicos
os sinais geofísicos
20
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
2.5 – Energia e Potência de Sinais
Em muitas aplicações, embora não em todas, os sinais são directamente relacionados
com quantidades físicas que captam ou absorvem energia e potência no sistema físico.
Por exemplo, no caso do circuito RC que foi visto acima (na secção 2.1), a potência
instantânea na resistência R é:
p( t ) = v( t ) ⋅ i( t ) =
1 2
v (t )
R
onde:
v(t) = tensão na resistência R;
i(t) = corrente na resistência R.
e a energia total despendida no intervalo de tempo t 1 ≤ t ≤ t 2 é:
E Total =
∫
t2
t1
p( t ) dt =
∫
1 2
v ( t ) dt
R
t2
t1
e a potência média neste intervalo [t1, t2] é:
Pmédia =
1
(t 2 − t1 )
t2
⋅ ∫ p( t ) dt =
t1
1
(t 2 − t1 )
⋅∫
t2
t1
1 2
v ( t ) dt
R
De forma semelhante no caso do exemplo acima do carro (secção 2.1), a potência
dissipada pela fricção é:
p( t ) = ρ ⋅ v 2 ( t )
onde ρ = coeficiente de atrito da superfície.
E neste caso a energia total e potência média no intervalo [t1, t2] são respectivamente:
E Total =
Pmédia =
1
(t 2 − t1 )
∫
t2
t1
p( t ) dt =
t2
⋅ ∫ p( t ) dt =
t1
∫
t2
t1
ρ ⋅ v 2 ( t ) dt
1
(t 2 − t1 )
t2
⋅ ∫ ρ ⋅ v 2 ( t ) dt
t1
Motivados por exemplos como estes acima definem-se potência e energia para qualquer sinal contínuo x(t) e qualquer sinal discreto x[n] da seguinte forma:
21
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
A potência instantânea de um sinal contínuo x(t) ou de um sinal discreto x[n]:
p( t ) = x ( t )
p[n ] = x[n ]
2
ou
2
eq. (2.1)
onde |x| é o módulo do número x (que pode ser real ou complexo).
A energia total no intervalo t1 ≤ t ≤ t 2 de um sinal contínuo x(t) é definida como:
E =
∫
t2
t1
p( t ) ⋅ dt =
∫
t2
x ( t ) ⋅ dt
2
t1
eq. (2.2)
A potência média neste intervalo [t1 , t2] é definida como:
P =
1
(t 2 − t1 )
⋅∫
t2
x ( t ) ⋅ dt
2
t1
eq. (2.3)
A energia total e a potência média no intervalo t 1 ≤ t ≤ t 2 de um sinal discreto x[n]
são definidas como:
E =
n2
∑
x[n ]
2
⋅ ∑ x[n ]
2
∑
p[n ] =
n = n1
n = n1
n2
1
P =
n2
(n 2 −n1 +1)
eq. (2.4)
eq. (2.5)
n = n1
Para o caso de um intervalo de tempo infinito:
–∞ < t < ∞
ou
–∞ < n < ∞
as definições de energia total e potência média, no caso de um sinal contínuo no
tempo, ficam:
E ∞ = lim
T→∞
P∞ = lim
T →∞
∫
T
−T
x ( t ) ⋅ dt =
2
∫
T
1
2
⋅∫
x ( t ) ⋅ dt
2T − T
22
∞
−∞
x ( t ) ⋅ dt
2
eq. (2.6)
eq. (2.7)
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
e, para um sinal discreto no tempo, ficam:
E ∞ = lim
N→∞
N
x[n ]
∑
n =− N
P∞ = lim
N→∞
1
2
∞
=
∑ x[n ]
2
eq. (2.8)
n = −∞
N
(2 N + 1) n∑
=− N
⋅
x[n ]
2
eq. (2.9)
Note que para alguns sinais E∞ e/ou P∞ podem não convergir. Por exemplo, se x(t) ou
x[n] = constante ≠ 0 para todo t, então este sinal tem energia infinita (E∞ = ∞).
Se um sinal tem energia E∞ < ∞ (energia total finita), então:
P∞ = 0
Isto porque
P∞ = lim
T →∞
E∞
= 0
2T
(no caso contínuo)
eq. (2.10)
(no caso discreto)
eq. (2.11)
ou
P∞ =
lim
N →∞
E∞
(2 N + 1)
= 0
Por outro lado, pela mesma razão, isto é, usando se eq. (2.10) e eq. (2.11),
concluímos que: se um sinal tem potência finita ≠ 0 (0 < P∞ < ∞), então:
E∞ = ∞.
Finalmente, existem sinais que possuem ambas: E∞ = ∞ e P∞ = ∞.
Exemplo 2.1:
Considere o sinal x(t), ilustrado na figura 24.
1
x(t) = 
0
Fig. 24 – O sinal x(t) = 2, 0 < t < 1.
23
se 0 < t < 2
se t ∉ [0, 2]
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Facilmente observa-se que para este sinal x(t):
E∞ =
=
∞
∫ −∞
0
∫ −∞
2
x ( t ) ⋅ dt
2
∞
0
2
0 2 ⋅ dt + ∫ 12 ⋅ dt + ∫
0 2 ⋅ dt
= 0+2+0
=2
e portanto, pela eq. (2.10),
P∞ = 0.

