ELE-31 Princı́pios de Telecomunicações
Prof. Manish Sharma
November 5, 2015
6
Amostragem e Modulação de Pulsos
• Uma senoide é definida pela sua frequência, amplitude e fase. Nos capı́tulos anteriores vimos como
podemos modificar estas variáveis para carregar informação.
• Um pulso retangular é definido pela sua duração, amplitude e instante de inı́cio. Um pulso com formato
qualquer pré-determinado seria também definido pela sua escala no tempo, sua amplitude e sua localização
relativa no tempo. Estas grandezas podem ser modificadas para carregar informação.
• Podemos estabelecer as seguintes analogias:
– AM → PAM: Pulse Amplitude Modulation
– FM → PWM: Pulse Width Modulation
– PM → PPM: Pulse Position Modulation
• A grande diferença entre as modulações acima e seu equivalente por pulso é que um único pulos pode
carregar somente um único valor por grandeza, ou seja, ele carrega uma amostra do sinal.
• A taxa de amostras é a frequência de amostragem, denominada fs . Veremos que se fs for muito maior do
que a banda W da mensagem, a mensagem pode ser recuperada com fidelidade a partir de suas amostras
no tempo.
• A amostragem no tempo não implica necessariamente em uma quantização em amplitude.
• Os pulsos não precisam ser retangulares
6.1
Amostragem
• Definimos x(t) como um sinal contı́nuo no tempo com banda W .
• Definimos um sinal amostrado como sendo:
∞
∞
X
X
xδ (t) =
x(kTs ) · δ(t − kTs ) = x(t)
δ(t − kTs )
k=−∞
(1)
k=−∞
onde Ts = f1s é o intervalo entre instantes de amostragem. Este sinal pode ser visto como um trem de
amostras. Embora ele seja contı́nuo no tempo, ele só possui os valores de x(t) nos instantes kTs , para k
inteiro, ou seja, amostras de x(t).
• Estamos interessados no espectro de xδ (t), ou seja, Xδ (f ). Para obter este espectro, utilizaremos a função
s(t) abaixo:
∞
X
t − kTs
s(t) =
Π
τ
k=−∞
(2)
∞
X
1
δ(t − kTs )
sδ (t) = lim s(t) =
τ →0 τ
k=−∞
1
• Podemos escrever a série de Fourier de s(t) como:
s(t) = c0 +
∞
X
2cn cos(2πnfs t)
n=1
(3)
cn = fs τ sinc(nfs τ )
• Logo, no limite:
sδ (t)
1
s(t)
τ∞
X fs τ sinc(nfs τ )
cos(2πnfs t)
= lim
2
τ →0
τ
n=0
∞
X
= lim
2fs sinc(nfs τ )cos(2πnfs t)
= lim
τ →0
τ →0
=
=
∞
X
n=0
∞
X
n=0
(4)
2fs lim [sinc(nfs τ )]cos(2πnfs t)
τ →0
2fs cos(2πnfs t)
n=0
cujo espectro é:
∞
X
Sδ (f ) = fs
δ(f − n · fs )
(5)
n=∞
• Como xδ (t) = x(t) · sδ (t), temos que Xδ (f ) = X(f ) ∗ Sδ (f ), resultando em:
∞
X
Xδ (t) = f s
X(f − n · fs )
(6)
n=∞
• Logo, a amostragem causa a replicação do espectro de X(f ) nas frequências nfs , como mostra a figura 1.
Pela figura é fácil perceber que as réplicas vão se sobrepor, mesmo que parcialmente, se 2W > fs . Logo,
para que seja possı́vel recuperar o espectro de X(f ) a partir de Xδ (f ), é necessário que fs > 2W .
• Se, nas modulações por pulsos, cada pulso carrega uma amostra, devemos ter uma taxa de pulsos que
seja igual a fs . Uma possibilidade é que os pulsos estejam de alguma forma igualmente espaçados, o que
divide o tempo em janelas de duração Ts . A outra possibilidade é que a taxa média de pulsos seja igual
a fs .
• Na prática não é possı́vel fazer τ → 0, mas é possı́vel faze-lo bem pequeno. Neste caso os coeficientes cn
decairão lentamente.
6.2
Modulação da amplitude dos pulsos-PAM
• Na modulação AM, a amplitude da senoide é modificada para carregar a mensagem. A frequência e a fase
da senoide são mantidas constantes.
• Na modulação da amplitude dos pulsos, a amplitude dos pulsos é modificada para carregar a mensagem.
A sua duração e instante de inı́cio (dentro de uma janela de referência) são constantes.
• A amplitude de cada pulso varia linearmente com a amostra a ser transmitida na janela de tempo. O
sinal transmitido é:
X
AM
xP
(t) =
x(kTs ) · p(t − kTs )
(7)
p
k
2
X(f)
1
0.5
0
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10

X (f)
1
0.5
0
0.5
p
XPAM(f)
1
0
f
Figure 1: Efeitos de amostragem do sinal e o efeito de abertura (linha vermelha).
