ADENDO
FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA (FUB)
ASSISTENTE EM ADMINISTRAÇÃO
AUTOR: Roberto Vasconcelos
SUMÁRIO
MATEMÁTICA FINANCEIRA: JUROS SIMPLES E COMPOSTOS: CAPITALIZAÇÃO E DESCONTOS; TAXAS DE JUROS:
NOMINAL, EFETIVA, EQUIVALENTES, PROPORCIONAIS, REAL E APARENTE......................................................................... 21
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS................................................................................................................................ 1
GEOMETRIA PLANA: POLÍGONOS, PERÍMETROS E ÁREAS; SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS; TRIGONOMETRIA DO
TRIÂNGULO RETÂNGULO...................................................................................................................................................................... 54
GEOMETRIA ESPACIAL: ÁREAS E VOLUMES DE SÓLIDOS............................................................................................................ 67
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA: GRÁFICOS E TABELAS; MÉDIAS, MODA, MEDIANA E DESVIO-PADRÃO................................. 40
NOÇÕES DE PROBABILIDADE................................................................................................................................................................ 12
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
I – PROGRESSÃO ARITMÉTICA
É toda sequência numérica em que cada termo, a partir
do segundo, é igual ao seu antecessor somado de uma constante, denominada de razão (r).
Soma dos termos de uma PA
Da uma PA finita, PA (a1; a2; a3; ...; an), a soma dos seus
termos é dada por:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an
a +a
=
Sn  1 n
 2
Exemplos:
a) PA (2; 5; 8; 11; ... ) r = 3
b) PA (15; 10; 5; 0; ... ) r = –5
c) PA (8; 8; 8; 8; ... ) r = 0
Representação de uma PA
PA finita → PA (a1; a2; a3; ... ; an)
PA infinita → PA (a1; a2; a3; ... ; an; ...)
“A soma é igual a média aritmética dos extremos multiplicada pelo nº de termos que se deseja somar”.
PROPRIEDADES DE UMA PA
1) Em toda PA, cada termo, a partir do 2º, é igual a
média aritmética dos seus vizinhos.
Cálculo da razão (r)
PA (a1; a2; ...; ak–1; ak; ak+1;...)
Dada uma PA (a1; a2; a3; ...; ak–1; ak; ...) temos que:
ak =
=
r a k − a k −1
“razão é igual a diferença entre um termo qualquer e o
seu antecessor”.
Termo geral de uma PA
Na PA (a1; a2; a3; ... ak; ...; an; ...) temos que:
a n = a k + (n − k) ⋅ r
Exemplo:
Numa PA tem-se que a8 = 20 e r = 3. Determine a30.
Solução:
a30 = a8 + (30 – 8) · r
a30 = 20 + 22 · 3
a30 = 20 + 66
a 30 = 86

⋅n

ak −1 + ak +1
2
2) Em toda PA finita, a soma dos termos equidistantes
dos extremos é constante.
PA (a1 ; a2 ; a3 ;...; an − 2 ; an −1 ; an )
a1 + an = a2 + an −1 = a3 + an − 2 = ...
II – PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
É toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao seu antecessor multiplicado, por
constante, denominada de razão (q).
Exemplos:
• PG (1; 3; 9; 27; 81; ...) q = 3
• PG (16; 8; 4; 2; 1; ...) q = ½
• PG (5; 5; 5; 5; ...) q = 1
1
RAZÃO DE UMA PG
Sn → ∞ = a1 + a2 + a3 + ...
a3 ;...; ak −1 ; ak ;...) temos que:
Dada a PG (a1 + a2 =
ak= ak −1 ⋅ q ⇒ q=
Sn → ∞ =
ak
ak −1
(–1 < q < 1)
TERMO GERAL DE UMA PG
PROPRIEDADES DE UMA PG
Dada a PG (a1 ; a2 ;...; ak ;...; an ;...) temos:
1ª) Em toda PG, cada termo a partir do segundo, é igual,
em módulo, à média geométrica dos seus vizinhos.
a=
ak ⋅ q n − k
n
PG (a1; a2; ...; ak-1; ak; ak+1; ....)
=
ak
1
Exemplo:Numa PG temos que a5 =
e q = 2. De32
termine a12.
a12= a5 ⋅ q12 −5
PG (a1 ; ⋅ a 2 ; ⋅ a 3 ; ... ;a n − 2 ;a −1 ;a n )
1 7
a12
=
⋅2
32
1
a12
= 5 ⋅ 27
2
a1 · an = a2 · an–1 = a3 · an–2 = ···
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
2−5 ⋅ 27
a=
12
a12 = 22
1.
Numa sequência infinita de números, sabe-se que a1 = 17 e
cada termo, a partir do segundo, é obtido subtraindo 5 do seu
antecessor.
a) Escreva os cinco primeiros termos dessa sequência e identifique os termos a3 e a5.
b) Se ak = 2, qual é o valor e k?
2.
Numa sequência de oito termos que a1 = 48 e que cada termo,
a partir do segundo, é obtido dividindo-se seu antecessor por
2. Escreva todos os termos dessa sequência.
3.
Calcule, para todos os itens, o termo pedido de cada uma das
sequências definidas pelas fórmulas dadas.
a) a1,sabendo que an = 5 · 3n-1
a12 = 4
SOMA DOS TERMOS DE UMA PG FINITA
Dada a PG (a1 ; a2 ; a3 ;...; an ) temos:
(s n = a1 + a 2 + a 3 + ... + a n )
sn
1− q
(q ≠ 1)
 n −1

 2 
2
b) a17, sabendo que an = 
Obs.:
Se q=1, temos que todos os termos da PG são iguais
entre si. Logo:
sn = a1 + a1 + a1 + ... + a1


4.
" n " vezes
(Todos os termos são iguais ao 1º termo).
sn = n ⋅ a1
Escreva os cinco primeiros termos de uma P.A de razão r nos
seguintes casos:
a) a1 = 11 e r = 7
b) a1 = 15 e r = –4
c) a1 = –17 e r = 2,5
d) a1 = 1 e r = 3
5
SOMA DOS INFINITOS TERMOS DE UMA PG
5.
A condiçãos de podermos somar os infinitos termos de
uma PG é que a razão “q” tem que está entre –1 e 1. Sendo
assim, a PG (a1; a2; a3;...) tem a soma dos seus infinitos termos (ou limite da soma dos termos) dada por:
2
a k −1 ⋅ a k +1
2ª) Em toda PG finita, o produto dos termos equidistantes
dos extremos é constante.
Solução:
a1 − a1 ⋅ q n
a1
1− q
R
o b e r t o
Calcule o primeiro termo de uma P.A de r, sabendo que:
a) a3 = 10 e r = 2
b) a3 = 11 e r = –2
c) a5 = 12 e r =
V
a s s c o n c e l o s
3
2
6.
Determine uma P.A de três termos cuja soma é 21, sabendo
ainda que o primeiro termo é o sêxtuplo do terceiro.
7.
A soma dos três primeiros termos de uma P.A decrescente
é igual a –3 e o produto desses termos é igual a 8. Calcule
esses termos.
8.
Três números a, b e c estão em P.A nessa ordem. Calcule
esses números, sabendo que:
1 1 1 33
+ + =
a + b + c = 15e
a b c 40
9.
As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em
P.A de razão 3. Calcule essas medidas.
10. Seja ABC um triângulo qualquer em que Aˆ , Bˆ e Cˆ nessa
ordem, estejam em P.A. Calcule sen B̂ .
a) a3 = 2 e a5 = 98
b) a5 = 5 e a8 = 135
c) a7 = x4 e a11 = x6 (x > 0)
21. Numa PG de sete termos, sabe-se que a1 = 3 e a7 = 192.
Escreva todos os termos dessa P.G.
 4 8 16 
22. Calcule a soma dos dez primeiros termos da P.G  , , ,... .
3 3 3 
23. Determine o primeiro termo de uma P.G de razão 3, sabendo
que a soma dos seus cinco primeiros termos é 242.
 3 9 
24. Com relação a P.G 1; 2 ; 4 ;...  , calcule a soma:
a) dos seis primeiros termos;
b) dos n primeiros termos.
25. A partir de um triangulo equilátero ABC constrói-se uma sequência de triângulos em que cada novo triângulo tem seus
vértices nos pontos médios dos lados do triângulo anterior.
Supondo que essa sequência continue indefinidamente, calcule o limite da soma dos perímetros dos triângulos dessa
sequência, sabendo que AB = 10.
 1 1 
11. Com relação à P.G 1; ; ;...  calcule a soma:
 2 4 
a) dos seis primeiros termos;
b) dos n primeiros termos.
GABARITO
12. Com relação à P.A (3; 7; 11;...;91 ;95 ;99) calcule:
a) o número de termos;
b) a soma de todos os termos.
1. a) (17; 12; 7; 2; -3;...), a3 = 7 e a5 = -3
13. Numa P.A em que a1 = -21 e r = 4, calcule S12 e S18.
2. (48; 24; 12; 6; 3; 3/2; 3/4; 3/8)
b) ak = 2 → k = 4
14. Calcule a soma dos 20 primeiros termos da P.A (50; 43; 36;...)
15. Calcule a soma de todos os múltiplos de 11 compreendidos
entre 30 e 192.
16. Escreva os cinco termos das seguintes progressões geométricas:
a) a1 = 2 e q = - 2
c) a1 = x
e q=
4. a) (11; 18; 25; 32; 39;...)
b) (15; 11; 7; 3; –1;...)
c) (–17; –14,5; –12; –9,5; –7;...)
d) (1; 8/5; 11/5; 14/5; 17/5;...)
5. a) a1 = 6
c) a1 = 6
6. (12; 7; 2)
1
x
7. r = –3 → (2; –1; –4)
( x ≠ 0)
2
8. a = 2, b = 5 e c = 8 ou a = 8, b = 5 e c = 2
9. 9 ; 12 e 15
17. Calcule a razão da P.G em que
a1 =
b) a17 = 64
b) a1 = 14
25
2
e q=
b) a1 =
4
5
5
3. a) a5 = 405
5 + 1 e a2 =
10.sen B̂
5 −1
=
3 /2,
pois B̂ = 60o
11.a) S6 = 63/62
b)Sn= –2[(1/2)n –1]
18. Calcule x e os termos da P.G
(x-2; 2x-1; 5x+2)
12.a) n = 25
19. Calcule o primeiro termo de uma P.G nos seguintes casos:
a) a8 = -384 e q = 2
b) a5 = 20 e q = 10
c) a11 = x7 e q = 1 ( x ≠ 0)
x
20. Calcule a razão e o primeiro termo de uma P.G nos seguintes
casos:
M
b) S25 = 1275
13. S12 = 12 e S18 = 234
14. S20 = –330
15. S15 = 1650
16.a) ( 2 ;−2;2 2 ;−4;4 2 ;...)
b) (25/4; 5/2; 1; 2/5; 4/25;...)
c) (x5 ; x3 ; x ; 1/x; 1/x3;...)
a t e m á t i c a
3
Exemplos:
17.q = 3 − 5
2
a)Quantos caminhos existem para ir de “X” até “Z”
na figura abaixo?
18.(3; 9; 27)
19.a) a1 = –3
b) a1 = 1/5
Y
X
c) a1 = x17
Z
20.a) a1 = 2/49 e q = ± 7
b) a1 = 5/81 e q = 3
c) a1 = x e q = ±
Txz = ?
XZ = XY e YZ
Txz = 4 . 5
Txz = 20 caminhos diferentes
b) Quantos caminhos existem para ir de “X” até “W”
na figura abaixo?
x
21.(3; 6; 12; 24; 48; 96; 192)
(3; –6; 12; –24; 48; –96; 192)
22.S10 = 1364
23.a1 = 2
24.a) S6 =
635
32
Y
X
W
Z
b) Sn = 2[(3/2)n–1]
25.60
Txw = ?
XW = XY e YZ e ZW
Txw = 3 . 5 . 4
Txw = 60
2.Princípio Aditivo
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Os problemas de análise combinatória são problemas
de contagem. Eles estão divididos em 2 grupos:
a) Arranjo: quando a ordem dos elementos dentro do
agrupamento é importante.
Enquanto o princípio multiplicativo está associado ao
emprego do conectivo “e”, o princípio aditivo está associado ao uso do conectivo “ou” para ligar eventos.
Exemplo: em uma placa de um automóvel, a ordem
dos caracteres é importante.
J K D 3728
≠
T A ou B = n
+m
J D K 2837
b)Combinação: quando a ordem dos elementos
dentro do agrupamento não é importante.
Exemplos:
Exemplo: se quisermos contar o número de diagonais
que podem ser construídas no interior de um círculo a partir
de 9 pontos marcados sobre a circunferência, a diagonal AF
é igual a diagonal FA.
A
Y
B
I
H
C
G
D
F
a) Quantos caminhos existem para ir de “X” até “W”
na figura abaixo?
AF
=
FA
X
E
W
PRINCÍPIOS DE CONTAGEM
1.Princípio Multiplicativo
Z
Se um evento A pode ocorrer de “n” modos e outro
evento B pode ocorrer de “m” modos, então os dois, um
seguido do outro, podem ocorrer de “n.m” modos distintos.
XW = (XY e YW) ou (XZ e ZW)
Txw = 2 . 5 + 4 . 3
Txw = 10+12
Txw = 22
TA e B = n.m
4
R
o b e r t o
V
a s s c o n c e l o s
b) Uma moça tem em seu guarda-roupa 4 saias, 6
calças e 8 blusas. Usando 2 peças adequadamente,
de quantos modos distintos ela pode se aprontar,
considerando que ela não possa usar calça e saia
simultaneamente?
Vestir = Saia e Blusa ou Calça e Blusa
Tv = (4 . 8) + (6 . 8)
Tv = 32 + 48
Tv = 80
Uma aplicação prática dessa consequência é a resolução de algumas expressões que envolvem fatorial como por
exemplo:
Resolver a Expressão: 20!
2! . 18!
20!
=
2! . 18!
20 . 19 . 18! = 190
2 . 1 . 18!
2ª) 1! = 1
e 0! = 1
FATORIAL
Dado um número natural “n” (n ≥ 2), o seu fatorial é
dado por:
NÚMERO BINOMIAL
Dados dois números naturais “n” e “k” (n ≥ k) temos que:
n! = n . (n-1) . (n-2) ........ . 1
n
n!
 =
 k  k !(n − k )!
Exemplos:
a) 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1
5! = 120
b) 4! = 4 . 3 . 2 . 1
4! = 24
Onde “n” é o numerador e “k” é o denominador do
número binomial.
Exemplos:
c) 3! = 3 . 2 . 1
3! = 6
10 
10!
10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8!
= =
= 45
a)  =

8
8!(10
8)!
8!2!
−
8! 2 ⋅1
 
d)2! = 2 . 1
2! = 2
12 
12!
12! 12 ⋅11 ⋅ 10!
= =
= 66
b) =
 
2.1.10!
 2  2!(12 − 2)! 2!10!
Obs.:
8
8!
8!
= =
c) =

 8  8!(8 − 8)! 8!0!
1ª) O fatorial de um número é igual o produto do número
pelo fatorial do seu antecessor.
n! = n . ( n – 1)!
8!
=1
8!1
8
8!
8! 8 ⋅ 7!
= =
=8
d) =

7!1
 7  7!(8 − 7)! 7!1!
Obs.: das letras “c” e “d” concluímos que:
Exemplos:
n
  =1 e
n
a) 10! = 10 . 9!
b) 32! = 32 . 31!
c) 50! = 50 . 49!
 n 

=n
 n-1
ARRANJO SIMPLES OU COM REPETIÇÃO
Uma consequência importante:
“Observe que no desenvolvimento de um fatorial podemos interromper em qualquer ponto, indicando o fatorial
onde paramos”.
Obs.: os problemas de arranjo simples ou com repetição
de elementos podem ser resolvidos, simplesmente, aplicando-se
o princípio multiplicativo e/ou o princípio aditivo.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
12! = 12 . 11! ou
12! = 12 . 11 . 10! ou
12! = 12 . 11 . 10 . 9!
12! = 12 . 11 . 10 . 9 . 8!
R.1. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos
obter a partir dos números 1; 2; 3; 4; 5?
M
a t e m á t i c a
5
Solução:
U = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 e 9}
U = {1;2;3;4;5}
Como não pode se iniciar o número com “0”, deve-se
fazer pelo princípio da adição.
241 ≠ 124 ∴ é
arranjo.
C
e
D
U
e
4
5
0
ee
9
8
1
Considere um conjunto U com “n” elementos, os quais
servirão de base para formarmos agrupamentos com “k”
elementos cada.
O total de agrupamentos de natureza ou combinação
simples que podemos obter é dado por:
Solução:
U = {1; 2; 3; 4 e 5}
C
e
D
n
Cn ; k =  
k 
 8  8! 8.7.6.5!
C=
=
= 56
8;5
=

 5  5!3! 5!3.2.1
n
Cn;k =   é o número binomial.
Onde
12  12! 12.11.10.9!
k 
C=
12;3
=
 =
3  3!9!
3.2.1.9!

8


8!
8.7.6.5!
Exemplos:
=
= 56
C=
8;5
=

 5  8 5!3!8! 5!3.2.1
8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5!
= 12.11.10.9! = 56
a) C=
=
8;5  12
5  12!
5!3!
5! 3 ⋅ 2 ⋅1
 =
C=
12;3
=
3.2.1.9!
 3  3!9!
12  12! 12 ⋅11 ⋅10 ⋅ 9!
= 220
b) C=
=
 =
12;3
3 ⋅ 2 ⋅1 ⋅ 9!
 3  3!9!
U
e
5
5
5
T = 5 . 5 . 5 = 125
R. 3. Quantos números pares de 3 algarismos distintos
podemos formar a partir dos números: 1; 2; 3; 4 e 5?
Solução:
U = {1; 2; 3; 4 e 5}
C
e
D
2;4
e
3
4
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.5. De quantas maneiras podemos formar uma comissão composta por 5 pessoas escolhidas a partir de um
grupo onde estão presentes 7 pessoas?
2
T = 4 . 3 . 2 = 24
Solução:
U = {P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7}
Outra maneira:
2
ee
1
ou
P1 P2 P3 P4 P5
4
4
3
R.6. Numa sala de professores há 5 professores de matemática e 4 de português. De quantas maneiras podemos formar
uma comissão constituída de 4 professores, sendo 2 de cada
matéria?
R.4. Quantos números divisíveis por 5, formados por
3 algarismos distintos, podemos obter no sistema de numeração decimal?
R
o b e r t o
= P5 P4 P3 P2 P1 ∴ é
combinação
 7  7! 7.6.5!
C=
=
= 21
7;5
=

 5  5!2! 5!2.1
1
T=4.3.1+ 4.3.1
T = 12 + 12 = 24
6
8
COMBINAÇÃO SIMPLES
R. 2. Quantos números de 3 algarismos podem ser
formados a partir dos números 1; 2; 3; 4 e 5?
3
1
5
T=9.8+8.8
T = 136
3
T = 5 . 4 .3 = 60
4
8
ou
V
a s s c o n c e l o s
Solução:
U1 = {M1, M2, M3, M4, M5} e U2 = {P1, P2, P3, P4}
Solução:
A
M M
C 5;2
e
P P
F
B
C 4;2
E
C
5   4
T =   . 
 2  2
5! 4!
.
T=
2!3! 2!2!
T = 10.6
D
=
T C6;2 − 6
 6! 
=
T 
−6
 2!4! 
 6 ⋅ 5 ⋅ 4! 
T = 60
=
T 
−6
 2 ⋅ 4! 
= 15 − 6
T
R.7. Quantas diagonais podemos traçar no interior de
um círculo, ligando dois pontos quaisquer entre os 10 que
estão sobre a sua circunferência?
Obs.: consideramos o número total de diagonais no
interior do círculo com 6 pontos na circuferência e subtraímos
6 diagonais (que viraram lados do hexágono).
Resolução:
A
B
I
H
C
G
=
T
AF = FA ∴ é combinação
R.10. Numa sala há 5 homens e 4 mulheres. De quantas maneiras podemos formar uma comissão com 3 pessoas
de modo que pelo menos uma delas seja mulher?
D
F
T=9
E
Solução:
10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8!
=
2!8!
2 ⋅1 ⋅ 8!
T = 45
R.8. Quantas diagonais podemos traçar, no interior de um
decágono regular, ligando dois pontos quaisquer de seus vértices?
C9;3
Solução:
A
J
B
I
C
H
D
MMM OK
MMH OK

=
MHH OK
HHH
X
(3 mulheres)
(2 mulheres e 1 homem)
(1 mulher e 2 homens)
(nenhuma mulher)
Obs.: C9;3 nos dá o total geral de comissões e C5;3 nos
dá o número de comissões formadas por 3 homens (nenhuma
mulher). Logo C9;3 – C5;3 nos dará o número de comissões
que apresenta pelo menos uma mulher.
E
G
F
9 5
T = C9;3 − C5;3 =   −  
 3  3
9!
5!
T
=
−
3!6! 3!2!
9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6! 5 ⋅ 4 ⋅ 3!
T=
−
3 ⋅ 2 ⋅1 ⋅ 6!
3!2 ⋅1
T
= 84 − 10
T C10;2 − 10
=
10!
− 10
2!8!
10.9.8!
=
T
− 10
2.1.8!
T
= 45 − 10
=
T
T = 35
T = 74
Obs.: consideramos o número total de diagonais no
interior do círculo com 10 pontos na circuferência e subtraímos
10 diagonais (que viraram lados do decágano).
COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO
R.9. Quantas diagonais podemos traçar no interior de
um hexágono regular, ligando 2 vértices quaisquer?
Considere um conjunto U com “n” elementos, os quais
servirão de base para formarmos agrupamentos com “k”
elementos cada.
M
a t e m á t i c a
7
Solução:
O total de agrupamentos de natureza de combinação
com repetição que podemos obter é dado por:
U1 = { S1, S2 , ... , S6}
 n + k − 1
CRn;k = 

 k 
SSS
RR
↓
Exemplos:
R
C6;3
 5 + 2 − 1  6 
6!
6 ⋅ 5 ⋅ 4!
R
=
=
= 15
a) C=

 =

5;2
 2   2  2!4! 2 ⋅1 ⋅ 4!
 3 + 5 − 1  7 
7!
7 ⋅ 6 ⋅ 5!
R
=
=
= 21
b) C=

 =

3;5
5
5
5!2!
5! ⋅ 2

  
 6 + 3 − 1  5 + 2 − 1
⋅

 3   2 
=
T 
8  6 
T  ⋅ 
=
 3  2 
T
=
T=
U1 = {R1, R 2, R3, ... , R10}
T = 840
É um caso particular de arranjo simples onde k = n.
Pn = n!
Exemplos:
R
10;3
T=C
a)P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
b)P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
c)P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6
10 + 3 − 1 12  12! 12 ⋅11 ⋅10 ⋅ 9!
=
T 
=
 =
 =
3
3 ⋅ 2 ⋅ 9!

