Matemática e suas
Tecnologias
Matemática
Prof.: João Mendes
17
nº
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO (I)
INTRODUÇÃO
É provável que a maneira mais antiga de contar se
baseasse em algum método de registro simples, empregando
o princípio da correspondência biunívoca (correspondência um
a um) entre os dedos e os objetos a serem contados. Para a
contagem de pequenas quantidades de animais, por exemplo,
podia-se dobrar um dedo para cada animal. Podia-se também
contar fazendo-se entalhes num pedaço de madeira ou
produzindo-se nós numa corda.
É muito conhecida a história da contagem das ovelhas
através de pequenas pedras colocadas num saco: cedo do
dia, para cada ovelha que saía para pastar, colocava-se uma
pedra num saco e, à tardinha, no regresso delas, para cada
ovelha que chegava, retirava-se uma pedra do saco. Assim, se
sobrasse pedra no saco, era porque estava faltando ovelha,
o pastor deveria ir à sua procura.
A correspondência biunívoca também está presente
na seguinte tradução de uma passagem bíblica (João 5:5)
para uma tribo papua do sudoeste da Nova Guiné: “Um
homem caiu doente um homem, ambas as mãos, 5 e 3
anos”. Evidentemente, essa tribo utilizou a correspondência
um a um entre os dedos de um ser humano e os anos
contados.
Veja:
um homem
ambas as mãos
total =
Quando se tornou necessário efetuar contagens mais
extensas, o método da correspondência biunívoca não foi mais
suficiente, e o homem sistematizou o processo de contagem,
criando os sistemas de numeração. Os antigos egípcios e
romanos adotaram o sistema de agrupamentos simples para
representar as quantidades. Nesse sistema de numeração,
escolhe-se um número b como base de contagem, e adotamse símbolos para representar as quantidades b0 = 1, b1 = b,
b2, b3, b4 e, assim, continuadamente. Desse modo, usando
cada símbolo o número necessário de vezes e somando seus
respectivos valores, pode-se representar qualquer número
natural não nulo.
Como era de se esperar, a grande maioria dos povos
adotaram o número 10 (dez) como base do seu sistema de
numeração. Afinal, começamos a contar usando os dez
dedos das mãos. Os egípcios antigos adotaram e usaram
os seguintes símbolos:
= 1, um bastão vertical
= 10, um osso de calcanhar
= 102, um rolo de pergaminho
= 103, uma flor de lótus
= 104, um dedo dobrado
= 20 dedos (20 anos)
= 10 dedos (10 anos)
(5 anos)
(3 anos)
38 anos
A passagem bíblica traduzida foi: “Estava ali um
homem que, há 38 anos, se encontrava enfermo”.
= 105, um girino
= 106, um homem espantado
Assim, os antigos egípcios podiam representar, por
exemplo, o número 2342 da seguinte forma:
2342 = 2 · 103 + 3 · 102 + 4 · 10 + 2
=
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Já para representar o número 45160, eles escreviam:
= 4 · 104 + 5 · 103 + 1 · 102 + 6 · 10
= 4000 + 500 + 100 + 60
= 45160
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO POSICIONAIS (SISTEMA DECIMAL)
Atualmente, a grande maioria das nações utiliza o sistema de numeração indo-arábico, que tem esse nome devido
aos hindus que o inventaram e aos árabes, que os transmitiram para a Europa Ocidental. Nós também utilizamos o sistema
indo-arábico de numeração (sistema decimal).
Nesse nosso sistema de numeração, a base de contagem é o número 10, utilizamos 10 símbolos ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9) e eles são posicionais, isto é, um mesmo símbolo pode assumir diferentes valores, dependendo da posição que ele
ocupa no numeral. Por exemplo, o 4 em 408 representa 4 · 102 ou 400, ao passo que em 48 o 4 representa 4 · 10 ou 40.
Observe os valores relativos dos algarismos nos numerais seguintes, escritos no sistema decimal de numeração:
a) 2047 = 2 · 103 + 0 · 102 + 4 · 101 + 7 · 100
b) 849 = 8 · 102 + 4 · 101 + 9 · 100
ou
2047 = 2 · 103 + 4 · 10 + 7
não há grupo de 102 em 2047
ou
849 = 8 · 102 + 4 · 10 + 9
c) 34304 = 3 · 104 + 4 · 103 + 3 · 102 + 4
d) 9009 = 9 · 103 + 9
Como percebemos nos exemplos acima, num sistema de numeração posicional, um símbolo para representar o zero é de
fundamental importância para clareza do valor relativo de cada algarismo, a fim de indicar a ausência de alguma potência de 10.
Em geral, no sistema de numeração decimal (indo-arábico), um número natural M de n+1 algarismos, M = an – 1 an – 2
... a2a1a0, apresenta a seguinte forma polinomial:
M = an · 10n + an – 1 · 10n – 1 + an – 2 · 10n – 2 + ... + a2 · 102 + a1 · 10 + a0,
onde os algarismos a0, a1, a2, ..., an – 1 , an são números naturais menores que 10 e an ≠ 0.