Exemplo 2.2:
Considere o sinal x[ n ] = 2, ∀n ilustrado na figura 25.
Fig. 25 – O sinal x[n] = 2, ∀n.
Para este sinal x[n]:
P∞ =
=
=
lim
N →∞
lim
N →∞
lim
N →∞
N
x[n ]
1
⋅
1
⋅ (L + 4 + 4 + 4 + 4 + L) =
1
⋅ (2 N + 1) ⋅ 4 =
(2 N + 1) n∑
=−N
(2 N + 1)
(2 N + 1)
2
=
= 4
e portanto, pela eq. (2.11),
E∞ = ∞.
24

J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Exemplo 2.3:
Considere o sinal x[ n ] = 2, n = −2,−1,0,1,2 , e x[ n ] = 0, ∀n ≠ −2,−1, 0, 1, 2 , ilustrado na figura 26.
2 se n = − 2,−1, 0, 1, 2
x[ n ] = 
0 se n ≠ −2,−1, 0, 1, 2
Fig. 26 – O sinal x[n] para n = 2, n = –2, –1, 0, 1, 2,
e x[n] = 0, ∀n ≠ –2, –1, 0, 1, 2.
Para este sinal x[n]:
E ∞ = lim
N →∞
N
∑
n =−N
x[n ]
2
=
2
∑ 22 = 20
n = −2
e portanto, pela eq. (2.11),
P∞ = 0 .

Exemplo 2.4:
Considere o sinal x(t) = 0,25 t, ∀t ilustrado na figura 27.
Fig. 27 – O sinal x(t) = 0,25 t, ∀t.
Facilmente observa-se que para este sinal x(t) ambos E∞ e P∞ são infinito.
E∞ = ∞,
P∞ = ∞ .
25

J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
2.6 – Transformações da variável independente
Nesta secção apresentamos as transformações da variável independente em sinais
Translação no tempo (“time shifting”):
A translação no tempo, “time shifting” ou simplesmente “shift” é, o deslizamento
lateral, para direita ou para a esquerda, do sinal x[n] (no caso discreto) ou x(t) (no
caso contínuo). Isso é obtido com a mudança da variável independente, o tempo ‘n’
ou ‘t’:
n → n ± no
ou
t → t ± t o.
Shift para direita (retardo):
sinal discreto:
x[n]
x[n–no], no > 0.
Fig. 28 – Ilustração de “shift” para direita (retardo) no sinal discreto x[n].
sinal contínuo :
x(t)
x(t – to), to > 0.
Fig. 29 – Ilustração de “shift” para direita (retardo) no sinal contínuo x(t).
26
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Shift para esquerda (avanço):
sinal discreto:
x[n]
x[n+no] , no > 0.
Fig. 30 – Ilustração de “shift” para esquerda (avanço) no sinal discreto x[n].
sinal contínuo :
x(t)
x(t + to), to > 0.
Fig. 31 – Ilustração de “shift” para esquerda (avanço) no sinal contínuo x(t).
Reversão do tempo / sinal reflectido (“time reversal”) em torno de t = 0:
sinal discreto:
x[n]
x[–n]
Fig. 32 – Ilustração de reversão do tempo “time reversal” no sinal discreto x[n].
sinal contínuo:
x(t)
x(–t)
27
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Fig. 33 – Ilustração de reversão do tempo “time reversal” no sinal contínuo x(t).
Escalonamento no tempo (“time scaling”):
O escalonamento no tempo é na verdade uma mudança da escala do tempo ‘n’ (no
caso discreto) ou ‘t’ (no caso contínuo). Isso é obtido com a mudança da variável
independente, o tempo ‘n’ ou ‘t’:
n → an
ou
t → a t.
para uma constante a > 0.
Compressão ou encolhimento:
sinal discreto:
x[n]
x[an] , a > 1.
sinal contínuo:
x(t)
x(at), a > 1.
Expansão ou esticamento:
sinal discreto:
x[n]
x[an] , 0 < a < 1.
sinal contínuo:
x(t)
x(at), 0 < a < 1.
28
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Fig. 34 – Ilustrações de escalonamento no tempo (“time scaling”) feito ao
sinal contínuo x(t). Vê-se x(t), x(2t) e x(t/2).
Caso geral:
sinal discreto:
x[n]
x[αn + β]
sinal contínuo:
x(t)
x(αt + β)
Se | α | < 1 → sinal é esticado ( ←→ );
Se | α | > 1 → sinal é comprimido ( → ← );
Se α < 0 → sinal é invertido;
Se β < 0 → translação (shift) para direita;
Se β > 0 → translação (shift) para esquerda.
29
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Exemplo 2.5:
Considere o sinal x(t) dado pela expressão:
 1 0 ≤ t ≤1

