1
Regras para utilização do Maple V para soluções
de problemas.
1.1
1.1.1
Comandos excenciais
Identificação de variáveis e definição de funções.
Identificação de variáveis e definição de funções.
Toda vez que estamos interessados em identificar uma variável ou função
procedmos como no exemplo:
Example 1 Suponhamos que nosso interesse é definir polinômios e após fazer
operações definidas para os polinômios. Por exemplo, definir os polinômios f(x)
e g(x) e realizer operações adição, eliminar parênteses e colchetes, reduzir os
termos semelhantes, encontrar as rzízes. Então, procedemos como segue:
a) identificamos os polinômios na forma convencional
b) definimos as operações ousando os comandos do MAPLE
f(x):=(2*x+1)^2;
Retorna f(x) := (2 x + 1)
para definir a função f ;
g(x):=(3*x-2)^2;
Retorna g(x) := (3 x - 2)
para definir a função g;
h(x):=f(x)-g(x);
para definir a operação f − g;
Retorna h(x) := (2 x + 1) - (3 x - 2)
p(x) := expand(h(x));
Retorna p(x) := -5 x + 16 x - 3
para definir a expansão de h(x);
roots(p(x));
para determinar as raizes de p(x);
Retorna as raízes [[1/5, 1], [3, 1]]
Observação: Os polinômios f(x), g(x).. acima não são interpretados pelo
MAPLe como funções. Isso significa que se atribuírmos algum valor numérico a
x não será possível obter um retorno numérico. Para definir uma função devemos
usar o comando unapply(função,variável); Por exemplo, definir a função f(x) e
encontrar o valor numérico para x = 2.
restart:
Antes de iniciar outra tarefa, caso contrário o
MAPLE não ”esquece ” a anterior;
para definir a função f ;
f := 2*x^2+3*x-6;
Retorna p := 2 x + 3 x - 6
1
f := unapply(p(x),x);
de aplicar s
Retorna f := x -> 2 x(x) + 3 x(x) - 6
para que f ”tenha condições ”
z:= f(y+2);
para encontrar a imagem de x = y + 2
Retorna z := 2 (y(y + 2) + 2) + 3 y(y + 2)
k:=f(n+2);
para encontrar a imagem de x = n + 2.
Retorna k := 2 (n(n + 2) + 2) + 3 n(n + 2)
1.2
1.2.1
Integrais
Comandos
Comando int();
O comando int(); geralmente calcula a integral. Porém, muitas vezes não
consegue reproduzir o resultado numérico exato. Nesse caso, usa-se o comando
evalf(); o qual veremos mais adiante.
Sintaxe:
O comando int(); tem sintaxe
int(f (x), x);
e encontra a função primitiva da f (x).
Example 2 Encontrar a primitiva de f (x) = (x2 + 5)
Solução: Digitamos int( xˆ2+5,x ); e clicamos enter.
int( xˆ2+5,x );
1 3
resulta
que é igual
R 2 3 x +1 5x
(x + 5) = 3 x3 + 5x
Comando Int();
O comando Int ( com I maiúsculo) apenas escreve a expressão de integral
na forma convencional.
Porém, para que isso ocorra devemos na barra de ferramentes ajustar a
apresentação como segue
Options\Output\Display\Tipeset
Example 3 Expressar f (x) = (x2 + 5) na forma
R
(x2 + 5)dx.
Solução: Digitamos >Int( xˆ2+5,x ); e clicamos enter.
Int( xˆ2 + 5, x );
resulta
R 2 em
(x + 5)dx.
2
Comandos Int(); e value();
Os comandos Int(); e value(); fazem parte de um pacote de ferramentas
com objetivo de solucionar problemas. Inicia-se a digitação da sintaxe com
o comando with(student) para dar entrada no pacote. Após associamos os
comandos Int e value como segue no exemplo
R
Example 4 Expressar f (x) = (x2 + 5) na forma (x2 + 5)dx e encontrar a
sua primitiva.
Solução: Digitamos
with(student):
Int( xˆ2 +R5, x );
resulta em (x2 + 5)dx.
Digitamos value(Int(xˆ2+5,x)); clicamos enter.
resulta em 13 x3 + 5x.
Example 5 No caso de haver produto de funções f (x) e g (x), para obter a
integral do produto dessas funções basta digitar Int(R f(x)*g(x), x );. Por
exemplo, escrever na forma convencional a integral (x2 + 5) log(x + 1)dx e
determinar sua primitiva.
