Capı́tulo 1
Matrizes, Determinantes
1a L iç ã o (c o m p ro jeto r m u ltim ed ia )13/ 03/ 2007
1.1
T eoria G eral d e Matrizes
Definição 1. Uma matriz d e ” m” lin h as e

a11 a12 a13 ·
 a
 21 a22 a23 ·

Am×n =  ·
·
·
·

 ·
·
·
·
am1 am2 am3 ·
” n ” co lu n as é d ad a p o r:

· · a1n
· · a2n 


· ·
·  = [aij ]m×n

· ·
· 
· · amn
T ip os E sp eciais d e m atriz es
Definição 2 (M a triz Q u a d ra d a ). Q u an d o m= n .
E x em p lo 1.
A3×3

1 −2
= 3 0
4 5

3
1 
6
D izemo s q u e A3×3 é d e o rd em 3 . E m g eral, se temo s u ma matriz An×n d izemo s
q u e é d e o rd em n , d en o tamo s p o r An .
Definição 3 (M a triz Nu la o u Z ero ). S e aij = 0, ∀i = 1, 2, ..., m, ∀j = 1, 2, ..., n.
Definição 4 (M a triz C o lu n a ). S e p o ssu i u ma ú n ica co lu n a, o u seja n = 1 .
E x em p lo 2 .


1
 −4  = A3×1
3
1
2
CAPÍTULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
Definição 5 (M a triz L in h a ). S e m= 1 .
E x em p lo 3 .
3
0 −1
= A1×3
Definição 6 (M a triz D ia g o n a l). E´ u ma matriz q u ad rad a, o n d e
aij = 0, p ara i 6= j.
E x em p lo 4 .

7
 0
0

0 0
1 0 
0 −1 3×3
Definição 7 (M a triz Id en tid a d e). E´ d efi n id a p o r aii = 1, e aij = 0, p ara i 6= j.
E x em p lo 5 .

1
I3 =  0
0
0
1
0

0
0 
1 3×3
Definição 8 (M a triz T ria n g u la r S u p erio r). E´ u ma matriz q u ad rad a tal q u e
aij = 0, p ara i > j.
E x em p lo 6 .

2 −2
 0 1
0 0

0
3 
5 3×3
Definição 9 (M a triz T ria n g u la r In ferio r). E´ u ma matriz q u ad rad a tal q u e
aij = 0, p ara i < j.
E x em p lo 7 .

2
 7
−1

0 0
1 0 
0 5 3×3
Definição 10 (M a triz S im étric a ). E´ aq u ela matriz q u ad rad a q u e v erifi ca
aij = aji .
E x em p lo 8 .

2 −1
 −1 1
1
0

1
0 
5 3×3
3
1.1. TEORIA G ERAL DE MATRIZES
O p erações com M atriz es
Definição 11 (A d iç ã o o u S o m a ). D ad as A = Am×n = [aij ] e B = Bm×n =
[bij ], d efi n imo s a matriz so ma A + B p o r A + B = [aij + bij ] matriz d e o rd em
m × n.
P rop ried ad es : D a d a s a s m a triz es A , B e C d e m esm a o rd em m × n, tem o s
que :
(i) A + B = B + A(c o m u ta tiv a )
(ii) A + (B + C) = (A + B) + C(a sso c ia tiv a )
(iii) A + 0 = A, o n d e o é a m a triz n u la d e o rd em n .
Definição 12 (P ro d u to o u M u tip lic a ç ã o p o r u m esc a la r). S e A = [aij ]m×n e
λ u m n ú mero , p o d emo s d efi n ir u ma n o v a matriz tal q u e λ · A = [λ · aij ]m×n .
P rop ried ad es D a d a s a s m a triz es A e B d a m esm a o rd em m × n e n ú m ero s
α, β, tem o s q u e :
(i) α · (A + B) = α · A + α · B
(ii) (α + β) · A = α · A + β · A
(iii) 0 · A = 0m×n
(iv ) α · (β · A) = (α · β) · A.
Definição 13 (M a triz T ra n sp o sta ). D ad a u ma matriz A = [aij ]m×n , p o d emo s
o b ter o u tra matriz, d en o tad a p o r At = [bij ]n×m , c u jas lin h as são as co lu n as d e
A , c h amad a a matriz tran sp o sta d e A .
E x em p lo 9 .
A=
E x em p lo 10 .