x ( t ) = 0,5 1 < t ≤ 2
 0 t ∉ [0,2]

e que está representado na figura 35(a). Nas figuras 35(b)-(h) estão representados
algumas transformações de x(t) através de translações (“time shifting”), reversão do
tempo (“time reversal”) e escalonamentos no tempo (“time scaling”).
No caso do sinal x(t + 1) da figura 35(b) trata-se de uma translação (shift) para
esquerda de uma unidade de tempo, enquanto que o sinal x(–t) da figura 35(c) é o
sinal x(t) reflectido, isto é, uma reversão no tempo (“time reversal”).
Por outro lado, os sinais
2 
x t
3 
e
3 
x t
2 
da figura 35(d) e (e) são escalonamentos no tempo (“time scaling”) com ampliação
escala em 1,5 (ou seja, 3/2) no primeiro deles, e com compressão da escala de 0,666
(ou seja, 2/3) no caso do segundo.
Por sua vez o sinal
3

x  t +1
2

da figura 35(f) trata-se de uma translação para esquerda de uma unidade, primeiro, e
uma compressão da escala de 0,666 depois. Entretanto, no sinal
 3( t + 1) 
x

2


da figura 35(g) passa-se exactamente o oposto: uma compressão da escala de 0,666,
primeiro, e uma translação para esquerda de uma unidade, depois.
Finalmente o sinal
x (2t − 0,5)
da figura 35(h) é uma translação para esquerda de uma 0,5, primeiro, e uma
compressão da escala de 0,5 (ou seja, ½) depois.
30
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Fig. 35 – Sinais do Exemplo 2.5.

31
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
2.7 – Sinais periódicos
Um sinal contínuo x(t) é periódico se ∃ T > 0 tal que
x(t) = x(t + T) , ∀ t
eq. (2.12)
T é chamado de período de x(t).
Ou seja, um sinal periódico x(t) fica imutável se fizermos uma translação (shift) de T.
Fig. 36 – Sinal periódico.
Se um sinal x(t) é periódico de período T então x(t) também é periódico de período
2T, 3T, 4T, …
O período fundamental To de x(t), é o menor valor positivo de T para o qual a
eq. (2.12) acima é válida.
Esta definição tem uma excepção que é o caso de
x(t) = C (constante) , ∀ t
que também é periódico pois qualquer valor T > 0 é um período deste sinal, mas
entretanto não há um período fundamental To para este sinal.
Um sinal não periódico é chamado de “aperiódico”.
Analogamente, um sinal discreto x[n] é periódico se ∃ N tal que
x[n] = x[n + N] , ∀ n
eq. (2.13)
N é chamado de período de x[n].
O período fundamental de x[n], No , é o menor valor de N para o qual eq. (2.13) é
válida.
32
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Exemplo 2.6:
É fácil de verificar que To = (2π/a) é o período fundamental do sinal periódico:
x1(t) = b ⋅ cos (at + c)
e que To = (π/a) é período fundamental do sinal periódico:
x2(t) = b ⋅ | cos (at) |

Exemplo 2.7:
A figura 37 mostra um sinal discreto com período fundamental
No = 3.
Fig. 37 – Sinal do Exemplo 2.7.

2.8 – Sinais pares e ímpares
Um sinal contínuo x(t) é par se:
x(–t) = x(t)
Um sinal discreto x[n] é par se:
x[–n] = x[n]
Um sinal contínuo x(t) é ímpar se:
x(–t) = –x(t)
Um sinal discreto x[n] é ímpar se:
x[–n] = –x[n]
33
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Exemplo 2.8:
As figuras 38 e 39 mostram um sinal par e um sinal ímpar respectivamente.
Fig. 38 – Um sinal par.
Fig. 39 – Um sinal impar.