Solução: Digitamos
with(student):
Int( (xˆ2 + 5) ∗ (ln(x + 1)), x );
Para obter a primitiva escrevemos
>value(Int((x^2+5)*log(x+2),x));
Example 6 O caso de uma raiz quadrada e divisão pode ser escrito como segue
Solução:
Digitamos
with(student):
Int( sqrt(xˆ2 + 5)/(ln(x + 1)), x );
Comando evalf();
Usamos o camando evalf para obtensão de resultados numéricos. Inicia-se
a digitação da sintaxe com o comando with(student):. Após associamos os
comandos int e evalf como segue no exemplo
R2
Example 7 Encontrar o valor numérico da integral definida 1 (x2 + 5) log(x +
2)dx.
Solução:
Digitamos with(student):
evalf(int( sqrt(xˆ2 + 5)/(ln(x + 2)), x =1..2));
Note que x =1..2 denota o intervalo de integração.
3
1.2.2
Integração por substituição
O procedimento para obtensão dos resultados da integral por substituição de
variáveis usa-se o comando changevar(); para ocorre a substituição, o comando
subs(); para retornara à variável inicial. Veja a rotina abaixo.
• Inicia-se a digitação da sintaxe com o comando with(student):
R
• changevar(f(x)=u, Int(g(f(x))f 0 (x)dx, x), u); para obter g (u) du.
Após associamos o comando value.
• subs(u=f(x), escreve aintegral obtida na variável u));
R √
Example 8 Usando substituição de variáveis encontrar x x2 + 1dx
Solução:
a) Sejam f (x) = x2 + 1 = u então teremos g (f (x)) = g (u) e
f (x) dx = 2xdx. Logo, du
2 = xdx. Agora
Digitamos os comandos
with(student):
changevar(x^2+1=u,
Int((sqrt(x^2+1))*x, x), u);
R√
Obten-se 12
udu
value(changevar(x^2+1=u, Int((sqrt(x^2+1))*x, x), u));
para obter
0
R√
√ 3
udu = 13 ( u)
finalmente o comando
subs(u=x^2+1, 1/3*u^(3/2));
retorna
³p
´3
1
(x2 + 1)
3
1
2
1.2.3
Integração por partes
Usa-se a sintaxe abaixo
with(student):
intparts(u(x)*dv, x), dv);
Example 9 Encontrar a integral
Solução:
R
x3 ln(x)dx
Tomamos u(x) = x3 e dv = ln(x)
Digitamos os comandos
with(student):
intparts(Int(x^3*ln(x), x), ln(x));
obtemos
4
R
x3 ln xdx = 14 x4 ln x −
1 4
16 x
Nota: Caso o leitor tenha tomado dv = x3
comandos
e u = ln(x) e digitado os
with(student):
intparts(Int(x^3*ln(x),
x),x^3 );R
R
Obterá x3 ln xdx = x4 (ln(x) − 1) − 3x3 (ln(x) − 1)dx, ou seja, obteve um
resultado não satisfatório por
não ter sido escplhidos u(x) e dv adequadamente.
Simplificação do trabalho Para simplificar o trabalho, as funções podem
ser nominadas e após ser escritos apenas seus nomes dentro dos comandos como
seegue:
with(student):
a:=Int(x^3, x);
value(a);
1.3
Integração por frações parciais
Para integração através de frações parciais passo a passo nominamos cada passo
e procedmos como dito na intem simplificando o trabalho. Obtemos a seguinte
rotina
with(student):
a := f(x);
para digitar a função;
b:=factor(a);
para fatorar o denominador de f(x);
c:=convert(b, parfrac, x);
para escrever f(x) na forma de frações
parciais;
d:=Int(c,x);
converter, após transformação, na forma convencional
da integral;
R
e:=expand(d);
para distribuir o operador f:=value(e);
encontrar a primitiva.
g:=simplify(f ); quando é necessidade de simplificação.
