Prof.: Joaquim Rodrigues
IGUALDADES EM IR
Uma relação muito importante definida em IR (conjunto dos números reais) é a relação
de igualdade. Na igualdade A = B , A é o primeiro membro e B é o segundo membro.
As igualdades entre duas expressões algébricas podem se de dois tipos:
1. Identidades: são igualdades que se verificam quaisquer que sejam os valores atribuídos às variáveis.
2. Equações: são igualdades condicionais que se verificam apenas para determinado(s)
valor(es) atribuído(s) às variáveis.
IDENTIDADES NOTÁVEIS
As igualdades entre expressões algébricas que independem das variáveis são
chamadas de identidades. Dada a frequência com que são usadas, algumas identidades
são ditas notáveis.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Quadrado da soma: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Quadrado da diferença: (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Produto da soma pela diferença: (a + b)(a − b) = a 2 − b 2
Cubo de uma soma: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Cubo de uma diferença: (a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
Soma de dois cubos: a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
7. Diferença de dois cubos: a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
Fatorar um polinômio é escrevê-lo na forma de um produto , cujos fatores devem ser os
mais simples possível.
Casos de fatoração:
1. Fator evidência
2. Fatoração por agrupamento
3. Diferença de dois quadrados
4. Quadrado da soma ou da diferença
5. Trinômio quadrado perfeito
Questão 01
Desenvolva:
a) (3 x + 2 y ) 2
Resolução
Temos um quadrado da soma de dois termos
(3 x + 2 y ) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 2 y + (2 y ) 2 = 9 x 2 + 12 xy + 4 y 2
b) (a − 3b) 2
Resolução
Agora, temos um quadrado da diferença de dois termos
(a − 3b) 2 = (a ) 2 − 2 ⋅ a ⋅ 3b + (3b) 2 = a 2 − 6ab + 9b 2
1
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c) (3b + 2)(3b − 2)
Resolução
Agora, temos um produto da soma pela diferença de dois termos
(3b + 2)(3b − 2) = (3b) 2 − 2 2 = 9b 2 − 4
d) (3a − 2b)(9a 2 + 6ab + 4b 2 )
Resolução
Diferença de dois cubos
(3a − 2b)(9a 2 + 6ab + 4b 2 ) = (3a ) 3 − (2b) 3 = 9a 3 − 8b 3
e) (m + 5 y )(m 2 − 5my + 25 y 2 )
Resolução
Soma de dois cubos
(m + 5 y )(m 2 − 5my + 25 y 2 ) = (m) 3 + (5 y ) 3 = m 3 + 125 y 3
f) (2 + 3b) 3
Resolução
Cubo da soma
(2 + 3b) 3 = (2) 3 + 3 ⋅ (2) 2 ⋅ (3b) + 3 ⋅ (2) ⋅ (3b) 2 + (3b) 3
(2 + 3b) 3 = 8 + 3 ⋅ 4 ⋅ 3b + 3 ⋅ 2 ⋅ 9b 2 + 27b 3 = 8 + 36b + 54b 2 + 27b 3
g) (5 − 2 y 2 ) 3
Resolução
Cubo da diferença
(5 − 2 y 2 ) 3 = (5) 3 − 3 ⋅ (5) 2 ⋅ (2 y 2 ) + 3 ⋅ (5) ⋅ (2 y 2 ) 2 − (2 y 2 ) 3
(5 − 2 y 2 ) 3 = 125 − 3 ⋅ 25 ⋅ 2 y 2 + 3 ⋅ 5 ⋅ 4 y 4 − 8 y 6 = 125 − 150 y 2 + 60 y 4 − 8 y 6
Questão 02
Fatore as expressões:
a) 15 x 2 y + 20 x 3 y 2 − 5 x 2 yz
Resolução
Colocamos x, y e 5 em evidência
15 x 2 y + 20 x 3 y 2 − 5 x 2 yz = 5 xy (3 x + 4 x 2 y − xz )
b) a 3 x 2 y + a 2 xy 3
Resolução
Colocamos a 2 , x e y em evidência
a 3 x 2 y + a 2 xy 3 = a 2 xy (ax + y 2 )
2
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c) 5 x − 15 + xy − 3 y
Resolução
Fatoramos por agrupamento
5 x − 15 + xy − 3 y = 5( x − 3) + y ( x − 3) = ( x − 3)(5 + y )
d) 6 x 3 − 3 x 2 + 9 x − 4 x 2 y + 2 xy − 6 y
Resolução
Fatoramos mais uma vez por agrupamento, só que agora, agrupamos de 3 em 3
6 x 3 − 3 x 2 + 9 x − 4 x 2 y + 2 xy − 6 y = 3 x(2 x 2 − x + 3) − 2 y (2 x 2 − x + 3) e agora colocamos 2 x 2 − x + 3 em evidência;
6 x 3 − 3 x 2 + 9 x − 4 x 2 y + 2 xy − 6 y = (2 x 2 − x + 3)(3 x − 2 y )
e) 9 − 4 x 2
Resolução
Diferença de dois quadrados
9 − 4 x 2 = 32 − (2 x) 2 = (3 − 2 x)(3 + 2 x)
f)
25 2 n
a − 16b 6
81
Resolução
Diferença de dois quadrados
2
25 2 n
5 
5
 5