34
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Note que para um sinal ímpar x(t) (contínuo), ou x[n] (discreto), satisfaz respectivamente:
x(0) = 0,
ou
x[n] = 0.
Exemplo 2.9:
x(t) = sen (t) é um sinal ímpar; e

x(t) = cos (t) é um sinal par.
Um sinal pode ser decomposto na soma de 2 sinais sendo um par e um ímpar.
No caso de um sinal contínuo:
x(t) = Ev{ x(t) } + Od{ x ( t ) }
onde:
Ev{ x(t) } =
1
( x ( t ) + x (− t ) )
2
(sinal par)
Od{ x(t) } =
1
( x ( t ) − x (− t ) )
2
(sinal ímpar)
No caso de um sinal discreto:
x[n ] = Ev{ x[n ] } + Od{ x[n ] }
onde:
Ev{ x[n ]} =
1
( x[n ] + x[− n ] )
2
(sinal par)
Od{ x[n ] } =
1
( x[n ] − x[− n ] )
2
(sinal ímpar)
Exemplo 2.10:
O sinal x[n] da figura 40 é chamado de degrau unitário (como veremos com detalhes
no capítulo 3 sobre sinais singulares).
35
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Fig. 40 – Sinal degrau unitário.
Este sinal pode facilmente ser decomposto nos dois sinais
xev[n] = Ev{x[n]}
e
xod[n] = Od{[n]}
dados abaixo:
 1 , se n < 0
 2

x ev [n ] = Ev{ x[n ] } =  1, se n = 0

 1 2 , se n > 0
− 1 , se n < 0
 2

x od [n ] = Od{ x [n ] } =  0 , se n = 0

 1 2 , se n > 0
e que estão representados a nas figura 41.
Fig. 41 – Sinais xev[n] e xod[n], as componentes par e ímpar de x[n].