  3  3!9!
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
T = 220
Com repetição
Problema
Simples
Combinação
Com repetição
R.14. Quantos anagramas tem a palavra SAL?
Princípios Fundamentais
de Contagem
Solução:
n
Cn; k =  
k
 n + k − 1
R
Cn;k = 

 k 
T = P3 ⇒ T = 3! ⇒ T = 3 . 2 . 1 ⇒ T = 6
Veja os 6 anagramas:
R.12. Uma lanchonete dispõe de 3 tipos de salgados.
Uma pessoa deve comprar nessa lanchonete 4 salgados. De
quantas formas diferentes ela poderá efetuar sua compra?
 SAL

 SLA

 ASL
SAL 
 ALS

 LSA
 LAS

Solução:
U = { S1; S2; S3}
S=
S2 S3 S1 S1 ∴Combinação com repetição.
1 S2 S1 S3
R
T = C3,4
 3 + 4 − 1  6 
=
T 
=
 =

4

  4
6!
=
4!2!
8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5! 6 ⋅ 5 ⋅ 4!
⋅
3 ⋅ 2 ⋅1⋅ 5! 2 ⋅1⋅ 4!
PERMUTAÇÃO SIMPLES
↑
Combinação com repetição
Simples
8! 6!
⋅
3!5! 2!4!
T= 56 ⋅15
Combinação
R1 , R 2 , R10 = R10 , R 2 , R1
↓
R1 , R1 , R 2 = R1 , R 2 , R1
Arranjo
↓
R
C5;2
R
R
⋅ C5;2
T = C6;3
R.11. De quantas maneiras uma pessoa pode escolher
3 refrigerantes em uma distribuidora de bebidas que dispõe
de 10 tipos, diferentes de refrigerantes?
6 ⋅ 5 ⋅ 4!
4! 2 ⋅1
6
R.15. Quantos números de 5 algarismos conseguimos
formar trocando de posição os algarismos do número 73521?
T = 15
R.13. Uma lanchonete dispõe de 6 tipos de salgados e
6 tipos de refrigerantes. Uma pessoa vai comprar nessa
lanchonete 3 salgados e 2 refrigerantes. De quantas maneiras
distintas ela pode efetuar a sua compra?
8
e
U2 = { R1, R 2 , ..., R 5}
R
o b e r t o
Solução:
T = 5! ⇒ T = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 ⇒ T = 120
V
a s s c o n c e l o s
R.16. Em quantos anagramas da palavra QUADRO as
vogais aparecem juntas em qualquer ordem?
Solução:
Como T > T’ , pois T > 453.600.000 (Devido à substituição testada). Logo, T > 100.000.000.
Item Errado.
UAO Q D R
Obs.: as letras que devem aparecer juntas colocamos dentro
de um único “copo” e as demais,
uma em cada “copo”.
T = P4 . P3
T = 4! . 3!
T=4.3.2.1.3.2.1
T = 24 . 6
T = 144
Onde P4 representa a permutação
dos “copos” e P3 representa a
permutação das vogais dentro do
primeiro “copo”.
R.20. Uma pessoa está situada no ponto A e deseja
chegar até o ponto B (figura abaixo), caminhando sobre as
retas horizontais e verticais, somente para a direita e/ou
para cima. O total de trajetos diferentes que ela pode fazer
é igual a:
a. 70
b. 64
c. 48
d.35
B
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
P nR (a;b;c;...) =
n!
a!b!c!...
A
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Solução:
R.17. Quantos anagramas tem a palavra BANANA?
Solução:
=
T
P6
6!
6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3!
= =
P2 ⋅ P3 2!3!
2 ⋅ 3!
T = 60
Obs.:
6! devido a palavra apresentar 6 letras. 2! pela
presença dos dois “N” e 3! devido a presença dos 3 “A”.
R.18. Quantos números de 7 algarismos podemos obter
permutando os algarismos do número 2345433?
7!
4!3!
7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4!
T=
4!3 ⋅ 2 ⋅1
T=
Solução:
=
T
Chamando cada deslocamento para a direita de “D” e
cada deslocamento para cima de “C”, o total de caminhos
existentes será igual ao total de anagramas da palavra hipotética “DDDDCCC”. Pois:
“DDCCCDD” é um anagrama e é um trajeto!
“DCDCDCD” é um anagrama e é um trajeto!
“DDDCCCD” é um anagrama e é um trajeto!
“DCCCDDD” é um anagrama e é um trajeto!
Logo:
P7
7! 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3!
= =
P3 ⋅ P2 3!2!
3!2 ⋅1
T = 35
T = Julgue
420 C ou E.
R.19.
O total de anagramas da palavra PAPILOSCOPISTA
é inferior a 108.
Solução:
Primeiramente, lembrando que 108 = 100.000.000.
Alternativa D
R.21. Considere os dados do problema anterior e a figura
abaixo. De quantas maneiras distintas a pessoa pode ir de A
até B, passando pelo ponto C?
B
P14
14!
=
T =
P3 ⋅ P2 ⋅ P2 ⋅ P2 ⋅ P2 3!2!2!2!2!
14 ⋅13 ⋅ 12 ⋅11 ⋅10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
6⋅2 ⋅ 2⋅2⋅2
T = 14 ⋅13 ⋅11 ⋅10 ⋅ 45360
Substituímos 14; 13 e 11,
,
T = "10"⋅"10"⋅"10"⋅10 ⋅ 45360 respectivamente por 10; 10
,
e 10. (Apenas para testar)
T = 453.600.000
T=
M
C
A
a t e m á t i c a
9
Solução:
AB = AC e CB
6! 6!
=
T
⋅
3!3! 3!3!
6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3!
T=
⋅
3 ⋅ 2 ⋅1 ⋅ 3! 3 ⋅ 2 ⋅1 ⋅ 3!
T
= 20 ⋅ 20
5.
Quantos são os números com 3 algarismos diferentes que poderemos formar, empregando os 7 maiores algarismos significativos?
6.
Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados
utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5,7 e 8. Quantos desses números
são ímpares e começam com um dígito par?
7.
(ESAF) Em um campeonato de futebol participam 10 times,
todos com a mesma probabilidade de vencer. De quantas maneiras diferentes poderemos ter a classificação para os três
primeiros lugares?
a. 240.
b. 370.
c. 420.
d. 720.
e. 740.
8.
Uma urna contém quatro bolas brancas numeradas de 1 a 4 e
duas pretas numeradas de 1 a 2. De quantos modos podem-se
tirar 4 bolas contendo pelo menos duas brancas, considerando-se que as cores e os números diferenciam as bolas?
T = 400
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.
2.
3.
As placas de automóveis constam de três letras e quatro
algarismos. O número de placas que podem ser fabricadas
com as letras P, Q, R e os algarismos 0, 1, 7 e 8 é:
a. 6.912.
b. 1.269.
c. 43.
d. 144.
e. 1.536.
a. 15.
b. 6.
c. 8.
d. 1.
e. 4.
De quantas maneiras diferentes se podem dispor as letras da
palavra PALMEIRO?
9.
Uma pessoa está situada no ponto A e deseja chegar até
o ponto B (figura abaixo), caminhando sobre as retas
horizontais e verticais, somente para a direita e/ou para
baixo. O total de trajetos diferentes que ela pode fazer
o percurso desejado é igual a:
A
9!
8!
20!
h.
19!
16!
i.
10!6!
g.
10. (ESAF) Quantas comissões compostas de 4 pessoas cada um
podem ser formadas com 10 funcionários de uma empresa?
a. 120.
b. 210.
c. 720.
d. 4.050.
e. 5.040.
B
a. 84
b. 64
c. 48
d.35
4.
10
Calcular:
a.5!
b.6!
c. 7!
d.8!
e. 9!
f.10!
Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e
Beti e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma
fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a:
a.16.
b. 24.
c.32.
d. 46.
e. 48.
R
o b e r t o
11. Uma comissão de três membros vai ser escolhida ao acaso
dentre um grupo de quinze pessoas entre as quais estão Alice
e Bárbara. Calcular o número de diferentes comissões que
poderão ser formadas, de tal forma que Alice e Bárbara participem dessas comissões.
a.13.
b. 39.
c. 420.
d.210.
e. 720.
V
a s s c o n c e l o s
12. Uma classe tem 10 alunos e 5 alunas. Formam-se comissões
de 4 alunos e 2 alunas. O número de comissões em que participa o aluno X e não participa a aluna Y é:
a.1.260.
b.2.100.
c. 840.
d. 504.
e.336.
13. Sabendo-se que um baralho tem 52 cartas, das quais 12 são
figuras, assinale a alternativa que corresponde ao número de
agrupamentos de 5 cartas que podemos formar com cartas
deste baralho tal que cada agrupamento contenha pelo menos
três figuras.
a.110.000.
b.100.000.
c. 192.192.
d. 171.600.
e. 191.400.
14. A senha para um programa de computador consiste em uma
sequência LLNNN, onde “L’’ representa uma letra qualquer
do alfabeto normal de 26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9.
Tanto letras como algarismos podem ou não ser repetidos,
mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro
lugar, antes dos algarismos. Sabendo que o programa não faz
distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, o número total
de diferentes senhas possíveis é dado por:
a.226310
b.262103
c.226210
d.26!10!
e.C26,2C10,3
15. (MPU/2004) Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de
Portinari e quer expô-los em uma mesma parede, lado a lado.
Todos os seis quadros são assinados e datados. Para Paulo, os
quadros podem ser dispostos em qualquer ordem, desde que
os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda para a direita. O número de diferentes
maneiras que os seis quadros podem ser expostos é igual a:
a.20.
b.30.
c. 24.
d.120.
e.360.
16. Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos
em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes
maneiras em que podem sentar-se de modo a que: a) homens
e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os
homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se
juntas, são, respectivamente:
a. 1.112 e 1.152.
b. 1.152 e 1.100.
c. 1.152 e 1.152.
d. 3.84 e 1.112.
e. 112 e 3.84.
17. (AFC) Na Mega-Sena, são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 possíveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02, ...., 60).
Uma aposta simples (ou aposta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas
que serão sorteadas no próximo concurso da Mega-Sena es-
M
tarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da
Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática
que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto é:
a.8.
b.28.
c. 40.
d.60.
e. 84.
18. (ESAF/AFTN) Uma empresa possui 20 funcionários, dos
quais 10 são homens e 10 são mulheres. Desse modo, o
número de comissões de 5 pessoas que se pode formar com
3 homens e 2 mulheres é:
a.1.650.
b.165.
c.5.830.
d. 5.400.
e.5.600.
19. (ESAF) Quer-se formar um grupo de danças com 6 bailarinas, de modo que três delas tenham menos de 18 anos, que
uma delas tenha exatamente 18 anos, e que as demais tenham
idade superior a 18 anos. Apresentaram-se, para a seleção,
doze candidatas, com idades de 11 a 22 anos, sendo a idade,
em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número
de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a
partir deste conjunto de candidatas é igual a:
a.85.
b.220.
c.210.
d.120.
e.150.
20. (ESAF) Em um grupo de 30 crianças, 16 têm olhos azuis e
20 estudam canto. O número de crianças deste grupo que têm
olhos azuis e estudam canto é:
a. exatamente 16.
b. no mínimo 6.
c. exatamente 10.
d. no máximo 6.
e. exatamente 6.
21. (ESAF) Dez amigos, entre eles Mário e José, devem formar
uma fila para comprar as entradas para um jogo de futebol.
O número de diferentes formas que esta fila de amigos pode
ser formada, de modo que Mário e José fiquem sempre juntos,
é igual a:
a. 2! 8!
b. 0! 18!
c. 2! 9!
d. 1! 9!
e. 1! 8!
22. (CESPE) A respeito de contagem, que constitui um dos
principais fundamentos da matemática, julgue os itens que
se seguem. Considere que, na disputa entre duas equipes, a
primeira que vencer 4 jogos será considerada vencedora. Se
uma das equipes — A — tiver vencido os 3 primeiros confrontos, então o gráfico a seguir é capaz de representar todas
as possibilidades de A vencer a disputa.
a t e m á t i c a
11
(CESPE) Considere a seguinte situação hipotética.
4.º jogo
5.º jogo
A perde
6.º jogo
A perde
7.º jogo
A perde
nc
ve
31. Nessa situação, sabendo que cada funcionário fará exatamente
um curso de cada língua estrangeira, um determinado empregado disporá de exatamente 7 duplas distintas de professores
para escolher aqueles com os quais fará os seus cursos.
e
e
nc
ve
e
nc
e
nc
ve
ve
A
A
A
A
Para oferecer a seus empregados cursos de inglês e de espanhol,
uma empresa contratou 4 professores americanos e 3 espanhóis.
A perde
23. O número de cadeias distintas de 14 caracteres que podem
ser formadas apenas com as letras da palavra Papiloscopista é
inferior a 108.
32. (CESPE) Considere que as senhas dos clientes de um banco
têm 8 dígitos, sem repetições, formadas pelos algarismos de
0 a 9. Nessa situação, o número máximo de senhas que
podem ser cadastradas nesse banco é inferior a 2 × 106.
Considere a seguinte situação hipotética.
Uma grande empresa cataloga seus bens patrimoniais usando códigos formados por uma cadeia de 6 caracteres, sendo três
letras iniciais, escolhidas em um alfabeto de 26 letras, seguidas de
3 dígitos, cada um escolhido no intervalo de 0 a 9, não se permitindo códigos com 3 letras iguais e (ou) 3 dígitos iguais.
33. (CESPE) Com três algarismos escolhidos aleatoriamente entre os
algarismos de 1 a 9, podem-se formar, no máximo, seis números
distintos que sejam maiores que 110 e menores que 1.000.
GABARITO
24. Nessa situação, a empresa dispõe de até 107 códigos distintos
para catalogar seus bens.
1.a
g. 9
21.c
(CESPE) Em geral, empresas públicas ou privadas utilizam códigos para protocolar a entrada e a saída de documentos e processos.
Considere que se deseja gerar códigos cujos caracteres pertencem
ao conjunto das 26 letras de um alfabeto, que possui apenas 5 vogais.
Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.
2.8!
h. 20
22.C
3.a
i. 8008
23.E
4.e
10.b
24.E
5.210
11.a
25.C
6.585
12.d
26.E
25. Se os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras, sendo
permitida a repetição de caracteres, então podem ser gerados
menos de 400.000 protocolos distintos.
7.d
13.c
27.C
8.a
14.b
28.C
9.a. 120
15.d
29.E
b. 720
16.c
30.E
c. 5040
17.b
31.E
d. 40320
18.d
32.C
e. 362880
19.c
33.E
f. 3628800
20.b
26. Se uma empresa decide não usar as 5 vogais em seus códigos, que poderão ter 1, 2 ou 3 letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então é possível obter mais de 11.000
códigos distintos.
27. O número total de códigos diferentes formados por 3 letras
distintas é superior a 15.000.
(CESPE) O administrador de uma rede de computadores
decidiu criar dois tipos de códigos para os usuários. O primeiro
tipo de código deve ser obtido de todas as possíveis combinações
distintas — chamadas palavras — que podem ser formadas com
todas as letras da palavra operadora. O segundo tipo de código deve
conter de 1 a 5 caracteres e ser obtido usando-se as 10 primeiras
letras do alfabeto português e os algarismos de 0 a 4. O primeiro
caractere desse código deve ser sempre uma letra, que pode ser
seguida de nenhum ou de até quatro símbolos, escolhidos entre as
letras e os algarismos permitidos. Com base nessas informações,
julgue os itens a seguir.
PROBABILIDADES
Há certos fenômenos (ou experimentos) que, embora
sejam repetidos muitas vezes e sob condições idênticas, não
apresentam os mesmos resultados. Por exemplo, no lançamento de uma moeda perfeita, o resultado é imprevisível;
não se pode determiná-lo antes de ser realizado. Aos fenômenos (ou experimentos) desse tipo damos o nome de fenômenos aleatórios (ou casuais).
Pelo fato de não sabermos o resultado exato de um
fenômeno aleatório é que buscamos os resultados prováveis,
as chances, as probabilidades de um determinado resultado
ocorrer. A teoria das probabilidades é um ramo da Matemática
que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos
ou fenômenos aleatórios.
28. A quantidade de códigos – palavras – do primeiro tipo que o
administrador obterá é superior a 45.000.
29. A quantidade de códigos do segundo tipo que o administrador
obterá é inferior a 5 × 105.
Espaço Amostral e Evento
(CESPE) Julgue o item subsequente.
Em um experimento (ou fenômeno) aleatório, o conjunto formado por todos os resultados possíveis é chamado
espaço amostral (S). Qualquer subconjunto do espaço amostral é chamado de evento.
30. Se os números das matrículas dos empregados de uma fábrica têm 4 dígitos e o primeiro dígito não é zero e se todos
os números de matrícula são números ímpares, então há, no
máximo, 450 números de matrícula diferentes.
12
R
o b e r t o
V
a s s c o n c e l o s
Probabilidade(definição)
Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço
amostral, vamos admitir que todos os elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que S é um
conjunto equiprovável.
Chamamos de probabilidade de um evento A ( A ⊂ S )
n( A)
o número real P ( A) , tal que: P ( A) =
, onde: n( A)
n( S )
é o número de elementos do conjunto A; e n(S ) é o
número de elementos do conjunto S. Em outras palavras,
P(A) =
número de casos favoráveis
.
número total de resultados possíveis
n(A∩B)
n(S)
n (B)
n (S)
P(A/B) =
P (A∩B)
P (B)
=
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.1. Numa urna há 50 bolas numeradas de 1 a 50.
Sorteando-se uma delas ao acaso, qual é a probabilidade de
que ela seja um número múltiplo de 9?
S = {1, 2, 3, 4, ... , 50}
A: ocorrer M(9)
Probabilidade do Evento Complementar
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo
p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo
evento existe sempre a relação: p + q = 1 ⇒ q = 1 − p .
Em outra linguagem, a probabilidade de ocorrer um evento
A “ P ( A) ” pode ser calculada como P ( A) = 1 − P ( A ) ,
onde P ( A ) é a probabilidade de não ocorrer o evento A.
Probabilidade da União de Dois Eventos Quaisquer
P ( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) , o n d e
P( A ∪ B) é a probabilidade de ocorrer o evento A ou B
e P ( A ∩ B ) é a probabilidade de ocorrer o evento A e B,
simultaneamente.
Eventos Mutuamente Exclusivos
Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente
exclusivos quando a realização de um exclui a realização
do(s) outro(s). Assim P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) , quando
A∩ B =φ .
P(A) =
n ( A)
5 1
= = = 0,10
n ( S ) 50 10
P(A) =10%
R.2. Retirando uma carta de um baralho comum com
52 cartas, qual é a probabilidade de ocorrer uma figura?
Paus: 13 (3 figuras)
Copas: 13 (3 figuras)
Ouros: 13 (3 figuras)
Espadas: 13 (3 figuras)
A: ocorrer figura P(A) = 12 = 3
52 13
R.3. Lançando-se 2 dados simultaneamente, qual é a
probabilidade de que a soma dos resultados seja um número
maior que 9?
A: ocorrer soma > 9.
• • •
• •
6
5
4
Eventos Independentes (Produto de Probabilidades)
Dizemos que dois eventos são independentes quando a
realização ou a não realização de um dos eventos não afeta
a probabilidade da realização do outro e vice-versa.
Se dois eventos são independentes, a probabilidade de
que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto
das probabilidades de realização dos dois eventos.
Assim, sendo p1 a probabilidade de realização do primeiro evento e p 2 a probabilidade de realização do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem
simultaneamente é dada por: p = p1 ⋅ p 2 .
A = {9, 18, 27, 36, 45}
3
2
1
1
2
P (A) =
3
4
6
6
1
⇒ P=
36
6
R.4. Retirando-se uma carta de um baralho completo
com 52 cartas, qual a probabilidade de que ela seja uma
figura ou uma carta de copas?
Probabilidade condicional
F = 12
Denotamos por ( A / B ) o “evento A condicionado ao
fato de que o evento B já ocorreu” e por P ( A / B ) a probabilidade condicional de ocorrer A, tendo ocorrido B. Sendo A
e B dois eventos quaisquer e S o espaço amostral tem-se que:
M
5
C = 13
9
a t e m á t i c a
3
10
13
R.7. Em uma maternidade, ao nascer uma criança, a
probabilidade de ser menino é igual a 1/2. Num determinado
dia nasceram 3 crianças nessa maternidade. Qual a probabilidade de que elas sejam todas do mesmo sexo?
1
a. .
2
1
b. .
4
1
c. .
8
d. 1 .
3
R.5. Numa sala há 50 alunos. Sabe-se que 30 gostam de
matemática; 35 gostam de física e 5 não gostam de nenhuma
dessas matérias. Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que ele goste de matemática ou de física?
50
M = 30
F = 35
30 - X
X
A: Ocorrer 3 crianças do mesmo sexo.
A: (M e M e M) ou (H e H e H)
35 - X
1 1 1 1 1 1
⋅ ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅
2 2 2 2 2 2
1 1 2
P (A) = + =
8 8 8
1
P (A) =
4
5
P (A) :
30 – x + x + 35 = 50
70 – x = 50
x = 20
50
F = 35
M = 30
10
20
R.8. De um baralho completo com 52 cartas, 2 cartas
são extraídas, uma após a outra, com reposição da 1ª carta.
Qual a probabilidade de que as duas sejam figuras?
15
A: ocorrer 2 figuras
5
n (M U F) = 50 – 5 = 45
Paus:
13
→
3 figuras
Espada:
13
→
3 figuras
Ouro:
13
→
3 figuras
Copas:
13
→
3 figuras
12 Figuras
A: figura e figura
R.6. Em uma urna, existem 3 bolas brancas, 7 pretas
e 10 vermelhas. Sorteando-se duas bolas, uma após a outra,
sem reposição, qual a probabilidade de que as duas sejam
da mesma cor?
10V
7P
3B
P (A) =
12 12
⋅
52 12
P (A) =
9
169
R.9. Em uma urna, há 2 bolas brancas, 3 pretas, 5 vermelhas e 10 azuis. Duas bolas são retiradas uma após a outra,
com reposição da 1ª bola. Qual a probabilidade de que as
duas não sejam brancas simultaneamente?
A: ocorrer 2 bolas da mesma cor
A = (B e B) ou (P e P) ou (V e V)
2B
3P
5V
10A
3
2
7
6
10
9
P (A) =
+
+
⋅
⋅
⋅
20
9
20 19
20 19
6 + 42 + 90 138
P (A) =
=
380
380
69
P (A) =
190
14
A: ocorrer de que as duas bolas não sejam brancas
simultaneamente.
R
o b e r t o
V
a s s c o n c e l o s
c) de matemática, sabendo que ele não gosta de português?
A: (B e P) ou (B e V) ou (B e A) ou (P e V) ou (P e A)
ou (P e P) ou ....
Ā: (B e B)
2 2
4
1
P (A) :
⋅
=
=
= 0, 01
20 20 400 100
P(A) + P(Ā) = 1
P(A) + 0,01 = 1
P(A) = 1 – 0,01
P(A) = 0,99
R.10. A probabilidade de um vendedor realizar uma
venda ao visitar um cliente é igual a 0,4. Num determinado
dia ele visita 3 clientes. Qual a probabilidade de que ele tenha
realizado pelo menos uma venda nesse dia?
A: ocorrer pelo menos uma venda.
A: (V1 e V2 e V3) ou (V1 e V2 e V3) ou (V1 e V2 e V3)
ou (V1 e V2 e V3) ou ....
P
=
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.
Em uma urna, existem 20 bolas numeradas de 1 a 20. Sorteando-se uma bola, ao acaso, qual é a probabilidade, em
porcentagem, de que o número da bola sorteada seja:
a. par?
b. divisível por 3?
c. maior que 8?
d. múltiplo de 4?
2.
A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar
uma única bola de uma urna contendo 4 bolas brancas, 3
vermelhas e 5 azuis é:
a. 1/3.
b. 1/2.
c. 1/60.
d. 2/3.
e. 1/90.
3.
Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam engenharia, 150
estudam economia e 10 estudam engenharia e economia. Se
um aluno é escolhido, ao acaso, qual a probabilidade de que:
a. ele estude economia e engenharia?
b. ele estude somente engenharia?
c. ele não estude engenharia nem economia?
4.
Em um curso de economia, 100 alunos estão divididos em duas
turmas de 50 alunos, e cada aluno só pode cursar matérias na
sua própria turma. Em relação às matérias macroeconomia
e microeconomia, que serão ministradas em um mesmo
semestre, cada aluno deve matricular-se ao menos em uma
delas. A tabela a seguir indica a distribuição de alunos, por
turma, inscritos nessas matérias em um semestre do ano.
Ā: V1 e V2 e V3
P(Ā): 0,6 . 0,6 . 0,6
P(Ā): 0,216
P(A) + P(Ā) = 1
P(A) + 0,216 = 1
P(A) = 1 – 0,216
P(A) = 0,784
R.11. Um dado é lançado e sabe-se que ocorreu um
número par. Qual é a probabilidade de ter saído um número
primo?
A: ocorrer um número primo.
B: ocorreu um número par. B = {2; 4; 6}
P(A|B) = 1/3
Obs.: O único número primo dentro do conjunto B é o 2.
R.12. Numa sala, há 100 alunos. Sabe-se que 40
gostam de matemática, 80 que gostam de português e 20
gostam dessas 2 matérias. Um aluno é sorteado ao acaso.
Qual a probabilidade de que ele goste:
100
M = 40
P = 80
20
20
a) de matemática, sabendo que ele gosta de português?
20
80
=
Turma 2
Macroeconomia
36
17
Microeconomia
29
36
De um grupo de alunos dos períodos noturno, vespertino e
matutino de um colégio (conforme tabela) será sorteado o
seu representante numa gincana. Sejam pn , pv e pm as probabilidades de a escolha recair sobre um aluno do noturno, do
vespertino e do matutino, respectivamente.
1
4
b) de português, sabendo que ele gosta de matemática?
P
=
Turma 1
Escolhido, ao acaso, um aluno dentre os 100, qual é a probabilidade de ele estar matriculado em ambas as matérias nesse semestre?
60
5.
P=
20
= 1
20
20 1
=
40 2
N. de alunos
3
Período
noturno
5
x
vespertino
matutino
Calcule o valor de x para que se tenha pm =
M
a t e m á t i c a
2
.
3
15
6.
Uma empresa tem 5.000 funcionários. Desses, 48% têm
mais de 30 anos, 36% são especializados e 1.400 têm mais
de 30 anos e são especializados. Com base nesses dados,
pergunta-se:
a. Quantos funcionários têm até 30 anos e não são especializados?
b. Escolhendo um funcionário ao acaso, qual a probabilidade
de ele ter até 30 anos e ser especializado?
a. 5/26.
b. 3/16.
c. 10/13.
d. 5/52.
13. Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo
amarelo, o outro é todo vermelho, e o terceiro é vermelho de
um lado e amarelo do outro. Num determinado jogo, o juiz
retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra, também ao
acaso, uma face do cartão a um jogador. Assim, a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e da outra face,
mostrada ao jogador, ser amarela é igual a:
Probabilidade da união de dois eventos
7.
Uma urna contém 50 bolas que se distinguem pelas seguintes
características:
• x delas são brancas e numeradas sequencialmente com os
números naturais de 1 a x.
• x + 1 delas são azuis e numeradas sequencialmente com
os números naturais de 1 a x + 1.
• x + 2 delas são amarelas e numeradas sequencialmente
com os números naturais de 1 a x + 2.
• x + 3 delas são verdes e numeradas sequencialmente com
números naturais de 1 a x + 3.
a. Qual é o valor numérico de x?
b. Qual a probabilidade de ser retirada, ao acaso, uma bola
azul ou uma bola com o número 12?
a. 1/6.
b. 1/3.
c. 2/3.
d. 4/5.
e. 5/6.
14. Uma pessoa A comunica que é 80% provável que sua festa
de aniversário venha a ocorrer num sábado. Um convidado
B avisa que suas chances de comparecer à festa são de, respectivamente, 70% e 25%, conforme ela ocorra no sábado ou
não. A probabilidade de B ir à festa é de:
a.36%.
b.61%.
Eventos independentes (Produto de probabilidades)
c.58%.
8.
9.
d. 49%.
Uma urna contém 8 bolas, das quais três são vermelhas e
as restantes são brancas. Qual a probabilidade de retirando-se duas bolas sucessivamente, sem reposição, obtermos a 1ª
vermelha e a 2ª branca?
e. 72%.
15. A probabilidade de um casal ter um filho do sexo masculino
1
é . Então, supondo que o casal venha a ter três filhos, a
4
probabilidade de serem exatamente dois do mesmo sexo é:
Duas lâmpadas são escolhidas sucessivamente e sem reposição, de um grupo de 12. Das quais 5 são defeituosas. Calcule
a probabilidade de que:
a. nenhuma seja defeituosa.
b. exatamente uma seja defeituosa.
a. 3/16.
b. 1/16.
c. 3/8.
d. 1/8.
e. 9/16.
10. Uma urna contém 6 bolas vermelhas e 4 brancas. Três bolas
são sucessivamente sorteadas, sem reposição. A probabilidade de observarmos 3 bolas brancas é:
a. 1/15.
b. 1/20.
c. 1/25.
d. 1/30.
e. 1/35.
16. Um recipiente contém 4 balas de hortelã, 5 de morango e 3
de anis. Se duas balas forem sorteadas sucessivamente e sem
reposição, a probabilidade de que sejam de mesmo sabor é:
a. 18/65.
b. 19/66.
c. 20/67.
d. 21/68.
11. Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes;
uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; uma
urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola
é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três
bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem,
respectivamente, branca, preta e verde?
e. 22/69
17. Para uma partida de futebol, a probabilidade de o jogador R
não ser escalado é 0,2 e a probabilidade de o jogador S ser
escalado é 0,7. Sabendo que a escalação de um deles é independente da escalação do outro, a probabilidade de os dois
jogadores serem escalados é:
12. Uma caixa tem quarenta tampinhas, sendo dez verdes e trinta vermelhas. São retiradas duas tampinhas, sucessivamente.
Qual a probabilidade de a primeira ser verde e a segunda ser
vermelha, em um sorteio, sem reposição?
16
R
o b e r t o
a.0,06.
b. 0,14.
V
a s s c o n c e l o s
c. 0,24.
d.0,56.
e. 0,72.
18. Um jogador de basquete, cuja média de aproveitamento nos
lances livres é 60%, está posicionado para a cobrança de dois
lances livres. Qual a probabilidade de o jogador acertar somente o primeiro lance?
a. 40%.
b.36%.
c.32%.
Julgue CERTO (C) ou ERRADO (E).
1. Escolhendo-se, ao acaso, um aluno do 3º ano, a probabilidade de ser homem é igual a 0,45.
2. Escolhendo-se, ao acaso, um aluno do 3º ano B, a probabilidade de ser mulher é igual a 20%.
3. Escolhendo-se, ao acaso, um aluno do 3º ano, a probabilidade de ser mulher ou de ser da turma B é igual a
80%.
4. Escolhendo-se, ao acaso, um aluno do 3º ano, a probabilidade de ser mulher, dado que o aluno escolhido é da
turma A, é superior a 63%.
23. Um levantamento revela as seguintes informações sobre um
grupo de pessoas:
d.28%.
e. 24%.
19. Em um jogo de dardos, a probabilidade de um jogador acertar
1
o alvo é . Determine a probabilidade de, ao lançar o dardo
3
três vezes, o jogador acertar o alvo pelo menos duas vezes.
20. Em uma comunidade, 80% dos compradores de carros usados
são bons pagadores. Sabe-se que a probabilidade de um bom
pagador obter cartão de crédito é de 70%, enquanto que é de
apenas 40% a probabilidade de um mau pagador obter cartão
de crédito. Selecionando-se ao acaso um comprador de carro
usado dessa comunidade, a probabilidade de que ele tenha
cartão de crédito é de:
a.56%.
b. 64%.
c. 70%.
d.32%.
e. 48%.
21. O sangue humano está classificado em quatro grupos
distintos: A, B, AB e O. Além disso, o sangue de uma pessoa
pode possuir, ou não, o fator Rhésus. Se o sangue de uma
pessoa possui esse fator, diz-se que a pessoa pertence ao
grupo sanguíneo Rhésus positivo (Rh+) e, se não possui esse
fator, diz-se Rhésus negativo (Rh−). Numa pesquisa, 1.000
pessoas foram classificadas, segundo grupo sanguíneo e
respectivo fator Rhésus, de acordo com a tabela:
Rh+
Rh–
A
B
AB
0
390
60
50
350
70
20
10
50
Dentre as 1.000 pessoas pesquisadas, escolhida uma ao acaso,
determine:
a. a probabilidade de seu grupo sanguíneo não ser A. Determine também a probabilidade de seu grupo sanguíneo ser
B ou Rh+.
b. a probabilidade de seu grupo sanguíneo ser AB e Rh–.
Determine também a probabilidade condicional de ser
AB ou O, sabendo-se que a pessoa escolhida é Rh–.
Probabilidade condicional
22. Em uma escola, o 3º colegial tem duas turmas: A e B. A tabela
mostra a distribuição, por sexo, dos alunos dessas turmas.
Turma
A
B
Homens
20
25
Mulheres
35
20
M
Gosta de música Gosta de TV Gosta de cinema
Homens
390
60
50
Mulheres
70
20
10
Definindo que H: Homem; M: Mulher; A: gosta de música;
B: gosta de TV; C: gosta de cinema, e supondo que cada pessoa
deu uma única resposta, determine:
a. P(M/C).
b. P(B/M).
c. P(H/A).
d. P(A/H).
e. P(C/H).
24. Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e
cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras,
oito delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda todas
essas pulseiras – e apenas essas – em sua pequena caixa de
joias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao
cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua
pequena caixa de joias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira
de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade
de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das
pulseiras que ganhou de João é igual a:
a. 1/3.
b. 1/5.
c. 9/20.
d. 4/5.
e. 3/5.
25. Num sorteio, concorrem 50 bilhetes com números de 1 a 50.
Sabe-se que o bilhete sorteado é múltiplo de 5. A probabilidade de o número sorteado ser 25 é de:
a.15%.
b.5%.
c.10%.
d.30%.
e.20%.
26. Lança-se um par de dados não viciados. Se a soma nos dois dados é 8, então a probabilidade de ocorrer a face 5, em um deles é:
a. 1/2.
b. 2/5.
c. 4/5.
d. 1/5.
a t e m á t i c a
17
GABARITO
SISTEMAS LINEARES
É um conjunto de equações lineares.
1. a. 50%
b. 30%
c. 60%
d. 25%
2.a
3. a. P = 1/50
b. P = 7/50
c. P = 14/25
4. 18%
5. x = 16
6. a. A empresa possui 2200 funcionários não especializados com até 30 anos.
b. a probabilidade é de 0,08 ou 8%.
7. a. x = 11
b. P = 7/25
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA
Sistema
Exemplo:
 2X + 3Y - 2Z = 3