a − 16b 6 =  a n  − (4b) 2 =  a n − 4b  a n + 4b 
81
9 
9
 9

g) x 2 + 6 xy + 9 y 2
Resolução
Trinômio quadrado perfeito
x 2 + 6 xy + 9 y 2 = ( x + 3 y ) 2
h) 4m 2 − 12mn 3 + 9n 6
Resolução
Trinômio quadrado perfeito
4m 2 − 12mn 3 + 9n 6 = (2m − 3n) 2
i) 9a 2 + 12ab + 4b 2 − 16n 2
Resolução
Note que nesse caso, temos uma mistura de duas fatorações. Primeiro, um trinômio
quadrado perfeito e depois uma diferença de dois quadrados.
9a 2 + 12ab + 4b 2 − 16n 2 = (9a 2 + 12ab + 4b 2 ) − 16n 2 = (3a + 2b) 2 − 16n 2
9a 2 + 12ab + 4b 2 − 16n 2 = [(3a + 2b) − 4n][(3a + 2b) + 2n ]
9a 2 + 12ab + 4b 2 − 16n 2 = (3a + 2b − 4n)(3a + 2b + 4n)
3
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EQUAÇÕES
Sentença é um conjunto de palavras que tem sentido completo.
Por exemplo: “ Eu estudo para passar no concurso”
Quando uma sentença envolve números, ela é chamada de sentença matemática.
Por exemplo: “ 3 + 2 = 5”
As sentenças matemáticas podem ser abertas ou fechadas.
Sentença matemática fechada: são aquelas que apresentam valores desconhecidos,
podendo ser verdadeiras ou falsas.
Por exemplo:
a) 4 = 7
b) 15 − 7 = 5
Sentença matemática aberta: são aquelas que apresentam valores desconhecidos e,
por isso, não podemos dizer se são verdadeiras ou falsas.
Por exemplo:
a) x − 7 = 13
b) 2 x + 3 y = 14
EQUAÇÃO é, portanto, uma sentença matemática aberta expressa por uma igualdade.
Variável ou incógnita é um símbolo que está ocupando o lugar de um elemento desconhecido em uma expressão ou equação.
PROPRIEDADES DAS EQUAÇÕES
1. Princípio aditivo: quando adicionamos ou subtraímos o mesmo número aos dois
membros de uma equação, obtemos outra equação equivalente à anterior, ou seja: se
a = b , então a + k = b + k . Esta propriedade permite:
i. cancelar um termo comum aos dois membros de uma equação.
5 x 2 − 7 = 10 − 7 ⇔ 5 x 2 = 10
ii. transpor um termo de um membro para outro, trocando seu sinal.
6x − 4 = 2 ⇔ 6x = 2 + 4
NOTA:
Por que princípio aditivo quando estamos subtraindo?
Porque matematicamente subtrair é o mesmo que somar o oposto.
x+3 = 5 ∴ x +3−3 = 5−3
E como a soma de dois números opostos é igual a zero, que é o elemento neutro da
adição, temos que: x + 0 = 5 − 3 ∴ x = 2
2. Princípio multiplicativo: quando multiplicamos ou dividimos ambos os membros
de uma equação por um mesmo número, diferente de zero, encontramos uma nova
equação, equivalente à anterior, ou seja: se a = b , então a ⋅ k = b ⋅ k (k ≠ 0) .
Esta propriedade permite:
i. cancelar um fator não nulo comum aos dois membros de uma equação.
ax 2 = a ( x + 2) ⇔ x 2 = x + 2 , para a ≠ 0
ii. transpor um fator não nulo de um membro para o denominador do outro membro
6
3x = 6 ⇔ x =
3
4
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iii. eliminar os denominadores de uma equação, multiplicando ambos os membros
pelo mmc dos denominadores.
2x
x +1
x +1
 2x

