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Estudo da Dinâmica de uma Partícula em Bilhares Clássicos
Lucas Augusto Mauer1, Gustavo Michel Mendoza La Torre2
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Universidade Federal do ABC, Santo André, SP, BRA
CCNH, Universidade Federal do ABC, Santo André, SP, BRA
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Neste trabalho será apresentado um estudo numérico da dinâmica de uma partícula em bilhares clássicos. Usaremos diferentes
geometrias de confinamento. Os bilhares serão modelados com paredes abruptas (duras) e a dinâmica será calculada usando a
Mecânica Newtoniana. Nosso interesse é distinguir as diferentes dinâmicas (regular, caótica ou mista) em função da geometria do
bilhar. Isto será abordado mediante uma análise das órbitas e dos mapas de Birkhoff-Poincaré, calculadas analiticamente para os
casos dos bilhares quadráticos e retangulares e numericamente para geometrias mais complicadas.
Palavras-Chave— Bilhares Clássicos, Caos, Mecânica Newtoniana, Sistemas Dinâmicos.
I.INTRODUÇÃO
B
ilhar é a estrutura de confinamento (modelado como
bidimensional). Assumimos que suas paredes sejam
abruptas (duras) e que não existe atrito em seu interior.
Analisamos a dinâmica de uma partícula pontual (sem
dimensões) com a Mecânica Newtoniana. Dessa maneira,
enquanto não ocorre uma colisão a partícula se move em
trajetória retilínea com velocidade constante.
FIG. 1 AQUI
Em toda colisão, uma força de reação atua. Esta é normal à
parede do bilhar ou normal à reta tangente ao bilhar no ponto
de colisão. Na direção perpendicular a essa força não temos
variação do momento linear. Consideramos que nas colisões a
partícula não perde massa, assim a componente do vetor
velocidade nesta direção não é alterada (1). Supomos que não
atuam forças dissipativas, então usamos a conservação da
Energia Mecânica (Cinética) para calcular que a componente
do vetor velocidade na direção da força de reação tem seu
sinal invertido (2).
FIG. 2 AQUI
p x ,i = p x , f ⇒ m v x ,i = m v x , f ⇒ v x , i = v x , f (1)
1 
2−1 m v2i = 2−1 m v 2f ⇒ v 2x ,iv2y ,i = v2x , f v 2y , f ⇒ v y , f = ±v y , i (2)
Nos bilhares quadráticos e retangulares podemos posicionar
o sistema de referência de tal forma que o maior número de
forças de reação seja perpendicular a um dos eixos
(consequentemente, paralelo ao outro). Para bilhares de outras
geometrias é necessario fazer uma rotação no sistema de
referência do vetor velocidade, utilizar as idéias do parágrafo
anterior e fazer uma nova rotação para voltar ao sistema de
referência antigo. A equação (3) sintetiza este procedimento.
2
2
v x , f = v x ,i  cos ө− sen ө  −2v y ,i senөcos ө
v y , f = v y ,i  sen 2 ө−cos 2 ө −2v x ,i senө cosө
(3)
II.BILHARES QUADRÁTICOS E RETANGULARES: REGULARES
Para iniciar o estudo, calculamos algumas órbitas para
partícula com posição e velocidade iniciais arbitrárias.
Elaboramos um método, chamado “Tabela de Posição e
Velocidade na Colisão”, que auxilia neste procedimento.
A primeira coluna identifica as linhas. As demais colunas
representam as características da partícula num determinado
instante. A partir do instante inicial, selecionamos os instantes
imediatamente após cada colisão. Para determiná-los,
verificamos qual componente do vetor posição leva menor
variação de tempo para atingir um dos limites do bilhar, esta
variação indica o próximo instante a ser colocado na tabela.
TABELA 1 AQUI
Nestes bilhares, cada componente do vetor posição varia de
forma independente, isto é, cada componente segue de forma
linear até um dos limites do bilhar, retorna até o outro limite e
segue até a posição inicial. As componentes do vetor
velocidade e as dimensões do bilhar determinam quanto tempo
cada componente do vetor posição levará para completar um
ciclo. Associamos a cada componente um período (τx e τy). O
período total da trajetória é o menor múltiplo comum, o
MMC, entre o de cada componente (como ponteiros de
relógio).
Como estes períodos podem ser frações, foi induzida (e
provada) a equação (4) para calcular este MMC.
 
a c
ac
,
=
(4)
b d
TC a , c  TC b , d 
2
c
v
4 
n 0x ,d a n v 0y ,d
MMC τ x , τ y  =
TC cn v0x ,d , a n v 0y, d  TC cd v 0x, n , a d v 0y ,n 
MMC
(5)
Analogamente às componentes do vetor posição, cada
componente do vetor velocidade varia de forma independente.
Plotamos o gráfico do comportamento de uma das
componentes do vetor velocidade em função do tempo.
Observamos que é parecido com a função da onda quadrada.
Com alguns ajustes nesta última, modelamos (6) o
comportamento de cada componente do vetor velocidade em
função do tempo.
FIG. 3 AQUI
v x t =
[ 
4v0x ∞ 1
t v
∑ sen k c 0x
 n =0 k
]
onde k = 2n 1
(6)
Em seguida, determinamos a equação (7) para o movimento
de uma partícula em um destes bilhares.
FIG. 4 AQUI
2
∞
x t = −
{
[
]}
4c
1
k
c
∑ cos c tv0x  x0   2
2 n= 0 k 2
onde k = 2n1
(7)
Continuando com a análise, fizemos um mapa conhecimdo
como mapa de Birkhoff-Poincaré, onde cada ponto é uma
colisão de uma das órbitas de um conjunto. Ele tem como
abscissa o módulo do vetor posição e como ordenada o
módulo do vetor velocidade. O padrão na disposição dos
pontos indica um sistema regular.