• Na equação anterior, x(kTs ) é a amostra a ser transmitida e p(t − kTs ) é um pulso qualquer, deslocado
para a posição kTs . Este pulso pode ser escrito como p(t − kTs ) = p(t) ∗ δ(t − kTs ), o que nos permite
escrever:
X
AM
(t) =
x(kTs ) · [p(t) ∗ δ(t − kTs )]
xP
p
k
X
(8)
= p(t) ∗
x(kTs ) · δ(t − kTs )
k
= p(t) ∗ xδ (t)
• Logo
XpP AM (f ) = Xδ (f ) · P (f )
(9)
• O espectro P (f ) age como uma envoltória em frequência.
• Um exemplo gráfico da obtenção de XpP AM (f ) está na figura 1, último painel.
• Este tipo de amostragem e transmissão é equivalente a passar o sinal idealmente amostrado por um sistema
com resposta ao impulso no tempo igual a p(t).
• A atenuação de altas frequências é chamado de efeito de abertura: quanto mais largo o pulso de transmissão
no tempo, maior será o efeito de abertura, isto é, maior será a atenuação das altas frequências.
• Para realizar a demodulação devemos recuperar x(t). Isto pode ser feito isolando o conteúdo de XpP AM (f )
na região |f | < W e desfazendo o efeito de P (f ), o que pode ser feito utilizando um equalizador com a
seguinte resposta em frequência:
(
K · exp(−j2πf td ) · P −1 (f ),
|f | < W
Heq (f ) =
(10)
0
c.c.
3
• O sinal PAM gerado pode assumir valores positivos e negativos. Podemos gerar um sina PAM unipolar
(somente positivo) através da expressão x0 (t) = Ao [1+µx(t)], que é semelhante à envoltória da modulação
AM. O valor de µ é o ı́ndice de modulação. O sinal será de fato unipolar somente se [1 + µx(t)] > 0∀k.
• O espectro deste sinal unipolar é semelhante ao caso anterior, substituindo X(f ) por X 0 (f ) = A0 [δ(f ) +
µX(f )]. Esta substituição gera impulsos em f = kfs , para qualquer k inteiro.
• Para o caso unipolar é suficiente utilizar o filtro Heq (f ) seguido de um bloqueador de nı́vel DC.
• A vantagem de utilizar PAM unipolar é que é mais fácil gerar sinais com uma faixa de tensão entre 0
(terra) e Vcc (tensão de alimentação) e fornecer somente uma fonte de energia ao sistema.
• Em ambos os casos consideramos ser possı́vel amostrar idealmente o sinal. Na prática, utilizarı́amos o
sinal s(t) com um valor de τ pequeno, o que torna a teoria uma aproximação. É necessário que Tτs << 1
para que a aproximação seja válida. O uso de τ 6= 0 faz com que os coeficientes de cn sejam diferentes
para cada n. O espectro de Xδ (f ) teria uma envoltória com o formato da função sinc. Assumimos que
este próprio pulso de ”‘amostragem imperfeita”’ é o pulso p(t), com largura τ
• Assim, a relação entre τ , Ts e W é:
1
(11)
2W
onde a primeira comparação garante que a envoltória de Xδ (f ) varia lentamente a segunda comparação
garante que as réplicas de X(f ) não vão se sobrepor.
τ << Ts <
• Podemos definir a banda de transmissão como:
BTP AM >>
1
>> W
2τ
(12)
• A conclusão a ser tirada desta equação e que a banda de transmissão de um sinal PAM é muito grande e
inclui desde o nı́vel DC até frequências muito altas (devido ao baixo valor de τ 0). Devido a esta necessidade
de grandes bandas, esta modulação é normalmente utilizada em sistemas de comunicação com fios..
6.3
Modulação Temporal dos Pulsos
• Inclui dois casos:
– PWM: Pulse Width Modulation,
– PPM: Pulse Position Modulation.
• Em ambas as modulações, a amplitude do sinal é constante. Isto pode ser uma caracterı́stica vantajosa em
circuitos que tem algo consumo de energia ao mudar de um nı́vel de sinal para outro, mas baixo consumo
de energia ao manter um sinal. Isto acontece por exemplo em transistores MOS.
• Ambas alteram alguma variável temporal dos pulsos. Um possı́vel circuito gerador destes sinais é apresentado na figura 2. O seu funcionamento é o seguinte:
– Um sinal x(t) é comparado com um sinal dente de serra (onda triangular mostrada). Caso a diferença
seja positiva, a saı́da do comparador é positiva, independentemente da amplitude da diferença. Caso
a diferença seja negativa a saı́da vale 0.
– Um sinal PPM pode ser gerado a partir do sinal PWM pela utilização de um circuito monoestável1 .
Este circuito é ativado na borda de descida. Assim, o sinal PPM emite um pequeno pulso quando o
sinal PWM muda do estado ”‘alto”’ para o estado ”‘baixo”’
1 Um
circuito monoestável é estável somente em um dos seus estados. Ele decai sozinho dos outros estados para o estado estável
4
x(t)
+
-
PWM
Circuito
monoestável
PPM
Ativado na borda de subida
Figure 2: Circuito modulador para modulações PWM e PPM. O circuito comparador pode ser um amplificador
operacional não realimentado, por exemplo.