−2=
⇔ 6 ⋅  − 2 = 6 ⋅
3
2
2
 3

NOTA:
Por que princípio multiplicativo quando estamos dividindo?
Porque matematicamente dividir é o mesmo que multiplicar pelo inverso.
1
1
3x = 6 ⇔ 3x ⋅ = 6 ⋅
3
3
E como o produto de um número pelo seu inverso é igual a 1, que é o elemento neu6
tro da multiplicação, temos que:: x ⋅ 1 =
∴ x=2
3
CONCLUSÃO: Você percebeu que resolver uma equação significa isolar a incógnita, por que quando ela fica sozinha de um dos lados da igualdade e do outro conseguimos um único valor, neste momento encontramos o valor da incógnita daquela
situação.
EQUAÇÃO DE 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL
Chamamos de equação de 1º grau com uma variável, a toda equação que após
efetuadas todas as simplificações possíveis, se reduz à forma: ax + b = 0 . Resolver essa
equação é encontrar sua raiz, ou seja, o valor de x que a satisfaz.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE 1º GRAU
Sistema de equações é um conjunto de duas ou mais equações que são satisfeitas
para os mesmos valores das incógnitas, isto é, que admitem pelo menos uma solução
comum.
PROBLEMAS DE 1º GRAU
São problemas que podem ser resolvidos com equações ou ainda com sistemas
de equações de 1º grau. Para resolver problemas de 1º grau, devemos seguir os seguintes passos:
1. traduzir o problema do português para o “matematiquês”
2. resolver a equação (ou o sistema)
3. verificar se as raízes são compatíveis com o problema
5
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Exemplos:
1. Resolver as equações:
5x − 1
3
= 4x −
a) x −
3
5
Resolução
Devemos tirar o mmc entre 1, 3, 1 e 5 que nesse caso é 15
Multiplicamos os dois lados da igualdade pelo mmc que é 15, assim:
5x − 1 
3
3