2 −1
2
A= 0
−1
4

1
3 
4 3×2
1×3


2
At =  −1 
4
3×1
At =
2
1
0 −1
3 4
2×3
P rop ried ad es :
(i) A m a triz A é sim étric a se, e so m en te se A = At
(ii) Att = A
(iii) (A + B)t = At + B t
(iv ) (λ · A)t = λ · At , o n d e λ é u m n ú m ero .
Definição 14 (M u ltip lic a ç ã o d e m a triz es). S ejam A = Am×n = [aij ] e B =
Bn×p = [brs ], d efi n imo s a matriz A · B = [ck l ]m×p ,
n
X
o n d e ck l =
ak j · bjl
j= 1
4
CAPÍTULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
O b serv ação 1. P o d emo s efetu ar o p ro d u to d as matrizes A = Am×n = [aij ] e B =
Bl×p = [brs ], q u an d o n = l. A matriz A · B terá o rd em m × p.
E x em p lo 11.
A = A3×2

2
A·B =  4
5
1.2

2
= 4
5

1
2 
3
B = B2×2 =
1 −1
0 4




1
2 · 1 + 1 · 0 2(−1) + 1 · 4
2
1
−1
=  4 · 1 + 2 · 0 4(−1) + 2 · 4 
= 4
2  ·
0 4 2×2
3 3×2
5 · 1 + 3 · 0 5(−1) + 3 · 4 3×2
5

2
4 
7 3×2
S istemas L ineares
2a L iç ã o (c o m p ro jeto r m u ltim ed ia ) 15/ 03/ 2007
Definição 15 . S eja
eq u aç õ es d o tip o :
A = [aij ]
u ma matriz e
b1 , b2 , ..., bn
n ú mero s. A s
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a x + a x + ... + a x = b
21 1
22 2
2n n
2
(∗) .......................................................
.......................................................
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm
são co n h ec id as co mo u m sistema d e eq u aç õ es lin eares d e ” m” eq u aç õ es e ” n ” in c ó g n itas.
O b serv ação 2 . Uma so lu ç ão d e (* ) é u ma n -u p la d e n ú mero s (x1 , x2 , ..., xn ) q u e
satisfaç a simu ltán eamen te as ” m” eq u aç õ es.
O b serv ação 3 . S e bi = 0, ∀i = 1, 2, .., m d izemo s q u e o sistema é h o mo gên eo .
O b serv ação 4 . O sistema d e eq u aç õ es:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0
a x + a x + ... + a x = 0
21 1
22 2
2n n
(∗∗) ...................................................
...................................................
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = 0
é c h amad o sistema h o mo gên eo asso c iad o a (* ).
O b serv ação 5 . P o d emo s esc rev er o sistema (* ) n a fo rma matric ial:




b1
x1


a11 a12 · · · a1n
 b 
 x 
2 
 2 
 a21 a22 · · · a2n  




 · ·  = 
 ·  O U A·X=B
 ·



·
· · ·
·  
 · 
 · 
am1 am2 · · · amn
xm
bm
5
1.2 . SISTEMAS LINEARES
on de
a11
 ·
A= 
 ·
am1

·
·
·
·
· ·
· ·
· ·
· ·

a1n
· 
,
· 
amn

x1
 · 

X=
 · ,
xm


b1
 · 

B= 
 · 
bm

A é c h amad a a matriz d o s co efi c ien tes d o sistema, X é a matriz d as in c ó g n itas
e B é a matriz d o s termo s in d ep en d en tes.
Definição 16 . A o sistema p o d emo s
d ad a p o r

a11 a12
 a21 a22

 ·
·
am1 am2
asso c iar a matriz amp liad a d o sistema ,
·
·
·
·
·
·
·
·
a1n
a2n
·
amn

b1
b2 

· 
bm
E x em p lo 12 . O sistema:
x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 = 3x2 − 2x3 = 5
P o d e ser esc rito n a fo rma

1
 2
1
matric ial seg u in te:
 



4
3
x1
1
5
4  ·  x2  =  4 
x3
−3 −2
5
P ara reso lv er o sistema, co n sid eramo s a matriz amp liad a.