FIG. 5 AQUI
III.BILHARES TRAPEZOIDAIS: MISTOS
Partindo do bilhar retangular, tentamos inserir caos no
bilhar inclinando em θ uma de suas paredes.
FIG. 6 AQUI
Para θ = 45° encontramos órbitas regulares e mapas
característicos de sistemas regulares. (Os mapas para a
componente na direção do eixo y dos vetores velocidade e
posição apresentam o mesmo padrão de pontos.)
FIG.S 7 e 8 AQUI
Contudo, para θ = 10° observamos órbitas em maioria
caóticas com mapas característicos de sistemas caóticos.
FIG.S 9 e 10 AQUI
No intuito de encontrar um possível intervalo de transição
do regular para o caótico, calculamos órbitas para θ cada vez
mais próximos de 0° e 45°. Em todos os testes, os bilhares
apresentaram características caóticas. Entendemos o bilhar
Trapezoidal, da forma como foi proposto, um sistema misto de
regularidade instável pois qualquer pertubação em θ leva caos
ao sistema.
IV.ALGORITMO PARA BILHAR DE FORMA ARBITRÁRIA
Para analisar bilhares de outras geometrias, foi necessário
desenvolver um novo método para calcular a órbita da
partícula.
Inicialmente, passamos a definir os limites de um bilhar
com um conjunto de funções Bi(x) válidas no intervalo [ai, bi].
Em seguida, para calcular a posição da próxima colisão
calculamos a intersecção entre a reta do movimento da
partícula e Bi(x) mais próxima de sua posição “atual”.
FIG. 11 AQUI
Quando Bi(x) é um polinômio de até 2° grau é possível
determinar a intersecção analiticamente. Nos demais casos
utilizamos um método numérico para encontrar raízes de
funções, o método de Newton-Raphson.
Seja φ o ângulo formado entre dois segmentos de raio, r,
cujas extremidades estão em duas colisões consecutivas. Sua
relação com d é
d = 2 r sen
 2 
(8).
Posicionando o sistema de referência no centro do bilhar,
observamos que a cada colisão o ângulo do vetor posição é
incrementado em φ. Seguindo raciocínio análogo ao usado
para determinar o período nos bilhares quadráticos e
retangulares, podemos perceber que existe um ângulo de
período da órbita Ф tal que
 = MMC 2 ,  (9).
Sabendo que o número de colisões pode ser determinado
por
n colisões =


(10).
E que a cada colisão a partícula percorre uma distância d,
podemos determinar o período da trajetória por
S
n colisões d
X
d
=
=
(11).
∥vi∥
∥vi∥
∥vi∥
Os mapas calculados são característicos de sistemas
regulares. A quantidade de pontos foi temporariamente
reduzida pois algumas adaptações feitas no programa que
calcula os mapas ainda estão sendo testadas.
FIG. 14 AQUI
=
VI.CONCLUSÃO
A partir da análise das órbitas, dos mapas de BirkhoffPoincaré e de algumas equações induzidas, verificamos que os
bilhares Quadráticos, Retangulares e Circulares são regulares.
O bilhar Trapezoidal, da maneira como foi proposto, se
encaixa na classificação de bilhar misto de regularidade
instável.
Com o auxílio do Algoritmo para Bilhares de Formas
Arbitrárias podemos analisar órbitas e mapas em bilhares com
geometrias como o Estadio (Stadium), Trevo (Clover) ou o
Triangulo.
REFERÊNCIAS
[1]
[2]
D. Halliday; R. Resnick; J. Walker. Fundamentos de Física, Vol. 1. 7 ed.
Rio de Janeiro : LTC.
M. A. G. Ruggiero; V. L. R. Lopes. Cálculo Numérico – Aspectos
Teóricos e Computacionais, 2 ed. São Paulo : PEARSON.
Tabela 1. Aplicação do método Tabelas de Posição e Velocidade na Colisão.
V.BILHARES CIRCULARES: REGULARES
Utilizando o método apresentado na seção IV calculamos
algumas órbitas para uma partícula no bilhar circular e, em
alguns casos, encontramos numericamente o período das
órbitas.
FIG. 12 AQUI
Analisando com atenção as órbitas, observamos que existe
uma relação entre as distâncias percorridas pela partícula entre
duas colisões de uma mesma órbita (d0, d1, ...), são sempre as
mesmas (d).
FIG. 13 AQUI
Fig. 1. Trajetória retilínea.
Fig. 2. Exemplo de colisão.
3
Fig. 9. Exemplo de órbita para θ = 10°.
Fig. 3. Componente do vetor velocidade em função do tempo.
Fig. 10. Mapa de Birkhoff-Poincaré para o bilhar Trapezoidal (10°).
Fig. 4. Resultados das equações (6) e (7).
Fig. 11. Definição do bilhar arbitrário.
Fig. 12. Exemplo de órbitas
para o bilhar Circular.
Fig. 5. Mapa de Birkhoff-Poincaré para o Quadrado (acima) e Retângulo
(abaixo).
Fig. 6. Mudança para o
bilhar Trapezoidal.
Fig. 13. Relação entre as distâncias percorridas.
Fig. 7. Exemplo de órbita para θ = 45°.
Fig. 8. Mapa de Birkhoff-Poincaré para o bilhar Trapezoidal (45°).
Fig. 14. Mapa de Birkhoff-Poincaré para o bilhar Circular.