Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em
Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística
Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior
Aula 7 - Questões Comentadas e Resolvidas
Análise
Combinatória:
combinações,
arranjos
e
permutações.
Probabilidades: conjuntos, eventos, axiomas, probabilidades conjunta
e condicional, independência, regras de adição, regra da multiplicação,
teoremas da probabilidade total e de Bayes.
Julgue os itens a seguir.
1. As placas dos automóveis do Brasil são compostas por três letras e quatro
números. O número máximo de veículos que podem ser licenciados pelo
Detran, de acordo com esse padrão de confecção das placas, é menor que
180.000.
Resolução
PRELIMINARES
Fatorial: seja n um número inteiro não negativo. O fatorial de n, representado
pelo símbolo n!, é definido conforme abaixo:
n! = n.(n-1).(n-2).(n-3)....3.2.1
Exemplos:
I) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3.628.800
II) 9! = 9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 362.880
III) 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40.320
IV) 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040
V) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
VI) 5! = 5.4.3.2.1 =120
VII) 4! = 4.3.2.1 = 24
VIII) 3! = 3.2.1 = 6
IX) 2! = 2.1 = 2
X) 1! = 1
XI) 0! = 1 (por definição)
É importante saber o conceito de fatorial para a prova, não porque cairá
fatorial (na verdade, não vai cair uma questão específica sobre fatorial na
prova), mas em virtude dos conceitos de Permutação, Arranjo e Combinação.
Portanto, memorize o que foi exposto acima.
Princípio Fundamental da Contagem (Regra do Produto): Caso um
evento qualquer ocorra em n etapas consecutivas e independentes da seguinte
maneira:
Primeira etapa: existem k1 maneiras diferentes de ocorrer o evento.
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Segunda etapa: existem k2 maneiras diferentes de ocorrer o evento.
Terceira etapa: existem k3 maneiras diferentes de ocorrer o evento.
(...)
Enésima etapa: existem kn maneiras diferentes de ocorrer o evento.
Número Total de Maneiras de Ocorrer o Evento = k 1 .k 2 .k 3 .k 4 ...k n
Voltemos à resolução do item.
Nosso alfabeto possui 26 letras (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q,
R, S, T, U, V, X, Y, W, Z). Nós utilizamos a base decimal, que possui 10
algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
A placa é composta da seguinte maneira:
(Letra) (Letra) (Letra) (Número) (Número) (Número) (Número)
Exemplo: LAG 2134
Logo, para a primeira letra, temos 26 possibilidades, assim como para a
segunda e para a terceira. Para o primeiro número temos 10 possibilidades,
assim como para o segundo, para o terceiro e para o quarto.
Portanto, o número máximo de placas (veículos licenciados) seria:
(Letra) (Letra) (Letra) (Número) (Número) (Número) (Número)
26
x
26
x
26
x
10
x
10
x
10
x
10
= 26 3 x 104
Número Máximo de Placas = 175.760.000.
GABARITO: Certo
2. O número de arranjos das letras a, b e c, tomadas duas de cada vez, é igual
a 6.
Resolução
PRELIMINARES
Arranjos Simples
Uma coleção (ou conjunto) de n elementos constitui uma população de
tamanho n (a ordem dos n elementos não importa). Duas populações são
diferentes se uma contém pelo menos um elemento não contido na outra
(neste caso, diz-se que elas têm naturezas distintas). Uma subpopulação de
tamanho r de uma população de tamanho n é um subconjunto de r elementos
tomados da população original. De forma análoga, duas subpopulações são
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diferentes, isto é, têm naturezas distintas, se uma tem pelo menos um
elemento diferente da outra.
Seja uma população de n elementos
Qualquer arranjo ordenado
é denominado uma amostra ordenada (arranjo ordenado) de
tamanho r.
Considere uma urna genérica contendo n bolas numeradas distintas. As bolas
são removidas uma a uma. Quantas amostras ordenadas distintas de
tamanho r podem ser formadas? Há dois casos:
(i)
Amostragem com reposição. Neste caso, temos n escolhas para a
primeira bola, n escolhas para a segunda bola, e assim sucessivamente. Deste
modo, há nr amostras ordenadas distintas de tamanho r.
(ii)
Amostragem sem reposição. Neste caso, temos n escolhas para a
primeira bola, (n-1) escolhas para a segunda bola, e assim sucessivamente.
Deste modo, há
amostras ordenadas distintas de tamanho r.
A equação define a fórmula do arranjo simples, pois fornece o número
de agrupamentos (amostras) ordenados possíveis de n elementos
um conjunto, tomados r a r, considerando r elementos distintos.
Portanto, o número de arranjos das letras a, b e c, tomadas duas de cada vez.
São: ab, ba, ac, ca, bc, cb. Observe que um arranjo
leva em consideração a ordem de sua disposição
GABARITO: Certo
3. Suponha que o seu Internet Banking exija que você cadastre uma senha de
seis dígitos, com as seguintes características:
•
só é possível utilizar os algarismos de 0 a 9; e
•
os dígitos devem ser distintos.
Então o número máximo de senhas que você pode criar é maior que 152.000.
Resolução
Observe que a senha 012345 é diferente da senha 102345, ou seja, a ordem
dos dígitos gera possibilidades diferentes. Além disso, a senha 012345 é
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diferente da senha 012346, ou seja, a natureza do elementos também gera
possibilidades diferentes.
Contudo, você poderia perguntar: mas professores, preciso saber a fórmula do
arranjo para resolver esta questão? A resposta é não. Basta utilizar o que
temos que melhor: o raciocínio, ou se preferir, o raciocínio lógico.
A senha a ser criada será formada por seis números distintos. O "dígito 1"
(D1), temos 10 possibilidades (de 0 a 9). Contudo, para o "dígito 2" (D2),
como os números devem ser distintos, teríamos 9 possibilidades, pois devemos
retirar o número utilizado no "dígito 1". Para o "dígito 3" (D3), teríamos 8
possibilidades, e assim por diante.
Deste modo teríamos,
10 x 9 x 8 x 7 x 6 x " 5 = 151.200 senhas distintas.
(D1) (D2) (D3) (D4) (D5) (D6)
Viu como é fácil! E nem foi necessário usar a fórmula do arranjo.
Mas, se você é fanático(a) por fórmulas e prefere memorizá-las, obtemos o
mesmo resultado utilizando a fórmula do arranjo simples (sabendo que as
possibilidades serão distintas em virtude da ordem e da natureza dos
elementos):
•
n = 10 algarismos
•
r = 6 dígitos (senha)
A10,6 = n!/(n - r)! = 10!/(10 - 6)! = 10!/4! = (10.9.8.7.6.5.4!)/4! = 151.200.
Nota: bizu de fatorial para a prova:
10! = 10.9! = 10.9.8! = 10.9.8.7! = 10.9.8.7.6! = 10.9.8.7.6.5! =
= 10.9.8.7.6.5.4! = 10.9.8.7.6.5.4.3! =
= 10.9.8.7.6.5.4.3.2! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
Generalizando:
n! = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)! = n.(n-1).(n-2).(n-3)! = ...
GABARITO: Errado
4. Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4}. O número de permutações possíveis
de seus elementos é 24
Resolução
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Permutações Simples
Quando os arranjos são formados por todos os elementos do conjunto dado e,
além disso, diferem entre si somente em função da ordem de seus
elementos, temos uma permutação simples. Assim, a permutação de n
elementos distintos, tomados n de cada vez, será dada por
Ressaltamos que, na permutação, os agrupamentos ou possibilidades serão
diferentes entre si pela ordem apenas.
Deste modo,
Permutações possíveis (somente para conferência):
GABARITO: Certo
5. Cinco concurseiros(as) compraram cinco passagens aéreas para conhecer o
país ESÁFIO. As passagens vieram com os seguintes assentos marcados: 1A,
1B, 1C, 1D e 1E. Podemos afirmar que o número de possibilidades distintas de
ocupação dos cinco lugares reservados no avião é igual a 24 (considere que
não seja preciso levar em conta o nome de cada pessoa nas passagens
aéreas).
Resolução
Devemos calcular o número de possibilidades de cinco concurseiros(as)
sentarem-se em cinco lugares diferentes. Não há como variar a natureza dos
elementos, tendo em vista que 5 concurseiros(as) ocuparão 5 assentos
distintos. As possibilidades serão diferentes entre si apenas em função da
ordem. Logo, trata-se de permutação.
É necessário guardar a fórmula da permutação para resolver a questão? A
resposta é NÃO. Vejamos o raciocínio a seguir.
Comecemos pelo assento 1A. Qualquer uma das cinco pessoas pode ocupar
este assento. Temos então cinco possibilidades de ocupação para o lugar 1A.
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Mas somente uma de quatro pessoas pode ocupar o assento 1B, pois uma
delas assentou-se no lugar 1A. Logo, há quatro possibilidades de ocupação
para o lugar 1B. Na sequência, somente três pessoas podem ocupar o assento
1C, haja vista que duas delas já estão sentadas nos lugares 1A e 1B, e assim
sucessivamente. Deste modo, o esquema de possibilidades de ocupação é o
seguinte:
(Lugar 1A) (Lugar 1B) (Lugar 1C) (Lugar 1D) (Lugar 1E)
= 120 possibilidades
É claro que também podemos resolver este item através da aplicação da
fórmula da permutação (as possibilidades são distintas em virtude da ordem
dos elementos):
Ps = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
GABARITO: Errado
6. O número de maneiras distintas em que cinco indivíduos (P1, P2, P3, P4 e
P5) podem assentar-se ao redor de uma mesa circular é 120.
Resolução
Permutações Circulares:
problemas que envolvem n pessoas em torno de uma mesa circular.
Note que, como as pessoas são colocadas ao redor da mesa, as arrumações
{P1,P5,P4,P3,P2} e {P3,P2,P1,P5,P4} são iguais, pois, para cada pessoa
selecionada, os vizinhos à esquerda e à direita permanecem os mesmos. Deste
modo, o giro de uma dada arrumação (como {P1,P5,P4,P3,P2}) ao redor da
mesa não altera a disposição dos elementos, pois a mesa é circular.
GABARITO: Errado
7. Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4}. O número de subconjuntos possíveis
de seus elementos é igual a 16.
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Resolução
Devemos determinar o número de subconjuntos possíveis. Portanto, pouco
importa a ordem, tendo que vista que o conjunto {1, 2, 3}, por exemplo, é
igual ao conjunto {2, 1, 3}. Contudo, a natureza influencia nas possibilidades,
pois o conjunto {1, 2, 3}, por exemplo, é diferente do conjunto {1, 2, 4}.
Logo, deve ser utilizada a combinação.
Neste caso, é mais fácil determinar todos os subconjuntos por número de
elementos, ou seja, o subconjunto vazio, os subconjuntos com 1 elemento, os
subconjuntos com 2 elementos, os subconjuntos com 3 elementos e os
subconjuntos com 4 elementos.
Subconjunto vazio:
apenas 1 grupo. Vamos conferir pela fórmula da
combinação? Neste caso seria a combinação de 4 elementos, tomados 0 a 0:
Subconjuntos com 1 elemento:
grupos. Vamos
conferir pela fórmula da combinação? Neste caso seria a combinação de 4
elementos, tomados 1 a 1.