1 4
3 1
 2 5
4 4 
1 −3 −2 5
Usan d o o p eraç õ es elemen tares, a ser d efi n id as, c h eg amo s a


1 0 0 3
 0 1 0 −2 
0 0 1 2
q u e é a matriz amp liad a d o sistema so lu ç ão :
x1
x2
=3
= −2
x3 = 2
6
CAPÍTULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
Definição 17 (O p era ç õ es E lem en ta res). T emo s três o p eraç õ es so b re as lin h as
d e u ma matriz.
(i) P ermu ta d a i-ésima lin h a p ela j-ésima lin h a ( Li ⇔ Lj ).
(ii) M u ltip licaç ão d a i-ésima lin h a p o r u m escalar n ão n u lo k . (Li ⇒ k · Li ).
(iii) S u b stitu iç ão d a i-ésima lin h a p ela i-ésima lin h a mais k v ezes a j-ésima
lin h a.(Li ⇒ Li + k · Lj ).
E x em p lo 13 . L2 ⇔ L3 .




1
0
1
0
 4 −1  ⇒  −3 4 
4 −1
−3 4
E x em p lo 14 . L2 ⇒ −3 · L2




1
0
1
0
 4 −1  ⇒  −12 3 
−3 4
−3 4
E x em p lo 15 . L3 ⇒ L3 + 2 · L1




1
0
1
0
 4 −1  ⇒  4 −1 
−1 4
−3 4
Definição 18 (M a triz es E q u iv a len tes). D ad as d u as matrizes d o tip o m ×
n, d izemo s q u e B é lin h a eq u iv alen te a A , se B é o b tid a d e A através d e
u m n ú mero fi n ito d e o p eraç õ es elemen tares so b re as lin h as d e A , d en o tamo s
A ⇒ B o u A ∼ B.
Definição 19 (F o rm a E sc a d a ). Uma matriz m × n, é lin h a red u zid a à
fo rma escad a, se v erifca:
(a) O p rimeiro elemen to NA˜ O n u lo d e u ma lin h a NA˜ O n u la é 1 .
(b ) C ad a co lu n a q u e co n tém o p rimeiro elemen to NA˜ O n u lo d e alg u ma lin h atem
to d o s o s seu s o u tro s elemen to s ig u ais a zero .
(c) T o d a lin h a n u la o co rre abaix o d e to d as as lin h as NA˜ O n u las (isto é, d aq u elas
q u e p o ssu em p elo men o s u m elemen to NA˜ O n u lo ).
(d ) S e as lin h as 1 , 2 , ..., r são as lin h as n ão n u las, e se o p rimeiro elemen to
NA˜ O n u lo d a lin h a i o co rre n a co lu n a ki , en tão k1 < k2 < ... < kr .
T eorem a 1. T o d a matriz Am×n é lin h a eq u iv alen te a u ma ú n ica matriz-lin h a
red u zid a à fo rma escad a.
Definição 2 0 . D ad a u ma matriz Am×n , seja Bm×n a matriz-lin h a red u zid a à
fo rma escad a lin h a eq u iv alen te a A . O p o sto d e A , d en o tad o p o r p , é o n ú mero
d e lin h as n ão n u las d e B . A n u lid ad e d e A é a d iferen ç a n - p .
7
1.2 . SISTEMAS LINEARES
E x em p lo 16 . D etermin ar o p o sto e a

1
A =  −1
1
n u lid ad e d a matriz seg u in te:

2 1 0
0 3 5 
−2
1
1
F azemo s as seg u in tes o p eraç õ es elemen tares:
L2 ⇒ L2 + L1 ⇒ (1/2)(L2 + L1 ),
L3 ⇒ L3 + (−1)L1 , i. é.,