 5X + 2Y + Z = 8
 X – 3Y + 4Z = 2

7
22
35
b. P =
66
9. a. P =
1ª) Matriz completa (Mc )
É obtido pelos coeficientes das intangíveis e os termos
independentes.
Coeficientes
Termos independentes
 2 3 −2 3 
Mc = 5 2 1 8 


 1 −3 4 2 
10. c
1
27
12. a
13. a
14. b
15. e
16. b
17. d
18. e
19.
2ª) Matriz incompleta (M I)
Exclui a coluna dos termos independetes, na matriz
incompleta.
7
27
 2 3 −2 
MI = 5 2 1 


 1 −3 4 
20.b
21.a. Probabilidade de não ser A, 54% ; Probabilidade de ser
B ou Rh+, 87%.
b. Probabilidade de ser AB e Rh−, 1% ; Probabilidade
condicional AB ou O, 40%.
22. C E C C
23.a.
3ª) Matriz do coeficiente X (M x)
Troca-se a coluna dos coeficientes de x pela coluna
dos termos independentes, na matriz completa.
4
7
6
b.
13
 3 3 −2 
Mx =  8 2 1 


 2 −3 4 
c. 5 8
A coluna dos termos independentes entra
no lugar dos coeficientes de x.
d. 5
12
e.
4ª) Matriz do coeficiente y (My)
1
4
 2 3 −2 
My =  5 8 1 


1 2 4 
24. a
25. c
26. b
18
Indeterminado (+ de 1 solução)
MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA
LINEAR
56
11.p =
Determinado (somente 1 solução)
Impossível (não tem solução)
15
8. P =
Possível (tem solução)
R
o b e r t o
V
a s s c o n c e l o s
5ª) Matriz do coeficiente z (Mz)
 1 1 1


MI =
−15
 2 −1 2  ⇒ det M I =
 −1 −1 4 


 2 3 3
M z =  5 2 8 
 1 −3 2 


6 1 1


M x =−
−15
 6 1 2  ⇒ det M x =
 9 −1 4 


REGRA DE CRAMER PARA SOLUCIONAR
SISTEMAS
• Somente para sistemas onde o número de equações
é igual ao número de incógnitas.
• O determinante da matriz incompleta tem que ser
diferente de ZERO.
Obs.: Pela regra de Cramer, os valores de x, y, z são
dados por:
=
X
 1 6 1


My =
−30
 2 6 2  ⇒ det M y =
 −1 9 4 


 1 1 6


Mz =
−45
 2 −1 6  ⇒ det M z =
 −1 −1 9 


det M y
det M x
det M z
=
; Y =
; Z
det M i
det M i
det M i
=
X
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.5. Determine o conjunto solução do sistema abaixo:
7
 x + 3y − z =

2x − y − z =−3
 x + 4y − 2z =
−2

det M y
det M x
det M z
= 1=
; Y
= 2=
; Z
= 3
det M I
det M I
det M I
Obs.:
1ª Todo sistema de Cramer é possível e determinado.
2ª Se det Mi = 0 (Sistema não é de Cramer), então o
sitema ou é indeterminado ou é impossível.
Lembrete:
Possível (tem solução)
Sistema
Determinado (somente 1 solução)
Indeterminado (+ de 1 solução)
Impossível (não tem solução)
 1 3 −1 


M I  2 −1 −1  ⇒ det M I =
6
 1 4 −2 


det Mi ≠ 0
det Mi = 0
det Mi = 0
Exemplo:
 7 3 −1 


M x  −3 −1 −1  ⇒ det M x =
12
 −2 4 −2 


Determine “a” de modo que o sistema abaixo seja
determinado.
5
2x + 3y =

7
2x + 3ay =
 1 7 −1 


M y  2 −3 −1  ⇒ det M y =
18
 1 −2 −2 


det M 2= 6a3 – 6
M i = i
det Mi 2≠ 03a 
6a – 6 ≠ 0
a≠1
1 3 7 


M z  2 −1 −3  ⇒ det M z =
24
 1 4 −2 


SISTEMAS HOMOGÊNEOS
Um sistema é homogêneo quando a coluna dos termos
independentes é sempre formada por zero.
det M y
det M x
det M z
=
X
= 2=
; Y
= 3=
; Z
= 4
det M i
det M i
det M i
Exemplos:
S = {2, 3, 4}
0
2x + 3y =
a. 
0
x − y =
R.6. Dê o conjunto solução do sistema:
0
5x − 2y + 37 =

b.  x + y + z =
0
3x − y − z =
0

6
x + y + z =

6
2x − y + 2z =
− x − y + 4z =
9

M
a t e m á t i c a
19
Obs.:
1ª) Todo sistema homogêneo admite pelo menos uma
solução (0; 0; ...; 0), chamada de “solução trival”.
2ª) Se num sistema homogêneo, det MI ≠ 0 ele apresentará apenas a solução trival (sistema determinado).
3ª) Se det MI = 0, o sistema homogêneo será indeterminado (admite outra solução, além da trivial).
5.
Então a soma x + y + z é:
a.zero
b.1
c.2
Exemplo:
d. – 1
e. – 2
Determine “a” para que o sistema abaixo apresente outra solução, além da trivial.
6.
0
ax − y =

0
2ax + 5y =
det Mi = 5a – (–2a)
det Mi = 7a
det Mi = 0
7a = 0
7.
8.
0
x + y =
O sistema linear  x + z =
0 é indeterminado para:
 y + mz =
0

EXERCÍCIOS PROPOSTOS
14
 x + 2y + 3z =

4y + 5z =
23 . Então x = a:


=
6z
18

a. todo m real
b. nenhum m real
a. 27
c. m = 1
b.3
d. m = – 1
c.0
e. m = 0
d. – 2
e.1
2.
9.
Determine a e b de modo que sejam equivalentes os sistemas:
− y 0 ax=
+ by 1
 x=
e 

+ y 2 bx=
− ay 1
 x=
3.
Para que valor de m o sistema de equações lineares
1
mx + z =

0 , é impossível?
− x + my − 2z =
− y + z =
3

 x + y + 2z =
1

a
Para quais valores de a o sistema linear 2x + 3y + 4z =

2
admite solução?
y
2z
a
−
−
=

a=0
1.
0
x − y + z =
O sistema 2x + y − 3z =−12 admite solução única (x, y, z).
 x + y − z =−4

 x + ay − z = 0
Para que o sistema − x + y + z =
0 admita solução distinta
 x + az = 0

diferente da trvial x = y = z = 0:
a. α = 2 ou = –3.
b. tal fato nunca ocorre.
c. α deve ser igual a zero.
4
−1
2x + ky =
x + y =
e S
Se os sistemas S 
são equiva=
x − 2y 5
 tk − y 1
=
lentes, então:
d. α deve ser igual a – 1.
e. α deve ser igual a – 2.
a. k = 2t
b. t = 2k
GABARITO
c. k + t = 0
d. k – t = 0
1.e
2. a = 0 e b = 1 (Dois sistemas são equivalentes quando têm
as mesmas soluções: substitua no segundo sistema a solução encontrada no primeiro.
3.d
4. c
5.c
6. m = 1
7. a = – 2 ou a = 1
8.d
9. d
e. 2k +3t = 0
4.
6
x + y =
Sejam x, y e z números reais tais que:  y + z =
3 . Então xy – z é:
x + z =
1

a. – 8
b. 7
c. 9
d. 1/9
e. 1/8
20
R
o b e r t o
V
a s s c o n c e l o s
MATEMÁTICA FINANCEIRA
JUROS SIMPLES
INTRODUÇÃO
Juro é o rendimento que se obtém pela aplicação de um
capital. No caso de juros simples a taxa contratada incide
sempre sobre o capital inicial, independente do período de
aplicação.
Por exemplo, se uma pessoa aplicar R$ 1000,00, por 2
anos, obtendo rendimento de 10% e 20%, respectivamente
nesses dois anos, o juro obtido em cada ano será:
Vamos considerar que uma pessoa tenha aplicado R$
1000,00 durante 3 anos à uma taxa de 10% em cada ano,
isto é, 10% aa.
Assim o juro será dado por:
JT = (10% + 10% + 10%) de 1000
JT = 30% de 1000 ⇒ JT = 300 J T = 300
Repare que para encontrarmos a taxa de 30% bastaria
fazermos “3 × 10%”.
Num caso em que a aplicação fosse, digamos de 10% aa
durante 8 anos, então bastaria fazermos (para obtermos a
taxa total):
10%
+ 10%
+
10% + ... + 10%

= 8.10%= 80%
10
j1 = 10% de1000=
⋅1000 ⇒ J1 = 100
100
20
j2 = 20% de1000 =
⋅1000 ⇒ J 2 = 200
100
8 vezes
Daí podemos adotar a seguinte regra para o cálculo do
juro simples com taxa constante:
Observe que o rendimento do 1º ano (R$ 100,00) não
se juntou ao capital inicial (R$ 1000,00) para o juro do 2º
ano. Nesse caso, dizemos que o regime de aplicação do capital é “juros simples”.
Existem 2 modos de se calcular o juro simples: um
que se baseia no prazo comercial (1 ano = 360 dias) e outro
que se baseia no prazo exato (ano com com 365 dias ou 366
dias). Nesse último caso é denominado de juros simples
exato, enquanto no primeiro caso é denominado de juros
simples comercial ou simplesmente juro simples.
JUROS COM TAXA CONSTANTE
Considere a seguinte situação hipotética:
Uma pessoa aplica R$ 1000 durante 3 anos com rendimentos anuais de 10%, 20% e 30%, respectivamente. Qual
o juro obtido nos 3 anos?
Lembre-se que no sistema de juros simples a taxa incide sempre sobre o capital inicial. logo:
Juro
do período) ⋅ (nº de períodos) ⋅ (Capitalinicial)
= (Taxa


  
J
i
n
c
ou ainda:
J = c⋅i ⋅ n
onde:
J → juro simples
c → capital aplicado
i → taxa do período (dia, mês, trimestre, etc)
n → nº de períodos (dias, meses, trimestres, etc)
Obs.: A taxa (i) e o número de períodos (n) devem estar sempre nas mesmas unidades.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.1.Determine o juro simples das aplicações de R$ 2500,00,
durante 5 meses à taxa de z% am.
J1 = 10% de 1000 ⇒ J1 = 100
J2 = 20% de 1000 ⇒ J2 = 200
J3 = 30% de 1000 ⇒ J3 = 300
Solução:
Portanto temos que JT = 100 + 200 + 300 ⇒ JT = 600.
Uma outra forma de encontrarmos esse valor para o juro total (JT) era somarmos as taxas (10% + 20% + 30% = 60%) e
aplicarmos esse índice sobre o capital inicial:
JT = 60% de 1000 ⇒ JT = 600
Veja que no cálculo do juro simples então basta somarmos as taxas dos períodos considerados e aplicarmos
sobre o capital inicial.
Quando a taxa do período for constante, poderemos
substituir a soma das taxas por um produto. Veja:
M
c = 2500

=
= 0,02am
i 2%am

 n = 5me
 J = ?
J=c.i.n
J = 2500 . 0,02 . 5
J = 250
R.2. Qual a taxa mensal que se deve aplicar um capital de
R$ 3000,00 para obtermos R$ 600,00 de juros simples
em 4 meses de aplicação?
a t e m á t i c a
21
Solução:
Relação de proporcionalidade
c = 3000
J = 600


n = 4 meses
i = ?
iq
id im
is
it
is
ia
= = =
=
=
=
1 30 60 90 120 180 360
onde:
id → taxa diária
im → taxa mensal
ib → taxa bimestral
i t → taxa trimestral
i q → taxa quadrimestral
i s → taxa semestral
i a → taxa anual
J=c.i.n
600 = 3000 . i . 4
600 = 12000 . i
i=
600
12000
i = 0,05
i = 5%am
TAXAS EQUIVALENTES
R.3.Qual o tempo necessário para que um certo capital aplicado a juros simples simples numa taxa de 8% aa apresente 80% do seu próprio valor de rendimentoo?
Duas taxas são equivalentes quando aplicadas sobre
o mesmo capital, durante o mesmo tempo, produzirem o
mesmos juros.
No caso de juro simples, duas taxas proporcionais são
equivalentes (e vice-versa).
Logo, para encontrarmos uma taxa equivalente a outra
taxa dada, basta calcularmos a taxa proporcional.
Solução:
c = x

=
=
x 0,8x
 J 80%de

=
i
8%aa
=
0,08aa

 n = ?
Exemplos:
• 30% as e 60% aa (são proporcionais e equivalentes).
• 8% am e 24% at (são proporcionais e equivalentes).
J = c⋅i ⋅ n
0,8x =
x ⋅ 0,08 ⋅ n
0,8 80
=
n =
0,08 8
EXERCÍCIO RESOLVIDO
R.5.Determine a taxa mensal equivalente a cada taxa dada:
a. 10% ab
b. 18% aa
c. 12% as
d. 21% at
n = 10anos
R.4.Qual é o capital que aplicado a juros simples de 3% am,
durante 7 meses apresenta um juro de R$ 420,00?
Solução:
Como a equivalência se dá por proporção, temos:
Solução:
=
=
am 0,03 am
i 3%

 n = 7 meses

 J = 420
c = ?
a) i m = i b
30
J=c.i.n
420 = c . 0,03 . 7
420 = c . 0,21
i m 10%
=
1
2
i m = 5%
b) i m = i a
420 42000
=
c =
0,21
21
30
c = 2000
TAXAS PROPORCIONAIS
R
o b e r t o
i m 18%
=
1
12
i m = 1,5%
V
360
c)
Duas taxas são proporcionais quando os seus valores
formam uma proporção com as suas unidades.
Exemplos: 10% as e 20% aa; 10% am e 30% at etc.
22
60
im
i
= s
30 180
i m 12%
=
1
6
a s s c o n c e l o s
Solução:
i m = 2%
d) i m = it
30 90
c = 8000
i 36%
=
=
aa 0,36 aa


n = 3meses
M = ?
i m 21%
=
1
3
i m = 7%
im
i
i m 36%
= a= =
⇒ i m = 3%
1
12
30 360
R.6.Um capital de R$ 5000,00 foi aplicado a juros simples
de 24% aa, durante 8 meses. Determine o rendimento.
1
Solução:
c = 5000
i 24%aa
=
= 0, 24aa