36
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
2.9 – Sinais exponenciais e sinusoidais
O sinal sinusoidal contínuo:
Fig. 42 – O sinal sinusoidal contínuo.
Este sinal descreve as características de muitos processos físicos, em particular: sistemas no qual a energia é conservada, como os circuitos LC; o movimento harmónico
simples (MHS); a variação da pressão acústica que corresponde ao tom de uma nota
musical; etc.
O sinal acima x(t) = A cos(ωot + φ), ωo = 0 é periódico com período fundamental
To =
2π
.
ωo
e ωo é chamada de frequência fundamental.
A equação acima mostra que frequência fundamental e o período fundamental são
inversamente proporcionais.
Se tivermos 3 sinais:
xo(t) = A cos(ωot + φ),
x1(t) = A cos(ω1t + φ), e
x2(t) = A cos(ω2t + φ),
37
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
com ω2 < ωo <ω1 (o que equivale a T1 < To < T2) então x1(t) oscila mais que xo(t) e
por outro lado x2(t) oscila menos que xo(t).
Ou seja, para o sinal xo(t) = A cos(ωot + φ), quanto maior a frequência ωo, mais ele
oscila, e quanto menor frequência ωo, menos ele oscila.
Fig. 43 – Três sinais periódicos (do tipo x(t) = cos ωt) com frequências diferentes.
38
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
As unidades de x(t) = A cos(ωo t + φ) são:
T [segundos]
φ [radianos]
ωo [radianos / segundo]
Às vezes a frequência natural ωo é escrita como
ωo = 2πfo
onde fo é a frequência do sinal x(t) = A cos(2πfot + φ) e tem como unidade
fo [Hertz]
Note também (os casos particulares), para
x ( t ) = A ⋅ cos (ω o t + φ)
se
φ = 0,
ou
se
φ=
π
,
2
ou
φ=
φ=−
se
π
φ=− ,
2
ou
se
φ = π,
ou
Além disso:
se
φ = ±2π, ±4π, …
π
± 2π,
2
π
± 4π, L
2
π
π
± 2π, − ± 4π, L
2
2
φ = − π, ± 3π, ± 5π, ± 7 π, L
ωo = 0
==>
⇒
x(t) = A cos (ωot)
⇒
x(t) = − A sen (ωot)
⇒
x(t) = A sen (ωot)
⇒
x(t) = − A cos (ωot)
x(t) = C (constante)
Fig. 44 – O sinal x(t) = C (constante).
O sinal x(t) = C (constante), ∀t é também um sinal periódico, e com período T para
qualquer T > 0. Entretanto este sinal x(t) = C (constante) não tem um período fundamental To.
39
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Outro detalhe: o sinal x(t) escrito na forma combinação linear de um seno e um coseno com a mesma frequência ωot e sem desfasagem, isto é,
x ( t ) = α ⋅ sen (ωo t ) + β ⋅ cos (ωo t ) ,
pode ser escrito como um seno com a mesma frequência ωot e desfasagem φ, isto é,
x ( t ) = A ⋅ sen (ωo t + φ) ; e vice-versa. Ou seja:
x ( t ) = α ⋅ sen (ωo t ) + β ⋅ cos (ωo t )
= A ⋅ sen (ωo t + φ)
onde:
α = A ⋅ cos φ
e
A = α 2 + β2
e
β = A ⋅ sen φ
β
φ = arctg  
α
eq. (2.14)
eq. (2.15)
Por outro lado, o sinal x(t) que vimos mais acima, expresso na forma de um co-seno
de frequência ωot e desfasagem φ, isto é, x ( t ) = A ⋅ cos (ωo t + φ) , pode ser escrito na
forma de combinação linear de um seno e um co-seno com a mesma frequência ωot (e
vice-versa) da seguinte forma:
x ( t ) = A ⋅ cos (ωo t + φ)
= α ⋅ cos (ωo t ) − β ⋅ sen (ωo t )
onde α, β, A e φ são dados acima em eq. (2.14) e eq. (2.15).
O sinal exponencial contínuo:
x ( t ) = C e at
Caso 1: C ∈ R e a ∈ R
R = conjunto dos números reais.
Neste caso x(t) é chamado de um sinal exponencial real e pode ser crescente (se
a > 0) ou decrescente (se a < 0).
40
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Fig. 45 – O sinal exponencial contínuo, caso 1 (C ∈ R e a ∈ R), a > 0, crescente.
Fig. 46 – O sinal exponencial contínuo, caso 1 (C ∈ R e a ∈ R), a < 0, decrescente.
A exponencial crescente é usada na descrição de muitos fenómenos físicos como a
reacção em cadeia em explosões atómicas e certas reacções químicas complexas.
A exponencial decrescente também aparece na descrição de muitos processos físicos
como por exemplo: o decaimento radioactivo, a resposta vc(t) do circuito RC e sistemas mecânicos amortecidos.
Obviamente se a = 0, então novamente x(t) = C eat = C = constante (já vista acima nos
sinais sinusoidais com frequência ωo = 0) e portanto x(t) deixa de ser um sinal
crescente ou decrescente.
Fig. 47 – O sinal x(t) = C (constante), caso particular a = 0 do sinal exponencial
contínuo.
41
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Caso 2: C = 1 e a é um número imaginário puro
x (t) = C e a t
para C = 1 e a = j⋅ωo (imaginário puro)
x ( t ) = e j ωo t
Neste caso x(t) é um sinal exponencial complexo para cada t.
Fig. 48 – O sinal exponencial contínuo, caso 2 (C = 1 e a é um número imaginário
puro)
Observe que como e j θ = 1, ∀θ , então:
| x(t) | = 1 ,
∀t
Podemos interpretar este sinal x(t) como um ponto que se desloca na circunferência
de raio 1 no plano complexo com velocidade angular | ωo | rad/s.
Note que este sinal
x(t) = e
é sempre periódico pois:
42
j ωo t
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
x ( t + T ) = e j ωo ( t + T ) = e j ωo t e j ωo T =
= x(t)
para muitos valores de T (período) para os quais
De facto, se
T=
2 kπ
,
ωo
e jω T = 1 .
o
k = ±1, ± 2, ... ,
jω T
então e o = 1 e T é um período de x(t). No caso particular de
To =
2π
,
ωo
ωo ≠ 0
então To é o período fundamental de x(t) e ωo é chamada de frequência fundamental
de x(t).
A família de sinais exponenciais complexos
φ k ( t ) = e j k ωo t ,
k = 0, ± 1, ± 2, ...
é conhecida como sinais harmonicamente relacionados. Estes sinais são periódicos e
a frequência fundamental de cada φk ( t ) , k ≠ 0, é
ωok = k ⋅ ωo
e o período fundamental é
Tok =
T
2π
= o
k ⋅ ωo
k
No caso de k = 0, então φ o ( t ) = constante e não há uma frequência fundamental nem
um período fundamental.
O termo “harmónico” advém da música e se refere aos tons resultantes de variações
da pressão acústica em frequências que são múltiplas da frequência fundamental.
Por exemplo, o padrão de vibração de uma corda de um instrumento musical (como o
violino) pode ser descrito como a sobreposição (ou a média ponderada) de sinais exponenciais periódicos harmonicamente relacionados.
43
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Exemplo 2.11:
x(t) = e
j⋅2 t
+e
(
= e j⋅3,5 t e
j⋅5 t
− j⋅1,5 t
+e
j⋅1,5 t
)
agora, usando a Equação de Euler,
x(t) = 2 e
e, como
j⋅3,5 t
⋅ cos(1,5 t )
e jθ = 1 , ∀θ, temos que
x ( t ) = 2 ⋅ cos(1,5t )
que é o sinal sinusoidal de onda completa rectificado, visto no gráfico da figura 49
abaixo.
Fig. 49 – Módulo do sinal x(t), x ( t ) = 2 ⋅ cos(1,5t ) .