Subconjuntos de 2 elementos:
6 grupos. Vamos conferir pela fórmula da combinação? Neste caso seria a
combinação de 4 elementos, tomados 2 a 2:
Observe que aqui não importa a ordem, tendo em vista que, por exemplo, o
subconjunto {1,2} é igual ao subconjunto {2,1}:
Subconjuntos de 3 elementos:
grupos. Vamos conferir pela fórmula da combinação? Neste caso seria a
combinação de 4 elementos, tomados 3 a 3:
Subconjuntos de 4 elementos:
apenas 1 grupo. Vamos conferir
pela fórmula da combinação? Neste caso seria a combinação de 4 elementos,
tomados 4 a 4.
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Logo, o número total de subconjuntos é: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16.
Nota:
Generalizando:
(
)
REVISÃO DA NOÇÃO DE COMBINAÇÕES SIMPLES
Suponha que desejemos saber o seguinte: quantas subpopulações (grupos) de
tamanho r podem ser formadas a partir de uma população de tamanho n? Por
exemplo, considere 6 bolas numeradas de 1 a 6. Quantos grupos de tamanho
2 podem ser formados? A tabela abaixo mostra que 15 grupos de tamanho 2
podem ser formados:
12
13
14
15
16
23
24
25
26
34
35
36
45
46
56
Note que isto é diferente do número de amostras ordenadas que podem ser
formadas sem reposição (arranjos simples). A tabela a seguir mostra que
= 6 x 5 = 30 arranjos podem ser obtidos:
12
13
14
15
16
21
23
24
25
26
31
32
34
35
36
41
42
43
45
46
51
52
53
54
56
61
62
63
64
65
A tabela acima, por sua vez, é diferente do número de amostras que podem
ser formadas com reposição (62 = 36):
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12
22
42
32
52
62
13
23
33
43
53
63
14
24
44
34
54
64
15
25
35
45
55
65
16
26
36
46
56
66
Note que os grupos da primeira tabela (aquela com 15 grupos) diferem entre si
somente em função da natureza de seus elementos e que a ordem não
importa. Neste caso, diz-se que a primeira tabela relaciona as 15
combinações (simples) possíveis de n = 6 elementos tomados 2 a 2.
Adotaremos no restante desta aula a notação
para a combinação
de n elementos tomados r a r.
Uma fórmula geral para o número
de combinações de tamanho r em uma
população de tamanho n pode ser deduzida como a seguir. Considere uma
urna com n bolas distintas. Nós já sabemos que o número de arranjos de n
elementos, tomados r de cada vez, é
Agora considere uma subpopulação
específica de tamanho r. Para esta subpopulação, há r! arranjos distintos.
Desta forma, para
combinações (subpopulações) devem existir
diferentes amostras ordenadas de tamanho r. Portanto,
ou
A fórmula acima define o coeficiente binomial.
GABARITO: Certo
8. O número de grupos distintos de 3 pessoas que podem se formados com
João, Maria, José, Mário e Joana é maior que 10.
Resolução
Quando formamos grupos de pessoas, a ordem não importa, pois o grupo
Maria, José e Mário, por exemplo, é igual ao grupo José, Maria e Mário.
Contudo, a natureza dos elementos é relevante, tendo em vista que o grupo
João, Maria e José, por exemplo, é diferente do grupo João, Maria e Joana (os
elementos José e Joana não pertencem aos dois grupos).
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Portanto, teremos uma combinação de 5 pessoas (João - J1, Maria - M1, José
- J2; Mário - M2 e Joana - J3), tomadas 3 a 3 (o exemplo pede grupos
distintos de 3 pessoas):
Combinações possíveis (somente para conferência):
Note que o grupo {J1,M1,J2} é equivalente ao grupo {M1,J2,J1}, pois a ordem
não importa neste caso.
GABARITO: Errado
9. Você está se preparando para realizar a prova de Raciocínio LógicoQuantitativo do próximo concurso público e estabeleceu como objetivo resolver
(e acertar) 16 das 20 questões possíveis. Então o número de grupos de 16
questões que podem ser selecionadas é menor que 5.000
Resolução
A ordem das questões não importa. Contudo, a natureza das questões
importa, pois você pode, por exemplo, em uma possibilidade, acertar as
questões de 1 a 16 e, em outra possibilidade, acertar as questões de 1 a 15 e
17. Logo, não podemos utilizar o conceito da permutação, mas sim o da
combinação das 20 questões da prova, tomadas 16 a 16:
GABARITO: Certo
10. (Fiscal de Rendas do Município do RJ/2010/ESAF) O departamento
de vendas de imóveis de uma imobiliária tem 8 corretores, sendo 5 homens e
3 mulheres. Quantas equipes de vendas distintas podem ser formadas com 2
corretores, havendo em cada equipe pelo menos uma mulher?
A) 15
B) 45
C) 31
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10
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D) 18
E) 25
Resolução
As equipes podem ter 1 mulher e 1 homem (M, H) ou 2 mulheres (M, M).
O número de equipes do tipo (M, H) é dado por 3 x
em que o fator 3
representa o número de mulheres e
corresponde ao número de equipes
distintas formadas por homens.
O número de equipes do tipo (M, M) é dado por
número de equipes distintas formadas por mulheres.
denota o
O número n de equipes de vendas distintas que podem ser formadas com 2
corretores, havendo em cada equipe pelo menos uma mulher é então dado por
GABARITO: D
11. (AFRFB/2009/ESAF) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são
coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que
destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta.
Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é
igual a:
A) 16
B) 28
C) 15
D) 24
E) 32
I - Total de Retas Possíveis (considerando pontos não colineares)
A ordem não importa, pois a reta AB, por exemplo, seria igual a reta BA.
Contudo, a natureza importa, pois a reta AB é diferente da reta AC. Devemos
calcular a combinação de 7 pontos, tomados 2 a 2.
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II - Total de Retas formadas por 4 pontos não colineares
III - Total de Retas formadas por 4 pontos colineares
Se os pontos são colineares, já estão na mesma reta
= 1 reta.
Número N de Retas determinadas pelos 7 pontos:
GABARITO: A
12. (APO/2010/ESAF) Beatriz é fisioterapeuta e iniciou em sua clínica um
programa de reabilitação para 10 pacientes. Para obter melhores resultados
neste programa, Beatriz precisa distribuir esses 10 pacientes em três salas
diferentes, de modo que na sala 1 fiquem 4 pacientes, na sala 2 fiquem 3
pacientes e na sala 3 fiquem, também, 3 pacientes. Assim, o número de
diferentes maneiras que Beatriz pode distribuir seus pacientes, nas três
diferentes salas, é igual a:
A) 2.440
B) 5.600
C) 4.200
D) 24.000
E) 42.000
Resolução
Será adotada a notação
Total de Possibilidades = 210 x 20 x 1 = 4.200
GABARITO: C
13. (APO/2010/ESAF) Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce,
Carlão, Denílson e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que está
comemorando 100 anos de existência. Dona Matilde, uma antiga moradora,
ficou encarregada de formar uma comissão que será a responsável pela
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decoração da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, três
pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendose que Denílson não pertence à comissão formada, então a probabilidade de
Carlão pertencer à comissão é, em termos percentuais, igual a:
A) 30 %
B) 80 %
C) 62 %
D) 25 %
E) 75 %
Resolução
A probabilidade de Carlão pertencer à comissão é dada pela razão (vide item
15.1 da aula passada)
P = (no de resultados favoráveis)/(n o de resultados possíveis).
Sabe-se que foi formada uma comissão de 3 pessoas entre 5, com a restrição
de que Denilson não pertence à comissão. Então o "n o de resultados possíveis"
(= número de elementos do espaço amostral do experimento aleatório) é igual
ao número de comissões de 3 pessoas que podem ser formadas sem o
Denilson (neste caso temos uma população de n=4 pessoas):
O "n o de resultados favoráveis" é igual ao número de comissões de 3 pessoas
que poderiam ser formadas com a presença do Carlão:
Logo, P = 3/4 = 75%.
GABARITO: E
14. (APO/2010/ESAF) As apostas na Mega-Sena consistem na escolha de 6
a 15 números distintos, de 1 a 60, marcados em volante próprio. No caso da
escolha de 6 números tem-se a aposta mínima e no caso da escolha de 15
números tem-se a aposta máxima. Como ganha na Mega-sena quem acerta
todos os seis números sorteados, o valor mais próximo da probabilidade de um
apostador ganhar na Mega-sena ao fazer a aposta máxima é o inverso de:
A) 20.000.000.
B) 3.300.000.
C) 330.000.
D) 100.000.
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E) 10.000.
Resolução
A probabilidade de uma pessoa que fez a aposta máxima acertar na MegaSena é dada por
P = (no de resultados favoráveis)/(n o de resultados possíveis).
Como a gente determina o "n o de resultados possíveis"? Basta pensar no
experimento aleatório "sorteio da Mega-Sena". Sabemos que são escolhidos,
por ocasião do sorteio, 6 números de forma aleatória. Assim, o "n o de
resultados possíveis" (= número de elementos do espaço amostral) é dado por
C 6 0 , 6 , que representa o número de enuplas (ou vetores) com 6 elementos que
podem ser obtidas a partir de 60 números.
E o "n o de resultados favoráveis"? Se você parar para pensar um pouco a
respeito, chegará a conclusão que o "n o de resultados favoráveis" é igual ao
número de enuplas com 6 elementos que podem ser obtidas a partir de uma
aposta com 15 números, ou seja,
Nota: você acabou de aprender como é calculada a tabela abaixo, que pode
ser encontrada no site da Caixa Econômica Federal:
PROBABILIDADE DE ACERTO NA MEGA-SENA
Quantidade de
números jogados
6
7
8
9
10
11
12
13
Valor da
Aposta (R$)
2,00
14,00
56,00
168,00
420,00
924,00
1.848,00
3.432,00
Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior
Probabilidade de acerto
(1 em ...)
50.063.860
7.151.980
1.787.995
595.998
238.399
108.363
54.182
29.175
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Observe que uma aposta na Mega-Sena com 15 números custa R$ 10.010,00.
0 preço é justificado pela probabilidade de acerto, que é de aproximadamente
1 em 10.000, como calculado nesta questão.
GABARITO: E
15. (ICMS-RJ/2008/FGV) Os jogadores A e B se encontram para jogar uma
partida de tênis em no máximo cinco sets, na qual será vencedor aquele que
primeiro ganhar três sets.
Por exemplo, partidas terminadas poderão ter como resultado: AAA, AABA,
BABAB, etc. Então, o número de possíveis resultados para uma partida
terminada é:
A) 4.
B) 10.
C) 6.
D) 20.
E) 8.
Resolução
A partida termina em 3 sets se os resultados são:
resultados.
AAA ou
BBB
A partida termina em 4 sets se os resultados são: AABA, BBAB, ABAA, BABB,
BAAA ou ABBB
A partida termina em 5 sets se os resultados são: AABBA, BBAAB, ABBAA,
BAABB, BBAAA, AABBB, ABABA, BABAB, BAABA, ABBAB, BABAA ou ABABB
12 resultados.
Portanto, há (2 + 6 + 12) = 20 resultados possíveis.
GABARITO: D
16. (TFC-CGU/2008/ESAF) Ana precisa fazer uma prova de matemática
composta de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver
10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana
pode escolher as questões?
A) 3003
B) 2980
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C) 2800
D) 3006
E) 3005
Resolução
A ordem das questões não importa neste caso. Logo, não utilizaremos
uma permutação e sim uma combinação das 15 questões da prova,
tomadas 10 a 10.