n
=
8meses

J = ?
M = 8.720
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Como a taxa e o tempo (nº de períodos) não estão nas
mesmas unidades, temos de fazer uma transformação prévia
antes de utilizarmos a equação “J = c . i . n”.
Nesse caso, ou transformamos a taxa de 24% aa para
uma equivalente “ao mês” ou transformamos 8 meses em
um tempo equivalente “em ano”.
Vamos transformar a taxa:
1.
Uma pessoa física recebeu um empréstimo de um banco comercial no valor de R$ 10.000,00 por um prazo de três meses
para pagar de volta este valor acrescido de 15% de juros ao
fim do prazo. Todavia, a pessoa só pode usar em proveito
próprio 75% do empréstimo, porque, por força do contrato,
usou o restante para fazer uma aplicação no próprio banco
que rendeu R$ 150,00 ao fim dos três meses. Indique qual foi
a taxa efetiva de juros paga pela pessoa física sobre a parte
do empréstimo que utilizou em proveito próprio.
a. 12% ao trimestre
i
im
i
24%
⇒ i m = 2% am
= a ⇒ m=
1
12
360
30
b. 14% ao trimestre
c. 15% ao trimestre
d. 16% ao trimestre
Logo, teremos:
J=c·i·n
J = 5000 · 0,02 · 8
J = 800
e. 18% ao trimestre
2.
MONTANTE (M)
Qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 2,4% ao
mês rende R$ 1 608,00 em 100 dias?
a. R$ 20 000,00.
b. R$ 20 100,00.
O montante é, por definição, o valor obtido pela soma do
capital investido com os juros recebidos ao longo da aplicação.
c. R$ 20 420,00.
d. R$ 22 000,00.
e. R$ 21 400,00.
M= c + J
3.
Se substituirmos “J” por “c . i . n”, teremos:
M=c+c.i.n
M = c ⋅ (1 + i ⋅ n)
onde:
M
c
i
n
12
M = c . (1 + i . n)
M = 8000 (1 + 0,03 . 3)
M = 8000 . 1,09
Um capital é aplicado a juros simples do dia 10 de fevereiro
ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de 24% ao
ano. Nessas condições calcule o juro simples exato ao fim do
período, como porcentagem do capital inicial, desprezando
as casas decimais superiores à segunda.
a. 4,70%
b. 4,75%
c. 4,80%
→ montante
→ capital
→ taxa
→ nº de períodos
d. 4,88%
e. 4,93%
4.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
R.7.Determine o montante da aplicação de R$ 8000,00,
durante 3 meses à taxa de 36% aa.
M
Os capitais de R$ 8.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 6.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples, pelos prazos de
8, 5 e 9 meses, respectivamente. Obtenha o tempo necessário
para que a soma desses capitais produza juros; à mesma taxa,
iguais à soma dos juros dos capitais individuais aplicados nos
seus respectivos prazos.
a t e m á t i c a
23
5.
a. 6 meses
a.11.200,00
b. 6 meses e meio
b.13.200,00
c. 7 meses
c.13.500,00
d. 7 meses e dez dias
d. 12.700,00
e. 7 meses e dezoito dias
e. 12.400,00
11. O preço à vista de uma mercadoria é de R$ 100.000. O comprador pode, entretanto, pagar 20% de entrada no ato e o
restante em uma única parcela de R$ 100.160, vencível em
90 dias. Admitindo-se o regime de juros simples comerciais,
a taxa de juros anuais cobrada na venda a prazo é de:
Três capitais nos valores de R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$
4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 5,5%, 4%
e 4,5% ao mês, durante o mesmo número de meses. Obtenha
a taxa média mensal de aplicação destes capitais.
a.3,5%
a. 98,4%
b. 4%
b. 99,6%
c. 4,25%
c.100,8%
d. 4,5%
d.102,0%
e.5%
6.
e.103,2%
Se 6/8 de uma quantia produzem 3/8 desta mesma quantia de
juros em 4 anos, qual é a taxa aplicada?
12. João colocou metade de seu capital a juros simples pelo prazo de 6 meses e o restante, nas mesmas condições, pelo período de 4 meses. Sabendo-se que, ao final das aplicações,
os montantes eram de R$ 117.000 e R$ 108.000, respectivamente, o capital inicial do capitalista era de:
a. 20% ao ano
b. 125% ao ano
c. 12,5% ao ano
7.
d. 200% ao ano
a. R$ 150.000
e. 10% ao ano
b) R$ 160.000
c. R$ 170.000
Um capital de R$ 14.400 aplicado a 22% ao ano rendeu R$
880 de juros. Durante quanto tempo esteve empregado?
d. R$ 180.000
e. R$ 200.000
a. 3 meses e 3 dias
b. 3 meses e 8 dias
GABARITO
c. 2 meses e 23 dias
8.
d. 3 meses e 10 dias
1.e
e. 27 dias
2.b
3.c
Qual é o capital que diminuído dos seus juros simples de 18
meses, à taxa de 6% a.a., reduz-se a R$ 8.736,00?
4. c
5.d
a. R$ 9.800,00
6.c
b. R$ 9.760,66
7. d
c. R$ 9.600,00
8.c
d. R$ 10.308,48
9. b
e. R$ 9.522,24
9.
10.b
11.c
Qual a taxa necessária para que um capital, colocado a juros
simples, decuplique de valor em 7 anos
12.d
a. 50% a.a.
DESCONTOS SIMPLES
b. 128 4/7% a.a.
c. 142 6/7% a.a.
Desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é negociada antes da data do seu vencimento.
O documento que atesta a dívida é denominado genericamente por título de crédito.
É muito comum nas operações com títulos de crédito como: cheque, nota promissória, duplicata, letras de
câmbio, com vencimentos futuros. Esses títulos de crédito
quando levados a uma instituição financeira, serão descontados, ou seja, terão seus valores antecipados mediante um
abatimento, que chamaremos de desconto.
d. 1 2/7% a.m.
e. 12% a.m.
10. Mário aplicou suas economias, a juros simples comerciais,
em um banco, a juros de 15% a.a., durante 2 anos. Findo
o prazo reaplicou o montante e mais R$ 2.000,00 de suas
novas economias, por mais 4 anos, à taxa de 20% a.a., sob
mesmo regime de capitalização. Admitindo-se que os juros
das 3 aplicações somaram R$ 18.216,00, o capital inicial da
primeira aplicação era de R$
24
R
o b e r t o
V
a s s c o n c e l o s
ELEMENTOS DE CRÉDITO
Obs.:
VALOR NOMINAL
É quanto vale um compromisso na data do seu vencimento. Se após o vencimento o compromisso não for saldado, entendemos que o mesmo continuará tendo seu valor
nominal, acrescido de juros e de eventuais multas por atraso. Simbolicamente chamaremos de “N”.
M = c + j → N = c + j → N = c + c . i . n → N = c . (1 + i . n)
Portanto,
N = c . (1 + i . n)
Exemplo:
Uma pessoa que aplicou uma quantia hoje e que vai
resgatá-la por R$ 20.000,00 daqui a 12 meses. A situação
pode ser representada do seguinte modo:
DESCONTO OU ABATIMENTO
É a quantia a ser abatida do valor nominal.
DESCONTO COMERCIAL SIMPLES OU DESCONTO
“POR FORA”.
20.000 (Valor Nominal)
0
Quando se faz uma aplicação de capital com vencimento pré-determinado, obtém-se um comprovante de aplicação que pode ser, por exemplo, uma nota promissória ou
uma letra de câmbio.
Caso o aplicador precise do dinheiro antes de vencer o
prazo de aplicação, deve voltar à instituição captadora, transferir a posse do título e levantar o principal e os juros já ganhos.
Outra situação diz respeito a uma empresa que faça
uma venda a prazo, recebendo uma duplicata com vencimento determinado. Se a empresa precisar do dinheiro para
suas operações, pode ir a um banco e transferir a posse da
duplicata, recebendo dinheiro em troca.
As operações citadas são chamadas de “desconto” e o
ato de efetuá-las é chamado de “descontar um título”.
12 (meses)
O valor nominal da aplicação é, portanto, igual a R$
20.000,00 no mês 12.
VALOR ATUAL OU VALOR LÍQUIDO
É o valor que um compromisso tem em uma data que
antecede ao seu vencimento. Simbolicamente chamaremos
de “A”.
Para calcular o valor atual, é necessário especificar o
valor nominal, a data de cálculo e a taxa de juros a ser utilizada na operação. Note então que o cálculo do valor atual pressupõe que já tenhamos um compromisso que vence
numa data futura.
É o valor pelo qual o título acabou sendo negociado
antes da data de vencimento do mesmo. É sempre menor
que o valor nominal, pois o título sofreu um desconto.
O valor líquido também é chamado de valor atual,
valor descontado (que sofreu desconto – não confundir
com “valor abatido”).
PRAZO DE ANTECIPAÇÃO
Por definição é aquele valor que se obtém pelo cálculo
do juro simples sobre o valor nominal do compromisso que
seja saldado n períodos antes de seu vencimento.
Sendo:
N →valor nominal (ou montante)
Ac →valor atual comercial (ou valor descontado comercial)
n →número de períodos antes do vencimento
i →taxa de desconto
Dc →valor do desconto (ou desconto comercial)
Obtém-se o valor do desconto comercial aplicando-se
a definição:
Dc = N ⋅ i ⋅ n
E o valor descontado comercial, ou seja, o valor atual
comercial é:
Ac = N – Dc.
Ou ainda,
A=
N − Dc
c
É o intervalo de tempo entre a data em que o título
é negociado e a data do seu vencimento. Simbolicamente
usaremos “n”.
Ac = N − N ⋅ i ⋅ n
A c = N ⋅ (1 − i ⋅ n)
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Vamos resumir o que temos até agora num esquema:
(Antes do Vencimento)
(Na data doVencimento)
Valor Líquido Prazo de antecipação
ou Valor atual
(Desconto)
Valor
Nominal
M
R.1. Uma pessoa pretende saldar um título de R$
5.040,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que
a taxa de juros corrente é de 4% ao mês, qual o desconto
comercial simples e qual o valor líquido?
a t e m á t i c a
25
Solução:
EXERCÍCIO RESOLVIDO
R.1. Um título de R$ 5.500,00 foi descontado no banco
X, que cobra 2% como despesa administrativa. Sabendo-se
que o título foi descontado 3 meses antes do seu vencimento
e que a taxa corrente em desconto simples comercial é de
40% ao ano, qual o desconto bancário? Quanto recebeu o
proprietário do título?
R$ 5.040,00
Dc
Ac
N
0
Solução:
3 meses
Os descontos comerciais serão de:
D b= N ( i ⋅ n + h )
Dc = N ⋅ i ⋅ n
 0, 40

D=
5500 ⋅ 
⋅ 3 + 0, 02 
b
 12

D b = 5500 ⋅ ( 0,10 + 0, 02 )
Dc = 5040 ⋅ 0, 04 ⋅ 3
Dc = 604,80
D b = 660
O valor a ser obtido é Ac.
Portanto o desconto bancário foi de R$ 660,00.
A=
N − Dc
c
O valor descontado bancário foi de:
=
A c 5040 − 604,8
A c = 4435,20
A b= N − D b
=
A b 5500 − 660
Portanto, o desconto comercial será de R$ 604,80 e o
valor a ser recebido será de R$ 4.435,20.
A b = 4840
Portanto, o proprietário do título recebeu R$ 4.840,00.
DESCONTO BANCÁRIO NO REGIME DE JUROS
SIMPLES
DESCONTO RACIONAL SIMPLES OU DESCONTO
“POR DENTRO”
DEFINIÇÃO
DEFINIÇÃO
Corresponde ao desconto comercial acrescido de uma
taxa prefixada, cobrada sobre o valor nominal.
Esta taxa de despesas bancárias é referida frequentemente como sendo as despesas administrativas do banco ou
instituição que faz a operação. O desconto bancário pode
ser entendido como uma extensão do desconto comercial.
Sendo:
O desconto racional, também chamado de desconto
“por dentro”, utiliza como base de cálculo na aplicação de
percentual de desconto, o valor atual do título, ou seja, um
juro simples atuando sobre o valor atual.
Sendo:
N →valor nominal (ou montante)
Ab →valor atual (ou valor descontado bancário)
n →números de períodos antes do vencimento
h →taxa de despesas bancárias (não vinculada a entidade de tempo(
i →taxa de desconto
Db →desconto bancário
Dc →desconto comercial
N →valor nominal (ou montante)
Ar →valor atual racional (ou valor descontado racional)
n →números de períodos antes do vencimento
i →taxa de desconto
Dr →valor do desconto (ou desconto racional)
Por definição temos:
Tem-se o valor do desconto bancário:
A r + Dr =
N
D b = Dc + h ⋅ N
A r + Ar ⋅ i ⋅ n =N
Db = N ⋅ i ⋅ n + h ⋅ N
(1 + i ⋅ n ) ⋅ A r
Db = N ⋅ ( i ⋅ n + h )
Ar =
e
A b= N − D b
26
=N
N
1+ i ⋅ n
e
D r= A r ⋅ i ⋅ n
R
o b e r t o
V
a s s c o n c e l o s
Podemos estabelecer ainda que:
D=
N − Ar
r
=
D r 5040 − 4500
D=
N − Ar
r
D r = 540
N
D=
N−
r
1+ i ⋅ n
N ⋅i ⋅ n
Dr =
1+ i ⋅ n
Portanto, o desconto racionail será de R$ 540,00 e o
valor a ser recebido será de R$ 4.500,00.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.1) Uma pessoa pretende saldar um título de
R$ 5.040,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 4% ao mês, qual o
desconto racional e quanto vai pagar?
R.2. Vamos admitir que uma pessoa aplique hoje a
quantia de R$ 15.000,00 e que recebeu, pela aplicação, um
título que irá valer R$ 24.000,00 no mês 12. A situação
pode ser representada do seguinte modo:
24.000 (Valor Nominal)
(Capital) 15.000
Solução:
R$ 5.040,00
Ar
N = c ⋅ (1 + i ⋅ n )
i = 0, 05
N
Observe que, como a unidade de tempo utilizada foi o
“mês”, a taxa também fica referida ao mesmo intervalo de
tempo. Ou seja: i = 0,05 ao mês. Ou, o que nos dá no mesmo:
i = 5% ao mês.
Vamos supor agora que, passados 8 meses da data da
aplicação, a pessoa precisou de dinheiro. Então ela vai ao
mercado para “descontar” seu título, isto é, para trocar seu
título por dinheiro. Note que, se ela trocar seu título por
dinheiro com um amigo, isto corresponde do mesmo modo
a uma operação de desconto.
Admitamos que a taxa de juros vigente na data 8 seja
também de 5% ao mês. Nestas condições, quanto à pessoa
pode obter pelo título?
A nova situação, em temos de representação gráfica,
é a seguinte:
3 meses
O valor a ser obtido é o valor atual racional “A r”.
A r + A r ⋅ i ⋅ n =N
A r + A r ⋅ 0, 04 ⋅ 3 =
5040
A r + 0,12 ⋅ A r =
5040
1,12 ⋅ A r =
5040
A r = 4500
Ou,
A=
r
12 meses
24000
= 15000 ⋅ (1 + i ⋅12 )
Dr
0
0
N
5040
⇒ A=
r
1+ i ⋅ n
1 + 0, 04 ⋅ 3
R$ 24.000,00
A r = 4500
Dr
Ar
(Capital) R$ 15.000,00
N
O desconto racional será de:
D r= A r ⋅ i ⋅ n
0
D r = 4500 ⋅ 0, 04 ⋅ 3
8 meses
12 meses
Chamaremos de “A r“ o valor atual racional do título na
data 8. Ou seja, 4 meses antes da data do seu vencimento.
Para obter o A r, procedemos do seguinte modo:
D r = 540
Ou,
A r + A r ⋅ i ⋅ n =N
N ⋅i ⋅ n
5040 ⋅ 0, 04 ⋅ 3
D=
⇒ D=
r
r
1+ i ⋅ n
1 + 0, 04 ⋅ 3
A r + A r ⋅ 0, 05 ⋅ 4 =
24000
A r + 0, 2 ⋅ A r =
24000
D r = 540
1, 2 ⋅ A r =
24000
A r = 20000
Ou,
M
a t e m á t i c a
27
Neste exemplo, o desconto racional “Dr” foi de
Dados:
n → período de antecipação
Ic → taxa de desconto comercial
ir → taxa de desconto racional
D=
N − Ar
r
D r 24000 − 20000
=
D r = 4000
Temos:
Dc = D r
RELAÇÃO ENTRE DESCONTO RACIONAL E
COMERCIAL SIMPLES
N ⋅i ⋅ n
N ⋅ ic ⋅ n = r
1 + ir ⋅ n
Vamos examinar qual a relação existente entre os dois
descontos:
1 1
− =
n
ic ir
Temos que
Portanto, o desconto comercial simples vai ser igual ao
N ⋅i ⋅ n
Dr =
e Dc = N ⋅ i ⋅ n.
1+ i ⋅ n
desconto racional simples quando a relação entre as taxas
1 1
dos descontos satisfizerem − =
n.
ic ir
N ⋅i ⋅ n
Dr 1 + i ⋅ n
=
Dc N ⋅ i ⋅ n
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Dr
1
=
Dc 1 + i ⋅ n
R.1. Uma nota promissória foi descontada comercialmente à taxa simples de 5% ao mês 15 meses antes do seu vencimento. Se o desconto fosse racional simples, qual deveria
ser a taxa adotada para produzir um desconto de igual valor?
Dc= D r ⋅ (1 + i ⋅ n )
ou ainda
Solução:
Dc= D r + D r ⋅ i ⋅ n ⇒ Dc − D r= D r ⋅ i ⋅ n
1
1
− = 15 ⇒ i r = 0, 2 ou seja, i r = 20% am
0, 05 i r
Ou seja, o desconto comercial pode ser entendido
como sendo o montante do desconto racional calculado para
o mesmo período e à mesma taxa, ou ainda que a diferença
entre os dois descontos é igual ao juro de um capital igual
ao desconto racional (nas mesmas condições).
Resolvendo, teremos i r = 20%am
Obs.:
Uma pessoa pretende saldar um título de R$ 33.000,00
3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de
desconto é 40% a.a., qual o valor do desconto racional simples e quanto vai obter?
EXERCÍCIO RESOLVIDO
R.1. O desconto comercial de um título descontado 5
meses antes de seu vencimento e à taxa de 36% ao ano é de
R$ 9.430,00. Qual é o desconto racional?
Solução:
Solução:
1 – Desconto racional:
=
D
D r (1 + i ⋅ n )
c
N ⋅i ⋅ n
1+ i ⋅ n
D r ⋅ (1 + i ⋅ n ) = N ⋅ i ⋅ n
Dr =
9.430 = D r (1 + 0, 03 ⋅ 5 )
Dr =
9430
1,15
0, 4
 0, 4 
D r ⋅ 1 +
⋅ 3=
⋅3
 33000 ⋅
12 
12

D r ⋅1,1 =
3300
D r = 8200
Portanto, os descontos racionais seriam de R$ 8.200,00
D r = 3000
RELAÇÃO ENTRE AS TAXAS DE DESCONTO
RACIONAL SIMPLES E DESCONTO COMERCIAL
SIMPLES
2 – O valor descontado racional:
D=
N − Ar
r
A relação abaixo nos permite obter o valor da taxa desconto racional ou a taxa do desconto comercial (conhecendo-se uma, calcula-se a outra), na condição de termos Dc=Dr.
28
R
o b e r t o
=
3000 33000 − A r
A r = 30000
V
a s s c o n c e l o s
Observe que R$ 30.000,00 é o próprio valor atual do
compromisso. De fato, nos próximos 3 meses e à taxa de
40% a.a., a aplicação desse valor iria render:
a. R$ 690,00
b.R$ 680,00
c. R$ 600,00
d. R$ 560,00
J = C⋅i ⋅ n
J= 30000 ⋅
e. R$ 480,00
0, 4
⋅3
12
3.
J = 3000
Logo:
a. R$ 4.800,00
M= 30000 + 3000 ⇒ M= 33000
b. R$ 4.850,00
Assim, no regime de juros simples, o desconto racional, aplicado ao valor nominal é igual ao juro devido sobre
o capital (valor descontado), desde que ambos sejam calculados à mesma taxa. Ou seja, a taxa de juros da operação
é também a taxa de desconto.
c. R$ 4.900,00
d. R$ 4.910,00
e. R$ 4.920,00
4.
Obs.:
Veja o mesmo problema com desconto comercial simples.
Solução:
b. 5% a.m
c. 6% a.m
d. 6,5% a.m
e. 8% a.m
5.
O desconto simples comercial de uma nota promissória foi
de R$ 216,00. Se a taxa considerada foi de 21,6% ao ano e o
prazo de antecedência 15 meses, logo o valor nominal era de:
a. R$ 1.200,00
b. R$ 1.000,00
c. R$ 960,00
d. R$ 800,00
e. R$ 780,00
6.
Uma nota promissória foi descontada, no regime de juros simples, 4 meses antes de seu vencimento à taxa de 24% ao ano.
Sabendo-se que o valor atual comercial foi de R$ 1.104,00, é
correto afirmar que seu valor nominal seria de
a. R$ 1.200,00
b. R$ 1.400,00
c. R$ 1.500,00
d. R$ 1.620,00
e. R$ 1.800,00
7.
Pelo valor nominal de R$ 1.600,00 uma pessoa recebeu R$
1.400,00 como sendo o valor atual comercial. Qual foi a antecipação, se a taxa de juros simples adotada tivesse sido de 5%
ao bimestre?
a. 8 meses
b. 2 bimestres
c. 2,5 bimestres
d. 6 meses
e. 3 bimestres
8.
Uma nota promissória de valor nominal R$ 8.856,00 com
vencimento em 4 meses foi comprada por R$ 8.200,00. Qual
é a taxa de desconto racional exigida pelo comprador?
1 – Desconto comercial:
Dc = N ⋅ i ⋅ n
0, 4
⋅3
12
Dc = 3300
2 – O valor descontado comercial:
A=
N − Dc
c
=
A c 33000 − 3300
A c = 29700
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1.
Uma duplicata de R$ 1.200,00 sofreu um desconto simples
comercial de R$ 126,00. Calcule o prazo da operação, considerando uma taxa de 3% ao mês.
a. 90 dias
b. 95 dias
c. 100 dias
d. 105 dias
e. 110 dias
2.
O valor presente de um título de R$ 800,00 sofreu um desconto simples comercial à taxa de 5% a.m., três meses antes de
seu vencimento é de
M
Uma duplicata de R$ 2.500,00, foi resgatada por R$ 2.200,00
a três meses do seu vencimento. A taxa mensal da operação,
considerando-a como desconto comercial simples foi de
a. 4% a.m
Uma pessoa pretende saldar um título de R$ 33.000,00
3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa
de desconto é 40% a.a., qual o valor do desconto comercial
simples e quanto vai obter?
Dc= 33000 ⋅
Necessitando de recursos à vista, uma empresa submeteu um
título de R$ 5.000,00 a um desconto simples comercial 10
dias antes de seu vencimento. O valor líquido recebido, sabendo que a operação foi realizada a uma taxa de 6% a.m foi
de
a t e m á t i c a
29
9.
16. Qual o valor atual de uma duplicata que sofre um desconto
simples racional de R$ 500,00, a 50 dias de seu vencimento,
à taxa de 3% a.m.?
a. R$ 9.500,00
b. R$ 9.550,00
c. R$ 10.000,00
d. R$ 10.050,00
e. R$ 10.500,00
Um título de valor nominal R$ 5.300,00 foi descontado à taxa
de 18% ao ano. Sabendo-se que o desconto simples racional
foi de R$ 300,00, quanto tempo antes do vencimento efetuou-se o resgate?
10. Se for concedido um desconto simples racional de R$ 18,00,
qual será a taxa considerada, uma vez que o valor nominal é
de R$ 258,00 e o período de antecipação 5 meses?
a. 2% a.m
b. 2,5% a.m
c. 3% a.m
d. 16% a.a
e. 18% a.a
17. O banco “A” descontou um título de um cliente à taxa de 4%
a.m.. O valor do título era de R$ 2.400,00, e seu vencimento para 20 dias. No mesmo dia, o banco “A” redescontou o
título no banco “B”, que estava praticando uma taxa de 3%
a.m.. Podemos, então, afirmar que o lucro do banco “A” nesta
transação foi de:
a. R$ 34,00
b. R$ 28,00
c. R$ 22,00
d. R$ 19,00
e. R$ 16,00
11. O valor atual de uma promissória é de R$ 6.800,00, tendo
sido adotada a taxa de 30% ao ano. Qual será o prazo de antecipação, dado que o desconto racional é de R$ 510,00?
a. 2 meses
b. 3 meses
c. 4 meses
d. 5 meses
e. 6 meses
18. O desconto simples comercial de um título foi de R$ 750,00,
adotando-se uma taxa de 30% ao ano (ano comercial). Quanto tempo faltaria para o vencimento do título, se seu valor
nominal fosse de R$ 20.000,00?
12. A taxa anual de desconto simples racional utilizada na operação de um título de R$ 504,00 a 120 dias de seu vencimento,
e que apresentou um valor líquido de R$ 420,00 foi de
a. 40%
19. Uma empresa retira do Banco Alfa um empréstimo por 3
meses no valor de R$ 500.000,00. Se a taxa de juros simples
for de 26% ao ano e, além disso, o banco cobrar 1% a título
de despesas administrativas, qual será o desconto bancário?
b. 45%
c.50%
d.58%
e.60%
20. No financiamento de R$ 15.000,00, pelo prazo de 6 meses,
o cliente recebeu o valor líquido de R$ 12.525,00. Se a taxa
de juros simples for fixada em 27% ao ano, existirá taxa de
serviço cobrada no desconto bancário?
13. Um título vale R$ 20.000,00 na data de vencimento. Entretanto poderá ser resgatado antecipadamente, com um desconto racional simples de 12,5% ao trimestre. Quanto tempo antes do vencimento o valor do resgate seria de R$ 16.000,00?
a. 1,6 trimestre
b. 4 meses
c. 5 meses
d. 6 meses
e. 150 dias
21. O banco X anuncia que sua taxa de juros é a menor do mercado, cobrando apenas 3% de taxa administrativa. Exemplifica
dizendo que, para 6 meses, se o cliente pedir R$ 45.000,00,
sofrerá um desconto simples de apenas R$ 8.550,00. Qual é a
taxa de juros comercial considerada?
a. 32% a.a
b. 30% a.a
c. 28% a.a
d. 25% a.a
e. 20% a.a
14. Uma nota promissória foi quitada 2 meses antes de seu vencimento pelo valor de R$ 3.200,00. Qual o valor nominal da
nota, sabendo que a quitação deu-se por uma operação de desconto simples racional à taxa de 60% ao ano?
a. R$ 3.420,00
b. R$ 4.500,00
c. R$ 4.120,00
d. R$ 3.520,00
e. R$ 3.510,00
22. Numa operação de desconto de um título a vencer em 5 meses, o desconto comercial é R$ 140,00 a mais que o desconto
racional. Qual será o valor nominal do título, se a taxa de
juros empregada nos descontos for de 24% ao ano?
a. R$ 18.000,00
b. R$ 16.000,00
c. R$ 15.500,00
d. R$ 15.400,00
e. R$ 15.000,00
15. Recebi R$ 525,00 pela quitação antecipada de uma dívida
no valor de R$ 546,00. Sabendo que concedi um desconto
simples racional à taxa de 8% ao mês para ter o pagamento
antecipado, o prazo de antecipação foi de
a. 10 dias
b. 12 dias
c. 15 dias
d. 18 dias
e. 20 dias
30
R
o b e r t o
23. Uma dívida no valor de R$ 600,00 vencível em 4 meses será
quitada mediante um desconto simples à taxa de 30% a.s..
Calcule a diferença entre o desconto comercial e o desconto
racional.
a. R$ 20,00
b. R$ 21,00
V
a s s c o n c e l o s
GABARITO
c. R$ 25,00
d. R$ 28,00
e. R$ 30,00
24. Qual o valor do desconto simples racional de um título, a 5
meses de seu vencimento, sabendo-se que o mesmo título sofreria um abatimento de R$ 234,00 caso fosse considerado
um desconto simples comercial. Admita uma taxa de desconto de 6% a.m..
a. R$ 200,00
b. R$ 180,00
c. R$ 160,00
d. R$ 140,00
e. R$ 120,00
25. Compareci a um Banco para realizar uma operação de desconto de um título no valor de R$ 3.200,00, a 2 meses de seu
vencimento. Qual o valor líquido recebido, considerando que,
pela operação, o Banco cobra:
• Taxa de desconto comercial: 4% ao mês;
• T.A.C.: R$ 3,50;
• Taxa de serviço: 1% do valor nominal.
a. R$ 2.908,50
b. R$ 2.900,50
c. R$ 2.800,00
d. R$ 2.900,00
e. R$ 3.080,00
26. Calcule o valor nominal de uma duplicata que ao sofrer um
desconto simples comercial a 3 meses de seu vencimento gerou um valor presente de R$ 705,50. Considere uma taxa de
desconto de 5% a.m, e que foram abatidos, também, 2% do
valor nominal para fazer face a despesas financeiras:
a. R$ 800,00
b. R$ 810,00
c. R$ 825,00
d. R$ 840,00
e. R$ 850,00
27. Uma nota promissória foi descontada comercialmente à taxa
simples de 4% ao mês 9 meses antes do seu vencimento. Se o
desconto fosse racional simples, qual deveria ser a taxa adotada para produzir um desconto de igual valor?
a.5%
b.6,25%
c.6,3%
d. 6,42%
e.6,5%
28. Considere que um título de valor nominal de R$ 10.000,00
seja descontado 5 meses antes de seu vencimento, a uma taxa
de desconto comercial simples de 4% ao mês. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem:
I. O valor do desconto é inferior a R$ 1.800,00
II.A taxa efetiva da operação é de 5,5% ao mês.
29. Um título de valor nominal de R$ 15.000,00 foi descontado em um banco 4 meses antes de seu vencimento. O banco
cobrou um total de R$ 3.000,00 de taxas administrativas e
desconto. Nessa situação, e considerando que tenha sido adotado o regime de juros simples, o custo efetivo da operação
correspondeu a uma taxa mensal inferior a 6%
M
1.d
2.b
3.c
4. a
5.d
6.a
7. c
8. 24% ao ano
9. 4 meses
10.e
11.b
12.e
13.d
14. d
15.c
16.c
17. e
18. 45 dias
19. R$ 37.500,00
20. Sim. O banco cobrou
a taxa administrativa de
3%.
21.a
22.d
23.a
24. b
25.a
26.e
27. b
28. E E
29. Errado
JUROS COMPOSTOS
INTRODUÇÃO
No regime de juros compostos, dizemos que os “juros
são cumulativos”. Isso significa que em cada período de aplicação a taxa incide sobre o montante do final do período anterior.
Por exemplo, se uma pessoa aplicar R$ 1000,00 por 2
anos com taxas de 10% e 20%, respectivamente em cada ano
teremos:
• J1 = 10% de 1000 = J1 = 100
∴
M1 = 10100 + 100 = M1 = 1100
• J2 = 20% de 1100 = J 2 = 220
∴
M2 = 1100 + 220 = M 2 = 1320
Observe que o capital base para o cálculo do juro no 2º
ano foi o montante do final do 1º ano (M1 = 1100). Se fosse
juro simples, esse capital base seria sempre o capital inicial
(R$ 1000,00), não sofrendo assim o processo chamado de
“juros sobre juros” ou “juros capitalizados” ou simplesmente juros compostos.
CÁLCULO DO MONTANTE
M = c.(i+i1 ) ⋅ (1 + i 2 ) ⋅ ... ⋅ (1 + i n )
Onde:
M → Montante
c → Capital
i1 ;i 2 ;...;i n → Taxas unitárias de cada período.
a t e m á t i c a
31
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.3.Determine o juro composto da aplicação de R$ 10000,00
durante 4 meses à taxa de 20% aa.
R.1.Determine o montante e o juro composto da aplicação
de R$ 1000,00 durante 3 anos, sabendo que as taxas
anuais foram respectivamete de 10%, 15%, e 20%.
Solução:
Solução:
c = 10000
i 20%
=
=
ab 0, 2 ab


