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Capítulo 3
Flexão
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
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Estruturas III
3.1 – Revisão
Flexão provoca uma tensão de tração de um lado da viga e uma tensão
de compressão do outro lado.
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3.2 – A fórmula da flexão
O momento resultante na seção transversal é igual ao momento
produzido pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo
neutro.
 
My
I
σ = tensão normal no membro
M = momento interno
I = momento de inércia
y = distância perpendicular do eixo neutro
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3.3 – Flexão Reta ou Normal
Quando desenvolvemos a fórmula da flexão, impusemos a condição de que a
área da seção transversal fosse simétrica em torno de um eixo perpendicular
ao eixo neutro e também que o momento interno resultante M agisse ao
longo do eixo neutro.
Agora veremos como fica a fórmula da
flexão para uma viga com momento
interno resultante que aja em
qualquer direção.
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3.4 – Flexão Oblíqua
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Estruturas III
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Momento aplicado arbitrariamente
Podemos expressar a tensão normal resultante em qualquer ponto na
seção transversal, em termos gerais, como:
 
Mz y M yz

Iz
Iy
σ = tensão normal no ponto
y, z = coordenadas do ponto medidas em relação a x, y, z
My, Mz = componentes do momento interno resultante direcionados ao
longo dos eixos y e z
Iy, Iz = momentos principais de inércia calculados em torno dos eixos
yez
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Orientação do eixo neutro
O ângulo α do eixo neutro pode ser determinado aplicando σ = 0. Temos:
y MsenIz
M
z
M
I
z
M
y
y
y
z
M
z
z

Mz y
y

y

0

z Mcos Iy
Iz
Iy
MzIy
Iz
Iy
Iz
y tgIz
tg


tg

Iy
z
I
y
IMPORTANTE: utilizar um sistema x, y e z orientado
pela regra da mão direita.
Ângulo 𝜭 – sentido do +z para +y até encontrar o M
Ângulo α – sentido do +z para +y até encontrar LN
ou seja horário positivo, anti-horário negativo.
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Estruturas III
Exemplo 1 A seção transversal retangular mostrada na figura abaixo está sujeita a um
momento fletor M=12kNm. Determine a tensão normal desenvolvida em cada
canto da seção.
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Estruturas III
Vemos que os eixos y e z representam os eixos principais de inércia, uma vez
que são os eixos de simetria para a seção transversal.
O momento decomposto em suas componentes y e z, onde:
4
M y   (12kNm)  9,60kNm
5
3
Mz  (12kNm)  7,20kNm
5
Os momentos de inércia em torno dos eixos y e z são:
1
3
I z   0,2 0,4   1,067  103 m4
12
1
3
I y   0,4  0,2  0,267  103 m4
12
Mz y M y z
 

Iz
Iy
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Tensão de flexão:
 
Mz y M y z

Iz
Iy
3
7,2  103 Nm  0,2m 9,60  10 Nm   0,1  m
B  

3
4
1,067  10 m
0,267  103 m4
 B  2,25 MPa
3
7,2  103 Nm  0,2m 9,60  10 Nm   0,1 m
C  

3 4
1,067  10 m
0,267  103 m4
 C  4,95 MPa
3
7,2  103 Nm  ( 0,2)m 9,60  10 Nm   0,1 m
D  

3 4
1,067  10 m
0,267  103 m4
 D  2,25 MPa
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Estruturas III
3
7,2  103 Nm  ( 0,2)m 9,60  10 Nm   0,1 m
E  

3 4
1,067  10 m
0,267  103 m4
 E  4,95 MPa
Orientação do eixo neutro:
a
localização do z do eixo neutro NA
pode ser determinada por cálculo
proporcional. Ao longo da borda BC,
exige-se:
2,25MPa 4,95MPa

z
(0,2m  z )
0,45  2,25z  4,95z
z  0,0625m
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tg 
Iz
tg
Iy
1,067  103 m4
tg 
tg(-53,1°)
0,267  103 m4
  79,4
306,9
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Exemplo 2 Uma viga em T está sujeita a um momento fletor de 15 kNm. Determine a
tensão normal máxima na viga.
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Ambas as componentes do momento são positivas. Temos
M y  15 cos 30  12,99 kNm
M z  15sen30  7,50 kNm
Para propriedades da seção, temos
z
 z A  0,050,10,04  0,1150,030,2  0,0890 m
0,10,04  0,030,2
A
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Pelo teorema dos eixos paralelos, I  I  Ad 2 , os principais momentos da
inércia são:
1
1
3
3
I z  0,10,04  0,030,2  20,5310 6  m 4
12
12
1
3
2
I y   0,040,1  0,10,040,089  0,05 
12

1
3
2
  0,20,03  0,20,030,115  0,089   13,9210 6  m 4
12

A maior tensão de tração ocorre em B e a maior tensão de compressão ocorre
em C.
M y M z
  z  y
Iz
Iy
7,5  103  0,1  12,99  103  0,041 
B  

6
20,53 10 
13,92  106 
 B  74,8 MPa
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C  
7,5 0,02
20,53 10
6


