Módulo 4
Estudos de dispersão
(R&R) de sistemas de
medição.
Conteúdos deste módulo
Estudos de dispersão (variabilidade)
Método da amplitude
Método da média e da amplitude
Método da ANOVA
Análises gráficas
Exercícios
Uso de planilhas
Estudo de R&R (1)
O estudo de R&R, além avaliar
a repetitividade e a
reprodutibilidade de um sistema
de medição, avalia também a
parcela referente à variação do
processo na variação total
observada.
VT
VP
VSM
Localização
Dispersão
R&R
Estudo de R&R (2)
Peças: representativas da variabilidade natural do processo.
Operador: selecionado entre os que realizam as medições
normalmente, deve fazer as medições conforme o procedimento.
Número de operadores e repetições é função de:
Criticidade da cota e configuração da peça.
Selecione, de forma aleatória, um equipamento de medição da
família de equipamentos que está sob análise.
As medições devem ser feitas de maneira aleatória para assegurar
que nenhuma tendência prejudique os resultados.
Medições: arredondadas para o n° mais próximo que se possa ler.
Instrumentos analógicos:registros de medições com ½ do menor
intervalo de medição (resolução); ex.: instrumento com menor escala
de 0,0001 m, deve possuir resultados de 0,00005 m.
Estudo de R&R (3)
Análise: Variação Total (VT) ou Tolerância?
Tolerância
Variação Total
do processo
Estando o processo capaz, ou seja, a VT do processo está dentro da
tolerância, ou, ainda, VT < Tol. (vide desenho), o valor de R&R piora (%
maior), pois em sua fórmula a VT (ou a Tol.) está no denominador. Por isto,
existe uma tendência a usar a tolerância (mais fácil de se obter %RR < 10%).
Estudo de R&R - Métodos
Método da Amplitude
Fornece uma estimativa rápida e aproximada do RR.
Tem só 80% de chance de detectar um sistema de medição
inadequado, para amostra de 5 peças, e 90% de chance, para
amostra de 10 peças.
Método da Média e da Amplitude
Fornece uma estimativa boa do RR (mais usado).
Método mais demorado.
Método da ANOVA (Análise da Variância)
Fornece a melhor estimativa entre os métodos.
Indica também a interação entre peças e operadores.
Exige cálculos complicados (usar computador).
R&R - Método da amplitude (1)
1. Condução do estudo:
Selecione 5 peças ou mais da produção e 2 operadores ou
mais, que normalmente realizam as medições.
Cada operador deve medir 1 vez cada peça.
Calcule a amplitude para cada peça:
R i = Xi,A − Xi,B
2. Calcule a média das amplitudes:
n
R=
∑R
i=1
n
i
R&R - Método da amplitude (2)
3. Calcule o valor do GRR (G = Gage):
R
GRR = *
d2
onde: d2* é obtido do Anexo A (slide 24, do módulo anterior),
com m = número de operadores e g = número de peças
4. Calcule a %GRR:
%GRR = 100% ×
GRR
GRR
ou
Desvio padrão do processo Tolerância
6
Obs.: Desvio padrão do processo ≅ Tolerância/6, como já vimos.
5. Analise o resultado (ideal é %GRR < 10, ou, dependendo da
aplicação, 10 ≤ %GRR ≤ 30).
Método da amplitude - Exemplo
Peça
1
2
3
4
5
Operador A
0,85
0,75
1,00
0,45
0,50
Operador B
0,80
0,70
0,95
0,55
0,60
Ri 0,35
∑
R=
=
= 0,07
n
5
Amplitude (Ri) (A - B)
0,05
0,05
0,05
σprocesso = 0,077
0,10
(dado)
0,10
GR & R =
R
0,07
= 0,0588
=
*
1
,
19
d2
 GR & R 
 0,0588 
%GR & R = 100 × 
 = 100 × 
 = 75,7%
σ
0
,
077


 processo 
Portanto, o sistema de medição é inadequado (%GRR > 30%),
requerendo melhoria. Porém, não dá para saber se é devido à
repetitividade ou à reprodutibilidade.
R&R - Método da média e da amplitude
1. Obtenha uma amostra de n > 5 peças, que represente a faixa de
variação real do processo.
2. Chame os k > 1 operadores de A, B, C, etc, e as peças de 1, 2, 3,
etc, de forma que os operadores não vejam essas numerações.