n = 2 bimestres (4 meses)
J = ?
c = 10000, 00
i 10%;i
15%;i
20%
=
=
1 =
2
3

M = ?
J = ?
M = c ⋅ (1 + i) n
=
M 10000(1 + 0, 2) 2
M = 14400
∴
J = 14400 - 10000
J = 4400
M = c.(1 + i1 ) ⋅ (1 + i 2 ) ⋅ (1 + i3 )
=
M 10000(1 + 0,10) ⋅ (1 + 0,15) ⋅ (1 + 0, 20)
M= 10000 ⋅1,10 ⋅1,15 ⋅1, 20
M = 15180
TAXAS DE JUROS
∴
=
J 15180 − 10000
TAXAS PROPORCIONAIS
J = 5180
Duas taxas são proporcionais quando os seus valores
formam uma proporção com as suas unidades.
CÁLCULO DO MONTANTE COM TAXA CONSTANTE
Exemplos:
a. 2% am e 24% aa
b. 5% as e 10% aa
c. 4% am e 12% at
Quando a taxa for a mesma durante todos os períodos
de aplicação, teremos:
Relação de proporcionalidade
i1= i 2= i3= ...= i n= i
iq
id
i
i
i
i
i
= m = b = t =
= s = a
i
30
60 90 120 180 360
(é a mesma do juros simples)
Logo:
M = c ⋅ (1 + i1 ) ⋅ (1 + i 2 ) ⋅ (1 + i3 ) ⋅ ... ⋅ (n + i n )
M = c ⋅ (1 + i) ⋅ (1 + i) ⋅ (1 + i) ⋅ ... ⋅ (1 + i)


M = c ⋅ (1 + i) n
"n "vezes
Onde:
id → taxa diária
im → taxa mensal
ib → taxa bimestral
it → taxa trimestral
iq → taxa quadrimestral
is → taxa semestral
ia → taxa anual
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.2.Determine o juro completo da aplicação de R$ 5000,00,
durante 2 anos à taxa de 30% aa.
Solução:
c = 5000
i 30%
aa 0,3aa
=
=


n = 2 anos
J = ?
M = c ⋅ (1 + i) n
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.1. Determine a taxa semestral proporcional à taxa de 7% am.
Solução:
2
M
= 5000 ⋅ (1 + 0,3)
=
M 5000 ⋅1, 69
M = 8450 ∴ J = 8450 - 5000  J = 3450
32
Importante
Em juros compostos, NÃO
podemos transformar a taxa
de maneira proporcional.
Logo, é mais conveniente
transformar o tempo em
bimestre
Devemos selecionar na relação de proporcionalidade as
taxas‑envolvidas no exercício. Neste caso as taxas semestral
(as) e mensal (am) pedida e dada, respectivamente.
R
o b e r t o
V
a s s c o n c e l o s
Daí temos:
iq → quadrimestral (forma unitária)
it → taxa trimestral (forma unitária)
ib → taxa bimestral (forma unitária)
im → taxa mensal (forma unitária)
id → taxa diária (forma unitária)
is
i
= m
180
30
is
7%
=
180
30
is
7%
=
6
1
is = 42%
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.4.Determine a taxa trimestral composta, equivalente à
taxa de 10% am.
R.2.Determine a taxa anual proporcional à taxa de 4% ab.
Solução:
Solução:
Da relação de equivalência, temos:
Da relação de proporcionalidade, temos:
(1 + i t ) 4 = (1 + i m ) 12
ia
=
1
ib
1 + i t = (1 + 0,1)3
360
60
ia
4%
=
6
1
ia = 24%
1 + it =
1,331
=
i t 1,331 − 1
i t = 0,331
R.3.Determine a taxa trimestral proporcional à taxa de
8% aa.
Solução:
Da relação de proporcianalidade, temos:
it
3
i t = 33,1%
R.5.Determine a taxa anual composta, equivalente à taxa de
5% as.
Solução:
ia
=
90
360
i t 8%
=
1
4
i t = 2%
Da relação de equivalência, temos:
(1 + 1a )1 =
(1 + 1s ) 2
1 + i a = (1 + 0, 05) 2
1 + ia =
1,1025
i a = 0,1025
TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas são equivalentes quando aplicadas sobre o
mesmo capital, durante o mesmo tempo, produzirem juros
iguais.
No regime de juros simples, duas taxas proporcionais
também são equivalentes (e vice-versa).
No regime de juros compostos, taxas proporcionais
são diferentes de taxas equivalentes. Por exemplo, aplicar
um capital, por um determinado período, à taxa de 2% am é
diferente de aplicá-lo à taxa de 24% aa.
RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE TAXAS
(JUROS COMPOSTOS)
i a = 10, 25%
R.6.Determine a taxa bimestral composta equivalente à
taxa de 44% aq.
Solução:
Da relação de equivalência, temos:
2
(1 + i b )6 =+
(1 i q ) 3
1
(1 + i b ) 2 =
(1 + i q )1
(1 + i b ) 2 = (1 + 0, 44)1
id 360
is 2 =
(1 + i a )1 =
(1 + is)
(i + i q )3 =
(i + i t ) 4 =
(i + i b )6 =
(1 + i m )12 =
(1 + id)
1 + i b =1, 44
1 + ib =
1, 2
=
i b 1, 2 − 1
Onde:
ia → taxa anual (forma unitária)
i b = 0, 2
is → taxa semestral (forma unitária)
i b = 20%
M
a t e m á t i c a
33
TAXA NOMINAL
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.7.Dê a taxa efetiva em cada caso:
a. 8% ab, capitalizados mensalmente.
b. 60% aa, capitalizados mensalmente.
c. 30% as, capitalizados trimestralmente.
d. 15% am, capitalizados diariamente.
e. 4% aa, capitalizados anualmente.
f. 2% am, capitalizados mensalmente.
Uma taxa é nominal quando a sua unidade é diferente
do período de capitalização. Ela não corresponde ao verdadeiro juro embutido numa operação financeira e por isso não
podemos efetuar cálculos financeiros envolvendo tal taxa.
Exemplos:
40% aa, capitalizados semestralmente
40% aa, capitalizados trimestralmente.
12% at, capitalizados mensalmente.
0,5% ad, capitalizados anualmente.
Solução:
a. i b i m
=
60 30
8% i m
=
60
30
Obs.:
Entende-se por período de capitalização o tempo necessário para que o juro seja incorporado ao capital, formando assim um capital maior que servirá de base para o
juro do período seguinte. Portanto, quando dizemos que a
“capitalização é mensal”, por exemplo, estamos indicando
que mês a mês incorporamos o juro ao capital.
2
i m = 4%
Portanto, a taxa efetiva é de 4% am.
b.
TAXA EFETIVA
É aquela cuja unidade é igual ao período de capitalização. Ela corresponde ao verdadeiro juro embutido numa
operação financeira.
Obs.:
Quando um problema não mencionar o período de capitalização da taxa, significa que ela já é efetiva, ou seja, a
capitalização ocorrerá na periodicidade que a própria taxa
indica.
Por exemplo, se for mencionado que “um capital é
aplicado a juros compostos, numa taxa de 5% am”. Desse
modo, a taxa de 5% am já é efetiva e significa que a capitalização é mensal.
1
i m = 5%
c.
Portanto, a taxa efetiva é de 5% am.
is
i
= t
180 90
i
30%
= t
180
90
2
1
i t = 15%
Portanto, a taxa efetiva é de 15% at.
d. i m i d
=
30 1
15% i d
=
30
1
i d = 0,5%
Para transformarmos uma taxa nominal em efetiva basta
calcularmos a taxa proporcional ao período de capitalização.
Exemplo:
Portanto, a taxa efetiva é de 0,5% ad.
e. Como a taxa é de 4% aa, capitalizada anualmente,
ela já é efetiva (a unidade da taxa é igual ao período
de capitalização).
f. Como a taxa é de 2% am, capitalizada mensalmente,
ela já é efetiva (a unidade da taxa é igual ao período
de capitalização).
24% aa, capitalizados mensalmente corresponde a
uma taxa efetiva de 2% am. Veja que para obtermos a taxa
de 2% am buscamos na relação de proporção:
ia
i
= m
360 30
TAXA REAL, APARENTE E DE INFLAÇÃO
1
24% i m
=
12
1
i m = 2%
34
ia
i
= m
360 30
60% i m
=
360
30
12
TRANSFORMAÇÃO DE TAXA NOMINAL EM
TAXA EFETIVA
12
1
Quando aplicamos um capital num mercado financeiro
que sofre a ação de um processo inflancionário, a taxa paga
pelo banco é denominada de taxa aparente, pois a inflação
“absorve” uma parte do rendimento.
R
o b e r t o
V
a s s c o n c e l o s
A taxa real (que mede o poder de compra do investidor) não é aquela paga pelo banco e sim, menor (considerando que haja inflação).
Consideremos que um capital “x” tenha sido aplicado
num banco hoje e que um objeto custe hoje também “x”.
Dentro de um certo período, o banco remunerou o capital a
uma taxa “ia” e o objeto foi reajustado (no mesmo prazo) a
uma taxa “ii ” (taxa de inflação).
Logo, teremos que:
De quanto foi o ganho real dos poupadores?
Solução:
Dos dados temos:
I − VF(CAP) =
x.(1 + i a )
I − VF(CAP) =
x.(1 + i a )
II − VF(OBJ) =
x.(1 + ii )
II − VF(OBJ) =
x.(1 + ii )
Onde:
VF(CAP) → valor final do capital aplicado (ao final do prazo)
VF(OBJ) → valor final do objeto (ao final do prazo).
Para sabermos o ganho real (ir), devemos verificar qual
a taxa que a diferença “VF(CAP) – VF(OBJ)” (que indica a sobra
do valor aplicado, adquirindo o Objeto no final do período)
representa sobre o valor final do objeto “VF(OBJ)”.
ia = 43% = 0,43
ii = 30% = 0,30
ir = ?
Da relação IV, temos:
1+ i
1 + ir = a
1 + ii
1 + 0, 43
1 + ir =
1 + 0,30
1, 43
1 + ir =
1,30
1 + ir =
1,1
i=
1,1 − 1
r
i r = 0,1
i r = 10%
Logo:
Portanto, o ganho real foi de 10% no período.
VF(CAP) − VF(OBJ)
III − ir =
Obs.: a taxa real é sempre menor que a diferença entre
VF(OBJ)
a taxa aparente e a de inflação.
Substituindo I e II em III, temos:
R.9.Um determinado contrato de investimento em um banco consta que o banco deve pagar ao investidor num
x ⋅ (1 + i a ) − x (1 + i )
certo período 10% com correção monetária igual a
ir =
x ⋅ (1 + ii )
inflação no referido período. Considerando que nesse
x ⋅ (1 + i a ) − x (1 + ii ) 
prazo a inflação tenha sido de 20%, quanto o banco deir =
verá pagar para o investidor?
x ⋅ (1 + i )
VF(CAP) − VF(OBJ)
III − irir =
VF(OBJ)
1 + i a 1 + ii
=
−
ir
1 + ii 1 + ii
1 + 1a
=
−1
ir
1 + ii
1+ i
1 + ir = a
1 + ii
i
Lembrando que:
a−b a b
=
−
b
b b
Solução:
A expressão “10% com correção monetária...” indica que
essa taxa (de 10%) é a taxa real, em um problema. Logo, temos:
ir = 10% = 0,10
ii = 20% = 0,20
ia = ?
IV
Da relação IV podemos tirar:
Da relação V temos:
1 + i a = (1 + i r ) ⋅ (1 + ii )
V − 1 + i a = (1 + i r ) ⋅ (1 + ii ) V
1 + i a = (1 + 0,1) ⋅ (1 + 0, 2)
Onde:
1 + i a = 1,1 ⋅1, 2
1 + i a= 1,32 − 1
ia → taxa aparente (unitária)
ir → taxa real (unitária)
ii → taxa de inflação (unitária)
=
i a 1,32 − 1
i a = 0,32
i a = 32%
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.8.Num determinado ano, a caderneta de poupança remunerou os investidores em 43% e a inflação foi de 30%.
M
Portanto, o banco deverá pagar 32% sobre o valor investido.
a t e m á t i c a
35
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.
7.
Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado à
taxa de juros compostos de 10% ao semestre por um prazo
de quinze meses, usando a convenção linear para cálculo do
montante.
a. 60,0%
b. 69,0%
c. 72,8%
a. 22,5%
d. 74,9%
b. 24%
c. 25%
d. 26,906%
e. 27,05%
2.
3.
4.
5.
6.
e. 79,6%
8.
Calcule o montante obtido ao fim de dezoito meses por um
capital unitário aplicado a uma taxa de juros nominal de
36% ao ano com capitalização mensal.
a. 1,54
b. 1,7024
c. 2,7024
d. 54%
e. 70,24%
Um capital aplicado a juros compostos, à taxa nominal de
36% ao ano, com capitalização mensal, atingiu um montante de R$ 10.900,00, ao fim de um trimestre. Desprezando os
centavos, o capital aplicado foi de
a. R$ 9.800,00
b. R$ 9.889,00
c. R$ 9.919,00
d. R$ 9.975,00
e. R$ 10.000,00
9.
A que taxa mensal de juros compostos um capital aplicado
aumenta 80% ao fim de quinze meses.
a. 4%.
b. 5%.
c. 5,33%.
d. 6,5%.
e. 7%.
Qual a taxa efetiva, em porcentagem e aproximada em uma
casa decimal, de um financiamento à taxa nominal de 36% ao
ano com capitalização mensal
a. 36,0% ao ano
b. 39,2% ao ano
c. 41,2% ao ano
d. 41,9% ao ano
e. 42,6% ao ano
Metade de um capital foi aplicada a juros compostos à taxa
de 3% ao mês por um prazo de doze meses enquanto a outra
metade foi aplicada à taxa de 3,5% ao mês, juros simples, no
mesmo prazo de doze meses. Calcule o valor mais próximo
deste capital, dado que as duas aplicações juntas renderam
um juro de R$ 21 144,02 ao fim do prazo.
a. R$ 25 000,00.
b. R$ 39 000,00.
c. R$ 31 000,00.
d. R$ 48 000,00.
e. R$ 50 000,00.
10. Um capital é aplicado a juros compostos durante dois períodos e meio a uma taxa de 20% ao período. Calcule o montante
em relação ao capital inicial, considerando a convenção linear
para cálculo do montante.
a. 150%
b. 157,74%
c. 158,4%
d. 160%
e. 162%
Qual o valor mais próximo da taxa equivalente à taxa nominal de 48% ao ano com capitalização mensal?
a. 3,321% ao mês.
b. 24% ao semestre.
c. 26,532% ao semestre.
d. 10,773% ao trimestre.
e. 8,825% ao bimestre.
11. A taxa nominal de 12% ao semestre com capitalização mensal
é equivalente à taxa de
a. 6% ao trimestre.
b. 26,82% ao ano.
c. 6,4% ao trimestre.
d. 11,8% ao semestre.
e. 30% ao ano.
Obtenha o capital inicial que, aplicado a juros compostos
12. A taxa nominal de 120% ao ano, com capitalização trimestral
é equivalente a:
durante 12 meses, à taxa de 4% ao mês, atinge o montante de R$ 1.000,00 (aproxime o resultado para reais).
a. 10% ao mês
a. R$ 625,00
b. R$ 630,00
c. R$ 636,00
d. R$ 650,00
e. R$ 676,00
36
Obter a taxa de juros anual equivalente à taxa mensal de 5%,
a juros compostos, em porcentagem e com aproximação de
uma casa decimal.
b. 30% ao trimestre
c. 58% ao semestre
d. 185,61% ao ano
e. 244% ao ano
R
o b e r t o
V
a s s c o n c e l o s
13. Usando a taxa de juros efetiva anual que corresponde à taxa
de juros nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral,
obtenha o montante obtido com a aplicação de um capital de
R$ 10.000,00 ao fim de um ano de aplicação.
a. R$ 12.400,00
b. R$ 12.544,00
c. R$ 12.624,76
d. R$ 12.653,19
e. R$ 12.682,42
14. No Brasil as cadernetas de poupança pagam, além da correção
monetária, juros compostos à taxa nominal de 6% a.a., com
capitalização mensal. A taxa efetiva bimestral é então de:
a. 1,00025% a.b.
b. 1,0025% a.b.
c. 1,025% a.b.
d. 1,25% a.b.
e. 1,00% a.b.
15. A taxa de 30% ao trimestre, com capitalização mensal, corresponde a uma efetiva bimestral de:
a. 20%
b. 21%
c. 22%
d. 23%
e. 24%
16. Um capital foi depositado em um banco, por um prazo de 3
trimestres, à taxa de juros de 10% ao trimestre, com correção
monetária trimestral igual à inflação. Admitamos que as taxas
de inflação trimestrais observadas foram de 10%, 15%, 20%,
respectivamente. A taxa paga pelo banco no período dos 3
trimestres é de aproximadamente:
a. 123%
b. 153%
c. 102%
d. 202%
e. 222%
17. A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização mensal, é equivalente a uma taxa trimestral de:
a. 60,0%
b. 66,6%
c. 68,9%
d. 72,8%
e. 84,4%
18. A renda nacional de um país cresceu 110% em um ano, em
termos nominais. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi
de 100%. O crescimento da renda real foi então de:
a. 5%
b. 10%
c. 15%
d. 105%
e. 110%
M
19. Acerca das taxas utilizadas em juros compostos, julgue os
itens a seguir.
I – Capitalização composta é aquela em que a taxa de
juros incide sempre sobre o valor obtido pela soma do
capital inicial e dos juros acumulados até o período
anterior.
II – Duas taxas referentes a períodos distintos de capitalização são equivalentes, quando produzem o mesmo
montante no final de determinado período de tempo,
pela aplicação de um mesmo capital inicial.
III – Quanto maior o número de capitalizações, maior é a
taxa efetiva.
IV – Para uma mesma taxa nominal, pagamentos de menor
periodicidade implicam uma taxa efetiva mais elevada.
V – A taxa efetiva de 21% ao ano correspondente à taxa
nominal anual de 20%, capitalizadas semestralmente.
20. A taxa de juros efetiva de 84% aa, corresponde a uma taxa
efetiva bimestral de, apaixonadamente de:
a. 10,7%
b. 12,8%
c. 5,2%
d. 11,9%
e. 22,5%
Obs.:
3
1,84 = 1, 22538514
4
1,84 = 1,1646742
6
1,84 = 1,10697115
GABARITO
1.e
2.b
3.a
4. e
5.c
6.a
7. e
8.d
9. e
10.c
11.b
12.d
13.c
14. c
15.b
16.c
17. d
18.a
19. C C E E C
20.a
DESCONTO COMPOSTO
DESCONTO COMERCIAL
Por definição é aquele valor que se obtém pelo cálculo
de descontos sucessivos sobre o valor nominal do compromisso que seja saldado n períodos antes de seu vencimento.
Portanto, se para um título de valor nominal N, dermos
n descontos sucessivos, todos calculados a uma taxa i de
desconto composto, encontraremos o valor atual comercial
composto e o somatório dos descontos sucessivos, será o
desconto comercial composto.
a t e m á t i c a
37
Sendo:
O desconto racional composto será de forma geral:
N →valor nominal (ou montante)
Ac →valor atual comercial (ou valor descontado comercial)
n →números de períodos antes do vencimento
i →taxa de desconto
Dc →valor do desconto (ou desconto comercial)
D=
N − Ar
r
Sendo:
N →valor nominal (ou montante)
Temos que o valor atual comercial composto será:
Ar →valor atual racional (ou valor descontado racional)
A c = N ⋅ (1 − i ) ⋅ (1 − i ) ⋅ ⋅ (1 − i )