Caso 3: C ∈ C e a ∈ C
Se
C = conjunto dos números complexos.
jθ
C = |C| e
a = σ + j ωo
(‘C’ está escrito na forma polar)
(‘a’ está escrito na forma cartesiana)
então o sinal exponencial contínuo
x(t) = C e a t
= C e jθ ⋅e (σ+ jωo )t
= C e σt ⋅e ( jωot +θ)
= C e σt ⋅ cos(ωo t + θ) + j ⋅ C e σt ⋅sen(ωo t + θ)
Logo:
44
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Re{ x(t) } e Im{ x(t) }
σ=0
⇒
Sinais sinusoidais
σ>0
⇒
Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais crescentes
σ<0
⇒
Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais decrescentes
Re{x(t)} = C eσt⋅ cos(ωot + θ) , σ > 0
Re{x(t)} = C eσt⋅ cos(ωot + θ) , σ < 0
Fig. 50 – Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais (com σ > 0 e σ < 0).
Para exemplificar, a figura 50 mostra-nos dois sinais sinusoidais multiplicados por
exponenciais. Um com σ > 0, logo o sinal cresce; e outro com σ < 0, logo o sinal
decai, ou fica amortecido.
Exemplos de sistemas físicos onde aparecem estes sinais são: Circuitos RLC; sistemas mecânicos com amortecimento e força restauradora (massa-mola, suspensão de
automóveis, etc.). Estes sistemas têm mecanismos que dissipam energia (como resistências, forças amortecedoras e atritos) com oscilações que decaem no tempo.
O sinal sinusoidal discreto:
x[n] = A cos (ωon + φ)
onde as unidades de x[n] são:
n [sem dimensão]
ωo [radianos]
φ [radianos]
fo = ωo / 2π [radianos]
45
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
As figuras 51, 52 e 53 acima ilustram 3 sinais sinusoidais discretos x1[n], x2[n] e
x3[n].
Fig. 51 – Sinal sinusoidal discreto x1[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,2π ≅ 0,628.
Este sinal é periódico e o período fundamental é No = 10.
Fig. 52 – Sinal sinusoidal discreto x2[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,3π ≅ 0,944.
Este sinal é periódico e o período fundamental é No = 20.
Fig. 53 – Sinal sinusoidal discreto x3[n] = A cos (ωon), para ωo = 1.
Este sinal não é periódico conforme veremos mais adiante.
Usando as equações de Euler, um sinal sinusoidal discreto x[n] pode ser escrito
como:
46
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
x[n] = A cos (ωo + φ ) =
=
jφ
e, como e
2
=1 e
e jωon
2
A jφ jωon A − jφ − jωon
⋅e ⋅e
+ ⋅e ⋅e
2
2
= 1 , então, para este sinal temos que a energia total E∞
e a potência total P∞ são:
E∞ = ∞,
P∞ = 1.
e
O sinal exponencial discreto:
Considere o sinal
x[n ] = C α n
=Ce
βn ,
β
onde α = e .
que é uma forma análoga ao sinal exponencial contínuo.
Caso 1: C ∈ R e α∈ R:
R = conjunto dos números reais.
Neste caso x[n] pode ser um sinal crescente (se | α | > 1) ou um sinal decrescente (se
| α | < 1).
Na figuras 54 e 55 vemos os gráficos deste sinal x[n ] = C α n para α > 1, 0 < α < 1,
–1 < α < 0 e α < –1.
Fig. 54 – Sinal exponencial discreto, caso 1, α > 1 e 0 < α < 1.
47
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Fig. 55 – Sinal exponencial discreto, caso 1, –1 < α < 0 e α < –1.
Obviamente, se α = 0, então x [ n ] = C α n é sinal da figura 56.
Fig. 56 – Sinal constante discreto, caso da constante α = 0,
um caso particular do sinal exponencial discreto.
De forma semelhante, se α = ±1, então x [ n ] = C α n é um dos sinais da figura 57. Ou
seja, um sinal constante ± |C|.
Fig. 57 – Sinais constantes discretos, casos da constante positiva e negativa, um
casos particulares do sinal exponencial discreto.
48
J. A. M. Felippe de Souza
Ou seja:
2 – Sinais
Se α = 0, então ⇒ x[n ] = C α n = 0 ,
se α = 1 e C > 0, então ⇒ x[ n ] = C α n = | C | ,
se α = –1 e C < 0, então ⇒ x[ n ] = C α n = | C | ,
n
se α = –1 e C > 0, então ⇒ x[n ] = C α = –| C |.
n
se α = 1 e C < 0, então ⇒ x[n ] = C α = –| C |.
Caso 2: C = 1 e β é um número imaginário puro (isto é, | α | = 1):
O sinal exponencial complexo
x[n ] = C e βn = C α n
(α = e β )
para C = 1 e β = j ωo (imaginário puro), temos que | α | = 1, e x[n] fica:
x[ n ] = e jωon .
Usando a equação de Euler temos que:
x[ n ] = e j ωo n = cos ωo n + j⋅ sen ωo n
jω n
Observe que, como e
2
o
= 1, ∀n , então para este sinal temos novamente que
E∞ = ∞,
Note que o sinal exponencial x[ n ] = e
x[ n ] = e
=e
j ωon
e
j ωon
= e
j (ωo ± mπ) n
P∞ = 1.
satisfaz a seguinte propriedade:
j (ωo + 2π) n
=
m = 0, ± 1, ± 2, ...
,
ou seja, o sinal x[n] é o mesmo para frequência ωo e (ωo + 2π). Na verdade é o
mesmo para qualquer frequência (ωo ± mπ), m = 0, ±1, ±2, … Isto é, ele se repete a
cada 2π a medida que a frequência ωo varia.
Esta situação é diferente do seu sinal análogo contínuo x(t), onde para cada ωo, x(t)
era um sinal diferente. Nunca se repetia para valores diferentes de ωo. Na verdade,
quanto maior era a frequência ωo, maior era a taxa de oscilação de x(t).