Em particular, no sistema decimal de numeração, podemos usar para representar um número natural:
• de dois algarismos: a1a0 = a1 · 101 + a0 · 100 ou xy = 10x + y
• de três algarismos: a2 · 102 + a1 · 101 + a1 · 101 + a0 ou xyz = 100x + 10y + z
DESVENDANDO O SEGREDO DO NÚMERO PENSADO
Pede-se a uma pessoa que pense em um número natural de dois algarismos; solicita-se a essa pessoa multiplicar o
algarismo das dezenas do número pensado por 5, somar 7, dobrar, somar o algarismo das unidades do número original e
anunciar o resultado final. Mentalmente, você subtrai 14 unidades do resultado final e descobre o número pensado.
Por exemplo, se uma pessoa tiver pensado no número 38, ela fará, ocultamente, os seguintes cálculos:
1) Multiplicará o algarismo das dezenas por 5 → 3 x 5 = 15
2) Somará 7 → 15 + 7 = 22
3) Dobrará → 22 x 2 = 44
4) Somará o algarismo das unidades do número original → 44 + 8 = 52
Quando essa pessoa revelar o resultado final 52, basta você subtrair 14 desse resultado para obter o número pensado,
no caso, 38 (mentalmente, você calcula: 52 – 14 = 38).
Assim como esse, muitos dos truques numéricos, nos quais se deve “adivinhar um número escolhido”, têm
explicações no nosso próprio sistema de numeração posicional. Vejamos o que acontece com os algarismos, qualquer que
seja o número pensado:
De modo geral, chamando o algarismo das dezenas do número pensado de a, e de b, o algarismo das unidades, temos:
Número pensado: ab = 10 · a + b, onde a, b ∈ {0, 1, 2, ..., 9} e a ≠ 0. Daí:
1) Multiplicando o algarismo das dezenas por 5 → 5 · a = 5a
2) Somando 7 → 5a + 7
3) Dobrando → 2 · (5a + 7) = 10a + 14
4) Somando o algarismo das unidades → (10a + 14) + b = (10a + b) + 14 = nº pensado + 14
Assim, concluímos que, para quaisquer a e b possíveis, a sequência de operações sugeridas nos leva sempre ao
número pensado, mais 14. Logo, se desse resultado final for subtraído 14, obteremos o número pensado.
2
FB NO ENEM
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O PROBLEMA DOS ALGARISMOS INVERTIDOS
x0y km
Durante uma viagem de Fortaleza a Recife, o professor
xy km
yx km
Francisco Júnior observou uma placa contendo um número natural 0k m
de dois algarismos, indicando, à beira da estrada, a quilometragem.
54km mais adiante, ele observou outra placa com os mesmos
algarismos, agora, na ordem inversa. 126km mais adiante, ele vê
outra placa com os mesmos algarismos, na mesma ordem vista
FORTALEZA
inicialmente, porém com um zero entre eles (veja figura).
A que distância de Fortaleza se encontra cada uma dessas três placas?
Solução: Observando que xy = 10x + y, yx = 10y + x e x0y = 100x + y, em que x, y ∈ {1,2,...,9} e x ≠ 0, devemos ter:
I) yx – xy = 54 ⇒ (10y + x) – (10x + y) = 54 ⇒ 9y – 9x = 54 ⇒ y – x = 6
II) x0y – yx = 126 ⇒ (100x + y) – (10y + x) = 126 ⇒ 99x – 9y = 126 ⇒ 11x – y = 14
III) Resolvendo o sistema.
 −x + y = 6
, encontramos x = 2 e y = 8.

11x − y = 14
Assim, xy = 28km, yx = 82km e x0y = 208km
Resposta: As placas ficam a 28km, 82km e 208km de Fortaleza, respectivamente.
RECONSTITUINDO A MULTIPLICAÇÃO
Na multiplicação seguinte, o multiplicando e o produto têm os mesmos 6 algarismos, porém em ordens
diferentes. Deslocando-se o algarismo das unidades do multiplicando (7) para a primeira posição da esquerda,
abcde7
obtém-se o produto:
×5
7 abcde
Reconstituir a seguinte multiplicação.