n →números de períodos antes do vencimento
"n vezes"
=
A c N (1 − i )
n
i →taxa de desconto
Dr →valor do desconto (ou desconto racional)
O desconto comercial composto será de forma geral:
D=
N − Ac
c
RELAÇÃO ENTRE AS TAXAS DE DESCONTO RACIONAL E COMERCIAL COMPOSTO
N
Duas taxas de desconto são equivalentes se e somente
se produzem descontos iguais quando aplicadas a um mesmo título e por igual prazo de antecipação.
Dc
Ac
N
Considerando o mesmo período de capitalização para
uma taxa ir de desconto racional composto e outra ic de desconto comercial composto, poderemos afirmar que a equivalência entre ir e ic nos dará:
n meses
0
Obs.:
n
Os valores (1 – i) normalmente não são tabelados.
Assim, as questões relativas a desconto comercial composto usualmente fornecem o resultado da potência.
DESCONTO RACIONAL
Dc = D r
N − Dc =N − D r
Ac = Ar
N
n
N ⋅ (1 − i c ) =
n
(1 + i r )
Sabemos que a base de cálculo do desconto racional é o
valor atual. Portanto se capitalizarmos o valor atual durante
n períodos de antecipação, a uma taxa i de juros compostos,
encontraremos o valor nominal N do título. Logo, a diferença entre o valor nominal e o valor atual racional será o
desconto racional composto.
(1 − ic )
n
1
= n
(1 + i r )
(1 − ic ) ⋅ (1 + i r )
n
n
n
(1 − ic ) ⋅ (1 + i r )
n
=
1
n
n
=
1 (extraímos a
n
dos dois lados)
1
(1 − ic ) ⋅ (1 + i r ) =
N
Dr
Ar
N
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.1. Uma duplicata, no valor de R$ 2.000,00, é resgatada dois meses antes do vencimento, obedecendo ao critério de desconto comercial composto. Sabendo- se que a taxa
de desconto é de 10% ao mês, o valor descontado e o valor
do desconto são, respectivamente, de:
n meses
0
n
Pela fórmula de montante composto temos: M = C(1 + i) .
Fazendo M = N (nominal) e C = A r (atual racional),
tem-se que:
a. R$ 1.600,00 e R$ 400,00
b. R$ 1.620,00 e R$ 380,00
N = A r ⋅ (1 + i ) ou A r =
n
38
N
(1 + i )
c. R$ 1.640,00 e R$ 360,00
n
d. R$ 1.653,00 e R$ 360,00
e. R$ 1.666,67 e R$ 333,33
R
o b e r t o
V
a s s c o n c e l o s
Solução:
Solução:
Temos que o valor nominal é R$ 2.000,00, a taxa 10%
ao mês e o prazo de antecipação de 2 meses. Logo,
=
A c N (1 − i )
Temos que:
1
(1 − ic ) ⋅ (1 + i r ) =
1
(1 − 0, 2 ) ⋅ (1 + i r ) =
0,8 ⋅ (1 + i r ) =
1
n
A=
2000 ⋅ (1 − 0,1)
c
=
A c 2000 ⋅ ( 0,9 )
2
2
1
0,8
1 + ir =
1, 25
(1 + i r ) =
=
A c 2000 ⋅ 0,81
A c = 1620
=
i r 1, 25 − 1
Portanto,
i r = 0, 25
i r = 25% am
D=
N − Ac
c
=
Dc 2000 − 1620
Portanto, a taxa de desconto racional composto procurada é de 25% ao mês.
Dc = 380
Segue-se então que o valor descontado foi de R$ 1.620,00
e o desconto comercial foi de R$ 380,00. Resposta, letra “b”.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.
R.2. Um título tem valor nominal de R$ 108.160,00 e
vencimento para 180 dias. Se negociado 60 dias antes do
vencimento, à taxa de 4% ao mês, através de capitalização
composta, terá valor atual racional de:
Um título de R$ 5.000,00 será descontado 2 meses antes do
seu vencimento pelo critério de desconto comercial à taxa de
60% a.a. com capitalização mensal. O valor do desconto será?
a. R$ 478,50
b. R$ 464,85
c. R$ 512,50
a. R$ 90.000,00
d. R$ 4.512,50
b. R$ 80.000,00
e. R$ 4.535,15
c. R$ 60.000,00
2.
d. R$ 40.000,00
e. R$ 100.000,00
Solução:
O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto racional composto, caso a antecipação seja de 10 meses.
Sabendo-se que o valor atual da dívida (valor de resgate. É de
R$ 20.000,00, então o valor nominal da dívida, sem considerar os centavos, é igual a
a. R$ 23.000,00
b. R$ 25.000,00
Temos que
c. R$ 33.000,00
d. R$ 32.000,00
N = A r ⋅ (1 + i )
n
108160 = A r ⋅ (1 + 0, 04 )
e. R$ 31.000,00
2
3.
= A r ⋅1, 0816
108160
Ar =
108160
1, 0816
Um título é descontado por R$ 4.400,00, 4 meses antes do
seu vencimento. Obtenha o valor da face do título, considerando que foi aplicado um desconto racional composto a
uma taxa de 3% ao mês (despreze os centavos, se houver)
a. R$ 4.400,00
A r = 100000
b. R$ 4.725,00
c. R$ 4.928,00
Portanto, o valor atual racional é de R$ 100.000,00.
Resposta, letra “e”.
R.3) Determinar a taxa mensal de desconto racional
composto equivalente à taxa de desconto comercial de
20% am.
M
d. R$ 4.952,00
e. R$ 5.000,00
Um título de R$ 6.000,00 será resgatado três anos antes do
seu vencimento pelo critério do desconto composto comercial à
taxa de 20% a.a. com capitalizações semestrais. Qual será o valor
líquido? (Dado (0,9)6 = 0,5314).
a t e m á t i c a
39
4.
ESTATÍSTICA
Sejam dois títulos com as seguintes características:
I. Um certificado de depósito a prazo, de R$ 50.000,00
efetuado 17 meses atrás, que rende juros compostos de
4% ao mês. Os rendimentos são tributados em 8% (Imposto de renda. no ato do resgate;
II. Uma promissória de R$ 112.568,00, vencível de hoje a
7 meses, que pode ser resgata◘da mediante desconto
racional composto de 5% ao mês.
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
DEFINIÇÃO
De origem muito antiga, a Estatística teve durante
séculos um caráter meramente descritivo e de registro de
ocorrências. As primeiras atividades datam cerca de 2000
a.C. e referem-se a iniciativas como o recenseamento das
populações agrícolas chinesas.
O que modernamente se conhece como Ciências Estatísticas, ou simplesmente Estatística, é um conjunto de técnicas e métodos da pesquisa que, entre outros tópicos, envolve
o planejamento da pesquisa a ser realizada, a coleta qualificada dos dados, a inferência e o processamento e análise das
informações.
Grande parte das informações divulgadas pelos meios
de comunicação atual provém de pesquisas e estudos estatísticos.
Utilizando hoje os poderosos meios da Informática, a
Estatística tem sido fundamental para o desenvolvimento
da Economia, da Medicina, da Física, da Psicologia, da Linguística etc.
Estatística é um ramo da Matemática Aplicada. A palavra Estatística provém da palavra latina Status e é usada
em dois sentidos:
• Estatísticas (no plural) referem-se a dados numéricos
e são informações sobre determinados assuntos,
coisas, grupos de pessoas etc, obtidas por um pesquisador.
• Estatística (no singular) significa o conjunto
de métodos usados na condensação, análises e
interpretações de dados numéricos.
Os dois títulos, se resgatados hoje, desprezados os centavos,
valem
a. R$ 169.603,00
b. R$ 173.603,00
c. R$ 177.395,00
d. R$ 181.304,00
e. R$ 185.204,00
5.
Uma duplicata de R$ 3.000,00 deverá ser descontada 3 anos
antes do seu vencimento a uma taxa de 25% a.a. pelo critério
do desconto racional composto. Qual seria a taxa anual a ser
adotada para obter-se um desconto igual pelo critério de desconto comercial composto?
a. 33,3% a.a.
b. 28% a.a.
c. 25% a.a.
d. 20% a.a.
e. 18% a.a.
6.
Antecipando em dois meses o pagamento de um título, obtive
um desconto racional composto, que foi calculado com base
na taxa de 20% a.m. Sendo R$ 31.104,00 o valor nominal do
título, quanto paguei por ele?
a. R$ 21.600,00
b. R$ 21.700,00
Por meio das análises feitas a partir de dados organizados, podemos, em muitos casos, fazer previsões, determinar tendências, auxiliar na tomada de decisões e, portanto, elaborar um planejamento com mais precisão.
Iniciando nosso estudo em Estatística, vamos definir
alguns conceitos importantes.
POPULAÇÃO
c. R$ 21.800,00
d. R$ 21.900,00
7.
Um título de R$ 5.000,00 será descontado 2 meses antes do
vencimento pelo critério de desconto comercial à taxa de 60%
a.a. com capitalização mensal. O valor do desconto será:
a. R$ 487,50
A Estatística parte da observação de grupos, geralmente numerosos, aos quais damos o nome de população
ou universo estatístico.
Cada elemento da população estudada é denominado
unidade estatística. Veja:
b. R$ 464,85
c. R$ 512,50
d. R$ 4.512,50
e. R$ 4.535,15
GABARITO
1.d
2.b
Unidade Estatística
Cada clube campeão paulista de futebol
Quando o universo estatístico é infinito, não é possível
fazer uma observação que abranja todos os seus elementos.
Nesse caso, recorre-se a um subconjunto do universo estudado que chamamos de amostra. Mesmo quando o universo
é finito, há razões que nos levam à utilização da técnica de
amostragem.
3.d
4. b
5.d
6.a
7. a
40
População estatística
Clubes campeões paulistas
de Futebol
R
o b e r t o
V
a s s c o n c e l o s
CENSO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
É o tipo de levantamento de dados estatísticos em que
toda a população é investigada.
1.
a. Em estatísticas, entende-se por população um conjunto
de pessoas.
AMOSTRA
b. A variável é discreta quando pode assumir qualquer valor
dentro de intervalo determinado.
É o tipo de levantamento de dados estatísticos em que
uma parte da população é investigada.
c. Frequência relativa de uma variável aleatória é o número
de repetições dessa variável.
d. A série estatística é cronológica quando o elemento variável é o tempo.
EXPERIMENTO ALEATÓRIO
É todo tipo de experimento em que não se pode antecipar o resultado antes da sua realização.
Ex.: o lançamento de um dado, o sorteio da mega-sena, retirar uma carta de um baralho etc.
e. Amplitude total é a diferença entre dois valores quaisquer
do atributo.
2.
b.Um evento tem, no mínimo, dois elementos do espaço-amostra de um experimento aleatório.
A observação da população é dirigida ao estudo de
uma dada propriedade ou característica dos elementos dessa população. Essa característica pode ser:
Qualitativa: se os valores tomados não são numéricos,
como: raça, área de estudos, meio de transporte etc.
Quantitativa: se os valores tomados são numéricos,
como a altura, o peso, o preço de um produto etc.
Uma característica quantitativa também se chama variável estatística ou simplesmente variável. Cada valor que
essa variável pode assumir chama-se dado estatístico.
As variáveis estatísticas (quantitativas) podem ser:
• Contínuas: quando podem assumir qualquer valor
do intervalo da variação. Por exemplo, na determinação das alturas dos adolescentes de uma escola, a
variável “altura” é contínua.
• Discretas: quase sempre assumem valores inteiros.
Por exemplo, na determinação do número de sócios
de um certo clube, a variável “número de sócios” é
discreta.
Dados Brutos: É o conjunto dos dados numéricos obtidos e que estão desorganizados.
Exemplo:
A partir de uma lista de chamada, em ordem alfabética,
obteve-se o conjunto de alturas, em cm, de 20 estudantes:
168 163 164 160 160
166 169 169 166 168
165 165 164 168 166
168
Marque a opção correta.
a. Um experimento aleatório pode ser repetido indefinidamente, mantidas as condições iniciais.
VARIÁVEIS E ATRIBUTOS
168
164
162
161
Assinale a opção coreta.
c. Em um experimento aleatório uniforme todos os elementos do espaço-amostra são iguais.
d. Dois experimentos aleatórios distintos têm, necessariamente, espaço-amostra distintos.
e. Evento é uma parte não nula do espaço-amostra de um
experimento aleatório.
3.
Assinale a opção correta.
a. Em um experimento aleatório, cada elemento do espaço-amostra tem a mesma probabilidade de ser selecionado
em uma realização do experimento.
b.Em um experimento aleatório é impossível garantir a
ocorrência de um evento em uma particular realização do
experimento, se ele não é um evento certo.
c. Um plano de amostragem corretamente elaborado garante a fidelidade dos dados da população.
d. A opção pela amostragem, em relação ao censo, garante a
redução do tempo, mas conduz sempre ao incremento de
custo e a perda de precisão.
e. Uma amostra aleatória extraída da população deve superar,
no tamanho, a 5% o número de elementos populacionais.
NORMAS PARA APRESENTAÇÃO TABULAR DE
DADOS
As normas para apresentação tabular de dados estatísticos são as regras estabelecidas pelo CNE (Conselho
Nacional de Estatística) que servem para uniformização e
orientação dos trabalhos estatísticos.
Se dividem em Essenciais e Complementares.
ELEMENTOS ESSENCIAIS
Rol: É o arranjo dos dados brutos em ordem crescente (ou
decrescente). No exemplo apresentado, temos o seguinte rol:
a)Título: encontra-se na parte superior, devendo especificar o fato, local e época.
160 160 161 162 163 164
164 164 165 165 166 166
b)Corpo: é constituído pelas linhas e colunas da tabela.
166 168 168 168 168 168
169 169
d)Coluna indicadora: é a parte que indica o conteúdo
das linhas.
c)Cabeçalho: é a parte que indica o conteúdo das linhas.
M
a t e m á t i c a
41
ELEMENTOS COMPLEMENTARES
b) Dados agrupados em classes
Altura dos jogadores do XFC Futebol Clube.
a)Fonte: de onde foram extraídos os dados.
b)Notas: esclarecimentos de natureza geral (rodapé).
Altura (cm)
c) Chamadas: esclarecimentos de natureza específica
(rodapé).
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.
São elementos essenciais em uma apresentação tabular de
dados, exceto:
a.Cabeçalho
b.Corpo
c. Coluna indicadora
d.Título
e.Fonte
2.
N.º Jogadores
105
155
2
155
160
8
160
165
20
165
170
18
170
175
1
175
180
1
Nesse caso, a variável de estudo é a “altura dos jogadores” e o número de jogadores corresponde à frequência de
cada classe (intervalo de valor).
Numa distribuição de frequências com dados agrupados em classes, podemos destacar alguns aspectos importantes tais como:
Marque a alternativa correta.
a. Fonte é um elemento essencial de uma tabela e deve se
apresentar no rodapé da mesma.
b. O título é um elemento essencial e deve constar o fato, o
lugar e a época.
c. Notas são esclarecimentos específicos que devem aparecer no rodapé de uma tabela.
d. Chamadas são esclarecimentos de natureza geral que devem aparecer no rodapé de uma tabela.
e. O título e a fonte são os dois elementos mais importantes
em uma tabela.
a) Intervalo de classe (ou amplitude da classe)
É a diferença entre o limite superior e o limite inferior
de cada classe.
b) Ponto médio
É a média aritmética simples entre os limites de cada
classe. Dizemos que o ponto médio de uma classe é o valor
que “representa” a classe.
Exemplo:
Na distribuição anterior, temos que:
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
150
155 é a 1ª classe, tem amplitude igual a 5 e
150 + 155 
ponto médio igual a 152,5 
.
2