 5x − 1 
15 ⋅  x −
 = 15 ⋅  4 x −  ∴ 15 x − 15 ⋅ 
 = 60 x − 15 ⋅
3 
5
5


 3 
15 x − 5 ⋅ (5 x − 1) = 60 x − 3 ⋅ 3 ∴ 15 x − 25 x + 5 = 60 x − 9
− 10 x + 5 = 60 x − 9 ∴ − 10 x − 60 x = −9 − 5 ∴ − 70 x = −14 (−1) multiplicamos
ambos os membros por (−1) e temos:
14
1
70 x = 14 ∴ x =
, que simplificando dá: x =
70
5
b)
c)
x−a x−b
+
= 2 (ab ≠ 0 e a ≠ b)
b
a
Resolução
Tiramos o mmc entre b, a e 1 e temos ab. Multiplicamos os dois membros por ab.
 x−a x−b
ab ⋅ 
+
 = 2ab ∴ a ( x − a ) + b( x − b) = 2ab
a 
 b
ax − a 2 + bx − b 2 = 2ab ∴ ax + bx = a 2 + 2ab + b 2 , note que a expressão do segundo membro é um produto notável a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 , e colocando x em
evidência no primeiro membro, temos:
(a + b) 2
ax + bx = a 2 + 2ab + b 2 ∴ x(a + b) = (a + b) 2 ∴ x =
∴ x = a+b
a+b
2
1
3
−
= 2
( x ≠ ±1)
x +1 x −1 x −1
Resolução
Tiramos o mmc( x + 1, x − 1 e x 2 − 1 ) que nesse caso é o próprio x 2 − 1 , pois
x 2 − 1 = ( x + 1)( x − 1)
Vamos dividir o mmc pelo denominador da primeira fração e multiplicar pelo numerador, em cada um dos membros, assim:
x 2 − 1 = ( x + 1)( x − 1) dividimos por x + 1 , encontramos x − 1 e multiplicamos por 2
x 2 − 1 = ( x + 1)( x − 1) dividimos por x − 1 , encontramos x + 1 e multiplicamos por 1
x 2 − 1 = ( x + 1)( x − 1) dividimos por x 2 − 1 , encontramos 1 e multiplicamos por 3
Agora, temos o seguinte resultado, após as operações:
2 ⋅ ( x − 1) − 1 ⋅ ( x + 1) = 1 ⋅ 3 (aqui cancelamos os denominadores, que é o mmc, dos
dois lados da igualdade)
2x − 2 − x − 1 = 3 ∴ x − 3 = 3 ∴ x = 6
6
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d) (3 x − 1)(2 x + 1)( x − 3) = 0
Resolução
Nesse caso, temos um produto que é igual a zero, e daí temos que, se um produto é
igual a zero, então os seus fatores também serão nulos.
1
3x − 1 = 0 ∴ 3x = 1 ∴ x =
3
1
2 x + 1 = 0 ∴ 2 x = −1 ∴ x = −
2
x−3= 0 ∴ x = 3
1 1
E então, temos três soluções para a equação que são: − , e 3
2 3
2. Resolver os sistemas:
5 x + y = 16
a) 
2 x − 3 y = 3
Resolução
Podemos usar o método da substituição, e isolamos a variável y na primeira equação
y = 16 − 5 x , agora, substituímos essa variável na segunda equação, assim
2 x − 3 y = 3 ∴ 2 x − 3(16 − 5 x) = 3 ∴ 2 x − 48 + 15 x = 3
17 x = 3 + 48 ∴ 17 x = 51 ∴ x = 3 encontrado o valor de x, é só substituir em y
y = 16 − 5 x ∴ y = 16 − 5 ⋅ 3 = 16 − 15 ∴ y = 1
S : (3 , 1)
2 x + 3 y = 8
b) 
5 x − 2 y = 1
Resolução
Agora, vamos usar o método da adição
 2 x + 3 y = 8 ( 2)
4 x + 6 y = 16
∴ 
somando membro a membro, temos:

5 x − 2 y = 1 (3)
15 x − 6 y = 3
19 x = 19 ∴ x = 1
Substituindo o valor de x em alguma das equações, temos:
2x + 3 y = 8 ∴ 2 ⋅1 + 3 y = 8 ∴ 2 + 3 y = 8
3y = 6 ∴ y = 2
S : (1, 2)
3. Se a um número somarmos o seu dobro e subtrairmos a sua terça parte, encontramos
16. Qual é esse número?
Resolução
x
x
x + 2 x − = 16 ∴ 3 x − = 16 ∴ 9 x − x = 48 ∴ 8 x = 48 ∴ x = 6
3
3
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4. A soma de quatro números naturais e consecutivos é 34. Calcule o menor desses
números.
Resolução
x , x + 1, x + 2, x + 3
x + x + 1 + x + 2 + x + 3 = 34 ∴ 4 x + 6 = 34 ∴ 4 x = 28 ∴ x = 7
Assim, os números são: 7, 8, 9, 10 e o menor deles é 7
5. Numa escola, o número de alunos é 300. Se o número de rapazes é
2
do número de
3
moças, calcule o número de moças.
Resolução
2
M + R = 300 e R = M e temos o sistema
3
M + R = 300