49
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
No caso discreto que analisamos aqui
x[ n ] = e
j ωo n
o que ocorre é que conforme ωo aumenta de 0 até π, obtemos sinais x[n] que oscilam
cada vez mais rápido. Depois, continuando a aumentar ωo de π até 2π, os sinais x[n]
vão oscilando cada vez mais lentamente até voltar a ser o mesmo que era em ωo = 0
para ωo = 2π.
Os gráficos da figuras 58-61 abaixo dão uma ideia de como isto ocorre. Elas mostram
a evolução da parte real de x[n], ou seja
{
σ[n ] = Re{ x[n ] } = Re e
j ωo n
}= cos(ω n) ,
o
desde 0 (nenhuma oscilação) até π (número máximo de oscilações) e depois continuando até 2π (nenhuma oscilação novamente).
ωo = 0
ωo =
Fig. 58 – Sinais discretos σ[n] = cos (ωon), ωo = 0 e ωo = π/8.
50
π
8
J. A. M. Felippe de Souza
ωo =
2 – Sinais
π
4
ωo =
π
2
ωo = π
Fig. 59 – Sinais discretos σ[n] = = cos (ωon), ωo = π/4 , ωo = π/2 e ωo = π.
51
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
ωo =
3π
2
ωo =
ωo =
7π
15π
8
Fig. 60 – Sinais discretos σ[n] = cos (ωon), ωo = 3π/2 , ωo = 7π/4 e ωo = 15π/8.
52
4
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
ωo = 2 π
Fig. 61 – Sinal discreto σ[n] = cos (ωon), ωo = 2π.
Se ωo = π, ou ωo = ±nπ para um valor de n ímpar, a oscilação é máxima pois
x[ n ] = e
j ωon
= (e
=e
j πn
,
para n ímpar
jπ n
) = (−1) n .
ou seja, o sinal x[n] salta de +1 para –1 a cada ponto n no tempo.
Por outro lado se ωo = 0, ou ωo = ±nπ para m par, não há oscilação pois
x[ n ] = e
j⋅ωo ⋅n
=e
j⋅0
= 1,
∀n
ou seja, o sinal x[n] é constante para todos os valores n no tempo.
Portanto, as oscilações baixas (ou variações lentas) do sinal x[n] tem valores ωo próximo a 0, 2π, etc. (múltiplos pares de π), enquanto que as oscilações altas (ou variações rápidas) do sinal x[n] estão localizadas próximas a ±π e múltiplos ímpares de π.
Outra propriedade importante é a “periodicidade”. Esta situação aqui em x[n] também é diferente que no seu análogo contínuo x(t). Enquanto que o sinal x(t) é sempre
periódico, para o sinal x[n] isto não ocorre sempre.
Note que a equação
x[n + N ] = e
j ωo ( n + N )
= e j ωo n ⋅ e
j ωo N
=e
j ωon
[]
=xn
só é válida quando e j ωo N = 1 , ou seja, se
ω o N = 2πm ,
m = 0, ± 1, ± 2, ...
isto é, se
ωo m
= ,
2π N
o que equivale a dizer
m = 0, ± 1, ± 2, ...
ωo
∈ Q = conjunto dos números racionais.
2π
53
eq. (2.16)
eq. (2.17)
J. A. M. Felippe de Souza
Logo, o sinal discreto
só é periódico quando
2 – Sinais
x[ n ] = e
j ωon
ωo
é um número racional.
2π
Considere os 3 sinais ilustrados na figuras 51, 52 e 53,
x1[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,2π ,
eq. (2.18)
x2[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,3π ,
eq. (2.19)
x3[n] = A cos (ωon), para ωo = 1.
eq. (2.20)
Somente os 2 primeiros sinais, i.e., x1[n] da eq. (2.18) e x2[n] da eq. (2.19), são
periódicos pois têm frequências múltiplas de π por um número racional.
Nota-se que na ilustração de x1[n] (figura 51) e x2[n] (figura 52) que os pontos voltam
a ter o mesmo valor de x[n] periodicamente.
Já com o terceiro destes sinais, i.e., x3[n] da eq. (2.20), isso não acontece pois ωo = 1
não é múltiplo de π por um número racional e portanto ele não é um sinal periódico.
Observe que x2[n] e x3[n] são sinais muito próximos pois
x2[n] = A cos (3π n) = A cos (0.9425 n)
e
x3[n] = A cos (1 n).
Entretanto, para o sinal x3[n] (figura 53) os pontos nunca voltam a ter um mesmo
valor, pois não é periódico. Ele oscila infinitamente mas as sequências de valores
nunca torna a se repetir. Por exemplo, x3[0] = 1, pois o cos(0) = 1. No entanto este
valor 1 nunca torna a acontecer para nenhum outro x3[n], ∀n ≠ 0.
M
x3[–2] = –0.4161
x3[–1] = 0.5403
x3[0] = 1,0
x3[1] = 0,5403
x3[2] = –0,4161
x3[3] = –0,9899
x3[4] = –0,6536
x3[5] = 0,2837
x3[6] = 0,9602
x3[7] = 0,7539
x3[8] = –0,1455
x3[9] = –0,9111
x3[10] = –0,8391
x3[11] = 0,0044
x3[12] = 0,8439
x3[13] = 0,9074
x3[14] = 0,1367
x3[15] = –0,7597
x3[16] = –0,9577
x3[17] = –0,2752
x3[18] = 0,6603
x3[19] = 0,9887
M
Podemos escrever a condição das eq. (2.16) e eq. (2.17), i.e., (ωo/2π) ∈ Q, de uma
outra forma equivalente:
Se (ωo/2π) ∈ Q, então qualquer N que satisfaz
 2π 
N = m ⋅  ,
 ωo 
m = 0, ± 1, ± 2, ...
é um período de x[n].
54
eq. (2.21)
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
Na verdade, se ωo ≠ 0, e se N e m forem primos entre si (não têm factores comuns),
sendo N > 0, então o período fundamental é
No = N ,
ou seja,
 2π 
 .
N o = m ⋅ 
ω
 o
Resumindo o Caso 2 para os sinais contínuos e discretos:
x ( t ) = e jω o t
x[ n ] = e j ω o n
x(t) ≠ para valores de ωo ≠
x[n] se repete para
ωo, (ωo + 2π), (ωo + 4π), etc
2πm 