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12,99  0,089
13,92 10
6

 C  90,3 MPa
  tg60
  
 20,53 10 6
tg  
6
 13,92 10
  68,6
tg  -300 
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Exercício de fixação
1)O momento fletor é aplicado à viga com a seção transversal indicada na
figura. Determine o valor das tensões normais de flexão nos pontos A, B e
D. Respostas:  A  100,1MPa,  B  24,93MPa e  D  100,1MPa
 
Mz y M y z

Iz
Iy
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3.5 – Cargas combinadasFlexão + carga axial
Uma viga de madeira servindo de suporte a um tablado, em uma
estrutura sobre um rio. A viga sofre flexão normal ou reta. Se essa
estrutura suporta o empuxo lateral do terreno, sofre compressão.
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Exemplo de flexão oblíqua composta: mesa de quatro pés.
Analisando um dos pés, vemos que chegam duas traves (vigas) e são
pregadas. Cada trave transporta ao pé da mesa um momento fletor. A
soma dos dois momentos gera um momento fletor oblíquo.
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Estruturas III
Exemplo 3Uma força de 15.000 N é aplicada à borda do elemento. Despreze o peso do
elemento e determine o estado de tensão nos pontos B e C.
Mz  15000  50  750000
y
C
z
B
Para equilíbrio na seção, é preciso haver uma força axial de 15000N agindo
no centroide e um momento fletor de 750.000 N∙mm em torno do eixo z. My
é nulo.
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Para equilíbrio na seção, é preciso haver uma força axial de 15000N agindo
no centroide e um momento fletor de 750.000 N∙mm em torno do eixo z. My
é nulo.
My
P Mz
x   
y
z
A Iz
Iy
15.000N
750.000Nmm

50mm 
1
3
100mm 40mm
 40mm100mm
12
 C  3,75 MPa  11,25 MPa= -15MPa
C 
15.000N
750.000Nmm

( 50mm) 
1
3
100mm 40mm
 40mm100mm
12
 B  3,75 MPa+11,25 MPa= 7,5MPa
B 
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Estruturas III
Elementos de material em B e C estão submetidos as tensões normais:
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Exemplo 4O bloco retangular de peso desprezível está sujeito a uma força vertical de
40 kN aplicada em seu canto. Determine a distribuição da tensão normal
que age sobre uma seção que passa por ABCD.
Mz  Pe y  40kN  0,2m  8kNm
M y  Pez  40kN  0,4m  16kNm
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Estruturas III
Para a distribuição uniforme da tensão normal temos
My
P Mz
z
y
x   
Iy
A Iz
16kNm
8kNm
40kN
0,4m  

m
0,2




3 
3
 0,8m 0,4m  0,8m 0,4m
 0,4m 0,8m
12
12
A  y  0,2m
z=  0,4m
 A  125 kPa+375kPa+375kPa=625kPa
B  y  0,2m
z=  0,4m
 B  125 kPa-375kPa+375kPa=-125kPa
C  y  0,2m
z=+0,4m
 C  125 kPa-375kPa-375kPa=-875kPa
D  y  0,2m
z=+0,4m
  125 kPa+375kPa-375kPa=-125kPa
A 
D
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Estruturas III
Exercício de fixação
2) O bloco está sujeito às duas cargas mostradas abaixo. Calcule as
tensões normais que agem na seção transversal no corte a-a nos pontos A
e B. Respostas:  A  25psi e  B  75psi
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Estruturas III
Exercício de fixação - extra
Uma edificação é composta por três pavimentos, cada um formado por
uma laje de concreto de 4x6m, com 15cm de espessura, suportanto uma
carga uniformemente distribuída de 1,5kN/m2. Cada laje está apoiada em
vigas de contorno com seção de 12x28cm, as quais se apoiam em quatro
pilares de 20x30cm nas extreminades da edificação. Calcule as máximas
tensões normais no pilar.
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3.6- Vigas Compostas
Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são denominadas
vigas compostas.
A fórmula da flexão foi desenvolvida para vigas de material homogêneo.
Entretanto vamos modificar a seção transversal da viga em uma seção
feita de um único material e utilizar a fórmula.
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Estruturas III
Método da seção transformada
Se um momento for aplicado a essa viga, então, como ocorre a um material
homogêneo, a área total da seção transversal permanecerá plana após a
flexão, e por consequência, as deformações normais variarão linearmente
de zero no eixo neutro a máxima no material mais afastado desse eixo.
  E1
  E2
O método consiste em transformar a viga em outra feita de um ÚNICO
material.
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Estruturas III
A altura da viga deve permanecer a mesma para preservar a distribuição
de deformações.
E1
n
E2
E2
n' 
E1
1 + rígido 2 – rígido - Regra: numerador o material que será substituído!
O fator de transformação é uma razão entre os módulos dos diferentes
materiais que compõem a viga.
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Estruturas III
Uma vez determinada a tensão da seção transformada, ela deve ser
multiplicada pelo fator de transformação para obter a tensão na viga
verdadeira.
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Estruturas III
Exemplo 5 Uma viga composta é feita de madeira e reforçada com uma tira de aço
localizada em sua parte inferior. Ela tem a área de seção transversal mostrada
na figura abaixo. Se for submetida a um momento fletor M = 2 kNm, determine
a tensão normal nos pontos B e C. Considere Emad = 12 GPa e Eaço = 200 GPa.
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Estruturas III
Transformaremos a seção em outra feita inteiramente de aço, substituindo a
madeira.
n
E mad 12

