Campo na matéria II
Aula 4
3 de junho de 2011
1
Resumem da aula ante-
campo magnetizante
rior
~
~
~ ≡ B −M
H
µ0
A m de explicar o magnetismo observado
com origem exclusiva no movimento das cargas
na matéria Ampère propões a existência de
(corrente real)
corrente internas, hoje conhecidas como cor-
I
rentes de ampere. Nossos cálculos mostraram
~ · d~s = ic
H
C
que essas correntes de Ampère resultam numa
Assim vemos que o campo
corrente supercial que da origem a o mo-
física
mento magnético responsável pelo magnetismo
totalmente
~
H
O campo
na matéria
~
H
diferente
(2)
tem uma origem
de
o
campo
~.
B
é produto das correntes resul-
tantes do movimento das cargas (correntes
∆µm = im ∆A
verdadeiras) em um meio condutor, enquanto
A partir dessa denição foi interessante intro-
~
B
o campo
duzir a magnetização como sendo o momento
~ = µ0 H
~ +M
~
B
magnético por unidade de volume
M=
dµm
dV
resulta
da
contribuição
das
correntes
ver-
dadeiras e as correntes atômicas. Uma forma
de entender está diferença é dizendo que o
que mostramos estar relacionado à corrente su-
campo
percial via
~
H
é um campo de origem externa apli-
~ é o campo
B
~ é o campo
medido no material, entanto que M
cada ao material, enquanto que
im = 2πrM
(1)
próprio do material.
Também mostramos que podemos escrever
Uma análise mais detalhada da lei de Ampère
uma relação simples entre
evidencia que a corrente total pode ter duas
componentes
~
M
e
~
H
~ = χm H
~
M
it = i + im
χm
(3)
as corrente resultante do movimento de cargas
onde constante
o corrente real e a corrente de ampere, com isso
teriza o material e recebe o nome de suscep-
se faz necessário introduzir um novo campo, a
tividade magnética do material.
1
é uma grandeza que cara-
A partir
dessa relação se chegou ao seguinte resultado
~ = µH
~
B
onde
µ = (1 + χm ) µ0
se
conhece
permeabilidade
como
nética (absoluta) do material.
mag-
Figura 1: Orbita de Bohr.
As vezes re-
sulta útil também falar da permeabilidade relativa do material
Km =
e o momento de dipolo magnético associado a
µ
1 + χm
µ0
orbita e
Finalmente, em base o valor da susceptibilidade magnética,
~ =i·
µ
~ = iA
classicamos os materiais
magnéticos como:
~r = ~v dt
como
1. materiais ferromagnéticos:
qI
µ
~=
~r × ~v dt
τ C
os dipo-
los magnéticos atômicos tendem a se alinhar uns com outros quando sujeitos a
se
um campo externo.
momento linear está dado por
m
é a massa da partícula, sabemos que o
forma
2. materiais paramagnéticas: os dipolos
~r × ~v =
se alinham ao campo externo aplicado
~
L
p~ = m~v ,
dessa
1
1
~r × p~ = ~l
m
m
porém não se inuenciam mutuamente de
onde
forma signicativa.
mento angular ser conserva num movimento
é o momento angular.
q ~1 I
l
τ
µ
~=
2m τ C
são independente entre si, a tendencia dos
momentos magnéticos é de se alinhar na
direção oposta
mas
H
C
dt = τ ,
um
partícula com carga
q
átomo
clássico,
e massa
M
o período da orbita,
µ
~ = γ~l
Razão giromagnética
Consideremos
Como o mo-
sob a ação de uma força central
3. materiais diamagnéticos: os momentos
2
1I
~r × d~r
2 C
onde
uma
γ=
descrevendo
q
2m
uma orbita fechada em torno de um ponto
Assim vemos que o dipolo magnético associ-
O
ado a uma corrente de ampère produzida pela
(núcleo), sob a ação de uma força central
(força coulombiana).
Seja
τ
o período da
circulação de uma carga
~l,
q
na orbita é pro-
orbita, a corrente associada ao movimento da
porcional
partícula
constante de proporcionalidade se chama razão
q
i=
τ
o momento angular da orbita. A
giromagnética clássica.
