Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
Índice Geral
CAPÍTULO 1 - CINEMÁTICA DO SÓLIDO ............................................................................................................... 2
1.
CINEMÁTICA DO SÓLIDO.................................................................................................................................. 2
1.1. ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE A NOÇÃO DO SÓLIDO ....................................................................................... 2
1.2. DESCRIÇÃO ANALÍTICA DO MOVIMENTO DE UM SÓLIDO LIVRE .............................................................................. 5
1.3. CAMPO DAS VELOCIDADES DE UM SÓLIDO NUM INSTANTE DADO: DEFINIÇÃO; EQUIPROJECTIVIDADE .................. 9
1.4. TEORIA GERAL DOS TORSORES.............................................................................................................................. 10
!!" !" "
M ( R ≠ 0 )....................................................................................... 24
2.
REDUÇÃO CANÓNICA DO TORSOR
3.
CARACTERIZAÇÃO (OU REDUÇÃO) DE UM TORSOR............................................................................. 25
4.
COMOMENTO OU PRODUTO DE 2 TORSORES .......................................................................................... 27
5.
PROPRIEDADES DO CAMPO DAS VELOCIDADES DE UM SÓLIDO
6.
CAMPOS DAS ACELERAÇÕES DO SÓLIDO
7.
ESTUDO DE ALGUNS MOVIMENTOS PARTICULARES DO SÓLIDO .................................................... 31
S|R
S NO INSTANTE T .............. 27
.............................................................................. 30
7.1. MOVIMENTOS DE TRANSLAÇÃO............................................................................................................................. 32
7.2. MOVIMENTOS DE ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO ............................................................................................. 38
7.3. MOVIMENTOS HELICOIDAIS DE UM SÓLIDO ........................................................................................................... 47
S
8.
MOVIMENTOS TANGENTES DE UM MESMO SÓLIDO
9.
MOVIMENTOS PLANOS DO SÓLIDO............................................................................................................. 56
NUM DADO INSTANTE T* ................ 55
10. COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS (OU MUDANÇA DE REFERENCIAL) .............................................. 61
11. MOVIMENTOS DE UM SÓLIDO EM TORNO DE UM PONTO .................................................................. 63
12. ESTUDO DO MOVIMENTO GERAL DE UM SÓLIDO A PARTIR DE UM MOVIMENTO MAIS
SIMPLES ................................................................................................................................................................ 69
Lead Fox
1
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Cinemática do Sólido
Capítulo 1 - Cinemática do Sólido
1. Cinemática do Sólido
1.1. Algumas Considerações Sobre a Noção do Sólido
Nem todos os corpos podem sem representados por pontos materiais.
Noções e Princípios da Mecânica Clássica
Princípio do atomismo clássico dizia que
Corpo Material = conjunto (finito) constituído por N ( N ∈ # ) pontos materiais.
" " "
P um ponto material em movimento em relação ao referencial R = (O; e1 , e2 , e3 ) durante o
intervalo de tempo I.
Descrevemos o movimento utilizando
!!!"
OP (t ) = r" (t )
, t ∈ I lei do movimento de P.
k
C ( k ≥ 2 )
Outro modo de descrever o movimento de um ponto material é usando 3 funções:
xP = xP ( t )
yP = yP (t ) , t ∈ I equações finitas do movimento de P,
z P = z P (t )
!!!
"
"
"
"
"
com r (t ) = OP (t ) = xP (t ) e1 + yP (t ) e2 + z P (t ) e3 (t ∈ I ) .
Vamos "pegar" então no corpo material.
Para descrever o seu movimento de qualquer corpo é constituído por N pontos, vão ser
necessários N funções vectoriais, ou 3N funções reais de variável real.
Para descrever o movimento de C em relação a R basta conhecer N funções vectoriais de
variável real (ou de forma equivalente, 3N funções reais de variável real).
Mas os corpos materiais que nos rodeiam, mantêm a sua forma durante o movimento (não
dependem das acções mecânicas que actuam sobre eles).
Vamos supor que os corpos (sólidos) não sofrem modelação, enquanto que sabemos que no
universo, todos sofrem.
Vamos ver então que a forma do corpo não se altera.
Como traduzir matematicamente a ideia intuitiva de que "o sólido mantém a forma durante o
movimento"?
Daqui, podemos concluir 2 coisas:
1ª. Não há perda nem ganho de pontos materiais durante o movimento;
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2ª. A distância entre quaisquer dois pontos mantém-se constante:
!!!!!!!!!!!"
∀ P, Q ∈ C ∃ C ( P, Q ) ∈ $ : ∀t ∈ I
P ( t ) Q ( t ) = d ( P ( t ) , Q ( t ) ) = C ( P, Q )
%&&&&'
%&&&&&&&
' %&&&&&&&&&
'
independente de t,
mas depende dos
pontos considerados
norma do espaço
vectorial considerado
distância Euclidiana
em E 3
Escolhamos arbitrariamente t0 ∈ I , para t tomado arbitrariamente em I, consideramos
it : C (t0 ) ⊂ E 3 → C (t ) ⊂ E 3
,
P (t0 ) ( it ( P (t0 )) = P (t )
onde C (t0 ) é o subconjunto de E 3 que C ocupa no instante t, e P (t ) a posição ocupada por P no
instante t.
Como não há perda nem ganho de pontos materiais, as aplicações são bijectivas, e também
preservam a distância.
∀ t ∈ I , it é uma aplicação (it : D ⊂ E 3 → E 3 ) que
bijectiva;
preserva a distância (Euclidiana).
Logo, por definição, it é uma isometria.
Propriedade 1.1.1.
Seja i : E 3 → E 3 uma isometria. Então
1) As imagens por i de um subconjunto de uma recta (respectivamente de um plano) estão
contidas numa recta (respectivamente num plano) (não tem que ser o mesmo).
2) i preserva o ângulo entre rectas, mais do que isso, se A, B e C forem 3 pontos não colineares,
então
!!!!!!!!!!" !!!!!!!!!!"
!!!" !!!"
) ( AB, AC ) = ) (i ( A) i ( B ), i ( A) i (C )) .
Demonstração
1) Consideremos a recta determinada pelos pontos A e B, e seja um
ponto C arbitrário dessa recta, A<C<B.
Esta relação é traduzida em distâncias por
!!!"
!!!"
!!!"
AC + CB = AB (porque A, B e C são colineares).
Como a isometria preserva as distâncias, vem que
!!!!!!!!!!!"
!!!!!!!!!!!"
!!!!!!!!!!"
i ( A ) i (C ) + i (C ) i ( B ) = i ( A ) i ( B ) .
Logo i ( A ) , i ( B ) e i (C ) são colineares, e i ( A ) < i (C ) < i ( B ) .
Exercício: Demonstrar a propriedade relativa aos subconjuntos planos de E 3 .
Sugestão: Usar a propriedade relativa aos subconjunto de rectas de E 3 .
2) Sejam, então, A, B e C três pontos não colineares.
Consideremos
!!!" 2 !!!" !!!" 2 !!!" !!!" !!!" !!!"
BC = BA + AC = ( BA + AC ) | ( BA + AC ) =
!!!" 2 !!!" 2
!!!" !!!" !!!" 2 !!!" 2
!!!" !!!"
!!!" !!!"
= BA + AC − 2 BA | AC = BA + AC − 2 BA AC cos ( BA, AC )
!!!" 2 !!!" 2 !!!" 2
!!!" !!!"
!!!" !!!"
BC = BA + AC − 2 BA AC cos ( BA, AC )
Como a isometria preserva as distâncias, vem que
!!!!!!!!!!" !!!"
!!!!!!!!!!!" !!!"
!!!!!!!!!!!"
!!!"
BC = i ( B ) i (C ) , BA = i ( B ) i ( A ) , AC = i ( A) i (C ) .
Lead Fox
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Logo
!!!!!!!!!!!" 2 !!!!!!!!!!" 2 !!!!!!!!!!!" 2
!!!!!!!!!!" !!!!!!!!!!!"
!!!!!!!!!!" !!!!!!!!!!!"
i ( B ) i (C ) = i ( B ) i ( A ) + i ( A) i (C ) − 2 i ( B ) i ( A) i ( A) i (C ) cos (i ( B ) i ( A), i ( A) i (C ))
!!!" 2 !!!!!!!!!!!" 2
Como BC = i ( B ) i (C ) , e fazendo as simplificações necessárias, concluímos que
!!!!!!!!!!" !!!!!!!!!!"
!!!!!!!!!!" !!!!!!!!!!!"
!!!" !!!"
!!!" !!!"
cos (i ( B ) i ( A ), i ( A ) i (C )) = cos ( BA, AC ) ⇒ ) (i ( B ) i ( A ), i ( A ) i (C )) = ) ( BA, AC )
■
C é um corpo material em movimento em relação a R, durante o intervalo de tempo I, que
mantém a forma.
As considerações anteriores sugerem que para que C seja um sólido, há que exigir
∀ t ∈ I it : C (t0 ) ⊂ E 3 → C (t ) ⊂ E 3
,
P (t0 ) ( it ( P (t0 )) = P (t )
tem que ser isometrias e mais do que isso, a experiência sugere que estas isometrias têm que ser
positivas, ou seja, têm que satisfazer a seguinte condição suplementar (*).
Exemplo (de isometria de E 3 )
Mostrar que a reflexão em relação a um dado plano
Π , é uma isometria.
( x, y , z ) ( ( x, y , − z )
Se considerarmos os pontos, vejamos o que faz a
isometria.
O ≡ (0,0,0 ) → O
A1 ≡ (1,0,0 ) → A1
A2 ≡ ( 0,1,0 ) → A2
A3 ≡ ( 0,0,1) → A3′ ≡ ( 0,0, −1)
Logo, se considerarmos a base, temos
" " "
" " "
(O; e1 , e2 , e3 ) → (O; e1 , e2 , −e3 )
(passamos para um triedro que não é directo)
A reflexão altera a orientação do triedro (é uma isometria negativa).
As transformações que alteram a orientação do triedro não são admitidas na definição de
sólido.
■
(*) Uma isometria i : E 3 → E 3 diz-se positiva se ∀ P, Q, R, S ∈ E 3 ,
!!!" !!!" !!!" !!!!!!!!!!!" !!!!!!!!!!" !!!!!!!!!!"
PQ ∧ PR | PS = i ( P ) i (Q ) ∧ i ( P ) i ( R ) | i ( P ) i ( S ) .
As isometrias positivas são também chamadas de deslocamentos sólidos.
Propriedade 1.1.2.
O conjunto das isometrias positivas munido da composição é um grupo.
Demonstração
Exercício.
■
Lead Fox
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Definição 1.1.1.
Um corpo material C , em movimento em relação a um dado referencial R, durante o
intervalo de tempo I é um sólido se fixando o instante t0 em I, para todo o instante t, a aplicação
it : P (t0 ) ∈ C (t0 ) ⊂ E 3 ( it ( P (t0 )) = P (t ) ∈ C (t ) ⊂ E 3
for uma isometria positiva (ou deslocamento sólido), ou seja,
se it
- for bijectiva;
- preservar a distância:
∀ P , Q ∈ C ∃ C ( P , Q ) ∈ $ : ∀ t ∈ I d ( P ( t ) , Q ( t ) ) = C ( P , Q ) = d ( P ( t0 ) , Q ( t0 ) ) ;
!!!!!!!!!!!!!" !!!!!!!!!!!!!" !!!!!!!!!!!!!"
!!!!!!!!!!!" !!!!!!!!!!!" !!!!!!!!!!!"
- ∀ P, Q, R, S ∈ C P (t0 ) Q (t0 ), P (t0 ) R (t0 ), P (t0 ) S (t0 ) = P (t ) Q (t ), P (t ) R (t ), P (t ) S (t ) .
%&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&
'&
notação de produto misto
■
Observação
A definição não depende do instante t0 previamente escolhido [exercício], pois temos um
grupo ! vamos usar para provar.
■
Todas estas condições vão-nos reduzir o n.º de 3N para no máximo 6 funções reais de
variável real para descrever o movimento de um sólido.
1.2. Descrição Analítica do Movimento de um Sólido Livre
Definição 1.2.1
Sendo A, B1 , B2 , B3 , quatro pontos do sólido S ou ligado a ele, o sistema de referência
"
"
"
( A (t ); f1 (t ), f2 (t ), f3 (t )) ,
!!!!!!!!!!!"
!"
com f i (t ) = A (t ) Bi (t )
i = 1, 2,3 , diz-se um referencial ligado a S ou solidário com o
movimento de S .
■
Propriedade 1.2.1.
São precisas, no máximo 6 funções reais de variável real para descrever completamente o
movimento de um sólido livre, i.e., um sólido cujo movimento não está sujeito a quaisquer
restrições.
Demonstração
Seja S um sólido livre, em movimento em relação ao referencial cartesiano rectangular
" " "
directo (O; e1 , e2 , e3 ) , durante o intervalo de tempo I.
Escolhemos 4 pontos: A, B1 , B2 , B3 em S ou de tal forma que S ∪ {A, B1 , B2 , B3 } é ainda
um sólido.
Nestas condições, cada ponto diz-se ligado a S , ou solidário com o movimento de S
satisfazendo a seguinte condição no instante t0 ∈ I (para o qual num problema concreto
conhecemos a posição de S ).
Considerando
!!!!!!!!!!!!!"!
!"
f i (t0 ) = A (t0 ) Bi (t0 )
i = 1, 2,3 ,
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!" 3
"
"
"
tal que { f1 (t0 ) , f 2 (t0 ) , f 3 (t0 )} é um base ortonormada directa de E .
No instante t0 , dispomos de um referencial cartesiano, rectangular, directo auxiliar:
"
"
"
A (t0 ); f1 (t0 ) , f 2 (t0 ) , f3 (t0 ) .
(
)
Vamos determinar, agora, a posição de qualquer ponto P de S , no instante t0 , em relação a
" " "
(O; e1 , e2 , e3 ) , o referencial em relação ao qual S se move.
Assim,
3
!!!!!!!!!!!!!" !!!"
!!!"
!!!"
!"
OP (t0 ) = OA (t0 ) + A (t0 ) P (t0 ) = OA (t0 ) + ∑ γ i (t0 ) f i (t0 ) ,
i =1
γ 1 (t0 ) , γ 2 (t0 ) , γ 3 (t0 ) são as coordenadas do ponto em relação ao referencial
"
"
"
( A (t0 ); f1 (t0 ), f2 (t0 ), f3 (t0 )) .
onde
Podemos descrever a posição de P (t ) , quaisquer que sejam P em S e t em I (para
descrever o movimento de S ).
Seja P um ponto de S e t um instante arbitrário e consideremos:
!!!!!!!!!!!"
!"
f i (t ) = A (t ) Bi (t )
i = 1, 2,3 .
"
"
"
( A (t ); f1 (t ), f2 (t ), f3 (t )) é ainda um referencial cartesiano rectangular directo?
S é um sólido: A (t ) = it A (t0 ) , Bi (t ) = it Bi (t0 ) , com it uma isometria positiva.
"
"
"
Porque { f1 (t ) , f 2 (t ) , f 3 (t )} é uma base ortonormada, sabemos que
!!!!!!!!!!!"
!!!!!!!!!!!!!"!
!"
f i (t ) = A (t ) Bi (t ) = A (t0 ) Bi (t0 ) = 1
i = 1, 2,3 ,
"
"
"
"
cos f i (t ) , f j (t ) = cos f i (t0 ) , f j (t0 )
i, j = 1,2,3; i ≠ j .
(
)
(
)
Logo, pela propriedade 1.1.1. ainda temos um referencial cartesiano rectangular directo
devido a termos uma isometria positiva.
Falta apenas verificar que são ortogonais 2 a 2.
"
"
"
A (t0 ); f1 (t0 ) , f 2 (t0 ) , f3 (t0 ) é exemplo de um referencial móvel (dependente de t), que
(
)
representamo-lo por
" " "
( A; f , f , f ) .
1
Assim,
onde γ 1 (t ) , γ 2 (t ) , γ 3 (t
" " "
( A; f1 , f 2 , f3 ) .
2
3
3
!!!!!!!!!!!" !!!"
!!!"
!!!"
!"
OP (t ) = OA (t ) + A (t ) P (t ) = OA (t ) + ∑ γ i (t ) f i (t ) ,
)
i =1
são as coordenadas do ponto P (t ) em relação ao referencial móvel
Que relação há entre γ i (t ) e γ i (t0 ) , i = 1, 2,3 ?
!!!!!!!!!!!" 3 !!!!!!!!!!!"
!!!!!!!!!!!" !"
!"
A (t ) P (t ) = ∑ A (t ) P (t ) cos f i (t ) , A (t ) P (t ) f i (t ) =
+,,,,,
,-,,,,,,
.
i =1
(
=γ i (t )
)
3 !!!!!!!!!!!!
!"
!!!!!!!!!!!!!" !"
!"
= ∑ A (t0 ) P (t0 ) cos f i (t0 ) , A (t0 ) P (t0 ) f i (t0 )
,-,,,,,,,
.
i =1 +,,,,,,
(
)
=γ i (t0 )
donde se conclui que
γ i ( t ) = γ i (t 0 ) ,
Lead Fox
6
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porque S é um sólido.
Cinemática do Sólido
3
!!!"
!!!"
!"
OP (t ) = OA (t ) + ∑ γ i (t ) f i (t )
i =1
com γ i = γ i (t ) = γ i (t0 ) ∀ t ∈ I .
■
Resumo:
Tendo em conta que S é um sólido, considerando arbitrariamente um dos seus pontos P:
" " "
1) as suas coordenadas no referencial móvel ( A; f1 , f 2 , f 3 ) são independentes de t;
" " "
2) as coordenadas de P em relação ao referencial (O; e1 , e2 , e3 ) , em qualquer instante t, são
completamente determinadas
• pela lei do movimento do ponto A (de S ou ligado a ele), em relação ao referencial
" " "
(O; e1 , e2 , e3 ) ,
!!!"
"
OA (t ) = rA (t ) , t ∈ I ;
• pelas 3 funções vectoriais de .variável real
!!!!!!!!!!!"
"
"
f i : t ∈ I ( f i (t ) = A (t ) Bi (t )
definidas anteriormente.
Estas 4 funções vectoriais de variável real determinam completamente o movimento do
sólido S , i.e., 4 × 3 = 12 funções reais de variável real.
" " "
Mas { f1 , f 2 , f 3 } é uma base ortonormada directa, então
"
" "
f 3 = f1 ∧ f 2 ,
Logo, apenas precisamos conhecer 9 funções reais de variável real.
Ora
"
f1 (t ) = 1 ∀ t ∈ I ,
"
f 2 (t ) = 1 ∀ t ∈ I ,
"
"
f1 (t ) | f 2 (t ) = 0 ∀ t ∈ I .
Sendo
3
"
"
f i (t ) = ∑ β im (t ) em i = 1, 2 ,
m =1
temos
3 2 ( ) "( )2
∑ β1m t = f1 t = 1
m =1
"
2
3 2
,
∑ β 2 m (t ) = f 2 ( t ) = 1
m =1
"
"
3
∑ β1m (t ) β 2 m = f1 (t ) | f 2 (t ) = 0
m =1
sistema (algébrico) não linear de 3 equações a 6 incógnitas - sistema possível e indeterminado.
Obter-se-á 3 dos β ij em função dos outros 3.
Em conclusão, 6 funções reais de variável real determinam completamente o movimento do
sólido.
■
Lead Fox
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Conclusão
O movimento do sólido livre S fica completamente determinado por 6 funções reais de
variável real assim escolhidas:
- 3, que determinam as equações finitas do movimento de um ponto A, arbitrariamente escolhido
em
ou
ligado
a
ele
(as
funções
xA , y A , z A
tais
que:
S
" ( ) !!!" ( )
"
"
"
rA t = OA t = x A (t ) e1 + y A (t ) e2 + z A (t ) e3 );
" " "
- 3, que são escolhidas de forma conveniente entre as 9 componentes na base {e1 , e2 , e3 } das
" " "
funções f1 , f 2 , f3 definidas a partir de 4 pontos de S ou ligados a ele:
" !!!!"
"
"
"
f i = ABi i = 1, 2,3 , constituindo { f1 (t0 ) , f 2 (t0 ) , f 3 (t0 )} uma base ortonormada directa de
!" 3
E (t0 ∈ I ) .
■
Se o sólido não for livre, àquelas 6 funções vamos juntar outras onde o número de funções
necessárias é menor que 6.
Observação
1) Esta propriedade é enunciada muitas vezes na forma "um sólido tem 6 graus de liberdade";
2) Se o sólido S não for livre, o número de graus de liberdade será inferior a 6;
3) Caso extremo : sólido1 - mantém-se a posição relativa dos pontos;
- corpo material em que os pontos são independentes uns dos outros.
!!!!!!!!!!!" " !!!!"
"
"
f i : t ∈ I ( f i (t ) = A (t ) Bi (t ) ( f i ≡ ABi )
■
Definição 1.2.2.
Dados dois pontos P e Q do sólido S ou ligado a ele, à função vectorial de variável real
!!!!!!!!!!!"
!!!"
!!!"
