Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Campo Elétrico
Introdução:
Suponha que uma carga fixa positiva q1 está
fixa em um ponto do espaço e colocamos uma segunda
carga q2 próxima a ela. Da Lei de Coulomb sabemos que
q1 exerce uma força eletrostática repulsiva sobre q2 e
poderíamos, conhecidas as cargas e a distância entre elas,
determinar a força de interação. Porém permanece a
questão: Como q1 "sabe" da presença de q2?
Esta questão sobre ação à distância pode ser
explicada devido a presença de um campo elétrico,
criado no espaço em torno da carga q1. Em um dado
ponto P do espaço, o campo elétrico dependerá da
magnitude da carga q1 e da distância da carga q1 a P.
Quando colocamos q2 em P, q1 interage com q2, através
do campo elétrico em P.
Como um exemplo prático de ação à distância,
durante o vôo da espaçonave Voyager II em torno do
planeta Urano, sinais de comando eram enviados da
Terra para a espaçonave. Esses sinais enviados por ondas
de rádio, (um tipo de onda eletromagnética), eram
gerados por meio de oscilações de elétrons em uma
antena de transmissão na Terra. O sinal movia-se através
do espaço e era recebido pela espaçonave somente
quando elétrons na antena receptora da nave oscilavam,
2,3 h depois do sinal ser enviado pela Terra. O sinal se
propaga pela velocidade c da luz no vácuo. Este e muitos
outros exemplos mostram que a eletricidade, o
magnetismo, a ótica podem representar juntas uma
maneira conjunta de se explicar um fenômeno.

O vetor r identifica o ponto genérico do
espaço P(x, y, z).



O vetor R r r de Q a P.
Podemos ainda escrever:
 
E (r )

Qr

4 0r

r

r
3
Ou:
 
E (r )
Q x x aˆ x
4
0
x x
y y aˆ y
2
y y
2
z z aˆ z
z z
2 32
1
O campo devido a n cargas pontuais Q1


localizada em r1 , Q2 localizada em r2 ,..., Qn

localizada em rn será dado por:
 
Q1
Q2
Qn
E (r )
  2 aˆ1
  2 aˆ2  4 r r aˆn
4 0 r r1
4 0 r r2
0
n
n
 
Qm
E (r )
  2 aˆ m
rm1
m 14
0 r
Esse resultado é conhecido como o princípio
da superposição, que veremos adiante.
Figura 2 – (b) Carga de prova na presença de um
campo elétrico.
++++++++++++
Objeto carregado
a)
F
+
Carga teste
++++++++++++
b)
E
P.
Campo elétrico
em P
O Campo Elétrico:
O campo elétrico é um campo vetorial:
consiste de uma distribuição de vetores, um em cada
ponto da região em torno de um objeto carregado. Em
princípio, definimos o campo elétrico quando colocamos
uma carga teste ou carga de prova q0 em uma região do
espaço próxima a um objeto carregado, em um ponto P,

E
como mostra a figura 2 (a):

R

r

r
P(x, y, z)
Q(x’, y’, z’)

r

r
O (Origem)
Figura 2 – (a) Cálculo do campo em P (x, y, z).
 
E (r )
Q
 
4 0r r
2
 
r r
 
r r
Mede-se a força eletrostática F que atua na
carga de prova. O Campo elétrico no ponto P devido
a presença do objeto carregado
 é definido por:
 F
E
q0
Aqui:

O vetor r localiza o ponto Q da carga .
1
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Tabela III – Valores de Campos elétricos típicos.
Campo
Na superfície de um
núcleo de Urânio
Átomo
de
Hidrogênio (órbita de
um elétron)
Acelerador
de
elétrons em um tubo
de TV
Baixa atmosfera
Figura 3 – Representação das linhas de força de uma carga
elétrica negativa.
A direção de E é a direção da força elétrica e o
sentido depende do sinal da carga do corpo carregado. A
unidade do sistema internacional (SI) para o campo
elétrico é o Newton por Coulomb (N/C).
Na figura a seguir ilustramos o sentido do
campo elétrico para dois corpos carregados com cargas
opostas:
Figura 4 – Campo elétrico de carga positiva e negativa.
P
P
E
E
+++
+++
--------Corpo carregado
Ou seja, o campo converge em P para o objeto
carregado negativamente e diverge em P para um objeto
carregado negativamente.
A força atuando entre duas partículas carregadas
era pensada como uma interação direta e instantânea
entre as partículas: A ação à distância era vista como:
Carga 1
Carga 2
Hoje, sabemos que o campo elétrico atua como
um intermediário entre as cargas, ou seja, a ação é
simbolizada por:
Carga 1
campo
Carga 2
A tabela a seguir ilustra alguns campos elétricos
existentes na natureza:
Dentro de um fio de
cobre em circuitos de
casa
Valor (N/C)
3, 0.1021
5, 0.1011
2
105
102
10 2
Linhas de Força - Linhas de Campo
Elétrico:
Michael Faraday introduziu a idéia de campo
elétrico no século XIX, através de linhas de força que
preenchiam o espaço ao redor de uma carga elétrica.
A relação entre as linhas de campo e o vetor campo
elétrico é:
1) Em qualquer ponto, a direção do campo
elétrico é o da tangente à curva de linha de força.
2) O número de linhas de força por unidade
de área, medida em um plano que é perpendicular às
linhas de força, é proporcional à magnitude do campo
elétrico E. Ou seja, se as linhas de campo estão mais
juntas, o campo é intenso, se estão mais distanciadas,
o campo é pequeno.
A figura abaixo ilustra as linhas de força
para cargas elétricas puntiformes de sinais iguais e de
sinais opostos.
Figura 5 – Linhas de força de cargas positivas (a) e
dipolo elétrico (b).
(a)
2
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
3
(b)
Observe que: O número de linhas de força que
saem da carga positiva é o mesmo que chegam à carga
negativa; as linhas de força não se cruzam em nenhum
ponto do espaço e convergem para a carga negativa,
divergindo para a carga positiva.
Equação das linhas de Força:
Observe que:
Ey
dy
dx
Observe que as únicas regiões possíveis do
campo elétrico resultante se anular estão à direita da
carga -2q (carga 2) e a esquerda da carga +8q (carga
1). Assim temos:
  


E
E
E
 1  2
Em módulo temos: E1
E2 . Chamando a
distância do ponto à carga 1 de x, teremos:
k
Ex
O campo elétrico de uma carga pontual é dado
por:
E
k
q
r2
Onde q é o valor da carga, r é a distância do
ponto à carga elétrica.
Se tivermos diversas cargas puntiformes
q1,q2,...,qn , o campo elétrico resultante em um ponto P
do espaço é dado
 pelo princípio

da superposição:

ERP E1 E2 E3 ... En
Exemplo 1 - A figura abaixo mostra uma carga
+8q na origem do eixo x e uma carga -2q localizada em
x=L. Em que posição o campo elétrico resultante se
anula?
2q
k
x2
(x
L)2
0
(
x
x
L 2
)
1
4
x
2L
Exemplo 2 - O núcleo de um átomo de
Urânio têm raio igual a 6,8 fm (Fermi) . Assumindo
que a carga positiva no núcleo está distribuída
uniformemente, determine o campo elétrico num
ponto da superfície do núcleo devido a esta carga.
O núcleo tem uma carga positiva Ze, onde o
número atômico Z para o átomo de urânio é de Z=92,
e e 1, 6.10 19 C é a carga de um próton. Se a carga
está distribuída uniformemente, a força eletrostática
sobre uma carga de prova na superfície do núcleo é a
mesma se toda a carga nuclear estivesse concentrada
no centro nuclear. Então:
E
Figura 6 – Distribuição de cargas do Exemplo 1.
8q
E1 E2
1
4
Ze
0
R2
9 , 0.109
92(1, 6.10 19 )
( 6, 8.10 15 ) 2
2 , 9.1021 N
C
3
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico

Campo Elétrico de um Dipolo Elétrico:
Duas cargas de mesma magnitude porém sinais
opostos formam um dipolo elétrico. O campo elétrico
num ponto P é dado por (Observe da figura):
Figura 7 – Representação de dipolo elétrico.
p
d
E
(-)
+
-
+q
-q
P
E
(+)
r
r
(-)
(+)
Chamamos de p o momento de dipolo
elétrico o produto q.d:


p qd
p possui sentido da carga negativa para a
positiva e direção do eixo do dipolo.
Distribuições de Carga:
Uma distribuição de carga consiste de muitas
cargas pontuais (bilhões) espaçadas ao longo de uma
linha, superfície ou volume. Desde que estas
distribuições são dita contínua e contém um número
enorme de cargas elétricas pontuais, o campo
elétrico é encontrado considerando cada carga da
distribuição. Nesse caso, é conveniente tratar o
problema com o auxílio da densidade de carga, que
pode ser de acordo com a tabela abaixo:
z
Nome
Símbolo
Carga
SI
Unidade
C
C/m
q
= L
Densidade de Carga
Linear
Densidade de Carga
Superficial
Densidade de Carga
Volumétrica
= S
C
= v
C
m2
m3
Aqui, escrevemos a densidade de carga
volumétrica por:
Q
v
lim
v
v
0
A carga total num volume finito é:
Q
v
dv
V
q
q
1 ]
E E( ) E( ) k
k
kq [ 11 2
2
1
2
2
(
z
d
)
(
z
2
2 d)
r( ) r( )
Após uma pequena álgebra, chega-se a:
q
E k [(1 d ) 2 (1 d ) 2 ]
2z
2z
z2
É interessante usualmente verificar os efeitos do
dipolo a distâncias grandes comparadas com suas
dimensões.
Assim,
suponha
que
d
Pode-se
z
d a grandes distâncias
1.
2z
expandir as duas quantidades no colchetes da equação
acima por:
q
E k [(1 d ...) (1 d ...)] d z
1
z
z
z2
Teremos o campo elétrico do dipolo dado por:
2qd
1 p
E k
3
3
2
z
0 z
Campo Elétrico devido a uma distribuição
de cargas:
 
E (r )
Q
 
4 0r r
 
E (r )
v
 
r r

r

r

r

r
2
v
4
0
2

r

r

r

r
Se somarmos as contribuições para todas as
cargas deste volume em uma dada região e
considerarmos o volume elementar dv’ tendendo a
zero a medida que esses elementos se tornam
infinitos, o somatório se torna uma integral:
 
E (r )
v
v
4

( r ) dv
 
r
0 r
2
 
r r
 
r r
A seguir, indicaremos os versores, elementos
de volume e transformação de coordenadas que
serão úteis na resolução de problemas.
4
4
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Elemento de Volume:
Coordenadas Cilíndricas
dv
Relações: P(, , z)
x
cos ; y
P(x,y,z):
sen ; z
Relações: P(x,y,z)
x2
y2
d d dz
z
P(, , z):
arctg
y
x
z=z
z
5
P
y

âz
â

âz
â
â y
â x
x
Relações
entre
versores
coordenadas cartesianas para cilíndricas:
Mostramos que:
aˆ x
aˆ y
Vetor deslocamento:

r
aˆ cos
aˆ sen
aˆ sen
aˆ cos
aˆ z aˆ z
yaˆ y
zaˆ z
cos aˆ x
sen aˆ y

r
aˆ
zaˆ z
zaˆ z
Diferenciando a relação acima, vemos
que:

dr
aˆ x cos
aˆ y sen
aˆ x sen
aˆ y cos
aˆ z aˆ z
Produtos escalares entre os sistemas
cartesiano e cilíndrico
â
xaˆ x
Diferencial do deslocamento:
Relações
entre
versores
das
coordenadas cilíndricas para cartesianas:
Manipulando as equações acima, veja que:
aˆ
aˆ

r
das
â
â z
sen
0
â x
cos
â y
sen
cos
0
â z
0
0
1
d aˆ
d aˆ
dzaˆ z
Coordenadas Esféricas
Relações: P(,r, )
x
P(x,y,z):
rsen sen ; z
r cos sen ; y
P(,r, ):
Relações: P(x,y,z)
r
x2
y2
arctg
arctg
r cos
z2
y
x
x2
y2
z
5
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
âr
z
â
P
r
â
y


âz
6
â y
â x
x
Vetor deslocamento:

r
xaˆ x
yaˆ y
zaˆ z

r raˆr
Exemplo 3 - Encontre o Campo elétrico resultante
sobre o eixo de um anel de raio R com densidade de
carga uniforme e positiva.
Diferencial do deslocamento:

dr
draˆr
rd aˆ
rsen d aˆ
Figura 8 – Anel de raio R com carga Q.
Relações
entre
versores
coordenadas cartesianas para esféricas:
Veja que:

r
raˆr
raˆr
xaˆ x
r cos sen aˆ x
aˆr
cos sen aˆ x
yaˆ y
das
zaˆ z
rsen sen aˆ y
sen sen aˆ y
r cos aˆ z
cos aˆ z
Da figura, veja que:
aˆ
cos cos aˆ x
cos sen aˆ y
sen aˆ z
E:
aˆ
aˆ
aˆ r
sen aˆ x
cos aˆ y
cos cos aˆ x cos sen aˆ y sen aˆ z
aˆ
sen aˆ x cos aˆ y
cos sen aˆ x sen sen aˆ y cos aˆ z
Produtos escalares entre os sistemas cartesiano e
esférico
â r
â
â x
sen cos
cos cos
â y
sen sen
cos sen
â z
cos
sen
â
sen
cos
0
Elemento de Volume:
dv r 2sen drd d
6
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
(Young & Freedman, Física III)
Cada elemento de carga se relaciona com a
densidade linear l por: dq
ds. Este elemento de
carga diferencial produz um vetor campo elétrico dE no
ponto P, dado por:
ds
dq
dE k 2 k
r
r2
Podemos escrever:
ds
dE k
, porém, somente a
2
(z
R2 )
componente do campo elétrico ao longo do eixo do anel
contribuirá para o campo elétrico resultante:
dE cos
k
ds z
ds
z
k 2
1
2 r
2
2
(z R )
(z R ) (z R2 ) 2
z ds
dE cos k 2 2 3
(z R ) 2
2
Seja o fio dividido em pequenos pedaços dy.
A carga dq em cada elemento será:
Q
L
dE cos
E
E
k
k
1
4
R2 )
3
ds
2
R2 )
dE x
dE y
Assim, com r
dE x
dE
dE y
dE
2
4
x2
dy
dy
r2
0
y 2 , teremos:
x
x2
y2
y
x
2
y2
Assim, teremos:
xdy
2
Q z
(z R 2 )3 2
Exemplo 4 – Seja um fio longo e carregado,
com densidade linear por unidade de comprimento.O
fio encontra-se sobre o eixo y. Deseja-se calcular a
intensidade do campo elétrico, devido ao fio, num
ponto P a uma distância r do ponto médio, como é
mostrado na figura:
1
dE
0
dE y
2
0
L
dE cos
dE sen
dE x
3
dy
O campo total em P terá componentes em x e
em y, de forma que:
z 2 R
(z2
1 dq
4 0 r2
dE
2 R
z
(z 2
dq
O Campo elétrico devido a este elemento de
carga será:
Para adicionar todas as componentes integra-se
sobre todos os elementos de campo:
E
dq
dy
4
0
x2 y2
ydy
3
4
0
x2
3
y2
Os campos totais serão dados pelas
integrais das expressões anteriores:
L
Ex
Ey
Figura 9 – Fio longo com densidade de carga linear ..
4
0
L
L
4
0
L
x
x2
y2
y
32
dy
x2
y2
32
dy
Calculando as integrais:
y x2
Ex
4
Ex
Ex
x x2
0
y2
y2
y
L
y
L
32
L x 2 L2
4
0
x x 2 L2
32
2L x 2
4
0
x x2
L x 2 L2
x x 2 L2
32
L2
L2
32
7
7
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Ex
2L
4
x x2
0
L2
Mostre que: Ey=0
Veja
que
L
x2
x
L2
se
L
Vamos calcular o campo elétrico em P como
o campo devido a contribuição de infinitos fios
colocados no plano zy:
As densidades superficial e linear de carga se
relacionam por:d
S
Então:
dQ
dA
2
0
L
dy
L
dE x
x
2
No livro do Hayt, a expressão mostrada idêntica é:

E
L
S
dy
Da figura observe que:
1
Ex
dQ
dy dz
L
2
aˆ
S
dE x
2
0
0
2
0
2
y
2
cos
dy
x
x2
y
2
x2
y
2
dy
S
dE x
8
dy
x2
S
dE x
Aqui:
 é a distância do fio ao ponto, perpendicular ao fio
(em coordenadas cilíndricas, se o fio estiver sobre o eixo
Oz, por exemplo).
â : vetor unitário que sai do ponto P que se quer
cos
0
0
x
2
y2
Fazendo
a
integração,
consideraremos a contribuição de todas as faixas:
calcular o campo elétrico.
Exemplo 5 – Um plano infinito
carregado com uma carga positiva Q distribuída
uniformemente sobre sua superfície no plano xy. A
densidade superficial de carga é S = . Encontre o
campo elétrico em P situado a uma distância a do
plano.
z
y´
dy’
S
Ex
2
0
S
Ex
x
2
x
2
x
2
2
dy
0
S
Ex
xdy
x
y
2
y
2
dy
x 2 1 yx
y
Fazendo: u
dy
x
xdu
S 1
Ex
2 0 x 1 u2
y
S
Ex
2
0
2
0
xdu
x
du
x 1 u2
Como:
du
1 u2
’
Ex
P(x,0,0)
x
 
dE , dE x
Ex
S
2
arctgu C
lim arctg
y'
0
y
x
lim arctg
y'
y
x
S
2
Ex
0
2
2
S
2
0
8
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico

r
Observe que se o ponto P estivesse no semieixo
Ox negativo:
S
Ex
2
0
Se definirmos um vetor sempre normal ao
plano:

E
S
2
aˆ N
0
Observações:
O campo é constante em módulo e direção.
Se uma segunda lâmina com mesma densidade
de carga, porém negativa, estivesse localizada no plano
paralelo ao anterior x = a teríamos na prática, um
capacitor plano, desde que desprezassem os efeitos de
borda. Nesse caso, o campo será dado por:

E

0; x
S
0
 
dE (r )
dQ
 
r
0 r
4

dE z (r )
aˆ
2 d
2
0 z
aˆ
2
 
r r
 
r r
2
4
9
z
S
2
aˆ x cos
z2
2
aˆ y sen
As componentes Ex e Ey são nulas. Mostre
isso integrando.
0
aˆ x ;0 x

0; x a
zaˆ z

r
aˆ
 
r r zaˆ z
 
r r
z2

E z (r )
a
Exemplo 6 – Um disco carregado com uma
carga positiva Q distribuída uniformemente sobre sua
superfície no plano xy. A densidade superficial de carga
é S = . Se o raio externo do disco é R, determine o
campo no eixo do disco.

E z (r )

E z (r )

E z (r )

E z (r )
2 zR
S
4
2
0
32
z2
0
d
R
2 z
S
4
1
2
0
z
S
2
R
z 1
2 0 z
2
z
1
z
2
1
S
2
0
1
0
S
z2
R
2
z2
z
1
R
0
2
z2
Observe que interessante: quando R tender a
infinito, teremos: teremos:

lim E z (r )
S
2
R

E z (r )
dQ
dQ
S
S
dA
dA
s
s
2 rdr
0
z
1 lim
R
R
2
z2
S
2
0
Ou seja, o campo do disco infinito fica
idêntico ao de um plano infinito, o que era
esperado!!!.
2 d
9
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
A Lei de Gauss:
Para compreendermos a Lei de Gauss,
precisamos entender o significado de fluxo elétrico.
A Lei de Gauss está centralizada no que
chamamos hipoteticamente de superfície gaussiana. Esta
superfície pode ser formada com a forma que quisermos,
porém é adequada aquela que apresentar as devidas
simetrias que o problema se apresenta. Por exemplo, uma
carga pontual possui linhas de força distribuídas
esfericamente; então a superfície gaussiana mais
adequada é uma esférica.
 Fluxo:
A Lei de Gauss relaciona o fluxo do campo
elétrico por uma superfície fechada com uma
distribuição de cargas que estão envolvidas por essa
superfície:
 
E.dA
Ou seja, se pega a componente paralela do vetor
v ao vetor normal à superfície A e multiplica-se pela área
A. Para definirmos o fluxo de um campo elétrico,
consideramos uma área A que representa uma superfície
gaussiana, sendo atravessada pelas linhas de campo
elétrico. Definimos por:
 
D dS
Teorema da Divergência
(Teorema Gauss):
Seja

F Fx (x, y, z)aˆ x Fy (x, y, z)aˆ y Fz (x, y, z)aˆ z
Seja S uma superfície contida numa região B, na qual
as derivadas parciais de Fx, Fy e Fz são contínuas e V
uma região limitada por B. Se â n é um vetor normal
exterior à S, então:

F aˆ n dS
Qi
Ou
S
 
FdV
S
S
 
E dS

D

E
0
0
Note que a carga q é a soma de todas as
cargas, positivas e negativas, interiores à superfície
gaussiana.
A Lei de Gauss permite provar um
importante teorema sobre condutores isolados:
Se um excesso de carga é colocado em um
condutor isolado, a carga irá se mover inteiramente
sobre a superfície do condutor, nenhuma carga irá se
encontrar no interior do corpo de um condutor.
Definimos como fluxo de um vetor v através de
uma superfície de área A o produto:

v.A vAcos
q
V
 
F dS
Qi
ou
S
0
 
FdV
V
Aplicando o Teorema de Gauss:
 
D dS
(Para o espaço livre).
Figura 1 – Fluxo através de uma superfície Gaussiana.
 
DdV
S
V
Como, da Lei de Gauss:
 
D dS
Qi
S
E para uma distribuição volumétrica de carga:
Qi
v
dV
V
Observe que:
 
D dS
S
 
DdV
v
V
 
D
dV
v
v
Exemplo 1 - Campo elétrico de uma carga
puntiforme: Imagine um superfície esférica que
englobe uma carga pontual q. Então:
O círculo na integração representa que a integral
deve ser feita sobre a superfície gaussiana fechada.
 
E dS
S
Qi
0
E.4 r 2
q
0
E
1
4
0
q
r2
10
10
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Figura 2 – Superfície Gaussiana esférica para calcular o
campo elétrico de uma carga puntiforme.
Figura 4 – Superfície Gaussiana cilíndrica envolvendo
o fio com densidade de carga linear. =L.

11
Exemplo 1 - Campo de um condutor plano
infinito de densidade de carga superficial s:
L
 
E dS
S
Figura 3 – Superfície Gaussiana cilíndrica para o cálculo do
campo de um plano carregado.
Escolhendo uma superfície gaussiana cilíndrica,
a carga q está na superfície do condutor: Note que o
campo elétrico possui sentido divergente. Então,
aplicando a Lei de Gauss:
 
E dS E. A ( E).( A) q0
Qi
E2
L
LL
0
E
1
2
L
0
0
Exemplo 3 - Esfera condutora de raio R
carregada com carga elétrica Q na superfície:
No seu interior o campo é nulo; para r > R
podemos imaginar que a superfície esférica gaussiana
engloba uma carga elétrica puntiforme Q:
Figura 5 – Superfície Gaussiana esférica envolvendo
uma casca esférica de raio R
S
E
S
2
0
Exemplo 2 - Campo elétrico de um fio infinito
de densidade de carga linear L .
Nesse caso, a superfície gaussiana adequada é
um cilindro de raio  qualquer:
E
0, se r R
Q
1
R
4 0 2 se r
r
Exemplo 4 - Distribuição esférica de raio R
de carga elétrica Q com densidade volumétrica v:
Devemos
imaginar
duas
superfícies
gaussianas, de raios r > R e r < R:
11
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Se r R
Se r R
 
E. dA
 
E. dA
q
E.4 r 2
0
q
0
E.4 r 2
4
3
r3 /
4
3
R3
0
0
E
E
3
3
0
0
r
(b) Plano carregado.
R3
r2
Figura 6 – Superfícies Gaussianas esférica envolvendo uma
distribuição volumétrica de carga de raios r > R (a) e r < R (b):
12
(c) Plano carregado de um lado.
Figura 7 – Superfícies Gaussianas para diferentes situações:
(a) Fio.
12
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Linhas de força:
13
Dipolo Elétrico

E
2 k pˆ
j
y3


p q L
  
p E
 
U
p E
13
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Lei de Gauss
14
 
E dS
S
Qi
0
14
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico

E
Campo Elétrico de distribuições de cargas
Q
4
 Fio Finito
x
0
x2 a
3
2 2
iˆ
 Disco Carregado
15

E
Q
R2
Q
2a

E
a
2
0
x x2 a2
 Fio Infinito
iˆ

de carga

E
2
0x
2
x
1
0
x
2
R
2
iˆ
Esfera oca carregada com densidade
Q
4 R2
iˆ
 Anel Carregado
15
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico

Esfera sólida carregada com densidade de
carga
Q

Plano infinito com densidade de carga
Q
A
4
R3
3
16

E
2
nˆ
0
 Capacitor plano infinito com densidade de
carga + e -
16
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Aplicações:
1.
Forno de Microondas:
Na água, as moléculas se encontram livres para
se mover relativamente às outras moléculas. O campo
elétrico produzido por cada dipolo afeta os outros
dipolos em sua volta. Como resultado, as moléculas
podem estar ligadas em grupos de dois ou três, devido
ao fim negativo de um dipolo (oxigênio) e ao fim
positivo de outro dipolo (hidrogênio) que se atraem.
Quando cada grupo é formado, a energia potencial
elétrica é transferida através de movimento térmico do
grupo e para as moléculas em volta. Quando ocorre a
colisão entre as moléculas, há a transferência inversa de
energia. A temperatura da água, que está associado com
o movimento térmico das moléculas, não muda, pois na
média, a energia transferida é zero.
Em um forno de microondas, porém, ocorre um
processo diferente. Quando está funcionando, as
microondas produzidas pelo forno produzem um campo
elétrico que oscilam rapidamente numa direção para
frente e para trás. Se há água no forno, o campo elétrico
oscilante exerce torques também oscilantes na molécula
de água, rodando continuamente para trás e para frente
alinhando seus momentos de dipolo com a direção do
campo elétrico. As moléculas que estão ligadas aos
pares podem se alinhar, porém aquelas ligadas em
grupos de três devem quebrar pelo menos uma de suas
três ligações.
As energias para quebrar essas ligações vêm do
campo elétrico, isto é, das microondas. Então as
moléculas que se separaram dos grupos podem formar
outros grupos, transferindo a energia que ganharam em
energia térmica. Então a energia térmica é adicionada à
água quando os grupos se formam, mas não é removida
quando os grupos se separam, aumentando assim a sua
temperatura.
Graças ao dipolo elétrico que a molécula de
água forma, é possível cozinhar alimentos a partir de
um forno de microondas.
As figuras abaixo ilustram a orientação de
um dipolo na presença de um campo elétrico
uniforme, a molécula de água e a energia associada à
rotação devido ao torque.
17
2. Tubo de Raios Catódicos.
Em 1897, J.J. Thompson, juntamente com
um grupo dos estudantes diplomado dele, tinha a
intenção de investigar o elétron. Ele projetou alguns
tubos que continham eletrodos dentro com o ar
evacuado dos tubos. Estes foram chamados “Tubos”
de Crookes nomeados mais tarde de “Tubos” de
Raios Catódicos. Foram executadas Experiências
nestes tubos nas quais atas voltagens geradas por uma
corrente elétrica passada entre os dois elétrodos.
Foram gerados raios como emanações procedidas do
elétrodo de Cátodo ao elétrodo de Ânodo.
Considerando que estas emanações originaram do
elétrodo de Cátodo que eles seriam chamados "Raios"
Catódicos. J.J. Thompson projetou alguns tubos
especiais que investigaram as propriedades destes
"Raios" Catódicos. Ele projetou um tubo que permitiu
Raios Catódicos imprensar contra uma tela de
superfície de Sulfeto de Zinco. Como os raios
imprensaram na superfície, emitiu uma faísca de luz
de forma que o caminho do raio invisível poderia ser
observado. Ele procedeu fazer um campo elétrico que
17
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
consiste em um prato positivo e um prato negativo perto
do vacinity dos Raios. Quando a corrente elétrica do
campo elétrico foi invertida, o caminho dos “raios” foi
mudado para longe do prato negativo e para o prato
positivo. Esta era uma indicação clara que deduziu que
os raios possuíam uma carga negativa. Uma sombra em
forma de cruz foi formada na frente do tubo. O único
modo que os “raios” pudessem lançar uma impressão de
sombra na parte de trás do tubo era se eles fossem além
do caminho de saída e formassem a cruz. Isto indicaria
fortemente que os teriam que possuir massa
Mas se os “raios” possuíssem massa que
significaria que eles não eram raios (pura radiação) e sim
partículas com uma massa finita! Outro tubo
experimental envolvendo uma roda de remo colocada no
caminho dos raios de cátodo resultado no movimento da
roda de remo quando a corrente foi invertida. Para que a
roda de remo seja usada para mover, os Raios teriam que
ter impulso passando para a roda. Isso significaria que o
assim chamou raios teriam que possuir impulso isto para
dar impulso a algum outro objeto. Estes “raios” eram na
verdade elétrons. Em 1891 um Professor chamado Stony
(Prof. de Eletricidade) investigava uma fonte de energia
para reações químicas. Ele sugeriu que uma corrente
elétrica fosse o resultado de partículas móveis que ele
sugeriu deveriam ser chamadas "elétrons".
Estas experiências definitivamente definiram os raios
como partículas atuais que têm uma carga de negativa e
uma massa finita. Em 1886, Professor Goldstein
executou experiências semelhantes que usam uma
superfície de cátodo perfurada. Isto produziu uma
partícula que possuiu uma carga positiva e uma massa
umas 2000 vezes mais que o elétron de Thompson. Esta
partícula foi chamada de próton. Considerando que
elétrons e prótons vieram da superfície de um objeto, é
lógico concluir que todo objeto está composto destas
partículas dentro dos átomos. É interessante notar que a
terçeira partícula subatômica do átomo não foi observada
até 1932 uns 35 anos depois da descoberta do elétron e o
próton.
A partícula tinha sido predita em 1920, mas não
foi descoberta até 1932, quando Chadwick observou
estas partículas neutras que ele chamou de nêutrons
enquanto executava uma série de experiências de câmara
de nuvem. Era o caminho de condensação dos nêutrons
semelhante para os rastros de jato que motores a jato
fazem quando a altitude que permitiu a observação
destas partículas. Como a chave para nossa compreensão
da química reside em nosso conhecimento dos elétrons e
prótons, a descoberta atrasada dos nêutrons não alterou o
quadro formado do átomo em 1932.
Em 1909, Robert Millikan executou a
experiência de gota de óleo legendária dele que lhe
permitiu determinar a magnitude exata da carga de
pólvora do elétron, 1.60 X 10-19 C. Mais cedo,
Thompson determinou a carga de pólvora para amontoar
relação do elétron, 1.76 X 108 coulomb / grama,
assim esta determinação da carga de pólvora por
Millikan permitiu a determinação da massa do
elétron, 9.09.10-28 gramas.
A experiência de J.J. Thompson demonstrou que
átomos estão realmente compostos de agregados de
partículas carregadas. Antes do trabalho dele,
acreditava-se que átomos eram distribuídos de
maneira uniforme. A primeira evidência ao contrário
veio quando as pessoas começaram a estudar as
propriedades de átomos em campos elétricos.
Se uma amostra de gás é introduzida na região entre
dois pratos carregados, um fluxo atual pode ser
observado e sugere que os átomos estiveram abaixo
quebrados em componentes carregados. Em 1897,
Thompson teve a intenção de provar que o cátodo
produziu que um fluxo de partículas negativamente
carregadas chamado elétrone.
3.
Impressoras jato de Tinta. (DeskJet).
4.
Experiência de Millikan.
Robert Andrew Millikan nasceu em 22 de
março, 1868, em Morrison. (EUA), como o segundo
filho do Reverendo Silas Franklin Millikan e Mary
Jane Andrews. Os avós dele eram da Velha ação de
Inglaterra Nova que tinha vindo para a América antes
das 1750, e era o colono pioneiro no Oeste Mediano.
Sua infância teve aspectos rurais e freqüentou a
escola secundária de Maquoketa (Iowa). Depois de
trabalhar pouco tempo como um repórter de tribunal,
ele entrou em Faculdade de Oberlin (Ohio) em 1886.
Durante seu curso de estudante universitário seus
assuntos favoritos eram gregos e matemáticos; mas
depois da graduação em 1891 levou, durante dois
anos, um posto pedagógico em física elementar. Era
durante este período que desenvolveu o interesse no
18
18
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
assunto no qual chegou a superar. Em 1893, depois de
obter o mestrado em física, foi designado Professor em
Física na Universidade de Columbia. Ele recebeu o Ph.D
depois (1895) na pesquisa da polarização de luz emitida
por superfícies incandescentes - usando para este
propósito ouro fundido e prata.
Na companhia de seus professores, Millikan
passou um ano (1895-1896) na Alemanha, nas
Universidades de Berlim e Göttingen. A convite de
Michelson, resolveu ficar assistente no Laboratório de
Ryerson recentemente estabelecido na Universidade de
Chicago (1896). Millikan era um professor eminente, e
atravessando os graus habituais ele se tornou o professor
naquela universidade em 1910, um posto que ele reteve
até 1921. Durante os anos em Chicago ele gastou muito
tempo preparando livros de ensino e simplificando o
ensino de física. Ele era autor ou co-autor dos títulos:
Um Curso de Faculdade em Física, com S.W. Stratton
(1898); Mecânica, Física Molecular, e Calor (1902); A
Teoria de Óptica, com C.R. Mann traduziu do alemão
(1903); Um Primeiro Curso em Física, com H.G. (1906);
UM Curso de Laboratório em Física para Escolas
Secundárias (1907); Eletricidade, Soe, e Light, (1908);
Físicas Práticas - revisão de UM Primeiro Curso (1920);
O Elétron (1917; rotação. eds. 1924, 1935).
Como um cientista, Millikan fez numerosas
descobertas, principalmente nos campos de eletricidade,
ótica, e física molecular. O sucesso principal dele era a
determinação precisa da carga de levada por um elétron e
usou o método “de gota de óleo”; ele também provou
que esta quantidade era uma constante para todos os
elétrons (1910), demonstrando assim a estrutura atômica
de eletricidade. Logo, ele verificou a equação
fotoelétrica de Einstein experimentalmente, e fez a
primeira determinação da constante h de Planck (19121915). Além dos estudos dos movimentos de Brownian
em gases acabaram toda a oposição com as teorias
atômicas e cinéticas. Durante 1920-1923, Millikan se
ocupou com trabalho relativo de espectroscopia dos
elementos (que explorou a região do espectro entre o
ultravioleta e radiação-X), estendendo assim o espectro
ultravioleta distante além do limite conhecido. A
descoberta da lei de movimento de uma partícula que se
cai para a terra depois de entrar na atmosfera da terra,
junto com as outras investigações dele em eletricidade, o
conduziu em última instância aos estudos significantes
de radiação cósmica (particularmente com câmaras de
ionização).
Ao longo da vida Millikan permaneceu um autor
prolífico e faz numerosas contribuições a diários
científicos. Ele não só era um cientista de ponta, mas a
natureza religiosa e filosófica era evidente nas
conferências e na reconciliação de ciência e religião e em
seus livros: Ciência e Vida (1924); Evolução em Ciência
e Religião (1927); Ciência e a Civilização Nova (1930);
Tempo, Importe, e Valores (1932). Logo antes a morte
dele ele publicou Elétrons (+ e–), Prótons, Fótons,
Nêutrons, Mésons, e Raios Cósmicos (1947) e a sua
Autobiografia (1950).
Durante a Primeira Guerra Mundial,
Millikan era o Více-presidente do Conselho de
Pesquisa
Nacional
e
estudou
dispositivos
meteorológicos. Em 1921, ele foi designado o Diretor
do Laboratório de Física no Instituto de Tecnologia
da Califórnia, Pasadena,; ele também foi Presidente
do Conselho Executivo daquele instituto. Em 1946
ele se aposentou deste posto. Millikan foi Presidente
da Sociedade Física americana, Vice-presidente da
Associação americana para o Avanço de Ciência, e
foi o sócio americano do Comitê em Cooperação
Intelectual da Liga de Nações, e o representante
americano ao Congresso Internacional de Físicas,
conhecido como o Congresso de Solvay, em Bruxelas
em 1921. Ele obteve os graus de doutor honorário de
vinte e cinco universidades, e era um sócio ou o sócio
honorário de muitas instituições instruídas no país e
no estrangeiro. Ele foi o Prêmio de Comstock da
Academia Nacional de Ciências, da Medalha de
Edison do Instituto americano de Engenheiros
Elétricos, da Hughes Medal da Sociedade Real de Grã
Bretanha, e do Prêmio de Nobel para Físicas 1923.
Ele também foi feito o Chefe da Legião de Honour, e
recebeu a Ordem chinesa de Jade.
Millikan era um jogador de tênis entusiástico, e
golfe também era um das recreações dele.
Millikan Greta Erwin Blanchard casado em 1902;
eles tiveram três filhos: Clark Blanchard, Glenn
Allen, e Max Franklin.
Ele morreu nos 19º de dezembro, 1953, em San
Marino, a Califórnia.
De Conferências de Nobel, Físicas 1922-1941.
O Aparelho:
Vários destes detectores Geiger-Müller
(GM) foram construídos em 1939 no laboratório de
física do Caltech para uso em estudos de raios
cósmicos. O exemplo acima possui aproximadamente
12 polegadas e é feito de cobre.
A etiqueta de papel identifica três datas: 2
de agosto de 1947; 25 de janeiro de 1948; e 8 de julho
de 1950. A data 1947 se refere para viajar de balão
vôos executados a latitudes diferentes do Texas para
Saskatoon. Um vôo típico levaria os instrumentos
para 70,000 a 80,000 pés. A data de 1948 data se
refere a experiências executadas em um B-29
bombardeiro que voa a 30,000 pés de Hudson Bay
19
19
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
para Lima, Peru. Robert Millikan e Neher estavam entre
o pessoal neste vôo.
Robert Millikan (1868-1950) era o Cientista de
América mais famoso dos anos vinte, e o segundo
americano receber o Prêmio Nobel em física. O
posterior foi premiado para as medidas da carga do
elétron (pelo Millikan, conhecido " experiência " da
gota) e por confirmar as equações de Einstein
experimentalmente para o efeito fotoelétrico. Em 1921,
Millikan deixou a Universidade de Chicago para
encabeçar o Instituto de Califórnia de Tecnologia em
Pasadena, recentemente criado. No CalTech, ele serviu
também como Diretor do Departamento de Física. A
pesquisa dele enfocou a natureza e origem de raios
cósmicos - Millikan cunhou o termo "raio" cósmico.
Estas investigações ajudadas demonstram a fonte
extraterrestre desta radiação e sua variação em
intensidade com latitude. Doado pelo Instituto de
Califórnia de cortesia de Tecnologia de Broto Cowan.
Exemplos Resolvidos: Livros Hayt e Sears &
Zemansky
Exemplo 1 – Uma carga positiva Q é distribuída
uniformemente ao longo de uma semi-circunferência de
raio a. Obtenha o campo elétrico
no centro de curvatura P.
aponta para o sentido negativo do eixo
y. A carga por unidade de
comprimento da semicircunferência é:
Q
e dE
a
porém dEy
k dl
a2
dE sen
k
d
a
k sen d
.
a
Portanto,
2k
a
Ey
/2
0
sen d
2k
[ cos ]0 / 2
a
Ey
2k
[ cos ]0 / 2
a
2k
a
20
2kQ
,
a2
Orientado de cima para baixo.
Exemplo 2 – Uma carga elétrica Q é
distribuída uniformemente ao longo dos quatro lados
de um quadrado. Dois lados adjacentes possuem a
mesma carga +Q distribuída ao longo desses lados.
(a) Supondo que os outros dois lados
possuam a mesma carga –Q distribuída, determine os
componentes x e y do campo elétrico resultante no
centro do quadrado. O quadrado tem lado a.
(b) Repita o cálculo supondo que os quatro
lados possuam a mesma carga Q distribuída.
(a) Ex = Ey, e Ex = 2Ecomprim. do fio
2
1
4
Q
0
x x
2
a
2
, onde x
Q
Ex
0
a
2
5/ 4
, carga Q
=
a
2
2Q
,
2
5
0a
2Q
,sentido ˆj.
2
a
5
0
(b) Supondo que todos os lados do quadrado
possuem a mesma carga, por simetria concluímos que
os campos elétricos fornecem uma resultante igual a
zero no centro do quadrado.
sentido
O campo elétrico da metade da esquerda da
semicircunferência na direção x
anula o campo elétrico da metade do lado
direito. O componente y restante
iˆ, E y
Exemplo 3 – (a) Determine a carga total
sobre a coroa anular da figura, sabendo que esta
possui uma densidade superficial de carga .
20
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
(b) Se a coroa anular está sobre o plano yz,
determine sobre o eixo Ox o campo elétrico E.
(c) Mostre que, para pontos sobre o eixo Ox
suficientemente próximos da origem, o módulo do
campo elétrico é aproximadamente proporcional à
distância entre o centro da coroa e o ponto considerado.
(d) Uma partícula puntiforme de carga –q e
massa m pode-se mover sobre o eixo Ox e é colocada
sobre o ponto x = 0,01R1 e a seguir liberada. Determine a
freqüência de oscilações da partícula.
d)
F
q
2
qE ( x)
f
1
2
2
1
R1
0
1
x
R2
q
1
2 0 m R1
mx
1
R2
Exemplo 4 – (a) Determine o campo elétrico
produzido por uma linha carregada com densidade
linear de carga uniforme L e comprimento a no
ponto P(x,y,z).
(b) Faça o limite em que a tende a infinito e
calcule o campo elétrico de uma linha infinita.
z
P(x,y,z)
2
(a) Q = A = ( R 2

r

r
R12 )
(b) Lembre que o campo elétrico de um disco, Eq.
(22-11), é dado por:
E
2
E ( x)
2
0
Fazendo a distribuição de cargas:
2
1 1/ ( R1 / x) 2 1
x ˆ
i
x
1/ ( R2 / x)2 1 1/ ( R1 / x) 2 1
x ˆ
i.
x
1 1/ ( R2 / x)2 1
0
x
0
c)
1 / ( R1 / x) 2 1
Note que
x
1 ( x / R1 ) 2
R1

E ( x)

E ( x)
x
1 1/ ( R / x) 2 1 .
Portanto,

E ( x)
y
2
2
1/ 2
( x / R1 ) 2
x
1
R1
2
0
x
R1
x
R2
0
1
R1
1 x2 ˆ
i,
R x
L
a
2
a
2
z
O Campo elétrico é dado por:
 