1
2
 −1 0
1 −2

1 0
3 5 
1 1

1 2
⇒ 0 2
0 −4

1 0
4 5 
0 1

1 2
⇒  0 1
0 −4
1
2
0

0
5/2  = B
1
Na matriz resu ltan te B , efetu amo s as o p eraç õ es :
L1 ⇒ L1 + (−2)L2 , L3 ⇒ (1/8)L3 ,
L1 ⇒ L1 + 3 · L3 , L2 ⇒ L2 + (−2) · L3

1 2
 0 1
0 −4
1
2
0


1 0 −3
−5
5/2  ⇒  0 1 2
0 0 1
11


1 0 −3
0
5/2  ⇒  0 1 2
0 0 8
1

−5
5/2 
11/8


1 0 0 −7/80
⇒  0 1 0 −1/4 
0 0 1 11/8
O p o sto d e A é 3 e a n u lid ad e d e A , é 4 -3 = 1 .
E x em p lo 17 (S o lu ç ã o d e u m sistem a d e E q u a ç õ es L in ea res). C alc u le a so lu ç ão
d o sistema
2x1 + x2 = 5
x1 − 3x2 = 6
A matriz amp liad a d o sistema é
2 1
1 −3
5
6
T ran sfo rman d o a matriz à fo rma escad a, tem-se
1 0 3
0 1 −1
q u e é a matriz amp liad a d o sistema eq u iv alen te ao sistema in ic ial, i. é.,
= 3
x1
x2 = −1
8
CAPÍTULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
E x em p lo 18 . D etermin ar a so lu ç ão d o sistema.
2x1 + x2 = 5
6x1 + 3x2 = 15
A matriz amp liad a asso c iad a ao sistema é
1
2 1 5
⇒
0
6 3 15
1/2
0
5/2
0
O q u al eq u iv ale,
x1 + (1/2)x2 = 5/2
0x1 + 0x2 = 0
T emo s q u e x1 = 5/2 − (1/2)x2 , fazen d o x2 = λ , resu lta q u e a so lu ç ão
p o d e ser esc rita n a fo rma (x1 , x2 ) = ( 5/2 − (1/2)λ, λ ) = ( 5/2, 0 ) +
λ( −1/2, 1 ) . P o rtan to este sistema ad mite in fi n itas so lu ç õ es.
O b serv ar q u e a matriz tem p o sto 1 , e a n u lid ad e d a matriz é 2 -1 = 1 .
E x em p lo 19 . A n alisar a ex istên c ia d e so lu ç õ es p ara o sistema
2x1 + x2 = 5
6x1 + 3x2 = 10
A matriz amp liad a asso c iad a ao sistema é
2 1 5
1
⇒
6 3 10
0
1/2
0
0
1
O q u al eq u iv ale,
x1 + (1/2)x2 = 0
0x1 + 0x2 = 1
C o mo NA˜ O ex iste n en h u m v alo r d e x1 e x2 satisfazen d o a seg u n d a eq u aç ão ,
d izemo s q u e o sistema é in co mp atı́v el. O b serv ar q u e a matriz d o sistema in ic ial
tem p o sto e o p o sto d e su a matriz amp liad a é 2 .
C aso G eral. D a d o o sistem a d e m eq u a ç õ es lin ea res c o m n in c ó g n ita s

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1



· · · · ·
·

·
·
·
·
·
·


am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bn
A p resen ta -se três c a so s:
(i) E x iste u m a ú n ic a so lu ç ã o , d iz em o s q u e o sistem a é c o m p a t´ıv el.
(ii) E x istem in fi n ita s so lu ç õ es, i,é., o sistem a é in d eterm in a d o .
(iii) NA˜ O ex iste so lu ç ã o , d iz em o s q u e o sistem a é in c o m p a t´ıv el.
D en o ta n d o p o r A = [aij ]m×n a m a triz a sso c ia d a a o sistem a e p o r Aa , a
m a triz a m p lia d a a sso c ia d a a o sistem a , tem o s o seg u in te resu lta d o .
9
1.3 . DETERMINANTES
T eorem a 2 . T emo s o s seg u in tes items.
(i) O sistema tem so lu ç ão ⇔ p o sto d e A = p o sto d e Aa .
(ii) S e o p o sto d e A = p o sto d e Aa = p = n , en tão a so lu ç ão será ú n ica.
(iii) S e o p o sto d e A = p o sto d e Aa = p < n , en tão p o d emo s esco lh er n -p
in c ó g n itas, e as o u tras p in c ó g n itas serão d ad as em fu n ç ão d estas.
O b serv ação 6 . No caso (iii), d izemo s q u e o g rau d e liberd ad e d o sistema é
n -p .
E x em p lo 2 0 . S e co n sid eramo s a matriz:


1 0 0 3
Aa =  0 1 0 −2 
0 0 1 2
T emo s q u e, m= 3 , n = 3 e p = 3 . P o sto d e A = P o sto d a matriz amp liad a= 3 . L o g o ,
o sistema asso c iad o tem so lu ç ão ú n ica d ad a p o r x1 = 3, x2 = −2, x3 = 2.
E x em p lo 2 1. S eja
Aa =
1 0 7 −10
0 1 5 −6
T em-se q u e m= 2 , n = 3 e p = 2 . P o sto d e A = P o sto d a matriz amp liad a= 2 , o
g rau d e liberd ad e é 1 , p o d emo s esco lh er u ma in c ó g n ita e as o u tras d u as serão
d ad as em fu n ç ão d a p rimeira, i.é., x1 = −10 − 7x3 , x2 = −6 − 5x3 .
E x em p lo 2 2 . C o n sid eramo s


1 0 7 −10
Aa =  0 1 5 −6 
0 0 0
2
m= n = 3 , p o sto d e A = 2 , p o sto d a matriz amp liad a= 3 , p o rtan to o sistema é in co mp atı́v el o u seja NA˜ O tem so lu ç ão .
1.3
Determinantes
3a L iç ã o (20/ 03/ 2007)
a b
m a triz d e o rd em 2 × 2, o n d e a, b, c e d ∈ <
c d
D efi n im o s seu d eterm in a n te c o m o o n ú m ero ad − bc , d en o ta m o s
S eja A =
a
|A| = D e t(A) = c
b = ad − bc.
d .
10
CAPÍTULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
E x em p lo 2 3 . D ad a A =
2
1
1
4
, tem-se q u e
1 = 2 · 4 − 1 · 1 = 7.
4 2
|A| = 1
S e c o n sid era m o s u m a m a triz d e o rd em 3 d a fo rm a