PQ : t ∈ I ( PQ (t ) = P (t ) Q (t ) ,
chamamos vector ligado a S .
■
Propriedades [desta função]
!!!"
1) PQ é constante;
!!!"
2) PQ é de classe C k ( k ≥ 2 )
!!!"
!!!"
!!!"
!!!"
!!!"
PQ (t ) = PO (t ) + OQ (t ) = OQ (t ) − OP (t ) , ∀ t ∈ I ;
!!!"
" " "
3) Em relação a (O; e1 , e2 , e3 ) , a direcção de PQ depende de t, de uma forma geral;
!!!"
" " "
Em relação a ( A; f1 , f 2 , f 3 ) , PQ é uma função constante (para além da norma, também são
constantes a direcção e o sentido).
■
1
sólido = corpo indeformável.
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1.3. Campo das Velocidades de um Sólido num Instante Dado:
Definição; Equiprojectividade
Estamos a considerar que S é um sólido em movimento em relação ao referencial
" " "
R= (O; e1 , e2 , e3 ) , durante o intervalo de tempo I.
Ponto material P
Sólido S
1. Descrição analítica do movimento
6 funções reais de variável real
Lei do movimento (equações finitas)
2. Velocidade
?
"
P ∈ S → v p (velocidade do movimento de P)
Fixando t em I,
!" 3
"
P (t ) ∈ S (t ) ⊂ E 3 → v p (t ) ⊂ E (campo de vectores)
Definição1.3.1.
Chamamos campo das velocidades do sólido S no instante t, ao campo de vectores
!"
!"
!" 3
"
V t : P (t ) ∈ S (t ) ⊂ E 3 → V t ( t ) = v p (t ) ⊂ E ,
onde P (t ) representa a posição ocupada pelo ponto material P no instante t, S (t ) a porção de E 3
"
ocupada por S no instante t, e v p (t ) é a velocidade de P.
■
Recorde-se que sólido é um conjunto de pontos que não são livres, obedecem entre si a um
dado conjunto de características.
Observação
Ao movimento de S estamos a associar uma família de campos de vectores
!!"
{Vt | t ∈ I } .
De uma forma geral, dados dois instante t1 e t2 , tem-se
!!" !!"
Vt1 ≠ Vt2
■
Revisão
!!"
!!"
!" 3
Seja H : A ∈ D ⊂ E 3 ( H ( A ) ⊂ E um campo de vectores.
!!"
Dizemos que H é um campo de vectores equiprojectivo se
!!!" !!"
!!!" !!"
∀A, B ∈ D, A ≠ B, AB | H ( A ) = AB | H ( B )
!!!"
!!"
!!!"
!!"
⇔ AB proj!!!" H ( A) = AB proj!!!" H ( B )
AB
AB
" "
"
"
Nota: u | v = u proju" v
■
Lead Fox
9
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Propriedade 1.3.1. [Equiprojectividade dos campos das velocidades de um sólido]
!!"
Qualquer que seja o instante t em I, o campo das velocidades Vt do sólido S no instante t é
equiprojectivo
Demonstração
Hipótese: S é um sólido.
!!"
Tese: ∀ t ∈ I , Vt é equiprojectivo.
!!!!!!!!!!!" !!"
!!!!!!!!!!!"
!!"
!!"
∀ t ∈ I , Vt é equiprojectivo ⇔ ∀ P, Q ∈ S , Vt ( P (t ) ) | P (t ) Q (t ) = Vt (Q (t )) | P (t ) Q (t ) ⇔
!!!!!!!!!!!" "
!!!!!!!!!!!"
"
⇔ ∀ P, Q ∈ S , v p (t ) | P (t ) Q (t ) = vQ (t ) | P (t ) Q (t ) ⇔
!!!!!!!!!!!"
"
"
⇔ ∀ P, Q ∈ S , vQ (t ) − v p (t ) | P (t ) Q (t ) = 0
Como S é um sólido, e para qualquer t ∈ I , tem-se
∀ P, Q ∈ S , ∃ C ( P, Q ) ∈ $ : d ( P ( t ) , Q ( t ) ) = C ( P, Q ) ⇔ d 2 ( P ( t ) , Q ( t ) ) = C 2 ( P, Q )
+,,-,,.
!!!!!!!!!!!!"! 2
= P (t ),Q (t )
∀t∈I ,
!!!!!!!!!!!" !!!!!!!!!!!"
(1) ∀ P, Q ∈ S , ∃ C ( P, Q ) ∈ $ : P (t ) Q (t ) | P (t ) Q (t ) = C 2 ( P, Q )
!!!!!!!!!!!"
!!!"
!!!"
PQ : t ∈ I ( PQ (t ) = P (t ) Q (t ) é de classe C k ( k ≥ 2 ) ,
então já temos a igualdade (1) em termos de funções, pelo que podemos derivar
!!!"
!!!"
PQ (t ) | PQ (t ) = C 2 ( P, Q ) .
Derivando ambos os membros da igualdade , segue-se
!!!"
!!!"
!!!"
d PQ
(t ) | PQ (t ) = 0 ! v"Q − v"p | PQ (t ) = 0
2
dt
!!!" !!!"
!!!"
!!!"
!!!"
d (OQ − OP )
d PQ
dOQ
dOP
(t ) =
(t ) =
(t ) −
(t ) = v"Q − v"p
dt
dt
dt
dt
Provamos que
!!"
!" 3
∀ t ∈ I , Vt : S ⊂ E 3 → E é equiprojectivo.
■
1.4. Teoria Geral dos Torsores
TORSOR ≡ campo de vectores equiprojectivo com domínio contido em E 3
Definição 1.4.1.
Chamamos torsor a todo o campo de vectores equiprojectivo, cujo domínio está contido no
!" 3
espaço afim E 3 (sobre o espaço vectorial E ).
■
Exemplos
1) Os campo das velocidades de um sólido S :
!"
{V t | t ∈ I } .
Lead Fox
10
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Cinemática do Sólido
!"
2) Seja F ema força aplicada ao ponto material ( P, m ) :
!!!"
!"
!"
Mt : Q ∈ E 3 ( M (Q ) = QP (t ) ∧ F (t ) momento da força ( P (t ) , F (t )) no ponto Q.
Mt é um torsor.
■
Propriedade Característica dos Torsores [Fórmula de Varignon]
!" 3
!" 3
Aplicação Anti-Simétrica: L : E → E
Lema
!!"
!" 3
Um campo de vectores H : E 3 → E é um torsor sse for um campo de vectores anti-simétrico,
ou seja, sse existirem;
- um ponto A (∈ E 3 ) ,
!" 3
!" 3
- uma aplicação anti-simétrica (aplicação linear) L : E → E ,
tais que
!!!" !!"
!!"
∀ B ∈ E 3 , L ( AB ) = H ( B ) − H ( A) (*)
!!"
!" 3
b) Seja H : E 3 → E um campo de vectores que satisfaz a relação (*) para algum ponto A
(∈ E 3 ) , e para alguma aplicação anti-simétrica L , então a relação (*) é ainda verificada para
qualquer outro ponto C (∈ E 3 ) , i.e.,
!!!" !!"
!!"
∀ B ∈ E 3 , L (CB ) = H ( B ) − H (C ) .
a)
Demonstração
Exercício (não é exigido em exames)
■
Propriedade [Característica dos Torsores]
!!"
!" 3
a) Um campo de vectores M : E 3 → E é um torsor sse
!" !" 3
!!"
!!"
!" !!!"
∃ R ∈ E : ∀ B, C ∈ E 3 , %&&&&&&&&&&&&&&&&&
M (C ) = M ( B ) + R ∧ BC
&
'
Fórmula de Varignon [F.V.]
!!"
!"
b) Se M for um torsor, o vector R que verifica a Fórmula de Varignon é único.
Demonstração
!!"
!!"
a) M é um torsor sse M for um campo de vectores anti-simétrico,
i.e., pelo Lema a), sse existirem
A ∈ E 3
,
!" 3
!" 3
L : E → E anti-simétrica
tais que
!!!" !!"
!!"
∀ B ∈ E 3 , L ( AB ) = M ( B ) − M ( A) ,
!" 3
!" 3
ou seja, pelo Lema b), sse existir L : E → E anti-simétrica tal que
!!!" !!"
!!"
∀ B, C ∈ E 3 , L (CB ) = M ( B ) − M (C ) ,
!" !!!" !!"
!!"
!" !" 3
i.e., pela propriedade 3 da tabela 1, sse existir R ∈ E tal que R ∧ CB = M ( B ) − M (C ) ,
Lead Fox
11
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
!!"
!!"
!" !!!"
!" !" 3
ou ainda, sse existir R ∈ E tal que M (C ) = M ( B ) − R ∧ CB ,
!" !" 3
!!"
!!"
!" !!!"
ou seja, sse existir R ∈ E tal que M (C ) = M ( B ) + R ∧ BC .
!"
b) Unicidade de R
!!" !!"
Suponhamos que existem dois vectores R1 e R2 tais que
!!"
!!"
!!" !!!"
(
)
(
)
M
C
=
M
B
+
R1 ∧ BC
∀ B, C ∈ E 3 , !!"
!!"
!!" !!!" ,
M (C ) = M ( B ) + R2 ∧ BC
então
!!" !!" "
!!" !!"
" !!" !!" !!!"
∀ B, C ∈ E 3 ,0 = ( R1 − R2 ) ∧ BC ⇒ R1 − R2 = 0 ⇒ R1 = R2
■
Definição 1.4.2.
!!"
!"
Seja M um torsor e R o vector que lhe está associado pela propriedade característica dos
torsores.
!"
!!"
a) R diz-se o vector ou a resultante geral do torsor M .
!!"
!!"
b) M ( B ) diz-se o momento do torsor M em B.
!" !!"
!!"
c) R e M ( B ) dizem-se os elementos de redução do torsor M em B.
■
Observação
"elementos de redução" vêm do facto de que da Fórmula de Varignon os 2 vectores
determinam completamente o torsor:
!!"
!!"
!" !!!"
∀ C ∈ E 3 , M (C ) = M ( B ) + R ∧ BC .
■
" " "
Seja (O; e1 , e2 , e3 ) um referencial cartesiano rectangular directo.
!!"
Consideramos os elementos de redução de M em O:
!" !!"
R . M (O ) .
Definição 1.4.3.
!!"
!!"
a) Aos elementos de redução de M em O chamamos as coordenadas vectoriais de M com
" " "
respeito ao referencial (O; e1 , e2 , e3 ) .
!!"
" " "
b) As coordenadas escalares de M em relação ao referencial (O; e1 , e2 , e3 ) são as componentes
" " "
das coordenadas vectoriais na base {e1 , e2 , e3 } , i.e., se
!"
"
"
" !!"
"
"
"
R = Xe1 + Ye2 + Ze3 e M (O ) = Le1 + Me2 + Ne3 ,
!!"
então X,Y,Z,L,M,N são as coordenadas escalares de M .
!!"
Coordenadas escalares de M : X , Y , Z , L, M , N
%&&&'
%&&&&
'
!"
!!"
(
R
M (O )
)
■
Igualdade de Torsores
D!!"M1 = D!!!M2"
!!" !!"
!!"
M1 = M2 ⇔ !!"
M1 ( P ) = M2 ( P ) , ∀ P ∈ D!!"M1 = D!!!M2"
Lead Fox
12
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
Propriedade [Igualdade de torsores]
!!"
!!"
Sejam M1 e M2 dois torsores (com o mesmo domínio), cujas resultantes gerais são
!!" !!"
!!" !!"
representadas por R1 e R2 , respectivamente. Então M1 = M2
!!" !!"
!!"
!!"
a) sse R1 = R2 e ∃ P : M1 ( P ) = M2 ( P ) ,
!!"
i.e., sse existir um ponto P onde os elementos de redução de M1 coincidem com os elementos
!!"
de redução de M2 ;
!!"
!!"
b) sse existirem 3 pontos P1 , P2 , P3 , não colineares, tais que M1 ( Pi ) = M2 ( Pi ) i = 1, 2,3 .
Demonstração
a) Trivial!
Consequência imediata da Fórmula de Varignon, pois a hipótese garante que temos torsores.
b) "=>"
!!" !!"
!!"
!!"
Hipótese: M1 = M2 ⇔ ∀ P : M1 ( P ) = M2 ( P ) .
!!"
!!"
Tese: ∃ P1 , P2 , P3 , não colineares, tais que M1 ( Pi ) = M2 ( Pi ) i = 1, 2,3
Trivial, porque se é válido para quaisquer pontos, em particular, também é válido para o três
pontos não colineares.
"<="
!!"
!!"
Hipótese: ∃ P1 , P2 , P3 , não colineares, tais que M1 ( Pi ) = M2 ( Pi ) i = 1, 2,3
!!" !!"
!!"
!!"
!!" !!"
Tese: M1 = M2 ⇔ 2 R1 = R2 e ∃ P : M1 ( P ) = M2 ( P ) .
Usando a Fórmula de Varignon, segue-se
!!"
!!"
!" !!!!"
M1 ( P2 ) = M1 ( P1 ) + R1 ∧ P1 P2
!!"
!!"
!" !!!!"
M2 ( P2 ) = M2 ( P1 ) + R 2 ∧ P1 P2
!!" !!" !!!!"
"
"
0 =
0 + ( R1 − R2 ) ∧ /
P1 P2
"
≠ 0 (não colinearidade dos Pi)
⇓
!!" !!"
!!" !!" !!!!"
R1 = R2 ou R1 − R2 e P1 P2 são colineares,
e
!!"
!!"
!" !!!!"
M1 ( P3 ) = M1 ( P1 ) + R1 ∧ P1 P3
!!"
!!"
!" !!!!"
M2 ( P3 ) = M2 ( P1 ) + R 2 ∧ P1 P3
!!" !!" !!!!"
"
"
0 =
0 + ( R1 − R2 ) ∧ P1 P3
/
"
≠0
⇓
!!" !!"
!!" !!" !!!!"
R1 = R2 ou R1 − R2 e P1 P3 são colineares.
!!" !!" !!!!"
!!" !!" !!!!"
Donde se conclui que R1 − R2 e P1 P2 não são colineares e R1 − R2 e P1 P3 não são colineares,
pois se assim não fosse, P1 , P2 , P3 seriam colineares.
Logo
!!" !!"
R1 = R2 .
■
2
pela propriedade a), anterior.
Lead Fox
13
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
Estrutura de espaço vectorial (real) sobre o conjunto dos torsor
Propriedade 1.4.2.
!!" !!"
!!" !!"
i) A soma de 2 torsores M1 e M2 , com resultantes gerais R1 e R2 , respectivamente, é ainda um
!!" !!"
torsor e a sua resultante geral é R1 + R2 ;
!!"
!"
ii) O produto do torsor M (com resultante geral R ) pelo real α é ainda um torsor e a sua
!"
resultante geral é α R ;
iii) O conjunto de todos os torsores munido destas "operações" é um espaço vectorial de dimensão
6 (subespaço vectorial do espaço vectorial dos campos de vectores de E 3 ).
■
Definição 1.4.3.
"
Chamamos torsor nulo e representamo-lo por 0 ao elemento neutro da adição de torsores:
"
" !" 3
0: P ( 0∈ E .
■
Exercicio
Os elementos de redução deste torsor em qualquer ponto são ambos nulos.
■
Invariantes de um torsor
Definição 1.4.4.
Chamamos invariante de um torsor a toda a entidade (escalar ou vectorial), associada ao
torsor que é independente do ponto Q considerado no seu domínio.
■
Propriedade [Invariantes de um torsor]
!!"
São invariantes do torsor
M:
!"
i) a sua resultante geral, R ;
!!"
!!"
!"
ii) W = M ( P ) | R , o invariante escalar do torsor M ;
!!"
!"
" M ( P ) | R !" W !"
!!"
iii) I =
!" 2 R = !" 2 R , o invariante vectorial de M .
R
R
Demonstração
Resta provar que
!!"
!" !!"
!"
∀ P, Q ∈ E 3 , M ( P ) | R = M ( Q ) | R .
Pela Fórmula de Varignon, vem que
!" !!!" !" !!"
!" !" !!!" !" !!"
!"
!!"
!" !!"
M ( P ) | R = M (Q ) + R ∧ QP | R = M (Q ) | R + R ∧ QP | R = M (Q ) | R
+,
,-,,
.
"
=0
■
Alguns Torsores Especiais
Definição 1.4.5.
1)
"
a) Chamamos vector aplicado a todo o par ordenado ( A, u ) , constituído por um ponto A de E 3
Lead Fox
14
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
!" 3
"
(chamado ponto de aplicação ou origem), e por um vector (livre) u (∈ E ) , que
"
"
representamos por ( A, u ) ou Au ;
"
b) À recta determinada por u que passa por A chamamos suporte (ou linha de acção) do vector
"
aplicado Au ;
2)
"
"
a) Chamamos vector deslizante Au ( ou ( A, u ) ), ao
"
conjunto de todos os vectores aplicados da forma Bu ,
"
com B pertencente ao suporte do vector aplicado Au .
vector
"
b) O suporte do vector deslizante Au é também designado
deslizante
"
por suporte do vector deslizante Au .
"
3) Se P for um ponto do suporte do vector aplicado (deslizante) Au , dizemos que o vector
aplicado (deslizante) passa por P.
■
Torsor Associado a um Vector Deslizante
Propriedades [Torsor associado a um vector deslizante]
"
Seja Au um vector deslizante dado.
O campo de vectores
!!"
!!"
!!!" "
M Au" : P ∈ E 3 ( M Au" ( P ) = PA ∧ u
"
i) não depende do ponto A escolhido sobre o suporte de Au ;
"
ii) é um torsor que se anula em todos os pontos do suporte de Au e cuja resultante geral é
"
!!" u .
"
M Au" diz-se o torsor associado ao vector deslizante Au .
Demonstração
!!"
!!!" "
i) ∀ P, M Au" ( P ) = PA ∧ u
"
Seja A' um ponto qualquer do suporte de Au , então
!!!" " !!!" !!!" " !!!" " !!!" "
′ ∧.
PA′ ∧ u = ( PA + AA′ ) ∧ u = PA ∧ u + +
AA
u
,-,
"
= 0 (vectores colineares)
!!"
!" !" 3
ii) Para provar que M Au" é um torsor, basta mostrar que existe R ∈ E e A* ∈ E 3 , tal que
!!"
!!"
!" !!!!"
∀ P ∈ E 3 , M Au" ( P ) = M Au" ( A* ) + R ∧ A* P
Ora
" " !" !!!!"
!!!" " !!!!!
PA ∧ u = A* A′ ∧ u + R ∧ A* P ,
!" "
então basta escolher A ≡ A* e R = u .
!!"
"
Logo, M Au" é um torsor cuja resultante geral é u .
!!"
"
Resta provar que: M Au" (Q ) = 0 para todo o Q sobre o suporte de
"
Au .
"
Q um ponto sobre o suporte de Au , então
!!!" " "
!!"
M Au" (Q ) = QA ∧ u = 0
%&&&'
vectores
colineares
■
Lead Fox
15
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
"
Modos diferentes de determinar um vector deslizante Au :
"
- o ponto A e o vector livre u ;
"
- o suporte do vector deslizante (recta) e o vector livre u ;
"
"
- momento de Au , num ponto P e o vector livre u .
■
Propriedade
!" !"
!" "
Dados um ponto P e 2 vectores ortogonais w e g , com w ≠ 0 , existe um vector deslizante e
um só, tendo
!"
- w como vector livre;
!"
- g por momento em P.
Demonstração
Reduz-se à resolução de um "problema de divisão vectorial".
■
Cursores
Definição [Cursor]
!!"
"
a) Diz-se que um torsor C é um cursor se existir um vector deslizante Au cujo torsor associado
!!"
seja C , i.e.,
!!"
!!"
!!!" "
"
∃ Au : ∀ P, C ( P ) = M Au" ( P ) = PA ∧ u .
!!"
!!" "
"
b) O suporte do vector deslizante Au designa-se por eixo do cursor C , sempre que C ≠ 0 .
■
Propriedade Característica
dos Cursores
!!"
!!"
"
a) Um torsor M é um cursor sse existir um ponto P (∈ E 3 ) tal que M ( P ) = 0 ;
!!"
!"
!!"
b) Se um torsor M , cuja resultante geral é R , se anular num ponto P, então M é o torsor
associado ao vector deslizante P!R" ;
c) O invariante escalar de um cursor é nulo;
!!"
!!" !!"
"
d) Se M for um cursor, existe um e um só vector deslizante Au tal que M = M Au" .
Demonstração
a) "=>"
!!"
" !!" !!"
Hipótese: C é um cursor ⇔ ∃ Au : C = M Au" .
!!"
"
Tese: ∃ P ∈ E 3 : C ( P ) = 0 .
!!"
"
Sabemos que M Au" anula-se em todos os pontos do suporte de Au , em particular, anula-se num
ponto.
"<="
!!"
!!"
"
Hipótese: C é um torsor para o qual ∃ P ∈ E 3 : C ( P ) = 0 .
!!"
Tese: C é um cursor.
!!"
!!"
!" !!!"
!!"
!" !!!" !!" !"