TIPOS DE FREQUÊNCIAS
Uma tabela de distribuição é uma série estatística que
mostra a frequência de ocorrência dos valores de uma variável
de estudo. Pode apresentar dados não agrupados em classes,
bem como dados agrupados em classes.
Exemplos:
As frequências se dividem em:
a) Dados não agrupados
Simples *Absolutas – número de ocorrências de um
determinado valor de atributo X.
Idade dos jogadores do XFC Futebol Clube.
Idade
N. Jogadores
20
10
21
15
23
20
25
5
* Relativas – número de um determinado valor
do atributo X, comparado com o total de valores
observados.
Acumuladas
“Abaixo de”
(crescente)
Absolutas ou
Relativas
“Acima de”
(decrescente)
Absolutas ou
Relativas
Exemplo:
Nesse caso a variável de estudo é a “idade dos
jogadores” e o número de jogadores correspondente à
frequência para cada idade.
42
R
o b e r t o
Na amostra com 20 elementos de um atributo “X” abaixo,
construir a tabela de distribuição de frequências simples e
acumuladas (absolutas e relativas).
V
a s s c o n c e l o s
Amostra (rol):
5; 5; 8; 8; 10; 10; 10; 10;, 10; 11; 14; 15; 15; 15; 16; 16; 19; 19; 19; 19.
Atributo
X
Fs
Frs
Frs(%)
Fac(Crescente)
Frac-
Fac+
(Decrescente)
Frac+
5
2
2/20 = 0,10
10
2
0,10
20
1,00
8
2
2/20 = 0,10
10
4
0,20
18
0,90
10
5
5/20 = 0,25
25
9
0,45
16
0,80
11
1
1/20 = 0,05
5
10
0,50
11
0,55
14
1
1/20 = 0,05
5
11
0,55
10
0,50
15
3
3/20 = 0,15
15
14
0,70
9
0,45
16
2
2/20 = 0,10
10
16
0,80
6
0,30
19
4
4/20 = 0,20
20
20
1,00
4
0,20
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.
2.
Ouvindo-se 300 pessoas sobre o tema “Reforma da Previdência, contra ou a favor?”, foram obtidas 123 respostas a favor, 72 contra, 51 pessoas não quiseram opinar, e o restante
não tinha opinião formada sobre o assunto. Distribuindo-se
esses dados numa tabela, obtém-se:
O número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes
é:
a.3
b.6
c.10
d. 27
e.30
Opinião
Favorável
Contra
Omissos
Sem opinião
Total
Frequência
123
72
51
54
300
Frequência Relativa
x
y
0,17
0,18
1,00
3.
a.25%
b.32,5%
c. 42,5%
d. 57,5%
Na coluna frequência relativa, os valores de x e y são, respectivamente:
a) 0,41 e 0,24
b) 0,38 e 0,27
c) 0,37 e 0,28
d) 0,35 e 0,30
e) 0,30 e 0,35
Responda as questões 2 e 3 com base na seguinte situação: a
distribuição a seguir indica o número de acidentes ocorridos
com 40 motoristas de uma empresa de ônibus.
N. de acidentes
N. de motoristas
0
13
1
7
2
10
3
4
4
3
5
2
A porcentagem de motoristas que sofrem no máximo 2
acidentes é:
6
1
M
e. 75%
GRÁFICOS
Os gráficos são representações dos dados estatísticos
por meio de uma linguagem bastante simplificada, proporcionando ao leitor uma imediata visualização do comportamento do atributo “x” de que se deseja relatar.
Entre os diversos tipos de gráficos, destacam-se o gráfico de hastes, de barras, de colunas, de setores, histogramas e polígono de frequência.
a) Gráfico de hastes
É utilizado para dados não agrupados em classes.
a t e m á t i c a
43
Exemplo:
Exemplo:
Causas de acidentes de trânsito nas principais rodovias
do Brasil nos feriados prolongados.
E - Outros
D - Falta de
manutenção dos
veículos
A - Embriaguez
B - Excesso de velocidade
A - Embriaguez
C - Sonolência
C - Sonolência
D - Falta de manutenção dos
veículos
E - Outros
B - Excesso de
velocidade
b) Gráfico de colunas ou de barras
Utilizado para representar variáveis qualitativas ou séries temporais.
d) Histograma
Exemplos:
É utilizado para representar distribuição de frequência
com dados agrupados em classes.
É construído a partir de retângulos verticais justapostos, em que as bases desses representam as classes da distribuição.
I) Produção de grãos, em toneldas, num certo município
em 2008.
Exemplo:
80
70
60
50
40
30
20
10
Soja
Milho
Arroz
Feijão
II) Intenção de votos para prefeito da cidade de São
Paulo em 2008.
5) Polígono de frequências
É obtido ligando-se os pontos médios dos lados superiores dos retângulos que formam o histograma.
Candidato D
Exemplo:
Número de Alunos
Candidato C
Candidato B
Candidato A
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
0
25
45
55
65
75
85
95 105
Pontos
c) Gráfico de setores
É utilizado quando a intenção for mostrar partes de um
todo, respeitando uma certa proporção em que os valores
ocorrem no levantamento dos dados.
44
35
R
o b e r t o
Obs.: a partir do polígono de frequência podemos construir o gráfico chamado de Curva de Frequência, obtido fazendo-se a suavização do contorno do polígono de frequência.
V
a s s c o n c e l o s
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL (DE POSIÇÃO)
Fs
X
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.
Gráficos são instrumentos úteis na análise estatística.
Assinale a definição/afirmação incorreta.
a. Um histograma representa uma distribuição de frequências para variáveis do tipo contínuo.
b. O gráfico de barras representa, por meio de uma série de
barras, quantidades ou frequências para variáveis categóricas.
c. O gráfico de setores é apropriado, quando se quer representar as divisões de um monte total.
d. Um histograma pode ser construído utilizando-se, indistintamente, as frequências absolutas ou relativas de um
intervalo de classe.
e. Uma ogiva pode ser obtida ligando-se os pontos médios
dos topos dos retângulos de um histograma.
2.
Assinale a opção correta.
a. A utilização de gráficos de barras ou de colunas exige amplitude de classe constante na distribuição de frequência.
b. O histograma é um gráfico construído com frequências de
uma distribuição de frequências ou de uma série temporal.
c. O polígono de frequência é um indicador gráfico da distribuição de probabilidade que se ajusta à distribuição
empírica a que ele se refere.
d. O histograma pode ser construído para a distribuição de
uma variável discreta ou contínua.
Depois de fazer a coleta e a representação dos dados
de uma pesquisa, é comum analisarmos as tendências que
essa pesquisa revela. Assim, se a pesquisa envolve muitos
dados, convém sintetizarmos todas essas informações a um
mínimo de parâmetros que possam caracterizá-la. Esses parâmetros podem ser de:
Centralização: média aritmética, mediana e moda.
Dispersão: intervalo de variação, desvio médio,
variância e desvio padrão (essas medidas serão
estudadas mais adiante).
Em geral dado um conjunto de valores: X1, X2, X3,...Xn,
efetuando determinadas operações entre eles, obtemos um
certo resultado R. Caso possamos substituir cada um os valores X1, X2, X3,...Xn por um mesmo valor x e efetuar as mesmas operações, obtendo ainda o mesmo resultado R, diremos
que esse valor x é a média dos valores X1, X2, X3,...Xn relativa
às operações em questão.
Além disso, não devemos separar este “conceito” de
sua aplicação na prática quando, por exemplo, ao calcularmos a “média” de um dado “conjunto de valores”, encontramos mais de uma resposta (média aritmética, harmônica e
geométrica). Neste caso, a “natureza da grandeza” que esses
valores representam e o “bom senso” determinarão qual das
respostas é a mais indicada para o problema.
MÉDIAS
a) Média Aritmética Simples
A média aritmética (X) entre os números X1, X2, X3,...Xn
x + x 2 + x3 +  + x n
.
é tal que x = 1
n
n
Ou simplesmente, como sendo: x =
b) Média Aritmética Ponderada
n
x=
Em relação aos tipos de gráficos, assinale a opção correta.
a. Uma série categórica é melhor representada por um gráfico de linha.
b. Uma série cronológica é melhor representada por um gráfico de setores.
c. Se uma distribuição de frequências apresenta intervalos
de tamanhos desiguais, o melhor gráfico para representá-la é um polígono de frequências.
∑f
i =1
n
i
n
i
.
Yi
∑f
i =1
i
Propriedades da Média Aritmética
1ª) Se somarmos (ou subtrairmos) uma mesma constante “K” a todos os valores de um conjunto A, deteremos
um novo conjunto B, tal que:
d. O gráfico de barras é usado somente para séries geográficas.
XB =
XA + K ou XB =
XA − k
e. O gráfico de setores é usado para comparar proporções.
M
i =1
Sendo X1, X2, X3,...Xn os n valores da variável X com
frequências f 1, f 2, f 3,..., f n, respectivamente, define-se média
aritmética ponderada, ou simplesmente média, como sendo:
e. O polígono de frequência é construído unindo-se os pontos correspondentes aos limites inferiores dos intervalos
de classe da distribuição de frequência.
3.
∑X
a t e m á t i c a
45
Moda Para Dados Agrupados em Classes
2ª) Se multiplicarmos (ou dividirmos) todos os valores
de um conjunto A por uma mesma constante “K”, obteremos um novo conjunto B, tal que:
Existem 03 processos de cálculo: Moda bruta, Método
de Czuber e Método de king.
XA
XB =
XA ⋅ K ou XB =
( k ≠ 0)
K
a) Moda Bruta
3ª) A soma dos desvios de todos os elementos de um
conjunto, tomados em relação à média, é sempre zero.
É o ponto médio da classe modal.
Exemplo:
4ª) Se arbitrarmos um valor “M” (compreendido entre
o menor e o maior valor do conjunto) como sendo a média
aritmética dos elementos desse conjunto, então a média verdadeira será dada por:
CLASSES
X
= M + dM
Onde d M = média dos desvios tomados em relação à
média arbitrada “M”.
Obs.: Esse processo é conhecido como cálculo simplificado da média.
Mo = 35
c) Média Harmônica
1
1
1
1
1
+
+ + ... +
x1 x 2 x 3
xn
n
20
30
10
30
40
15
40
50
12
50
60
5
( Ponto médio da 3ª classe)
∆1
∆1 + ∆ 2
Onde:
Mo = Moda.
Lmo = Limite inferior de classe modal.
C = Amplitude da classe modal.
∆1 = Fmo – Fant
∆2 = Fmo – Fpost
Fmo = Frequência simples da classe modal.
Fant = Frequência simples da classe anterior à modal.
Fpost = Frequência simples da classe posterior à modal.
Exemplo:
x1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 ⋅  ⋅ x n
MODA
Moda de um conjunto de valores é o valor que aparece
o maior número de vezes, ou seja, é o valor de maior frequência absoluta.
Seja a distribuição de frequências abaixo de um atributo “x” qualquer.
Exemplo:
A moda do conjunto de dados 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 11,
12 é 9. Observe que 9 é o elemento mais frequente.
CLASSES
Moda Para Dados Não Agrupados
Exemplos:
(2;5;8;8;9;9;9;10) Mo=9 (Conj. Unimodal)
(2;2;8;8;8;9;9;9;10) Mo=8 e 9 (Conj. Bimodal)
(2;2;2;8;8;8;9;9;9) (Conjunto amodal)
46
8
M
oMo = Lmo +C.
É dada pela raiz “n-ézima” do produto dos valores.
n
20
É dada pela equação:
d) Média Geométrica
XG=
10
b) Moda por Czuber
Dado um conjunto de valores X1, X2, X3,...Xn , média
harmônica é definida como o inverso da média aritmética
dos inversos de X1, X2, X3,...Xn .
Xh =
Fs
R
o b e r t o
V
a s s c o n c e l o s
Fs
10
20
1
20
30
4
30
40
8
40
50
6
50
60
1
Temos que:
MEDIANA
Classe modal = 30
Lmo = 30
C = 10
∆1 = 8 – 4 = 4
∆2 = 8 – 6 = 2
É o valor que ocupa a posição central de um conjunto
de valores, os quais estão colocados em ordem crescente ou
decrescente de grandeza (rol).
40 (3ª classe)
Mediana para Dados não Agrupados
∆1
=
Mo
Lmo + C
∆1 + ∆ 2
4
40
Mo =
30 + 10 .
30 +
=
4 + 2
6
Mo ≅ 36,67
Exemplo:
No conjunto de valores (rol): 4;4;7;7;7;9;10;12;12
A mediana é 9 (Md=9), pois é o valor que divide o rol
ao meio.
c) Moda por King
No conjunto de valores (rol): 4;4;7;7;7;9;10;12;12;15
A mediana é 8 (Md=8) – média aritmética dos valores
centrais.
É dada pela equação:
Mo = Lmo +C.
M
o
Fpost
Fant +Fpost
Mediana para Dados Agrupados em Classes
M
dMd = Lmd + C .
Onde:
Mo = Moda.
Lmo = Limite inferior da classe modal.
C = Amplitude da classe modal.
Fant = Frequência simples da classe anterior à modal.
Fpost = Frequência simples da classe posterior à modal.
Exemplo:
Seja determinar a moda, por King, da distribuição de frequências anterior.
CLASSES
20
1
20
30
4
30
40
8
40
50
6
50
60
1
40 (3ª classe)
Classes
6
10
14
18
22
26
30
Fs
8
10
20
80
40
30
12
Fac8
18
38
118
158
188
200
Lmd = 14 (A classe mediana é 4ª)
C = 18 – 14 = 4
Fmd = 80
∆ = 62 (o valor que deveríamos ter no lugar de 80 para
atingirmos exatamente 100 na Fac-).
Fpost
Fant + Fpost
6
60
Mo =
30 + 10 .
30 +
=
4 + 6
10
Mo = 36
Mo
=
Md = Mediana.
Lmd = Limite inferior da classe mediana.
C = Amplitude da classe mediana.
Fmd = Frequência simples da classe mediana.
∆ = É o valor que deveríamos ter na frequência simples
da classe mediana para atingirmos exatamente 50% (n/2),
dos dados na frequência acumulada crescente.
2
6
10
14
18
22
26
Temos:
Temos que:
Classe modal = 30
Lmo = 30
C = 10
Fant = 4
Fpost = 6
Onde:
Exemplo:
Seja determinar a mediana da distribuição:
Fs
10
∆
Fmd
Lmo + C .
Md =+
Lmd C .
Md =
14 +
M
a t e m á t i c a
∆
62
14 + 4.
=
Fmd
80
248
17,1
⇒ Md =
80
47
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.
O quadro abaixo representa a distribuição de uma turma de
20 alunos, numa prova de química. Determine a nota média
da turma.
Nota
50
60
70
80
90
100
Número de alunos
2
4
5
3
4
2
a. 72,0
b. 73,0
c. 74,5
d. 75,4
e. 80,5
2.
Calcule a média mensal de pacientes atendidos no período
considerado.
O quadro de frequências, a seguir, refere-se às idades dos 20
jogadores de basquete de um clube.
Idade ( em anos)
Número de jogadores
12
4
14
5
16
8
18
2
20
1
a. 45
b. 50
c. 55
d. 63
e. 65
5.
Julgue os itens:
I – A média das idades dos jogadores é de 15,1 anos.
II – A moda (Mo) dessa distribuição é 16.
III – A quantidade de jogadores com idade abaixo de 14 anos é 9.
V – Escolhendo, ao acaso, um dos jogadores, a probabilidade de que o mesmo tenha 14 anos de idade é de 20%.
3.
Numa certa empresa, os funcionários desenvolvem uma jornada de trabalho, em termos de horas diárias trabalhadas, de
acordo com o gráfico dia da semana: 2ª, 3ª, 4ª, 5ª, 6ª.
De acordo com o Boletim do Serviço de Meteorologia de 07
de julho de 2007, o quadro abaixo apresenta a temperatura
máxima, em graus Celsius, registrada em Fernando de Noronha
e nas capitais da Região Nordeste do Brasil.
Aracaju
27°C
Natal
30°C
Fernando de Noronha
30°C
Recife
30°C
Fortaleza
31°C
Salvador
26°C
João Pessoa
30°C
São Luís
32°C
Maceió
27°C
Terezina
32°C
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir em
verdadeiro (V) ou falso (F).
I–
O gráfico abaixo representa a distribuição de frequência das temperaturas.
Em média, quantas horas eles trabalham por dia durante
uma semana?
a. 6,0
b. 7,0
II – A frequência relativa da temperatura de 31ºC é igual a
10%.
III – A média aritmética das temperaturas indicadas no quadro correspondente a 29,5ºC.
IV – A mediana das temperaturas registradas é igual à temperatura modal.
V – A amplitude das temperaturas é de 32ºC.
c. 7,5
d. 8,0
e. 8,5
4.
48
O gráfico a seguir representa o número de pacientes atendidos mês a mês, em um ambulatório, durante o período de 6
meses de determinado ano.
R
o b e r t o
V
a s s c o n c e l o s
6.
Marque a alternativa errada.
Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.
I – A média da série dos resultados das medições feitas
com o instrumento A é menor que 67º30’14”.
II – As séries dos resultados das medições feitas com os
instrumentos A e B têm o mesmo desvio-padrão.
III – A moda e a média da série dos resultados das medições
feitas com o instrumento B são iguais.
IV –A mediana da série dos resultados das medições feitas
com o instrumento B é maior que a da série dos resultados
das medições feitas com o instrumento A.
9.
Em um time de futebol, o jogador mais velho, dentre os onze
titulares, foi substituído por um jogador de 16 anos. Isso fez
com que a média de idade dos 11 jogadores diminuísse 2 anos.
Calcule a idade do jogador mais velho, que foi substituído.
a.30
b.32
c.38
d. 42
e. 44
a. Se somarmos um mesmo valor a todos os elementos de
um conjunto de valores, a média da nova série será igual
à antiga somada desse valor.
b. No conjunto A = {10; 12; 14; 14} temos que a média aritmética é maior que a média harmônica.
c. Em uma distribuição de frequências assimétrica à direta
temos que moda < mediana < média.
d. A média geométrica é sempre menor que a média aritmética, em um conjunto de valores.
e. Se multiplicarmos todos os elementos de um conjunto A
por um mesmo número, obtém-se um novo conjunto B,
tal que a média aritmética de B será a média de A, multiplicada por esse número.
7.
Observe o demonstrativo do consumo de energia elétrica.
Para conhecimento, demonstramos a seguir a evolução do
consumo de energia elétrica nos últimos meses.
10. Considere um conjunto A com 20 elementos e X A = 80 e um
conjunto B com 30 elementos e X B = 100 . Então a média
dos elementos dos conjuntos A e B, reunidos é:
a. 92
b. 90
c. 88
d.86
e. 84
8.
Considere que o consumo médio, de agosto/98 a dezembro/98, foi igual ao que ocorreu de janeiro/99 a abril/99. O
consumo no mês de abril de 1999, em kWh, foi igual a:
a. 141
b.151
c.161
d. 171
e.181
Utilizando dois instrumentos distintos, A e B, foi feita, com
cada um deles, uma série de vinte medições de um mesmo
ângulo, e os resultados obtidos estão listados na tabela abaixo, em que a frequência A e frequência B indicam a quantidade de vezes que o resultado foi encontrado com os instrumentos A e B, respectivamente.
Frequência
A
B
Resultados das
medições
67°30’10”
67°30’12”
67°30’13”
67°30’14”
67°30’15”
67°30’16”
67°30’17”
67°30’18”
1
1
2
4
4
3
2
3
1
1
2
3
6
2
2
3
11. A média aritmética das alturas de cinco edifícios é de 85
metros. Se for acrescentado a apenas um dos edifícios mais
um andar de 3 metros de altura, a média entre eles passará a
ser:
a. 85,6 m
b. 86 m
c. 85,5 m
d. 86,6 m
e. 86,5 m
12. A média das alturas dos 6 jogadores em quadra de um time
de vôlei é 1,92m. Após substituir 3 jogadores por outros, a
média das alturas do time passou para 1,90m. Nessas condições, a média, em metros, das alturas dos jogadores que
saíram supera a dos que entraram em:
a.0,03.
b. 0,04.
c.0,06.
d. 0,09.
e.0,12.
13. Um comerciante mistura 4 kg do café tipo A, que custa
R$ 6,00 o quilo; 10 kg do café B, que custa R$ 5,60 o quilo;
e 6 kg do café C, que custa R$ 5,00 o quilo. Qual o preço por
quilo da mistura?
a. R$ 5,00
b. R$ 5,50
c. R$ 5,80
d. R$ 6,00
e. R$ 6,30
M
a t e m á t i c a
49
14. Uma prova foi aplicada em duas turmas distintas. Na primeira, com 30 alunos, a média aritmética das notas foi 6,40. Na
segunda, com 50 alunos, foi 5,20. A média aritmética das
notas dos 80 alunos foi:
a.5,65
b. 5,70
c. 5,75
d.5,80
21. Assinale a alternativa correta, considerando a série: 8, 5, 14,
10, 8 e 15.
a. A média aritmética é 10 e a mediana é 12.
b. A mediana é 9 e a amplitude total e 10.
c. A amplitude total é 7 e a moda é 8.
d. A média aritmética é 10 e a amplitude total é 7.
e. A mediana é 12 e a amplitude total é 7.
22. As afirmativas abaixo:
I – Metade dos valores de um conjunto são maiores e metade são menores que ela.
II – Ela é influenciada pelos valores extremos dos conjuntos.
III – Ela é o valor mais frequente em um conjunto.
15. Numa classe de um colégio existem estudantes de ambos os
sexos. Numa prova, as médias aritméticas das notas dos meninos e das meninas foram respectivamente iguais a 6,2 e
7,0. A média aritmética das notas de toda a classe foi igual a
6,5.
a) A maior parte dos estudantes dessa classe é composta de
meninos ou de meninas?
b) Que porcentagem do total de alunos da classe é do sexo
masculino?
Correspondem, respectivamente a:
a. Mediana, moda e média.
b. Média mediana e moda.
c. Moda, mediana e média.
d. Média moda e mediana.
e. Mediana, média e moda.
16. A média aritmética das notas dos alunos de uma classe de
40 alunos é 7,2. Se a média aritmética das notas das meninas
é 7,6 e a dos meninos é 6,6, então o número de meninas na
classe é:
a.20
b.18
c.22
d. 24
e.25
23. Assinale a opção correta.
a. A moda é uma medida de posição que permite dividir a
distribuição em duas partes de igual frequência.
b. A média harmônica e a média geométrica dos inversos da
determinação da variável.
c. A média aritmética é influenciada pelos valores extremos
da distribuição.
d. A moda e a mediana são influenciadas pelos valores extremos da distribuição.
17. A média aritmética de 80 números é igual a 40,5. Adicionando-se a esse conjunto de valores o número 243, qual será a
nova média aritmética?
a. 43
b. 40,5
c. 44
d. 43
e. 43,5
e. A moda, a mediana e a média aritmética são expressas na
mesma unidade de medida da variável a que se refere.
24. Marque a assertiva correta.
a. Os intervalos de classes de uma distribuição de frequência têm o ponto médio equidistante do limite inferior e
superior de cada classe e a sua amplitude ou é constante
ou guarda uma relação de multiplicidade com a frequência absoluta simples da mesma classe.
b. O intervalo de classe que contém a moda é o de maior
frequência relativa acumulada (crescentemente).
c. A frequência acumulada denominada “abaixo de” resulta
da soma das frequências simples em ordem decrescente
de valor da variável.
d. Em uma distribuição de frequência existe uma frequência relativa acumulada igual a um, ou no primeiro, ou
no último intervalo de classe.
e. O intervalo de classe que contém a mediana é o de maior
frequência absoluta simples.
25. Analisando-se corretamente a figura abaixo, conclui-se que
em uma distribuição de frequência deste tipo:
18. Considere 8 números cuja média aritmética é 4,5. Retirando-se um desses números, a média aritmética dos restantes é
4,2. O número retirado é:
a.0,3
b.3,3
c. 5,4
d.6,6
e.8
19. Sejam X = média aritmética, Y = média harmônica, e
Z = média geométrica de um mesmo conjunto de valores, é
correto afirmar que:
a. X >Y>Z
b.Z>Y>X
c.X>Z>Y
d.Y>Z>X
20. A média harmônica dos números 12, 15, 30 e 60 é igual a:
a.18
b.20
c.22
d.25
50
R
o b e r t o
V
a s s c o n c e l o s
28. De acordo com a distribuição de frequência transcrita a
seguir, pode-se afirmar que:
a. A moda é maior que a mediana.
b. A média é menor que a moda.
c. A mediana é maior que a média.
d. A mediana é maior que a moda.
Pesos (kg)
e. Média, moda e mediana são iguais.
2
4
9
4
6
12
6
8
6
8
10
2
10
12
1
26. Considere a distribuição de frequência dos tempos de auditoria.
Tempo de auditoria (min)
Frequência
10 – 19
10
20 – 29
20
30 – 39
40
40 – 49
20
50 – 59
10
Frequência simples Absoluta
A moda da distribuição:
a. pertence a um intervalo de classe distinto do da média
aritmética.
b. coincide com o limite superior de um intervalo de classe.
c. coincide com o ponto médio de um intervalo de classe.
d. é maior que a mediana e do que a média geométrica.
e. é um valor inferior à média aritmética e à mediana.
Assinale a opção incorreta.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
a. O intervalo de classe modal é dado por (30;39).
b. O tempo médio de auditoria é dado por 34,5 minutos.
c. A mediana, a moda e a média da distribuição são coincidentes.
d. A distribuição acima é assimétrica.
e. Trinta por cento das auditorias demoraram menos que
trinta minutos.
DESVIO PARA A MÉDIA (D)
Uma maneira de medir o grau de dispersão ou concentração de cada valor da variável em relação às medidas de
tendência central é fazer a diferença entre o valor da variável e
a média. Esta diferença é chamada desvio e representada por:
27. A tabela a seguir apresenta a distribuição da renda familiar
anual, em uma determinada cidade.
Renda Familiar Anual (R$)
10.000
15.000
Frequência relativa Simples
D=
Xi − X .
i
DESVIO MÉDIO (dm)
n
n
∑D
0,20
∑f
i
=i 1 =i
dm =
ou
dm
=
0,18
n
15.000
20.000
20.000
25.000
0,14
25.000
30.000
0,12
30.000
40.000
0,14
40.000
50.000
0,14
50.000
60.000
0,08
1
Di
n
∑f
i =1
( Para dados não
agrupados )
i
i
( Para dados agrupados )
VARIÂNCIA (S2)
O valor que corresponde à média aritmética dos quadrados dos desvios em relação à média recebe o nome de variância, valor esse que se indica por S2.
n
Analisando os dados apresentados, é correto afirmar que:
a. A distribuição é assimétrica negativa.
2
S =
b. A renda familiar anual mediana encontra-se na classe de
R$ 15.000 a R$ 20.000.
c. 64% da população ganham abaixo de R$ 30.000.00.
d. É impossível calcular a renda familiar anual média, pois
se desconhece o número total de famílias entrevistadas.
e. O intervalo de R$ 40.000,00 a R$ 50.000,00, inclui todas
as famílias entrevistadas que ganham entre R$ 40.000,00
e R$ 50.000,00, inclusive.
M
∑ f ( Di )
i =1
2
i
n
∑f
i −1
i
Cálculo Simplificado da Variância
A variância pode ser obtida pela equação:=
S2 (x 2 ) − (x) 2
Em palavras: A variância é igual à média dos quadrados menos o quadrado da média.
a t e m á t i c a
51
Exemplo:
2ª) Se multiplicarmos (ou dividirmos) todos os elementos de um conjunto A por uma mesma constante, obteremos
um novo conjunto B, de tal forma que:
Calcular a variância, pelo método breve, do conjunto de
valores: A = {2; 3; 5; 6}.
Solução:
S B = S A ⋅ K ou S B = S A (K ≠ 0)
No conjunto, temos que:
K
2+3+5+ 6
16
⇒X=
= 4
4
4
2² + 3² + 5² + 6² 4 + 9 + 25 + 36 74 37
( X=
²)
=
= = = 18,5
4
4
4
2
=
X ² (4)²
= 16
X=
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.
Calcule o desvio padrão dos dados apresentados.
S ²= ( X ²) − ( X )²= 18,5 − 16 ⇒ S ²= 2,5
DESVIO PADRÃO (S)
A raiz quadrada da variância chama-se desvio padrão do conjunto de dados, valor que representemos por
S = S²
Exemplo:
Seja determinar o desvio padrão do conjunto de valores (2;3;3;5;7)
a. 26,64 x 105
b. 5,16 x 105
c. 2,24 x 106
(di )
∑
=
2
( x1 − x) 2 + ( x 2 − x) 2 + ( x 3 − x) 2 + ( x 4 − x) 2 + ( x 5 − x) 2
n
5
2
2
2
2
(2
4)
(3
4)
(3
4)
(5
4)
−
+
−
+
−
+
−
+ (7 − 4) 2
S2 =
5
2
2
2
(
2)
(
1)
(
1)
(3) 2 4 + 1 + 1 + 1 + 9
−
+
−
+
−
+
S2 =
5
5
16
2
2
S = ⇒ S = 3, 2
5
=
S2
S=
2
S ⇒ S=
d. 32,4 x 106
e. 5,16 x 106
2.
3, 2 ⇒ S ≅ 1,8
PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA
A tabela mostra o total de pontos obtidos por dois times de
futebol no período de 1996 a 2000.
1996
1997
1998
1999
2000
TIME A
7
12
20
16
10
TIME B
18
16
15
9
12
I – (V) A média de pontos por ano do time A foi menor
que a do time B.
II – (V) O desvio médio em relação ao ano de 1996 do time
A foi igual a 6.
III– (F) O desvio médio em relação ao ano de 1998 do time
B foi igual a 5.
IV– (V) O desvio padrão do time A é maior que o desvio
padrão do time B.
1ª) Se somarmos (ou subtrairmos) uma mesma constante “K” a todos os elementos de um conjunto A, obteremos um novo conjunto B, tal que:
S B2 = S A2 (a variância não se altera).
2ª) Se multiplicarmos (ou dividirmos) todos os elementos de um conjunto A por uma mesma constante, obteremos
um novo conjunto B, de tal forma que:
3.
S A2
S B2 =
S A2 ⋅ K 2 ou S B2 =
( K ≠ 0)
K2
O serviço de atendimento ao consumidor de uma concessionária de veículos recebe as reclamações dos clientes via telefone. Tendo em vista a melhoria nesse serviço, foram anotados os números de chamadas durante um período de sete
dias consecutivos. Os resultados obtidos foram os seguintes:
PROPRIEDADES DO DESVIO PADRÃO
1ª) Se somarmos (ou subtrairmos) uma mesma constante “K” a todos os elementos de um conjunto A, obteremos um novo conjunto B, tal que:
Dia
Número de chamadas
domingo
3
segunda
4
S B = S A (o desvio padrão não se altera).
terça
6
52
R
o b e r t o
V
a s s c o n c e l o s
Número de chamadas
quarta
9
quinta
5
sexta
7
sábado
8
Frequência
Sobre as informações contidas nesse quadro, considere as
seguintes afirmativas:
I – O número médio de chamadas dos últimos sete dias
foi 6.
II – A variância dos dados é 4.
III– O desvio padrão dos dados é 2 .
Resultados das medições
Dia
d. Somente a afirmativa I é verdadeira.
e. As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
20 UM
20 UM
12 UM
36 UM
segunda semana
20 UM
24 UM
28 UM
32 UM
terceira semana
20 UM
20 UM
24 UM
20 UM
quarta semana
20 UM
16 UM
20 UM
8 UM
quinta semana
20 UM
20 UM
16 UM
4 UM
valor total do
benefício
100 UM
100 UM
100 UM
100 UM
1
1
67°30’13”
2
2
67°30’14”
4
3
67°30’15”
4
6
67°30’16”
3
2
67°30’17”
2
2
67°30’18”
3
3
O quadro abaixo apresenta a renda média mensal per capita de
duas localidades, A e B, com os respectivos desvios padrão:
c. Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
primeira semana
67°30’12”
6.
b. Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
Família I Família II Família III Família IV
1
Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem:
I –A média da série dos resultados das medições feitas
com o instrumento A é menor que 67º30’14”.
II –As séries dos resultados das medições feitas com os
instrumentos A e B têm o mesmo desvio padrão.
III– A moda e a média da série dos resultados das medições
feitas com o instrumento B são iguais.
IV– A mediana da série dos resultados das medições feitas
com o instrumento B é maior que a da série dos resultados das medições feitas com o instrumento A.
Assinale a alternativa correta.
Em certo país, o governo financia um programa de assistência às famílias de baixa renda. Cada família recebe, de
cinco em cinco semanas, a quantia de 100 UM (unidades
monetárias) para comprar produtos de alimentação em estabelecimentos conveniados. O coordenador desse projeto
selecionou em uma pequena cidade quatro famílias e acompanhou a distribuição dos gastos semana a semana. Observe
a tabela:
B
1
a. Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
4.
A
67°30’10”
Localidade
Renda média mensal
Desvio padrão
A
R$500
R$100
B
R$750
R$150
Com base nos dados apresentados pode-se afirmar que:
a. a renda da localidade A é mais homogênea que a da localidade B.
b. a renda da localidade A é mais heterogênea que a da localidade B.
c. o coeficiente de variação da renda da localidade A é 5.
d. os coeficientes de variação das rendas das localidades A
e B indicam que as rendas mensais das duas localidades
são igualmente heterogêneas.
e. não se pode comparar as dispersões das rendas das duas
localidades, pois se desconhece o número de elementos
pesquisados em cada uma delas.
7.
Dados os conjuntos A = (–2, –1, 0, 1, 2) e B = (30, 35, 40, 45, 50),
pode-se afirmar em relação ao desvio padrão em B.
a. é igual ao desvio padrão em A.
b. é o quíntuplo do valor do desvio padrão de A.
c. é o quíntuplo do valor do desvio padrão de A, somado com 40.
d. é 40 unidades maior que o desvio padrão de A.
e. não pode ser avaliado a partir do desvio padrão de A.
8.
Em certa empresa o salário médio era de R$90.000,00, com
desvio padrão de R$10.000,00. Todos os salários receberam
um aumento de 10%. Então o desvio padrão dos novos salários passou a ser:
Calcule a variância dos gastos semanais das quatro famílias.
a. 0; 6,4; 32 e 160
b. 0; 5,4; 32 e 180
c. 1; 3,2; 34 e 160
d. 2; 3,5; 32 e 165
e. 1; 3,2; 42 e 160
5.
Utilizando dois instrumentos distintos, A e B, foi feita, com
cada um deles, uma série de vinte medições de um mesmo
ângulo, e os resultados obtidos estão listados na tabela abaixo, em que a frequência A e frequência B indicam a quantidade de vezes que o resultado foi encontrado com os instrumentos A e B, respectivamente.
M
a t e m á t i c a
53
7. a
8. E E C E
9. c
10. a
11. a
12. b
13. b
14. a
15.
a. Meninos
b. 62,5%
16. d
17. d
18. d
19, c
20. b
21. b
22. e
23. e
24. d
25. d
26. d
27. c
28. e
a. R$ 10.000,00
b. R$ 10.100,00
c. R$ 10.500,00
d. R$ 10.900,00
e. R$ 11.000,00
9.
Uma empresa que possui 5 copiadoras registrou em cada
uma delas no último mês (em 1.000 unidades): 20, 23, 25,
27, 30 cópias, respectivamente. O valor da variância desta
população é:
a. 5 x 106
b. 11,6 x 106
c. 14,5 x 106
d. 25 x 106
e. 3,41 x 106
10. A média e a variância do conjunto de salários pagos por uma
empresa eram de R$ 285.000 e 1,1627x1010, respectivamente.
O valor da variância do conjunto dos salários após o corte de
três zeros na moeda é:
a. 1,1627x107
b. 1,1627x106
c. 1,1627x105
d. 1.1627x104
e. 1,1627x103
Medidas de Dispersão
1. b
2. C C E C
3. a
4. a
5. E E C E
6. d
7. b
8. e
9. b
10. d
GABARITO
Conceitos Iniciais
1. d
2. a
3. b
Normas Para Apresentação Tabular de Dados
1. e
2. b
GEOMETRIA PLANA
Distribuição de Frequência
SEGMENTOS PROPORCIONAIS (TEOREMA DE
TALES)
1. a
2. b
3. b
Considere um feixe de retos paralelos cortados por
duas transversais.
1. a
2. b
3. e
e
f
a c e
= =
b d f
R
o b e r t o
V
s
d
c
1. C
2. C C E E
3. d
4. b
5. C C C C E
6. d
r
b
a
Medidas de Tendência Central (de Posição)
54
v
u
Gráficos
a s s c o n c e l o s
=k
t
m
r // s // t // m
“Dizemos que as retas transversais formam segmentos
proporcionais”.
Solução:
A
x
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
10
B•
20
•C
R.1. Determine x, na figura abaixo:
D
m
x
r
5
8
10
s
10
r // s // t
=
20
25
x=8
Solução:
=
E
25x = 200
t
5
•
n
x
x
•
15
TRIÂNGULOS
8
10
CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS LADOS
10x = 40
a) Equilátero: É aquele que possui os 3 lados congruentes.
x=4
R.2. Determine x, na figura abaixo:
=
6
=
8
x
r // s
=
r
12
s
b) Isósceles: É aquele que possui 2 lados congruentes.
Solução:
x
12
=
6
=
8
=
8x = 72 ⇒
x=9
R.3. Na figura sabe-se que AD = 20cm, AC 10cm e
CE = 15cm. Determine AB .
Obs.: Num triângulo isósceles, o lado diferente é chamado de base.
c) Escaleno: É aquele que possui os 3 lados diferentes.
A
B•
•
=
BC // DE
•
≡
D
−
•C
E
M
a t e m á t i c a
55
CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS ÂNGULOS
“O produto da hipotenusa pela altura é igual ao produto
dos catetos”.
a) Retângulo: É aquele que possui um ângulo reto.
III) h2 = m . n
“O quadrado da altura é igual ao produto das projeções”.
b2 = a . n
c2 = a . m
IV)
•
“Um cateto ao quadrado é igual ao produto da hipotenusa pela sua projeção”.
b) Obtusângulo: é aquele que possui um ângulo obtuso.
V) a = n + m
“A hipotenusa é igual a soma das projeções”.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.4. Determine o valor desconhecido em cada figura
abaixo:
Obs.: Ângulo obtuso é aquele maior que 90º.
a)
•
c) Acutângulo: É aquele que possui os 3 ângulos
agudos.
x
•
•
4
25
•
•
x2 = 4 . 25
x2 = 100
x = + 10
Obs.: Ângulo agudo é aquele menor que 90º.
RELAÇÃO MÉTRICA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO.
(só serve o valor de x > 0)
x = 10
A
•
c
m
B
•
h
•
D
b)
b
n
a
•
9
C
•
12
y
•
a → hipotenusa.
b e c → catetos.
h → altura relativa a hipotenusa.
m → projeção do cateto “c”.
n → projeção do cateto “b”.
•
•
Solução:
2
x=
92 + 122
I) a2 = b2 + c2
2
x=
81 + 144
“O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos
quadrados dos catetos”.
x 2 = 225
∴
II) a . h = b . c
56
x
x = 15
R
o b e r t o
V
a s s c o n c e l o s
x ⋅ y = 9 ⋅12
15 ⋅ y =
108
108
y=
15
y = 7, 2
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
c)
y
Dados dois triângulos, dizemos que eles são semelhantes se e somente se os seus ângulos internos são cougruentes
e os seus lados correspondetes são proporcionais.
2
x
2
•
2
A
A’
Solução:
2
x=
22 + 22
2
y=
22 + 42
x 2= 4 + 4
y 2= 4 + 16
x2 = 8
y 2 = 20
x= 8
y = 20
B
C
B’
C’
 A

