Profª Cristiane Guedes
MATRIZES
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1
Definição
2
Matriz: Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.
Amxn
a11

a21
= 


am1
a12
a22

am2
L  a1n 

L  a2n 
 = [aij]mxn
   

K  amn 
Elemento da linha i
e coluna j
Elemento da 2 ª linha e 1ª coluna
matriz A de m linhas e n colunas
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Tipos de Matrizes
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 Matriz quadrada
m = n (x linhas = x colunas)
Diagonal principal (i = j)
Elementos da
diagonal principal:
1, 1 e 2
 Diagonais
Só tem sentido falar de diagonais em
matrizes quadradas.
Diagonal secundária = (n + 1 = i + j)
1 2 2


 1 1 3 
4 1 2
Elementos da
diagonal secundária:
2, 1 e 4
Esta é uma matriz quadrada de ordem 3 (3 x 3)
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 Matriz triangular superior (matriz quadrada)
 2 1 1 


0 1 2
 0 0 4 
 Matriz triangular inferior
2

1
2

 4
0 0 0

1 0 0
3 4 0 
5 7 2 
 Matriz Diagonal
4
 -1 0 0 


0 2 0 
 0 0 15 
 Matriz identidade
A identidade é uma matriz diagonal cujo
elementos da diagonal principal são
todos iguais a um.
1 0 0 


0 1 0
 0 0 1 
Chamamos a matriz acima de I3
(identidade de ordem 3)
No geral, In onde n é a ordem da matriz.
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 Matriz nula
 Igualdade de Matrizes
Todos os elementos são nulos.
Duas matrizes são ditas idênticas
quando
seus
elementos
correspondentes são iguais.
0 0 0 0 


0 0 0 0 
0 0 0 0
Chamamos a matriz nula de Omxn
Transposta  troca de linha por coluna (m x n => n x m )
A=  2 1 


 0 3
 1 4 
3x2
5
At =  2 0  1  .


 1 3 4  2x3
Matriz A transposta
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Simétrica  Matriz quadrada tal que At = A
A=  1 3 


 3 2  2x2
=
A = 1 3 


 3 2  2x2
t
Anti-Simétrica  Matriz quadrada tal que A=-
A=  0 2  3 


 2 0  1 
 3 1 0 
3x3
6
At
At =  0  2 3 


1
2 0
 3  1 0 
3x3
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Os elementos da
transposta são os
opostos da
original.
Operações - Adição
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Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de
A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os
elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma
posição.
 A,BM mn C  M mn :C  A  B
c ij  aij  bij ; i  1,, m  j  1,, n
1 2 3
A  5 1 0
2 4 3
2 1 3 
B  1 3 0
3 0 3
3 3 6
C  A  B  6 4 0
5 4 6
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Propriedades da Adição:
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Comutativa
 A,BMmn A  B  B  A
Associativa
 A , B , C Mmn ( A  B)  C  A  (B C )
Elemento Neutro
 A Mmn  O Mmn : A  O  A
Elemento Simétrico
 A M mn  (  A) M mn : A  ( A)  O
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Multiplicação por um escalar
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Sejam A uma matriz e l um escalar.
O produto de l por A é uma matriz C do mesmo tipo de A
que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por l
 AM mn l A  M mn :C  l A
c ij  l aij ; i  1,, m  j  1,, n
 1 2 3
A  5 1 0
2 4 3
 3 6 9
3 A  15 3 0
 6 12 9
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Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo
e os escalares l e  as seguintes propriedades são válidas:
l  A  l  A
(l   ) A  l A   A
l A  B   l A  l B
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1 A A
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Multiplicação de Matrizes
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Seja A uma matriz de tipo m x n e B uma matriz do tipo nxp
O produto de A por B é uma matriz C do tipo m x p
cujos elementos são dados por:
n
ci j   ai k bk j
k 1
e escreve-se C=AB.
O produto de matrizes não é comutativo.
Quando A.B = B.A, dizemos que as matrizes A e B comutam.
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CONDIÇÃO: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e
Blxp se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas
da segunda (n = l). A matriz C = AB será de ordem m x p.
2 1  . 1  1 = 2.1+1.0 2( 1 )+1.4  = 2 2





 

4.1
+
2.0
4
(

1
)
+
2.4


4 4
4
2
0
4



2x2




5 7 
5.1
+
3.0
5
(

1
)
+
3.4




5 3 
3x2
3x2
O somatório dos produtos dos elementos
da primeira linha pelos seus
correspondentes da primeira coluna,
geram o elemento C11.
O somatório dos produtos dos elementos da
primeira linha pelos seus correspondentes da
segunda coluna, geram o elemento C12.
Em geral AB  BA, ou seja, o produto de matrizes não comutativo
Pode ser possível efetuar AB e não ser possível efetuar BA.
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Propriedades da Multiplicação
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Dadas as matrizes A, B e C, e a um escalar.
Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos,
as seguintes propriedades são válidas:
 A BC  A B C 
(A B ) C  A C  B C
A B  C   A B  A C
a  A B  a AB  Aa B
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Propriedades da Transposição
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Dadas as matrizes A e B e a um escalar.
Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas,
as seguintes propriedades são válidas:
( A T )T  A
( A  B )T  AT  BT
a A   a A
T
T
 A B
T
B A
T
T
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Matriz Inversa
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


Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma
matriz tal que AX = In e XA = In, então X é denominada
matriz inversa de A e é indicada por A-1. Quando existe a
matriz inversa de A, dizemos que A é uma matriz inversível ou
não-singular.
Sendo A e B inversíveis, então A.B é inversível e (AB)-1=B-1A-1
(A.B)(B-1A-1) = ABB-1A-1 = AIA-1= AA-1 = I.
Ex: Verifique se existe e, em caso afirmativo,
determine a matriz inversa de A =
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Operações Elementares
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Chamamos de operações elementares nas linhas de uma matriz,
às seguintes operações:



i)
a troca da ordem de duas linhas da matriz;
ii) a multiplicação uma linha da matriz por uma constante
diferente de zero;
iii) a substituição uma linha da matriz por sua soma com outra
linha multiplicada por uma constante diferente de zero.
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Teorema
Seja A uma matriz quadrada. Se uma sequência de
operações elementares nas suas linhas reduz A a I, então
a mesma sequência de operações elementares
transforma I em A.
Ex: Determine a matriz inversa de A   2 4 

3 1


Ex: Determine a matriz inversa de
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 1 2 1


A   1 2 1
 1 2 3


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