(
)
∀ Q ∈ E 3 , C (Q ) = C
P
+
R
∧
PQ
⇒
C
Q
=
R ∧ PQ = M P R (Q )
(
)
/
"
=0
■
Lead Fox
16
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
Binários
Existirão outros torsores (não cursores), cujo invariante escalar seja nulo?
!!"
!!"
!"
M , W = M (P) | R
!!"
"
"
∃ P : M ( P ) = 0 ( cursor ) → torsor nulo 0
!" "
R = 0 ⇒ W = 0 ⇒ ou
!!" ( ) "
M P ≠0 ∀P ?
Propriedade
!!"
!"
a) Seja M um torsor cuja resultante geral R é nula. Então
!!"
!!"
!!"
!!"
∀ P, Q ∈ E 3 , M ( P ) = M (Q ) ( M é constante ≡ M é uniforme)
!!"
!!"
" !" 3
b) Reciprocamente, dado um campo de vectores uniforme H : P ∈ E 3 ( H ( P ) = a ∈ E então
!!"
H é um torsor com resultante geral nula.
Demonstração
a) Pela Fórmula de Varignon, vem que
!!"
!!"
!" !!!"
!!"
!!"
∀ P, Q ∈ E 3 , M ( P ) = M ( Q ) + /
R ∧ QP ⇒ M ( P ) = M (Q ) (igualdade de momentos)
"
0
=
!!"
" !!"
3
(
)
b) ∀ P, Q ∈ E , H P = a = H (Q ) ,
!" !" 3
!!"
!!"
!" !!!"
!!"
( P ) = M (Q ) + /
H é torsor sse ∃ R ∈ E : ∀ P, Q ∈ E 3 , +
M. +-. R" ∧ QP
"
"
=0
=a
=a
!!"
∴ H é torsor
■
Definição
!!"
a) Um torsor M diz-se um binário se a sua resultante geral for nula.
!!"
"
b) Se B for um binário, o vector livre a tal que
!!"
"
B(P) = a ∀ P ∈ E3 ,
!!"
diz-se o momento do binário B .
■
Propriedade !!"
!!"
a) Um torsor M é um binário (i.e., a sua resultante geral é nula) sse M for um campo de
vectores uniforme;
b) O único binário que também é um cursor é o torsor nulo.
■
Lead Fox
17
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
!!"
M Au" ! torsor associado a um conjunto finito de vectores deslizantes
Definição
!!"
Consideremos o conjunto de N vectores deslizantes Aj w j | j = 1,…, N , e para cada vector
!!"
!!"
!!"
deslizante Aj w j o torsor que lhe está associado M j = M Aj w!!"j ( j = 1,…, N ).
!!"
Chamamos torsor associado ao conjunto de vectores deslizantes Aj w j | j = 1,…, N , ao
!!"
torsor soma dos torsores M j ( j = 1,…, N ),
!!" N !!"
M =∑ M j
{
}
{
}
j=1
■
Propriedades
Com as condições introduzidas na definição anterior,
!"
!!"
!" N !"
a) a resultante geral R do torsor M é o vector livre R = ∑ w j ;
j =1
b)
N !!"
N !!!!
!!"
" !!"
∀ P ∈ E 3 , M ( P ) = ∑ M j =∑ PAj ∧ w j
j =1
j =1
■
Propriedades
!!"
!!"
a) Se B for um binário, então B é o torsor associado a um conjunto de vectores deslizantes da
forma
!"
!"
( A, w) , ( B, −w)} .
{
!!"
b) Reciprocamente, se M for o torsor associado a um conjunto de vectores deslizantes
!"
!"
!!"
{( A, w), ( B, −w)} , então M é um binário.
c) O momento de um binário é ortogonal ao plano determinado pelos dois vectores deslizantes.
Demonstração!!"
a) Hipótese: B for um binário,
!!"
!!"
!!"
Tese: existe um conjunto de 2 vectores deslizantes ( A, w1 ) , ( B, − w2 ) : B é o torsor associado
!!"
!!"
a ( A, w1 ) , ( B, − w2 ) .
!!"
!!"
" !" 3
" !" 3
B binário ! ∃ a ∈ E : ∀ P ∈ E 3 , M ( P ) = a ∈ E .
!!"
" !!" !!" !!"
0 = w1 + w2 ⇒ w1 = − w2
!!" !!" !!" !!" !!"
!!" !"
!!!" !"
!"
B = M Aw1 + M Bw2 ⇔ a" = !!"
!!" !" M Aw ( B ) + M ( B ,− w) ( B ) = BA ∧ w
+,-,
.
w1 = w
"
=0
!"
" !!!" !"
Resta determinar os pontos A e B, e o vector livre w , que têm que verificar a = BA ∧ w .
{
{
}
}
" " "
Equação (algébrica) vectorial a = x ∧ y
"
"
" " "
"Problema da divisão vectorial" - a = x ∧ b , que só tem uma solução se a e b forem
ortogonais (pela definição de produto vectorial).
" "
Prova-se que se a e b forem ortogonais, a equação tem sempre uma infinidade de soluções
Lead Fox
18
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
" "
"
" b ∧a
x = " 2 + λb (λ ∈ $ )
b
!"
Para cada vector particular w , obtemos um "problema de divisão vectorial":
" !!!" !"
a=/
BA ∧ w .
"
=x
!"
"
Este problema só tem solução se w for escolhido de forma a ser ortogonal a a (conhecido).
!"
!" "
!" "
Escolhamos, então, w nessas condições ( w | a = 0; w ≠ 0 ).
!!!"
Então podemos determinar BA :
!"
equação vectorial de uma recta com direcção
!!!" w ∧ a"
!"
!"
BA = !" 2 + λ w (λ ∈ $ ) ! w e que passa por um ponto dado
w
Escolhendo arbitrariamente o ponto B, as soluções para A ficam completamente determinadas.
!!" !" !"
!" "
!!"
b) M : R = w + ( − w ) = 0 ⇒ M é um binário (por definição).
■
Conclusão
Conclui-se, portanto que o problema proposto tem uma infinidade de soluções para cada
!"
"
vector w ortogonal a a e para cada ponto B existe uma infinidade de ponto A, tais que
!"
!"
!!!" w ∧ a"
BA = !" 2 + λ w (λ ∈ $ ) ,
w
!!!"
BA suporte do outro vector deslizante.
■
!" "
!!"
Consideremos B um binário ( R = 0 ).
!!" !!" !" !!" !!!"
B = M ( A, w ) + M ( B , − w ) ,
!!"
i.e. equivalente a dizer que B é o torsor associado ao conjunto de vectores deslizantes
!"
!"
{( A, w), ( B, −w)} .
Vimos ainda que esta decomposição não é única.
!!" " !!"
O momento do binário B , a = B ( P ) ∀ P .
Escolhemos arbitrariamente
!" " !" " "
• w ≠ 0 e w| a = 0,
• B ∈ E3 .
!"
Depois de fazermos estas escolhas, ( B, − w ) está completamente determinado.
!"
Quanto a ( A, w ) , o seu suporte é a recta
!"
!!!" w ∧ a"
!"
BA = !" 2 + λ w (λ ∈ $ ) .
w
Esta propriedade anteriormente demonstrada, pode ser aplicada a um torsor qualquer.
[Decomposição de um torsor qualquer na soma de 2 cursores]
Propriedade!!"
!" !!"
Seja M um torsor qualquer cuja resultante geral é representada por R , M é o torsor
associado a uma infinidade de conjuntos constituídos por 2 vectores deslizantes
Lead Fox
19
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
!"
!" !"
{( A, w), !("B, R − w)} ,
!" !!"
"
onde o ponto B é escolhido arbitrariamente e w ≠ 0 é um vector qualquer tal que w | M ( B ) = 0
(esta decomposição não é única).
Demonstração
Exercício. (seguir raciocínio da anterior)
■
Este resultado diz-nos que
!!"
!!" !!"
!!"
"Dado o torsor M escolhendo o ponto B, arbitrariamente, M = M ( A,!w" ) + M ( B ,!R" − !w" ) ".
%&&&&'
cursor que passa
pelo ponto B
!"
A decomposição não é única, e a escolha de w é apenas restrita pela condição
!" !!"
w | M ( B ) = 0
.
!" "
w ≠ 0
!!"
Agora, fixemos um ponto B, e vamos decompor M na soma de um cursor que passe por B
com um binário (esta decomposição é única).
Propriedade [Decomposição de um torsor
!!"qualquer na soma de um cursor com um binário]
Quaisquer que sejam o torsor M e o ponto A, existem
!!"
- um cursor CA , associado a um vector deslizante que passa por A, e um só,
!!"
- um binário, B A , e um só,
tais que
!!" !!" !!"
M = CA + B A .
Demonstração
Vamos agora provar que o torsor se escreve como soma de um cursor com um binário e
depois provar que essa decomposição é única.
!!"
!!" !!"
M = M Au" + B A ⇔
" !!"
Vamos ter que determinar u e B A , e para tal vamos usar a igualdade de torsores
!"
"
R = u" + 0
!!"
!!"
⇔ !!"
" ( )
M ( A) = +
M,Au
A + B A ( A)
-,
.
"
=0
!!"
!!"
M ( A ) momento do torsor em A. Uso A porque é dado. Usamo-lo para facilitar. Neste caso M ( A )
é conhecido.
!!"
"
M Au" ( A ) = 0 pois A é um ponto possível de aplicação (pertence ao suporte)
!"
R = u"
⇔ !!"
.
!!"
M ( A ) = B A ( A )
!!"
Isto significa que a decomposição requerida para M está completamente determinada, pois
!!" !!"
CA = M Au"
!!" !!"
!!"
!!"
B A : B A ( P ) = B A ( A) = M ( A)
é a decomposição única, uma vez escolhido o ponto A.
■
Lead Fox
20
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
Observação
O que acabamos de fazer é uma forma "complicada" da Fórmula de Varignon.
!!"
!!"
!!"
!!"
!!"
!" !!!" !!"
1) ∀ P ∈ E 3 , M ( P ) = M ( A ) + R ∧ AP = B A ( P ) + M AR!" ( P ) = [ B A + M AR!" ]( P )
O que a Fórmula de Varignon nos dá, não é mais do que a decomposição de um torsor na soma
de um binários com um cursor.
A Proposição diz-nos que a decomposição é única para cada escolha do ponto A.
2) Escolhendo o ponto A, a decomposição é
!!"
!!"
!!" !!"
!!"
C A = M AR!"
M = C A + B A ! !!" !!"
.
!!"
B A : B A ( P ) = M ( A)
Escolhamos B ∈ E 3
!!"
!!"
!!" !!"
!!"
C B = M B !R"
M = C B + B B ! !!" !!"
.
!!"
B B : B B ( P ) = M ( B )
Sabemos também que os binários estão relacionados pela Fórmula de Varignon,
!!"
!!"
!!"
!" !!!"
( B ) + R ∧ BA
B A ( P ) = M ( A) = +
M.
!!"
BB ( P)
Assim, a decomposição é única para cada ponto, mas depende do ponto escolhido.
Eixo Central de um Torsor
!!"
!!" !!" !!"
Temos um torsor M e o que fizemos foi decompô-lo na forma M = CA + B A .
/
!!" !"
M AR
O que caracteriza o cursor conhecido, é o seu suporte, ou seja, é o vector livre, e o que
caracteriza o binário é o momento.
Como saber se podemos escolher
!" um binário que seja colinear com o suporte do cursor, uma
vez que ele vai ter direcção do vector R , queremos saber se existem pontos A tal que o momento do
torsor e a resultante geral sejam colineares.
Questão:
!!"
!"
Existirão pontos A tal que o momento do torsor M em A e R sejam colineares, i.e.,
!!"
!" "
∃ A ∈ E 3 : M ( A) ∧ R = 0 ?
1º Caso:
!" "
R = 0 , qualquer ponto de E 3 satisfaz a condição requerida (trivial), logo o caso binário não
tem interesse.
2º Caso:
!" "
R ≠ 0 , ...
Lead Fox
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Cinemática do Sólido
[Eixo Central de um Torsor]
Propriedade!!"
!"
Seja M um torsor cuja resultante geral R é não nula. O lugar geométrico dos pontos P para
!!"
!"
!"
os quais M ( P ) e R são colineares é uma recta com direcção R .
Demonstração
Pretendemos determinar o lugar geométrico dos pontos P para os quais
!!"
!"
∃ α ( P ) ∈ $ : M ( P ) = α ( P ) R , (1)
ou seja, pretendemos encontrar os pontos para os quais o momento é colinear com a resultante
geral.
!!" !" !!"
Consideremos as coordenadas vectoriais de M : R e M (O ) .
Vamos, usando a Fórmula de Varignon, escrever a igualdade (1) usando as coordenadas
vectoriais:
!!"
!!"
!" !!!"
!"
M ( P ) = M (O ) + R ∧ OP = α ( P ) R
!" !!!"
!" !!"
⇔ ∃ α ( P ) ∈ $ : R ∧ OP
/ = α ( P ) R − M (O )
"
x
!" "
!" !!"
(*) R ∧ x = α ( P ) R − M (O ) "problema de divisão vectorial"
O que estamos a fazer é andar à procura dos pontos P para os quais a equação (*) tem
solução.
Este problema tem solução sse
!" "
R ≠ 0 (verifica-se por hipótese)
!" !!"
!"
!" !!"
!" 2 !" !!"
R | M (O )
R | [α ( P ) R − M (O )] = 0 ⇔ α ( P ) R − R | M (O ) = 0 ⇔ α ( P ) =
!" 2
R
Provamos, então, que a existência de solução condiciona o valor α ( P ) a
W
α = α ( P ) = !" 2 , independente do ponto P,
R
com W invariante escalar.
Então, as soluções do "problema de divisão vectorial" são
!" !!"
!"
!!!" R ∧ [ M (O ) − α R ]
!"
OP =
+ λ R (λ ∈ $ )
!" 2
R
!" !!"
!!!" R ∧ M (O )
!"
!"
(*) OP =
+ λ R ( λ ∈ $ ) equação de uma recta com a direcção de R .
!" 2
R
Assim, provamos que o lugar geométrico dos pontos é exactamente uma recta.
■
!" "
Se R = 0 sabemos que o lugar geométrico abrange todo o espaço, logo não faz sentido falar
em eixo.
!" "
de um torsor (com R ≠ 0 )]
Definição [de Eixo Central!!"
!"
Dado um torsor M , cuja resultante geral R é não nula, o lugar geométrico dos pontos P
!" !!"
!"
é
a
única
recta
com
direcção
de
R ) representa-se por
para os quais R e M ( P ) são colineares (que
!!"
∆ e designa-se por eixo central do torsor M .
■
Lead Fox
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Observação/Exemplos
1. Não faz sentido falar em eixo central de um binário porque a sua resultante geral é nula.
"
2. Determinação do eixo central de um cursor Au .
1º Processo:
Determinação da equação de ∆ a partir de (*).
!!"
!" "
!!!" " !"
"
O que vamos ter é R = u e substituir M (O ) por [OA ∧ u ] , R = u , i.e,
!!!"
!!!" u" ∧ [OA ∧ u" ]
"
OP =
+ λu (λ ∈ $ )
"2
u
2º Processo: [consequência imediata da demonstração da propriedade anterior]
!!"
" "
Sabemos que ∆ é o lugar geométrico dos pontos P para os quais M Au" ( P ) = α ( P ) u = 0 .
Assim, por uma propriedade anterior,
!!"
"
∆ ≡ eixo do cursor M Au" (i.e., o suporte do vector deslizante Au ).
Provámos que ∆ contém o eixo do cursor mas como é a única recta, só pode ser
∆ ≡ eixo do cursor.
■
Corolário
!" "
!!"
Seja M um torsor tal que R ≠ 0 .
!!"
!"
!!"
!"
1) Qualquer que seja P ∈ ∆ , M ( P ) = α R (i.e., M ( P ) e R são colineares), e além disso, o
escalar α , que é independente de P, é dado por
W
α = !" 2
R
!!"
2) Então, o momento de M em qualquer ponto do seu eixo central é igual a
!!"
W !" "
M ( P ) = !" 2 R = I ,
R
!!"
o invariante vectorial do torsor M .
!!"
Todos os pontos de"∆ têm
associado
o
mesmo
momento
por
M.
!!"
3) O invariante
vectorial I de M , para além de ser o momento em qualquer ponto do eixo central
!!"
∆ de M , goza ainda da seguinte propriedade
"
!!"
I = min3 M (Q ) .
Q∈E
!!"
!" "
4) O eixo central ∆ do torsor M cuja resultante geral R ≠ 0 , é o lugar geométrico dos pontos
onde a norma do momento é mínima,
!!"
!!"
!!"
"
∆ = P : M ( P ) = min3 M (Q ) = {P : M ( P ) = I } .
+,,,-,,,
.
Q∈E
{
}
=P
Demonstração
"
W !"
W !"
W
3) I = !" 2 R = !" 2 R = !"
R
R
R
Resta provar que
!!"
!"
Sabemos que W = M (Q ) | R , ∀ Q , vem que
!!"
!"
"
!" !!"
!!"
M (Q ) R
I =
cos
R
,
M
Q
≤
M (Q ) .
(
)
(
)
!"
+,,-,,.
R
≤1
Lead Fox
23
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Temos que provar que é o mínimo, mas sabemos que
!!"
"
∀ P ∈ ∆, M ( P ) = I ,
logo, ele é mínimo.
4) Provemos que ∆ = P .
Pela propriedade 3), concluímos que
!!"
"
∀ P ∈ ∆, M ( P ) = I ⇒ P ∈ P .
Logo ∆ ⊆ P .
Resta provar que ∆ ⊇ P (ou seja, que P se reduz a uma recta)
Consideremos
!!"
!"
!!"
!"
!!"
"
!"
!"
M ( P ) R cos ( M ( P ) , R )
W
W
W
∀ P ∈ P,
M ( P ) = I = !" 2 R = !" 2 R = !" =
=
!"
R
R
R
R
!!"
!!"
!"
= M ( P ) cos ( M ( P ) , R )
!!"
"
M (P) = 0
!!"
!!"
!"
M ( P ) cos ( M ( P ) , R ) =0 ⇒ ou
!!"
!"
cos ( M ( P ) , R ) = ±1
!!"
"
1ºCaso: M ( P ) = 0
!!"
!!" !!"
!"
"
M ( P ) = 0 ⇒ M = M P !R" ⇒ P pertence ao suporte de PR ⇒
!!" !!"
⇒ P pertence ao eixo central de M = M P !R"
!!"
!"
2ºCaso: cos ( M ( P ) , R ) = ±1
!!"
!"
!!"
!"
!!"
!"
cos ( M ( P ) , R ) = ±1 ⇒ ) ( M ( P ) , R ) = 0, π ⇒ M ( P ) e R são colineares ⇒ por def., P ∈ ∆
■
Conclusão
!" " !!"
!!"
O eixo central ∆ do torsor M dado pelas suas coordenadas vectoriais R ≠ 0 e M (O ) ,
!" !!"
!!!" R ∧ M (O )
!"
i) é a recta de equação vectorial OP =
+ λ R (λ ∈ $ ) ;
!" 2
R
!!"
!" "
ii) é o lugar geométrico dos pontos P onde M ( P ) ∧ R = 0 (elementos de redução colineares), e
!!"
"
tem-se M ( P ) = I , ∀ P ∈ ∆ ;
!!"
iii) é o lugar geométrico dos pontos P onde o momento de M tem norma mínima.
■
2. Redução Canónica do Torsor
!!"
M
!"
"
(R ≠ 0)
!!" !!" !!!"
Para cada ponto P ∈ E 3 , M = CP + BP .
!!!"
A questão colocada foi: "Existirão pontos P para os quais o momento do binário BP é
!!"
!!"
!"
colinear com o eixo do cursor CP ?", i.e., existirão pontos P onde M ( P ) e R são colineares?
!!"
A resposta é sim. O conjunto de todos estes pontos é uma recta (é o eixo central ∆ de M ).
!!" !!" !!!"
No entanto, surge outra questão: "Dado P ∈ ∆ , a decomposição M = CP + BP é única ou
depende do ponto escolhido sobre o eixo ∆ ?"
A resposta é sim, vamos então prová-lo.
Lead Fox
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!!" !" "
Sejam P e Q dois pontos de ∆ , o eixo central de M ( R ≠ 0 ),
!!" !!"
!!" !!" !!!" CP = M P !R"
P: M = CP + BP !!"
!!"
",
(
)
(
)
B
P
=
M
P
=
I
P
!!" !!" !"
!!" !!" !!!" CQ = M Q R
Q: M = CQ + BQ !!"
!!"
",
B
Q
=
M
Q
=
I
(
)
(
)
Q
!!"
!!"
donde B P = BQ , pois temos o mesmo momento.
Vamos comparar os binários e os cursores.
!"
!"
!!" !!"
PR = QR → CP = CQ 2 vectores deslizantes associados ao mesmo vector.
[Redução canónica]
Propriedade/Definição
!!"
!!"
Seja M um torsor com resultante geral não nula, M decompõe-se de forma única na soma
de um cursor com um binário colineares (o momento do binário e o eixo do cursor são colineares).
!!"
Esta decomposição designa-se por redução canónica de M .