que já está no ponto de
2

R
=
M

3
substituir, logo:
2
M = 300 ∴ 3M + 2 M = 900
3
5M = 900 ∴ M = 180
M + R = 300 ∴ M +
6. A soma do dinheiro de Pedro e Manoel é R$ 300,00. Tendo Pedro gasto
1
do que
3
1
do que possuía, a soma do dinheiro deles passou a ser agora de
4
R$ 210,00. Quanto possuía cada um?
Resolução
 x + y = 300
 x + y = 300

∴ 
3
2
8 x + 9 y = 2.520
 3 x + 4 y = 210
 x + y = 300 (−8)
− 8 x − 8 y = −2.400
∴ 

8 x + 9 y = 2.520
 8 x + 9 y = 2.520
possuía e Manoel
y = 120
x + y = 300 ∴ x + 120 = 300 ∴ x = 180
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EQUAÇÃO DO 2º GRAU
É toda equação da forma ax 2 + bx + c = 0 . As equações do 2º grau podem ser completas
ou incompletas.
Por exemplo:
Resolver as equações:
a) 5 x 2 = 0
Resolução
Note que essa equação do 2º grau, falta o termo b e c
Ela pode ser resolvida facilmente assim:
5 x 2 = 0 ∴ x 2 = 0 ∴ x = ± 0 ∴ x = ±0 ∴ x = 0
Assim, quando a equação do 2º grau for incompleta e faltar os termos b e c, então
ela terá uma única raiz que é {0}
b) 3 x 2 − 6 x = 0
Resolução
Nesse caso, falta o termo c. Podemos resolver essa equação, colocando alguns termos em evidência.
3 x 2 − 6 x = 0 ∴ 3 x ( x − 2) = 0
3 x = 0 ∴ x ′ = 0 e x − 2 = 0 ∴ x ′′ = 2
Note que quando faltar o termo c, numa equação do 2º grau, uma das raízes sempre
será igual a 0.
c) 4 x 2 − 36 = 0
Resolução
Agora, falta o termo b.
4 x 2 − 36 = 0 ∴ 4 x 2 = 36 ∴ x 2 = 9 ∴ x = ±3
Veja que quando faltar o termo b e o termo c for negativo (c < 0), numa equação de
2º grau, as raízes sempre serão simétricas.
EQUAÇÃO COMPLETA
Quando a equação de 2º grau, for completa, isto é, da forma ax 2 + bx + c = 0 , com todos os termos diferentes de zero, então podemos usar a fórmula de Bháskara:
−b± ∆
x=
, onde ∆ = b 2 − 4ac é o discriminante, isto é, ele é responsável pelo nú2a
mero de raízes da equação:
• Se ∆ > 0 , então teremos duas raízes reais e diferentes;
• Se ∆ = 0 , então teremos duas raízes reais e iguais ou uma única raiz real;
• Se ∆ < 0 , então não teremos nenhuma raiz real.
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Exemplos:
Resolver as equações:
a) 3 x 2 − 5 x + 2 = 0
Resolução
∆ = (−5) 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 25 − 24 = 1 , como ∆ > 0 , então teremos duas raízes reais
Aplicamos a fórmula de Bháskara
− (−5) ± 1 5 ± 1
5 −1 4 2
5 +1 6
=
∴ x′ =
= =
= =1
x=
e x ′′ =
2⋅3
6
6
6 3
6
6
b) 4 x 2 + 12 x + 9 = 0
Resolução
∆ = 12 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ 9 = 144 − 144 = 0 , como ∆ = 0 , então teremos apenas uma raiz real
− 12 ± 0 − 12 ± 0 − 12
3
x=
=
=
∴ x ′ = x ′′ = −
2⋅4
8
8
2
c) − 3 x 2 + 5 x − 8 = 0
Resolução
∆ = 5 2 − 4 ⋅ (−3) ⋅ (−8) = 25 − 96 = −71 , como ∆ < 0 , então não temos raiz real
RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES
SOMA DAS RAÍZES: S = x ′ + x ′′ = −
b
a
PRODUTO DAS RAÍZES: P = x ′ ⋅ x ′′ =
c
a
Observe que dada uma equação do segundo grau da forma ax 2 + bx + c = 0 , podemos
dividir ambos os membros por “a” , assim:
ax 2 bx c 0
b
c
ax 2 + bx + c = 0 (÷a ) ∴
+
+ =
∴ x2 + x + = 0
a
a a a
a
a
c
 b
Agora, perceba que podemos fazer x 2 −  −  x + = 0 assim x 2 − Sx + P = 0 .
a
 a
Temos ainda que a forma fatorada da equação do segundo grau é:
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x 2 )
EQUAÇÕES TRINÔMIAS
São equações da forma ax 2 n + bx n + c = 0 que são resolvidas fazendo x n = y
EQUAÇÕES IRRACIONAIS
São aquelas que apresentam incógnita sob o radical.
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EXERCÍCIOS
Questão 01
1 
Sendo y ∈ IR − {0} e x ∈ IR −   , a simplificação completa da expressão real
 y
x
é:
−1