E (r )
Q
 
4 0r r
2
dz
 
r r
2
 
dE(r )
L
4
x ˆ
i
x
e considerar pontos suficientemente próximos
significa que (x/R1)2 << 1.
Q
a

r

r

r

xax

r
0
yaˆ y

r

r

r

r

r

r

r

r
zaˆ z
z aˆz


r xax yaˆ y z z aˆz

2
r
x2 y 2 z z
21
21
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
 
dE (r )
4
0
 
r r
 
dE (r )
3
x
0
2
y
2
3
2
z z

xax yaˆ y
z z aˆ z dz

xax yaˆ y
z z aˆz dz
a
2
 
E (r )
L
a
2
4
x2 y 2
0
a
2
 
E (r )
3
2
z z
dz
x2 y 2
a
2
a
2
2
z z
3
4
x
2
y
a
2
2
x2 y 2
3
4
2
x
2
a
2
y
x
x
2
y
x2
2
x2
z z
x
z
2
a
2
a
2
z z
a
2
a
2
a
2
x2 y 2
x
2
y
x
y
2
3
z z
2
3
x
y
2
x2 y
x
2
2
sec2 d
1 tg
a
2
a
2
2 32
y
y
1
x2 y 2
1
z z
2
3
y2
y2
z z
y2
sec2
2 32
a
2
x2
a
2
a
2
x2 y 2
a
2
a
2
x2 y 2
y2
dz
32
sec2 d
sec3
a
2
sen
2 32
sec2 d
a
2
2 12
x2 y 2
y2
z z
1
2
z z
3
2
z z
x2
dz
x2
2
x2 y 2
z z
y2
x2 y 2
2
z z
3
2
x
z z
z
1
y
2
x2
z
a
2
z
a
2
2
a
2
y2
z
a 2
2
a
2
d
sec
a
z
2
dz
2
2 32
x
z z
2
a
2
a
2
2
3
dz
2
x2
x2 y 2
z z
2
x2
a
2
x2 y
dz
a
2
a
2
2
3
dz
a
2
y2
1
x2
sen
sec2 d
dz
x2 y 2
2
x2
dz
1
y2
z z
y
z tg
y2
z z
2
Chamando de:
tg
22
tg 2 1
z z
sen
z z
1
1
tg 2
tg 2 1
tg
sen
2 32
1
sec2
1
sec2
1
1
2
tg
1
2
tg
1 1
2
tg
1
dz
a
2
a
2
x
1
sen2
2 32
y
x a
2
sen
2
sen2
sen 2
z z
2
1
sen2
aˆz {1}
x2 y 2
a
2
2 32
cos2
dz
3
1
sen2
0
a
2
z z
2
z z
0
L
dz
x2 y 2
1
3
sen 2
2
z z
dz

xax yaˆ y
L
z z dz
a
2
a
2
a
2
L
4
a
2
 
r r dz
L
x
a
2
y
2
{a}
z
a 2
2
A outra integral será:
cos d
a
2
2
a
2
a
2
a
2
z z dz
x
2
y
2
z z
z
a
2
z
a
2
1
2
3
x
2
y
2
z z
2
22
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
1
x
2
y
Limite de um fio infinito:
Se imaginarmos que o fio é muito comprido:
1
2
a 2
2
z
x
2
{b}
2
y
 
E (r )
a 2
2
z

a lim
L
4
0
a
2
z
a
2
z
Substituindo {a} e {b} em {1}:

E (r )

xax yaˆ y
L
4
0
a
2
z
1
x2 y 2
x
2
y
z
1
x
2
y
2
z
aˆ
aˆ
y
y
2
z
a
aˆz
L
2
4
2
z
a 2
2
2

a
L
4
0
coordenadas
z
2
2
0
2
z
2
0
23

a
0

a
0
P(x,y,z)
a 2
2
2

r
a 2
2
z
aˆz
L
4

r
a
2
z
a 2
2
z
4
z
a
2
z
L
aˆz
L
0 0
L
2
aˆz
0
Exemplo 5 – (a) Determine o campo elétrico
produzido por um plano quadrado de lado a carregada
com densidade superficial de carga uniforme S e
comprimento a no ponto P(x,y,z).
(b) Faça o limite em que a tende a infinito e
calcule o campo elétrico de um plano infinito.
1
a 2
2
4
4
a 2
2
z
2

E (r )
1
sen aˆ y
a 2
2
z
L
1 1

E (r )
aˆ cos
aˆ sen
aˆ sen
aˆ cos
aˆ z aˆ z

cos ax
2
1

E (r )
0
para
1
lim
a 2
2
2
1
 
E (r )
z
a 2
2
2
aˆ x cos
aˆ y sen
aˆ x sen
aˆ y cos
aˆ z aˆ z
aˆ x
aˆ y
4
x
transformar
x y
cos
sen
x
y
2
x
2
L
a 2
2
1
a 2
2
Podemos
cilíndricas:

E (r )
a
2
z
2
a
2
z
a 2
2
a/2
0
a/2

cos ax sen aˆ y
L
2
4
z
2
0
1
2
 
E (r )
4
a 2
2
2

a
z
2
0
z
a 2
2
2
z
z
z
z
a 2
2
4
a 2
2
2
a 2
2
2
z
a 2
2
z
4
(a) Fazendo a distribuição de cargas:
S
aˆz
L
a 2
2
x
0
a
2
1
y
a 2
2
aˆ z
L
a
2
1
2
z
a
2
z
1
z
L
a
2
0
a
2
a
2
Q
A
a
2
a
2
y
x
O Campo elétrico é dado por:
 
E (r )
Q
 
4 0r r
2
 
dE (r )
dx dy
 
4 0r r
3
S
 
r r
 
r r
 
r r
23
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico

r

r

r

r

r

xax

r
yaˆ y
x aˆ x
 
dE (r )
 
r r
0
3
4
y aˆ y
y
2
x x
0
ln
y
2
y
z
 
E (r )
a
2
4
a
2
0
a
2
a
2
x x dx dy
S
y
2
y y
y dx dy
2
x x
a
2
2
x x
a
2
y
2
y
4
a
2
2
x x
a
2
y y
4
y
2
4
x x
a
2
y
y
2
4
y
a
2
0
2
y
z2
x x
z
 
E (r )
0
a 2
2
x
a
2
y
a
2
2
y
y
2
0
x x
a
2
2
y
y
2
z
2
0
z2
z2
x
S
z x
a
2
y
y
2
z2
x
a
2
a
2
x
x x
0
a
2
a 2
2
y
y
2
z2
2
a 2
2
y
z2

dy ax

dx a y
a 2
2
x
a 2
2
y
a 2
2
x
a
2
a 2
2
y
y
y
y
2
z
2
a
2
a 2
2
2
y
y
y
a 2
2
x
a 2
2
y
a 2
2
2
x x
2
z2
y
a
2
y
a
s
x
a
2
x
a
2
z2
z2
ln
y
a
2
y
a
2
a 2
2
z2
y
a 2
2
2
x
a 2
2
x
a 2
2
z
x
a 2
2
z2
x
a 2
2
2
y
a 2
2
x
z2
y
a 2
2
2
z2
y
y
y
x x
y
z
z
a
2
y
a 2
2
z2
2
2
a 2
2
z2
y
2
z
a
2
y
a 2
2
x
a 2
2
z2
a
2
y
a 2
2
x
a 2
2
z2
x
a
2
0
a 2
2
a
2
x
z
a
2
a 2
2
x
ln
y
a
2
y
a
2
z
x
x
a 2
2
x
a 2
2
a
2
x
y
a 2
2
a
2
x
y
a
2
y
a
2
ln
2
y y
y
a 2
2
z2
y
a 2
2
z2
x
a 2
2
z2
y
a 2
2
x
a 2
2
z2
y
a
2
y
a 2
2
a
2
x
a 2
2
x
x
a 2
2
x
a 2
2
z2
a
2
y
a 2
2
z2

ax
y
a 2
2
z2
y
a 2
2
z2
a
2
y
a 2
2
x
a 2
2
z2
x
a
2
y
a 2
2
x
a 2
2
z2
a
2
x
a 2
2
x
Arctg
z
a
2
y
a 2
2
a
2
x
z2
y
a 2
2
x
y
a
2
y
a 2
2
y

ay

az
y
x
z

az
z2

ax
a 2
2
a
2
z2

ay

az
z2
(b) Observando que quando o valor de a
tende a infinito:

lim E (r )
a
S
4
S
4

dy az
0
a
2
0
S
4
a
2
ln
Arctg
z2
a
2
ln
0
Arctg
a
2
2
a
2
2
a
2
a2 4
z 2a 2 4 z 2
a2 4
z 2a 2 4 z 2
2
a
2
2
a
2
2
a

2
ax
2
a
2
a
2
ln
a
2
a
2
ln
a
2
Arctg
Arctg
2
a
2
2
a
2

ay
a2 4
z 2a 2 4 z 2
a
2
y y
a 2
2
a 2
2
x
z
ln
a
2
y
x
Arctg
a
2

ay
x
a
2
x
ln
z2
y
z
Arctg
a 2
2
y
2
a
2
y
z2
y
y
2
24
a
s
y
a
2
y
z
x
a 2
2
z2
x x
z

ax
a
2
2
x
x

ay
a
2
y
2
x
2
Arctg
y

ax

dy az
Arctg
2
a
2
a
2
a 2
2
a 2
2
y
y
x
a 2
2
y
a
2
x
0
ln
x
a 2
2
x

dy az
z2
a 2
2
y
y y
y
Arctg
a
2
1
a 2
2
y
z x
a
2
4
2
1
S
4
y
y
a
2
z
4
1
y
a
2
S
1
S
4
y
Arctg
a
2
x
a
2
x
S

dx a y
z x x
S
x
ln
4
S
4
2
x x
y y
a 2
2
x
0

E (r )
a
2
x
x
a
2
ln
0
0
4
a
2
1
2
z
S
a
2
x
z
a
2
2
y y
a
2
y
x x
S

dy ax
z2
a 2
2
x
a
2
y
y
z
y
y y
a 2
2
x
y
ln
Arctg
y
a
2
0
2
x x
a
2
0
ln
x
x x
0

E (r )
x
S
4
z
2
z2
0
Arctg
4
aˆ
32 z
2
z
2
y
S
ln
S
1
S
4
2
a
2
 
E (r )
y
Arctg
zdx dy
ln
y
4
a
2
z2
z x
0
S
a
2
y
2
a
2
0

ax
aˆ
32 y
2
z
32
z2
2
x x
S
4
a
2
z2
z x
a
2
S
a
2
2
y y
dx dy
32
2
a 2
2
y
y
zaˆ z
a 2
2
x
x x
 
E (r )

x x ax
S
z2
y y
0
zaˆz
2
y y
ln
0
 
r r dx dy
S
4
S
4
S
4
y y aˆ y
2
x x
 
E (r )
y aˆ y

x x ax
 
dE(r )
zaˆ z

az
a2 4
z 2a 2 4 z 2
24
a
2
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico

lim E(r )
S
4
S
4

ln 1 ln 1 ax
S
4
a
0

ln 1 ay
ln 1
0
4 Arctg
0

lim E(r )
S
4
a

lim E (r )
4

az
a2 4 
az
z 2a 2
4 Arctg
0
S
a
a2 4
z 2a 2 4 z 2
Exemplo 22-6 – Uma carga positiva q1 = +
8nC está na origem e uma segunda carga q2 = +12nC
está sobre o eixo dos x em a = 4m. Calcular o campo
elétrico resultante (a) no ponto P1 sobre o eixo dos x
em x = 7m e (b) no ponto P2 sobre o eixo dos x em x
= 3m.
4 Arctg
0
2a 
az
4z
Fazendo a expansão por séries de potências para a
função arco-tangente, teremos:

2 2 z 16 2 z 3

S
lim E (r )
4
 az
3
a
4 0
2 a
3a
25
Considerando apenas o primeiro termo:


S
lim E (r )
4
az
a
4 0
2

lim E(r )
S
2
a

az
0
Então, para um plano infinito carregado, teremos:

E (r )
S
2


az
2
Assim:
Exemplos Resolvidos: Tipler.

E
Exercício – Que força sofre um elétron
colocadao num ponto onde o campo elétrico é

E 4 10 4 iˆ

N
C
Solução:

F

(a) Cálculo de E no ponto P1:
r1,0 x 7m
1.6 10 19 4 10 4 iˆ
6.4 10 15 iˆ N

E
iˆ e r̂2,0 iˆ .
3m
k q2
rˆ2,0
2
r2,0
k q2 ˆ
i
x a
9 109 8 10 9 ˆ 9 109 12 10
i
72
32

E 13.5 iˆ CN

(b) Cálculo de E no ponto P2:
r1,0 x 3m
r2,0 a x 4 3
 k q1
E
rˆ1,0
r1,02
 k q1
E
iˆ
x2
?


F q0 E
r̂1,0 iˆ e r̂2,0 iˆ . No ponto P2: r̂1,0
r2,0 x a 7 4
 k q1
E
rˆ1,0
r1,02
 k q1
E
iˆ
x2
aˆ N

na direção x. Qual o campo elétrico E nesse ponto?
 Solução:

 F 2 10 4 iˆ

E
E
4 10 4 iˆ CN
9
q0
5 10
k qi
rˆi ,0
ri 2,0
apontam para a direita, na direção dos x positivos: iˆ .
0
Exercício – Quando uma carga de 5nC é
colocada numa região, experimenta uma força de 2.10 -4N
n
i 1
0
S

E
No ponto P1 os dois vetores unitários
Veja que é o mesmo resultado que chegamos
anteriormente:

E
Solução:
9
iˆ
1m
k q2
rˆ2,0
2
r2,0
k q2
a x
iˆ
9 109 8 10 9 ˆ 9 109 12 10
i
32
12

E 100 iˆ CN
9
iˆ
25
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Exercício – Determinar o ponto sobre o eixo

dos x onde E é nulo.
 Solução:

E
k q1
rˆ1,0
r1,02

E
k q1 ˆ
i
x2
k q2
rˆ2,0
2
r2,0
k q2
x a
2

E2

E2

0
iˆ 0 iˆ

Er

Er
x 1.80m
4
5
3
5
4 ˆ
3 ˆ
4.32
i 4.32
j
5
5
3.46 iˆ 2.59 ˆj CN

 
Er E1 E2
8 ˆj 3.46 iˆ 2.59 ˆj
sen

Er
cos
3.46 iˆ 10.6 ˆj

Er
Ex2 Ey2
3.462 10.62

Er
11.2
arctg
Exemplo 22-7 – Determinar o campo elétrico
sobre o eixo dos y em y = 3m do sistema de carga
mencionado no Exemplo 22-6.
 Solução:
Sobre o eixo dos y o campo elétrico da carga q1
está sobre o eixo dos y e o campo elétrico da carga q2 faz
um ângulo com o eixo dos y. Assim:

E1

E2
E2

E1
k q1 ˆ
j
y2
8 ˆj
N
C
Ey
Ex
10.6
3.46
0
108
arctg
Exemplo 22-8 – Uma carga +q está em x = a
e uma segunda carga -q em x = -a. (a) Calcular o
campo elétrico num ponto arbitrário sobre o eixo dos
x com x > a. (b) Calcular o limite do campo elétrico
quando x for muito maior que a.
N
C
E2 sen iˆ E2 cos
k q2
r2
26
N
C
ˆj
9 109 12 10
52
4.32 CN
9
E2
E2
26
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico

Solução:

(a) Calculo de E num ponto arbitrário
terminam nas esferas. Portanto as duas cargas são
positivas e de valores iguais.
sobre o eixo dos x com x > a.

E
k q
2
x a

E
k
iˆ
x a
1
k q
1
k q
2
k q
x a
2
x a
x a

E
iˆ
2
4 a x
x
2
a
2 2
x a
iˆ

v0
o elétron percorre até ficar momentaneamente em
repouso?
2
x a
2
2

E 1000 iˆ CN com uma
2 106 iˆ ms . Que distância
campo elétrico uniforme
velocidade inicial
x a

E
Exemplo 22-10 – Um elétron entra num
q
2
iˆ
27
iˆ
(b) Calculo do limite do campo elétrico
quando x for muito maior que a.