a11 a12 a13
A =  a21 a22 a23 
a31 a32 a33
D efi n im o s o d eterm in a n te (u sa n d o a p rim eira lin h a ) c o m o o n ú m ero
a
|A| = a11 · 22
a32
a21 a23 a
a23 − a12 · + a13 · 21
a33 a31 a33 a31
a11 a12 a13 = a21 a22 a23 = D e t(A)
a
a32 a33 31
a22 =
a32 T a m b ém p o d e ser esc rito n a fo rm a
D e t(A) = a11 · D e t(A11 ) = a12 · D e t(A12 ) + a13 · D e t(A13 )
S e u sa m o s a seg u n d a lin h a , tem o s :
a12 a13 a
+ a22 · 11
|A| = −a21 · a32 a33 a31
ou
a11
= a21
a
31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a
a13 − a23 · 11
a33 a31
= D e t(A)
a12 =
a32 D e t(A) = −a21 · D e t(A21 ) + a22 · D e t(A22 ) − a23 · D e t(A23 )
O b serv ação 7 . P ara calc u lar o d etermin an te d e u ma matriz p o d emo s u sar
q u alq u er lin h a o u co lu n a.
C aso G eral : C o n sid era m o s A m a triz q u a d ra d a d e o rd em n , e seja
A = [aij ]n×n , e Aij a su b m a triz q u a d ra d a d e o rd em (n -1), o b tid a d e A retira n d o se a i-ésim a lin h a e a j-ésim a c o lu n a , ch a m a d a c o m p lem en to a lg éb ric o d o elem en to aij .
D efi n im o s o d eterm in a n te d a m a triz A , seg u n d o a lin h a i, p o r :
D e t(A) = |A| = (−1)i+1 · ai1 D e t(Ai1 ) + · · · + (−1)i+n · ain D e t(Ain )
11
1.4 . INV ERSÃO DE MATRIZES
P rop ried ad es
(a) S e o s elem en to s d e u m a lin h a (o u c o lu n a )d e u m a m a triz sã o to d o s z ero s,
en tã o D e t(A) = 0 .
(b ) S e tro c a m o s d e p o siç ã o d u a s lin h a s, o d eterm in a n te tro c a d e sin a l.
(c) S e m u ltip lic a m o s u m a lin h a d a m a triz p o r u m a c o n sta n te, o d eterm in a n te
é m u ltip lic a d o p o r esta c o n sta n te.
(d ) O d eterm in a n te d e u m a m a triz q u e tem d u a s lin h a s (c o lu n a s) ig u a is é z ero .
(e) O d eterm in a NA˜ O m u d a se so m a m o s a u m a lin h a o u tra lin h a m u ltip lic a d a
p o r u m a c o n sta n te.
(f) D e t(A · B) = D e t(A) · D e t(B) .
(g ) D e t(A) = D e t(At ) .
1.4
Inv ersão d e Matrizes
4a L iç ã o (22/ 03/ 2007)
D a d a u m a m a triz d o tip o
A=
a
c
b
d
S e D e t(A) = ad − bc 6= 0, d eseja m o s a ch a r u m a m a triz in v ersa d e A , isto é,
q u erem o s d eterm in a r u m a m a triz X d e o rd em 2, ta l q u e
A · X = X · A = I2
C a lc u la n d o o p ro d u to , tem o s q u e:
a b
x y
ax + bz
·
=
c d
z w
cx + dz
ay + bw
cy + dw
=
1
0
0
1
R eso lv en d o a p rim eira c o lu n a , c a lc u la m o s x e z , e e reso lv en d o a seg u n d a c o lu n a
a ch a m o s y e w .
E x em p lo 2 4 . A c h ar a matriz A d e o rd em 2 tal q u e A · X = I2 , o n d e
2 1
A=
4 3
D ev emo s reso lv er o s sistemas seg u in tes:
2x + z = 1
4x + 3z = 0
2y + w = 0
4y + 3w = 1
Usan d o a teo ria d as eq u aç õ es lin eares, ac h amo s : x = 1 , z= -1 , y = -1 / 2 , w = 1 .
Definição 2 1. D ad a u ma matriz q u ad rad a d e o rd em n , c h amamo s d e in v ersa
d e A a u ma matriz B tal q u e A · B = B · A = In . Nesta caso , d en o tamo s
B = A−1 e d izemo s q u e A é u ma matriz in v ersı́v el.
12
CAPÍTULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
O b serv ação 8 . S e ex iste a in v ersa, ela é ú n ica.
O b serv ação 9 . S e A e B são matrizes in v ersı́v eis, en tão A · B é in v ersı́v el e
(A · B)−1 = B −1 · A−1 .
O b serv ação 10 . Nem to d a matriz tem in v ersa.
O b serv ação 11. S e A é in v ersı́v el, en tão D e t(A−1 ) = (D e t(A))−1 .
T eorem a 3 . Uma matriz q u ad rad a é in v ersı́v el, se e so men te se, D e t(A) 6= 0 .
Neste caso ,
(−1)i+j D e t(Aij )
A−1 = [bij ]tn×n , o n d e bij =
D e t(A)
O b serv ação 12 . S e d efi n imo s a matriz ad ju n ta d e A , d en o tad a p o r A d j A ,
co mo a matriz tran sp o sta d o s co fato res d e A , temo s q u e:
1
· (AdjA) .
A−1 =
D e t(A)
E x em p lo 2 5 . C o n sid eramo s a matriz
A=
6 2
11 4
temo s q u e D e t(A) = 4 · 6 − 2 · 11 = 2 6= 0, lo g o ex iste a matriz in v ersa d e A .
P rimeiro calc u lamo s a matriz d o s co fato res d e A , i é.,
6 −11
−2
4
lo g o a tran sp o sta d esta matriz, o u seja,
AdjA =
P o rtan to , A
−1
1
=
2
4
−11
−2
6
=
4
−2
−11 6
2
−1
−11/2 3
R E G R A DE C AM E R
C o n sid era m o s o sistem a d e n -eq u a ç õ es e n -in c ó g n ita s.
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
.......................................................
.......................................................
an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn
13
1.4 . INV ERSÃO DE MATRIZES
P o d em o s esc rev er n a fo rm a m a tric ia l