1
( xy − 1) x − 
y

x
y
a) 1
b)
c)
d) −1
y
x
Questão 02
Sobre o número m = ( 7 + 13 ) 2 ⋅ (10 − 91 ) + 3 27 foram feitas quatro afirmativas:
1. m é um número primo;
2. m é um número racional;
3. m é múltiplo de 42;
4. m é número natural.
O número de afirmativas FALSAS é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Questão 03
Considere os números a = 2 + 3 e b = 4 − 24 . O valor de a 2 + b é:
a) 1
b) 4
c) 5
d) 7
e) 9
Questão 04
Simplificando a expressão algébrica
a)
x2 − 4
x
b)
x2 + 4
x
x 4 − 16
, encontramos:
x3 − 4x
x2 − 4
c)
x2
d)
x2 + 4
x2
Questão 05
Seja y = n
4
a) 2 −2
n+2
20
com n ∈ IN*. Simplificando-se a expressão, encontra-se:
2n +2
+2
c) 2
−
3
2
c) 2
−
2
3
d) 2
Questão 06
Para que valor de x, verifica-se a igualdade
a) −1
c) −2
−
1
2
e) 2
x x +1 x −1
=
+
?
2
3
4
c) −3
−
1
3
d) −4
Questão 07
(a + 3) x + y = 5
O sistema linear, nas variáveis x e y 
, admite como solução o par
 x + ( a − 2) y = 2 a − 3
(x, y) com y = 2. Então, o valor de a é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) indeterminado
11
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Questão 08
2 x + α y = β
Considere o seguinte sistema de equações em x e y 
. Se
α x − 5 y = 2 − 2 β
( x, y ) = (1, − 5) é solução do sistema, então a soma 11α + 2 β é igual a:
a) 0
b) 6
c) 7
d) 1
Questão 09
A soma de dois números inteiros e positivos é 104. Sabendo que a diferença entre o
maior e o dobro do menor é 53, então:
a) o maior é 78
b) o menor é 23
c) o maior é 87
d) o menor é 32
Questão 10
Considere a seqüência de operações aritméticas na qual cada uma atua sobre o resultado
3
anterior: “ Comece com um número x. Subtraia 2, multiplique por , some 1, multipli5
que por 2, subtraia 1 e finalmente multiplique por 3 para obter o número 21”.
O número x pertence ao conjunto:
a) {−3, −2, −1, 0}
b) {−7, −6, −5, −4}
c) {5, 6, 7, 8}
d) 1, 2, 3, 4}
Questão 11
Dois estudantes, A e B, receberam bolsas de Iniciação Científica de mesmo valor. No
4
final do mês, o estudante A havia gasto
do total de sua Bolsa, o estudante B havia
5
5
gasto
do total de sua Bolsa sendo que o estudante A ficou com R$ 8,00 a mais que o
6
estudante B. A soma dos algarismos do valor da Bolsa é:
a) 2
b) 4
c) 5
d) 6
Questão 12
Em um estacionamento para veículos, paga-se por hora ou fração de hora de acordo
com a tabela:
1ª hora
2ª hora
3ª hora
4ª hora