E
4 a k q ˆ
i
x3

Solução: O deslocamento será dado
pela equação de Torricelli:
v 2 v02
2 a
x
A aceleração é calculada pela 2a Lei de
Newton:
a
x
Exemplo 22-9 – As linhas de campo elétrico de
duas esferas condutoras aparecem na figura 22-21. Qual
o sinal relativo das cargas e qual o valor relativo de
ambas?
x
F
m
e E
m
v2 v02
2 e Em
9.11 10
31
m v02
2 e E
2
2 106
2 1.6 10 19 1000
x 1.14 10 2 m
Exemplo 22-11 – Um elétron entra num
campo elétrico uniforme

E

6
uma velocidade inicial v0 10 iˆ
2000 ˆj
m
s
N
C
com
perpendicular
ao campo. (a) Comparar a força gravitacional que
atua no elétron à força elétrica no campo. (b) De
quanto será desviado o elétron da horizontal depois de
ter avançado 1 cm na direção x ?

Solução: A carga elétrica será positiva
se o número de linhas de força que nelas principiam for
maior que o número de linhas de força que nela
terminam. A razão entre as cargas é igual à razão entre o
número líquido de linhas de campo que principiam ou

Solução: (a) Comparação da força
gravitacional que atua no elétron à força elétrica no
campo:
Fe
Fg
e E
m g
1.6 10 19 2000
9.1 10 31 9.81
27
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Fe
Fg
3.6 1013
1
a t2
2
x 10 2
t
t 10 8 s
6
v0 10
1 e E 2
y
t
2 m
1 1.6 10 19 2000
y
10 8
31
2
9.1 10
y 1.76cm
(b)
y

3.28 10 27 N m
(b) energia potencial do dipolo no campo.
2
U
U
U
 
p E
 
p E cos
28
0.02 1.6 10 19 10 9 3 103 cos 20
U
9.02 10 27 J
Exemplo 23-1 – Um fio carregado possui
densidade de carga linear
4.5nC m . Calcular
o campo elétrico no eixo y usando a expressão exata:
Ey
Exemplo 22-12 – Um dipolo de momento de
0.02 e.nm faz um ângulo de 30° com um campo elétrico
uniforme de elétrico uniforme
3 103
N
C
. Calcular (a)
Solução: (a)
(a)
Ey

0.02 3 103 sen20
Ey
Ey
2
L
y2
1
2
2 k
y
2 9 109 4.5 10
1 10 2
(b)
  
p E

 
p E sen
1
2
L
(a) em y = 1cm; (b) em y = 4 cm;
(c) em y = 40 cm;
(d) calcule o campo elétrico em y = 1cm
assumindo a distribuição de carga linear ser infinita.
(e) calcule o campo elétrico em y = 40cm
assumindo a distribuição de carga ser uma carga
pontual.
 Solução:
o torque do campo sobre o dipolo e (b) a energia
potencial do dipolo no campo.

1
2
2 k
y
1
2
9
2
L
1
2
1
2
7.93 kN C
Ey
2 k
y
1
2
1
2
9
2
0.012
L
2
L
1
2
1
2
y2
0,1
0,1
Ey
2 9 109 4.5 10
4 10 2
L
y2
0.1
0.1
2
0.042
Ey 1.58 kN C
(c)
Ey
2 k
y
1
2
1
2
L
L
2
y2
28
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Ey
2 9 109 4.5 10
4 10 1
Ey
9
1
2
1
2
0.1
(e)
0.42
Q
9

Ep
Q 4.5 0.1
Q 0.45nC
k
L
Ey
2
y
Ey 25.3 N C
1
2
1
2
L
Decomposição do vetor:
2.88 0.8 iˆ 2.88 0.6 ˆj kN C

Ep 2.3 iˆ 1.73 ˆj kN C
  
Er Ep EL

Er 2.3 iˆ 1.73 ˆj 2.70 iˆ

k N
Er 5 iˆ 1.73 ˆj
C

E
5.29 kN C
L
2
Ey
y
29
r
yL
2
Se reduz a :
Ey
2.88 rˆ kN C
Campo resultante:
L
2 k
y
2.70 iˆ kN C
Campo elétrico devido à carga elétrica
puntiforme:

Ep
Ey
Exercício - Mostre que quando
Ey
2
25.1 N C
2 k
y
2 9 109 4.5 10
Ey
1 10 2
Ey 8.09 kN C
(d)

EL
0.1
19.1
k Q
y2
Exemplo 23-3 – Um disco está carregado
uniformemente e possui densidade de carga
2
k Q
y2
Exemplo 23-2 – Uma distribuição de carga
consiste em um fio infinito que possui densidade de
carga linear
0.6 C m ao longo do eixo z e uma
4 C m .
superficial
Utilizando
aproximações razoáveis, encontre o campo elétrico
no eixo do disco à distância:
(a) 0.01cm (b) 0.03cm (c) 6 m (d) 6 cm
carga pontual q 8 C sobre o eixo y em y = 3m.
Calcular o campo elétrico no eixo x em x = 4m.
 Solução:
Campo no eixo x do disco:
Ex
2
k
x
1
x
2
R2
Para distâncias próximas ao disco, utilizamos
a equação do campo elétrico devido a um plano
infinito.
(a) x = 0.01cm
 Solução:
Campo devido à densidade de carga linear:

EL
2 k
y
iˆ
Ex 2 k
Ex 226 kN C
(b) x = 0.03cm
Ex
2
k
29
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Ex
(b) Fluxo através da superfície lateral do
226 kN C
(c) x = 6 m
Para distância muito grande, podemos
aproximar o disco como uma carga puntiforme:
k Q
Ex
R2
A Q
Q 31.4nC
Ex 7.84 N C
Q
cilindro:

El
nˆl
(c) O fluxo total é a soma de todos os fluxos:
T
l
e
d
2
3.14 N .m C 2
T
2
R
(d) A Lei de Gauss dá a carga no interior do
cilindro:

ˆ
E
 ndA
T
(d) x = 6 cm
Ex

El nˆl A 0
l
Q
2
k
x
1
2
x
52.4 kN C
Ex
Q
R
2
Q
para x < 0. Um cilindro de 20 cm
de comprimento e raio R = 5 cm tem seu eixo na origem
e extremidades em x = -10 cm e x = + 10 cm.
(a) Qual o fluxo em cada face ?
(b) Qual o fluxo através da superfície lateral do
cilindro?
(c) Qual o fluxo líquido para fora através da
superfície fechada do cilindro?
(d) Qual a carga líquida no interior do cilindro?
 Solução:
(a) Cálculo do fluxo através da base direita:
com
Cálculo do fluxo através da base esquerda:
d
e
e

Ee nˆe A
200 iˆ
iˆ
plano infinito, com a densidade superficial de carga
4.5 n C m 2 está em um plano paralelo a yz
em x = 2 m. Calcular o campo elétrico:
(a) em x = 1.8 m.
(b) em x = 5m.
 Solução:
(a) em x = 1.8 m, o campo de cada plano
tema direção do eixo x positivo:

ER
0.05

ER
2
iˆ
0
2
C
4.5 n C m 2 está no plano yz, e um outro

ER
1.57 N .m2 C 2
d
11
2.78 10
Exemplo 23-5 – Na figura, um plano infinito
a
densidade
de
carga
superficial

Ed nˆd A
d
200 iˆ iˆ
0.052
d
0
Q 3.14 8.85 10 12
Exemplo 23-4 – Um campo elétrico é dado por

E 200 iˆ N C
T
30
0
s

ER

E

E
iˆ
0
2
iˆ
0

ER
4.5 10 9 ˆ
i
8.85 10 12
N
508 iˆ
C
1.57 N .m2 C 2
30
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
  
E Ee Eq
 k Qe
Ee
iˆ
re2P
(b) em x = 5m, os campos possuem direções
opostas:

ER

ER
2

ER

E

E
iˆ
0
2
N
0 iˆ
C

Ee
iˆ
0

Ee
Exemplo 23-6 – Uma esfera de raio R = 3 m
tem o seu centro na origem e é portadora de uma
densidade superficial de carga
3n C m2 . Uma
carga puntiforme q = 250 nC está sobre o eixo dos y, em
y = 2m. Determinar o campo elétrico, no eixo dos x, em
(a) x = 2 m e (b) x = 4 m

Solução:
(a) No interior da esfera carregada, o campo
elétrico devido à esfera é nulo e o campo elétrico
resultante é apenas devido à carga elétrica q:

E
k q
rˆ
r2
 9 109 250 10 9
E
rˆ
22 22

N
E 281 rˆ
450
C
(b) No exterior da superfície esférica, o campo
elétrico resultante é a soma vetorial do campo devido à
esfera e devido à carga q:

Eq

Eq
k
4
re2P
R2 ˆ
i
9 109 3 10 9 4 32 ˆ
i
42

Ee 190 iˆ N C
k q
cos iˆ sen ˆj
rq2P
9 109 250 10
9
4 ˆ
i
20
2
20

Eq 100 iˆ 50 ˆj N C

E 190 iˆ 100 iˆ 50 ˆj

E 290 iˆ 50 ˆj N C

E
Ex2 Ey2

2
E
2902
50

N
E 294.3
C
Ey
arctg
Ex
31
2 ˆ
j
20
50
290
9.780
arctg
Exemplo 23-7 – Calcular o campo elétrico
(a) no exterior e (b) no interior de uma esfera maciça
de raio R uniformemente carregada, com carga total Q
e densidade de carga volumétrica
QV
constante sobre todo o volume. O volume da esfera é:
V
4
3
R3
31
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
 Solução:
(a) No exterior da esfera, a uma distância r> R:

ˆ
E
 ndA
T
Q
0
s
Q
r2
Er 4
T
Exemplo 23-8 – Determinar, mediante a Lei
de Gauss, o campo elétrico à uma distância r de uma
reta infinita, uniformemente carregada.
0
1
Er
4
0
Q
r2
32

(b) No seu interior, r < R:

ˆ
 E ndA
T
T
4
V
r
2
4
3
4
3
r
r3
Er 2
1
3
Er
QV
Er
Er
R
3 Q
4 R3
3
3 Q
1 4 R3
r
3
0
1
4
0
Q
Exemplo 23-9 – Uma chapa condutora
quadrada, de espessura desprezível, com 4 m de lado,
está num campo elétrico externo, uniforme, dado por
0
Como:
4
3
r L
1 Q1
2 0 Lr
1
2 0 r
Er
r
Q
0
0
3
0
Er
Q
s
0
Qi
Er

ˆ
E
 ndA
T
s
Qi
Solução:
Qi

E
450 iˆ kN C , perpendicular às faces da
chapa. (a) Calcular a densidade de carga de cada face
da chapa. (b) Uma carga líquida de 96 C é colocada
na chapa. Calcular a nova densidade superficial de
carga em cada face e o campo elétrico nas
vizinhanças dessas faces, porém longe das bordas da
chapa.
Q
r
R3

Solução:
(a) A densidade de carga e o campo em cada
face são dados por:
0
En
Na face direita, é dirigido para fora da chapa:
En
8.85 10 450 103
D
D
D
0
12
3.98 C m2
32
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Na face esquerda, é dirigido para dentro da
EnE
111kN C
chapa:
E
E
0
8.85 10
En
12
450 103
3.98 C m2
D
(b) A nova densidade de carga numa face será
dada pela soma da antiga mais a densidade de carga
extra:
33
a
a
Q
A
48 C
42
3 C m2
a
Na face direita, a nova densidade de
carga será:
D
D
a
3.98 3
6.98 C m2
D
Na face esquerda, a nova densidade de carga
será:
E
E
a
3.98 3
0.98 C m2
E
As componentes normais do campo elétrico
serão:
EnD
D
0
EnD
EnD
6.98
8.85 10 12
789 kN C
EnE
E
0
EnE
0.98
8.85 10 12
33
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico

Condutores e Isolantes:
Em alguns materiais, como aos metais, algumas
das cargas negativas podem se mover livremente.
Chamamos esses materiais de condutores. Em outros
materiais, como o vidro, borracha e plástico, as cargas
não podem se mover livremente. Chamamos de
isolantes ou não-condutores
A estrutura e natureza elétrica dos átomos são
responsáveis pelas propriedades dos condutores e
isolantes. Os átomos consistem de cargas positivas, os
prótons, cargas neutras, os nêutrons e cargas negativas,
os elétrons. Os prótons e os nêutrons estão compactados
no núcleo central e os elétrons orbitar o núcleo.
Quando os átomos de um condutor, como o
cobre, ficam juntos para formar um sólido alguns dos
elétrons não ficam presos ao núcleo, mas tornam-se
livres para percorrer o sólido. Chamamos estes elétrons
de elétrons de condução. Há poucos elétrons livres em
um isolante.
Chama-se de semicondutores, materiais
formados por silício e germânio (Si, Ge), por exemplo,
aqueles materiais que são intermediários entre
condutores e isolantes. Os elétrons num átomo só podem
assumir níveis de energia discretos, obedecendo a Teoria
atômica de Bohr e o princípio da exclusão de Pauli, que
diz que os elétrons possuem números quânticos distintos.
Quando dois átomos se aproximam em uma ligação
química, os níveis se sobrepõem devido à interação entre
os campos dos dois átomos. Em um cristal, o grande
número de superposição dos níveis de energia dos
átomos, origina um contínuo de níveis de energia
próximos, denominado banda de energia. A configuração
dessas bandas de energia determinará a natureza do
material.
Figura 1 – Representação das bandas de energia em um
sólido semicondutor, isolante e condutor.
Banda de condução
E
6 eV
E > 6 eV
Banda de valência
Isolante
Semicondutor
Condutor
Nos materiais isolantes, há uma região
proibida de energia que separa as bandas de valência
e de condução (“gap”), da ordem de valores maiores
que 6 eV (1eV = 1,6.10-19J).
Nos materiais
condutores, não há essa separação.
Nos materiais semicondutores, essa
separação é da ordem de 1 eV, de modo que alguns
elétrons podem ser promovidos da banda de valência
para a banda de condução. Os átomos de Si, C e Ge
possuem 4 elétrons na última camada, formando entre
si ligações covalentes e tetravalentes. Quando essas
ligações num cristal desse material (Si, C ou Ge) são
quebradas pela energia térmica dos elétrons a
temperatura ambiente, surge os elétrons livres na
banda de condução, gerando uma densidade de
elétrons livres n, e aparecem “buracos” (ausência de
elétrons na ligação) que geram a densidade de
buracos p. Quando n = p denominamos de
semicondutor intrínseco. A concentração n.p depende
da temperatura:
n i2 (T )
n p
O avanço da microeletrônica se deve ao
grande desenvolvimento que das últimas décadas nos
materiais semicondutores, com a descoberta que
pode-se controlar o número de elétrons livres n ou de
buracos p, inserindo-se átomos dopantes na rede
cristalina do material semicondutor.
Tabela I – Tipos de átomos doadores e aceitadores.
Tipo
Doadores
n
Aceitadores
p
Dopantes
Átomos
Com 5 elétrons na
última
camada:
P,As, Sb
Com 3 elétrons na
última
camada:
B,Ga, In
Função
Aumenta n e
reduz p
Aumenta p e
reduz n
Os circuitos integrados, por exemplo, são
constituídos por milhares de diodos e transistores,
estes por sua vez são fabricados por materiais
semicondutores construídos a base dos elementos
silício e germânio.
Finalmente
temos
os
materiais
supercondutores, assim chamados pelo fato de não
haver resistência elétrica ao movimento de cargas
elétricas através desses materiais. Quando as cargas
elétricas se movem em um material, dizemos que ele
está sendo atravessado por uma corrente elétrica.
Naturalmente, os materiais possuem certa
resistência à passagem de corrente elétrica. Por
exemplo, o fio usado em dispositivos eletrônicos é
um bom condutor de corrente elétrica, mas ainda
26
26
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
assim apresenta certa resistência elétrica. Em um
supercondutor a resistência elétrica é nula. Por exemplo,
se você dispusesse de um material supercondutor na
forma de um anel e fizesse passar uma corrente elétrica
por ele, esta irá atravessá-lo indefinidamente, sem a
necessidade de uma bateria elétrica para mantê-la.
A supercondutividade foi descoberta em 1911
pelo físico holandês Kammerlingh Onnes, que observou
que mercúrio sólido perde sua resistência elétrica
completamente a temperaturas inferiores a 4,2 K. Até
1986, a supercondutividade estava limitada a pouca
utilidade prática, pois até então havia o conhecimento
de que os materiais que se tornavam supercondutores
necessitavam de uma temperatura abaixo de 20 K. Nos
anos recentes, novos materiais supercondutores foram
descobertos a temperaturas superiores, dando
possibilidade de uma nova era de aplicações.
Condutores esféricos:
Se um excesso de carga é colocado em um
material condutor esférico, esta carga é distribuída
uniformemente na superfície externa do condutor. Por
exemplo, ao colocarmos uma quantidade de elétrons em
uma casca esférica condutora, estes elétrons se repelirão
uns aos outros se distribuindo uniformemente sobre a
superfície esférica externa.
n
Nêutron
0
1836.68
1/2
Quando uma quantidade física, como a carga
elétrica, assume valores discretos, dizemos que esta
quantidade é quantizada. A matéria, a energia e
momento angular são quantidades quantizadas. Por
exemplo, em um bulbo de uma lâmpada de 100 W,
em torno de 1019 elementos de carga entram e
deixam o bulbo a cada segundo.
Exemplo 1 - Um material de Cobre de 3,11 g contém
igual quantidade de cargas positivas e negativas. Qual a
magnitude da quantidade de cargas positivas neste material?
Qualquer átomo neutro possui uma quantidade Ze de
prótons e uma quantidade Ze de elétrons, onde Z é seu número
atômico. Assim, a quantidade de carga no material é o produto de
NZe, onde N é o número de átomos no material e e a carga
elétrica elementar.
Sendo M a massa molar do Cu (M=63,5 g/mol) teremos:
N
NA
m
M
6, 02.1023 .
3.11
2, 9510
. 22
63.5
Átomos.
Sendo o número atômico do Cu Z=23:
q
NZe
(2, 9510
. 22 ).(29).(1, 6.10 19 ) 137000C
A Conservação da carga elétrica:
Princípio da conservação da carga:
Benjamin Franklin pensava que a carga elétrica
era um fluido contínuo, como o ar e a água, por
exemplo. Hoje sabemos que a matéria é composta de
certa quantidade de átomos: ela é discreta. Assim ocorre
com a carga elétrica. Experimentos mostram que a
carga elétrica é discreta, que toda carga elétrica pode ser
escrita como:
Se você esfregar uma haste em um tecido,
medidas mostram que as cargas positivas se
acumularam na haste e as negativas no tecido. Isto
sugere que não há criação da carga, porém uma
transferência da mesma. Essa hipótese de
conservação da carga foi colocada pela primeira vez
por Benjamin Franklin.
Um exemplo de fenômeno que envolve a
conservação da carga: o decaimento do urânio, no
qual um núcleo se transforma espontaneamente em
q ne; n
1, 2,..., e 1, 6.10 19 C
Aqui e é denominada de carga elétrica
elementar, uma importante constante da natureza.
É de fundamental importância o princípio da
conservação da carga elétrica:
238U 234 Th 4He
Outro exemplo de conservação da carga é o
outro tipo de núcleo. Por exemplo, o 238U , ou urânio
238, o qual é encontrado, pode decair emitindo uma
partícula alfa: e transformando-se em tório 234:
que acontece quando um elétron ( e ) encontra sua
Num sistema eletricamente isolado, a soma
algébrica das cargas negativas e positivas se mantém
constante.
A tabela a seguir mostra algumas propriedades
das três partículas elementares de um átomo.
anti-partícula, o pósitron ( e ) , cuja carga é +e, dando
origem a dois raios gama de alta energia:
e
e
Este processo é chamado de aniquilação.
Tabela II – Dados das partículas que constituem o átomo.
Nome
S
Q
me
Massa
9,1110
. 31 kg
Mom
ento
angu
lar