GABARITO: A
17. (TFC-CGU/2008/ESAF) Ágata é decoradora e precisa atender o pedido
de um excêntrico cliente. Ele - o cliente - exige que uma das paredes do
quarto de sua filha seja dividida em uma seqüência de 5 listras horizontais
pintadas de cores diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata
possui apenas 8 cores disponíveis, então o número de diferentes maneiras que
a parede pode ser pintada é igual a:
A) 56
B) 5760
C) 6720
D) 3600
E) 4320
Resolução
Ágata possui 8 cores disponíveis para utilizar em 5 listras:
GABARITO: C
18. (AFTN/1998/ESAF) Uma empresa possui 20 funcionários, dos quais 10
são homens e 10 são mulheres. Desse modo, o número de comissões de 5
pessoas que se pode formar com 3 homens e 2 mulheres é:
A) 5400
B) 165
C) 1650
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D) 5830
E) 5600
Resolução
Comissões de 5 pessoas, sendo 3 homens e 2 mulheres:
1) Como 3 das pessoas do grupo serão homens, temos um total de 10 homens
(a ordem não importa); logo, teremos uma combinação de 10, tomados 3 a 3:
2) Como 2 das pessoas do grupo serão mulheres, temos um total de 10
mulheres e a ordem não importa, teremos uma combinação de 10, tomados 2
a 2:
Total de Comissões =
120 x 45 = 5.400
GABARITO: A
19. (AFT/2010/ESAF) O departamento de vendas de uma empresa possui
10 funcionários, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opções possíveis
existem para se formar uma equipe de vendas de 3 funcionários, havendo na
equipe pelo menos um homem e pelo menos uma mulher?
A) 192.
B) 36.
C) 96.
D) 48.
E) 60.
Resolução
Hipótese 1: 1 homem e 2 mulheres:
Hipótese 2: 2 homens e 1 mulher:
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Total = 60 + 36 = 96
GABARITO: C
20. (AFT/2010/ESAF/Adaptada) Em um grupo de 100 pessoas, 15 das 40
mulheres do grupo são fumantes e 15 dos 60 homens do grupo também são
fumantes. Ao se escolher ao acaso cinco pessoas do grupo, sem reposição, a
probabilidade de exatamente quatro delas serem homens fumantes é dada
por:
Resolução
I - Total de possibilidades de 4 homens fumantes em um grupo de 5 pessoas:
II - Total de possibilidades de grupos de 5 pessoas:
Probabilidade
GABARITO: B
21. (AFRFB/2009/ESAF/Adaptada) De quantas maneiras podem sentar-se
três homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, sem cabeceira, de
modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre
dois homens?
A) 72
B) 12
C) 216
D) 720
E) 360
Resolução
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Pela questão, homens (H) e mulheres (M) devem sentar à mesa redonda de
forma intercalada, conforme a figura abaixo:
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Total =
1
2
3
4
5
6
3
(Homens) = 3
(Mulheres) = 3
(Homens) = 2
(Mulheres) = 2
(Homens) = 1
(Mulheres) = 1
x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 36
Como a questão fala em mesa redonda sem cabeceira, não deve haver uma
referência. Deste modo, as possibilidades acima e a abaixo seriam iguais:
Teríamos as seguintes opções:
Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4 Posição 5 Posição 6
1
H1
M1
H2
M2
H3
M3
2
H1
M1
H2
M2
M3
H3
H1
M2
H2
M1
3
H3
M3
4
H1
M2
H2
M1
M3
H3
H1
H2
M1
M2
5
M3
H3
H1
H2
M2
M1
6
M3
H3
7
H1
M1
M2
H2
H3
M3
H1
M1
H2
M2
8
H3
M3
H1
M2
M1
H2
9
H3
M3
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H1
M2
H2
M1
10
H3
M3
11
H1
M1
H2
M2
M3
H3
12
H1
M2
H2
M1
M3
H3
H2
M1
H1
M2
13
H3
M3
14
H2
M1
H1
M2
M3
H3
H2
M2
H1
M1
15
H3
M3
H2
M2
H1
M1
16
M3
H3
17
H2
H1
M1
M2
M3
H3
H2
H1
M2
M1
18
M3
H3
H2
M1
M2
H1
19
H3
M3
H2
M1
H1
M2
20
H3
M3
21
H2
M2
M1
H1
H3
M3
22
H2
M2
H1
M1
H3
M3
H2
M1
H1
M2
23
M3
H3
24
H2
M2
H1
M1
M3
H3
M1
H1
M2
H2
25
H3
M3
M1
H1
H2
M2
26
H3
M3
27
M2
H1
M1
H2
H3
M3
M2
H1
H2
M1
28
H3
M3
H1
M1
H2
M2
29
H3
M3
H1
M2
H2
M1
30
H3
M3
M1
H2
M2
H1
31
H3
M3
32
M1
H2
H1
M2
H3
M3
M2
H2
M1
H1
33
H3
M3
34
M2
H2
H1
M1
H3
M3
H2
M1
H1
M2
35
H3
M3
H2
H2
M2
H1
M1
36
M3
Por ser uma mesa circular sem cabeceira, temos que as
possibilidades são iguais, pois estão apenas deslocadas de posição:
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seguintes
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1
22
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Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4 Posição 5 Posição 6
H1
M1
H2
M2
H3
M3
H2
M2
H1
M1
H3
M3
H1
M1
H2
M2
H3
M3
Observe as seqüências:
H1-M1-H2-M2-H3-M3
H2-M2-H3-M3-H1-M1 = H1-M1-H2-M2-H3-M3
H3-M3-H1-M1-H2-M2 = H1-M1-H2-M2-H3-M3
2
24
27
Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4 Posição 5 Posição 6
H1
M1
H2
M2
M3
H3
H2
M2
H1
M1
M3
H3
M2
M1
H2
H3
M3
H1
Sejam as seqüências:
H1-M1-H2-M3-H3-M2
H2-M3-H3-M2-H1-M1 = H1-M1-H2-M3-H3-M2
H3-M2-H1-M1-H2-M3 = H1-M1-H2-M3-H3-M2
3
20
35
Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4 Posição 5 Posição 6
H1
M2
H2
M1
H3
M3
H2
M1
H1
M2
H3
M3
H2
M1
H1
M2
H3
M3
Considere as seqüências:
H1-M2-H2-M1-H3-M3
H2-M1-H3-M3-H1-M2 = H1-M2-H2-M1-H3-M3
H3-M3-H1-M2-H2-M1 = H1-M2-H2-M1-H3-M3
E assim sucessivamente. Portanto, teríamos:
Número de Possibilidades = 36/3 = 12 possibilidades
GABARITO: B
22. (AFRFB/2009/ESAF) Considere um retângulo formado por pequenos
quadrados iguais, conforme a figura abaixo. Ao todo, quantos quadrados de
quaisquer tamanhos podem ser contados nessa figura?
A) 128
B) 100
C) 64
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D) 32
E) 18
Resolução
Para o retângulo do enunciado, somente é possível formar quadrados com "1
quadrado", com "4 quadrados" e com "9 quadrados".
Quadrados formados por "1 quadrado" = 3 x 6 = 18
Quadrados formados por "4 quadrados" = 5 (duas primeiras linhas) + 5 (duas
últimas linhas) = 10
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Quadrados formados por "9 quadrados" = 4
Total = 18 + 10 + 4 = 32 quadrados
GABARITO: D
23. (APO-MPOG/2OO8/ESAF) Marcos está se arrumando para ir ao teatro
com sua nova namorada, quando todas as luzes de seu apartamento apagam.
Apressado, ele corre até uma de suas gavetas onde guarda 24 meias de cores
diferentes, a saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que
Marcos não saia com sua namorada vestindo meias de cores diferentes, o
número mínimo de meias que Marcos deverá tirar da gaveta para ter a certeza
de obter um par de mesma cor é igual a:
A) 30
B) 40
C) 246
D) 124
E) 5
Resolução
A gaveta guarda 24 meias de cores diferentes, a saber, 5 pretas, 9 brancas, 7
azuis e 3 amarelas. As meias são de 4 cores diferentes (este dado é
essencial para a solução da questão).
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Suponha que Mário retire quatro meias da gaveta, só que uma de cada cor
(preta, branca, azul e amarela). É certo que a 5a meia será de uma cor que já
foi retirada na gaveta e neste caso garante-se que Mário terá em mãos um
par de mesma cor. Portanto, o número mínimo de meias que deverão ser
retiradas da gaveta é 5.
GABARITO: E
24. (Analista de Finanças e Controle-STN/2008/ESAF) Ana possui em
seu closed 90 pares de sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas
numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de
sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do closed quatro caixas de
sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a
terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a:
A) 681.384
B) 382.426
C) 43.262
D) 7.488
E) 2.120
Resolução
90 pares de sapatos ^ acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90.
Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de sapatos.
Ana retira do closed quatro caixas de sapatos.
O número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira
caixa retirada seja a de número 20 é igual a:
Retiradas ^ total de quatro caixas de sapatos
Primeira Caixa = 89 (total de caixas menos a caixa 20, que será a terceira
caixa a ser retirada)
Segunda Caixa = 88 (total de caixas, menos a primeira retirada e menos a
caixa 20, que será a terceira caixa a ser retirada)
Terceira Caixa = 1 (tem que ser a caixa 20)
Quarta Caixa = 87 (total de caixas, menos a primeira retirada, menos a
segunda retirada e menos a caixa 20)
Número de Retiradas Possíveis = 89 x 88 x 1 x 87 = 681.384
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Nota: os algarismos das unidades (últimos algarismos) das respostas são
diferentes. Portanto, basta multiplicar os algarismos das unidades dos valores
acima para achar a alternativa correta
resposta é a alternativa "a"). Difícil é ver isso na correria da prova. E por isso
que preferimos as soluções tradicionais, pois, você certamente, perderia mais
tempo tentando descobrir algum "macete" do que resolvendo a questão por
meio dos conceitos.
GABARITO: A
25. (Analista Administrativo-ANEEL/2006/ESAF) Um grupo de amigos
formado por três meninos - entre eles Caio e Beto - e seis meninas - entre elas
Ana e Beatriz -, compram ingressos para nove lugares localizados lado a lado,
em uma mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas
porque querem compartilhar do mesmo pacote de pipocas. Caio e Beto, por
sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem compartilhar do mesmo
pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentar-se juntas,
e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essas informações, o
número de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se é igual a:
A) 1.920
B) 1.152
C) 960
D) 540
E) 860
Resolução
Grupo: 3 meninos e 6 meninas.
Fila de Cinema:há nove lugares localizados lado a lado.
Deve-se cumprir os seguintes requisitos:
1. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do
mesmo pacote de pipocas.
2. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem
compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos.
3. Todas as meninas querem sentar-se juntas.
4. Todos os meninos querem sentar-se juntos.
Poderemos ter duas situações:
Situação 1: meninos nos primeiros lugares
Exemplo:
Lugar 1: Caio
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Lugar 2: Beto
Lugar 3: Menino
Lugar 4: Menina 1
Lugar 5: Menina 2
Lugar 6: Ana
Lugar 7: Beatriz
Lugar 8: Menina 3
Lugar 9: Menina 4
Situação 2: meninas nos primeiros lugares
Exemplo:
Lugar
Lugar
Lugar
Lugar
Lugar
Lugar
Lugar
Lugar
Lugar
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
Menina
Menina
Ana
Beatriz
Menina
Menina
Caio
Beto
Menino
1
2
3
4
Passemos à análise do número total de possibilidades. Como as meninas são
segregadas dos meninos, podemos calcular, de forma separada, o número de
permutações associados às meninas (N1) e o número de permutações
associados aos meninos (N2). Após, multiplicaremos N1 por N2 (aplicação do
princípio fundamental da contagem) e em seguida multiplicaremos o resultado
anterior por 2 (para obter 2 N 1 N 2 ) , pois deve-se levar em conta que as meninas
ou os meninos podem estar nos primeiros lugares (daí o fator 2).