■
Observe-se que a demonstração que efectuamos consiste em duas partes:
!!"
!"
1ª parte: existência de pontos P onde M ( P ) e R são colineares - conjunto das
soluções ≡ ∆ .
2ª parte: unicidade da decomposição.
3. Caracterização (ou Redução) de um Torsor
cursores
!!"
M binários
!!" !!!"
!!"
M = CA + BA
!!"
qualquer que seja o torsor M
.
Na prática,
!!" como é que identificamos um torsor?
Seja M um torsor qualquer,
!!" !"
!" "
!!"
1. Se a resultante geral de M , R , for nula ( R = 0 ), então M é um binário (por definição);
!" " !!"
2. R ≠ 0 , M é um cursor ou é a soma de um cursor com um binário:
!!"
!!"
!"
i.
Se W = M (O ) | R = 0 então M é um cursor;
!!"
!"
!!" !!" !!!"
ii. Se W = M (O ) | R ≠ 0 então M = CP + BP .
dos cursores não nulos]
Propriedade [Característica
!!"
!"Um torsor M é um cursor não nulo sse o seu invariante escalar seja nulo com a resultante
geral R não nula.
Demonstração
"=>" Condição
!!" necessária
Hipótese: M é um cursor não nulo.
!" "
Tese: R ≠ 0 e W = 0
Lead Fox
25
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!" "
!!"
Por absurdo, se R = 0 , como M é um cursor,
!!"
"
∃ P : M (P) = 0 ,
!!"
!" "
!!"
então, os elementos de redução de M em P seriam ambos nulos, logo R ≠ 0 e W = 0 porque M é
um cursor (propriedade anterior). Absurdo!
"<=" Condição suficiente
!" "
Hipótese:
!!" R ≠ 0 e W = 0 .
Tese: M é um cursor não nulo.
!" "
!!" "
R ≠ 0 ⇒ M ≠ 0.
!!"
Basta agora, mostrar que M é um
!!" cursor.
Vamos provar que o momento M é nulo nalgum ponto.
!" "
!!"
Como R ≠ 0 , faz sentido considerar o eixo central ∆ de M . Consideremos A ∈ ∆ , então
!!"
!"
M ( A) e R são colineares por definição de ∆ .
!!"
!" "
!!"
!"
!!"
!" "
"
Como M ( A ) ∧ R = 0 e M ( A) | R = W = 0 , concluímos que M ( A) = 0 , pois R ≠ 0 por
hipótese.
Temos 2 vectores que por um lado são colineares e por outro são "ortogonais". Assim, temos
!" "
!!"
"
que um deles tem que ser nulo, mas como por hipótese R ≠ 0 , temos que M ( A) = 0 .
■
Propriedade [Caracterização (ou Redução) de Torsores]
!!"
!" !!"
Para a caracterização de um torsor M de coordenadas vectoriais, R e M (O ) , servimo-nos
da sua invariante escalar W e tem-se
!!"
!"
1) Se W = M (O ) | R = 0 então
!" " !!"
!!" "
"
- Se R = 0 e M (0 ) = 0 então M = 0 (torsor nulo);
!!"
!!"
"
e M (0 ) ≠ 0 então M é um binário não nulo.
!" "
!!"
- Se R ≠ 0 então M é um cursor não nulo.
!!"
2) Se W ≠ 0 , então M não é nem um binário nem um cursor, mas pode decompor-se sempre na
soma de um binário com um cursor, e esta decomposição não é única.
■
Na dinâmica, os sistema de forças aparecem-nos como vectores aplicados, então podemos
substituí-los por torsores. O sistema de forças pode ser substituído por 3 forças aplicadas (2 vectores
vindos do binário e um do cursor).
de um torsor em relação a um eixo]
Propriedade [Momento
!!"
Sejam M um torsor e Ouˆ o eixo que passa pelo ponto O e tem direcção do versor û .
Então, qualquer que sejam os pontos P e Q de Ouˆ , tem-se
!!"
!!"
uˆ | M ( P ) = uˆ | M (Q ) ,
!!"
!!"
i.e., as projecções sobre Ouˆ dos momentos M ( P ) e M (Q ) são iguais.
Demonstração
Exercício.
Vemos directamente a equiprojectividade que define o torsor. Usando a Fórmula de
Varignon obtemos o desejado.
■
Lead Fox
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Definição
!!"
!!"
Dado o torsor M e o eixo Ouˆ , chamamos momento do torsor M em relação ao eixo Ouˆ ,
ao escalar MOuˆ ,
!!"
MOuˆ = uˆ | M ( P ) ,
com P um ponto de Ouˆ .
■
!!"
Observe-se que MOuˆ é um escalar e M (O ) é um vector.
4. Comomento ou Produto de 2 Torsores
!!" !!"
!"
!"
Consideremos os torsores M1 e M2 , cujas resultantes gerais são R1 e R 2 , respectivamente,
e cujas coordenadas são
!!"
!!" !!"
M1 → ( R1 , M1 ( P )) ,
!!"
!!" !!"
e M2 → ( R2 , M2 ( P )) .
Propriedade
A função
ϕ : E3 → $
!!" !!"
!!" !!"
P ( ϕ ( P ) = R1 | M2 ( P ) + R2 | M1 ( P )
é constante, i.e., ∀ P, Q ∈ $, ϕ ( P ) = ϕ (Q ) .
Demonstração
(exercício)
■
Definição
!!" !!"
Chamamos comomento (ou produto) de 2 torsores M1 e M2 , ao escalar
!!" !!"
( M1 , M2 ) = ϕ ( P )
■
5. Propriedades do Campo das Velocidades de um Sólido
Instante t
S
no
" " "
S um sólido em movimento em relação ao referencial R = (O, e1 , e2 , e3 ) durante o
intervalo de tempo I.
t ∈ I , campo das velocidades de S no instante t:
!!"
!!"
"
Vt : P (t ) ∈ S ( t ) ⊂ E 3 ( Vt ( P (t )) = vP (t )
!!"
!!"
Provámos, a partir da definição que Vt é um campo de vectores equiprojectivo, sse Vt é um
torsor, ∀ t ∈ I (teoria dos torsores - campos equiprojectivos com domínio contido em E 3 ).
Vamos agora aplicar toda a terminologia dos torsores a este estudo.
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27
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Definição 5.1.
!!"
a) O campo das velocidades de S no instante t, Vt , é também conhecido por torsor das
velocidades de S no instante t, ou por torsor cinemático de S no instante t.
!!"
!"
b) A resultante geral de Vt representa-se por Ω (t ) e chama-se vector de rotação de S no instante
t.
!!"
!"
"
c) Ao eixo central de Vt , caso exista (i.e., quando Ω (t ) ≠ 0 ), chamamos eixo de rotação de S no
instante t (eixo instantâneo quando não se específica o instante).
■
!!"
!!"
!!"
"
∀t ∈ I , Vt é um torsor: Vt : P (t ) ∈ S ( t ) ⊂ E 3 ( Vt ( P (t )) = vP (t ) , e por isso podemos
aplicar a Fórmula de Varignon.
A propriedade característica vai-se aplicar a 2 pontos,
!!!!!!!!!!!"
!!"
!!"
!"
∀P (t ) , Q (t ) ∈ S (t ) , Vt (Q (t )) = Vt ( P (t )) + Ω (t ) ∧ P (t ) Q (t )
+,,,-,,,.
∀P ,Q∈ S
Podemos traduzir a Fórmula de Varignon por
!"
!!!"
"
"
∀P, Q ∈ S , vQ (t ) = vP (t ) + Ω (t ) ∧ PQ (t ) .
%&&&'
vector ligado
a S
Podemos então dizer que
"
" !" !!!"
∀P, Q ∈ S , vQ = vP + Ω ∧ PQ
Conclusão
A determinação dos campos das velocidades de S | R , reduz-se à determinação
"
- da velocidade de um ponto de S arbitrariamente escolhido, A, v A ;
- da função vectorial de variável real
!"
!"
!!"
Ω : t ∈ I ( Ω (t ) resultante geral de Vt .
■
Revisão [descrição analítica do movimento de um sólido]
Precisamos conhecer
1) O movimento de um ponto de S , digamos A : x A , y A , z A ;
" " "
2) Base móvel { f1 , f 2 , f 3 } , ortonormada directa construída por vectores ligados a S ,
" !!!!"
f i = ABi , i = 1, 2,3 .
■
"
Comparando este resultado com a conclusão anterior, vemos que conhecendo v A ,
!"
determinamos a lei do movimento
e é claro que Ω será determinado usando 1) e 2).
!"
Vamos provar que Ω é completamente determinado a partir de uma base ortonormada
directa ligada a S .
Propriedade 5.1.
" " "
Seja ( A, f1 , f 2 , f 3 ) um referencial ligado a S .
!!!"
!"
!!!"
!!" !!" !!!"
d PQ
(t ) = Ω
(
)
(
)
a) ∀P, Q ∈ S , ∀t ∈ I ,
t
∧
PQ
t
=
L Ω(t ) ( PQ (t )) , com L a aplicação linear anti/
dt
!" 3
∈E
simétrica;
Lead Fox
28
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!!"
d f i !" !!"
b)
= Ω ∧ fi , i = 1, 2,3 ! Fórmula de Poisson;
dt
!!"
!" 1 3 !!" d f i
c) Ω = ∑ f i ∧
2 i =1
dt
Demonstração
a) Temos
!!!" !!!"
!!!"
d PQ d (OQ − OP ) "
"
=
= vQ − v p ,
dt
dt
e sabemos, pela Fórmula de Varignon aplicada a cada instante no torsor cinemático que
"
" !" !!!"
vQ = vP + Ω ∧ PQ ,
então
!" !!!"
"
"
vQ − vP = Ω ∧ PQ ,
donde se conclui
!!!"
d PQ !" !!!"
= Ω ∧ PQ .
dt
b) Caso particular de a), pois basta considerar P ≡ A e Q ≡ Bi .
!" 3
"
"
"
c) ∀t ∈ I , { f1 (t ) , f 2 (t ) , f3 (t )} base ortonormada directa de E
!!"
!"
Se considerarmos L Ω!!" (t ) , a aplicação anti-simétrica associada ao vector Ω (t ) , (pela tabela 1)
temos que
!"
!!"
!!"
1 3 !!"
Ω (t ) = ∑ f i (t ) ∧ L Ω!!" (t ) ( f i (t )) .
2 i =1
Sabemos por definição que
!!"
!!" !!" !!"
!"
!!"
d fi
L Ω (t ) ( f i ( t ) ) = Ω ( t ) ∧ f i ( t ) =
.
def.
b) dt
!!"
de L
■
Consequências
1) Escrevendo
!"
"
"
"
Ω (t ) = pf1 + qf 2 + rf 3 ,
as componentes p, q e r podem obter-se da seguinte forma:
!!"
d f 2 !!"
p=
∧ f3 ,
dt
!!"
d f 3 !!"
q=
∧ f1 ,
dt
!!"
d f1 !!"
r=
∧ f2 .
dt
!"
2) A função vectorial de variável real Ω é de classe C k −1 ( k ≥ 2 ) , o que implica que admite
!!"
3 !!
!!"
!"
"
d
f
1
derivadas de 1ª ordem contínuas. Como fi é de classe C k ( k ≥ 2 ) e Ω = ∑ f i ∧ i ,
2 i =1
dt
k −1
temos que a sua classe é C .
Lead Fox
29
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Demonstração
1)
Consideremos
!!"
!" !!" !!" !" !!" !!"
!" !!" !!"
d f i !!"
| f j = Ω ∧ f i | f j = Ω | f i ∧ f j = Ω, f i , f j
dt
Por exemplo i = 1 e j = 2 , temos
!!"
d f1 !!" !" !!" !!" !" !!"
| f 2 = Ω | f1 ∧ f 2 = Ω | f3 = r .
dt
Determinar-se-ia p e q de modo análogo.
■
6. Campos das Acelerações do Sólido S | R
Definição 6.1.
Chamamos campo das acelerações de S , no instante t, ao campo de vectores
!!"
!!"
"
At : P (t ) ∈ S (t ) ⊂ E 3 ( At ( P (t )) = aP (t )
"
onde aP (t ) representa a aceleração do ponto P | R .
■
Será que estes campos ainda são torsores? Não, nem sempre.
!!"
At é ainda um torsor? Nem sempre.
Lema
"
1) aQ
"
2) aQ
"
3) aQ
∀P, Q ∈ S ,
!"
d Ω !!!" !" !" !!!"
"
= aP +
∧ PQ + Ω ∧ ( Ω ∧ PQ ) ;
dt
!"
d Ω !!!" !" "
"
"
= aP +
∧ PQ + Ω ∧ (vQ − v p ) ;
dt
!"
d Ω !!!" !" !!!" !" !" 2 !!!"
"
= aP +
∧ PQ + ( Ω | PQ ) Ω − Ω PQ
dt
Demonstração
1) Pela Fórmula de Varignon, sabemos que
"
" !" !!!"
∀P, Q ∈ S , vQ = v p + Ω ∧ PQ (*)
Derivando ambos os membros em ordem a t,
!"
!!!"
d Ω !!!" !"
d PQ
"
"
aQ = aP +
∧ PQ + Ω ∧
.
dt
dt
/
!!" !!!"
=Ω∧ PQ
pela prop. 5.1. a)
2) Usando (*) temos
substituindo em 1), vem que
!" !!!"
"
"
vQ − v p = Ω ∧ PQ ,
!"
!" !!!"
d Ω !!!" !"
"
"
aQ = aP +
∧ PQ + Ω ∧ Ω ∧ PQ .
,"-,
.
dt
+
"
= vQ − v p
Lead Fox
30
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
3) Aplicação de Fórmula de Lagrange para o duplo vectorial (tabela 1 de M.R. I)
" " "
" " " " " "
a ∧ (b ∧ c ) = ( a | c ) b − ( a | b ) c
■
Propriedade 6.1.
!!"
!"
"
O campo das acelerações de um sólido S no instante t, At , é um torsor sse Ω (t ) ≠ 0 .
Demonstração
!!"
!!"
At é um torsor sse At for equiprojectivo
!!!!!!!!!!!" !!"
!!!!!!!!!!!"
!!"
sse ∀P, Q ∈ S , At ( P (t )) | P (t ) Q (t ) = At (Q (t )) | P (t ) Q (t )
!!!"
"
"
sse ∀P, Q ∈ S , aQ (t ) − aP (t ) | PQ (t ) = 0 .
Temos que
!"
!!!" d Ω !!!" !" !!!" !" !" 2 !!!" !!!"
"
"
∧ PQ + ( Ω | PQ ) Ω − Ω PQ | PQ =
aQ − aP | PQ =
dt
!"
d Ω !!!" !!!" !" !!!" !" !!!" !" 2 !!!" !!!"
=
∧ PQ | PQ + ( Ω | PQ ) Ω | PQ − Ω PQ | PQ =
dt ,-,,
+,,
,
.
=0
!" !!!" !" !!!"
!" 2 !!!" !!!"
!" !!!" 2 !"
= ( Ω | PQ )( Ω | PQ ) − Ω ( PQ | PQ ) = ( Ω | PQ ) − Ω
Então
!!"
!" !!!" 2 !" 2 !!!" 2
At é um torsor sse ∀P, Q ∈ S , ( Ω | PQ ) − Ω PQ = 0
!" 2 !!!" 2
!" !!!"
!" 2 !!!" 2
sse ∀P, Q ∈ S , Ω PQ cos 2 ( Ω | PQ ) − Ω PQ = 0
!" 2 !!!" 2
!" !!!"
sse ∀P, Q ∈ S , Ω PQ cos 2 ( Ω | PQ ) − 1 = 0
!!!"
Como os pontos são quaisquer, temos que PQ não pode ser nulo. Logo,
!"
!"
!!!"
"
ou Ω (t ) = 0 ou cos 2 ( Ω (t ) , PQ (t )) = 1 .
Se o sólido S contiver pelo menos 3 pontos não colineares, podemos dizer que
!!"
!"
"
" At é um torsor sse Ω (t ) = 0 "
(
2
!!!"
PQ
2
)
■
Observe-se que esta demonstração diz respeito ao instante t, não é uma propriedade do
movimento
7. Estudo de Alguns Movimentos Particulares do Sólido
" " "
S um sólido em movimento em relação ao referencial R = (O; e1 , e2 , e3 ) - movimento de
S|R.
No estudo do movimento de um sólido, temos interesse em considerar um referencial
" " "
(móvel), auxiliar ( A; f1 , f 2 , f 3 ) (ref. ligado a S ), definido à custa de 4 pontos de S (ou ligados a
" !!!!"
ele): A, B1 , B2 , B3 , f i = ABi i = 1, 2,3 .
Vamos também considerar esta situação
3
!!!"
!!!"
"
∀P ∈ S , OP (t ) = OA (t ) + ∑ γ i ( P ) f i (t ) .
i =1
Lead Fox
31
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7.1. Movimentos de Translação
Definição
Diz-se que um sólido S está animado de um movimento de translação durante o intervalo
de tempo I em relação ao referencial R, se qualquer vector ligado a S permanecer constante ao
longo do movimento, i.e.,
!!!!!!!!!!!" !"
∀P, Q ∈ S : ∀t ∈ I P (t ) Q (t ) = C ( P, Q ) ,
!"
onde C ( P, Q ) é um vector que apenas depende dos pontos P e Q (não depende de t).
■
!"
Conhecendo o ponto Q (t1 ) , aplicamos o vector C ( P, Q ) e obtemos P (t1 ) .
Recapitulando
" " "
S um sólido em movimento em relação ao referencial R = (O; e1 , e2 , e3 ) , durante um
intervalo de tempo I.
O movimento de S | R é de translação se
!" 3
!!!"
"
"
∀P, Q ∈ S : ∃ c ( P, Q ) ∈ E : ∀ t ∈ I PQ (t ) = c ( P, Q ) (independente de t)
Trajectória de Q
■
Observação
Porquê "movimento de translação"?
St0 ∈I é um sólido
it : P (t0 ) ∈ S (t0 ) ( it ( P (t0 )) = P (t ) ∈ S (t ) ⊂ E 3 (isometria positiva)
■
Revisão
Vamos mostrar que se o movimento de S | R for de translação, então ∀ t ∈ I , it é uma
translação, ou seja que satisfaz a seguinte definição:
"Chamamos translação no espaço afim E 3 a toda a aplicação
"
Tc" : A ∈ E 3 ( Tc" ( A) = A′ ∈ E 3 tal que AA′ = c ,
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" !" 3
com c ∈ E .
"
Tc" diz-se a translação do vector c .
■
Exercício
Mostre que
" !" 3
1. ∀ c ∈ E , Tc" é uma isometria positiva (a mais simples que conhecemos).
2. O conjunto das translações munido da composição é um grupo (isomorfo ao grupo abeliano dos
vectores livres).
Pretendemos provar que
∀ P∈ S
ou seja, i.e. equivalente a provar que
!!!!!!!!!!!!!!!!!"
P (t0 ) it ( P (t0 )) é constante,
!!!!!!!!!!!!" !!!!!!!!!!!!"
∀ P , Q ∈ S P ( t 0 ) P ( t ) = Q ( t0 ) Q ( t )
Mas o que sabemos é que, como o movimento é de translação
!!!!!!!!!!!!!" ? !!!!!!!!!!!"
∀ P, Q ∈ S P (t0 ) Q (t0 ) = P (t ) Q (t ) (=vector ligado ao sólido é constante)
Vejamos que estes dois últimos são equivalentes
Propriedade dos paralelogramos
!!!!!!!!!!!!" !!!!!!!!!!!!"
P ( t 0 ) P ( t ) = Q ( t 0 ) Q (t )
Logo, se o movimento de S | R for de translação, ∀ t ∈ I , it é uma translação.
Reciprocamente, se existir t0 ∈ I tal que
∀ t ∈ I , it é uma translação,
então o movimento de S | R é um movimento de translação (exercício auxiliar).
■
Exercício [auxiliar]
!!!!!!!!!!!!" !!!!!!!!!!!!"
Por hipótese temos que P (t0 ) P (t ) = Q (t0 ) Q (t ) , então pela regra do paralelogramo temos
!!!!!!!!!!!!!" !!!!!!!!!!!"
P (t0 ) Q (t0 ) = P (t ) Q (t ) , o que implica que o movimento é de translação.
■
Na prática, para ver se um movimento é ou não de translação usamos a propriedade
enunciada seguidamente.
Propriedade 7.1.1. [Característica]
É condição necessária e suficiente para que o movimento de um sólido S seja de
" " "
translação que 3 vectores f1 , f 2 , f3 ligados a S constituindo uma base (móvel) ligada a S , sejam
independentes de t.
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Demonstração
1. Condição necessária é trivial.
Movimento de translação ⇒ todos os vectores ligados ao sólido são independentes de t ⇒ em
" !!!!"
particular para estes 3, f i = ABi , i = 1, 2,3 , A, B1 , B2 , B3 ∈ S ou ligados a S .