Example 10 Encontrar a primitiva de f (x) =
5
x3 + x
.
x2 − 1
Solução: Conforme a sintaxe temos
with(student):
x3 + x
;
x2 − 1
b:=factor(a);
a :=
resulta em b =
x3 + x
(x + 1)(x − 1)
c:=convert(b, parfrac, x);
resulta em c = x +
1
1
+
(x + 1) (x − 1)
d:=Int(c,x);
R
resulta em d = (x +
1
1
+
)dx
(x + 1) (x − 1)
e:=expand(d);
resulta em e =
R
xdx +
R
R
1
1
dx +
)dx
(x + 1)
(x − 1)
f:=value(e);
e = 12 x2 + ln (x + 1) + ln (x − 1)
g:=simplify(f );
1.3.1
Cálculo da integral usando uma partição do intervalo
Sejam [a, b] e P = {x0 , x1 , ......xn } uma partição de [a, b], f : [a, b] → X uma
função, [xi−1 , xi ] intervalos da partição e ξ i ∈ [xi−1 , xi ]. Vamos calcular o valor
da integral de f no intervalo [a, b] somando as áreas dos retângulos f (ξ i ) ∆xi ,
n
P
isto é A =
f (ξ i ) ∆xi . Além disso, vomos representar graficamente a divisão
i=1
da área em retângulos.
A sintaxe envolve o pacote with(student): e os seguintes parâmetros
f (x)- a função f(x)
a - llimite esquerdo do intervalo [a, b]
b -limite direito do intervalo [a, b]
n - número de pontos da partição
color - indica a cor que se deseja nos retângulos
plot options - as opções adicionais que se deseja.
6
leftbox toma ξ i = a
a:=middlebox toma ξ i como sendo o ponto médio do subintervalo [xi−1 , xi ].
rightbox ξ i = b
A sintaxe para o cálculo da soma inferior, ξ i = a, será:
with(student):
leftbox(função, x=a..b, n, color= cor desejada);
a:=leftsum(função, x=a..b, n );
value(a);
evalf(a);
A sintaxe para o cálculo da soma á superior, ξ i = b, será:
with(student):
rightbox(função, x=a..b, n, color= cor desejada);
a:=rightsum(função, x=a..b, n );
value(a);
evalf(a);
Example 11 Encontrar o valor da integral inferior de f (x) = x2 ln x no intervalo [1, 5] e a partição de [1, 5] comtém 10 pontos na cor vermelha.
S0olução: Escreve-se:
with(student):
leftbox(x2 ∗ ln x, x=1..5, 10, color=red);
a:=leftsum(função, x=1..5, 10, );
value(a);
evalf(a);
1.4
Integral definida
Basta proceder como na sintaxe abaixo
with(student):
a:=f(x);
b:=int(a,x=a..b);
Example 12 Encontrar o valor da integral f (x) =
7
x3 + x
no intervalo [2, 3].
x2 − 1
Solução: Conforme a sintaxe temos
with(student):
x3 + x
;
x2 − 1
b:=factor(a);
a :=
resulta em b =
x3 + x
(x + 1)(x − 1)
c:=convert(b, parfrac, x);
resulta em c = x +
1
1
+
(x + 1) (x − 1)
d:=Int(c,x=3..4);
resulta em d =
R4
3
(x +
1
1
+
)dx
(x + 1) (x − 1)
e:=evalf(d);
resulta em e := 4.128608659.
1.5
1.5.1
Gráfico de uma região
Comandos solve(); e plot();
Comando solve(); Para calcular a área de uma região devemos, em primeiro
lugar, determinar os pontos de interseção das curvas que a delimitam. Usamos
o comando solve cujo objetivo é encontrar soluções e tem sintaxe
solve({f(x,y)=0,g(x,y)=0},{x,y});
Example 13 Encontrar os pontos de interseção das curvas y = 5 − x2 e y =
x + 3.
Solução:
Procedemos como segue:
solve({y = 5 − x2 , y = x + 3},{x,y});
resulta em {y = 1, x = -2}, {x = 1, y = 4}.
8
Comando plot O comando plot tem a função de marcar os pontos de uma
função num sistema de coordenadas.
A sintaxe por exemplo é:
• Para fazer o gráfico de f(x) de x = a até x = b na cor verde digitamos
plot(f(x), x=a..b,color=green);
• Para fazer o gráfico de f(x) de x = a até x = b na cor vermelha, pontilhado
e faz o gráfico de g(x) de x = a até x = b na cor azul em linha digitamos.
plot([f(x), g(x)], x=a..b, color=[red,blue], style=[point,line]);
Example 14 Fazer o gráfico da região delimitada pelas curvas y = 5 − x2 e
y = x + 3 no intervalo [−2, 1], sendo a primeira em pontlhada e em vermelho e
a segunda linha azul
Solução: Tabela de limites da região. A tabela abaixo exibe as curvas
que delimitam a região em estudo.