3. Cada operador deve medir 1 vez, todas as peças, em ordem
aleatória.
4. O ciclo de medições deve ser repetido pelo menos mais 1 vez. A
ordem deve ser aleatória e diferente das anteriores.
5. Os dados devem ser registrados em formulário apropriado
(próximos slides).
Estudo de Repetitividade e Reprodutibilidade - Variação Total / Tolerância
B
C
Operador
A
Part No. & Nome
Características
Especificações
Data
Repetição
1
2
3
Média
Amplitude
1
2
3
Média
Amplitude
1
2
3
Média
Amplitude
Média da peça
1
2
3
Nome do Equipamento
Equipamento No.
Tipo do Equipamento
Responsável
Peça
4
5
6
Peças (n)
Operadores
Repetições (r)
Tolerância
7
8
9
10
Médias
Xa =
Ra =
Xb =
Rb =
Digitar dados medidos
pelos operadores, peça a
X
peça, em cada repetição
c=
Rc =
X =
Rp =
Análise final
DN = denominador das fórmulas de variação, que pode ser a variação total, VT,
ou a tolerância dividida por 6 (própria planilha divide).
R&R - Método da média e da amplitude
O valor a ser analisado é o %R&R, que pode ser calculado através da
VT ou da Tolerância/6.
O critério de aceitação é o já citado:
Abaixo de 10% - Sistema de medição aceito;
Entre 10% e 30% - Sistema pode ser aceito, dependendo da
importância da medição;
Acima de 30% - Sistema é inaceitável (melhorá-lo).
Calcular a discriminação: ndc (número distinto de categorias) ≥ 5.
Efetuar análises gráficas (sugestivas).
Seqüência para preencher (1)
O. Indicar números (peças, operadores, repetições) e tolerância.
1. Entrar com os dados das medições, tomando o cuidado no
posicionamento de cada dado.
2. Calcular, para cada operador, a média de cada peça, bem como a
amplitude de cada peça.
3. Xk é a média de cada operador (XA, XB, XC). Pode ser calculada
como a média simples das médias das n peças, calculadas em 2.
4. Rk é a média das amplitudes de cada operador (RA, RB, RC). Pode
ser calcula como a média simples das amplitudes, calculadas em 2.
5. Calcular Xi a média geral de cada peça (X1 a X10), considerando
todas as medições de todos os operadores, em cada coluna. Isso
pode ser feito, também, pela média das médias calculadas em 2.
6. X é a média de todas as médias de 5. Pode ser calculada pela média
das médias Xi , ou pela média das médias dos operadores, Xk. Rp é a
amplitude das médias calculadas em 5 (média maior – média menor).
0
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
5
6
Seqüência para preencher (2)
7. R é a média dos Rk (A, B, C), calculados em 4.
8. XDIF é a amplitude (maior – menor) dos Xk (A, B, C), calculados em 3.
9. UCLR (ou LSC) é o limite superior de controle de uma carta R, sendo
calculado pela expressão dada, onde D4 é tabelado. Existindo
amplitudes calculadas em 2, maiores que UCLR, as medições dessa
coluna devem ser refeitas (ou eliminadas, ou trocadas por outra peça,
e a planilha recalculada).
10. Calcular as variações, conforme fórmulas indicadas.
11. Calcular os percentuais das variações, em relação à variação total ou
à tolerância. Quando for utilizar a tolerância, deve-se dividir o
intervalo de tolerância por 6.
12. Calcular o ndc (discriminação).
13. Analisar o(s) resultado(s).
7
8
9
11
12
10
13
R&R Média e amplitude – Exercício (1)
Peça
Operad
Medida
Peça
Operad
Medida
Peça
Operad
Medida
1
A
0,65
1
B
0,55
1
C
0,50
1
A
0,60
1
B
0,55
1
C
0,55
2
A
1,00
2
B
1,05
2
C
1,05
2
A
1,00
2
B
0,95
2
C
1,00
3
A
0,85
3
B
0,80
3
C
0,80
3
A
0,80
3
B
0,75
3
C
0,80
4
A
0,85
4
B
0,80
4
C
0,80
4
A
0,95
4
B
0,75
4
C
0,80
5
A
0,55
5
B
0,40
5
C
0,45
5
A
0,45
5
B
0,40
5
C
0,50
6
A
1,00
6
B
1,00
6
C
1,00
6
A
1,00
6
B
1,05
6
C
1,05
7
A
0,95
7
B
0,95
7
C
0,95
7
A
0,95
7
B
0,90
7
C
0,95
8
A
0,85
8
B
0,75
8
C
0,80
8
A
0,80
8
B
0,70
8
C
0,80
9
A
1,00
9
B
1,00
9
C
1,05
9
A
1,00
9
B
0,95
9
C
1,05
10
A
0,60
10
B
0,55
10
C
0,85
10
A
0,70
10
B
0,50
10
C
0,80
60 resultados, da
medição de 10
peças, por 3
operadores, com
2 repetições cada.