No caso das meninas, podemos considerar Ana e Beatriz como se fossem uma
única pessoa, pois elas sempre sentarão juntas. Além disso, há duas
possibilidades de sentarem juntas (Ana-Beatriz ou Beatriz-Ana). Logo,
teríamos uma permutação de n = 5.
Número de maneiras diferentes das meninas se sentarem:
(*) o fator 2 surge das possibilidades Ana-Beatriz ou Beatriz-Ana
Raciocínio análogo pode ser aplicado ao caso dos meninos, ou seja, podemos
considerar Caio e Beto como se fossem uma única pessoa, pois eles sempre
sentarão juntos. Além disso, há duas possibilidades de sentarem juntos (CaioBeto ou Beto-Caio). Assim, teríamos uma permutação de n = 2.
Número de maneiras distintas dos meninos se sentarem:
N2 = 2 x P2 = 2 x 2! = 2 x 2 x 1 = 4
N o total de diferentes maneiras (meninos e meninas)
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GABARITO: A
26. (Analista Judiciário/Estatístico/TRF 1 a Região/2001/FCC). Numa
cidade onde se publicam 2 jornais, A e B, sabe-se que entre n famílias: 160,
assinam o jornal A, 35 assinam os 2 jornais A e B, 201 não assinam B e 155
assinam apenas 1 jornal. O valor de n e a probabilidade de que uma família
selecionada ao acaso, dentre as n, assinar A dado que assina B, são dados,
respectivamente, por
A) 180 e 160/266
B) 250 e 35/75
C) 266 e 7/13
D) 266 e 35/76
E) 266 e 35/266
Resolução
Se 35 das 160 famílias que assinam o jornal A também assinam o jornal B,
então o número das famílias que só assinam A é igual a 160 - 35) = 125. Se
155 famílias assinam apenas um jornal, então (155 - 125 = 30 corresponde ao
números de famílias que somente assinam B. Se 201 famílias não assinam B,
e, dado que 125 famílias assinam somente A, então temos (201 - 125) = 76
famílias que não assinam nenhum dos dois jornais. O diagrama de Venn abaixo
ilustra o nosso raciocínio.
O número de famílias no espaço amostral
266.
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A questão pede que seja calculada a probabilidade condicional P(A|B)
P(AB)/P(B).
=
Logo, P(A|B) = 35/65 = 7/13.
GABARITO: C
27. (Analista Técnico/SUSEP/2006/ESAF) Os eventos E 1 e E2 são os
conjuntos de pontos que podem estar tanto em E1, quanto em E2, como em
ambos simultaneamente. Então, a probabilidade de uma ocorrência ser do
evento E1 ou E2 é dada por:
Resolução
A probabilidade do evento A =
Logo, a resposta é a alternativa B.
GABARITO: B
28.
(ICMS-RJ/2010/FGV)
Se A
e
B
são
eventos
independentes
com
A) 0,2.
B) 0,4.
C) 0,5.
D) 0,7.
E) 0,9.
Resolução
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pois A e B são eventos
independentes. Assim,
GABARITO: D
29. (ICMS-RJ/2009/FGV) Os eventos A e B são tais que P(A) = 0,4 e P(B)
= 0,9. Assinale a única alternativa que apresenta um possível valor para
A) 0,13
B) 0,22
C) 0,31
D) 0,49
E) 0,54
Resolução
(Regra da Adição de Probabilidades)
Como não foi dado o valor de
dados
em
cada
uma
das
testaremos os valores de
alternativas,
levando
em
conta a restrição
deve ser, no
mínimo, igual a
NÃO
é
uma
medida
de
NÃO é
uma
medida
de
probabilidade.
probabilidade.
satisfaz
a
restrição
NÃO satisfaz a restrição
NÃO satisfaz a restrição
GABARITO: C
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30.
(Analista
Legislativo/Contador
da
Câmara
dos
Deputados/2007/FCC) Uma rede local de computadores é composta por um
servidor e 2 (dois) clientes (Z e Y). Registros anteriores indicam que dos
pedidos de certo tipo de processamento, cerca de 30% vêm de Z e 70% de Y.
Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentará
erro. Sabendo-se que 2% dos pedidos feitos por Z e 1% dos feitos por Y
apresentam erro, a possibilidade do sistema apresentar erro é
A) 5%
B) 4,1%
C) 3,5%
D) 3%
E) 1,3%
Resolução
Trata-se de uma aplicação direta do teorema da probabilidade total. Devemos
determinar a probabilidade do sistema apresentar erro, seja o pedido de
processamento originado pelo cliente Z ou pelo cliente Y.
Assim,
P(erro) = P(erro|Z).P(Z) + P(erro|Y).P(Y),
em que P(erro|Z) = 2% = 0,02, P(Z) = 30% = 0,30, P(erro|Y) =1% =0,01 e
P(Y) = 70% = 0,70. Substituindo esses valores obtemos,
P(erro) = (0,02 x 0,30) + (0,01 x 0,70) = 0,013 = 1,3%
GABARITO: E
31. (Analista do BACEN/Área 3/2005/FCC) Do total de títulos em poder
de um investidor, 1/8 é do tipo T1, 1/4 é do tipo T2, e o restante do tipo T3.
Sabe-se que as probabilidades de se obter uma taxa real de juros positiva com
estas aplicações são 0,60 com T 1 , 0,70 com T2 e 0,80 com T 3 . Se for escolhido
um título aleatoriamente entre estes em poder do investidor e verificar-se que
apresentou uma taxa real de juros não positiva, a probabilidade dele ser do
tipo T3 é
A) 50%
B) 40%
C) 30%
D) 20%
E) 10%
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Resolução
Pede-se que seja calculada a probabilidade do título aleatoriamente
escolhido ser do tipo T3 sabendo-se que o mesmo apresentou uma taxa
real de juros não positiva
ou seja, trata-se do cálculo da
probabilidade condicional
em que
denota o evento "título escolhido apresenta taxa real de juros não
positiva" e
é a probabilidade total de se obter uma taxa real de juros
não positiva.
Porque
é a probabilidade total de se obter
Observe que os
exaustivos, pois
eventos
são
mutuamente
exclusivos
e
Logo,
A equação acima nos dá a probabilidade total (não condicional) do evento
como uma soma das probabilidades condicionais
ponderadas,
respectivamente, pelas probabilidades dos eventos exaustivos
3.
O enunciado forneceu
Portanto,
Além disso,
Agora, podemos construir a seguinte tabela:
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Desejamos calcular
em que o numerador é a probabilidade de um título ser do tipo T3 e ter taxa
real não positiva, ou seja,
Finalmente, obtemos
GABARITO: A
32. (Analista Técnico/SUSEP/2010/ESAF). Admita que a probabilidade de
uma pessoa de um particular grupo genético ter uma determinada doença é de
30%. Um custoso e invasivo exame para diagnóstico específico dessa doença
tem uma probabilidade de um resultado falso positivo de 10% e de um
resultado falso negativo de 30%. Considerando que uma pessoa desse grupo
genético com suspeita da doença fez o referido exame, qual a probabilidade
dela ter a doença dado que o resultado do exame foi negativo?
A) 30%
B) 7,5%
C) 25%
D) 15%
E) 12,5%
Resolução
A questão cobra a aplicação do Teorema de Bayes. Devemos calcular a
probabilidade de que a pessoa tenha doença (= causa) dado que o resultado
do exame foi negativo (= efeito observado):
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em que "S" denota a parcela saudável da população (isto é, que não possui a
doença), "D" representa a parcela da população que tem a doença, "-" e "+"
denotam "resultado negativo" e "resultado positivo", respectivamente.
O enunciado fornece as seguintes probabilidades a priori:
- P(D) = 30% = 0,3
- P(S) = 1 - 0,3 = 0,7
- P(+|S) = 0,1 (falso positivo)
- P(-|D) = 0,3 (falso negativo)
Logo, P(+|D) = 1 - P(-|D) = 1 - 0,3 = 0,7. Além disso, temos que P(-|S) = 1
- P(+|S) = 1 - 0,1 = 0,9.
REVISÃO DO TEOREMA DE BAYES
De acordo com o cálculo das probabilidades
como
temos que
A fórmula acima é o Teorema (ou Regra) de Bayes.
Em geral, se A1, A 2 , ..., Ak forem eventos mutuamente exclusivos e exaustivos
e B for qualquer evento, então a regra de Bayes pode ser reescrita como
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Observe que o denominador da fórmula anterior é a probabilidade total de B
ocorrer.
O Teorema de Bayes nos permite calcular as probabilidades dos vários eventos
que podem causar ou provocar a ocorrência de B. Por este motivo, o
Teorema de Bayes também é conhecido como o teorema que nos dá a
probabilidade da causa
dado o efeito observado (evento B).
Na prática, a
posteriori de
probabilidade
dado
é conhecida como probabilidade a
é denominada probabilidade a priori de
dado
é a probabilidade da causa ou a priori de
Geralmente, as
probabilidades a priori são estimadas a partir de medições passadas ou
pressupostas pela experiência, ao passo que as probabilidades a posteriori são
medidas ou calculadas a partir de observações.
Exemplo. A probabilidade de que um novo teste de baixo custo identifique
corretamente alguém com AIDS, dando positivo, é 0,99; e a probabilidade de
que o teste identifique corretamente alguém sem AIDS, dando negativo, é
0,95. Suponha que a incidência de AIDS na população seja igual a 0,0001.
Uma pessoa é escolhida ao acaso, faz o teste e o resultado dá positivo. Qual é
a probabilidade de que esse indivíduo tenha AIDS?
Devemos calcular a probabilidade de que o indivíduo tenha AIDS (= causa)
dado que o resultado do teste foi positivo (= efeito observado):
em que "S" denota a parcela saudável da população (isto é, não infectada pelo
vírus), "D" representa a parcela da população que tem a doença (ou seja, a
parcela infectada) e "+" denota o evento "resultado positivo".
O enunciado fornece as seguintes probabilidades a priori:
- P(S) = 1 - 0,0001;
- P(D) = 0,0001;
- P(+|D) = 0,99;
- P(-|S) = 0,95;
Logo, P(+|S) = 1 - P(-|S) = 1 - 0,95 = 0,05. Além disso, temos que P(-|D) =
1 - P(+|D) = 1 - 0,99 = 0,01.
A figura a seguir ilustra a aplicação do Teorema de Bayes nesta questão:
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POPULAÇAO
RESULTADO DO TESTE
Nota: podemos descrever o espaço amostral
do experimento aleatório
proposto pelo exemplo utilizando a notação genérica
= {(X,Y): X = 0 ou 1, Y = 0 ou 1} = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}.
Assim, os resultados elementares de
(0, 0) = (S, -)
(0, 1) = (S, +)
(1, 0) = (D, -)
(1, 1) = (D, +)
GABARITO: E
33. (Analista de Finanças e Controle STN/2008/ESAF) Dois eventos A e
B são ditos eventos independentes se e somente se:
A) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula.
B) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A.
C) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B.
D) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A.
E) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1.
Resolução
Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente se a
ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A e vice-versa.