 N 

x[n] só é periódico se ωo = 
x(t) é periódico ∀ ωo
Para algum inteiro N > 0 e m inteiro.
(m e N primos entre si)
frequência fundamental de x[n]
ωo
m
frequência fundamental de x(t)
ωo
(m e N primos entre si)
período fundamental de x[n]
período fundamental de x(t)
se ωo = 0 ⇒ não existe!
se ωo ≠ 0 ⇒ To =
se ωo = 0 ⇒ não existe!
2π
ωo
 2π 

 ωo 
se ωo ≠ 0 ⇒ N o = m ⋅ 
Caso 3: C ∈ C e α∈ C:
Se
C = conjunto dos números complexos
jθ
C = |C| e
j ωo
α = |α| e
(C escrito na forma polar)
(α escrito na forma polar)
então o sinal exponencial contínuo
55
J. A. M. Felippe de Souza
2 – Sinais
x [n ] = C α n
n
n
= C ⋅ α ⋅ cos( ωo n + θ) + j ⋅ C ⋅ α ⋅ sin( ωo n + θ)
Logo,
Re{ x[n] } e Im{ x[n] }
|α|=1
⇒
Sinais sinusoidais discretos
|α|>1
⇒
Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais crescentes
|α|<1
⇒
Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais decrescentes
σ[n ] = Re{ x [n ] } = α
n
⋅ cos(ω o n + θ)
α >1
Fig. 62 – Sinal exponencial discreto, caso 3, | α | > 1.
σ[n ] = Re{ x[ n ] } = α
α <1
Fig. 63 – Sinal exponencial discreto, caso 3, | α | < 1.
56
n
⋅ cos(ω o n + θ)