Usando o método
da média e da
amplitude, analise
o sistema de
medição utilizado.
Tolerância: ± 0,3
mm.
R&R Média e amplitude – Exercício (2)
Estudo de Repetibilidade e Reprodutibilidade - Variação Total / Tolerância
1
0,65
0,6
Média
Amplitude
1
2
3
0,625
0,05
0,55
0,55
B
Repetição
1
2
3
Média
Amplitude
1
2
3
0,55
0
0,5
0,55
C
Operador
A
Part No. & Nome
Características
Especificações
Data
Média
Amplitude
0,525
0,05
Média da peça
Repetições
2
3
0,5667
D4
3,27
2,58
2
1
1
Nome do
Equipamento
Equipamento No.
Tipo do Equipamento
Responsável
Peça
3
4
5
6
0,85 0,85
0,55
1
0,8 0,95
0,45
1
1 0,825
0 0,05
1,05
0,8
0,95 0,75
Peças (n)
Operadores
Repetições (r)
Tolerância
7
0,95
0,95
8
0,85
0,8
9
1
1
10
0,6
0,7
0,9
0,1
0,8
0,75
0,5
0,1
0,4
0,4
1
0
1
1,05
0,95
0
0,95
0,9
0,825
0,05
0,75
0,7
1
0
1
0,95
0,65
0,1
0,55
0,5
1 0,775 0,775
0,1 0,05 0,05
1,05
0,8
0,8
1
0,8
0,8
0,4
0
0,45
0,5
1,025
0,05
1
1,05
0,925
0,05
0,95
0,95
0,725
0,05
0,8
0,8
0,975
0,05
1,05
1,05
0,525
0,05
0,85
0,8
0,475
0,05
1,025
0,05
0,95
0
0,8
0
1,05
0
0,825
0,05
1,025
0,05
0,8
0
0,8
0
1,0083
0,8 0,825 0,4583 1,0167 0,9417 0,7833 1,0083 0,6667
R =(Ra+Rb+Rc)/ #Op =
Operadores
XDIFF = max(X) - min(X) =0,0383
UCLR = R x D4 =
0,06
2
0,1254
3
10
3
2
0,6
Médias
Xa =
Ra =
Xb =
Rb =
Xc =
Rc =
X
Rp =
0,8275
0,045
0,7675
0,045
0,8275
0,025
0,8075
0,55833
K2
0,7071
0,5231
R&R Média e amplitude – Exercício (3)
Repetições
K1
Variação
2
3
0,8862
0,5908
VT
TOL
Peças
K3
0,0305
Repetibilidade & Reprodutibilidade
2
2
2
R&R = VE + VO
R&R =
0,0456
2
3
0,7071
0,5231
18,72%
33,97%
4
5
0,4467
0,403
16,78%
30,45%
Variação do Processo (VP)
VP = Rp x K3 =
0,1757
Variação Total (VT)
2
2
2
VT = R&R + VP
VT =
0,1815
6
0,3742
%VO
=100 [VO/DN]
%R&R
=100
[R&R/DN]
25,14%
45,62%
7
8
0,3534
0,3375
%VP
= 100[VPDN]
96,79%
175,65%
9
10
0,3249
0,3146
Repetibilidade
VE = R x K1 =
0,034
Reprodutibilidade
2
2
2
VO = (XDIFFxK2) - (EV /(nr))
VO =
DN
%VE
=100 [VE/DN]
ndc = 1,41[VP/R&R] =
5,4
Resultado do Teste:
VT
Sistema de medição deve ser analisado
TOL Sistema de medição necessita melhoria
Análises
R&R - Análise gráfica (1)
Gráfico das médias
de cada peça, por
operador:
Análise da
consistência
entre operadores
3
Média
2
1
Op A
Op B
Op C
0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-2
-3
Média
Peças
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
-2
-2,5
LSC
LIC
1 2 3 4 5 6 7 8 910 1 2 3 4 5 6 7 8 910 1 2 3 4 5 6 7 8 910
A
B
C
R&R - Análise gráfica (2)
1,2
Amplitude
1
0,8
Op A
0,6
Op B
0,4
Op C
0,2
Gráfico das amplitudes:
Diferença de método
entre operadores
Sistema de medição
é sensível ao operador
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P eças
Amplutude
1,2
1
0,8
LSC
0,6
0,4
0,2
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9101 2 3 4 5 6 7 8 9101 2 3 4 5 6 7 8 910
A
B
C
R&R - Análise gráfica (3)
Gráfico de dispersão: Fornece informações sobre a consistência entre
operadores, indica possíveis pontos fora da curva e as interações peçaoperador.