5ª hora
R$ 2,00
R$ 1,90
R$ 1,80
R$ 1,70
R$ 1,60
A partir da 6ª hora, cobra-se R$ 1,20 por hora ou fração. Após p horas, um motorista
retira o seu carro e deve pagar R$ 19,80. O valor de p em horas, é:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
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Prof.: Joaquim Rodrigues
Questão 13
Suponha que a temperatura T do ar exalado através das narinas varie com a temperatura
ambiente A, obedecendo à seguinte lei: T = b + mA . Se T = 13 quando A = 5 e T = 17
quando A = 10, então o valor de A para T = 20,2 é:
a) 11
b) 12
c) 14
d) 15
Questão 14
A diferença entre o número positivo p e o seu inverso é 1. O valor de p é:
1+ 2
a)
2
1+ 3
b)
2
1+ 5
c)
2
1+ 7
d)
2
1 + 10
e)
2
Questão 15
Sabe-se que a e b são as raízes da equação
a)
b)
c)
d)
e)
a+b < 0
ab > 0
a 2b > 0
ab = 0
ab < 0
Questão 16
Sabe-se que a e b são as raízes da equação
a)
b)
c)
d)
e)
a+b < 0
ab > 0
a 2b > 0
ab = 0
ab < 0
x
3x + 1
2
=
−
. É correto afirmar que
x−2
x −1 x − 2
2x + 1
2
− 2
= 1 . É correto afirmar que:
x−3 x −9
Questão 17
A soma de todas as raízes de f ( x) = (2 x 2 + 4 x − 30)(3 x − 1) é:
5
3
3
a)
b)
c) −
3
5
5
d) −
5
3
Questão 18
As raízes x1 e x 2 da equação x 2 − 3ax + a 2 = 0 são tais que x12 + x 22 = 1, 75 . Então o
valor de a 2 é igual a:
a) 0,5
b) 0,35
c) 0,25
d) 0,45
e) 0,75
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Prof.: Joaquim Rodrigues
Questão 19
Compondo a equação do 2º grau, cujas raízes são 1 + 2 e 1 − 2 , encontramos:
b) x 2 − x − 1
c) x 2 − 2 x − 1
d) x 2 − 2 x + 1
a) x 2 − x + 1
Questão 20
Para x ≠ 1 e x ≠ −2 , a expressão
a)
1
x + 2x + 1
2
b)
x−2
( x + 1) 2
1
3x − 3
2x + 4
+ 2
− 2
é equivalente a:
x + 2 x + 1 x − 1 x + 3x + 2
x
x−2
c)
d)
2
( x + 1)
( x + 1) 2
2
Questão 21
Somando-se a metade de um número à raiz quadrada da metade desse mesmo número, o
resultado obtido é duas vezes menor que o número. O valor do número é:
a) 2
b) 8
c) 4
d) 1
e) 0
Questão 22
2 x( x − 1) + y ( x − 1) = 4( x − 1)
No sistema  2
, x e y são número reais. A soma de todos os
x + y = 7
valores de x que satisfazem a esse sistema é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
RESPOSTAS
A → 5, 6, 7
B → 1, 4, 16, 21, 22
C → 2, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 18, 19
D → 11, 15, 17
E → 3, 20
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