a11 a12 · · · a1n

 a21 a22 · · · a2n  
 ·


 ·
·
· · ·
·  

an1 an2 · · · ann
S e D e t(A) 6= 0 , en tã o A−1 ex iste e
⇔ (A−1 · A) · X = In · X = A−1 · B
Na fo rm a m a tric ia l


x1

a11 a12
 x 
 2 
 a21 a22


 ·  = 
 ·


·
 · 
an1 an2
xn
x1
x2
·
·
xn








 = 




b1
b2
·
·
bn







O U A·X=B
A−1 · (A · X) = A−1 · B
⇔ X = A−1 · B .
·
·
·
·
−1
· ·
· ·
· ·
· ·
U sa n d o a fó rm u la d a m a triz in v ersa , tem -se


x1

∆11 ∆12
 x 
 2 
 ∆21 ∆22
1


· 
 ·  =


·
D e t(A)  ·
 · 
∆n1 ∆n2
xn
a1n
a2n 

· 
ann




· 


b1
b2
·
·
bn







q u e:
·
·
·
·
· ·
· ·
· ·
· ·

∆1n


∆2n 
 · 



·

∆nn

b1
b2
·
·
bn







o n d e ∆ij é o d eterm in a n te d a su b -m a triz d e o rd em (n -1), c o rresp o n d en te a
aij .E n tã o
b1 · ∆11 + ·... · +bn · ∆n1
x1 =
D e t(A)
O U
b1 a12 · · · a1n a11 a12 ·
b2 a22 · · · a2n a21 a22 ·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
b
an2 · · · ann
an1 an2 ·
n
E m fo rm a g era l xi = x1 = a11 a12 · · · a1n a11 a12 ·
a21 a22 · · · a2n a21 a22 ·
·
·
·
· · ·
· ·
·
a
a
a
·
·
·
a
a
·
n1
n2
nn
n1
n2
i=1,2, ..., n .
E x em p lo 2 6 . D ad o o sistema d e 3 eq u aç õ es e 3 in c ó g n itas:

 2x − 3y + 7z − 1
x
+ 3z = 5

2y
−z = 0
b1
b2
·
bn
·
·
·
·
a1n
a2n
·
ann
· ·
· ·
· ·
· ·
a1n
a2n
·
ann
14
CAPÍTULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
resu lta q u e


2 −3 7
D et  1 0
3  = −1 6= 0
0 2 −1
L o g o , p o d emo s u sar
1 −3 7
5 0
3
0 2 −1
x=
−1
a reg ra d e C ramer, i.
2
1
0
= −49, y =
é.,
1 7
5 3
0 −1
−1
2 −3
1 0
0 2
= 9, z =
−1
1
5
0
M AT R IZ E S E L E M E N T AR E S .
P a ra c a lc u la r a in v ersa d e u m a m a triz , p rec isa m o s d e u m n ú m ero g ra n d e d e
o p era ç õ es. O p ro c esso en v o lv e a in tro d u ç ã o d e m a triz es elem en ta res.
E x em p lo 2 7 . D ad a a matriz

1
A= 0
2

2 4
1 3 
1 −4
M u ltip licamo s a p rimeira lin h a (L1 ) , p o r 2 e o b temo s

2
 0
2

4 8
1 3 
1 −4
q u e é ig u al ao p ro d u to

2
 0
0
0
1
0
 
8
1
0  ·  0
1
2

2 4
1 3 
1 −4
.
E x em p lo 2 8 . D ad a a matriz

1
A= 0
2

2 4
1 3 
1 −4
S e p ermu tamo s a p rimeira e su n d a lin h a d a matriz A , tem-se

0
 1
2

1 3
2 4 
1 −4
= 18.
15
1.4 . INV ERSÃO DE MATRIZES
Q u e resu lta ser o p ro d u to

