Lista 2 - Introdução à Teoria dos Números - 2012/02
Números Naturais
1. Determine:
(a) o menor número natural de 2 algarismos que quando dividido por 11 deixa o maior resto possı́vel.
(b) o menor número natural de 2 algarismos que deixa o maior resto possı́vel quando dividido por
12.
(c) o menor número natural que quando dividido por 12, por 20 e por 38 deixa sempre o mesmo
resto igual a 10.
2. Seja m um número natural cujo resto na divisão por 12 é igual a 11. Determine o resto da divisão de
m por:
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 6
3. Seja m um número natural cujo resto na divisão por 6 é igual a 5. Determine o resto da divisão de
m2 por:
(a) 3
(b) 4
(c) 6
(d) 9
(e) 12
(f) 18
4. Múltiplos de 9:
(a) Qual é o menor múltiplo (positivo) de 9 que é escrito apenas com os algarismos 0 e 1?
(b) Qual é o menor múltiplo (positivo) de 9 que é escrito apenas com os algarismos 1 e 2?
5. Quais os cubos perfeitos que dividem 94 ?
6. Decompor 96 em dois fatores cuja soma dos quadrados seja 208.
7. Quantos são os números que ao dividir 2007 deixam resto 5?
8. No número 6a78b, a é o algarismo da unidade de milhar e b é o algarismo da unidade. Se 6a78b é
divisı́vel por 45, determine a + b.
9. ⋆ O número 119 tem a seguinte propriedade:
• a divisão por 2 deixa resto 1;
• a divisão por 3 deixa resto 2;
• a divisão por 4 deixa resto 3;
• a divisão por 5 deixa resto 4;
• a divisão por 6 deixa resto 5;
Quantos números naturais menores que 2007 satisfazem essa propriedade?
10. Qual é o valor da soma dos mil primeiros números naturais não nulos que são divisı́veis por 6?
11. ⋆ Qual a quantidade de números naturais divisı́veis por 4 e compostos de cinco dı́gitos distintos que
podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 6, 8?
1
12. Os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 foram usados, cada um uma única vez, para escrever um número de 5
algarismos abcde, tal que abc é divisı́vel por 4, bcd por 5 e cde por 3. Encontre esse número.
13. Mostre que se a, b ∈ N são tais que a − 2b ∈ N e 7 | (a − 2b), então 7 | (10a + b).
14. Considere a soma de todos os números naturais de 131 até 536. Determine o resto da divisão desta
soma por 3. Determine também o resto da divisão desta soma por 10.
15. ⋆ Considere a soma de todos os números naturais menores ou iguais a 2.132.867. Sem calcular o
valor desta soma, determine o resto de sua divisão por:
(a) 3
(b) 4
(c) 5
(d) 8
(e) 9
16. Mostre que:
(a) 10n − 1 é um múltiplo de 9 para todo n ≥ 1.
(b) ⋆ a diferença entre duas potências naturais quaiquer de 10 é um múltiplo de 9.
(c) ⋆ a diferença entre um números natural N e um número M, obtido de N pela permutação de
seus algarismos, é um múltiplo de 9. Por exemplo, 5247-2754 = 2493 = 277 · 9.
17. Escreva no sistema de numeração decimal os seguintes números:
(a) (10121)3
(b) (1042)5
(c) (187)9
18. Determine o valor da base em cada um dos seguintes casos:
(a) (104)b = 8285
(b) (30407)b = 12551
19. Encontre:
(a) o resultado da operação (1235)6 × (42)6 − (525)6 .
(b) a representação na base 3 do número n = (13201)4 − (2413)5 .
(c) a representação na base 3 do número m = (13212)4 + (1010110)2 .
(d) a representação na base 2 do número (12102)3 + (401)5 .
20. Mostre que (111)b | (10101)b para todo b > 1. Encontre o quociente dessa divisão em termos da base b.
21. Prove que:
(a) em todo o sistema de numeração de base b > 2, o número (121)b é um quadrado perfeito.
(b) em todo sistema de numeração de base b > 3, o número (1331)b é um cubo perfeito.
22. Verique se as afirmação abaixo são verdadeiras(V) ou falsas (F). Justifique sua resposta.
(a) No nosso sistema de numeração o número (10212)3 corresponde a 104.
(b) (110)2 ∤ (165)7 .
(c) (1202)3 = (142)5
23. ⋆ Um número escrito na base 2 como |1 ·{z
· · 1}, onde r é múltiplo de 3, é necessariamente divisı́vel por
r
7? Explique seu raciocı́nio.
2
24. Quais números naturais m e n satisfazem a igualdade 2n + 1 = m2 ?
25. Quantos números naturais n existem tais que
2n2 + 4n + 18
é um número natural?
3n + 3
26. ⋆ Seja N o menor número que tem 378 divisores e é da forma 2a · 3b · 5c · 7d . Quanto vale cada um
desses expoentes?
27. ⋆ Qual o menor número natural que admite 15 divisores? E o menor que admite 20 divisores?
28. Determinar todos os primos que dividem 50!.
29. Determine:
(a) o resto da divisão de 35971659 por 4.
(b) Se somarmos todos os números de 1 a 587 qual o resto da divisão por 5?
(c) Sem efetuar o produto determine o resto da divisão de (4358 × 57917) por 4.
(d) A soma dos múltiplos de 5 compreendidos entre 11 e 527.
30. ⋆ Prove que:
(a) o produto de quatro números naturais consecutivos, acrescido de 1, é um quadrado perfeito.
(b) de dois números pares consecutivos um é sempre divisı́vel por 4.
(c) para todo natural n, o número n + n2 é sempre um número par.
31. Mostre que:
(a) a soma de dois números naturais pares é par e que a soma de dois números naturais ı́mpares
também é par.
(b) a mutilpicação de dois números naturais pares é par e a multiplicação de dois números ı́mpares
também é ı́mpar.
(c) a soma de dois números ı́mpares consecutivos é sempre divisı́vel por 4.
(d) a soma de dois números pares consecutivos sempre deixa resto 2 quando dividida por 4.
(e) se n é um número natural ı́mpar, então n3 + 1 é par.
(f) a soma de três números pares consecutivos é sempre divisı́vel por 6 e a soma de três números
ı́mpares consecutivos sempre deixa resto 3 quando dividido por 6
(g) se n é um número ı́mpar natural, então n2 − 1 é par.
32. Utilize o princı́pio de indução para mostrar que são válidas as seguintes igualdades:
n(n + 1)(2n + 1)
(a) 12 + 22 + 32 + ... + n2 =
6
n(n + 1) 2
3
3
3
3
(b) ⋆ 1 + 2 + 3 + ... + n =
2
(c) ⋆ 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) =
(d) 3 + 6 + 9 + ... + 3n =
n(n + 1)(n + 2)
3
3n(n + 1)
2
(e) se q 6= 1 então 1 + q + q 2 + q 3 + ... + q n =
3
q n+1 − 1
q−1
(f) se a é um natural fixado e m, n ∈ N então am+n = am an e (am )n = amn .
(g) 1 + 21 + 22 + · · · + 2n−1 = 2n − 1, para todo n ≥ 1.
33. Utilize indução para mostrar que:
(a) 7 | 32n+1 + 2n+2 , para todo n ≥ 0.
(b) ⋆ 9 | 10n + 3.4n+2 + 5, para todo n ≥ 0.
(c) ⋆ 11 | 22n−1 × 3n+2 + 1, para todo n ≥ 1.
(d) ⋆ (1 + 2 + 3 + ... + n) | 3(12 + 22 + 32 + ... + n2 ), para todo n ≥ 1.
4