2. Condição suficiente
Hip.: f i não depende de t (i = 1, 2,3) ;
Tese: o movimento de S | R é de translação ⇔
!!!!!!!!!!!" "
!" 3
"
∀ P, Q ∈ S ∃ c ( P, Q ) ∈ E : ∀ t ∈ I , P (t ) Q (t ) = cPQ .
temos
!" 3
"
∀ t ∈ I , { fi (t ) | i = 1, 2,3} é uma base de E .
!!!!!!!!!!!" 3
"
f i (t ) é independente de t,
∀ P, Q ∈ S , ∀ t ∈ I , P ( t ) Q ( t ) = ∑ γ i /
"
i =1
= fi
!!!"
"
"
porque γ i e f i são independentes de t, pois f i (i = 1, 2,3) , e PQ estão ligados a S . O que implica
que o movimento de S | R é de translação (por definição).
■
Observação
" " "
Se o movimento de S | R for de translação e ( A; f1 , f 2 , f 3 ) for um referencial ligado a S ,
então os eixos serão paralelos ao longo de todo o movimento.
Observe-se que o movimento do ponto A, não é necessariamente rectilíneo.
■
Vamos agora estudar o movimento, visto já termos estudado as suas características.
A) Definição e Caracterização.
B) Estudo dos movimentos de translação.
" " "
S é um sólido animado de um movimento de translação em relação a R = (O; e1 , e2 , e3 )
" " "
( e1 , e2 , e3 são independentes de t)
1º) Descrição analítica do movimento de S | R
Revisão:
No caso geral do movimento de um sólido livre precisamos de 6 funções reais de variável
real
x A , y A , z A que determinam as equações finitas do movimento de um ponto A de S
" " "
3 funções que determinam f1 , f 2 , f3 ( base ligada ao sólido )
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" " "
Como o movimento é de translação, sabemos que f1 , f 2 , f3 são independentes de t. Logo, se
conhecermos a posição de S num instante particular t0 , conhecemos a posição de todos os seus
pontos.
!!!!!!!!!!!!!" !!"
!!"
A (t0 ) B (t0 ) = f i ( t0 ) = f i , ∀ t ∈ I
!!"
Logo, as 3 funções que determinam fi estão automaticamente determinadas.
Temos assim que a posição de S num instante particular t0 ,
" " "
movimento de translação, a base (móvel) { f1 , f 2 , f 3 } .
Deste modo, acabamos de demonstrar a propriedade que se segue.
( S (t )) ,
0
determina no
Propriedade 7.1.2.
a) Todo o movimento de translação de um sólido fica completamente determinado pelo
movimento de qualquer um dos seus pontos.
b) Qualquer movimento de translação de um sólido é determinado, no máximo, por 3 funções reais
de variável real (3 parâmetros), ou seja, S tem apenas 3 graus de liberdade (no máximo),
porque se o movimento do ponto for plano, por exemplo, o movimento é descrito por duas
funções.
■
Observação
1. O estudo deste tipo de movimento reduz-se ao estudo do movimento de pontos materiais
[Cinemática do Ponto].
2. A descrição analítica do movimento de translação de S | R é feita através das 3 funções
!!!"
"
"
"
xA , y A , z A , com OA = x A e1 + y A e2 + z A e3 , sendo A um ponto escolhido arbitrariamente em S .
Se tivermos a expressão analítica do movimento de S , como podemos passar para a
equação do movimento de um seu qualquer ponto.
2º) Determinação do movimento de um qualquer ponto P de S (ou ligado a ele), a partir de um
conjunto de parâmetros que descreve o movimento de S .
Dados:
- O movimento de A (ponto de S ou ligado a ele) em relação a R.
O que vamos ter, são as equações finitas do movimento
x A = x A (t )
y A = y A (t )
z A = z A (t )
- A posição de S no instante particular t0 ∈ I , S (t0 ) (condições iniciais).
Vamos considerar P um ponto arbitrário de S .
Pretendemos determinar a lei do movimento, ou seja,
? "
!!!"
∀ t ∈ I , OP (t ) = rP (t ) .
Sabemos que
!!!!!!!!!!!"
!!!"
!!!"
!!!"
"
"
"
OP (t ) = OA (t ) + A (t ) P (t ) = xA (t ) e1 + y A (t ) e2 + z A (t ) e3 + %&&&
AP (t') .
vector ligado
a S
Lead Fox
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!!!"
Mas o movimento de S é de translação, o que implica que AP vai permanecer constante,
independente de t, logo determinamo-lo recorrendo a um instante particular.
Sabemos então que, como o movimento de S | R é de translação,
!!!!!!!!!!!!!"
!!!"
!!!"
∀ t ∈ I , AP (t ) = AP (t0 ) = A (t0 ) P (t0 )
que se conhece, pois S (t0 ) é dado.
Logo, ∀ t ∈ I ,
!!!"
!!!"
!!!"
OP (t ) = OA (t ) + AP (t0 )
+-.
!" 3
"
= c ( A, P )∈E
Temos então que, o movimento de P | R está assim completamente determinado!
A partir da lei do movimento de P determinamos:
1. A trajectória (muito fácil) de P, se obtém a partir da trajectória de A por uma translação de
"
vector c ( A, P ) ; geometricamente, significa que as trajectórias de quaisquer pontos de S são
geometricamente iguais;
2. A velocidade de P:
!!!"
!!!"
!!!"
dOP d OA d AP "
"
"
"
vP =
=
+
= v A ⇒ ∀ P ∈ S , v p := v ;
dt
dt
dt
/
"
=0
3. A aceleração de P:
"
"
aP = a A ,
"
"
aP := a ;.
Propriedade 7.1.3.
Durante um movimento de translação de um sólido S , todos os seus pontos descrevem
trajectórias geometricamente iguais, com a mesma velocidade (e portanto, com a mesma
aceleração).
Demonstração
[Exercício]
■
Vamos então passar a terminologia do ponto material para o sólido.
Definição 7.1.2.
(a) Chamamos velocidade (respectivamente aceleração) do sólido S , animado de um
movimento de translação, à velocidade (respectivamente aceleração) de qualquer um dos seus
pontos.
(b) O movimento de translação de um sólido S diz-se rectilíneo (respectivamente, circular,
helicoidal, uniforme, variado, uniformemente variado, ...), se o for o movimento de um dos
seus pontos.
■
Vamos agora introduzir os torsores.
3º) Estudo dos torsores cinemáticos e dos campos de acelerações no movimento de translação.
A) Torsor Cinemáticos de S no instante arbitrário t ∈ I :
!!"
!!"
"
"
Vt : P (t ) ∈ S ( Vt ( P (t )) = v p (t ) = v (t ) .
Lead Fox
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"
"
"
Vimos anteriormente que ∀ P ∈ S , v p (t ) = v A (t ) = v ∀ t ∈ I .
Isto significa que este campo de vectores faz sempre corresponder o mesmo vector. Logo,
!!"
!"
"
Vt é um campo uniforme3 ⇔ Ω (t ) = 0, ∀ t ∈ I
⇒ está completamente determinado.
B) Campo das Acelerações S no instante t:
!!"
!!"
"
At : P (t ) ∈ S (t ) ( At ( P (t )) = a (t )
!!"
At é um binário.
Podíamos ainda chegar à conclusão que o campo das acelerações que é um binário a partir de
!!"
!"
"
Vt ⇒ Ω (t ) = 0, ∀ t ∈ I
4º) Caracterização dos movimentos de translação de um sólido
Propriedade 7.1.4. [Caracterização dos Movimentos de Translação]
É condição necessária e suficiente para que o movimento de um sólido S seja de
translação que
"
Ω (t ) = 0, ∀ t ∈ I
Demonstração
Já provamos a condição necessária, provemos agora a condição suficiente.
Condição suficiente:
!"
"
Hipótese: Ω (t ) = 0, ∀ t ∈ I .
Tese: O movimento de S | R é de translação.
Consequência imediata das Fórmulas de Poisson:
"
df i !" "
=Ω
/ ∧ f i i = 1, 2,3 ,
dt = 0"
donde concluímos que
"
df i "
= 0 i = 1, 2,3 .
dt
"
Então f i é constante, i = 1, 2,3 , o que implica que o movimento de S | R é de translação
(propriedade 7.1.1)
■
Esta propriedade pode ser enunciada de 3 (três) modos diferentes.
Proposição 7.1.5.
1. O movimento de um sólido S é de translação sse os torsores cinemáticos de S forem
binários, i.e.,
!!"
∀ t ∈ I , Vt for um binário;
2. O movimento de um sólido S é de translação sse os campos das acelerações de S forem
binários, i.e.,
!!"
∀ t ∈ I , At for um binário
■
3
que vimos ser um BINÁRIO.
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37
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7.2. Movimentos de Rotação em Torno de um Eixo
A. Definição do Movimento de Rotação
Definição 7.2.1.
" " "
a) Diz-se que o movimento do sólido S em relação ao referencial R = (O; e1 , e2 , e3 ) , é de rotação
em torno de um eixo se existirem dois pontos de S ou ligados a ele, P1 e P2 , que permaneçam
em repouso em relação a R durante todo o movimento.
b) À recta que P1 P2 chamamos eixo de rotação de S . Também se diz "o movimento de rotação
em torno do eixo P1 P2 ".
■
Observações
1. Porquê a designação "movimento de rotação em torno de um eixo"?
Vamos para o domínio da geometria das transformações.
A) Revisão
i) Rotação no espaço afim E 3 é toda a isometria positiva que deixa fixos dois pontos,
i : E 3 → E 3 isometria positiva tal que ∃A, B ∈ E 3 : i ( A ) = A e i ( B ) = B .
ii) Propriedade: Se i for uma rotação que deixa fixos os pontos A e B, então i deixa fixos
todos os pontos da recta AB.
Demonstração: [exercício] Resulta do facto de as rotações serem uma isometria:
preservam as distâncias.
iii) A recta AB é chamada eixo de rotação de i. i diz-se uma rotação em torno do eixo AB.
B) S é um sólido com movimento de rotação em torno de P1 P2 ,
∀ t ∈ I , it : P (t0 ) ∈ S (t0 ) ⊂ E 3 ( it ( P (t0 )) = P (t )
é uma isometria positiva ( S é um sólido).
O movimento de S | R deixa fixos os pontos P1 e P2 , i.e.,
∀t ∈ I , it ( P1 (t0 )) ≡ P1 (t ) ≡ P1 (t0 ) ≡ P1
it ( P2 (t0 )) ≡ P2 (t ) ≡ P2 (t0 ) ≡ P2
(podemos designar assim porque os pontos mantêm-se fixos).
O que estamos a dizer é que
∀t ∈ I , a isometria positiva it deixa fixos os pontos P1 e P2 .
Como os mantém fixos ao longo do movimento temos que
∀t ∈ I , it é uma rotação em torno do eixo P1 P2 ,
pela propriedade anteriormente enunciada, e assim podemos dizer que
∀t ∈ I , it deixa fixos todos os pontos da recta P1 P2 .
∀t ∈ I , ∀A ∈ P1 P2 , it ( A ) = A
∀A ∈ P1 P2 ! "existem pontos de S ", "existem pontos que não pertencem a S ", "pode haver
pontos que não pertencem a S ".
Concluímos o seguinte:
- o movimento de rotação de S em torno de P1 P2 deixa fixos todos os pontos de S
situado sobre P1 P2 .
- os pontos do eixo de rotação que não pertencem a S , permanecem ligados a S , ou
seja, se considerarmos
Lead Fox
38
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∀A ∈ P1 P2 , ∀Q ∈ S ,
Cinemática do Sólido
!!!"
AQ (t0 )
=
porque
temos uma
isometria
!!!!!!!!!!!!!!!!"!
!!!"
it ( A) it (Q (t0 )) = AQ (t )
∀t ∈ I .
Por termos esta igualdade, temos que os pontos se mantêm ligados a S .
Propriedade 7.2.1.
a) Se o movimento de S for de rotação em torno de P1 P2 , então
1) ∀t ∈ I , it é uma rotação em torno de P1 P2 ;
2) Todos os pontos do eixo de rotação são pontos de S (e permanecem em repouso durante
todo o movimento) ou são pontos ligados a S durante todo o movimento.
b) Reciprocamente, se existir t0 ∈ I tal que para todo o instante t ∈ I , as isometrias positivas
it : P (t0 ) ∈ S → it ( P (t0 )) = P (t )
são rotações em torno do eixo AB , então o movimento de S é um movimento de rotação em
torno do eixo AB (constituído por pontos de S ou a ele ligados)
Demonstração
a)
1)
Por hipótese temos que o movimento de S é de rotação em torno de P1 P2 . Logo, o
movimento de S | R deixa fixos os pontos P1 e P2 .
Pretendemos provar que
∀ t ∈ I , it (isometria positiva) é uma rotação em torno de P1 P2 .
Como it é uma isometria positiva temos que
∀ t ∈ I , it : P (t0 ) ∈ S (t0 ) ⊂ E 3 ( it ( P (t0 )) = P (t ) ,
donde
it ( P1 (t0 )) = P1 (t )
e it ( P2 (t0 )) = P2 (t )
Como P1 e P2 se mantêm fixos ( S animado do movimento. de rotação),
it ( P1 (t0 )) = P1 (t ) ≡ P1 (t0 ) ≡ P1
e it ( P2 (t0 )) = P2 (t ) ≡ P2 (t0 ) ≡ P2 .
Isto é, a isometria it deixa fixos pelo menos 2 pontos, logo podemos concluir que a
isometria é uma rotação.
2)
Sabemos, por uma propriedade anterior, que uma vez que it é uma rotação e deixa fixos os
pontos P1 e P2 , também deixa fixos todos os pontos da recta P1 P2 . Pretendemos no entanto provar
que o movimento. de rotação de S em torno de P1 P2 deixa fixos todos os pontos de S situados
sobre P1 P2 .
Por hipótese
∀ t ∈ I , ∀ A ∈ P1 P2 , it ( A ) = A
%&&&&&&'
existem pontos de S
e existem pontos que
não pertencem a S
Lead Fox
39
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
Portanto, concluímos que
- o movimento de S em torno de P1 P2 deixa fixos todos os pontos de S situados sobre
P1 P2 ;
- os pontos do eixo de rotação, que não pertencem a S , permanecem ligados a S , pois
!!!!!!!!!!!!!!!!!"
!!!"
!!!"
∀ A ∈ P1 P2 , ∀ Q ∈ S , AQ (t0 ) = it ( A ) it (Q (t0 )) = AQ (t ) ∀ t ∈ I (*)
b)
Temos que it é uma isometria positiva e é rotação em torno do eixo AB . Logo, por
definição de rotação
it ( A ) = A
e it ( B ) = B .
Por uma proposição anterior sabemos também que it deixa fixos todos os pontos sobre a
recta AB .
Mas, neste caso existem pontos que pertencem a S e pontos que não pertencem a S .
• Se A, B ∈ S então
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"! !!!!!!!!!!!"
!!!"
!!!"
AB (t0 ) = it ( A (t0 )) it ( B (t0 )) = A (t ) B (t ) = AB (t ) ,
!!!"
por (*) (como o vector AB se mantém fixo temos que), o movimento de S | R é de rotação em
torno de AB .
• Se A, B ∉ S então podemos encontrar na recta AB um ou dois pontos que pertencem ao
sólido (ou que estejam ligados a ele).
Analogamente a (*), facilmente concluímos que esses pontos permanecem fixos durante o
movimento.
Concluímos que o movimento de S | R é de rotação em trono do eixo AB (constituído por
pontos de S ou ligados a ele).
■
Observações
2. Apesar de os pontos P1 e P2 . Da definição 7.2.1. poderem não pertencer a S , sabemos que
S ′ = S ∪ P1 P2 é ainda um sólido.
A haste [ EF ] não intersecta o eixo AB .
A haste a rodar em torno do eixo AB gera uma parte de um cone.
Sem perda de generalidade, admitimos que o eixo P1 P2 intersecta o sólido S em pelo
menos dois pontos que designamos por P1 e P2 .
B. Estudo dos Movimentos de Rotação em Torno de um Eixo
Seja S um sólido animado de um movimento de rotação em torno de P1 P2 , em relação ao
" " "
referencial R = (O; e1 , e2 , e3 ) e durante o intervalo de tempo I.
Lead Fox
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Cinemática do Sólido
1. Descrição analítica do movimento
No caso geral: * 3 funções que determinam as equações finitas do movimento de um ponto de S .
Escolho por exemplo o ponto P1 que está em repouso
" " "
* 3 funções que determinam a base { f1 , f 2 , f 3 } , ortonormada directa ligada a S .
Conhecemos as equações finitas do movimento de P1 | R : P1 está em repouso e portanto
∀ t ∈ I , P1 (t ) ≡ P1 (t0 ) ∈ S (t0 ) (conhecido),
então não tenho 3 graus de liberdade, uma vez que o movimento de P1 é totalmente conhecido. Esse
3 graus assim não existem.
Problema de referencial em Geometria
" " "
Sem perda de generalidade vamos supor que R = (O; e1 , e2 , e3 ) é tal que O ≡ P1 (∈ S ) , P1 P2
!!!!"
"
(orientado segundo P1 P2 , por exemplo), coincide com um dos eixos coordenados (por exemplo e3 ).
Observe-se que se isto não acontecer, estaremos apenas a mudar a origem do referencial e a
rodar os eixos.
-
" " "
P1 ; f1 , f 2 , f 3 ligado a S .
Escolha do referencial R1 = /
≡O
origem em P1 ≡ O ; R1 é o referencial que acompanha o sólido, o que implica que basta
defini-lo num instante qualquer;
coincidente com R no instante t0 (a posição de R1 | R em qualquer instante t é determinada
pela posição S (t ) ).
Vejamos o que podemos concluir sobre este referencial.
Sabemos que
"
"
"
" " "
R1 (t0 ) = (O; f1 (t0 ) , f 2 (t0 ) , f 3 (t0 )) = R = (O; e1 , e2 , e3 ) ,
e que
!!!!"
!!!!"
"
"
P1 P2 (t0 )
P1 P2 (t )
"
f 3 (t ) = !!!!"
= !!!!
= f 3 (t0 ) = e3
"
P1 P2 (t )
P1 P2 (t0 )
"
"
"
Assim, em qualquer instante, o referencial O; f1 (t ) , f 2 (t ) , f3 (t ) é tal que o plano
/
"
= e3
"
"
" "
coordenado (O; f1 (t ) , f 2 (t )) ≡ (O; e1 , e2 ) , pois têm em comum o ponto O e são ambos
"
perpendiculares a e3 .
"
"
" "
Em qualquer instante t, se nos situarmos no plano (O; e1 , e2 ) sabemos que f1 (t ) e f 2 (t )
"
vão determinar duas direcções destes planos uma vez que eles coincidem, ou seja, os vectores f1 (t )
"
" "
e f 2 (t ) são completamente determinados como combinações lineares dos vectores e1 e e2 .
Lead Fox
41
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
Em qualquer instante t
"
"
"
f1 (t ) = cos θ (t ) e1 + sen θ (t ) e2
" "
θ (t ) é a amplitude do ângulo orientado (e1 , f1 (t ))
"
π "
π "
"
"
f 2 (t ) = sen θ (t ) + e1 + cos θ (t ) + e2 = − sen θ (t ) e1 + cosθ (t ) e2
2
2
" " "
A base { f1 , f 2 , f 3 } ligada a S é então
"
"
"
f1 (t ) = cos θ (t ) e1 + sen θ (t ) e2
"
"
"
f 2 (t ) = − sen θ (t ) e1 + cos θ (t ) e2
" "
f 3 = e3
O movimento de S é então determinado pela função θ .
Propriedade 7.2.2.
Os movimentos de rotação de um sólido em torno de um eixo são completamente
determinados por uma única função real de variável real, pelo que o seu movimento tem apenas um
grau de liberdade,
" "
θ : t ∈ I ( θ (t ) = ) (e1 , f1 (t ))
Demonstração
(exercício)
■
Definição 7.2.2.
" "
À função θ : t ∈ I ( θ (t ) = ) (e1 , f1 (t )) chamamos coordenada angular do sólido ou ângulo
de rotação.
■
Em conclusão, a descrição analítica deste tipo de movimento é feita através da função θ .
2. Determinação do movimento de um ponto qualquer P de S a partir da descrição analítica do
movimento
-
Dados:
a posição (inicial) de S no instante t0 , S (t0 ) (não necessariamente inicial, mas sim
particular).
" "
a função angular θ : t ∈ I ( θ (t ) = ) (e1 , f1 (t ))
Consideremos P um ponto qualquer de S .
1º CASO: P pertence ao eixo de rotação de S , o que implica que P está em repouso em relação a
R;
2º CASO: P não pertence ao eixo de rotação P1 P2 . Mas porque pertence ao sólido, temos que
mantém as distâncias, ou seja,
d ( P1 , P (t )) = d ( P1 , P (t0 )) e d ( P2 , P (t )) = d ( P2 , P (t0 )) ∀ t ∈ I .
Lead Fox
42
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
Isto significa que P pertence à esfera de centro P1 (e P2 ) e de raio d ( P1 , P (t ))
(respectivamente d ( P2 , P (t )) ), ou seja, ∀ t ∈ I , P (t ) pertence à intersecção da esfera de centro P1
e raio d ( P1 , P (t )) , com a esfera de centro P2 e raio d ( P2 , P (t )) .