1 ,5
1
0 ,5
0
-0 ,5
-1
-1 ,5
-2
1
2
3
1
A
2
3
1
B
2
3
1
C
2
3
1
2
A
3
1
2
B
1
3
1
2
C
3
1
2
A
3
1
2
B
2
3
1
C
2
3
1
A
2
3
1
B
3
2
3
1
C
2
3
1
A
2
3
1
B
4
2
3
C
5
3
2
1
0
-1
-2
-3
1
2
A
3
1
2
B
6
3
1
2
C
3
1
2
A
3
1
2
B
7
3
1
2
C
3
1
2
A
3
1
2
B
8
3
1
2
C
3
1
2
A
3
1
2
B
9
3
1
2
C
3
1
2
A
3
1
2
B
10
3
1
2
C
3
R&R - Análise gráfica (4)
16
Histograma:
Freqüência
14
12
10
8
6
4
2
0,
7
5
0,
0,
3
1
0,
,1
-0
,3
-0
,5
-0
-0
,7
0
O p A
Freqüência
8
6
4
2
,7
0
,5
0
,3
0
,1
,1
0
-0
-0
,3
,5
-0
-0
,7
0
O p B
8
6
4
2
O p C
,7
0
,5
0
,3
0
,1
0
,1
-0
,3
-0
,5
-0
,7
0
-0
Freqüência
10
Mostra como se
distribuem as medições
dos operadores,
permitindo verificar
tendências, falta de
consistência e como se
comporta a variação dos
operadores.
R&R – Solução pelo Minitab
R& R (Xbar/R)
A nalista: Jucilei
T olerância:
O utros:
N ome do instrumento: M IC R 44
D ata do estudo: 29/03/09
Com ponentes da Variação
Medida por peça
%
100
% Study Va r
1,00
0,75
50
0,50
0
Gage R&R
Repeat
Reprod
1
Part-to-Part
10
2
3
4
5
6
7
8
9
peça
Amplitude amostral
Carta R por operador
A
B
Medida por operador
C
LSC=0,1252
1,00
0,10
0,75
0,05
_
R=0,0383
0,00
LIC=0
0,50
A
B
oper
Carta Xbar por operador
B
C
Interação operador-peça
1,00
0,75
ope r
1,00
_
_
LSC=0,8796
X=0,8075
LIC=0,7354
A
Média
Média amostral
A
C
B
C
0,75
0,50
0,50
1
RR = 25,16%
VE = 18,73% VO = 16,80%
10
VP = 96,78%
2
3
4
5
peça
6
NCD = 5,1
7
8
9
Mesmos resultados
da planilha
R&R - Método da ANOVA (1)
Método estatístico que decompõe a variação em: Operador, Peça,
Interação operador-peça e Equipamento.
Estima as variâncias com maior precisão, mas exige cálculos mais
complexos (utilizar software apropriado, Excel ou Minitab).
Condução do estudo:
• O mesmo procedimento usado para a média/amplitude, tomando
cuidado especial na aleatoriedade na coleta dos dados, para
garantir a independência estatística nas medições.
• Sugere-se que a ordem de medição seja determinada por
sorteio. O sorteio deve ser feito por rodada, com todos os
operadores e todas as peças. Finalizada a primeira rodada,
passa-se para a segunda medição, com novo sorteio.
• A coleta dos dados pode ser realizada em um formulário
semelhante ao do método da média e amplitude.