GABARITO: D
34. (Analista de Finanças e Controle STN/2008/ESAF) Marco estuda em
uma universidade na qual, entre as moças de cabelos loiros, 18 possuem olhos
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azuis e 8 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos pretos, 9
possuem olhos azuis e 9 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos
ruivos, 4 possuem olhos azuis e 2 possuem olhos castanhos. Marisa seleciona
aleatoriamente uma dessas moças para apresentar para seu amigo Marco. Ao
encontrar com Marco, Marisa informa que a moça selecionada possui olhos
castanhos. Com essa informação, Marco conclui que a probabilidade de a moça
possuir cabelos loiros ou ruivos é igual a:
A) 0
B) 10/19
C) 19/50
D) 10/50
E) 19/31
Resolução
Vamos fazer uma tabela, para facilitar o entendimento:
Moças
Olhos Azuis
Olhos Castanhos
Total
Cabelos
Loiros
18
8
26
Cabelos
Pretos
9
9
18
Cabelos
Ruivos
4
2
6
Total
31
19
50
Marisa seleciona aleatoriamente uma dessas moças para apresentar para seu
amigo Marco. Ao encontrar com Marco, Marisa informa que a moça selecionada
possui olhos castanhos. Com essa informação, Marco conclui que a
probabilidade de a moça possuir cabelos loiros ou ruivos é igual a:
Evento A = "moça de cabelos loiros ou ruivos"
Evento B = "moça de olhos castanhos"
GABARITO: B
35. (ICMS-RJ/2009/FGV) Um torneio será disputado por 4 tenistas (entre
os quais A e B) de mesma habilidade, isto é, em qualquer jogo entre dois dos
quatro jogadores, ambos têm a mesma chance de ganhar.
Na primeira rodada, eles se enfrentarão em dois jogos, com adversários
definidos por sorteio. Os vencedores disputarão a final. A probabilidade de que
o torneio termine com A derrotando B na final é
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A) 1/2
B) 1/4
C) 1/6
D) 1/8
E) 1/12
Resolução
rodada) x P(A vencer B na final), pois os quatro experimentos aleatórios são
independentes.
Na primeira rodada, as seguintes duplas podem ser formadas:
•
1a possibilidade: (A,B) e (C,D)
•
2a possibilidade: (A,C) e (B,D)
•
3a possibilidade: (A,D) e (B,C)
Também temos que P(A vencer a 1a rodada) = P(B vencer a 1a rodada) = P(A
vencer B na final) = 1/2, pois em qualquer jogo entre dois dos quatro
jogadores, ambos têm a mesma chance de ganhar.
Logo,
P(A vencer B na final) = 2/3 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 2/24 = 1/12.
GABARITO: E
36. (ICMS-RJ/2007/FGV) A tabela abaixo apresenta a distribuição de 1.000
pessoas classificadas por Sexo (Masculino e Feminino) e Estado Civil (Solteiro,
Casado e Viúvo).
Sexo
Estado Civil
Solteiro
Casado
Viúvo
Total
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M
F
Total
300
200
100
600
200
100
100
400
500
300
200
1.000
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Uma pessoa é selecionada ao acaso. A probabilidade de que ela seja do sexo
Feminino ou Viúva é igual a:
A) 0,6.
B) 0,2.
C) 0,5.
D) 0,7.
E) 0,4.
Resolução
P(sexo Feminino ou Viúva) = P(sexo Feminino) + P(Viúva) - P(sexo Feminino e
Viúva).
P(sexo Feminino) = 400/1.000
P(Viúva) = 200/1.000
P(sexo Feminino e Viúva) = 100/1.000
Logo, P(sexo Feminino ou Viúva)
100/1.000 = 500/1.000 = 0,5.
=
400/1.000
+
200/1.000
-
GABARITO: C
37. (ICMS-RJ/2007/FGV) Sejam A e B dois eventos definidos em um
espaço amostral S de modo que P(A) = 0,70, P(B) = 0,20 e
Então, pode-se dizer que A e B são eventos:
A) mutuamente exclusivos.
B) complementares.
C) elementares.
D) condicionais.
E) independentes.
A e B são eventos
independentes.
GABARITO: E
38. (TFC-CGU/2008/ESAF) Uma empresa de consultoria no ramo de
engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4
engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando- se, ao acaso, três desses
profissionais para constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os
três profissionais sorteados serem do mesmo sexo é igual a:
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A) 0,10
B) 0,12
C) 0,15
D) 0,20
E) 0,24
Resolução
I - Probabilidade de sortear três homens:
Total de Engenheiros = 6
p(três homens) = (6/10) x (5/9) x (4/8) = (3/5) x (5/9) x (1/2) = 0,1667
II - Probabilidade de sortear três mulheres:
Total de Engenheiras = 4
p(três mulheres) = (4/10) x (3/9) x (2/8) = (2/5) x (1/3) x (1/4) = 0,0333
Probabilidade de Sortear Três Pessoas do Mesmo Sexo (P)
P = P(três homens) + P(três mulheres) = 0,1667 + 0,0333 = 0,20
GABARITO: D
39. (Assistente Técnico-Administrativo-MF/2009/ESAF) Ao se jogar um
determinado dado viciado, a probabilidade de sair um número 6 é de 20%,
enquanto que as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre
si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da
probabilidade de um número par sair duas vezes?
A) 20%
B) 27%
C) 25%
D) 23%
E) 50%
Resolução
Dado viciado: P(X = 6) = 0,2
As probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si.
P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = P(X = 4) = P(X = 5) = (1-0,2)/5 = 0,8/5 =
0,16.
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Ao se jogar o dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de
um número par sair duas vezes?
I - Dado jogado pela primeira vez:
P(X par na jogada 1) = P(X = 2) + P(X = 4) + P(X = 6) = 0,16 + 0,16 + 0,20
= 0,52
II - Dado jogado pela segunda vez:
P(X par na jogada 2) = 0,52
Probabilidade de um número par sair duas vezes (eventos independentes):
P(par nas duas vezes) = P(X par na jogada 1) x P(X par na jogada 2) = 0,52 x
0,52 = 27,04%
GABARITO: B
40. (Adm. Pleno/Petrobrás/2005/CESGRANRI0) Joga-se um dado não
tendencioso. Se o resultado não foi "quatro", qual é a probabilidade de que
tenha sido "um"?
A) 1/5
B) 1/6
C) 1/9
D) 1/12
E) 1/18
Resolução
Se já se sabe, a priori, que o resultado não foi "quatro", então só nos restam
cinco possibilidades equiprováveis. Logo, a probabilidade de que tenha sido
"um" é igual a 1/5.
Também podemos resolver aplicando a fórmula da probabilidade condicional,
pois a probabilidade de que o resultado dê "um" e
que ao mesmo tempo seja diferente de "quatro" é igual a probabilidade de se
obter "um",
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Então
GABARITO: A
41. (TCE-ES/Economia/2001/ESAF) Num teste de múltipla escolha, um
estudante sabe uma questão ou "chuta" a resposta. Seja 2/3 a probabilidade
de que o estudante saiba uma questão do teste. Suponha que cada questão
tenha 5 alternativas e que a probabilidade de acertar no "chute" seja 1/5.
Assinale a opção que dá a probabilidade condicional de que o estudante saiba
realmente uma pergunta que respondeu corretamente.
A) 1/5
B) 2/15
C) 10/11
D) 2/3
E) 13/15
Resolução
Esta questão aborda o Teorema de Bayes. Um possível método de resolução é
baseado no uso de um diagrama binário como o que se segue abaixo:
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O enunciado diz que a probabilidade de que o estudante saiba uma questão do
teste (X=1) é 2/3, ou seja, PX(1) = 2/3. Logo, PX(0) = 1 - 2/3 = 1/3
(probabilidade de o estudante não saber a questão).
Observe que Y=0 denota o evento "resposta errada", enquanto que Y=1
representa a "resposta certa". A probabilidade de acertar no "chute" é 1/5, ou
seja, a probabilidade de transição
Py|x(110) = 1/5.
Então, a probabilidade de transição complementar P y|x (0|0) (probabilidade de
errar no "chute") é dada por
Py|x(0|0) = 1 - Py|x(1|0) = 4 / 5 .
Está implícito que a probabilidade de o estudante acertar a resposta
quando sabe a questão é igual a 1, isto é,
Py|x(1|1) = 1.
Logo, a probabilidade de errar quando sabe a questão é nula, pois
Py |x(0|1) = 1 - 1 = 0.
Finalmente, chegamos a uma versão completa do DIAGRAMA BINÁRIO:
Note que as probabilidades PY(0) e PY(1) são calculadas pelo Regra da
Probabilidade Total.
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Se o estudante acertou a resposta (Y=1 é o efeito observado), a
probabilidade condicional de que o estudante saiba realmente a pergunta (X=1
é a causa) é dada por (Regra de Bayes)
GABARITO: C
42. (Adm. Jr./REFAP/2007/CESGRANRIO) A probabilidade de que o preço
da farinha de trigo aumente em determinado mês é estimada em 40%. Se isso
ocorre, a probabilidade de que o preço do pão francês também aumente é de
50%; caso contrário, a probabilidade de aumento do pão francês será de
apenas 10%. Se o preço do pão francês subiu, a probabilidade de que o preço
da farinha de trigo tenha sofrido majoração é igual a:
A) 1/13
B) 2/10
C) 6/13
D) 6/11
E) 10/13
Resolução
O enunciado diz que a probabilidade de que o preço da farinha de trigo
aumente em determinado mês (X=1) é estimada em 40%. Logo, temos as
seguintes probabilidades a priori: PX(1) = 0,40 e PX(0) = 1 - 0,40 = 0,60.
Observe que X=0 denota o evento "preço da farinha de trigo não aumentou".
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Foi dito que se X=1 (preço da farinha de trigo aumentou), a probabilidade de
que o preço do pão francês também aumente (Y=1) é de 50%, ou seja, foi
dada a probabilidade de transição
Py|x(1|1) = 0 , 5 0 .
Então, a probabilidade de transição complementar Py|x(0|1) (probabilidade de
que o preço do pão francês não aumente (Y=0) dado que o preço da
farinha de trigo aumentou (X=1)) é dada por
Py|x(0|1) = 1 - 0 , 5 0 = 0 , 5 0 .
Caso o preço da farinha de trigo NÃO aumente (X=0), a probabilidade de
aumento do pão francês (Y=1) será de apenas 10%, ou seja,
Py|x(1|0) = 0 , 1 0 .
Portanto, se o preço da farinha de trigo NÃO aumentar (X=0), a
probabilidade do preço do pão francês também NÃO aumentar (Y=0) será
de
Py|x(0|0) = 1 - 0 , 1 0 = 0 , 9 0 .
Agora, chegamos a uma versão completa do DIAGRAMA BINÁRIO:
Note que as probabilidades PY(0) e PY(1) são calculadas pelo Teorema da
Probabilidade Total.
Se o preço do pão francês subiu (Y=1 é o efeito observado), a probabilidade
de que o preço da farinha de trigo tenha sofrido majoração (X=1 é a causa)
é, pelo Teorema de Bayes, dada por
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GABARITO: E
43. (Analista do BACEN/2002/ESAF) Uma empresa fabrica motores a jato
em duas fábricas A e B. Um motor é escolhido ao acaso de um lote de
produção. Nota-se que o motor apresenta defeitos. De observações anteriores
a empresa sabe que 2% e 3% são as taxas de motores fabricados com algum
defeito em A e B, respectivamente. Sabendo-se que a fábrica A é responsável
por 40% da produção, assinale a opção que dá a probabilidade de que o motor
escolhido tenha sido fabricado em A.
A) 0,400
B) 0,030
C) 0,012
D) 0,308
E) 0,500
Resolução
Seja um espaço amostral Q. Considere os eventos mutuamente exclusivos e
exaustivos
e um evento qualquer B. O Teorema de Bayes afirma
que
ou seja, o Teorema de Bayes nos permite calcular as probabilidades dos vários
eventos
que podem causar ou provocar a ocorrência de B. Por este
motivo, o Teorema de Bayes também é conhecido como o teorema que nos
dá a probabilidade da causa
dado o efeito observado
(evento B).