Solução:
Fazendo abcde = x, temos:
I) abcde7 = e d c b a 0 + 7 = 10 · (abcde) + 7 = 10x + 7
II) 7 abcde = 7 0 0 0 0 0 + e d c b a = 7 0 0 0 0 0 + x
Da multiplicação, concluímos que:
7abcde = 5 · (abcde7), isto é:
700000 + x = 5 · (10x + 7) ⇒ x =
699965
⇒ x = 14285 Resposta:
49
DESCOBRINDO A DIFERENÇA
142857
×5
714285
Déborah pensou em um número natural de três algarismos, onde os algarismos das extremidades são diferentes, e
calculou a diferença positiva entre o número pensado e o número obtido invertendo a ordem dos algarismos. Se Déborah
encontrou o algarismo das unidades dessa diferença igual a 7, qual o valor numérico dessa diferença?
a1 b1 c
Solução: Sendo abc – cba, a ≠ 0, a diferença positiva calculada por Déborah, temos: −
onde a > c. Daí:
I)
II)
III)
operando nas unidades:
10 + c – a = 7 ⇒ c – a = -3 ⇒ a – c = 3
Note: uma dezena foi transformada em 10 unidades e sobraram (b – 1) dezenas.
operando nas dezenas:
10 + (b – 1) – b = y ⇒ y = 9
Note: uma centena foi transformada em dezenas e sobraram (a – 1) centenas.
operando nas centenas:
a – 1 – c = x ⇒ (a – c) – 1 = x ⇒ 3 – 1 = x ⇒ x = 2
Resposta: A diferença encontrada por Déborah foi 297.
FB NO ENEM
c
b
a
x
y 7
3
,
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1.
2.
PROBLEMAS PROPOSTOS
Na Nova Guiné britânica, usa-se a correspondência um a um (correspondência biunívoca) entre
os dedos de um ser humano e os objetos a serem contados para se fazer a contagem. Lá, por
exemplo, representa-se o número 99 como “quatro homens mortos, duas mãos até o fim, um pé
completo e quatro”. Note que 4 homens têm 4 · 20 = 80 dedos, duas mãos completas têm 10 e um
pé tem 5 dedos, somados com 4, temos um total de 80 + 10 + 5 + 4 = 99 dedos. Já os malinké do
Sudão Ocidental, que também utilizam o mesmo método para contar, usam a palavra dibi para
representar certo número natural. Essa palavra significa literalmente “um colchão”. Tal número, no
sistema decimal, é o:
A) 10
B) 15
C) 30
D) 40
E) 45
Pensei em um número de 5 algarismos, onde os dois algarismos das extremidades são diferentes e
os três centrais são iguais. Calculei a diferença positiva entre o número pensado e o número obtido
invertendo-se a ordem dos algarismos. Se o algarismo das unidades da diferença é 8, qual é a diferença?
3. (JM) Para o próximo tuor de france, um ciclista planeja percorrer parte do percurso desenvolvendo
uma velocidade constante a partir do marco quilométrico XY. Seguindo o planejamento, uma hora
e meia depois ele passará pelo marco YX; e, com mais uma hora e meia, ele passa pelo marco X0Y.
Sabendo que X (X ≠ 0), 0 (zero) e Y são algarismos do sistema decimal de numeração, a velocidade, em
km/h, planejada por esse atleta no referido trecho do percurso é:
A) 24
B) 30
C) 36
D) 42
E) 48
4.
(PUC–SP) Resolver um criptograma aritmético significa usar a estratégia “tentativa e erro” para
determinar quais números satisfazem as condições de um dado problema. Considere o criptograma
seguinte, em que cada letra representa apenas um único algarismo, não nulo.
(AR ) 2 = BAR
Para os valores de A, R e B encontrados, é correto afirmar que o “número” BARRA está compreendido entre:
A) 45.000 e 50.000 B) 50.000 e 55.000 C) 55.000 e 60.000 D) 60.000 e 65.000 E) 65.000 e 70.000
5.
(ENEM) A contagem de bois
Em cada parada ou pouso, para jantar ou dormir, os bois são contados, tanto na chegada quanto na
saída. Nesses lugares, há sempre um potreiro, ou seja, determinada área de pasto cercada de arame,
ou mangueira, quando a cerca é de madeira. Na porteira de entrada do potreiro, rente à cerca, os
peões formam a seringa ou funil, para afinar a fila, e então os bois vão entrando aos poucos na
área cercada. Do lado interno, o condutor vai contando; em frente a ele, está o marcador, peão
que marca as reses. O condutor conta 50 cabeças e grita: - Talha! O marcador, com o auxílio dos
dedos das mãos, vai marcando as talhas. Cada dedo da mão direita corresponde a 1 talha, e da mão
esquerda, a 5 talhas. Quando entra o último boi, o marcador diz: - Vinte e cinco talhas! E o condutor
completa: - E dezoito cabeças. Isso significa 1.268 bois.
Boiada, comitivas e seus peões. In: O Estado de São Paulo, ano VI. ed. 63. 21/12/1952 (com adaptações).
Para contar os 1.268 bois, de acordo com o processo descrito no texto, o marcador utilizou:
A) 20 vezes todos os dedos da mão esquerda.
B) 20 vezes todos os dedos da mão direita.
C) todos os dedos da mão direita apenas uma vez.
D) todos os dedos da mão esquerda apenas uma vez.
E) 5 vezes todos os dedos da mão esquerda e 5 vezes todos os dedos da mão direita.
GABARITO (V.16)
1
C
2
3
4
5
B
A
B
A
Professor-Colaborador: Sampaio
4
FB NO ENEM
OSG: 34867/10 - A.J - REV.: FLÁ