R&R – ANOVA (2)
Esse método traz diversos conceitos estatísticos e sua tabela de
cálculo contém as colunas (vide próximo slide):
Fonte de Variação (FV): são as causas da variação;
Graus de Liberdade (GL);
Soma dos Quadrados (SQ) – Ver fórmulas nos anexos;
Quadrado Médio (QM), que é calculado por: SQ / GL;
Função F: O F calculado, apenas para a interação peça-operador, (QMI
/ QME), é comparado com valores tabelados de F (Anexo C, slide 29),
para um nível de significância de α%, com os seguintes graus de
liberdade: (n-1)(k-1) e nk(r-1). Se o F calculado for menor que o tabelado,
dizemos que a interação é estatisticamente zero.
α
F calc
F=0
F tab
R&R – ANOVA (3)
FV
GL
SQ
QM
Operador
k-1
SQO
QMO = SQO / (K-1)
Peça
n-1
SQP
QMP = SQP / (n-1)
Interação
(n-1).(k-1)
SQI
QMI = SQI / (n-1)(k-1)
Equipament
o
nk.(r – 1)
SQE
QME = SQE /[nk(r-1)]
nkr - 1
SQT
Total
k = n° operadores
n = n° peças
F
QMI / QME
F calculado
r = n° repetições
Distribuição F de Snedecor (5%)
Valores críticos de F, tais que P(F > Fα ) = 5%
α
F2α
0
5%
φ1
φ2
1
2
3
4
5
1
161,45
18,51
10,13
7,71
6,61
2
199,50
19,00
9,55
6,94
5,79
3
215,71
19,16
9,28
6,59
5,41
4
224,58
19,25
9,12
6,39
5,19
5
230,16
19,30
9,01
6,26
5,05
6
233,99
19,33
8,94
6,16
4,95
7
236,77
19,35
8,89
6,09
4,88
8
238,88
19,37
8,85
6,04
4,82
9
240,54
19,38
8,81
6,00
4,77
10
241,88
19,40
8,79
5,96
4,74
12
243,91
19,41
8,74
5,91
4,68
15
245,95
19,43
8,70
5,86
4,62
20
248,01
19,45
8,66
5,80
4,56
24
249,05
19,45
8,64
5,77
4,53
30
250,10
19,46
8,62
5,75
4,50
40
251,14
19,47
8,59
5,72
4,46
60
252,20
19,48
8,57
5,69
4,43
120
253,25
19,49
8,55
5,66
4,40
∞
254,3
19,5
8,53
5,63
4,36
6
7
8
9
10
5,99
5,59
5,32
5,12
4,96
5,14
4,74
4,46
4,26
4,10
4,76
4,35
4,07
3,86
3,71
4,53
4,12
3,84
3,63
3,48
4,39
3,97
3,69
3,48
3,33
4,28
3,87
3,58
3,37
3,22
4,21
3,79
3,50
3,29
3,14
4,15
3,73
3,44
3,23
3,07
4,10
3,68
3,39
3,18
3,02
4,06
3,64
3,35
3,14
2,98
4,00
3,57
3,28
3,07
2,91
3,94
3,51
3,22
3,01
2,85
3,87
3,44
3,15
2,94
2,77
3,84
3,41
3,12
2,90
2,74
3,81
3,38
3,08
2,86
2,70
3,77
3,34
3,04
2,83
2,66
3,74
3,30
3,01
2,79
2,62
3,70
3,27
2,97
2,75
2,58
3,67
3,23
2,93
2,71
2,54
11
12
13
14
15
4,84
4,75
4,67
4,60
4,54
3,98
3,89
3,81
3,74
3,68
3,59
3,49
3,41
3,34
3,29
3,36
3,26
3,18
3,11
3,06
3,20
3,11
3,03
2,96
2,90
3,09
3,00
2,92
2,85
2,79
3,01
2,91
2,83
2,76
2,71
2,95
2,85
2,77
2,70
2,64
2,90
2,80
2,71
2,65
2,59
2,85
2,75
2,67
2,60
2,54
2,79
2,69
2,60
2,53
2,48
2,72
2,62
2,53
2,46
2,40
2,65
2,54
2,46
2,39
2,33
2,61
2,51
2,42
2,35
2,29
2,57
2,47
2,38
2,31
2,25
2,53
2,43
2,34
2,27
2,20
2,49
2,38
2,30
2,22
2,16
2,45
2,34