 B'

'
=
=
=
A
' ; B
; C C
 é um arco de semicircunfeR.5. Na figura abaixo, AB
rência cujo diâmetro é igual a 10 cm. Determine AC e CB.
D
AB
AC
BC
= = = k
A ' B' A 'C ' B'C '
Critérios de semelhança de triângulo
Um critério de semelhança de triângulos garante que dois
triângulos dados sejam semelhantes.
a) A A (Ângulo, Ângulo)
DC = 2 6 cm
•
A
B
Se dois triângulos apresentarem 2 pares de ângulos
congruentes dois a dois, então eles são congruentes.
C
A
Solução:
Chamando de “o” o centro da semicircunferência,
teremos que OA = OB = OD = 5cm (raio).
D
2 6
•
OX C
2
2
2
2
(
55=
= xx +
+ 22 66
B
2
)
B’
C’
=
'
∆ABC ~ ∆A ' B'C ' ⇒ C
C
AB
AC
BC
= = = k
A ' B' A 'C ' B'C '
2
2
2
OD
=
OD
= OC
OC +
+ DC
DC
2
2
C
 A

 B',
 logo:
=
A
=
'eB
5
A
B
A’
b) LLL (lado, lado, lado)
2
2
Se dois triângulos apresentarem todos os lados proporcionais, então eles são semelhantes.
25 == xx 22 +
+ 44 ⋅⋅ 66
25
2
2
xx=
= 25
25 −
− 24
24
2
2
xx =
1
=1
A
A’
xx =
= 11
Logo, teremos:
B
AC = AO + x ⇒ AC = 5 + 1 ⇒ AC = 6 cm
C
B’
C’
AB
AC
BC
= ’ ’ = ’ ’ = K, logo:
AC
BC
A’B’
CB = OB − x ⇒ CB = 5 − 1 ⇒ CB = 4 cm
M
a t e m á t i c a
57
∆ ABC ~ ∆ A B C ⇒
’
’
’
{
b) Incentro: é o ponto de cruzamento das bissetrizes*.
^ =A
^’
A
^
^
B = B’
^ =C
^’
C
*Bissetriz é o segmento de reta que divide o ângulo
ao meio.
X
c) LAL (lado, ângulo, lado)
Se dois triângulos apresentarem dois pares de lados
proporcionais e os ângulos internos, formados por esses lados, iguais, então esses triângulos são semelhantes.
A
A1
Y
Z
Importante:
B
C
B1
AB
AC
^
^
= ’ ’ = K, e A = A’, logo:
AC
A’B’
∆ ABC ~ ∆ A B C ⇒
’
’
’
{
O incentro é o centro de uma cirunferência inscrita no
triângulo.
c) Circuncentro: é o ponto de cruzamento das mediatrizes* dos lados.
C1
*Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a ele e que divide esse segmento ao meio.
^=B
^,
B
^
^
C = C’
BC
, ,
BC = K
X
PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO
Um triângulo apresenta 4 pontos notáveis: baricentro,
incentro, circuncentro e ortocentro.
Para facilitar, podemos escrever a palavra “BICO” na
vertical. Veja:
B aricentro
I ncentro
C ircuncentro
O rtocentro
c
Y
Z
Importante:
a) Baricentro: é oponto de cruzamento das medianas*.
O circuncentro é o centro de uma circunferência circunscrita ao triângulo.
*Mediana é o segmento de reta que sai de um vertice e
vai até o ponto médio do lado aposto.
d) Ortocentro: é o ponto de cruzamento das alturas*.
X
Altura em relação a um determinado lado do triângulo
é o segmento de reta que sai do vértice oposto e chega até
esse lado, perpendicularmente.
B
X
Y
Z
Importante
o
As medianas sempre ficam divididas na razão de 2 para
1, do vértice até a baricentro e desse até o lado.
58
R
o b e r t o
Y
V
a s s c o n c e l o s
Z
Obs.:
r = 31 .h (Propriedade das medianas)
1ª) Num triângulo equilátero, os 4 pontos são coincidentes.
X
r=
1 .l 3
3
2
r= l 3
6
“BICO”
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Y
R. 6. Um triângulo equilátero tem perímetro igual a
36 cm. Determine o raio da circunferência circunscrita a
esse triângulo.
Solução:
Z
2ª) Em todo triângulo equilátero, vale:
h → altura
l 3
2
l → lado
3ª) O raio de uma circunferência que circunscreve um
triângulo equilátero em função do seu lado é:
h=
ℓ
R
ℓ
ℓ
R
Sabemos que o perímetro de uma figura é a soma dos
seus lados. Nesse caso, temos:
2p = 36
 +  +  = 36 
3  = 36
 = 12cm
R = 2 .h
3
Logo:
(Propriedade das medianas. Lembre-se que
a altura e a mediana são coincidentes)
R=
 3
3
R=
12 3
3
R = 4 3 cm
R= 2 .l 3
3
2
R. 7. Um triângulo equilátero tem o lado igual a 3 cm.
Determine a medida do raio da circunferência inscrita nesse
triângulo.
R= l 3
3
4ª) O raio da circunferência inscrita em um triângulo
equilátero em função do seu lado é:
Solução:
3
3
r
r
3
M
a t e m á t i c a
59
r=
TRAPÉZIO
 3
6
b
3 3
r=
6
h
3
r=
cm
2
B
b → base menor
B → base maior
h → altura (perpendicular às bases – lados paralelos)
ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
TRIÂNGULO
a) Em função de um lado e da altura relativa a esse lado
 B+b
=
A 
⋅h
 2 
PARALELOGRAMO
h
a
b
b
A=
a
BASE ⋅ ALTURA
2
A=
h
b
A = base . altura
A= a ⋅ h
b⋅h
2
Obs.: Em todo paralelogramo, as diagonais se cruzam ao
meio e os ângulos internos opostos são congruentes.
Observe que um triângulo qualquer possui 3 alturas.
Logo, teremos:
A
h2
h3
Paralelogramos notáveis
h1
B
C
=
A
a) Retângulo: é todo paralelogramo que possui os quatro
ângulos retos.
BC ⋅ h1 AB ⋅ H 2 AC ⋅ h 3
= =
2
2
2
b
b) Em função do semiperímetro (p)
a
A= a ⋅ b
a
b
p=
a+b+c
2
Obs.: Nos retângulos, as diagonais internas se dividem
em 4 parte iguais.
c
A=
60
p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)
R
o b e r t o
V
a s s c o n c e l o s
b) Losango: é todo paralelogramo que possui os 4 lados
congruentes.
D
d
A=
Lembrete
• Circunferência é a linha que envolve o círculo.
Por isso tem comprimento. (Cc = 2π r).
• Círculo é a região envolvida pela circunferência.
Por isso, tem área. (A = π r2).
SETOR CIRCULAR (As)
D⋅d
2
α
Obs.: em todo losango, as diagonais se cruzam formando um ângulo reto e são bissetrizes dos ângulos internos.
Podemos obter a área do setor por meio de uma regra
de três simples:
Ângulo
360º
α
c) Quadrado: é todo paralelogramo que é retângulo e
losango ao mesmo tempo.
As =

Polígono regular é todo polígono que possui os lados
congruentes e os ângulos congruentes. Por essa razão sempre podem ser inscritos numa circunferência de raio “r”.
D⋅D
D2
⇒ A=
2
2
A
F
Obs.: Como a área do quadrado pode ser obtida dos 2
modos, temos que:
B
O
D2
= 2
2
E
D 2 = 2 2
C
D
D 2 = 2 2
D= 2
a ⋅ π ⋅ r2
360º
POLÍGONO REGULAR QUALQUER

A =  .  ⇒ A = 2
A=
Área
π r2
As

A= p ⋅ a
2
p → semiperímetro.
a → apótema*.
D= 2
CÍRCULO
*apótema é o segmento de reta (dos polígonos regulares)
que sai do seu “centro de massa” ou simplesmente “centro do
polígono” e vai perpendicularmente ao ponto médio de um
dos lados.
r
Obs.: Se o polígono regular for um hexágono, o mesmo poderá ser dividido (desmembrado) em 6 triângulos
equiláteros.
A = π ⋅ r2
M
a t e m á t i c a
61
R.10. Um paralelogramo tem alturas iguais a 4 cm e
6 cm. Determine a área desse polígono, sabendo que seu
perímetro é igual a 40 cm.
A
F
B
O
a
a
E
C
M
b
D
∆ equilátero
OM → apótema do hexágono = altura do ∆.
a=
4cm
A = 4.b
 3
2
6cm
b
a
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
A = 6a
Logo, teremos:
{
R.8. Determine a área de um triângulo cujos lados medem 5cm, 12cm e 13cm.
4b = 6a
2a + 2b = 40
Dividindo a 1ª equação por 2, temos:
Solução:
{
2b = 3a
I
2a + 2b = 40 II
5 + 12 + 13
30
⇒p=
⇒ p = 15cm
2
2
A = p ⋅ (p − a)(p − b)(p − c)
p=
A=
15 ⋅ (15 − 5)(15 − 12)(15 − 13)
A=
15 ⋅10 ⋅ 3 ⋅ 2
Substituindo I em II:
II
A = 900
A = 300 cm
2a + (3a) = 40
5a = 40
a = 8cm
2
Como A= 6a, temos que
R.9. Determine a altura relativa ao lado AB do triângulo abaixo.
A = 6.8 ⇒ A = 48cm2
R.11. Em um trapézio, os lados paralelos medem, respectivamente, 20 cm e 12 cm e a atlura é igual a 10 cm. Prologando-se os lados não paralelos teremos o triângulo EAB.
Determine a altura desse triângulo em relação ao lado AB.
A
8
4
C
12
E
B
Solução:
12.4 8.h AB
2 = 2
8 h AB = 48
h AB = 6
62
A
12 cm
B
10 cm
C
R
o b e r t o
V
a s s c o n c e l o s
20 cm
D
Solução:
a. a + b
b. (a+ b) h/2
c. (a b) h/2
E
d. (b a)h
X
4.
12
A
B
10
Um triângulo tem lados que medem respectivamente, 6m,
8m e 10m. Um segundo triângulo, que é um triângulo semelhante ao primeiro, tem perímetro igual a 30m. Assim,
a razão entre a área do segundo e a do primeiro triângulo é
igual a:
a. 5/4
C
b. 8/5
D
20
c. 9/5
Observe que ∆ ECD ∼ ∆ ECD (critério AA)
d. 25/16
E
5.
E
X
A
12
Um terreno triangular, localizado em uma esquina de duas
ruas que formam entre si um ângulo de π/2 radianos, tem
frentes de 12m e 16m. Um arquiteto, para executar um projeto arquitetônico, calculou a área e o perímetro do terreno,
encontrando respectivamente:
a. 48m2 e 40m
B
b. 96m2 e 48m
c. 40m2 e 48m
x + 10
d. 192m2 e 96m
6.
20
C
x + 10
20
x + 10
⇒
x = 12
x =
D
5
3
Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, A+X e A+Y, onde A, X e Y são números reais. Sabendo que o ângulo oposto ao cateto que mede A+X é igual
a 45º, segue-se que:
a.Y=X
⇒ 5x = 3x + 30 ⇒ 2x = 30 ⇒ x = 15cm
b. Y = (31 / 2) / 2X
c. Y = 2X
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.
d. Y = -2X
Um triângulo isósceles tem um perímetro de 32cm e uma
altura de 8cm em relação à base (isto é, com relação ao lado
diferente dos demais). A área do triângulo, em cm2, é de:
7.
a. 24
b.16
c. 48
2.
d.100
a. 9
Um trapézio ABCD possui base maior igual a 20cm, base
menor igual a 8cm e altura igual a 15cm. Assim, a altura, em
cm, do triângulo limitado pela base menor e o prolongamento
dos lados não paralelos do trapézio é igual a:
c.12
a.5
b.10
d.6
8.
b.10
c.12
Se o raio de uma circunferência tiver um acréscimo de 50%,
então o acréscimo percentual em seu comprimento será
igual a:
a.25%
d.15
3.
Em um triângulo eqüilátero de lado igual a 12cm, traça-se um segmento XY paralelo do lado BC de modo que o
triângulo fique decomposto em um trapézio e em um novo
triângulo. Sabendo-se que o perímetro do trapézio é igual ao
perímetro do novo triângulo, então o comprimento do segmento de reta XY, em centímetros, vale:
b.50%
Um trapézio ABCD, com altura igual a h, possui bases
AB = a e CD = b, com a > b. As diagonais deste trapézio
determinam quatro triângulos. A diferença entre as áreas
dos triângulos que têm por bases AB e CD respectivamente
e por vértices opostos a intersecção das diagonais do trapézio
é igual a:
M
c. 75%
d.80%
9.
O raio do círculo A é 30% menor do que o raio do círculo B.
Desse modo, em termos percentuais, a área do círculo A é
menor do que a área do círculo B em:
a t e m á t i c a
63
a.51%
a. 6 2 cm.
b. 49%
c.30%
d. 70%
b. 12 cm.
c. 13 cm.
d. 14 cm.
10. A base de um triângulo isósceles é 2m menor do que a altura
relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é
igual a 36m, então a altura e a base medem, respectivamente:
a. 8m e 10m
b. 12m e 10m
c. 6m e 8m
d. 14m e 12m
14. A peça de ferro abaixo foi obtida de um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 20 cm, 30 cm e 40 cm, com a retirada de quatro cubos iguais de aresta 10 cm.
20 cm
11. Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão 2 : 3 : 4.
O ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a:
a. 90º
b. 80º
c. 75º
d. 70º
m
0c
30
40 cm
Se a densidade do ferro é 7,8 g/cm3, então a massa dessa peça,
em quilos, é:
12. Na figura, um octógono regular e um quadrado estão inscrin(A)
tos na circunferência de raio P(A) =
. A área da região
n(S)
sombreada é
a. 187,2
b. 179,4
c. 171,6
d.163,8
e.156
15. Se as dimensões de um paralelepípedo reto retângulo de volume 15 estão em progressão aritmética e a maior delas é 3,
a soma dessas dimensões é:
a. 4 ⋅
b.
c.
(
)
2 −1
2
+1
2
4⋅
(
)
2 +1
25
8
b.
19
6
c.
9
2
d.
15
2
e.
21
4
5
8 2
d.
7
e.
a.
2 +1
8
13. A figura acima representa um paralelepípedo retângulo. As medidas das arestas são AB = 3 cm BC = 7 cm , e CD = 3 cm.
O perímetro do triângulo ACD mede
16. Um dos lados de um retângulo é 7cm maior do que o outro lado. Se a diagonal deste retângulo mede 13cm, então o
volume de um prisma regular, de 5cm de altura, e que tem
como base este retângulo, é igual a:
D
3
a.50cm3
b.65cm3
A
64
3
B
7
C
c.200cm3
d.300cm3
R
o b e r t o
V
a s s c o n c e l o s
GABARITO
EXERCÍCIO RESOLVIDO
1. C
2. B
3. C
4. D
5. B
6. A
7. A
8. B
9. A
10. B
11. B
12. A
13. B
14. E
15. D
16. D
R.1. Determine “x” na figura abaixo:
•
12 cm
•
30°
x
Solução:
12
cos 30° =
x
3 12
=
2
x
3x = 24
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
x
=
Dado um triângulo retângulo ABC abaixo:
x=
A
24
3
⋅
3
3
24 3
3
x = 8 3 cm
R.2. Determine “x” na figura
•
C
sen a
=
B
•
AB
cateto oposto
ou sen a
=
hipotenusa
AC
x
10 cm
60°
Solução:
CB
cateto adjacente
cos a =
ou cos a
=
hipotenuza
CA
tg a
=
10
tg 60° =
x
10
3=
x
3 .x = 10
10
x=
3
AB
cateto oposto
sen a
ou tg a
ou tg a
=
=
catetoadjacente
cos a
CB
TABELA PARA ALGUNS VALORES NOTÁVEIS
DE α:
30°
45°
60°
sen
1
2
2
2
3
2
cos
3
2
2
2
1
2
tg
3
3
1
3
x=
x=
10
3
.
3
3
10 3
cm
3
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.
M
^ , cos B
^ e
No triângulo retângulo abaixo, calcule sen B
^
tg B .
a t e m á t i c a
65
C
8.
a = 10
b=6
A
2.
Calcule a altura de um triângulo equilátero que tem 10m em
dado lado.
•
A
10
B
c=8
h
Calcule x e y no triângulo retângulo da figura.
Dados: cos 40º = 0,76 e sen 40º = 0,64.
60º
B
•
9.
y
x
10
C
H
10
A altura de um triângulo eqüilátero mede 4cm. Calcule:
a. a medida do lado do triângulo.
b. a área do triângulo.
40º
A
8
3.
4.
área =
Uma torre vertical de 12 metros de altura é vista sob um ângulo de 30º por uma pessoa que se encontra a uma distância
x da sua base e cujos olhos estão no mesmo plano horizontal
dessa base. Determinar a distância x.
Dados: tg 30º = 0,58.
l
6.
Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 3a e os catetos
medem 2a 2 e a.
Calcule:
a. a tangente do ângulo oposto ao menor cateto.
b. o seno do ângulo oposto ao maior cateto.
x
30º
Um guarda florestal, postado numa torre de 20m no topo de
uma colina de 500m de altura, vê o início de um incêndio
numa direção que forma com a horizontal um ângulo de 17º.
A que distância aproximada da colina está o fogo?
11. Calcule a área do triângulo ABC, de altura h =
α = 30º e β = 45º.
α β
h
H
B
12. Um móvel parte de A e segue numa direção que forma com a
reta AC um ângulo de 30º. Sabe-se que o móvel caminha com
uma velocidade constante de 50km/h. determine após 3 horas
de percurso a que distância o móvel se encontra da reta AC.
α
A
o b e r t o
2cm , se
C
A
R
60º
100m
Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura,
3
sabendo que BC = 10m e cos a =
5
C
C
10. Calcule x indicado na figura.
B
66
60º
B
Num exercício de tiro, o alvo se encontra numa parede cuja
base está situada a 82m do atirador. Sabendo que o atirador
vê o alvo sob um ângulo de 12º em relação à horizontal, calcule a que distância do chão está o alvo.
Dado: tg 17º = 0,30.
7.
l
4
Dado: tg 12º = 0,21.
5.
(lado × altura )
2
V
a s s c o n c e l o s
GABARITO
Onde:
AL → Área lateral
Af→ Área de cada face
n → Número de faces
3
^ 4
^
^ = 3 , cos B
1.sen B
= , tg B =
5
5
4
2. x = 6,08 e y = 5,12
3.20,6m
4. 17,22m
5.a.
b.
2
4
Onde:
2
3
A T → Área total
AL → Área lateral
A B → Área do polígono da base
2
6.
7.
1733m
24m
8.
5 3cm
9.
a.
b.
A T = AL + 2 .
AB
Obs.: Um prisma especial é denominado de cubo.
1.1. Cubo
8 3cm
3
16 3
cm 2
3
10. 50 3m
11.
3+3
cm 2
3
V = a3
12. 75km
Onde:
GEOMETRIA ESPACIAL
ÁREAS E VOLUMES DOS PRINCIPAIS SÓLIDOS
V → Volume
a → Aresta
A T = 6.a2
Onde:
1. Prisma
A T → Área total
a → Aresta
2. Pirâmide
V = Ab.h
Onde:
V → Volume
Ab→ Área da base
h → Altura
V=
A L = Af . n
M
a t e m á t i c a
1
A b .h
3
67
4. Cone
Onde:
V → Volume
Ab → Área da base
h → Altura
A L = Af . n
Onde:
AL → Área lateral
Af→ Área de cada face
n → Número de faces
V=
A T = AL + AB
1
A b .h
3
Onde:
Onde:
A T → Área total
AL → Área lateral
A B → Área do polígono da base
V → Volume
Ab → Área da base
h → Altura
3. Cilindro
5. Esfera
V = π r2 h
V=
Onde:
Onde:
4 3
πr
3
V → Volume
r → Raio da base
h → Altura
V → Volume
r → Raio da base
A L = 2π r h
A se = 4 π r 2
Onde:
Onde:
A L → Área lateral
r → Raio da base
h → Altura
Ase → Área da superfície esférica
r → Raio da base
A T = AL + 2 .
AB
Onde:
A T → Área total
AL → Área lateral
A B → Área da base
68
R
o b e r t o
V
a s s c o n c e l o s