-
∀ t ∈ I , P (t ) pertence a uma circunferência
contida num plano ortogonal a P1 P2 ;
com centro pertencente a P1 P2 .
Todos os pontos do sólido S têm movimento circular.
Propriedade 7.2.3.
No movimento de rotação de S em torno de P1 P2 , todos os pontos de S estão animados
de movimento circular, cujas trajectórias estão contidas em planos ortogonais a P1 P2 com centros
sobre este eixo e raios iguais às distâncias que separam os pontos ao eixo.
Demonstração
Foi o que acabamos de mostrar.
■
3. Estudo dos torsores cinemáticos e dos campos de acelerações
!!"
!!"
"
Por definição, ∀ t ∈ I , Vt : P (t ) ∈ S (t ) ( Vt ( P (t )) = v p (t ) .
" "
"
Mas sabemos que vP1 (t ) = 0 = vP2 (t ) , ou seja, estamos a dizer que o torsor se anula em pelo
menos 2 pontos (até se anula numa infinidade deles), o que implica que se trata de um cursor.
!!"
Concluímos que para todo o instante t: Vt é um cursor com eixo P1 P2 .
Lead Fox
43
Mecânica Racional II (2001/2002)
!!"
A resultante geral de Vt :
Sabemos que
Cinemática do Sólido
"
!"
df k
1 3 "
(t ) 4 (1).
Ω (t ) = ∑ f k (t ) ∧
2 k =1
dt
"
"
"
f1 (t ) = cos θ (t ) e1 + sen θ (t ) e2 ;
"
"
"
f 2 (t ) = − sen θ (t ) e1 + cos θ (t ) e2 ;
" "
f 3 = e3 .
Logo,
"
"
df1
(t ) = dθ (t )− sen θ (t ) e"1 + cosθ (t ) e"2 = dθ (t ) f 2 ;
dt
dt
dt
"
"
df 2
(t ) = − dθ (t )cos θ (t ) e"1 + sen θ (t ) e"2 = − dθ (t ) f1 ;
dt
dt
dt
"
df 3 "
= 0.
dt
Substituindo em (1) temos
!"
dθ
(t ) e"3 ∀ t ∈ I
Ω (t ) =
dt
!"
(
)
A resultante geral Ω t vai-nos permitir escrever a função campo das velocidades, dada
agora pela Fórmula de Varignon, e segundo vectores do plano que contêm a circunferência:
!!"
!!"
"
Vt : P (t ) ∈ S (t ) ( Vt ( P (t )) = v p (t ) ,
com
!!!!"
!"
"
"
v p (t ) = v p* (t ) + Ω (t ) ∧ P* P (t ) ,
/
"
= 0 pois p*
pertence
ao eixo
onde P* representa a projecção ortogonal de P sobre o eixo P1 P2 , i.e., o centro a trajectória descrita
por P.
dθ
"
(t ) e"3 ∧ d ( P, P1 P2 ) e"ρ ( P (t )) ,
v p (t ) =
dt
considerando um sistema de coordenadas polares no plano do
movimento de P, com polo em P* .
dθ
"
(t ) e"θ ( P (t ))
v p (t ) = r ( P )
dt
!!"
!!"
dθ
"
"
Vt : P (t ) ∈ S (t ) ( Vt ( P (t ) ) = v p (t ) = r ( P ) (t ) eθ ( P (t ))
dt
Consideremos S um sólido animado de um movimento de rotação em torno do eixo P1 P2 ,
" " "
em relação ao referencial (O; e1 , e2 , e3 ) . Sem perda de generalidade, podemos admitir
!!!!"
P1 P2
"
O ≡ P1 e e3 = !!!!
" .
P1 P2
4
!"
também poderíamos usar a Fórmula de Varignon para determinar Ω (t ) .
Lead Fox
44
Mecânica Racional II (2001/2002)
Provámos que
Cinemática do Sólido
!!"
"
∀ t ∈ I , Vt é um cursor de eixo P1 P2 (Oe3 )
cuja resultante geral é
!"
dθ
(t ) e"3 .
Ω (t ) =
dt
Explicitamos para cada ponto do domínio, o cursor
!!"
!!"
dθ
"
"
Vt : P (t ) ∈ S (t ) ( Vt ( P (t ) ) = v p (t ) = r ( P ) (t ) eθ ( P (t )) ,
dt
onde r ( P ) = d ( P, P1 P2 ) .
Propriedade 7.2.4.
Seja S um sólido animado de um movimento de rotação em trono de um eixo P1 P2 .
1. O cursor cinemático de S , no instante arbitrário t é um cursor.
i) de eixo P1 P2 ;
!"
"
dθ
(t ) e"3 = dθ (t ) f3 (por causa da escolha do referencial ligado
ii) com resultante geral Ω (t ) =
dt
dt
ao sólido);
dθ ( ) "
iii) associado ao vector deslizante P1 ,
t e3 .
dt
dθ ( )
"
2. ∀ P ∈ S , v p (t ) = r ( P )
t , onde r ( P ) representa a distância de P ao eixo de rotação.
dt
Portanto
3. As velocidades escalares dos pontos de S são em cada instante t, proporcionais às distâncias
nos pontos do eixo de rotação.
4. Dado um ponto P de S , arbitrariamente,
- se P estiver sobre o eixo de rotação, P está em repouso;
- se P não pertencer ao eixo de rotação, P está animado de um movimento circular com
dθ
.
velocidade angular
dt
Demonstração
(exercício)
■
Daqui retiramos que todos os pontos do sólido têm a mesma velocidade angular
dθ
e
dt
podemos então introduzir a velocidade angular do sólido.
Definição 7.2.3.
dθ
a) A
chama-se velocidade angular do sólido S (animado de um movimento de rotação em
dt
torno de um eixo);
dθ
b) Se
for uma função constante (qualquer ponto P de S está animado de um movimento
dt
circular uniforme ou está em repouso), diz-se que o movimento de rotação em torno de P1 P2 é
uniforme.
Lead Fox
45
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
dθ
for uma função linear de t (qualquer ponto P de S tem um movimento circular
dt
uniformemente variado ou está em repouso), diz-se que o movimento de rotação de S em
torno de P1 P2 é uniformemente variado.
■
c) Se
!!"
Vamos então estudar o eixo central. Pretendemos, ∀ t ∈ I , determinar o eixo central de Vt
(eixo de rotação de S no instante t, ∆ (t ) ), sempre que ele exista.
Quando falamos nos movimentos de translação não consideramos esta noção uma vez que
!"
"
nesse caso Ω (t ) = 0, ∀ t ∈ I
!"
"
dθ
Sabemos que o eixo central existe sempre que Ω (t ) ≠ 0 ⇔
≠0
dt
!!"
Vt ! cursor de eixo P1 P2 ou cursor nulo.
Daqui concluímos que
dθ
(t ) ≠ 0 ,
∀ t ∈ I,
dt
∆ (t ) ≡ P1 P2 pela proposições dos torsores.
Propriedade 7.2.5.
!!"
dθ
(t ) ≠ 0 ), o eixo de rotação de S
Sempre que Vt não seja o torsor nulo (i.e., sempre que
dt
!!"
no instante t (eixo central ∆ (t ) de Vt ), coincide em cada instante t com o eixo de rotação P1 P2 .
Demonstração
(exercício)
■
Observação
Dada uma Placa representativa, consideramos a intersecção do sólido com um plano
perpendicular ao eixo.
Exercícios [Campo das acelerações de S ]
!!"
1. Determinar o campo At , com t arbitrariamente considerado.
Vamos ter que considerar um campo para cada t, não esquecendo que o ponto ou está em
repouso ou tem um movimento circular (usando a fórmula geral da aceleração).
2. Poderá ser um torsor? Justifique.
■
Lead Fox
46
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
C. Caracterização dos Movimentos de Rotação em Torno de um Eixo através dos Torsores
Cinemáticos
Propriedade 7.2.6.
É condição necessária e suficiente para que o movimento de um sólido S seja de rotação
!!"
em torno de um eixo P1 P2 que, em cada instante t, o torsor cinemático Vt seja um cursor
!" !"
!" !!"
"
( R = Ω (t ) ≠ 0, W = R | Vt = 0 ) , de eixo P1 P2 , ou um cursor nulo.
Demonstração
A condição necessária já foi provada.
Provemos então a condição suficiente.
!!" "
!!"
Hip.: ∀ t ∈ I , Vt = 0 ou Vt é um cursor de eixo P1 P2 .
Tese: O movimento de S | R é de rotação em torno de P1 P2 .
!!"
Da hipótese, porque Vt é um cursor, então o momento nos pontos do eixo é nulo:
!!"
"
"
v p1 (t ) = Vt ( P1 (t )) = 0, ∀ t ∈ I , P1 | R está em repouso,
!!"
"
"
v p2 (t ) = Vt ( P2 (t )) = 0, ∀ t ∈ I , P1 | R está em repouso.
Temos então dois pontos em repouso. Logo, da definição, temos que o movimento é de
rotação em torno de um eixo, neste caso do eixo P1 P2 .
■
7.3. Movimentos Helicoidais de um Sólido
A. Definição do Movimento Helicoidal
Definição 7.3.1.
" " "
Seja S um sólido em movimento em relação ao referencial R = (O; e1 , e2 , e3 ) , durante o
intervalo de tempo I.
a) O movimento de S diz-se helicoidal, se existirem:
- uma recta ∆ , ligada a S , que se mantém coincidente com o eixo Quˆ de E 3 , durante todo
o movimento (isto não significa que coincidem ponto a ponto, pode haver um deslizamento
de ∆ em relação a Quˆ ).
- um ponto B de S , não pertencente a ∆ , animado de um movimento helicoidal de eixo Quˆ
(i.e., a sua trajectória está contida numa hélice circular de eixo Quˆ ).
b) Ao eixo Quˆ chamamos eixo central do movimento de S .
■
Observação
1. Exemplo: movimento de um parafuso (ideal);
2. A intersecção deste movimento pode ser considerada como composição de 2 movimentos:
- translação - que nos dá o deslizamento de ∆ em relação a O;
- rotação - uma rotação em torno do eixo Quˆ .
Lead Fox
47
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
B. Estudo dos Movimentos Helicoidais
Seja S um sólido animado de um movimento helicoidal de eixo central Quˆ em relação a
" " "
R = (O; e1 , e2 , e3 ) (durante um intervalo de tempo I)
1º) Descrição Analítica do Movimento
No caso geral do sólido, temos de escolher um ponto para tentar reduzir o número de graus
de liberdade.
Assim, há que escolher
- um ponto de S : B ∈ S |∆ (único ponto sobre o qual temos informações);
" " "
- uma base (móvel) { f1 , f 2 , f 3 } de vectores ligada a S .
Da definição7.3.1., o movimento de B | R é helicoidal de eixo Quˆ , i.e., a sua trajectória está
contida numa hélice circular de eixo Quˆ .
"
Recordemo-nos que as equações paramétricas de uma hélice de eixo Oe3 , podem ser escritas
na forma
x = a cos θ
y = a sen θ a > 0, a, b ∈ $ .
z = bθ
Para b = 0 temos uma circunferência que é a base de um cilindro.
"
Sem perda de generalidade, consideremos Quˆ ≡ Oe3 .
Podemos então considerar a translação e/ou rotação do referencial para coincidir com o eixo.
As equações finitas do movimento de B são da forma
xB (t ) = a cosθ (t )
yB (t ) = a sen θ (t ) a > 0, a, b, c ∈ $ (*)
" "
( )
(
)
(
)
θ
(
z
t
=
b
t
+
c
c
= 0 por escolha do referencial)
B
Uma única função real de variável real
θ : t ( θ (t )
determina completamente o movimento de B; a e b determinam-se a partir de uma posição
particular, B (t0 )
"
Considerámos Quˆ ≡ Oe3 .
"
B* (t0 ) é a projecção ortogonal de B (t0 ) sobre Quˆ ≡ Oe3 .
Lead Fox
48
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
Sem perda de generalidade, supomos que
O ≡ B * (t0 ) ,
!!!!!!!!!!!!!!"
B * ( t0 ) B ( t0 )
"
e1 = !!!!!!!!!!!!!
!" ,
*
B ( t0 ) B ( t0 )
" " "
"
e2 = e3 ∧ e1 = uˆ ∧ e1 ,
logo, a constante c em (*) pode ser eliminada. Isto simplifica os cálculos.
Temos agora de escolher a base ligada a S . Escolhe-la num instante t particular, em que
conhecemos o movimento do sólido.
" " "
Escolha de { f1 , f 2 , f 3 } : escolhamo-lo no instante t0 ∈ I (para o qual se conhece S (t0 ) ).
Consideramos
"
"
f i (t0 ) = ei , i = 1, 2,3 .
Sabemos que
"
e3 = uˆ (vector director de ∆ , recta ligada a S , o que
significa que û é um vector ligado a S )
"
"
f 3 (t0 ) = uˆ ⇒ f 3 (t ) = uˆ ∀ t ∈ I .
Em relação aos outros dois vectores
!!!!!!!!!!!!!!"
"
B * (t0 ) B (t0 )
f1 (t0 ) = !!!!!!!!!!!!!!" ,
B * (t0 ) B (t0 )
!!!!"
com B ∈ S e B* ∈ ∆ ligado a S , o que implica que B* B é um vector ligado a S .
Assim,
!!!!"
"
B* B
f1 (t ) = !!!!" (t ) ,
B* B
e portanto
"
"
"
"
f 2 (t ) = f3 (t ) ∧ f1 (t ) = uˆ ∧ f1 (t ) .
Temos assim definido o referencial ligado ao sólido. Podemos agora escrevê-la como
" " "
combinação linear de e1 , e2 , e3 .
Como
B (t ) ≡ ( a cos θ (t ) , a sen θ (t ) , bθ (t ))
e B* (t ) ≡ ( 0, 0, bθ (t ) ) ,
temos
"
"
"
a cos θ (t ) e1 + a sen θ (t ) e2
f1 (t ) =
a > 0,
a
"
"
f3 (t ) = e3 ,
" "
"
"
"
f 2 = e3 ∧ f1 (t ) = − sen θ (t ) e1 + cos θ (t ) e2 .
Tal como no ponto, θ determina completamente a base ligada a S .
Propriedade 7.3.1.
O movimento helicoidal de um sólido S é completamente determinado por uma única
função real de variável real.
Lead Fox
49
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
Demonstração
Sabemos que para descrever totalmente o movimento de uma sólido livre, S , necessitamos
no máximos de conhecer:
- o movimento dum ponto de S ( B ∈ S |∆ ) ;
" " "
- uma base (móvel) { f1 , f 2 , f 3 } de vectores de S .
• Sabemos da definição de movimento (do sólido) helicoidal, que o movimento de B | R é
helicoidal de eixo Quˆ , i.e., a sua trajectória está contida numa hélice circular de eixo Quˆ .
Sabemos então, que as suas equações finitas são da forma
xB (t ) = a cos θ (t )
yB (t ) = a sen θ (t ) ,
( )
z B t = bθ (t )
o que implica que uma única função real de variável real, θ : t ( θ (t ) , determina
completamente o movimento de B.
"
• Consideremos, sem perda de generalidade que Oe3 = Quˆ .
"
Considerando B* (t0 ) a projecção ortogonal de B (t0 ) sobre Oe3 = Quˆ , suponhamos, sem perda
de generalidade que O ≡ B* (t0 ) .
Assim,
!!!!!!!!!!!!!!"
B * ( t0 ) B ( t0 )
"
e1 = !!!!!!!!!!!!!
!"
*
B ( t0 ) B ( t0 )
" " "
"
e e2 = e3 ∧ e1 = uˆ ∧ e1 .
" " "
Como fazemos a escolha da base { f1 , f 2 , f 3 } ?
Escolhemo-la no instante t0 ∈ I (para o qual se conhece S (t0 ) ), fazendo-o coincidir com o
fixo.
Considerámos
"
"
f i (t0 ) = ei , i = 1, 2,3 .
Sabemos que
"
e3 = uˆ (vector director da recta ∆ )
"
"
f 3 (t0 ) = uˆ ⇒ f 3 (t ) = uˆ ∀ t ∈ I .
Temos ainda
!!!!!!!!!!!!!!"
"
B * (t0 ) B (t0 )
f1 (t0 ) = !!!!!!!!!!!!!!" .
B * (t0 ) B (t0 )
!!!!"
Como B ∈ S e B* ∈ ∆ , temos que B* B é um vector ligado a S .
Assim,
!!!!"
"
B* B
f1 (t ) = !!!!" (t ) .
B* B
Portanto
"
"
"
"
f 2 (t ) = f3 (t ) ∧ f1 (t ) = uˆ ∧ f1 (t ) .
Temos assim definido o referencial ligado ao sólido.
" " "
Vamos agora escrevê-la como combinação linear de e1 , e2 , e3 .
Lead Fox
50
Mecânica Racional II (2001/2002)
Sabemos que
Cinemática do Sólido
B (t ) ≡ ( a cos θ (t ) , a sen θ (t ) , bθ (t ))
e B* (t ) ≡ ( 0, 0, bθ (t ) ) .
Assim,
"
"
"
a cos θ (t ) e1 + a sen θ (t ) e2
f1 (t ) =
a > 0,
a
"
"
f3 (t ) = e3 ,
" "
"
"
"
f 2 = e3 ∧ f1 (t ) = − sen θ (t ) e1 + cos θ (t ) e2
Verificamos que a base (móvel) ligada ao sólido é totalmente determinada se for conhecida a
função real de variável real
θ : t ∈ I ( θ (t ) .
Verificamos que é a mesma função que é necessária para o ponto B.
Assim, podemos concluir que este movimento é totalmente determinado por uma única função
real de variável real
θ : t ∈ I ( θ (t ) .
■
Até agora, para S , um sólido animado de um movimento helicoidal em relação a
" " "
" " "
"
R = (O; e1 , e2 , e3 ) , (û = e3 ) , definimos um referencial ligado a S : R1 = ( B* ; f1 , f 2 , f 3 ) , onde B* é
!!!!"
"
"
"
"
"
B* B "
"
a projecção ortogonal sobre Oe3 de B de S , e f1 = !!!!" , f3 (t ) = e3 e f 2 = f3 ∧ f1 .
B* B
O movimento de S | R é completamente determinado por
θ : t ∈ I ( θ (t ) ,
tal que
"
"
"
f1 (t ) = cos θ (t ) e1 + sen θ (t ) e2
xB (t ) = a cos θ (t )
"
( )
"
"
yB t = a sen θ (t ) e f 2 (t ) = − sen θ (t ) e1 + cos θ (t ) e2
" "
( )
z B t = bθ (t )
f 3 = e3
2º) Estudo do movimento de um ponto P, arbitrário de S
Como vamos estudar a lei do movimento de P sabendo aquilo que sabemos?
!!!!"
!!!!!!!!!!!!"
3
!!!"
*
(t ) + B* (t ) P (t ) = bθ (t ) e"3 + ∑ γ i ( P ) e"i (t ) ,
∀ t ∈ I , OP (t ) = OB
%&&&&
'
i =1
colinear com
o eixo uˆ
onde γ i ( P ) ∈ $ , só depende de P.
O ≡ B * (t0 )
1º CASO: P ∈ ∆ ∩ S
"
Por definição do movimento, ∆ ≡ Quˆ ≡ Oe3 .
Logo,
"
∀ t ∈ I , P (t ) ∈ Oe3 ⇒ γ i ( P ) = 0, i = 1, 2,3 .
Portanto
!!!"
"
OP (t ) = (bθ (t ) + γ 3 ( P )) e3 .
Lead Fox
51
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
dθ
"
(t ) e"3 .
Donde v p (t ) = b
dt
Conclusão 1
"
Se P ∈ ∆ , o movimento de P é rectilíneo ao longo de Oe3 ,
!!!"
"
OP (t ) = (bθ (t ) + γ 3 ( P )) e3
2º CASO: P ∈ S \ ∆ , P não é um ponto do eixo.
!!!"
"
"
"
"
"
"
OP (t ) = bθ (t ) e3 + γ 1 ( P ) cos θ (t ) e1 + sen θ (t ) e2 + γ 2 ( P ) − sen θ (t ) e1 + cosθ (t ) e2 + γ 3 ( P ) e3 =
+,,,,-,,,,
.
+,,,,-,,,,.
"
"
= f1 (t )
= f 2 (t )
"
"
"
= γ 1 ( P ) cos θ (t ) − γ 2 ( P ) sen θ (t )e1 + γ 1 ( P ) sen θ (t ) + γ 2 ( P ) cos θ (t )e2 + bθ (t ) + γ 3 ( P ) e3
determinando-se γ 1 ( P ) , γ 2 ( P ) e γ 3 ( P ) usando as condições iniciais.
Vamos provar que P ainda tem, como B, um movimento helicoidal (a sua trajectória está
"
sobre uma hélice circular de eixo Oe3 ).
Quando P ∉ ∆ ⇒ γ 1 ( P ) e γ 2 ( P ) não são simultaneamente nulos, o que permite escrever a
lei do movimento da seguinte forma:
!!!"
