MATEMÁTICA – ÁLGEBRA
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Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada é o valor numérico a ela
associado, resultado de operações aritméticas elementares com todos os seus
elementos.
 Determinante de uma matriz de ordem 2:
Diagonal principal menos diagonal secundária
 Determinante de uma matriz de ordem 3:
 Determinante de uma matriz de ordem n: realiza-se operações através do cofator
e do menor complementar. Elimina-se a linha e a coluna indicada (EX: linha 1 e coluna
1, linha 2 e coluna 3, etc...), então, calcula-se o determinante dos restantes (menor
complementar) e faz a operação:
Teorema de La Place: o determinante de ordem n≥ 2 equivale à soma dos produtos
de todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.
 Propriedade dos determinantes:
•Anulamento:
1) Se em uma matriz quadrada de ordem n uma fila é nula, então o seu determinante
será 0;
2)Se em uma matriz quadrada de ordem n duas filas paralelas são iguais, então seu
determinante será 0;
3) Se em uma matriz quadrada de ordem n duas filas paralelas são proporcionais,
então o seu determinante será igual a zero;
•Troca de filas paralelas: quando o número de trocas for ímpar, o determinante fica
multiplicado por -1. Já quando for par, o valor do determinante não altera.
•Multiplicação de uma fila por um nº real: se em uma matriz quadrada de ordem n
multiplicarmos uma fila por uma constante, então o seu determinante ficará
multiplicado por essa constante.
•Determinante da transposta: tem o mesmo valor do determinante da matriz.
•Determinante de uma matriz triangular: o determinante será a matriz diagonal
pois todos os outros produtos terão pelo menos um fator igual a zero.
•Teorema de Binet: “O produto dos determinantes de duas matrizes equivale ao
determinante de um produto dessas.”
det (A.B)= detA.detB
•Teorema de Jacobi: “O determinante não se altera ao multiplicar uma fila inteira
por um número real” e isso ocorre porque todas as parcelas que determinarão o valor
do determinante também serão multiplicadas por esse número real.
OBS: coluna adicionada a primeira
foi a multiplicação da segunda por dois.
 Cálculo da matriz inversa pela matriz adjunta:
“O determinante da inversa de uma matriz é igual ao inverso do determinante dessa
matriz.”
OBS: a matriz adjunta é equivalente à transposta da matriz
dos cofatores.
O primeiro passo para resolução de exercícios é calcular o determinante de M, depois
descobrir o valor dos cofatores de M e, por fim calcular a adjunta de M que equivale à
transposta da matriz dos cofatores.