2,25
2,18
2,11
2,4
2,3
2,21
2,23
2,07
16
17
18
19
20
4,49
4,45
4,41
4,38
4,35
3,63
3,59
3,55
3,52
3,49
3,24
3,20
3,16
3,13
3,10
3,01
2,96
2,93
2,90
2,87
2,85
2,81
2,77
2,74
2,71
2,74
2,70
2,66
2,63
2,60
2,66
2,61
2,58
2,54
2,51
2,59
2,55
2,51
2,48
2,45
2,54
2,49
2,46
2,42
2,39
2,49
2,45
2,41
2,38
2,35
2,42
2,38
2,34
2,31
2,28
2,35
2,31
2,27
2,23
2,20
2,28
2,23
2,19
2,16
2,12
2,24
2,19
2,15
2,11
2,08
2,19
2,15
2,11
2,07
2,04
2,15
2,10
2,06
2,03
1,99
2,11
2,06
2,02
1,98
1,95
2,06
2,01
1,97
1,93
1,90
2,01
1,96
1,92
1,88
1,84
21
22
23
24
25
4,32
4,30
4,28
4,26
4,24
3,47
3,44
3,42
3,40
3,39
3,07
3,05
3,03
3,01
2,99
2,84
2,82
2,80
2,78
2,76
2,68
2,66
2,64
2,62
2,60
2,57
2,55
2,53
2,51
2,49
2,49
2,46
2,44
2,42
2,40
2,42
2,40
2,37
2,36
2,34
2,37
2,34
2,32
2,30
2,28
2,32
2,30
2,27
2,25
2,24
2,25
2,23
2,20
2,18
2,16
2,18
2,15
2,13
2,11
2,09
2,10
2,07
2,05
2,03
2,01
2,05
2,03
2,01
1,98
1,96
2,01
1,98
1,96
1,94
1,92
1,96
1,94
1,91
1,89
1,87
1,92
1,89
1,86
1,84
1,82
1,87
1,84
1,81
1,79
1,77
1,81
1,78
1,76
1,73
1,71
26
27
28
29
30
4,23
4,21
4,20
4,18
4,17
3,37
3,35
3,34
3,33
3,32
2,98
2,96
2,95
2,93
2,92
2,74
2,73
2,71
2,70
2,69
2,59
2,57
2,56
2,55
2,53
2,47
2,46
2,45
2,43
2,42
2,39
2,37
2,36
2,35
2,33
2,32
2,31
2,29
2,28
2,27
2,27
2,25
2,24
2,22
2,21
2,22
2,20
2,19
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,10
2,09
2,07
2,06
2,04
2,03
2,01
1,99
1,97
1,96
1,94
1,93
1,95
1,93
1,91
1,90
1,89
1,90
1,88
1,87
1,85
1,84
1,85
1,84
1,82
1,81
1,79
1,80
1,79
1,77
1,75
1,74
1,75
1,73
1,71
1,70
1,68
1,69
1,67
1,65
1,64
1,62
40
60
120
∞
4,08
4,00
3,92
3,84
3,23
3,15
3,07
3,00
2,84
2,76
2,68
2,60
2,61
2,53
2,45
2,37
2,45
2,37
2,29
2,21
2,34
2,25
2,18
2,10
2,25
2,17
2,09
2,01
2,18
2,10
2,02
1,94
2,12
2,04
1,96
1,88
2,08
1,99
1,91
1,83
2,00
1,92
1,83
1,75
1,92
1,84
1,75
1,67
1,84
1,75
1,66
1,57
1,79
1,70
1,61
1,52
1,74
1,65
1,55
1,46
1,69
1,59
1,50
1,39
1,64
1,53
1,43
1,32
1,58
1,47
1,35
1,22
1,51
1,39
1,25
1,00
Anexo C – Tabela F de Snedecor (5%)
ANOVA - Cálculo das variações,
para interação não nula (4)
Repetitividade : VE = 6. QM E
QM O − QM I
Reprodutibilidade : VO = 6.
n.r
Todos os valores de
QM são tirados da
tabela da ANOVA e:
n = nº de medidas;
r = nº de repetições;
Interação : I = 6.
QM I − QM E
r
k = nº de operadores.
Repet. e Reprod. : RR = VE 2 + VO 2 + I 2
Variação do processo : VP = 6.
QM P − QM I
k.r
Variação total : VT = RR 2 + VP 2
ANOVA - Cálculo das variações,
para interação nula (5)
SQ 2E + SQ 2I
=
n . k . r − n − k +1
Quadrado médio agrupado : QM agr
Repetitivi dade : VE = 6. QM agr
Reprodutib ilidade : VO = 6.