Na prática, a probabilidade
posteriori de
é conhecida como probabilidade a
é denominada probabilidade a priori de
probabilidade da causa ou a priori de
Geralmente, as probabilidades a priori são estimadas a partir de medições
passadas ou pressupostas pela experiência, ao passo que as probabilidades a
posteriori são medidas ou calculadas a partir de observações.
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Devemos calcular a probabilidade de que o motor defeituoso escolhido ao
acaso tenha sido fabricado em A. O motor observado pode ser defeituoso
(evento "D") ou não defeituoso (evento "ND"). Ou seja, pede-se para
determinar a probabilidade de que a fábrica A tenha causado o defeito
observado no motor selecionado:
O enunciado fornece as seguintes probabilidades a priori:
Portanto,
P(ND|A) = 1 - P(D|A) = 1 - 0,02 = 0,98 e
P(ND|B) = 1 - P(D|B) = 1 - 0,03 = 0,97.
A figura a seguir ilustra a aplicação do Teorema de Bayes nesta questão:
X = 0, P(A) = 0,4
Y = 0, P(ND) = ?
X = 1, P(B) = 0,6
Nota: podemos descrever o espaço amostral
do experimento aleatório
proposto pela questão utilizando a notação genérica
= {(X,Y): X = 0 ou 1, Y = 0 ou 1} = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}.
Para a questão, os resultados elementares de Q são:
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(0, 0) = (A, ND)
(0, 1) = (A, D)
(1, 0) = (B, ND)
(1, 1) = (B, D)
GABARITO: D
44. (Analista do BACEN/Área 2/2010/CESGRANRIO) A probabilidade de
um indivíduo de classe A comprar um automóvel é 3/4. Para um indivíduo de
classe B, essa probabilidade é 1/6, e para um indivíduo de classe C, ela é de
1/20. A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um fusca é 1/10,
enquanto que, para um indivíduo de classe B, essa probabilidade é 3/5 e para
um indivíduo de classe C, é de 3/10. Sabendo-se que a revendedora XPTO
vendeu um Fusca, a probabilidade de o comprador pertencer à classe B é
A) 0,527
B) 0,502
C) 0,426
D) 0,252
E) 0,197
Resolução
Sabendo-se que a revendedora XPTO vendeu um Fusca (efeito) qual é a
probabilidade de o comprador pertencer à classe B (causa)? Ou seja, qual
é o valor de P(B|Fusca)?
A pergunta formulada acima indica, de forma inequívoca, que é preciso aplicar
o Teorema de Bayes (probabilidade da causa dado o efeito observado)
para resolver a questão. O equacionamento da probabilidade P(B|Fusca) pelo
Teorema de Bayes fornece
P(B|Fusca) = P(Fusca|B)P(B)/P(Fusca)
Neste ponto da resolução, precisamos confirmar se os dados fornecidos pelo
enunciado viabilizam a aplicação do Teorema de Bayes. Recordaremos, a
seguir, o enunciado deste importante teorema do cálculo de probabilidades.
Sejam os eventos mutuamente exclusivos e exaustivos
definidos sobre o espaço amostral
então é válida a relação
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Se Z é um evento qualquer de
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O que seria o espaço amostral
dado o enunciado do problema? Quais seriam
os eventos mutuamente exclusivos e exaustivos definidos sobre
Suponha que
represente o espaço amostral dos indivíduos das classe A,
B e C que compram automóveis. Neste caso, temos os seguintes eventos
mutuamente exclusivos e exaustivos:
- Evento A: indivíduo da classe A comprar um automóvel. Neste caso, a
freqüência relativa ao evento A é 3/4, ou seja, P(A) = 3/4;
- Evento B: indivíduo da classe B comprar um automóvel, em que P(B) =
1/6;
- Evento C: indivíduo da classe C comprar um automóvel, em que P(C) =
1/20.
Será que a equação P(A) + P(B) + P(C) = 1 é verificada?
P(B) + P(C) = 1 - P(A) = 1 - 3/4 = / = 0,25
P(B) + P(C) = 1/6 + 1/20 a 0,167 + 0,05 = 0,217 * 0,25
Há uma discrepância de (0,25 - 0,217) = 0,033. Depreende-se que a banca
considerou a aproximação
P(A) + P(B) + P(C) = 0,967 a 1
Quem faria o papel do evento Z? Este evento representa a compra de um
Fusca por um indivíduo de qualquer classe, cuja probabilidade é denotada por
P(Fusca). A probabilidade total P(Fusca) é dada por
P(Fusca) = P(Fusca|A)P(A) + P(Fusca|B)P(B) + P(Fusca|C)P(C)
ou seja
P(Fusca) = (1/10)x(3/4) + (3/5)x(1/6) + (3/10)x(1/20) = 0,19
Logo
A banca utilizou o arredondamento 0,5263 ~ 0,527 (opção A).
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GABARITO: A
45. (AFT/2010/ESAF) Em uma universidade, 56% dos alunos estudam em
cursos da área de ciências humanas e os outros 44% estudam em cursos da
área de ciências exatas, que incluem matemática e física. Dado que 5% dos
alunos da universidade estudam matemática e 6% dos alunos da universidade
estudam física e que não é possível estudar em mais de um curso na
universidade, qual a proporção dos alunos que estudam matemática ou física
entre os alunos que estudam em cursos de ciências exatas?
A) 20,00%.
B) 21,67%.
C) 25,00%.
D) 11,00%.
E) 33,33%.
Resolução
Vamos supor que há um total de 100 alunos
56% dos alunos = Área de Ciências Humanas = 56 alunos
44% dos alunos = Área de Ciências Exatas = 44 alunos
5% estudam matemática = 5 alunos
6% estudam física = 6 alunos
Não é possível estudar mais de um curso.
Percentual (Matemática ou Física/Ciências Exatas)
= (5 + 6)/44 = 11/44 = 1/4 = 25%
GABARITO: C
46. (Analista Judiciário/Estatístico/TRF 1 a região/2001/FCC) Duas
urnas guardam bolas brancas e pretas. Uma das urnas tem 3 bolas brancas e 1
preta enquanto que a outra tem 3 bolas brancas e 3 pretas. Escolhendo-se
uma urna ao acaso e em seguida, sucessivamente e com reposição duas de
suas bolas, a probabilidade de ocorrer uma branca e uma preta é
A) 7/8.
B) 7/16.
C) 3/8.
D) 7/32.
E) 3/16.
Resolução
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A probabilidade de escolher qualquer uma das urnas é 1/2. O sorteio das duas
bolas é feito com reposição, ou seja, a 1a bola sorteada retorna para a urna,
de modo que as probabilidades de ocorrência das bolas são mantidas no 2°
sorteio.
Temos as seguintes probabilidades de sorteio para a urna que guarda 3 bolas
brancas e 1 preta: P(bola branca) = 3/4 e P(bola preta) = 1/4.
Para a outra urna temos: P(bola branca) = P(bola preta) = 3/6 = 1/2.
A probabilidade pedida é a probabilidade de ocorrer uma branca e uma preta.
A ordem de ocorrência não foi especificada, isto é, podemos ter branca no 1°
sorteio e preta no 2° sorteio ou o inverso. Quais são as possibilidades? Há
quatro casos possíveis:
1) escolha de uma bola branca no 1° sorteio e de uma bola preta no 2°
sorteio quando a urna escolhida é a que tem 3 bolas brancas e 1 preta
(caso 1) ou
2) caso 2: escolha de uma bola preta no 1° sorteio e de uma branca no 2°
sorteio quando a urna escolhida é a que tem 3 bolas brancas e 1 preta
(caso 2) ou
3) escolha de uma bola branca no 1° sorteio e de uma bola preta no 2°
sorteio quando a urna escolhida é a que tem 3 bolas brancas e 3 pretas
(caso 3) ou
4) escolha de uma bola preta no 1° sorteio e de uma branca no 2° sorteio
quando a urna escolhida é a que tem 3 bolas brancas e 3 pretas (caso
4).
As probabilidades dos 4 casos acima são:
P(caso 1) = (1/2)x(3/4)x(1/4) = 3/32
P(caso 2) = (1/2)x(1/4)x(3/4) = 3/32
P(caso 3) = P(1/2)x(1/2)x(1/2) = 1/8
P(caso 4) = P(1/2)x(1/2)x(1/2) = 1/8
Temos que somar as probabilidades dos 4 casos. Logo, a probabilidade de
ocorrer uma branca e uma preta é
(2 x 3/32) + (2 x 1/8) = 3/16 + 1/4 = 7/16.
GABARITO: B
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47. (AFPS/2002/ESAF) Suponha que a probabilidade de um evento C seja
0,4 e que a probabilidade condicional do evento D dado que C ocorreu seja
0,2. Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de ocorrência de D e C
A) 0,50
B) 0,08
C) 0,00
D) 1,00
E) 0,60
Resolução
Trata-se de aplicação da regra da multiplicação: P(DC) = P(D|C).P(C).
P(DC) = P(D|C).P(C) = 0,2 x 0,4 = 0,08.
GABARITO: B
(Analista do INSS com formação em estatística/2008/Cespe) Texto
para os itens de 48 a 52
Um projeto do governo tinha como objetivo atrair para o sistema
previdenciário uma parcela de trabalhadores que não eram contribuintes do
INSS. Na ocasião em que tal projeto havia sido proposto, pelos cálculos do
governo, existiam no país 19 milhões de trabalhadores com mais de 16 anos e
renda mensal de um ou mais salários mínimos que não contribuíam para a
previde ncia. Esses trabalhadores foram classificados de acordo com tres
perfis A, B e C, e a distribuicão do número de trabalhadores em cada perfil
está no quadro acima. A expectativa do governo era a seguinte: entre as
pessoas com o perfil A, a probabilidade de entrada para o sistema
previdenciário era de 0,8; para as de perfil B, a probabilidade de entrada para
o sistema era de 0,5 e os de perfil C entrariam no sistema com uma
probabilidade igual a 0,1.
Correio Braziliense, 15/11/2006, p. A-14 (com adaptações).
Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens
seguintes.
48. Na ocasião em que o projeto havia sido proposto, a probabilidade de uma
pessoa entre os 19 milhões de trabalhadores entrar para o sistema
previdenciário era superior a 0,35 e inferior a 0,40.
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Resolução
Dados:
P(entrada|A) = 0,8, P(entrada|B) = 0,5 e P(entrada|C) = 0,1.
P(A) = 3/19, P(B) = 8/19 e P(C) = 8/19. Note que P(A) + P(B) + P(C) =
3/19 + 2 x 8/19 = 1, pois A, B e C são eventos mutuamente exclusivos.
A probabilidade total de uma pessoa entrar para o sistema previdenciário é
dada por
P(entrada) = P(entrada|A).P(A) + P(entrada|B).P(B) + P(entrada|C).P(C)
P(entrada) = (0,8 x 3/19) + (0,5 x 8/19) + (0,1 x 8/19) = 7,2/19 = 0,38.
Portanto, a probabilidade de uma pessoa entre os 19 milhões de trabalhadores
entrar para o sistema previdenciário era superior a 0,35 e inferior a 0,40. O
item está certo.
GABARITO: Certo
49. A expectativa do governo era de que mais de 7 milhões de trabalhadores
fossem atraídos para o sistema previdenciário.
Resolução
P(entrada) = 0,38 = 38%
representa a fração da população que entraria
para o sistema da previdência. Logo, a expectativa do governo era de que
0,38 x 19 milhões = 7,22 milhões fossem atraídos para o INSS. O item está
certo.