2
Para o caso de um
elétron
q = −e
e
m = me
γe = −
pode ser calculado com a teoria quântica.
e
2me
3
Resultados quânticos
O sinal (-) indica que o momento magnético é
O momento magnético associado ao spin está
antiparalelo ao momento angular.
dado por
É interessante fazer referencia a um experi-
~
µ
~ s = −2γe S
mento realizado por A. Einstein e W. J. Haas
~
S
em 1915 os quais suspenderam um cilindro no
onde
ferro através de uma bra de vidro, dentro
entemente de dos momentos angulares clássi-
de um solenoide, imantá-lo (pela passagem de
cos, o spin é diferente em alguns aspectos:
é o momento angular de spin.
Difer-
corrente) e observaram a torção da bra de
vidro provocada pela rotação do cilindro.
efeito é bastante pequeno.
1. Só pode ser medida uma de suas compo-
O
nentes
Eles encontraram
um resultado consistente com o que esperavam,
2. A componente medida é quantizada.
γ = γe , mas não tinham feito a experiencia com
cuidado.l Experiencias feitas alguns anos mais
Resultados experimentais (e cálculos analíti-
tarde dessa época mostraram que para mate-
cos) mostram que a componente
riais ferromagnéticos (F e,
sume os seguintes valores
N i , . . .)
materiais
γ = 2γe = −
que nesses
e
me
Sz = ms
ou seja, o dobro da clássica.
onde
A explicação para esse resultado veio com a
descoberta do spin do elétron.
ms
h
,
2π
z
intrínseco, o spin, e como dizemos, comparável
h (h = 6, 63 × 10−34 J · s)
é
µs,z = ±
ao de um giroscópio em rotação em torno de
é
eh
4πme
O valor absoluto da grandeza do lado direito
A magnetização em materiais fer-
se chama de magneton de Bohr:
romagnéticos pe devida quase que exclusivamente ao spin.
J~
1
2
Com isso, o momento magnético ao longo de
atômico, o elétron tem um momento angular
O momento angular total
ms = ±
a constante de Planck.
mento angular orbital em relação ao núcleo
seu eixo.
do spin as-
é chamado número quântico mag-
nético de spin e
Além do mo-
para
z
µB =
dos elétrons de
eh
= 9, 27 × 10−24 J/T
4πme
um átomo é a resultante de seus momentos angulares orbitais e de spin, e a razão giromag-
dessa forma o momento magnético de spin ao
nética correspondente para o átomo como um
longo do eixo
z
é igual a um
µB .
Como podemos associar um momento mag-
todo é da forma
nético ao elétron, então teremos associada uma
µ
~ = gγe J~
energia magnética à partícula devido a presença de um campo externo
onde
g
é um número positivo da ordem da
unidade, conhecido como fator
g
~ ext
Ue = −~µe · B
de Landé e
3
O momento magnético associado á orbita do
spin esta dado por
~ orb
µ
~ orb = −γ L
Resultados quânticos mostram que
Lorb,z = ml
h
2π
para
ml = 0, ±1, ±2 . . . (limite)
Figura
ml e o numero quântico magnético orbital
limite e o valor máximo permitido.
onde
e
2:
Força
magnética
exercida
sobre
elétrons atômicos que circulam em (a) sentido
horário (b) anti-horário.
Igualmente podemos associar uma energia
potencial a este momento
~ ext
U = −~µorb · B
intenso. Esse efeito é conhecido como diamagnetismo de Lamor.