γ 1 (P)
γ 2 (P)
"
OP (t ) = γ 12 ( P ) + γ 22 ( P )
cos θ (t ) −
sen θ (t ) e1 +
2
2
2
2
γ1 (P) + γ 2 (P)
γ 1 ( P ) + γ 2 ( P )
γ 1 (P)
γ 2 (P)
"
γ 12 ( P ) + γ 22 ( P )
sen θ (t ) +
cos θ (t ) e2 +
2
2
γ 12 ( P ) + γ 22 ( P )
γ 1 ( P ) + γ 2 ( P )
"
bθ (t ) + γ 3 ( P ) e3 ,
γ i (P)
com
γ 12 ( P ) + γ 22 ( P )
≤ 1, i = 1, 2 ,
γ1 (P)
+
γ 12 ( P ) + γ 22 ( P )
2
e
γ 2 (P)
=1
γ 12 ( P ) + γ 22 ( P )
2
Ora, com 2 números reais nestas condições, podemos dizer que,
existe ψ P ∈ $ tal que
γ1 (P)
γ 2 (P)
cosψ P =
e sen ψ P =
,
γ 12 ( P ) + γ 22 ( P )
γ 12 ( P ) + γ 22 ( P )
onde ψ P pode ser determinado a partir da posição de P num instante particular t0 .
Assim, temos
!!!"
"
OP (t ) = γ 12 ( P ) + γ 22 ( P ) cosψ P cos θ (t ) − sen ψ P sen θ (t )e1 +
"
"
+ cosψ P sen θ (t ) + senψ P cos θ (t )e2 + bθ (t ) + γ 3 ( P ) e3
Considerando
δ ( P ) = γ 12 ( P ) + γ 22 ( P ) ,
vem
!!!"
"
"
"
OP (t ) = δ ( P ) cos (θ (t ) + ψ P ) e1 + δ ( P ) sen (θ (t ) + ψ P ) e2 + bθ (t ) + γ 3 ( P ) e3 .
Lead Fox
52
Mecânica Racional II (2001/2002)
Assim,
Cinemática do Sólido
xP (t ) = δ ( P ) cos (θ (t ) + ψ P )
,
yP (t ) = δ ( P ) sen (θ (t ) + ψ P )
z P (t ) = b (θ (t ) + ψ P ) + (γ 3 ( P ) − bψ P )
que são as equações paramétricas de uma hélice circular de base circular com raio δ ( P ) e eixo
"
Oe3 .
Conclusão 2:
Dado P ∈ S \ ∆ , arbitrariamente,
"
i) o seu movimento é helicoidal com eixo Quˆ ≡ Oe3 ;
ii) a trajectória tem por passo (período), p = 2π b (e o mesmo passo para todos os pontos de
S \ ∆ );
dθ
"
"
"
"
δ ( P ) sen (θ + ψ P ) e1 + δ ( P ) cos (θ + ψ P ) e2 + be3 , com δ ( P ) e ψ ( P ) duas
iii) v p =
−
dt
constantes que apenas dpendem do ponto considerado;
dθ
δ 2 ( P ) + b2 .
iv) v p =
dt
■
Obtivemos então a lei do movimento para qualquer ponto.
Propriedade 7.3.2.
"
No movimento helicoidal do sólido S (com eixo central ∆ ≡ Oe3 ),
a) a velocidade do ponto P é
dθ "
b
e se P ∈ ∆
" dt 3
vp =
;
θ
d
"
"
"
−δ ( P ) sen (θ + ψ ) e + δ ( P ) cos (θ + ψ ) e + be se P ∉ ∆
1
2
3
P
P
dt
dθ
b dt se P ∈ ∆
"
a velocidade escalar é v p =
.
dθ δ 2 ( P ) + b 2 se P ∉ ∆
dt
dθ
b) O movimento de P é uniforme sse
for constante, independente de o ponto P ∈ ∆ ou
dt
P∉∆ ;
c) Se o movimento de um ponto de S for uniforme, todos os pontos de S têm movimento
uniforme.
Demonstração
(exercício)
■
Lead Fox
53
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
Se o movimento de um ponto é uniforme ⇒
dθ
é constante
dt
⇓
Todos os pontos têm velocidade escalar constante ⇒ S tem movimento uniforme
Definição 7.3.2.
O movimento helicoidal de um sólido diz-se uniforme se
dθ
for uma função constante.
dt
■
3º) Os torsores cinemáticos de S
!!"
!!"
"
∀ t ∈ I , Vt : P (t ) ∈ S (t ) ( Vt ( P (t )) = v p (t ) ,
para o qual já conhecemos a resultante geral.
i)
ii)
iii)
!"
!!"
A resultante geral Ω (t ) de Vt ,
"
!"
1 3 " df i
dθ ( ) " dθ ( ) " ( )
Ω (t ) = ∑ f i ∧
t e3 =
t f3 t ;
(t ) =
dt
dt
dt
2 i =1
!!"
!"
"
dθ ( )
Eixo central ∆ (t ) de Vt , sempre que Ω (t ) ≠ 0 ⇔
t ≠ 0
dt
!"
"
dθ
(t ) e"3
∆ (t ) - conjunto dos pontos P (t ) para os quais v p (t ) é colinear com Ω (t ) =
dt
Da propriedade anterior, os pontos de ∆ têm velocidade colinear com o eixo
∀ t ∈ I , ∆ (t ) ≡ ∆ (eixo central do movimento helicoidal de S )
"
!!"
Invariante vectorial I (t ) de Vt
"
!!"
I (t ) - o momento do torsor Vt em
"
!"
(t ) = b dθ (t ) e"3 = b Ω (t ) = v"p (t ) ( P ∈ ∆ )
I%&
2
'
qualquer ponto de seu eixo central ( ∆ ) .
dt
não
dá -nos a
+
,-,
.
velocidade
de qualquer
ponto sobre ∆
=Ω(t )
depende
de t
"
!"
I (t ) e Ω (t ) são colineares
Definição 7.3.3.
"
!!"
Ao invariante vectorial I (t ) do torsor cinemático Vt no instante t (que é a velocidade, no
instante t, de qualquer um dos pontos de ∆ ), chamamos velocidade de escorregamento de S no
instante t.
■
Propriedade 7.3.3. [Característica dos movimentos helicoidais]
"
O movimento de um sólido S é helicoidal sendo Oe3 , sem perda de generalidade, o eixo
central desse movimento sse em qualquer instante t, se verificam simultaneamente as 2 condições
seguintes:
!!"
"
1ª) o torsor cinemático Vt tem eixo central Oe3 ou é o torsor nulo.
"
!"
2ª) I (t ) = k Ω (t ) com k uma constante (independente de t).
Lead Fox
54
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
Demonstração
A condição necessária já foi demonstrada.
A condição suficiente fica como exercício.
■
Observe-se que os movimentos de rotação em torno de um eixo, são casos particulares dos
movimentos helicoidais (provar: exercício).
8. Movimentos Tangentes de um mesmo Sólido S num dado instante
t*
Definição 8.1.
Consideremos um sólido S e um referencial R.
Consideremos ainda (separadamente) dois movimentos de S em relação a R.
Estes dois movimentos dizem-se tangentes num dado instante t* se, nesse instante, cada
ponto do sólido S ocupar a mesma posição nos dois movimentos e tiver a mesma velocidade.
■
Propriedade 8.1.
Seja S um sólido animado de um determinado movimento em relação a R. Este
movimento é tangente no instante t* a um dado movimento de S ainda em relação a R sse no
instante t*, se verificam simultaneamente as seguintes condições:
1. Cada ponto de S ocupa a mesma posição nos dois movimentos;
2. Os vectores de rotação correspondentes aos dois movimentos são iguais;
3. Existe um ponto A de S com a mesma velocidade nos dois movimentos (consequência
da igualdade de torsores tendo subjacente a Fórmula de Varignon).
■
Propriedade 8.2.
Qualquer que sejam o movimento do sólido S e o instante t * , existe
- um movimento helicoidal uniforme e um só (eventualmente degenerado num movimento
de rotação em torno de um eixo);
ou
- um movimento de translação, rectilíneo e uniforme e um só;
tangente ao movimento de S no instante t * .
Demonstração
Sejam S um sólido animado de um movimento arbitrário em relação a R durante intervalo
de tempo I, t * ∈ I (considerado arbitrariamente).
dθ
Movimento helicoidal uniforme ⇒
tem de ser constante
dt
⇒ não pode ser nula num instante, se for temos o repouso ou um
movimento degenerado.
!" *
"
1º CASO: Ω (t ) = 0
Vamos construir um movimento de translação rectilíneo e uniforme tangente ao movimento
dado, no instante t * .
Para que os dois movimentos sejam tangentes:
S tem que ocupar nesse instante, a mesma posição, S (t * ) ;
Lead Fox
55
Mecânica Racional II (2001/2002)
-
!" * *
!"
"
(t ) = Ω ( t * ) = 0 ;
Ω
%&&&' %&&'
para o mov.
que estamos
a construir
-
Cinemática do Sólido
para o mov.
dado
∃ A∈ S :
"
"
v A* (t * ) = v A (t * ) .
%&&&'
%&&&'
velocidade
do mov. que
esatmos a
construir
velocidade
do mov. dado
Basta considerar o movimento de S | R assim determinado:
!" *
!" *
"
∀ t ∈ I , Ω (t ) = Ω (t * ) = 0 (movimento de translação)
"
"
"
∀ t ∈ I , v A* (t ) = v A* (t * ) = v A (t * ) (movimento de A é rectilíneo e uniforme)
S (t * ) é conhecida porque conhecemos a velocidade, o que implica que conhecemos a
posição de A e portanto a lei do movimento num ponto. Temos então S | R animado de um
movimento rectilíneo e uniforme.
Neste caso, não existe nenhum outro movimento de translação rectilíneo e uniforme
tangente ao movimento dado no instante t * (exercício)!
!"
"
2º CASO: Ω (t * ) ≠ 0
Basta considerar o movimento de S | R tal que
!"*
!"
- Ω (t ) = Ω (t * ) , ∀ t ∈ I ;
- ∆ * (t ) = ∆ (t * ) , ∀ t ∈ I ;
"*
"
- I (t ) = I (t * ) , ∀ t ∈ I .
S ocupa nos dois movimentos a mesma posição no instante t * (exercício).
Provar que é helicoidal, implica provar em primeiro lugar que o movimento é uniforme e
depois que não há outro nas mesmas condições.
■
9. Movimentos Planos do Sólido
Os movimentos planos são uma generalização dos movimentos de rotação5 em torno de um
eixo.
Definição 9.1.
" " "
Seja S um sólido em movimento em relação ao referencial R = (O; e1 , e2 , e3 ) durante o
intervalo de tempo I. Dizemos que o movimento de S é plano se as trajectórias de todos os pontos
de S forem curvas contidas em planos paralelos entre si.
■
Estudo dos Movimentos Planos
" " "
S é um sólido animado de um movimento plano em relação a R = (O; e1 , e2 , e3 ) durante o
intervalo de tempo I.
5
os pontos ou estão em repouso (no eixo) ou descrevem movimentos circulares com trajectórias perpendiculares ao
eixo de rotação.
Lead Fox
56
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
O caso mais simples é o caso de uma placa de espessura desprezável que se desloca sobre
um plano ! todos os pontos da placa descrevem trajectórias sobre o plano.
CASO PARTICULAR
S ′ é uma placa de espessura
desprezável que nunca abandona o plano que
contém a sua posição inicial S ′ (t0 ) . Sem
perda de generalidade, consideramos que R é
" "
tal que (O; e1 , e2 ) ≡ Π
CASO GERAL
S um sólido, animado de um movimento plano qualquer.
Todos os pontos deste sólido descrevem curvas em planos paralelos, logo, há uma direcção
privilegiada.
" "
Também, sem perda de generalidade, consideramos que (O; e1 , e2 ) contém a trajectória de
um ponto A que ou pertence a S ou lhe está ligado.
" "
(O; e1 , e2 ) ≡ Π A (plano que contém a trajectória de A)
!!!"
"
"
OA (t ) = x A (t ) e1 + y A (t ) e2 , z A (t ) = 0 ∀ t ∈ I
1.º) Descrição Analítica do Movimento
Movimento (plano) de S | R
é determinado por
Movimento de um referencial ligado
a
" " "
S : R1 = ( A; f1 , f 2 , f 3 )
Movimento de um dos seus pontos, por
exemplo, A ⇒ z A (t ) = 0 ∀ t ∈ I
" " "
f1 , f 2 , f3 vectores ligados a S , que determinam a
!" 3
" " "
base (móvel) { f1 , f 2 , f 3 } ortonormada directa de E
Quando escolhemos o ponto A, já sabemos que
z A (t ) = 0 ∀ t ∈ I
O movimento do ponto A | R fica completamente determinado
por 2 funções reais de variável real xA e y A :
!!!"
"
"
OA (t ) = x A (t ) e1 + y A (t ) e2 , ∀ t ∈ I .
" " "
" "
" "
Em relação a f1 , f 2 , f3 , escolhemos ( A; f1 , f 2 ) ≡ (O; e1 , e2 ) ,
" "
porque os pontos têm a sua trajectória contida em (O; e1 , e2 ) ou então
"
"
em planos paralelos a este, pois f3 (t ) = e3 ∀ t ∈ I .
" "
θ (t ) = ) ( e1 , f1 (t )) amplitude do ângulo orientado.
Temos então
"
"
∀ t ∈ I , f3 (t ) = e3
"
"
"
f1 (t ) = cos θ (t ) e1 + sen θ (t ) e2
"
"
"
f 2 (t ) = − sen θ (t ) e1 + cos θ (t ) e2
Lead Fox
57
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
Daqui concluímos que são necessárias 3 funções reais de variável real para definir o
movimento plano.
Propriedade 9.1.
O movimento plano de um sólido é completamente determinado por 3 funções reais de
variável real.
Um sólido S , animado de um movimento plano tem 3 graus de liberdade.
Demonstração
(exercício)
■
2.º) Descrição do movimento de um ponto P, qualquer de S .
Dados:
- o movimento de um ponto A de S , conhecemos a lei do movimento na forma
!!!"
"
"
OA (t ) = x A (t ) e1 + y A (t ) e2 , ∀ t ∈ I
"
"
- a função angular θ : t ∈ I ( θ (t ) = ) ( f1 (t ) , e1 ) que é tal que
"
"
"
f1 (t ) = cos θ (t ) e1 + sen θ (t ) e2
"
"
"
f 2 (t ) = − sen θ (t ) e1 + cos θ (t ) e2
"
"
f3 (t ) = e3
-
S (t0 ) (posição de no instante t0 ),
!!!"
Consideremos agora P um ponto de S e determinamos OP (t ) :
3
!!!!!!!!!!!"
!!!"
!!!"
"
"
OP (t ) = OA (t ) + %&&&&&
A (t ) P (t') = xA (t ) e1 + y A (t , ) e2 + ∑ γ i ( P ) fi (t ) 6=
!!!"
i =1
AP (t ) vector
ligado ao
sólido no inst. t
"
= xA (t ) + γ 1 ( P ) cos θ (t ) − γ 2 ( P ) sen θ (t )e1 +
"
+ y A (t ) + γ 1 ( P ) sen θ (t ) + γ 2 ( P ) cos θ (t )e2 +
"
+ γ 3 ( P ) e3 (a 3ª componente é obviamente independente de t)
Propriedade 9.2.
1. O movimento de qualquer ponto P de S é completamente determinado pelo movimento da sua
" "
projecção ortogonal P* sobre (O; e1 , e2 ) , já que
z P (t ) = γ 3 ( P ) = z P (t0 )
2. Estudar o movimento de S , equivale a estudar o movimento de uma placa de espessura
" "
desprezável sobre (O; e1 , e2 ) , resultante da projecção ortogonal dos pontos de S sobre este
plano.
Demonstração
(exercício)
■
6
γ i ( P ) ∈ $, i = 1, 2,3 são independentes de t, pelo que podem ser determinadas no instante inicial.
Lead Fox
58
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
!!"
3.º) Os torsores cinemáticos Vt (t ∈ I ) .
•
•
Resultante geral:
"
!"
"
df i
1 3 "
(t ) = dθ (t ) e"3 = dθ (t ) f3
Ω (t ) = ∑ f i (t ) ∧
2 =
dt
dt
dt
!!" i 1
Caracterização do torsor Vt :
!"
!!"
"
dθ ( )
- se Ω (t ) = 0 ⇔
t = 0 , então Vt é um binário.
dt
!"
"
- se Ω (t ) ≠ 0 , vamos caracterizar o torsor usando o invariante escalar Wt
Determinamos o correspondente invariante escalar:
!"
!!"
!"
"
dθ ( ) " dxA ( ) " dy A ( ) "
Wt = Ω (t ) | Vt ( A (t )) = Ω (t ) | vA (t ) =
t e3 |
t e1 +
t e2 = 0
dt
dt
dt
!!!"
"
"
Sabemos que OA (t ) = x A (t ) e1 + y A (t ) e2 , então
dx
"
" dy
"
vA (t ) = A (t ) e1 + A (t ) e2 .
dt
!!" dt
Como o invariante é nulo, sabemos que Vt é um cursor não nulo com resultante geral
"
"
colinear com e3 , cujo eixo tem direcção de e3 .
Propriedade 9.3.
Se o movimento de S em relação a R for plano, então em qualquer instante, o torsor
cinemático ou é um binário (pontualmente nulo) ou é um cursor cujo eixo tem direcção
perpendicular aos planos que contêm as trajectórias dos pontos de S .
Demonstração
(exercício)
■
Observação
Contrariamente ao que acontece nos movimentos de
rotação em torno de um eixo, os torsores cinemáticos
!!"
Vt (t ∈ I ) , nos movimentos planos (nos instantes t em
que são cursores), têm eixos que não coincidem
forçosamente entre si. Têm apenas a mesma direcção.
Vamos agora considerar
!"
!!"
dθ
(t ) = 0 ( Ω (t ) ≠ 0 , Vt é um cursor não nulo),
∀ t ∈ I,
dt
e vamos considerar um caso particular:
" "
Seja S ′ uma placa de espessura desprezável móvel sobre (O; e1 , e2 ) , que durante o seu
"
"
movimento plano em relação a R, S ′ mantém fixo um ponto A ( vA (t ) = 0, ∀ t ∈ I A ∈ S ′ ou A
está ligado a S ′ ).
Qual é o movimento de S ′ | R ?
Lead Fox
59
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
Os torsores cinemáticos de S ′ | R :
!!"
"
dθ
(t ) = 0 , Vt é um binário nulo ( v"A (t ) = 0 );
- se
dt
!!"
dθ
(t ) ≠ 0 , Vt é um cursor cujo eixo tem direcção de e"3 ;
- se
dt
"
"
e sabemos ainda que S ′ é tal que vA (t ) = 0 ⇒ A é um ponto fixo do eixo, então
dθ
"
(t ) ≠ 0 .
∆ (t ) = Ae3 ∀ t ∈ I :
dt
Conclui-se portanto que, o movimento de S ′ | R
é, neste caso particular, um movimento de rotação em
"
torno do eixo Ae3 .
" "
Assim sendo, temos S ′ no plano (O; e1 , e2 ) .
A é chamado o centro permanente de rotação de S ′ .
Consideremos ainda o caso de uma placa S ′ de espessura desprezável móvel sobre
" "
(O; e1 , e2 ) (não possuindo necessariamente nenhum ponto fixo).
Ct
- o ponto de intersecção de
" "
(O; e1 , e2 ) ⊃ S ′ (t )
∆ (t )
com
!!"
"
Vt (Ct ) = 0
Ct é chamado de centro de rotação do
movimento de S ′ no instante t.
Se tivermos um sólido, S , que não seja plano, um sólido no espaço, temos que o seu centro
de rotação coincide com o centro de rotação da "placa" que representa o conjunto dos pontos que
" "
são projecção ortogonal dos pontos de S sobre (O; e1 , e2 ) .
Definição 9.2.
Seja S um sólido que durante o intervalo de tempo I, está animado de um movimento
plano em relação ao referencial R escolhido como anteriormente.
Seja t ∈ I tal que
dθ
(t ) ≠ 0 (no contexto dos cursores).
dt
!!"
Ao ponto Ct (∈ E 3 ) , que resulta da intersecção do eixo do cursor Vt com o plano
" "
(O; e1 , e2 ) , chamamos centro de rotação do movimento de S no instante t.
■
Lead Fox
60
Mecânica Racional II (2001/2002)
Observações
dθ
(t ) ≠ 0 ,
1.
dt
"
• ∆ (t ) = Ct e3 ;
•
∀M∈ S
Cinemática do Sólido
!"
!!!!!"
!!!!!"
dθ
"
"
(t ) e"3 ∧ Ct M (t ) .
vM (t ) = vCt (t ) + Ω (t ) ∧ Ct M (t ) =
/
dt
"
=0
!!"
dθ
"
"
2.
(t1 ) = 0 , Vt1 é um binário, e portanto v p (t1 ) = vA (t1 ) ∀ P ∈ S .
dt
10. Composição de Movimentos (ou Mudança de Referencial)
Revisão
Consideremos:
" " "
- o movimento de um ponto material P em relação ao referencial R1 = (O1 ; f1 , f 2 , f 3 ) ;
" " "
- o movimento de R1 em relação ao referencial R = (O; e1 , e2 , e3 ) ;
- o movimento de P em relação a R.