GABARITO: Certo
50. Um trabalhador que atende às condições do projeto do governo, decidiu
entrar para o sistema de previdência. A probabilidade de ele ser um
trabalhador do perfil A é superior a 0,4.
Resolução
O item poderia ser parafraseado da seguinte forma: dado que um trabalhador
entrou para o sistema de previdência, qual é a probabilidade de ter o perfil A,
ou seja, qual é a probabilidade da causa ser o grupo A?
Precisamos aplicar a regra de Bayes (probabilidade da causa dado o efeito):
P(A|entrada) = P(entrada|A).P(A)/P(entrada),
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P(A|entrada) = (0,8 x 3/19)/0,38 = (0,8 x 3/19)/0,4 = 2 x 3/19 = 1/3 = 0,33
inferior a 0,4. O item está errado.
Nota: você notou que as contas acima foram feitas de forma aproximada?
Recomendamos que você adote esta tática na prova. Deste modo, o tempo
economizado na resolução desta questão poderá ser usado para resolver
outra(s) questão(ões).
GABARITO: Errado
Ainda com relação ao texto e considerando que a probabilidade de dois
trabalhadores selecionados aleatoriamente entre aqueles com o perfil A
entrarem para o sistema previdenciário é igual a a, julgue os itens
subseqüentes.
51. Por ser uma probabilidade,
pode assumir qualquer valor entre 0 e 1.
Resolução
Sejam os dois trabalhadores selecionados do grupo A denotados por T1 e T2.
Suponha que você escolha T1 e depois T2. Como o espaço amostral é muito
grande (lembre que o grupo A tem 3 milhões de pessoas), podemos considerar
que
P(T2 entrar no sistema dado que T1 foi escolhido) = P(T2 entrar no sistema),
pois a escolha aleatória de T1 não muda a probabilidade de T2 entrar no
sistema
conceito de independência. Então,
P(T1 e T2 entrarem no sistema|A) = P(entrada|A) x P(entrada|A) = 0,8 x 0,8
= 0,64 =
tem um valor fixo (= 0,64) e não pode assumir qualquer valor entre 0 e
Logo
1. Percebeu a sutileza deste item?
GABARITO: Errado.
52. O número esperado de trabalhadores do perfil A que entrarão no sistema
previdenciário aumenta à medida que a aumenta.
Resolução
A expectativa do número de trabalhadores do perfil A que entrarão no sistema
previdenciário aumentará se a probabilidade P(entrada|A) aumentar. O
aumento de a é consequência do aumento de P(entrada|A) e não sua causa,
como sugerido pelo item. Assim, concluímos que o item está errado.
GABARITO: Errado
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Abraços e até a próxima aula,
Bons estudos,
Moraes Junior
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Alexandre Lima
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Questões Comentadas e Resolvidas Nesta Aula
Julgue os itens a seguir.
1. As placas dos automóveis do Brasil são compostas por três letras e quatro
números. O número máximo de veículos que podem ser licenciados pelo
Detran, de acordo com esse padrão de confecção das placas, é menor que
180.000.
2. O número de arranjos das letras a, b e c, tomadas duas de cada vez, é igual
a 6.
3. Suponha que o seu Internet Banking exija que você cadastre uma senha de
seis dígitos, com as seguintes características:
•
só é possível utilizar os algarismos de 0 a 9; e
•
os dígitos devem ser distintos.
Então o número máximo de senhas que você pode criar é maior que 152.000.
4. Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4}. O número de permutações possíveis
de seus elementos é 24
5. Cinco concurseiros(as) compraram cinco passagens aéreas para conhecer o
país ESÁFIO. As passagens vieram com os seguintes assentos marcados: 1A,
1B, 1C, 1D e 1E. Podemos afirmar que o número de possibilidades distintas de
ocupação dos cinco lugares reservados no avião é igual a 24 (considere que
não seja preciso levar em conta o nome de cada pessoa nas passagens
aéreas).
6. O número de maneiras distintas em que cinco indivíduos (P1, P2, P3, P4 e
P5) podem assentar-se ao redor de uma mesa circular é 120.
7. Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4}. O número de subconjuntos possíveis
de seus elementos é igual a 16.
8. O número de grupos distintos de 3 pessoas que podem se formados com
João, Maria, José, Mário e Joana é maior que 10.
9. Você está se preparando para realizar a prova de Raciocínio LógicoQuantitativo do próximo concurso público e estabeleceu como objetivo resolver
(e acertar) 16 das 20 questões possíveis. Então o número de grupos de 16
questões que podem ser selecionadas é menor que 5.000
10. (Fiscal de Rendas do Município do RJ/2010/ESAF) O departamento
de vendas de imóveis de uma imobiliária tem 8 corretores, sendo 5 homens e
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3 mulheres. Quantas equipes de vendas distintas podem ser formadas com 2
corretores, havendo em cada equipe pelo menos uma mulher?
A) 15
B) 45
C) 31
D) 18
E) 25
11. (AFRFB/2009/ESAF) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são
coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que
destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta.
Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é
igual a:
A) 16
B) 28
C) 15
D) 24
E) 32
12. (AP0/2010/ESAF) Beatriz é fisioterapeuta e iniciou em sua clínica um
programa de reabilitação para 10 pacientes. Para obter melhores resultados
neste programa, Beatriz precisa distribuir esses 10 pacientes em três salas
diferentes, de modo que na sala 1 fiquem 4 pacientes, na sala 2 fiquem 3
pacientes e na sala 3 fiquem, também, 3 pacientes. Assim, o número de
diferentes maneiras que Beatriz pode distribuir seus pacientes, nas três
diferentes salas, é igual a:
A) 2.440
B) 5.600
C) 4.200
D) 24.000
E) 42.000
13. (AP0/2010/ESAF) Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce,
Carlão, Denílson e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que está
comemorando 100 anos de existência. Dona Matilde, uma antiga moradora,
ficou encarregada de formar uma comissão que será a responsável pela
decoração da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, três
pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendose que Denílson não pertence à comissão formada, então a probabilidade de
Carlão pertencer à comissão é, em termos percentuais, igual a:
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A) 30 %
B) 80 %
C) 62 %
D) 25 %
E) 75 %
14. (AP0/2010/ESAF) As apostas na Mega-Sena consistem na escolha de 6
a 15 números distintos, de 1 a 60, marcados em volante próprio. No caso da
escolha de 6 números tem-se a aposta mínima e no caso da escolha de 15
números tem-se a aposta máxima. Como ganha na Mega-sena quem acerta
todos os seis números sorteados, o valor mais próximo da probabilidade de um
apostador ganhar na Mega-sena ao fazer a aposta máxima é o inverso de:
A) 20.000.000.
B) 3.300.000.
C) 330.000.
D) 100.000.
E) 10.000.
15. (ICMS-RJ/2008/FGV) Os jogadores A e B se encontram para jogar uma
partida de tênis em no máximo cinco sets, na qual será vencedor aquele que
primeiro ganhar três sets.
Por exemplo, partidas terminadas poderão ter como resultado: AAA, AABA,
BABAB, etc. Então, o número de possíveis resultados para uma partida
terminada é:
A) 4.
B) 10.
C) 6.
D) 20.
E) 8.
16. (TFC-CGU/2008/ESAF) Ana precisa fazer uma prova de matemática
composta de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver
10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana
pode escolher as questões?
A) 3003
B) 2980
C) 2800
D) 3006
E) 3005
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17. (TFC-CGU/2008/ESAF) Ágata é decoradora e precisa atender o pedido
de um excêntrico cliente. Ele - o cliente - exige que uma das paredes do
quarto de sua filha seja dividida em uma seqüência de 5 listras horizontais
pintadas de cores diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata
possui apenas 8 cores disponíveis, então o número de diferentes maneiras que
a parede pode ser pintada é igual a:
A) 56
B) 5760
C) 6720
D) 3600
E) 4320
18. (AFTN/1998/ESAF) Uma empresa possui 20 funcionários, dos quais 10
são homens e 10 são mulheres. Desse modo, o número de comissões de 5
pessoas que se pode formar com 3 homens e 2 mulheres é:
A) 5400
B) 165
C) 1650
D) 5830
E) 5600
19. (AFT/2010/ESAF) O departamento de vendas de uma empresa possui
10 funcionários, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opções possíveis
existem para se formar uma equipe de vendas de 3 funcionários, havendo na
equipe pelo menos um homem e pelo menos uma mulher?
A) 192.
B) 36.
C) 96.
D) 48.
E) 60.
20. (AFT/2010/ESAF/Adaptada) Em um grupo de 100 pessoas, 15 das 40
mulheres do grupo são fumantes e 15 dos 60 homens do grupo também são
fumantes. Ao se escolher ao acaso cinco pessoas do grupo, sem reposição, a
probabilidade de exatamente quatro delas serem homens fumantes é dada
por:
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21. (AFRFB/2009/ESAF/Adaptada) De quantas maneiras podem sentar-se
três homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, sem cabeceira, de
modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre
dois homens?
A) 72
B) 12
C) 216
D) 720
E) 360
22. (AFRFB/2009/ESAF) Considere um retângulo formado por pequenos
quadrados iguais, conforme a figura abaixo. Ao todo, quantos quadrados de
quaisquer tamanhos podem ser contados nessa figura?
A) 128
B) 100
C) 64
D) 32
E) 18
23. (APO-MPOG/2008/ESAF) Marcos está se arrumando para ir ao teatro
com sua nova namorada, quando todas as luzes de seu apartamento apagam.
Apressado, ele corre até uma de suas gavetas onde guarda 24 meias de cores
diferentes, a saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que
Marcos não saia com sua namorada vestindo meias de cores diferentes, o
número mínimo de meias que Marcos deverá tirar da gaveta para ter a certeza
de obter um par de mesma cor é igual a:
A) 30
B) 40
C) 246
D) 124
E) 5
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24. (Analista de Finanças e Controle-STN/2008/ESAF) Ana possui em
seu closed 90 pares de sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas
numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de
sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do closed quatro caixas de
sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a
terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a:
A) 681.384
B) 382.426
C) 43.262
D) 7.488
E) 2.120
25. (Analista Administrativo-ANEEL/2006/ESAF) Um grupo de amigos
formado por três meninos - entre eles Caio e Beto - e seis meninas - entre elas
Ana e Beatriz -, compram ingressos para nove lugares localizados lado a lado,
em uma mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas
porque querem compartilhar do mesmo pacote de pipocas. Caio e Beto, por
sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem compartilhar do mesmo
pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentar-se juntas,
e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essas informações, o
número de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se é igual a:
A) 1.920
B) 1.152
C) 960
D) 540
E) 860
26. (Analista Judiciário/Estatístico/TRF 1 a Região/2001/FCC). Numa
cidade onde se publicam 2 jornais, A e B, sabe-se que entre n famílias: 160,
assinam o jornal A, 35 assinam os 2 jornais A e B, 201 não assinam B e 155
assinam apenas 1 jornal. O valor de n e a probabilidade de que uma família
selecionada ao acaso, dentre as n, assinar A dado que assina B, são dados,
respectivamente, por
A) 180 e 160/266
B) 250 e 35/75
C) 266 e 7/13
D) 266 e 35/76
E) 266 e 35/266
27. (Analista Técnico/SUSEP/2006/ESAF) Os eventos E1 e E 2 são os
conjuntos de pontos que podem estar tanto em E1, quanto em E2, como em
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ambos simultaneamente. Então, a probabilidade de uma ocorrência ser do
evento E1 ou E2 é dada por:
28. (ICMS-RJ/2010/FGV) Se A e B
probabilidades P[A]=0,4 e P[B]=0,5 então
são
eventos
independentes
com
A) 0,2.