Limites
f unções
à esquerda
x = −2
à direita
x=1
inf erior
y =x+3
sup erior y = 5 − x2
Sintaxe
plot([5 − x2 , x + 3, x=-2..1, color=[red,blue], style=[point,line]);
1.5.2
Coordenadas paramétricas e polares
Observe o comando
plot([x(t),y(t),t=0..2*Pi]); x(t) e y(t) são as funções paramétricas da
curva desejada no intervalo t=0 a 2*Pi.
Example 15 As coordenadas paramétricas são x = 3sen(t) e y = 3 cos t. Assim, para fazer o gráfico da circunferência em coordenadas paramétricas basta
observar os comandos:
9
plot([3*sin(t),3*cos(t),t=0..2*Pi]);
Gráficos em coordenadas polares. Usa-se o comando
plot(x(t),t=0..Pi,coords=polar);
Example 16 Fazer o gráfico de ρ = 2 + 2 cos t
Solução: Digitamos o comando
plot(2+2*cos(t),t=0..2*Pi,coords=polar);
1.6
Integrais duplas
Usamos o comando Int(Int(f(x,y),x),y)) para escrever uma integral dupla na
forma convencional.
RR
Example
(x + 3y + 2)dxdy e
R R 17 Escrever na forma convencinal a integral
após
(x + 3y + 2)dydx.
Solução:
Conforme a sintaxe temos
Int(Int(x+3*y+2,x),y);
e Int(Int(x+3*y+2,y),x);
Usamos o comando int(int(f(x,y),x),y)) para encontrar a integral dupla .
Para obter o valor da integral também, podem ser usados os comandos
a:=int(int(x+3*y+2,y),x);
value(a);
1.6.1
Determinação da primitva de uma função de duas variáveis
Usan-se os comandos
RR
int(int(x+3*y+2,x),y); para determinarR R (x + 2y + 2)dxdy
int(nt(x+3*y+2,y),x); para determinar
(x + 2y + 2)dydx
1.6.2
Valor numérico da integral dupla
Seja R uma região do plano delimitada pelas curvas x = a, x = b, y = y1 (x) e
y = y2 (x) conforme descrito na tabela de limites abaixo.
Tabela de limites
Limites
f unções
à esquerda
x = a,
à direita
x=b
inf erior
y = y1 (x)
sup erior y = y2 (x)
10
Nosso interesse é calcular a integral dupla sobre essa região, isto é o volume
de um sólido cujas funções que o limitam inferiormente e superiormente estão
definidas sobre R.
Suponhamos que as superfícies inferior h(x, y) e superior H(x, y) delimitam o
sólido sobre o qual desejamos saber o volume. Para determinar o valor numérico
do volume entramos com sintaxe
int(int(H(x,y)-h(x,y),y1 (x)..y2 (x)),x=a..b);
RbRy
para representar a y12 (H(x, y) − h(x, y))dydx
ou
int(int(H(x,y)-h(x,y)),x1 (y)..x2 (y)),y=a..b);
para representar
R b R x2
a
x1
(H(x, y) − h(x, y))dxdy .
Example 18 Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies x =
−2, x = 1, y = x + 3, y = 5 − x2 , H(x, y) = 9 − x2 − y 2 e h(x, y) = x2 + y 2 .
Solução:
devemos digitar
int(int(9-2*x^2-2*y^2,y=x+3..5-x^2),x=-2..1);
para determinar
1.7
R x=1 R y=5−x2
x=−2 y=x+3
(9 − x2 − y 2 − (x2 + y 2 ))dxdy
GRÁFICOS EM 3D
Gráfico em coordenadas retangulares Seja fazer o gráfico das funções
H(x, y) e h(x, y). Procede-se como segue:
1. Determinamos as curvas de interseção entre as superfícies H(x, y) e h(x, y)
resolvendo a equação H(x, y) = h(x, y).
2. Escrevemos as curvas de interseção em função de uma variável. Por exemplo, x = a, x = b, y = y1 (x) e y = y2 (x). Obtem-se, desse modo a tabela
de limites
Tabela de limites
Limites
f unções
à esquerda
x = a,
à direita
x=b
inf erior
y = y1 (x)
sup erior y = y2 (x)
1. Usa-se o comando
11
plot3d({H(x,y),h(x,y)},x=a..b,y=y1 (x)..y=y2 (x));
Example 19 Fazer o gráfico das funções H(x, y) = 18 − x2 − y 2 e h(x, y) =
x2 + y 2 .