 0,06
Eaço 200
baço  nbmad  0,06  150mm   9 mm
A seção transformada é mostrada na figura ao lado.
A localização do centroide (eixo neutro) é
y
 y A  0,010,020,150  0,0950,0090,15  0,03638 m
0,020,15  0,0090,15
A
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Estruturas III
Portanto, o momento de inércia em torno do eixo neutro é
3
2
1
ILN    0,15 0,02   0,15 0,02 0,03638  0,01  
 12

3
2
1
   0,009  0,15   0,009  0,15 0,095  0,03638  
 12

 9,358  106  m4
Aplicando a fórmula da flexão, a tensão normal em B’ e C
é
2 0,17  0,03638 
M
 B'   y 
 28,6 MPa
6
I
9,358  10 
C  
2 0,03638 
9,358  10
6

  C  7,78 MPa
A tensão normal na madeira em B é  B  n B '  0,06  28,56    B  1,71
. MPa
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Exercício de fixação
3) Uma barra constituída de aço e latão tem seção indicada abaixo.
Determinar a máxima tensão no aço e no latão quando a barra fica sujeita
à flexão pura com o momento M=2kNm. Respostas em módulo:
Eaço  200GPa , E lat  100GPa
 aço   250MPa
máx
 lat máx  500MPa
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Exercício de fixação
4) A fim de reforçar a viga de aço, colocou-se entre seus flanges uma
tábua de carvalho como mostra a figura abaixo. Se a tensão normal
admissível do aço é  adm aço  24ksi e da madeira  adm mad  3ksi , qual
momento fletor máximo que a viga pode suportar, com e sem o reforço?O
4
momento de inércia da viga de aço é Iz  20,3in , e sua área da seção
3
3
2
transversal é A  8,79in . Eaço  29  10 ksi , Emad  1,6  10 ksi
Respostas: M=172kip.in
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Exercício de fixação
5) Duas barras de latão são unidas firmemente a duas barras de alumínio,
formando a seção composta mostrada. Usando os dados abaixo, determinar o
maior momento fletor permissível, quando a viga é encurvada em torno de um
eixo horizontal.  adm  lat  160MPa E lat  105GPa  adm alum  100MPa
E alum  70GPa
Respostas: M=3,08kNm
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Vigas de concreto armado
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Exemplo 6 A viga de concreto armado tem a área de seção transversal como mostra a
figura abaixo. Se for submetida a um momento fletor M = 60 kN∙m, determine
a tensão normal em cada uma das hastes de reforço de aço e a tensão normal
máxima no concreto. Considere Eaço = 200 GPa e Econc = 25 GPa.
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A área total de aço é


Aaço  2  12,5  982 mm 2
n
Eaço
Econc
2

A'  nAaço
200 103 
2510
3

8
 
 
200 103
2



982

7
.
856
mm
25 103
Exige-se que o centroide se encontre no eixo neutro.
 yA  0
h'
 7.856  400  h'  0
2
h'2  52,37h' 20.949,33  0  h'  120,9 mm
h'  173,3mm
300  h'
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O momento de inércia da seção transformada, calculado em
torno do eixo neutro, é
2
 300120,93
120,9 
2

Iz  
 300 120,9 
  7.856  400  120,9   
12
2




Iz  788,67  106 mm4
Aplicando a fórmula da flexão à seção transformada, a tensão normal
máxima no concreto é
 conc máx
60  106 Nmm  120,9mm
Mz y


Iz
788,67  106 mm4
 conc máx  9,20 MPa
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 'conc  
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60  106 Nmm    400  120,9 mm
788,67  10 mm
6
4
 21,23 MPa
A tensão normal em cada uma das duas hastes é, portanto,
 aço  n 'conc  8  21,23
 aço  169,84 MPa
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Exercício de fixação
6) Uma laje de concreto tem barras de aço de 16mm de diâmetro a cada
150mm, colocadas a 20mm acima da face inferior da laje. Os módulos de
elasticidade são 21GPa para o concreto e de 210GPa para o aço. Sabendose que um momento fletor de 4kNm está aplicado à cada 30cm de largura
da laje, determinar: (a) a máxima tensão no concreto; (b) a tensão no aço.
Respostas: (a) conc  máx  7,7MPa
(b) aço  114,8MPa
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Exercício de fixação
7) A viga de concreto armado está reforçada por duas barras de aço. Se o
esforço de tração admissível para o aço for  adm aço  40ksi
e o esforço
de compressão admissível para o concreto  adm conc  3ksi , qual momento
máximo M poderá ser aplicado à seção? Supor que o concreto não suporta
3
3
esforço de tração. Eaço  29  10 ksi , Econc  3,8  10 ksi
Resposta: M=1168,8kip.in