Movimento em 2 e 3D
Movimento circular uniforme
Este movimento tem velocidade com módulo constante porém sua
direção muda continuamente
Exemplos:
Movimento de satélites artificiais.
Disco rígido de computador.
Nós como partículas girando com o movimento da terra.
Usamos coordenadas polares
( , )
Daí, o arco fica s  R
onde
  R; fixo
Como o raio é constante, a única variável é

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32
Movimento em 2 e 3D
Movimento circular uniforme
Como o raio é constante, a única variável é  .
A posição angular é uma função do tempo,  (t ).
O arco descrito em t é dado por s  R .
Então,
ds
d
vR
dt
dt
Definimos assim a velocidade angular
v  Rω w  rad s
Também podemos obter o módulo
da velocidade tangencial da forma:
Frequência
1
f 
T
2 R
v
T
onde T é o
período do
movimento:
d

dt
2 R 2
T

v

   
1
f 
 s 1  Hz
T
Velocidade angular e frequência
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  2 f
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Movimento em 2 e 3D
Movimento circular uniforme
r v

r
v
“Comprimentos
correspondentes
de formas
semelhantes são
proporcionais.”
Aceleração média
No limite t 0
v v r

t r t
v v
r
a  lim
 lim
t 0 t
r t 0 t
Aceleração instantânea
2
v
a   r 2
r
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Movimento em 2 e 3D
Movimento circular uniforme
Aqui podemos também
usar um vetor unitário
(note que este vetor varia
com o movimento)

r
rˆ 
r
A aceleração cujo módulo vimos, fica:
2

v
a   rˆ
r
Tem direção do vetor posição e
aponta para o centro do
movimento. Está é a aceleração
centrípeta.
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Movimento em 2 e 3D
Exemplo
Um satélite move com velocidade constante em órbita circular em
torno do centro da Terra e próximo à superfície. Considerando g =
9,81 m/s2 e o raio da órbita igual a 6370 km, determine (a) a velocidade
do satélite e (b) o tempo para completar uma volta em torno da Terra.
(a)
(b)
ac = v2/r = g
v = (rg)1/2
v = (6.370.000x9,81)1/2
v = 7,91 x 103 m/s = 7,91 km/s
T = 2πr/v
T = 2x3,14x6370/7,91
T = 5060 s = 84,3 min
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Movimento em 2 e 3D
Movimento circular acelerado
A aceleração do corpo é dada por



vN (t )
v (t )
vT (t )
lim
 lim
 lim
t 0 t
t 0
t 0
t
t

dv (t ) 


a (t ) 
 a N (t )  aT (t )
dt
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
v (t  t )
R 

vN

v

v (t )

vT
37
Movimento em 2 e 3D
Movimento circular acelerado
Aceleração total; soma de uma componente tangencial e uma
normal

dv (t ) 


a (t ) 
 a N (t )  aT (t )
dt
onde as componentes podem ser calculadas
da forma:
2
v
aN 
R
e
dv
aT 
dt
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
a N (t )

R

v (t )

aT (t )
a  a a
2
N
2
T
38
Movimento em 2 e 3D
Exercício
Exercício 72 – Cap. 3, Tipler, et al., 5ª. edição
Pergunta
É possível um objeto fazer uma curva sem acelerar? Explique.
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Movimento em 2 e 3D
(a)
Exercício 72 – Cap. 3, Tipler, et al., 5ª. edição
ac = v2/R
v = 2πR/T
ac = (2πR/T)2/R
ac = 4π2R/T2= 4π2Rf2
ac = 4π2x0,15x2502
ac = 3,70x105 m/s2
f = 15000 voltas/min = 15000/60 voltas/s
f = 250 Hz
(b)
vo = 0 e vf = 2πR/T = 2πRf
to = 0 e tf = 1min e 15 s = 75 s
Como at é constante:
at = at med = (vf - vo)/(tf - to) = (2πRf – 0)/(75 - 0)
at = 2πx0,15x250/75 = 3,14 m/s2
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Movimento em 2 e 3D
Pergunta
É possível um objeto fazer uma curva sem acelerar? Explique.
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Movimento em 2 e 3D
Movimento relativo
• O movimento de um determinado objeto é
conhecido em um dado sistema de
coordenadas A;
• Conhecemos o movimento deste sistema
de coordenadas em relação a um segundo
sistema de coordenadas B;
• Desejamos conhecer o movimento do
objeto em relação ao novo sistema de
coordenadas.
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Movimento em 2 e 3D
Movimento relativo
A



r pB  r pA  rAB
B

r pB

rAB

r pA
Mas se são todas
funções do tempo



r pB(t )  r pA(t )  rAB (t )
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Movimento em 2 e 3D
Movimento relativo 
v pB
Velocidade relativa



dr pB dr pA drAB


dt
dt
dt




v pB  v pA  v AB

v pA

v AB

v AB
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
v pB

v pA
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Movimento em 2 e 3D
Exercício
Exercício 68 – Cap. 3, Tipler, et al., 5ª. edição
Referenciais: solo (S) e vento (V)

 
v aS  v aV  v VS
vVS 30
sen 

 0,2
vAV 150
1
o
  sen 0,2  11,5
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vaV  150mi / h
vVS  30mi / h
Em relação ao norte
(ou azimutal),
sentido horário.
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