Solução:
Resolvendo a equação H(x, y) = h(x, y)
18 − x2 − y 2 = x2 + y 2
x2 + y 2 = 9
√
√
consequentemente, obtemos x = −3,x = 3, y = − 9 − x2 e y = 9 − x2 .
Cuja tabela é:
Tabela de limites
Limites
f unções
à esquerda
x = −3,
à direita
x√
=3
inf erior
y = −√9 − x2
sup erior y = − 9 − x2
Agora digitamos os comandos
plot3d({18-x^2-y^2,x^2+y^2},x=-3..3,y=-sqrt(9-x^2)..sqrt(9-x^2));
1.8
Integrais triplas
Usamos o comando Int(Int(Int(f(x,y,z),x),y),z))) para escrever uma integral
tripla na forma convencional.
RRR
Example
(x+3y+2z)dzdxdy
R R20
R Escrever na forma convencional a integral
e após
(x + 3y + 2z)dzdydx.
Solução:
Conforme a sintaxe temos
Int(Int(Int(x+3*y+2*z,z),x),y); e Int(Int(Int(x+3*y+2*z,z),y),x);
para escrevê-la na forma convencional.
1.8.1
Determinação da primitva
Usan-se os comandos
int(int(int(x+3*y+2*z,z),x),y);
para determinar
RRR
(x + 2y + 2z)dzdxdy
int(int(int(x+3*y+2*z,z),y),x);
para determinar
RRR
(x + 2y + 2z)dzdydx
12
1.8.2
Calcular o valor numérico da integral tripla
Seja S um sólido no espaçi delimitado pelas superfícies z = H(x, y) e z = h(x, y).
Sejam, as curvas dadas por x = a, x = b, y = y1 (x) e y = y2 (x) limitantes da
projeção de S sobre o planos xy. Então, podemos formar a seguinte tebela de
limites de integração.
Tabela de limites
Limites
f unções
à esquerda
x = a,
à direita
x=b
inf erior
y = y1 (x)
sup erior
y = y2 (x)
sup erf ície inf erior z = h(x, y)
sup erf ı́cie sup erior z = H(x, y)
Para determinar o valor numérico da integral tripla de f (x, y, z), definida
sobre S, entramos com sintaxe
Int(Int(Int(f(x,y,z), z = h(x, y)..H(x, y)),y1 (x)..y2 (x)),x=a..b);
R x=b R y=y R z=H(x,y
para representar x=a y=y12 z=h(x,y) f (x, y, z)dzdydx
e
Int(Int(Int(f(x,y,z),z=h(x,y)..H(x,y),x1 (y)..x2 (y),y=a..b);
para representar
R b R x2 R z=H(x,y)
a
x1
h(x,y
f (x, y, z)dzdxdy .
Entramos com os comandos
int(int(int(f(x,y,z), z = h(x, y)..H(x, y),y1 (x)..y2 (x),x=a..b);
R x=b R y=y R z=H(x,y
para calcular x=a y=y12 z=h(x,y) f (x, y, z)dzdydx
e
int(int(int(f(x,y,z),z=h(x,y)..H(x,y)),x1 (y)..x2 (y)),y=a..b);
para calcular
R b R x2 R z=H(x,y)
a
x1
h(x,y
f (x, y, z)dzdxdy .
Example 21 Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies x =
−2, x = 1, y = x + 3, y = 5 − x2 , H(x, y) = 9 − x2 − y 2 e h(x, y) = x2 + y 2 .
Note que, nesse caso, f (x, y, z) = 1.
13
Solução:
devemos digitar
int(int(int(1,z=x ^2+y ^2..9-x ^2-y ^2),y=x+3..5-x^2),x=-2..1);
para determinar
R x=1 R y=5−x2 R z=9−x2 −y2
x=−2 y=x+3
z=x2 +y2
dzdxdy
• Também podemos usar a sequência de comandos
a:=Int(Int(Int(1,z=x^2+y^2..9-x^2-y^2),y=x+3..5-x^2),x=-2..1);
Para escrever a integral na forma convencional a =
R x=1 R y=5−x2 R z=9−x2 −y2
x=−2 y=x+3
z=x2 +y 2
evalf(a);
Para determinar o valor numérico da integral
1.9
USO DO MAPLE PARA ESTUDAR SÉRIES.
Os comandos abaixo são usado na linguagem de programção do MAPLE. Usando os princípios básicos de programação e o ”help ” do MAPLE o leitor
poderá ampliar o trabalho.