4
Teoria de Lamor do dia-
Sabemos que para qualquer elétron dentro
de um átomo, a força elétrica é a responsável
magnetismo
pela força centripeta, assim
Como já foi mencionado, é possível que um
material tenha momento magnético resultante
igual a zero. Independente de efeitos térmicos,
Ze2
4πε0 ro2
Ze2
=
4πε0 mro3
mr0 ω02 =
podemos ter materiais onde o momento linear
ω02
dos elétrons seja oposto, consequentemente o
momento magnético terá sentido oposto, resul-
(4)
tando num momento global nulo. Ou termos
Vamos
acoplamento locais de espin resultando num
gura 2, os quais giram em sentidos opostos,
momento magnético nulo.
mas com a mesma velocidade angular dada
Em qualquer um
considerar
os
elétrons
dos casos mencionado a aplicação de um campo
pela expressão anterior.
magnético externo pode proporcionar energia
néticos estão dados por
descritos
na
Os momentos mag-
ao sistema e alinhar os dipolos numa mesma
µ1 = iA
(−e) ω0 2 πr0
=
2π
direção.
Quando se aplica um campo magnético externo este interatua com a orbita dos elétrons,
devido ao uxo magnético variável, de forma a
µ2 =
se obter um momento magnético induzido. Se-
(−e) (−ω0 ) 2 πr0
2π
gundo a lei de Lenz a direção desse momento
Até aqui temos considerado que o campo ex-
magnético deve ser oposta à do campo mag-
terno
nético externo, pelo que se obtém uma sus-
terno aparece uma força magnética dada por
ceptibilidade diamagnética débil.
~
q ~v × B
Esse efeito
B
é zero. Ao aplicarmos um campo ex-
o que produz um aumento na força
centrípeta do elétron
pode ser ocultado pelo paramagnetismo mais
4
a
e uma diminuição no
b.
elétron
Assim, para o elétron
a
temos
ω2
frente a
em 8, assim
Ze2
F1 = −
− evB = −mr0 ω
4πε0 ro2
como
ω = ω0 + ωL = ω1
para o elétron
v = r0 ω
b
Assim,
átomo
F2 = −mr0 ω02 + er0 ωB = −mr0 ω 2
dividindo por
mr02
a
µ1 =
ambas equações
ω 2 − 2ωωL − ω02 = 0
na presença do campo externo
eB
ωL =
2m
(6)
B
é
(−e) ω1 2 er2
πr0 = − 0 (ω0 + ωL )
2π
2
e para o elétron
(5)
e
onde
b
o momento magnético devido ao
µ1 =
ω 2 + 2ωωL − ω02 = 0
para o elétron
ω = ω0 − ωL = ω2
F1 = −mr0 ω02 − er0 ωB = −mr0 ω 2
para o elétron
a,
b
(−e) ω2 2 er02
πr0 =
(ω0 − ωL )
2π
2
Isto implica que o momento magnético total
por átomo é
(7)
µ = µ1 + µ2
é a frequência de Lamor.
= −er02 ωL
e2 r02 B
= −
2m
2
Somando ωL a ambos lados da equações 5
ω 2 − 2ωωL + ωL2 = ω02 + ωL2
Se
n é o número de átomos por unidade de vol-
ume, então o momento magnético por unidade
ou seja
(ω − ωL )2 = ω02 + ωL2
de volume, que é a magnetização está dada por
(8)
e2 r02 B
M = −n
2m
De 4 e 7
s
ωL
πε0 r03
=B
ω
me Z
e como
M = χH = χ (B/µ0 ),
então
M
µ0
B = 100T , 1 mol ocupando ≈ 1cm3 ⇒
χ=
= nµm
H
B
6×1022 atomos, assim cada átomo ocupa 1, 7×
10−29 m3 ∼ 2r0 , então é razoável supor r0 ∼
e2 r02
χ
=
−n
1, 3 × 10−10 m. ωωL será máxima quando Z seja
2m
−12
mínima⇒ Z = 1, com ε0 = 8, 85 × 10
F/m Para um átomo típico n ≈ 6 × 1028
−31
e me = 9, 11 × 10
kg obtemos que
1, 3 × 10−10 m, onde
Usando
ωL
≈ 8, 2 × 10−4
ω
isto é
ωL ω ,
assim podemos despreciar
e
r0 ∼
χm = −1, 8 × 10−5
ωL2
que concorda na ordem de magnitude dos val-
5
ores mostrado na tabela da aula anterior. Observe que esse susceptividade é independente
da temperatura, o que está em acordo com os
experimentos.
6