Elétron
Próton
e
p
-1e
1e
1
1836.15
2
1/2
1/2
27
27
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
y
Exercícios:
1) Qual a força eletrostática entre duas cargas de
1C separadas por uma distância de:
a
+q
-q
a) 1 m.
b) 1 km
2) Uma carga puntiforme de 3, 00.10 6 C está a
12cm de uma outra carga puntiforme de 1, 5.10 6 C .
Calcule a magnitude da .força sobre cada carga.
3) Qual deve ser a distância entre as cargas
puntiformes q1 26. 0 C; q2
47. 0 C para que a
força entre elas seja de 5.7 N?
4) Em um dispositivo luminoso, uma corrente
de 2, 5.104 A flui durante 20ms. Qual a quantidade de
carga que a atravessa?
5) A figura ilustra três cargas puntiformes, de
intensidades q1 q2 q3 20 C , e o valor de d é
1,5m.
a)
q
q
1
d
1
d
d
q
3
q
2
q
2
d
a) Encontre a força elétrica sobre a carga q 1 em
cada caso.
6) Porque experimentos em eletrostática não se
realizam muito bem emdias húmidos?
7) As cargas q1 e q2 e q3 estão alinhadas nas
posições x=-a, x=0 e x=a, respectivamente, no eixo x. Os
Q, q2
Q; q3
2Q .
valores das cargas são: q1
Determine:
a) A força elétrica resultante sobre a carga q1.
b) A força elétrica resultante sobre a carga q 2.
c) A força elétrica resultante sobre a carga q 3.
8) Dispõe-se de 4 cargas localizadas nos
vértices de um quadrado, como mostra a figura abaixo:
a
+2q
-2q
x
Determine a força elétrica resultante sobre
cada carga.
9) Duas cargas puntuais, de valores +q e
+4q, estão a uma distância L entre si. Uma terceira
carga é colocada de modo que o sistema permaneça
em equilíbrio.
a) Determine a localização, a magnitude e o
sinal da terceira carga.
b) Mostre que o equilíbrio do sistema é
instável.
10) Determine a quantidade de elétrons em
uma carga de 1 C.
11) A magnitude da força elétrica entre dois
íons separados de 5, 0.10 10 m é 3, 7.10 9 N .
a) Qual o valor da carga elétrica de cada íon?
b) Determine o excesso de elétrons do íon.
12) Quantos megacoulombs em de carga
elétrica (prótons ou elétrons) estão presentes em 1,00
mol de gás molecular hidrogênio (H2)?
13) A atmosfera terrestre é constantemente
bombardeada por raios cósmicos (prótons)
provenientes do espaço. Se em cada metro quadrado
da superfície terrestre é bombardeado por uma taxa
média de 1500 prótons por segundo, qual seria a
correspondente corrente interceptada pela superfície
total da terra?
14) Qual a magnitude da força elétrica entre
um íon de sódio Na (carga +e) e um íon de cloro
Cl (de carga -e) presentes no cristal NaCl
(separação:Na-Cl: 2 , 82.10 10 m )?
15) Coloca-se uma carga A de magnitude +Q
em contato com uma carga neutra B. Em seguida
aproxima-se a carga A de uma carga C de valor -2Q
28
28
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
colocando-as em contato e separando-as. Sabendo que as
cargas estão isoladas eletricamente, determine:
a) O valor da carga A após o contato com a
carga B.
b) Os valores das cargas A,B e C após os
contatos finais.
c) Encontre a força de interação entre as cargas
A e C, sabendo que sua separação é r.
16) aproxima-se um condutor de carga negativa
de um corpo neutro. Em seguida aterra-se o corpo
neutro. Qual será a carga final do corpo neutro?
Exercícios – Halliday – Resnick - Tipler
1) Três cargas elétricas estão colocadas nos
vértices de um triângulo eqüilátero, conforme mostra
a figura:
+q
a
a
29
17) Duas idênticas esferas condutoras, fixas no
espaço, atraem-se com uma força de 0,108 N quando
separadas por uma distância de 50,0 cm. As esferas são
então conectadas por um fio condutor. Quando o fio é
removido, as esferas exercem entre si uma força de
0,0360 N. Qual o valor inicial da carga das esferas?
18) Que quantidade de cargas positivas deveria
ser colocada naTerra e na Lua para neutralizar sua
atração gravitacional? Quantos kilogramas de hidrogênio
seriam necessários para prover essa carga?
19) São colocadas algumas cargas no plano xy:
q1=+3 C; x1=3,5 cm e y1=0,5cm; q2=-4 C; x2=-2,0
cm, y2=1,5 cm.
a) Encontre a magnitude e direção da força
eletrostática sobre a carga q2.
b) Onde seria necessário colocar uma carga q3 =
-Q
+Q
a
Trace as linhas de força devido as cargas +Q
e -Q e determine a direção da força que atua em +q
devido à presença das duas cargas elétricas.
2) Qual a magnitude de uma carga puntual
cujo campo elétrico à 50 cm da carga possui
intensidade 2 N/C?
3) Duas cargas puntiformes de magnitudes
Q1=0,2 mC e Q2=0,085mC estão distanciadas de 12
cm.
a) Qual a intensidade do campo elétrico
produzido uma sobre a outra?
b) Qual a intensidade da força que atua em
cada carga?
+4 C para que anulasse a força eletrostática sobre a
carga 2 ?
4) Duas cargas iguais e opostas de magnitude
0,2mC estão separadas de 15cm.
20) Uma lâmpada de 100 W opera a 120 V e
passa por ela uma corrente de 0,83 A (assumindo a
corrente estacionária). Quanto tempo demora para 1 mol
de elétrons atravessar a lâmpada?
a) Qual a intensidade e direção do vetor
campo elétrico sobre um ponto no meio da reta que
une as cargas?
b) Qual a intensidade e direção da força
elétrica sobre um elétron colocado neste ponto?
5) Um átomo de plutônio-239 tem um raio
nuclear de 6,64 fm e um número atômico de Z=94.
Assumindo que a carga positiva está distribuída
uniformemente sobre o núcleo, qual a magnitude e
direção do campo elétrico na superfície do núcleo
devido à carga positiva?
6) Duas carga s puntiformes estão dispostas
como mostra a figura:
29
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
13) Uma nuvem carregada produz um campo
elétrico no ar próximo à superfície da Terra. Uma
y
q
q
1
partícula de carga 2, 0.10 9 C é atuada por uma
força eletrostática descendente de intensidade
2
x
d
As cargas são q1= + 1mC e q2= + 3mC e estão
separadas por uma distância d=10 cm. Faça um gráfico
do campo elétrico E (x) para ambos valores positivos e
negativos de x, tomando E positivo quando apontar para
a direita e E negativo quando apontar para a esquerda.
7) Determine a magnitude e direção do campo
elétrico em P, centro do quadrado da figura abaixo, com
cargas nos vértices, sendo q=0,01mC e a=5,0cm.
-2q
+q
3, 0.10 6 N quando colocada no campo.
a) Qual é a magnitude do campo elétrico?
b) Qual é a magnitude e direção da força
eletrostática exercida sobre um próton colocado sobre
o campo?
c) Qual é a força gravitacional sobre o
próton?
d) Qual a razão entre a força eletrostática e a
força gravitacional?
14) Se conhecemos o campo elétrico E em
um dado ponto, é possível encontrar o potencial V
neste ponto?
15) Determine o potencial elétrico produzido
pelas cargas do problema 7 no ponto P.
a
P
16) A ddp (diferença de potencial) entre a
Terra e uma nuvem é de 1, 2.109 V . Qual a magnitude
da mudança na energia potencial elétrica de um
elétron que se move entre esses pontos?
-q
+2q
8) Um elétron é colocado em cada vértice de um
triângulo eqüilátero de 20 cm de lado.
a) Qual é o campo elétrico no ponto médio de
um de seus lados?
b) Qual a força que atua em um elétron aí
colocado?
9) Calcule o momento de dipolo elétrico de um
elétron e um próton distanciados de 4,3 nm.
10) Um elétron é colocado em um campo
elétrico uniforme de magnitude 2, 00.104 N . Calcule a
17) Suponha que durante uma descarga
elétrica entre uma nuvem e a Terra a ddp seja de
1, 0.109 V e uma quantidade de carga transferida de
30 C.
a) Qual a mudança de energia nesta
quantidade de carga transferida?
b) Se esta energia fosse usada para
locomover um automóvel de 1000 kg , qual a
velocidade atingida pelo automóvel?
c) Se a energia utilizada fosse para derreter o
gelo, a 00 C , qual a quantidade de gelo que seria
J ).
derretida? (Dado:calor de fusão do gelo: 3, 3.105 kg
C
aceleração do elétron (ignorar a gravidade).
11) Um elétron é acelerado na direção oeste
com aceleração de 1, 8.109 m2 por um campo elétrico.
s
Determine a magnitude e direção do campo elétrico.
18) No problema 6 determine o potencial
elétrico em qualquer ponto x gerado pelas cargas
elétricas.
19) Uma gota dágua carrega uma carga de 30
pC e tem um potencial de 500 V na sua superfície.
(com V=0 no infinito).
12) Uma partícula a, núcleo de um átomo de
He, tem massa de 6, 64.10 27 kg e carga de +2e. Qual a
magnitude e direção do campo elétrico que balanceia seu
peso?
a) Qual o raio da gota?
b) Se duas gotas com mesmo raio e carga
combinam para formar uma outra gota esférica, qual
o potencial na superfície desta nova gota?
30
30
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Texto : Leitura optativa
20) Determine o potencial elétrico em P devido
a presença das 6 cargas pontuais abaixo. Assuma V=0
no infinito.
Tabela 1: Algumas partículas elementares
de um átomo:
31
Várias partículas elementares são agora
experimentalmente
conhecidas
pelas
várias
propriedades pelas quais os físicos as identificam.
Ele está dividido em quatro grandes classes:
o fóton, o léptons, o baryons, e o mésons.
Prótons e nêutrons são os componentes
básicos de núcleos atômicos que, combinou com
elétrons, átomos de forma.
Fótons são as unidades fundamentais de
radiação eletromagnética que inclui ondas de rádio,
luz visível, e raios de X. O nêutron é instável como
uma partícula isolada e desintegra pelo processo:
n ± p + e + Xe
com uma vida comum de 917 segundos.
Quando se combinam com prótons, porém,
forma certos núcleos atômicos, como oxigênio-16 ou
o ferro-56, os nêutrons ficam estabilizados. A maioria
das partículas elementares diferentes do elétron,
fóton, próton, e nêutron foram descobertos desde
1945, alguns por meio de raios cósmicos, em
experiências que usam aceleradores de alto-energia
(veja Aceleradores de Partícula). A existência de
outras partículas foi predita, mas eles não têm
contudo sido observar-tal como o gráviton, supondo
ser responsável por transmitir a força gravitacional.
Em 1930 o físico britânico Paul M. Dirac
predisse em estudos teóricos que, para todo tipo de
partícula elementar, há outro tipo chamado sua
antipartícula. A antipartícula do elétron foi achada em
1932 pelo físico americano Carl D. Anderson que
chamou de o pósitron. O antipróton foi achado em
1955 pelos físicos americanos Owen Chamberlain e
Emilio Segrè. É conhecida agora que a predição de
Dirac é válida para todas as partículas elementares.
Algumas partículas elementares, como o fóton, são a
própria antipartícula dele. Físicos geralmente usam
uma barra para denotar uma antipartícula; assim a
antipartícula de uma particula também pode ser
31
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
classificada em termos do giro deles/delas, ou momento
angular, como bósons ou férmions. Bósons têm um giro
que é um múltiplo inteiro de uma certa constante, h,;
fermions têm um giro que é um múltiplo de meio-inteiro
daquela constante.
Interações:
Partículas elementares exibem forças, e eles
constantemente são criados e são aniquilados. Criação,
aniquilação, e força, de fato, são fenômenos relacionados
e chamados de interações. Quatro tipos de interações são
conhecidos (embora mais foram postulados):
Cada tipo de interação acontece pela troca de
um tipo particular de boson. Interações nucleares são os
mais fortes e são responsáveis pela ligação de prótons e
nêutrons e a formação de núcleos. Estas interações
resultam da troca de glúons. Logo, as forças são
interações eletromagnéticas responsáveis pelos elétrons
que estão ligados aos núcleos em átomos e moléculas.
Estas interações resultam da troca de fótons. Do ponto de
vista prático, esta ligação é de grande importância
porque todas as reações químicas representam
transformações eletromagnéticas de elétrons e núcleos.
Muito mais fracas são as interações fracas denominadas
que governam o decaimento radioativo de núcleos
atômicos, observados (1896-98) pelos físicos franceses e
químicos Antoine H. Becquerel, Pierre Curie, e Marie
Curie. Estas interações são o resultado da troca de
bósons fracos: W+, W -, ou partículas de Z°. A interação
gravitacional de assunto é importante em uma balança
grande, embora é o mais fraco das interações de partícula
elementares. Esta interação é o resultado teoricamente da
troca de grávitons.
Leis de conservação
A dinâmica de interações de partícula
elementares é governada por equações de movimento
que é a generalização das três leis fundamentais de
Newton da dinâmica. Na dinâmica de Newton, não são
criados, nem são destruídas; eles são conservados.
Energia existe em muitas formas que podem ser
transformadas em outras, mas a energia total é
conservada e não muda. Para interações de partícula
elementares estas leis de conservação permanecem com
efeito, mas foram descobertas leis de conservação
adicionais que originaram papéis importantes na
estrutura e interações de núcleos e partículas
elementares.
Simetria e Números de Quantum
Princípios
de
simetria
eram
quase
exclusivamente aplicados a problemas em mecânicas dos
fluidos e cristalografia até o começo do 20º século na
física. Depois de 1925, com o sucesso crescente de teoria
de quantum descrevendo o átomo e processos atômicos,
os físicos descobriram aquelas considerações de simetria
conduzidas a números de quantum (que descrevem
estados atômicos) e para regras de seleção (que
governam transições entre estados atômicos). Porque
números de quantum e regras de seleção são
necessárias a descrições de fenômeno atômico e
subatômico, considerações de simetria são centrais às
físicas de partículas elementares.
Paridade (P)
Em sua maioria, os princípios de simetria
dizem que um fenômeno particular é invariante
(inalterado) quando são transformadas certas
coordenadas de espaço, ou mudam de um certo modo.
O princípio de simetria de reflexão espacial, ou
paridade (P) conservação, estados que as leis de
natureza são invariante quando são refletidos três
coordenadas de espaço, x, y, e z, de todas as
partículas (quer dizer, quando os sinais deles são
mudados). Uma reação (colisão, ou interação) entre
duas partículas UM e B, por exemplo, que tem pA de
impulsos de vetor e pB poder ter uma certa
probabilidade de se render duas outras partículas C e
D com os próprios impulsos característicos deles o
PC e pD. Esta reação
Um + B ± C + D (R)
tem sido chamado R. Se partículas UM e B com
impulsos -pA e -pB produzem partículas C e D com
impulsos o -PC e -pD à mesma taxa então como R, a
reação é invariável debaixo de paridade (P).
Simetria de Conjugação de carga (C)
O princípio de simetria de conjugação de
carga pode ser ilustrado se referindo à reação R. Se as
partículas UM, B, C, e D são substituídos pelo
antipartículas UM, B, Ç, e D, então
Um + B ± Ç + D C(R)
Esta reação hipotética ser denominada C(R)
e é a reação conjugada de R. Se (R) e C(R) procede à
mesma taxa, então a reação é invariante debaixo de
conjugação de carga de pólvora (C).
Simetria de Inversão de tempo (T)
O princípio de simetria de inversão de tempo, ou
reversão de tempo, tem uma definição semelhante. Os
estados de princípio que se uma reação (R) é
invariante abaixo (T), então a taxa da reação inversa
C + D ± UM + B T(R)
está em uma proporção definida à taxa de (R).
Simetria e Forças de Interações
32
32
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Foram achados os tipos de simetria observados
pelos quatro tipos diferentes de interações para ser
bastante diferente. As 1957 acreditaram que simetria de
reflexão espacial (ou conservação de paridade) é
observada em todas as interações. Em 1956 os físicos
chinês-americanos Tsung Dao Lee e Chen Ning Yang
mostraram aquela conservação de paridade tida, de fato,
não sido testado para interações fracas e várias
experiências sugeridas para examinar isto. Um destes foi
executado o ano seguinte pelo físico chinês-americano
Chien-Shiung Wu e os colaboradores dela que acharam
que, realmente, não é observada simetria de reflexão
espacial em interações fracas. Uma conseqüência era a
descoberta que as partículas emitiram em interações
fracas tende a espiralar ao longo da direção do
movimento deles/delas. Em particular, o ue de neutrinos
e uµ que só são envolvido em interações fracas e
gravitacionais sempre giram de uma maneira canhota. Os
físicos americanos James W. Cronin e Val L. Fitch e os
colaboradores deles/delas também descobriram, em
1964, aquela simetria de reversão de tempo não é
observada em interações fracas.
Simetria e Quarks
A classificação de partículas elementares estava
baseado nos números de quantum deles/delas e assim fez
de mãos dadas com idéias sobre simetria. Trabalhando
independentemente com tais considerações, os físicos
americanos Murray Gell-Mann e George Zweig
propuseram em 1963 são formados aquele baryons e
mesons de componentes menores que Gell-Mann
chamado quarks. Eles sugestionaram três tipos de
quarks, cada que tem um antiquark. Evidência indireta
muito boa para o quark modela de baryons e mesons tem
acumulado, especialmente como a descoberta em 1974
de partículas de J/Y pelos físicos americanos Samuel C.
C. Ting e Burton Richter. A teoria modelo padrão de
partículas elementares postulou a existência de seis tipos
de quarks tudo dos quais foi experimentalmente
confirmado.
Teoria de campo de Interações
Antes do mid-19º século, interação, ou força,
era acreditada comumente que agia a uma distância. O
cientista inglês Michael Faraday iniciou a idéia que
interação é transmitida de um corpo a outro por um
campo. O físico escocês James Maxwell pôs as idéias de
Faraday em forma matemática e resulta na primeira
teoria de campo, comumente chamado as equações de
Maxwell para interações eletromagnéticas. Em 1916
Albert Einstein publicou a teoria de interações
gravitacionais, e isso se tornou a segunda teoria de
campo. Acredita-se agora universalmente que as outras
duas interações, fortes e fracas, também podem ser
descritas através de teorias de campo.
Com o desenvolvimento da teoria do
quantum, foram encontradas certas dificuldades com
teorias de campo nos anos trinta e quarenta. As
dificuldades foram relacionadas aos campos muito
fortes que têm que existir na vizinhança imediata de
uma partícula e chamamos de divergência. Remover
parte dessa dificuldade foi criado um método
chamado renormalização, desenvolvido nos anos
1947-49 pelo físico japonês Shin'ichiro Tomonaga, e
os físicos americanos Julian Schwinger e Richard
Feynman e o físico Dyson anglo-americano. Métodos
de Renormalização mostraram que as dificuldades de
divergência podem ser isoladas sistematicamente e
podem ser removidas. O programa alcançou grandes
sucessos práticos, mas a fundação de teoria de campo
permanece insatisfatória.
Unificação de Teorias de Campo
Os quatro tipos de interações são
imensamente diferentes de um do outro. O esforço
para os unificar em um único conceitual foi iniciado
por Albert Einstein antes das 1920. Os físicos
americanos Sheldon Glashow e Steven Weinberg e o
físico paquistanês Abdus Salam em 1979
compartilharam o Nobel em física com o trabalho de
um modelo próspero que unifica as teorias de
interações eletromagnéticas e fracas. Isto era acabado
reunindo idéias de simetria de medida desenvolvidas
pelo matemático alemão Hermann Weyl, Yang, e o
físico Robert Laurence Mills americano e de simetria
quebrada desenvolvida pelo físico japonês-americano
Yoichiro Nambu, o físico britânico Peter W. Higgs, e
outros. Uma contribuição muito importante para estes
desenvolvimentos foi feita pela física holandesa
Gerardus ' t Hooft que inseriu no programa de
renormalização essas teorias.
Prospectos para o Futuro
É reconhecido agora que as propriedades de todas as
interações são ditadas por várias formas de simetria
de medida. Em retrospecto, o primeiro uso desta idéia
era à procura de Einstein para uma teoria
gravitacional que é simétrico com respeito a
transformações de coordenada que culminaram na
teoria geral de relatividade em 1916 (veja Gravitação;
Relatividade). Exploração de tais idéias será
certamente um tema principal de física de partículas
elementares durante os anos próximos.
Extensão qualitativa do conceito de simetria
de medida para facilitar, possivelmente, uma
unificação eventual não só de todas as interações, mas
também de todas as interações com todas as partículas
constituintes, já foi tentado nas idéias de
33
33
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
supersimetria e supergravidade. Serão procurados tais
desenvolvimentos indubitavelmente.
A meta final é uma compreensão da estrutura
fundamental de assunto por princípios de simetria
unificados. Infelizmente, não é provável que esta meta
seja alcançada no futuro. Há dificuldades em ambos os
aspectos teóricos e experimentais do empenho. No lado
teórico, as complexidades matemáticas de teoria de
medida de quantum são grandes. No lado experimental, o
estudo de partícula elementar estrutura a dimensões
menores e menores requer aceleradores maiores e
maiores e detectores (veja Detectores de Partícula). Os
recursos humanos e financeiros requeridos para
progresso de futuro são tão grandes que o passo de
progresso será reduzido inevitavelmente.
Contribuído por:
Chen Ning Yang
Tubo de raios catódicos
Adaptado de:
http://ciencia.hsw.uol.com.br
Quase todas as TVs em uso atualmente contam
com um aparelho conhecido como tubo de raio
catódico, ou CRT, para exibir suas imagens.
LCDs e telas de plasmas também são usadas,
mas as CRTs são mais comuns, sendo possível fazer
uma tela de televisão com milhares de
lâmpadas comuns de 60 watts. Você pode já ter visto
algo como isso em eventos ao ar livre, como em jogos
de futebol.
Os CRTs ainda são o modo mais comum de
exibir imagens hoje em dia.
Os termos ânodo e cátodo são usados em
eletrônica como sinônimos para terminais positivos e
negativos. Por exemplo: você pode se referir ao
terminal positivo de uma bateria como o ânodo e o
terminal negativo como cátodo.
Em um tubo de raio catódico, o “cátodo” é
um filamento aquecido (não diferente do filamento
em uma lâmpada normal). O filamento aquecido está
em um vácuo criado dentro de um “tubo” de vidro. O
“raio” é um fluxo de elétrons que naturalmente saem
do catodo aquecido para o vácuo.
Os elétrons possuem carga negativa. O
ânodo é positivo. Por essa razão, ele atrai os elétrons
do cátodo. Em um tubo de raios catódicos de TV, o
fluxo de elétrons é focalizado formando um raio (ou
feixe) concentrado e acelerado por um dispositivo de
aceleração localizado logo após o cátodo. Esse feixe
de elétrons acelerados viaja pelo vácuo no tubo e
atinge a tela plana na outra extremidade do tubo. Essa
tela é revestida de fósforo e brilha quando atingida
pelo feixe.
 Dentro de um CRT
Há um cátodo e um par (ou mais) de ânodos,
uma tela revestida de fósforo e um revestimento
condutivo dentro do tubo para absorver os elétrons
que se acumulam na extremidade da tela do tubo.
Entretanto, no diagrama abaixo, você pode ver que
não há modo de "direcionar" o feixe, que sempre vai
parar em um ponto pequeno bem no centro da tela.
Isso acontece porque se você olhar dentro de
qualquer aparelho de TV vai descobrir que o
tubo possui bobinas de fio. Na próxima página, você
vai ter uma boa visão das bobinas de
direcionamento. As bobinas de direcionamento são
simplesmente enrolamentos de cobre. São capazes
de criar campos magnéticos dentro do tubo e
os feixes de elétrons respondem aos campos. Um
conjunto de bobinas cria um campo magnético que
move o feixe de elétrons verticalmente, ao passo que
outro conjunto move o feixe horizontalmente.
Controlando a tensão das bobinas, pode-se
posicionar o feixe de elétrons em qualquer ponto da
tela.
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34
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Fósforo é um material que, quando exposto à
radiação, emite luz visível. A radiação deve ser de luz
ultravioleta ou um feixe de elétrons. Qualquer cor
fluorescente é, na realidade, fósforo - as cores
fluorescentes absorvem a luz ultravioleta invisível e
emitem luz visível em uma cor característica.
Em um CRT, o fósforo reveste o interior da tela. Quando
os feixes de elétrons atingem o fósforo, ele faz a tela
brilhar.
Em
uma
TV
preto
e
branco,
o fósforo brilha branco quando atingido. Em uma TV
colorida, existem três fósforos organizados como pontos
e linhas que emitem luz vermelha, verde e azul
e, também, três feixes de elétrons para iluminar as três
cores diferentes juntas.
Há milhares de fósforos diferentes formulados.
Eles são caracterizados pela emissão de cor e pelo tempo
de duração da emissão depois que são excitados.
O sinal da TV preto e branco
Em uma TV preto e branco, a tela é revestida
com fósforo branco e os feixes de elétrons "pintam"
uma imagem na tela movimentando os feixes de
elétrons através do fósforo uma linha por vez. Para
pintar a tela inteira, os circuitos eletrônicos dentro da
TV usam bobinas magnéticas para mover os feixes de
elétrons em um padrão de escaneamento, através e para
baixo da tela. O feixe pinta uma linha através da tela, da
esquerda para a direita. Ele então rapidamente segue de
volta (e para baixo) para o lado esquerdo, movese rapidamente para a direita e pinta outra linha
horizontal, e assim por diante, por toda a tela, deste
modo:
Nessa figura, as linhas azuis representam linhas
que os feixes de elétrons estão pintando na tela da
esquerda para a direita, ao passo que o tracejado de
linhas vermelhas representa os feixes viajando de volta
para a esquerda. Quando o feixe alcança o lado direito da
linha inferior, ele tem que voltar para o canto esquerdo
superior da tela, como representado pela linha verde na
figura. Quando o feixe está pintando, está ligado, e
quando está voltando, está desligado, para que não deixe
uma trilha na tela. A expressão resolução horizontal é
usada para se referir ao movimento do feixe voltando
para a esquerda no final de cada linha, ao passo que a
expressão resolução vertical se refere ao movimento
de baixo para cima.
Enquanto o feixe pinta cada linha da
esquerda para a direita, a intensidade do raio é
mudada para criar diferentes tonalidades de preto,
cinza e branco pela tela.
Como o espaço entre as linhas é muito curto,
o cérebro integra todas como uma única imagem.
Uma tela de TV normalmente tem 480 linhas visíveis
de cima até embaixo.