I Escrever seqências usando o MAPLE.
i
seq( i^2, i=1..5 );
Retorna a sequência 1, 4, 9, 16, 25
ii
seq( x[i], i=1..5 );
retorna a sequência x1 , x2 , x3 , x4 , x5
iii
X := [seq( i, i=0..6 )];
retorna a sequência X := [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]
iv
Y := [seq( i^2, i=X )];
retorna a sequência Y := [0, 1, 4, 9, 16, 25, 36]
v
[seq( [x[i],x[i]], i=1..4 )];
retorna a sequência [[[x1 , y1 ] , [[x2 , y2 ] , [[x3 , y3 ] , [[x4 , y4 ]]
14
dzdxdy
vi
seq( i, i=”Hello” );
retorna a sequência ”H”, ”e”, ”l”, ”l”, ”o”
vii
seq( i, i=”a”..”f” );
retorna a sequência ”a”, ”b”, ”c”, ”d”, ”e”, ”f”.
II - Para escrever a soma dos termos de uma seqência. Cada sintaxe abaixo
apresenta o reetorno no MAPLE 6
i
sum(’u[n]’,’n’=0..4);
retorna u0 + u1 + u2 + u3 + u4
ii
sum(’a[n]*x^n’,’n’=0..4);
retorna u0 + u1 x + u2 x2 + u3 x3 + u4 x4
iii
sum(’u[n]*x^n’,’n’=0..k);
retorna
k
P
un xn
n=0
iv
sum(’u[n]*x^k’,’n’=0..4);
retorna u0 xk + u1 xk + u2 xk + u3 xk + u4 xk
vi
sum(’a[n]*x^n’,’n’=0..k)=sum(’a[n]*x^n’,’n’=0..4);
retorna
k
P
un xn = u0 + u1 x + u2 x2 + u3 x3 + u4 x4
n = 0, 1, 2, 3, 4
n=0
vii
sum(’n^2’, ’n’=0..5);
retorna a soma o valor da soma 02 + 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55
viii
sum(’1/n’,’n’=0..k)=evalf(sum(’1/n’, ’n’=1..10));
retorna o valor da soma
termos.
ix
k
P
n=0
1
n
= 2.928968254 para os 10 − primeiros
sum(’1/(n*(n+1))’,’n’=1..k)=evalf(sum(’1/(n*(n+1))’,
’n’=1..10));
retorna o valor da soma
termos.
k
P
n=1
1
n(n+1)
15
= 0, 909 para os 10 − primeiros
1.10
USO DO MAPLE PARA ESTUDAR ÁLGEBRA LINEAR.
Para resolver problemas que envolvem álgebra linear digita-se o comando
with(linalg); com ponto e vírgula e
Dando enter é exibido todas as operações relacionada com álgebra linear,
etre elas:
- det - para encontrar o determinante,
- inverse - para encontrar a inversa da matriz,
etc
Para resolver operações relativas à álgebra linera usa-se
with(linalg): com dois pontos
Por exemplo, para entrar com as matrizes




1
5
2
7 −2 0
A =  −2 6 −2 
A =  −2 6 −2 
1 −2 5
0 −2 5
Entramos com a sintaxe
with(linalg): (DOIS PONTOS NO FINAL).
A :=matrix([[7, -2, 0], [-2,6, -2], [0, -2, 5]]);
B :=matrix([[1, 5, 2], [-2,6, -2], [1, -2, 5]]);
dá enter e obtém A e B no modelo convencional. Depois escreve
evalm(A&*B);
Para multiplicar A e B,
evalm(A+B);
det(A);
inverse(A);
gausselim(A);
gaussjord(A);
matriz escalonada reduzida.
charpoly(A,x);
eigenvalues(A);
eigenvectors(A);
minpoly(A,x);
Determinar A + B,
Determinante de A
Para obter a matriz inversa de A
Para encontra a matriz triangular inferior;
Para efetuar operações sobre linhas até a
Para obter o polinômio característico
Para obter os autovalores
Para obter os autovetores
Para obter o polinômio minimal.
16
Example
22 Resolver o sistema de equações

 2x + 3y + 4z = 9
−4x + 3y − 5z = −6

3x + 2y − z = 4
Solução.
 A matriz ampliada
 do sistema é
2 3 4
9
A =  −4 3 −5 −6 
3 2 −1 4
usando o comando
gaussjord(A);
retorna
 a matriz

1 0 0 1
A =  0 1 −0 1 
0 0 1 1
De modo que a solução do sistema é x = 1, y = 1 e z = 1.
17