6.3.1
Modulação PWM
• Na figura, a modulação PWM utilizada é a de borda terminal (trailing-edge modulation).
• Revertendo a onda triangular terı́amos a modulação de borda inicial.
• Na modulação PWM, os pulsos se iniciam sempre nos instantes kTs e terminam nos instantes kTs + τk .
Da forma como o circuito foi implementando na figura 2, o pulso termina porque o valor de x(kTs + τk )
é menor do que a onda triangular. Isto é, o instantes de amostragem não são uniformemente espaçadas.
Este problema pode ser evitado utilizando um dispositivo que amostra e mantém o valor, como se fosse
um flip-flop analógico. Na prática, como a banda de x(t) é muito menor do que fs , o valor de x(t) varia
pouco dentro de uma janela, ou seja, x(kTs ) ≈ x(kTs + τk ).
• Assumindo espaçamento uniforme entre as amostras, a largura do k-ésimo pulso é:
τk = τ0 [1 + µx(kTs )]
(13)
onde τ0 é a largura média dos pulsos2 e µ é o ı́ndice de modulação.
• É necessário impor a seguinte restrição:
0 ≤ [1 + µx(kTs )] ≤
Ts
τ
(14)
pois a largura dos pulsos não pode ser negativa e não pode ser maior do que o tamanho de uma janela.
• Não é fácil determinar o espectro do sinal PWM. Uma forma de entender o seu espectro é considerar que
os pulsos (com largura variável) estão centrados nos instantes kTs (ao invés de iniciar nestes instantes) e
2 Não
confundir τ0 com o valor de τ quando k = 0
5
1
x(t)
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
PWM
0.8
0.6
0.4
0.2
0
PPM
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
t
Figure 3: Exemplo de geração de sinais PWM e PPM. Em vermelho a mensagem transmitida.
tem largura de pulso τk . Desta forma podemos escrever a série de Fourier deste sinal como sendo:
WM
xP
(t) = Afs τ0 [1 + µx(t)] +
p
∞
X
2A
sin[nφ(t)] · cos(2πnfs t)
πn
n=1
(15)
onde φ(t) = πfs τ0 [1 + µx(t)]. Desta equação percebemos que o sinal modulado é composto da mensagem
mais termos que estão centrados em nfs . Estes termos são semelhantes a uma modulação PM pois tem
o formato de sin(φ(t)). caso x(t) seja uma senoide, por exemplo, terı́amos o espectro de uma modulação
FM tonal em cada nfs .
• Assim, seria possı́vel recuperar a mensagem com um filtro passa baixas, desde que os termos não se
sobreponham significantemente. A sobreposição seria desprezı́vel para τ0 << Ts .
6.3.2
Modulação PPM
• A modulação PPM é utilizada quando é fácil gerar dois nı́veis do sinal mas é caro sustentar um dos nı́veis.
Encontramos um exemplo desta situação em comunicações óticas, onde é possı́vel gerar pulsos de luz
(estado alto) e escuro (estado baixo), mas é energeticamente caro sustentar o estado alto.
• Nesta modulação, a amplitude e a largura do pulso são constantes. A largura de pulso geralmente é a
menor possı́vel.
• Uma condição para que esta modulação funcione é que o tempo de subida tr do pulso seja o mais curto
possı́vel. O tempo de subida é o tempo que o sinal leva para ir do nı́vel baixo para o nı́vel alto. De forma
superficial, a banda do sinal PPM é :
1
BTP P M ≥
(16)
2tr
• Assim como a remoção da portadora no caso AM, marcar somente o instante onde o pulso PWM terminaria
economiza a energia de transmissão. Por outro lado, assim como a remoção da portadora, a ausência do
6
instante de inı́cio do pulso PWM elimina uma referência de tempo, ou seja, o sincronismo das janelas de
tempo.
• Uma forma de obter o sincronismo é deslocar lentamente a referência de inı́cio das janelas até que haja
somente um pulso por janela. Um erro de sincronismo causaria a adição de um erro constante na detecção,
que poderia ser eliminado com um bloqueador de nı́vel DC.
• Outra forma de obter o sincronismo é medir o valor médio do sinal após demodulação. Este valor pode
ser usado para corrigir a referência de inı́cio das janelas caso a mensagem tenha valor médio igual a zero.
6.3.3
Demodulação
• A demodulação dos sinais PWM pode ser feita isolando o termo espectral em torno de f = 0 ou através
da conversão do sinal PWM para o sinal PAM.
• A conversão pode ser feita com um integrador cujo valor de saı́da é resetado a cada inı́cio de pulso. Um
amostrador manteria
sinal na saı́da deste integrador pela duração de uma ja queue quer equivale a usar
o
t
.
um pulso p(t) = Π
Ts
• Após a obtenção do sincronismo, um sinal PPM pode ser convertido para um sinal PWM utilizando um
gerador de pulsos retangulares que cai ao estado baixo na presença do pulso PPM.
6.4
Exercı́cios
Questões 1 7 8 9
Problemas 6.1.6
6.1.7
6.1.10
6.2.4
6.2.6
6.3.1
7
6.3.3