223
4.10 – EXERCÍCIOS – pg. 132
Nos exercícios 1 a 5 calcular as derivadas laterais nos pontos onde a função não é
derivável. Esboçar o gráfico.
1.
f ( x) = 2 | x − 3 | .
Temos:
 2 x − 6, x ≥ 3

− 2 x + 6, x < 3
f ′ (3+ ) = lim+
∆x → 0
2 (3 + ∆x) − 6 − 2 . 3 + 6
=2
∆x
− 2 (3 + ∆x) − 6 + 2 . 3 − 6
= − 2.
∆x
Segue o gráfico da função
f ′ (3− ) = lim−
∆x → 0
f(x)
4
3
2
1
x
-2
2.
-1
1
, se x < 1
x
f ( x) = 
.
2 x − 1, se x ≥ 1
f ′ (1+ ) = lim+
2 (1 + ∆x) − 1 − 2 .1 + 1
= 2.
∆x
f ′ (1− ) = lim−
(1 + ∆x) − 1
= 1.
∆x
∆x →0
∆x → 0
Segue o gráfico da função
2
3
4
5
224
f(x)
4
3
2
1
x
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
3.
f ( x) =| 2 x + 4 | +3.
Temos a função reescrita:
 2 x + 4 + 3 = 2 x + 7 se x ≥ −2
f ( x) = 
− 2 x − 4 + 3 = −2 x − 1 se x < −2
f ′ (−2 + ) = lim+
2 (−2 + ∆x) + 7 − 2 . (−2) − 7
= 2.
∆x
f ′ (−2 − ) = lim−
− 2 (−2 + ∆x) − 1 + 2 .(−2) + 1
= − 2.
∆x
∆x → 0
∆x → 0
Segue o gráfico da função
f(x)
5
4
3
2
1
x
-3
-2
-1
1
225
4.
1 − x 2 , | x | > 1
f ( x) = 
.
, | x | ≤1
0
f ′ (−1+ ) = lim+
∆x → 0
0−0
= 0.
∆x
− 1 − (−1 + ∆x) 2 − 1 + (−1) 2
= 2.
∆x → 0
∆x
1 − (1 + ∆x) 2 − 1 + 12
= − 2.
f ′ (1+ ) = lim+
∆x → 0
∆x
0
f ′ (1− ) = lim−
= 0.
∆x → 0 ∆x
Segue o gráfico da função
f ′ (−1− ) = lim−
(
)
f(x)
1
x
-2
-1
1
-1
-2
-3
5.
 2 − x 2 , x < −2

f ( x ) = − 2
| x | ≤ 2.
2 x − 6, x > 2

−2+2
= 0.
∆x
2 − (−2 + ∆x) 2 − 2 + (−2) 2
−
′
f (−2 ) = lim−
=4
∆x → 0
∆x
2 (2 + ∆x) 2 − 6 − 2 x + 6
f ′ (2+ ) = lim+
=2
∆x → 0
∆x
f ′ (−2 + ) = lim+
∆x → 0
2
226
2−2
= 0.
∆x → 0
∆x
Segue o gráfico da função
f ′ (1− ) = lim−
f(x)
1
x
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
6.
 x 2 − 1, se
Seja f ( x) = 
2
1 − x , se
a)
Esboçar o gráfico de f .
x ≤1
.
x >1
f(x)
1
x
-2
-1
1
-1
-2
-3
b)
Verificar se f é contínua nos pontos -1 e 1.
Temos,
2
227
lim f ( x) = lim+ (1 − x 2 ) = 0 = f (1)
x →1+
x →1
lim f ( x) = lim− ( x 2 − 1) = 0 = f (1)
x →1−
x →1
Logo, f é contínua em x=1. Analogamente, f é contínua em x=-1.
c)
Calcular f ′(−1− ), f ′(1+ ), f ′(1− ) e f ′(1+ ).
(−1 + ∆x) 2 − 1 − (−1) 2 + 1
= − 2.
∆x → 0
∆x
1 − (−1 + ∆x) 2 − 1 + (−1) 2
−
′
f (−1) = lim
= 2.
∆x → 0
∆x
1 − (1 + ∆x) 2 − 1 + 12
f ′ (1+ ) = lim
= −2.
∆x → 0
∆x
(1 + ∆x) 2 − 1 − 12 + 1
= 2.
f ′ (1− ) = lim
∆x → 0
∆x
f ′ (−1+ ) = lim
(
)
(
d)
)
Calcular f ′(x), obter o seu domínio e esboçar o gráfico.
 2 x se | x |< 1.
f ′( x) = 
− 2 x se | x |> 1.
Segue o gráfico:
D = R − {− 1,1}
f ' (x)
5
4
3
2
1
x
-2
-1
1
2
-1
-2
-3
7.
Encontrar as derivadas laterais, das seguintes funções, nos pontos indicados.
Encontrar os intervalos onde f ′( x) > 0 e f ′( x) < 0.
228
(a)
f (x)
1
x
-2
-1
1
-1
 x, x ≤ 1
Temos f ( x) = 
1, x > 1
f ′(1+ ) = lim+
1−1
=0
∆x
f ′(1− ) = lim−
1 + ∆x − 1
=1
∆x
∆x →0
∆x → 0
1, x < 1
f ′( x) = 
0, x > 1
Portanto f ′( x) é > 0 em (−∞,1)
(b)
2
3
229
f (x)
2
1
x
1
2
 2 x − 4, x ≥ 2
Temos f ( x) = 
− 2 x + 4, x ≤ 2
f ′(2 + ) = lim+
2(2 + ∆x) − 4 − 2.2 + 4
=2
∆x
f ′(2 − ) = lim−
− 2(2 + ∆x) + 4 + 2.2 − 4
= −2
∆x
∆x →0
∆x →0
 2, se x > 2 ⇒
f ′( x) = 
− 2, se x < 2 ⇒
(c)
f ′( x) > 0, em (2, ∞)
f ′( x) < 0, em (−∞,2)
3
230
f (x)
3
2
1
x
-1
1
− 3 x + 6, x ≥ 1
Temos f ( x) = 
 3 x, x ≤ 1
f ′(1+ ) = lim+
− 3(1 + ∆x) + 6 + 3.1 − 6
= −3
∆x
f ′(1− ) = lim−
3(1 + ∆x) − 3.1
=3
∆x
∆x → 0
∆x → 0
 3, se x < 1 ⇒ f ′( x) > 0, em (−∞,1)
f ′( x) = 
− 3, se x > 1 ⇒ f ′( x) < 0, em (1, ∞)
2
3