B) 0,4.
C) 0,5.
D) 0,7.
E) 0,9.
29. (ICMS-RJ/2009/FGV) Os eventos A e B são tais que P(A) = 0,4 e P(B)
= 0,9. Assinale a única alternativa que apresenta um possível valor para
A) 0,13
B) 0,22
C) 0,31
D) 0,49
E) 0,54
30.
(Analista
Legislativo/Contador
da
Câmara
dos
Deputados/2007/FCC) Uma rede local de computadores é composta por um
servidor e 2 (dois) clientes (Z e Y). Registros anteriores indicam que dos
pedidos de certo tipo de processamento, cerca de 30% vêm de Z e 70% de Y.
Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentará
erro. Sabendo-se que 2% dos pedidos feitos por Z e 1% dos feitos por Y
apresentam erro, a possibilidade do sistema apresentar erro é
A) 5%
B) 4,1%
C) 3,5%
D) 3%
E) 1,3%
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31. (Analista do BACEN/Área 3/2005/FCC) Do total de títulos em poder
de um investidor, 1/8 é do tipo T1, 1/4 é do tipo T 2 , e o restante do tipo T 3 .
Sabe-se que as probabilidades de se obter uma taxa real de juros positiva com
estas aplicações são 0,60 com T1, 0,70 com T2 e 0,80 com T3. Se for escolhido
um título aleatoriamente entre estes em poder do investidor e verificar-se que
apresentou uma taxa real de juros não positiva, a probabilidade dele ser do
tipo T3 é
A) 50%
B) 40%
C) 30%
D) 20%
E) 10%
32. (Analista Técnico/SUSEP/2010/ESAF). Admita que a probabilidade de
uma pessoa de um particular grupo genético ter uma determinada doença é de
30%. Um custoso e invasivo exame para diagnóstico específico dessa doença
tem uma probabilidade de um resultado falso positivo de 10% e de um
resultado falso negativo de 30%. Considerando que uma pessoa desse grupo
genético com suspeita da doença fez o referido exame, qual a probabilidade
dela ter a doença dado que o resultado do exame foi negativo?
A) 30%
B) 7,5%
C) 25%
D) 15%
E) 12,5%
33. (Analista de Finanças e Controle STN/2008/ESAF) Dois eventos A e
B são ditos eventos independentes se e somente se:
A) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula.
B) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A.
C) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B.
D) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A.
E) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1.
34. (Analista de Finanças e Controle STN/2008/ESAF) Marco estuda em
uma universidade na qual, entre as moças de cabelos loiros, 18 possuem olhos
azuis e 8 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos pretos, 9
possuem olhos azuis e 9 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos
ruivos, 4 possuem olhos azuis e 2 possuem olhos castanhos. Marisa seleciona
aleatoriamente uma dessas moças para apresentar para seu amigo Marco. Ao
encontrar com Marco, Marisa informa que a moça selecionada possui olhos
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castanhos. Com essa informação, Marco conclui que a probabilidade de a moça
possuir cabelos loiros ou ruivos é igual a:
A) 0
B) 10/19
C) 19/50
D) 10/50
E) 19/31
35. (ICMS-RJ/2009/FGV) Um torneio será disputado por 4 tenistas (entre
os quais A e B) de mesma habilidade, isto é, em qualquer jogo entre dois dos
quatro jogadores, ambos têm a mesma chance de ganhar.
Na primeira rodada, eles se enfrentarão em dois jogos, com adversários
definidos por sorteio. Os vencedores disputarão a final. A probabilidade de que
o torneio termine com A derrotando B na final é
A) 1/2
B) 1/4
C) 1/6
D) 1/8
E) 1/12
36. (ICMS-RJ/2007/FGV) A tabela abaixo apresenta a distribuição de 1.000
pessoas classificadas por Sexo (Masculino e Feminino) e Estado Civil (Solteiro,
Casado e Viúvo).
Sexo
Estado Civil
Solteiro
Casado
Viúvo
Total
M
F
Total
300
200
100
600
200
100
100
400
500
300
200
1.000
Uma pessoa é selecionada ao acaso. A probabilidade de que ela seja do sexo
Feminino ou Viúva é igual a:
A) 0,6.
B) 0,2.
C) 0,5.
D) 0,7.
E) 0,4.
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37. (ICMS-RJ/2007/FGV) Sejam A e B dois eventos definidos em um
espaço amostral S de modo que P(A) = 0,70, P(B) = 0,20 e
Então, pode-se dizer que A e B são eventos:
A) mutuamente exclusivos.
B) complementares.
C) elementares.
D) condicionais.
E) independentes.
38. (TFC-CGU/2008/ESAF) Uma empresa de consultoria no ramo de
engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4
engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando- se, ao acaso, três desses
profissionais para constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os
três profissionais sorteados serem do mesmo sexo é igual a:
A) 0,10
B) 0,12
C) 0,15
D) 0,20
E) 0,24
39. (Assistente Técnico-Administrativo-MF/2009/ESAF) Ao se jogar um
determinado dado viciado, a probabilidade de sair um número 6 é de 20%,
enquanto que as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre
si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da
probabilidade de um número par sair duas vezes?
A) 20%
B) 27%
C) 25%
D) 23%
E) 50%
40. (Adm. Pleno/Petrobrás/2005/CESGRANRI0) Joga-se um dado não
tendencioso. Se o resultado não foi "quatro", qual é a probabilidade de que
tenha sido "um"?
A) 1/5
B) 1/6
C) 1/9
D) 1/12
E) 1/18
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41. (TCE-ES/Economia/2001/ESAF) Num teste de múltipla escolha, um
estudante sabe uma questão ou "chuta" a resposta. Seja 2/3 a probabilidade
de que o estudante saiba uma questão do teste. Suponha que cada questão
tenha 5 alternativas e que a probabilidade de acertar no "chute" seja 1/5.
Assinale a opção que dá a probabilidade condicional de que o estudante saiba
realmente uma pergunta que respondeu corretamente.
A) 1/5
B) 2/15
C) 10/11
D) 2/3
E) 13/15
42. (Adm. Jr./REFAP/2007/CESGRANRIO) A probabilidade de que o preço
da farinha de trigo aumente em determinado mês é estimada em 40%. Se isso
ocorre, a probabilidade de que o preço do pão francês também aumente é de
50%; caso contrário, a probabilidade de aumento do pão francês será de
apenas 10%. Se o preço do pão francês subiu, a probabilidade de que o preço
da farinha de trigo tenha sofrido majoração é igual a:
A) 1/13
B) 2/10
C) 6/13
D) 6/11
E) 10/13
43. (Analista do BACEN/2002/ESAF) Uma empresa fabrica motores a jato
em duas fábricas A e B. Um motor é escolhido ao acaso de um lote de
produção. Nota-se que o motor apresenta defeitos. De observações anteriores
a empresa sabe que 2% e 3% são as taxas de motores fabricados com algum
defeito em A e B, respectivamente. Sabendo-se que a fábrica A é responsável
por 40% da produção, assinale a opção que dá a probabilidade de que o motor
escolhido tenha sido fabricado em A.
A) 0,400
B) 0,030
C) 0,012
D) 0,308
E) 0,500
44. (Analista do BACEN/Área 2/2010/CESGRANRIO) A probabilidade de
um indivíduo de classe A comprar um automóvel é 3/4. Para um indivíduo de
classe B, essa probabilidade é 1/6, e para um indivíduo de classe C, ela é de
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1/20. A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um fusca é 1/10,
enquanto que, para um indivíduo de classe B, essa probabilidade é 3/5 e para
um indivíduo de classe C, é de 3/10. Sabendo-se que a revendedora XPTO
vendeu um Fusca, a probabilidade de o comprador pertencer à classe B é
A) 0,527
B) 0,502
C) 0,426
D) 0,252
E) 0,197
45. (AFT/2010/ESAF) Em uma universidade, 56% dos alunos estudam em
cursos da área de ciências humanas e os outros 44% estudam em cursos da
área de ciências exatas, que incluem matemática e física. Dado que 5% dos
alunos da universidade estudam matemática e 6% dos alunos da universidade
estudam física e que não é possível estudar em mais de um curso na
universidade, qual a proporção dos alunos que estudam matemática ou física
entre os alunos que estudam em cursos de ciências exatas?
A) 20,00%.
B) 21,67%.
C) 25,00%.
D) 11,00%.
E) 33,33%.
46. (Analista Judiciário/Estatístico/TRF 1 a região/2001/FCC) Duas
urnas guardam bolas brancas e pretas. Uma das urnas tem 3 bolas brancas e 1
preta enquanto que a outra tem 3 bolas brancas e 3 pretas. Escolhendo-se
uma urna ao acaso e em seguida, sucessivamente e com reposição duas de
suas bolas, a probabilidade de ocorrer uma branca e uma preta é
A) 7/8.
B) 7/16.
C) 3/8.
D) 7/32.
E) 3/16.
Resolução
47. (AFPS/2002/ESAF) Suponha que a probabilidade de um evento C seja
0,4 e que a probabilidade condicional do evento D dado que C ocorreu seja
0,2. Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de ocorrência de D e C
A) 0,50
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B) 0,08
C) 0,00
D) 1,00
E) 0,60
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(Analista do INSS com formação em estatística/2008/Cespe) Texto
para os itens de 48 a 52
Um projeto do governo tinha como objetivo atrair para o sistema
previdenciário uma parcela de trabalhadores que não eram contribuintes do
INSS. Na ocasião em que tal projeto havia sido proposto, pelos cálculos do
governo, existiam no país 19 milhões de trabalhadores com mais de 16 anos e
renda mensal de um ou mais salários mínimos que não contribuíam para a
previde ncia. Esses trabalhadores foram classificados de acordo com tres
perfis A, B e C, e a distribuicão do número de trabalhadores em cada perfil
está no quadro acima. A expectativa do governo era a seguinte: entre as
pessoas com o perfil A, a probabilidade de entrada para o sistema
previdenciário era de 0,8; para as de perfil B, a probabilidade de entrada para
o sistema era de 0,5 e os de perfil C entrariam no sistema com uma
probabilidade igual a 0,1.
Correio Braziliense, 15/11/2006, p. A-14 (com adaptações).
Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens
seguintes.
48. Na ocasião em que o projeto havia sido proposto, a probabilidade de uma
pessoa entre os 19 milhões de trabalhadores entrar para o sistema
previdenciário era superior a 0,35 e inferior a 0,40.
49. A expectativa do governo era de que mais de 7 milhões de trabalhadores
fossem atraídos para o sistema previdenciário.
50. Um trabalhador que atende às condições do projeto do governo, decidiu
entrar para o sistema de previdência. A probabilidade de ele ser um
trabalhador do perfil A é superior a 0,4.
Ainda com relação ao texto e considerando que a probabilidade de dois
trabalhadores selecionados aleatoriamente entre aqueles com o perfil A
entrarem para o sistema previdenciário é igual a a, julgue os itens
subseqüentes.
51. Por ser uma probabilidade, a pode assumir qualquer valor entre 0 e 1.
52. O número esperado de trabalhadores do perfil A que entrarão no sistema
previdenciário aumenta à medida que a aumenta.
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Bibliografia
Moraes Junior, Alexandre Lima. Raciocínio Lógico, incluindo Matemática,
Matemática Financeira e Estatística. Editora Método. Rio de Janeiro. 2010.
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