Provámos que
"
"
"
v ( P | R ) = v ( P | R1 ) + vtr ( P ) ,
"
"
"
"
a ( P | R ) = a ( P | R1 ) + atr ( P ) + ac ( P ) .
O movimento de R1 | R ,
" " "
R1 = (O1 ; f1 , f 2 , f 3 ) | R ,
3
"
"
onde f i = ∑ β im em , β im : t ( β im (t ) pode ser eventualmente constante e O1 um ponto material em
m =1
movimento em relação a R.
Quando falamos em referencial, sabemos que ele foi sempre associado a um sólido S .
Referencial ↔ sólido S porque usamos 4 pontos de S : A, B1 , B2 , B3 .
!!!!" !!!!" !!!!"
( A; AB1 , AB2 , AB3 ) referencial ligado ao sólido S .
A determinação do movimento de R1 | R equivale à determinação do movimento, ainda em
relação a R, do sólido S1 a que R1 está ligado.
Formulação do Problema:
Sejam
" " "
- R = (O; e1 , e2 , e3 ) referencial cartesiano rectangular que por convenção se chama
"fixo".
" " "
S1 , um sólido em movimento em relação a R e R1 = (O1 ; f1 , f 2 , f 3 ) um referencial
ligado a S1 .
S , um sólido.
Conhecidos:
- o movimento do sólido S em relação a R1 ⇒ A | R1 , Bi | R1 i = 1, 2,3 .
- o movimento do referencial R1 em relação a R ⇒ R1 | R
Lead Fox
61
Mecânica Racional II (2001/2002)
A | R1 , Bi | R1
Cinemática do Sólido
i = 1, 2,3
quatro problemas de mudança de referencial para o ponto material.
R1 | R
Vamos estudar o movimento de S em relação a R.
Resolução do Problema
Pretende-se estudar o movimento de S | R .
O movimento de S | R é determinado
- pelo movimento de um dos seus pontos, digamos A | R ;
- por 3 vectores ligados a S ,
!!!!"
ABi i = 1, 2,3 ( Bi pontos de S ou ligados a ele)
Podemos determinar o movimento de S | R através do movimento de 4 pontos
A, B1 , B2 , B3 .
A determinação do movimento de A | R, Bi | R i = 1, 2,3 , determina o movimento de
S | R.
Vamos agora abordar a composição dos movimentos usando torsores.
Propriedade 10.1
Com as notações introduzidas no enunciado do problema da mudança de referencial, em
qualquer instante t,
!"
!"
!"
Ω ( S | R, t ) = Ω ( S | R1 , t ) + Ω ( R1 | R, t )
Demonstração
!"
!"
Vamos provar que o vector Ω ( S | R1 , t ) + Ω ( R1 | R, t ) é a resultante geral (única), do torsor
cinemático de S | R , no instante t:
!!"
Vt ( S | R, i ) .
Temos que provar que o vector acima tem que satisfazer a Fórmula de Varignon, ou seja,
que aquele vector satisfaz as relações:
!"
!!!!"
!"
!!!!"
"
"
(*) v (Q | R, t ) = v ( M | R, t ) + Ω ( S | R1 , t ) ∧ MQ (t ) + Ω ( R1 | R, t ) ∧ MQ (t ) ∀M , Q ∈ S .
Quando escrevemos
!"
!!!!"
"
"
Ω ( S | R1 , t ) ∧ MQ (t ) = v (Q | R1 , t ) − v ( M | R1 , t ) ,
Fórmula de Varignon aplicada ao torsor cinemático de S , no seu movimento em relação a
R1 , no instante t.
Temos assim, substituindo na expressão
!"
!!!!"
"
"
"
"
(*) ⇔ v (Q | R, t ) − v (Q | R1 , t ) = v ( M | R, t ) − v ( M | R1 , t ) + Ω (t ) ( R1 | R ) ∧ MQ (t ) ,
+,
-,.
+,,,,
-,,,,.
"
"
vtr (Q ,t )
pois
= vtr ( M ,t )
"
"
"
v (Q | R, t ) − v (Q | R1 , t ) = vtr (Q, t )
+,
-,.
"
vR (Q ,t )
!"
!!!!"
"
"
(*) ⇔ vtr (Q, t ) = vtr ( M , t ) + Ω ( R1 | R, t ) ∧ MQ (t ) ∀M , Q ∈ S ⇔
%&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&
'&
isto é sempre verdade, porque é a F.V. aplicada ao torsor cinemático
do mov. de transporte ( R1 |R )
Porquê?
velocidade de transporte ≡ velocidade do ponto coincidente
"
"
vtr ( S , t ) = v ( Kt (Q ) | R, t ) é a velocidade no instante t no ponto K t
Lead Fox
62
Mecânica Racional II (2001/2002)
-
Cinemática do Sólido
K t (Q ) (t ) ≡ Q (t )
K t (Q ) está em repouso em relação a R1 (solidário com o movimento de R1 | R ).
!"
!!!!"
"
"
⇔ 7 v ( K t (Q ) | R, t ) = v ( K t ( M ) | R, t ) + Ω ( R1 | R, t ) ∧ MQ (t )
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"! !!!!"
pois K t ( M ) (t ) K t (Q ) (t ) = MQ (t ) ∀M , Q ∈ S
Então (*) é verdadeira, c.q.d.
■
!"
Observe-se que nesta propriedade, podemos substituir R1 por S1 em Ω ( R1 | R, t ) , pois S1
está ligado a R1 .
11. Movimentos de um Sólido em Torno de um Ponto
Intuitivamente, temos um movimento que deixa fixo um ponto dele ou ligado a ele.
Definição 11.1.
" " "
O movimento de um sólido S em relação ao referencial R = (O; e1 , e2 , e3 ) durante o
intervalo de tempo I diz-se um movimento (de rotação) em torno de um ponto A, de S ou ligado a
ele, se este ponto permanecer fixo em relação a R, durante todo o movimento.
■
Estudo dos Movimentos
Seja S um sólido em movimento em relação a R e A um ponto de S (ou ligado a ele),
que se mantém fixo durante todo o movimento.
Pretendemos saber quantas funções reais de variável real são necessárias para descrever o
movimento.
1.º) Descrição analítica do movimento de S | R
Caso Geral:
3: determinam o movimento de um dos pontos
(de S ), movimento determinado a partir da
posição inicial S (t0 ) de S .
6 funções
" " "
3: determinam { f1 , f 2 , f 3 } base (móvel) ligada a S .
Considerando o ponto A, que está em repouso, resta-nos então determinar a 3 funções reais
" " "
de variável real que determinam a base { f1 , f 2 , f 3 } (móvel) ligada a S .
Propriedade 11.1.
Todo o sólido S que, durante o seu movimento em relação a R mantém um dos seus
pontos fixo (ou ligado a ele), tem no máximo 3 graus de liberdade.
7
Fórmula de Varignon aplicada ao torsor cinemático
!!"
Vt ( R1 | R, i
Lead Fox
)
63
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
Demonstração
(exercício)
■
Questão:
Como escolher 3 funções reais de variável real capazes de descreverem este movimento de
S ?
A escolha não é, obviamente, única!
Pretende-se então determinar, para cada instante t,
"
"
"
f1 (t ) , f 2 (t ) e f 3 (t )
3
"
" " "
"
como combinação linear de {e1 , e2 , e3 } , f i (t ) = ∑ β im (t ) em .
m =1
De forma equivalente, em cada instante t, temos o problema de situar o referencial
"
"
"
( A; f1 (t ) , f 2 (t ) , f3 (t )) em relação ao referencial (O; e"1 , e"2 , e"3 ) .
Uma vez que A se mantém fixo, sem perda de generalidade (para simplificar a exposição),
consideramos que A ≡ O .
Problema:
Coloca-se então o problema de determinar a posição do referencial cartesiano rectangular
" " "
directo OX 1Y1 Z1 (ou (O; u1 , u2 , u3 ) ), em relação ao referencial cartesiano rectangular directo OXYZ
%&&&&&&&&
'
" " "
ou (O; e1 , e2 , e3 ) .
base ortonormada
!" 3
direta de E
A resposta ao problema é nos dado por Euler8, pelo teorema que se segue.
8
Leonard Euler 1707-1783
Lead Fox
64
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
Teorema 11.1. [de Euler]
Dois referenciais cartesianos rectangulares directos podem obter-se, um a partir do outro por
uma sequência de rotações (não mais que 3), em torno de eixos coordenados, em que as rotações
sucessivas não têm o mesmo eixo.
Demonstração
A cargo do leitor.
■
Vamos construir uma das sequências de 3 rotações mais utilizada em Mecânica Racional
[estudo do movimento de um sólido em torno de um ponto, estudo do movimento geral do sólido,
no âmbito da Mecânica Celeste].
Construção de uma sequência de rotações que permite transformar OXYZ
" " "
OX 1Y1 Z1 (O; u1 , u2 , u3 ) .
" " "
(O; e1 , e2 , e3 ) ,em
"
"
1.º) CASO: OZ e OZ1 não coincidem (i.e., e3 e u3 não são colineares).
OXY e OX 1Y1 têm 1 ponto em comum: O ⇒ não pode ser o mesmo plano.
OXY ∩ OX 1Y1 = recta que passa por O, designada por recta nodal ou recta dos nodos.
Orientemos a recta nodal n pelo versor:
" "
" e3 ∧ u3
n= " " .
e3 ∧ u3
Será versor?
"
"
"
"
e3 ⊥ ao plano OXY e u3 ⊥ ao plano OX 1Y1 e n ⊥ e3 e n ⊥ u3 ⇒ sendo perpendicular aos 2 é
colinear.
"
" e3 ⊥ OXY
n ⊥ "
u3 ⊥ OX 1Y1
"
Observe-se que se poderia ter escolhido a orientação dada por − n
Aplicando sucessivamente, a OXYZ 3 rotações (em torno de um eixo):
"
"
"
"
1º Rotação: em torno de Oe3 , levando Oe1 a coincidir com On , i.e., rotação em torno de Oe3
" "
segundo o ângulo ψ = ) ( e1 , n ) (designado precessão)
esquema 1
Lead Fox
65
Mecânica Racional II (2001/2002)
" " "
Cinemática do Sólido
" " "
" " "
(O; e1 , e2 , e3 ) → (O; n , e2* , e3 ) → (O; e1* , e2* , e3* )
com
"
"
e1* = n ,
"
" " " "
e2* = e3* ∧ e1* = e3 ∧ n
"
"
e3* = e3
"
"
2.º) CASO: e3 e u3 são colineares
Aqui não podemos definir linha nodal porque os planos coincidem.
Em Mecânica Racional, reduzimos este caso ao anterior escolhendo uma recta no plano
"
OXY ≡ OX 1Y1 para recta modal e procedemos depois como no 1º CASO (aqui a recta modal ≡ u1 ).
Voltemos à descrição analítica do movimento de um sólido em torno de um ponto.
" " "
S é, então, um sólido cujo movimento em relação a R = (O; e1 , e2 , e3 ) mantém fixo (em
relação a R) um ponto que supomos, sem perda de generalidade, manter-se coincidente com O
(ponto de S ou ligado a ele).
" " "
Considerámos (O; f1 , f 2 , f 3 ) um referencial ligado a S e vimos que o movimento de S é
completamente descrito pelas funções
3
"
"
"
f i : t ∈ I ( f i (t ) = ∑ β im em , i = 1, 2,3 .
m =1
Em cada instante t ∈ I , já sabemos situar o referencial cartesiano rectangular directo
"
"
"
(O; f1 (t ) , f 2 (t ) , f3 (t )) , em relação ao referencial (cartesiano rectangular directo) (O; e"1 , e"2 , e"3 ) ,
usando os ângulos de Euler:
"
"
"
e3 ∧ f 3 (t )
"
"
"
"
• ψ (t ) = ) ( e1 , n (t )) , com n (t ) = "
, se e3 e f 3 (t ) não forem colineares;
"
e3 ∧ f 3 (t )
"
"
• θ (t ) = ) ( e3 ∧ f 3 (t )) ;
"
"
• ϕ (t ) = ) ( n (t ) , f1 (t )) .
"
Para conhecer f i basta conhecer os ângulos de Euler em cada instante t.
Concluímos, portanto que, a 3 função angulares
" "
ψ : t ∈ I ( ψ (t ) = ) (e1 , n (t )) ,
"
"
θ : t ∈ I ( θ (t ) = ) ( e3 ∧ f 3 (t )) ,
"
"
ϕ : t ∈ I ( ϕ (t ) = ) ( n (t ) , f1 (t )) ,
determinam completamente o movimento de S , pois permitem determinar as componentes de
" " "
" " "
f1 , f 2 , f3 na base {e1 , e2 , e3 } .
Lead Fox
66
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
Observação
Tal como no caso da coordenada polar θ nos movimentos planos, também as funções ψ , θ
e ϕ [também chamadas os "ângulos de Euler"], serão consideradas definidas sobre $ para que
possam ser de classe C k ( k ≥ 2 ) .
■
"
"
"
É esta condição de regularidade que permite escolher n (t ) , quando e3 e f 3 (t ) são
colineares.
" "
" "
" "
n = e1* é ortogonal ao plano coordenado (O; e2* , e3* ) , n ⊥ u3* .
"
" "
O eixo Ou3 está contido no plano (O; e2* , e3* )
esquema 2
"
"
2ª rotação em torno do eixo On = Oe1* segundo o ângulo
"
"
θ (t ) = ) ( e3 ∧ f 3 (t )) ! mutação
" " "
" " "
" " "
RψZ
→ (O; n , e2* , e3* )
→ (O; n, e2* , u3 )
(O; e1 , e2 , e3 )
Já temos OZ ≡ OZ1 , o que temos a fazer agora é ajustar os outros dois planos.
"
"
"
"
Como Oe3* ≡ Ou3 , queremos que n coincide com u1 , então fazemos mais uma rotação.
esquema 3
"
3ª rotação em torno do eixo Ou3 segundo o ângulo
" "
ϕ (t ) = ) ( n , u1 ) ! rotação própria ou azimute
Em conclusão
" " "
" " "
" " "
RψZ
RϕZ
RθX
→ (O; n , e2* , e3 ) →
→ (O; u1 , u2 , u3 )
(O; n", e"2* , u"3 )
(O; e1 , e2 , e3 )
ou seja
" " "
" " "
R °R °R
→ (O; u1 , u2 , u3 )
(O; e1 , e2 , e3 )
Z
ψ
X
θ
Z
ϕ
Lead Fox
67
Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
Escreve-se então
3
"
"
ui = ∑ β ij e j
i = 1, 2,3 ;
j =1
"
"
"
u1 = cos ϕ n + sen ϕ e2** [esquema 3]
"
"
"
n = cosψ e1 + senψ e2 [esquema 1]
"
"
"
e2** = cos θ e2* + sen θ e3 [esquema 2]
"
"
"
e2* = − sen ψ e1* + cosψ e2 [esquema 1]
"
" " "
Substituindo agora tudo em u1 , obtemos este vector como combinação linear de e1 , e2 , e3 na
segunda forma.
Conclui-se portanto que
"
"
"
"
u1 = ( cos ϕ cosψ − sen ϕ senψ cosθ ) e1 + ( cos ϕ cosψ − sen ϕ senψ cos θ ) e2 + sen ϕ sen θ e3
"
"
"
"
u2 = ( − sen ϕ cosψ − cos ϕ senψ cos θ ) e1 + ( − sen ϕ senψ + cos ϕ cosψ cos θ ) e2 + cos ϕ sen θ e3
"
"
"
"
u3 = sen ϕ sen θ e1 − sen θ cosψ e2 + cosθ e3
Observe-se que esta não é a única forma de levar um referencial a coincidir com outro,
nestas condições. São conhecidas, pelo menos, 12 maneiras diferentes.
Exercício
Os movimentos de rotação em torno de um eixo constituem casos particulares de
movimentos em torno de um ponto.
Determinar as correspondentes ângulos de Euler:
"
"
"
" " "
(O; e1 , e2 , e3 ) ( (O; f1 (t ) , f 2 (t ) , f3 (t ))
"
" " * e3
n = e1 ⊥ "
u3
■
!!"
2.º) Determinação dos torsores cinemáticos {Vt | t ∈ I }
!!"
"
Já sabemos que ∀ t ∈ I , Vt (O ) = 0 . Logo para determinarmos completamente o torsor
cinemático, precisamos conhecer a resultante geral.
!"
Ω (t ) = ?
1º) Processo:
"
"
"
!"
""
" " df1
""
df 3
df 2
(t ) | f3 f1 (t ) + (t ) | f1 f 2 + (t ) | f 2 f3
Ω (t ) =
dt
dt
dt
2º) Processo: [baseado na construção dos ângulos de Euler]
O movimento de S | R pode ser interpretado como a composição de 3 movimentos de
rotação em torno de um eixo:
!!" dψ "
Ω1 =
e3 - movimento em torno de OZ com coordenada angular ψ ;
dt
!!!" dθ "
Ω2 =
n - movimento em torno de OX com coordenada angular θ ;
dt
!!" d ϕ "
Ω3 =
f 3 - movimento em torno de OZ com coordenada angular ϕ .
dt
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Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
!"
Logo, Ω é a soma deste 3:
!" !!" !!!" !!" dψ " dθ " d ϕ "
e3 +
n+
f3
Ω = Ω1 + Ω 2 + Ω3 =
dt
dt
dt
!"
Agora queremos escrever Ω numa base só.
Propriedade 11.2.
" " "
(a) Em relação a {e1 , e2 , e3 } ,
!" dθ
dϕ
dϕ
" dθ
" dψ d ϕ
"
cosψ +
sen θ sen ψ e1 +
senψ −
sen θ cosψ e2 +
cosθ e3
Ω=
+
dt
dt
dt
dt
dt
dt
" " "
(b) Em relação a { f1 , f 2 , f 3 }
!" dθ
dψ
dθ
" dψ
" d ϕ dψ
"
cos ϕ +
sen θ sen ϕ f1 +
sen θ cos ϕ −
sen ϕ f 2 +
cos θ f 3
Ω=
+
dt
dt
dt
dt
dt
dt
Demonstração
(exercício)
■
12. Estudo do Movimento Geral de um Sólido a partir de um
Movimento mais Simples
" " "
Seja S um sólido em movimento em relação a R = (O; e1 , e2 , e3 ) .
Propriedade12.1.
Qualquer movimento de um sólido S em relação a R é a composição de dois movimentos:
- um movimento (de rotação) em torno de um ponto;
- com um movimento de translação.
Demonstração
Descrição analítica do movimento de S | R :
- movimento de um dos pontos de S (ou ligado a ele), digamos A;
" " "
- por três das componentes de f1 , f 2 , f3 (vectores ligados a S constituindo uma base
" " "
ortonormada directa) na base {e1 , e2 , e3 } .
" " "
S | ( A; e1 , e2 , e3 ) ! movimento (de rotação) em
torno de A (movimento que mantém fixo o ponto A,
ligado a S ) movimento determinado por exemplo,
pelos 3 ângulos de Euler. Recorde-se que os 3 ângulos
O movimento de
" " "
S | R = (O; e1 , e2 , e3 ) pode ser
considerado como composição
de Euler determinam
" " "
f1 , f 2 , f3 . Com A um ponto de
S (ou ligado a ele), arbitrariamente escolhido.
" " "
" " "
( A; e1 , e2 , e3 ) | (O; e1 , e2 , e3 )
!
movimento
de
translação que é completamente determinado pelo
movimento do ponto A.
■
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Mecânica Racional II (2001/2002)
Cinemática do Sólido
Observação
Esta decomposição não é única, de uma forma geral ela depende da escolha do ponto A em
S.
Propriedade 12.2.
" " "
O vector de rotação do movimento de S em relação a ( A; e1 , e2 , e3 ) , não depende do ponto
A considerado em S (ou ligado a ele), e coincide com o vector de rotação do movimento de S
dado, qualquer que seja o instante t.
■
!"
!"
!"
" " "
" " "
" " "
" " "
Ω ( S | (O; e1 , e2 , e3 )) = Ω ( S | ( A; e1 , e2 , e3 )) + Ω (( A; e1 , e2 , e3 ) | (O; e1 , e2 , e3 ))
+,,,,,
-,,,,,.
"
=0
porque o movimento é de translação
Observe-se que a demonstração anterior vem ao encontro desta proposição.
Propriedade 12.3.
" " "
Qualquer movimento de um sólido S em relação a (O; e1 , e2 , e3 ) é determinado por:
- 3 funções reais de variável real que descrevem o movimento de S em torno de um dos
seus pontos A (considerado arbitrariamente), por exemplo, os três ângulos de Euler (ou
" " "
de forma equivalente, que determinam a base ortonormada directa { f1 , f 2 , f 3 } ligada a
S ).
- 3 funções reais de variável real que descrevem o movimento de translação de
" " "
" " "
( A; e1 , e2 , e3 ) com respeito a (O; e1 , e2 , e3 ) (ou de forma equivalente, o movimento do
ponto A, escolhido arbitrariamente em S ).
■
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