35
Pintando a tela
A TV padrão usa uma técnica de
entrelaçamento quando pinta a tela. Nessa técnica, a
tela é pintada 60 vezes por segundo, mas apenas
metade das linhas é pintada por quadro. Os feixes
pintam alternadamente as linhas enquanto se move
para baixo na tela, por exemplo: cada uma das linhas
com números ímpares. Então, da próxima vez que ele
se mover para baixo, pintará as linhas com números
pares, alternando para frente e para trás entre as linhas
de numeração par e ímpar em cada passagem.
Em duas passagens, a tela inteira é pintada 30 vezes
por segundo. A alternativa para o entrelaçamento é
chamada escaneamento progressivo e pinta cada
linha na tela 60 vezes por segundo. A maioria dos
monitores de computador usa o escaneamento
progressivo porque ele reduz significantemente a
tremulação. Como o feixe de elétron pinta todas as
525 linhas 30 vezes por segundo, ele pinta um total de
15.750 por segundo (algumas pessoas realmente
podem ouvir essa freqüência como um som muito
agudo emitido quando a televisão é ligada). Quando
um canal de televisão quer transmitir um sinal para
sua TV ou quando seu videocassete quer exibir o
filme da fita em sua TV, o sinal precisa se
compor com
os
dispositivos eletrônicos
que
controlam os feixes para que a TV possa pintar
precisamente a imagem que o canal de TV ou o
videocassete envia. Depois, o canal de TV ou o
videocassete envia um sinal bem conhecido para a TV
que contém três partes diferentes:
informação de intensidade para o feixe
ao pintar cada linha;
sinais
de
resolução
horizontal
para informar à TV quando movimentar
o feixe de volta para o final de cada linha;
sinais de resolução vertical 60 vezes por
segundo para mover o feixe do canto
inferior direito para o esquerdo superior.
Então, como essa informação é transmitida para a
TV?
Um sinal que contém esses três componentes
- informação de intensidade, resolução vertical e
35
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
resolução horizontal - é chamado de sinal de
composição de vídeo. Uma entrada de composição de
vídeo em um videocassete é normalmente um plugue
RCA amarelo.
Uma linha de um sinal de composição de vídeo
comum é parecida com a indicada.
Os sinais de resolução horizontal são pulsos de
5 microssegundos (abreviado como " s" na figura) a
zero volt. A eletrônica dentro da TV pode detectar esses
pulsos e usá-los para disparar a resolução horizontal do
feixe. O sinal real para a linha é uma onda que varia
entre 0,5 volts e 2,0 volts, com 0,5 volts representando o
preto e 2 volts representando o branco. Este sinal
controla o circuito de intensidade para um feixe de
elétron. Em uma TV preto e branco, esse sinal
pode ocupar cerca de 3,5 megahertz (MHz) da largura de
banda, ao passo que em um aparelho colorido o limite é
de cerca de 3,0 MHz. Um pulso de resolução vertical é
similar ao pulso horizontal, mas dura de 400 a 500
microssegundos. O pulso de resolução vertical é
serrilhado com pulsos de resolução horizontal para
manter o circuito de resolução horizontal na TV
sincronizado.
 Adicionando cor
Uma tela de TV colorida é diferente da tela
preto e branco de devido a três motivos:
há três feixes de elétrons que se movem
simultaneamente pela tela, chamados de feixes
vermelhos, verdes e azuis;
a tela não é revestida com uma simples
folha de fósforo como na TV preto e branco. Ela é
revestida com fósforos vermelho, verde e azul
organizados em pontos e linhas. Se ligar a TV ou o
monitor do computador e olhar bem de perto a tela
com uma lupa, você vai poder ver os pontos e linhas;
do lado de dentro do tubo, bem próximo ao
revestimento de fósforo, há uma fina tela de metal
chamada de máscara de sombra. Essa máscara é
perfurada com furinhos bem pequenos, alinhados
com os pontos (ou linhas) de fósforo na tela.
A figura a seguir mostra como a máscara de
sombra funciona:
Quando uma TV em cores precisa criar um
ponto vermelho, ela dispara o feixe vermelho no
fósforo vermelho. O mesmo acontece para os pontos
verdes e azuis. Para criar um ponto branco, os feixes
vermelho, verde e azul são disparados
simultaneamente - as três cores se misturam para
criar o branco. Para criar um ponto preto, todos
os três feixes são desligados enquanto escaneiam o
ponto. Todas as outras cores na tela da TV são
combinações de vermelho, verde e azul.
 Sinal da TV em cores
Um sinal de TV em cores começa
exatamente como um sinal preto e branco. Um sinal
extra de crominância é acrescentado pela
superposição de uma onda senoidal de 3,579545
MHz sobre um sinal padrão preto e branco. Logo
depois de um pulso sincronismo horizontal, oito
ciclos de uma onda senoidal de 3,579545 MHz são
acrescentados como uma explosão de cores.
Seguindo esses oito ciclos, uma mudança de fase no
sinal de crominância indica a cor a ser exibida. A
amplitude do sinal determina a saturação. A tabela a
seguir mostra a relação entre a cor e a fase:
Cor
Fase
explosão
0 graus
amarelo
15 graus
vermelho
75 graus
magenta
135 graus
azul
195 graus
ciano
255 graus
verde
315 graus
Uma TV preto e branco filtra e ignora o sinal de
crominância. Uma TV em cores retira essa
informação do sinal e decodifica a mesma,
juntamente com o sinal de intensidade normal, para
determinar como modular os três feixes coloridos.
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Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
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 LCD
Uma LCD (tela de cristal líquido) todo dia. Elas
estão por toda parte: em laptops, relógio digitais,
aparelhos de CD, DVD, relógios de pulsos e microondas
e muitos outros aparelhos eletrônicos. As LCDs são
comuns porque oferecem algumas vantagens reais sobre
outras tecnologias para telas. Elas são mais finas e mais
leves e gastam muito menos energia que os tubos de
raios catódicos (CRTs)
Mas por que essas coisas são chamadas de cristal
líquido? O nome "cristal líquido" soa como uma
contradição. Pensamos em cristais como sendo um
material duro como o quartzo, geralmente duros como
uma rocha, enquanto os líquidos são obviamente
diferentes. Como um material pode combinar os dois?

Cristais líquidos
Há três estados comuns da matéria: sólido, líquido
ou gasoso. Os sólidos agem dessa maneira porque suas
moléculas sempre mantêm sua orientação e ficam na
mesma posição em relação umas às outras. As moléculas
nos líquidos são justamente o oposto: elas podem mudar
sua orientação e se mover para qualquer lugar no líquido.
Há algumas substâncias que podem existir em um
estado peculiar que é líquido e sólido. Quando estão
nesse estado peculiar, suas moléculas tendem a manter
sua orientação, como as em estado sólido, mas também
se movem para posições diferentes, como as em estado
líquido. Isso significa que cristais líquidos não são nem
sólidos nem líquidos. É por isso que esse nome
aparentemente contraditório surgiu.
Então, os cristais líquidos agem como sólidos, como
líquidos ou outra coisa? Acontece que cristais líquidos
estão mais próximos do estado líquido que do sólido. É
necessário uma grande quantidade de calor para
transformar uma substância de cristal sólido para líquido
e é necessário apenas um pouco mais de calor para
transformar esse mesmo cristal líquido em líquido real.
Isso explica porque os cristais líquidos são muito
sensíveis à temperatura e porque são usados para fazer
termômetros. Também explica porque uma tela de laptop
pode agir de forma estranha no tempo frio ou durante um
dia quente na praia.
 Cristais líquidos em fase nemática
Da mesma maneira que há muitas variedades de
sólidos e líquidos, há também uma variedade de
substâncias de cristal líquido. Dependendo da
temperatura e da natureza particular da substância, os
cristais líquidos podem estar em uma das várias fases
distintas. Na fase nemática, os cristais líquidos tornam
as LCDs possíveis.
Uma característica dos cristais líquidos é que são
afetados por correntes elétricas. Um tipo particular de
cristal líquido nemático, chamado nemático torcido
(TN), é naturalmente torcido. A aplicação de uma
corrente elétrica nesses cristais líquidos os destorcem
em vários graus, dependendo de sua voltagem. As
LCDs usam esses cristais líquidos porque eles reagem
de maneira previsível à corrente elétrica controlando a
passagem de luz.
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Cristais líquidos termotrópicos reagem às
mudanças de temperatura ou, em alguns casos, de
pressão. A reação dos cristais líquidos liotrópicos,
que são usados na fabricação de sabões e
detergentes, depende do tipo de solvente com que
estão misturados. Cristais líquidos termotrópicos são
isotrópicos ou nemáticos. A diferença principal é
que as moléculas nas substâncias de cristal líquido
isotrópico têm um arranjo aleatório, enquanto nos
nemáticos há uma ordem ou padrão definido.
A orientação das moléculas na fase nemática está
baseada no orientador. O orientador pode ser
qualquer coisa, desde um campo magnético até uma
superfície com ranhuras microscópicas. Na fase
nemática, os cristais líquidos podem ser
classificados pela maneira com que as moléculas se
orientam em relação umas às outras. A disposição
mais comum é a esmética, que cria camadas de
moléculas. Há muitas variações da fase esmética,
como o C esmático, no qual as moléculas em cada
camada inclinam-se em um ângulo a partir da
camada anterior. Uma outra fase comum é
colestérica, também conhecida como nemática
quiral. Nessa fase, as moléculas se torcem
ligeiramente a partir de uma camada até a próxima,
resultando
em
uma
espiral.
Os cristais líquidos ferroelétricos (FLCs)
usam substâncias de cristal líquido que têm
moléculas quirais em uma disposição de tipo C
esmético porque a natureza espiral dessas moléculas
permite um tempo de resposta à mudança em
microsegundos, o que torna as FLCs particularmente
adequadas às telas avançadas. Os cristais líquidos
ferroelétricos estabilizados por superfície
(SSFLCs) exercem uma pressão controlada por meio
do uso de uma placa de vidro, suprimindo a espiral
das moléculas e tornando a mudança ainda mais
rápida.
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Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Há muito mais coisas envolvidas no processo de
construção de uma LCD do que simplesmente criar uma
lâmina de cristal líquido. A combinação de 4 fatores
torna as LCDs possíveis:
a luz pode ser polarizada;
os cristais líquidos conseguem transmitir e
mudar a luz polarizada;
a estrutura dos cristais líquidos pode ser
mudada pela corrente elétrica;
existem substâncias transparentes que podem
conduzir eletricidade.
Uma LCD é um aparelho que usa esses 4 fatores de
maneira surpreendente!
Para criar uma LCD são necessários 2 pedaços de vidro
polarizado. Um polímero especial que cria ranhuras
microscópicas na superfície é friccionado no lado do
vidro que não tem o filme polarizador. As ranhuras
devem estar na mesma direção do filme polarizador.
Adiciona-se então uma camada de cristais líquidos
nemáticos a um dos filtros. As ranhuras farão a primeira
camada de moléculas se alinhar com a orientação do
filme. Então, acrescenta-se o segundo pedaço de vidro
com o filme polarizador formando um ângulo reto em
relação ao primeiro pedaço. Cada camada sucessiva de
moléculas TN (nemáticas torcidas) vai gradualmente se
torcer até que a camada mais superior esteja em um
ângulo de 90° com a parte inferior, coincidindo com os
filtros de vidro polarizado.
Quando a luz atinge o primeiro filtro, ele é polarizado.
Então, as moléculas em cada camada guiam a luz que
recebem até a próxima camada. À medida em que a luz
passa através das camadas de cristal líquido, as
moléculas também mudam o plano de vibração da luz
para coincidir com o seu próprio ângulo. Quando a luz
alcança o lado mais distante da substância de cristal
líquido, ela vibra no mesmo ângulo que a camada final
de moléculas. Se a camada final coincidir com o segundo
filtro de vidro polarizado, então a luz atravessará.
Se aplicarmos uma carga elétrica às
moléculas de cristal líquido, elas vão se distorcer.
Quando se esticam, mudam o ângulo da luz que
passa através delas de maneira que ela não coincida
mais com o ângulo do filtro polarizador de cima.
Conseqüentemente, nenhuma luz consegue passar
através dessa área da LCD, o que a torna mais escura
que as áreas circundantes.
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