0
 1
0
1
0
0
 
8
1
0  ·  0
1
2

2 4
1 3 
1 −4
E x em p lo 2 9 . D ad a a matriz

1
A= 0
2

2 4
1 3 
1 −4
S e so mamo s à p rimeira lin h a d e A a seg u n d a lin h a mu ltip licad a p o r 2 , o b temo s

1
 0
2

4 10
1 3 
1 −4
q u e é o p ro d u to

1
 0
0
2
1
0
 
8
1
0  ·  0
1
2

2 4
1 3 
1 −4
Definição 2 2 . Uma matriz elemen tar é u ma matriz o b tid a através d a ap licaç ão
d e u ma o p eraç ão elemen tar co m lin h as n a matriz id en tid ad e.
T eorem a 4 . S e A é u ma matriz, resu ltad o d e alg u ma o p eraç ão co m lin h as d e
A , é ig u al ao p ro d u to d a matriz elemen tar co rresp o n d en te co m a matriz A .
C orolário 1. Uma matriz elemen tar E1 é in v ersı́v el e su a in v ersa é a matriz
elemen tar E2 q u e co rresp o n d e à o p eraç ão co m lin h as in v ersa d a o p eraç ão
efetu ad a p o r E1 .
T eorem a 5 . S e A é in v ersı́v el, su a matriz lin h a red u zid a a fo rma escad a é
a id en tid ad e. T ambém, temo s q u e A é d ad a p o r u m p ro d u to d e matrizes elemen tares.
T eorem a 6 . S e A p o d e ser red u zid a à matriz id en tid ad e, p o r u ma seq ” u ên c ia
d e o p eraç õ es elemen tares co m lin h as, en tão A é in v ersı́v el e a matriz in v ersa d e
A é o b tid a co mo u m p ro d u to d e matrizes elemen tares.
E x em p lo 3 0 . S eja
2
 1
A = 
 0
−1


1 0 0
0 −1 1 

1 1 1 
0 0 3
16
CAPÍTULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
J u n to à matriz A co lo camo s
A n a id en tid ad e.

2
 1

 0
−1
a matriz id en tid ad e, a id éia é tran sfo rmar a matriz
1 0 0
0 −1 1
1 1 1
0 0 3
T ro camo s a p rimeira e seg u n d a

1 0
 2 1

 0 1
−1 0

1 0 0 0
0 1 0 0 

0 0 1 0 
0 0 0 1
k
k
k
k

0 1 0 0
1 0 0 0 

0 0 1 0 
0 0 0 1
lin h a,
−1 1
0 0
1 1
0 3
S o mamo s à q u arta a p rimeira

1
0 −1
 2
1
0

 0
1
1
1+0 0 0−1
S o mamo s à seg u n d a,

1
 2−2

 0
1
k
k
k
k
1
0
1
3+1
k
k
k
k
0
1
1
0
0
0
0 0+1

0 0
0 0 

1 0 
0 1
a p rimeira mu ltip licad a p o r -2
0
1
1
0
−1
0 − (−2)
1
−1
1
0−2
1
4
S u b traı́mo s a seg u n d a lin h a d a terceira,

1
0
−1
1
 0
1
2
−2

 0 1−1 1−2 1+2
1
0
−1
4
M u d amo s o sin al d a terceira lin h a

1 0 −1 1
 0 1 2 −2

 0 0 1 −3
0 0 −1 4
D ep o is trabalh amo s co n v en ien temen te

1 0 0 0 k
 0 1 0 0 k

 0 0 1 0 k
0 0 0 1 k
k
k
k
k
k
k
k
k

0
1
0 0
1 0−2 0 0 

0
0
1 0 
0
1
0 1
k
0
k
1
k 0−1
k
0

1
0 0
−2 0 0 

0+2 1 0 
1
0 1

0 1
0 0
1 −2 0 0 

1 −2 −1 0 
0 1
0 1
co m a q u arta lin h a

3 −3 −3 2
−5 6
2 −4 

4 −5 −4 3 
1 −1 −1 1
1.4 . INV ERSÃO DE MATRIZES
D ed u zimo s q u e
A−1

3 −3 −3 2
 −5 6
2 −4 

= 
 4 −5 −4 3 
1 −1 −1 1

17