QM O − QM agr
nr
Repet. e Reprod. = VE 2 + VO2
Variação do processo : VP = 6.
QM P − QM agr
Variação total : VT = R & R + VP
2
Interação = 0
k.r
Todos os valores de
QM são tirados da
tabela da ANOVA e:
n = nº de medidas;
r = nº de repetições;
2
k = nº de operadores.
ANOVA - Cálculo dos percentuais (6)
Fonte
6.σ
σ
%VT
%TOL
% Contribuição
Equipamento
VE
100 . VE/VT
100 . VE/TOL
100 . VE 2
VT 2
Operador
VO
100 . VO/VT
100 . VO/TOL
100 . VO 2
VT 2
Interação
IOP
100.IOP/VT
100 . IOP/TOL
2
100 . IOP
VT 2
R&R
R%R
100 . R&R/VT
100 . R&R/TOL
100 . R & R 2
VT 2
Processo
VP
100 . VP/VT
100 . VP/TOL
Total
VT = R & R 2 + VP 2
100 . VP 2
VT 2
 VP 
ndc = 1,41.

R
&
R


R&R ANOVA – Exercício (1)
Resolver o mesmo exercício do método da média e amplitude, pelo método da
ANOVA. Você irá verificar que os resultados são um pouco diferentes, sendo
que a ANOVA tem maior precisão. É dada a tabela prévia.
FV
GL
SQ
QM
Peça
9
2,05871
0,228745
Oper
2
0,04800
0,024000
Interação
18
0,10367
0,005759
Equipamento
30
0,03875
0,001292
Total
59
2,24912
F
α=5%
4,4588
1,93
4,4588
• Tabela F de 5% (Anexo C, slide 29)), com 18 e 30 graus de liberdade: Fcrítico
≅ 1,93. Como Fcalculado (4,4588) > Ftabelado (1,93), então concluímos que a
interação não é estatisticamente zero.
• Então, entramos nas fórmulas das variações, para interação não nula
(próximo slide), obtendo os valores brutos das mesmas.
• Por último, obtemos os percentuais desses valores brutos, em relação à VT.
R&R ANOVA – Exercício (2)
Repetitividade: VE = 6. QME = 6. 0,001292≅ 0,2157
Reprodutibilidade: VO = 6.
Interação: I = 6.
≅ 17,63%
QMO − QMI
0,0240− 0,005759
= 6.
≅ 0,1812
n.r
10.2
QMI − QME
0,005759− 0,001292
= 6.
≅ 0,2836
r
2
≅ 23,17%
RR = VE2 + VO2 + I2 = 0,21572 + 0,18122 + 0,28362 ≅ 0,3997
Var.proc.: VP = 6.
QMP − QMI
0,228745− 0,005759
= 6.
≅ 1,1567
k.r
3.2
Variaçãototal: VT = RR2 + VP2 = 0,39972 + 1,15672 ≅ 1,2238
VO real = 0,1812 2 + 0,2836 2 ≅ 0,3365
≅ 14,81%
≅ 32,66%
≅ 94,52%
= 100%
≅ 27,50% (Devido interação)
Ver gráfico do próximo slide e comparar as respostas)
R&R ANOVA – Exercício (3)
R&R (ANOVA)
A nalista:
Tolerância:
O utros:
N ome do instrumento:
Data do estudo:
Componentes da Variação
Medida por peça
%
100
% Study Var
1,00
0,75
50
0,50
0
Gage R&R
Repeat
Reprod
1
Part-to-Part
10
2
3
4
5
6
7
8
9
peça
Amplitude amostral
Carta R por operador
A
B
Medida por operador
C
LSC=0,1252
1,00
0,10
0,75
0,05
_
R=0,0383
0,00
LIC=0
0,50
A
B
oper
Carta Xbar por operador
B
C
Interação operador-peça
1,00
0,75
oper
1,00
_
LSC=0,8796
_
X=0,8075
LIC=0,7354
A
Média
Média amostral
A
C
B
0,75
C
0,50
0,50
1
RR = 32,66%
VE = 17,62% VO = 27,50%
VP = 94,52%
10
2
3
4
5
peça
6
NCD = 4,0
7
8
9
Valores algo
diferentes do outro
método
Fim do Módulo 4
Fim