APLICAÇÃO DA ESTÍSTICA DESCRITIVA PARA O DIMENSIONAMENTO DE
BAIAS DE CRUZAMENTOS EM “T”: ESTUDO DE CASO EM UM PÓLO
GERADOR DE VIAGEM.
Harlenn dos Santos Lopes 1,
Correa 1
Bruno de Oliveira Rocha 1, Francisco Arcelino de Araújo
1) Departamento de Engenharia de Transportes - Universidade Federal do Ceará.
[email protected], [email protected], [email protected]
Resumo: A instalação de Pólos Geradores de Viagens (PGV's) sem a realização de estudos que
possam qualificar e quantificar os impactos gerados com sua implantação pode levar a uma
ineficiente gerência de operações, gerando, conseqüentemente, uma ineficaz segurança e fluidez no
tráfego de veículos. Este trabalho consiste na análise do comportamento de um cruzamento em “T”,
entre uma baia de conversão e uma via principal, sendo os veículos da baia atraídos por um Pólo
Gerador de Viagem. A análise é fundamentada pelos métodos disponíveis na estatística descritiva.
Para o tratamento dos dados, são analisadas as taxas de chagadas, as probabilidades de chegadas de
veículos em determinados espaços de tempos, simulando a situação atual, com ausência de
semáforo e gerando cenários comparativos supondo a instalação de um semáforo no local. O
tamanho da baia é dimensionado para todas as situações, subsidiando a tomada de decisão e a
escolha da alternativa mais cabível para o sistema.
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1. INTRODUÇÃO
Define-se com Pólo Gerador de Viagens (PGV) como construções urbanas que, pela natureza das atividades ali
realizadas, atraem grande quantidade de deslocamentos de pessoas ou cargas. O seu controle torna-se importante
como forma de minimizar ou eliminar os impactos indesejáveis que possam ter sobre o transporte e o trânsito da
sua área de influência e que são causas importantes das más condições de circulação nas grandes cidades
brasileiras (ANTP, 2005).
Os Pólos Geradores de Viagens são entendidos aqui como a edificação permanente ou transitória que, pela
concentração da oferta de bens ou serviços, gere grande afluxo de população, com substancial interferência no
tráfego do entorno. São exemplos de PGV’s: shoppings centers, escolas, aeroportos, boates, supermercados,
bancos, hospitais etc. A instalação destes sem a realização de estudos que possam qualificar e quantificar os
impactos gerados com a implementação pode levar a uma ineficiente gerência de operações, sendo conseqüente
a ineficaz segurança e fluidez no tráfego de veículos.
Neste estudo considerou-se o cruzamento em “T”, o qual dá acesso a um grande PGV, conforme mostrado na
Figura 1. Neste cruzamento, a ausência de uma baia adequada para o estoque provisório de veículos até o
momento da conversão ao PGV gera problemas ao tráfego da via, visto que sua pista à esquerda é tomada pelos
veículos que necessitam realizar a conversão.
Estudos a priori mostraram que, durante a hora de pico o volume de veículos que desejam efetuar a conversão
para entrar no PGV é, em média, 180 veículos por hora (vph), e o volume médio de veículos que conflita com
essa conversão, ou seja, que passa na via principal, é em média, 420 vph. O tempo necessário para um veículo
converter à esquerda em condições de segurança é estimado em, no mínimo, 4,5 segundos. Análises realizadas
anteriormente consideram que a distribuição de Poisson é adequada para representar a chegada dos veículos na
baia de conversão, assim como a chegada dos veículos na via principal.
Figura 1: Cruzamento de acesso ao PGV
2. METODOLOGIA
Para a análise em questão definiu-se como indicador o tamanho máximo atingido pela fila de veículos que
chegam para realizar a conversão, assumindo como o critério de decisão a probabilidade de a baia ser excedida
em, no máximo 10%.
Considerou-se primeiramente a situação atual, com a ausência de semáforo no cruzamento das vias, sendo
estudadas as distribuições de chegada de veículos na baia de conversão, de passagem dos veículos na via
principal e dos intervalos de passagem entre veículos na via principal. É realizada uma análise da conversão
através dos conceitos de Teoria das Filas, visando identificar o número máximo de veículos na fila para melhor
dimensionamento da baia.
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O propósito deste estudo nesta primeira etapa é verificar o tamanho da baia e decidir se o número de intervalos é
sufientemente seguro para que os veículos realizem a conversão. Para o cálculo do comprimento L referente ao
tamanho da baia, o valor adotado para o comprimento de um veículo é igual a 3 metros e a distância segura entre
dois veículos igual a 1,5 metros.
Posteriormente é realizada uma análise de cenários (modelos A, B, C, D e E) com a presença de semáforo no
cruzamento. Nesta fase, este estudo tem o propósito de analisar o comportamento do cruzamento em diversos
cenários, bem como dimensionar o comprimento da baia para os modelos. Nesta etapa, fez-se o uso das
ferramentas de distribuição de probabilidade, utilizando as distribuições Binomial e Poisson. Segundo
Montgomery (2003), esta última é uma importante distribuição de probabilidade discreta que é muito usada para
modelar a ocorrência de eventos aleatórios dentro de um intervalo, de tempo ou de espaço, especificado. Tal
característica pode ser bem apropriada às relações que descrevem as interações existentes no tráfego.
Na construção do modelo A, considerou-se o modelo como experimento de Bernoulli, sendo considerado
sucesso a chegada de um determinado veículo no tempo de vermelho do semáforo. A partir de então, procurouse simular outros modelos também caracterizados pelo experimento de Bernoulli, porém, caracterizando como
sucesso a chegada de um determinado veículo nos intervalos de 2; 0,5 e 0,01 segundos, no tempo de vermelho
(modelos B, C, D). Finalmente, simulou-se um último modelo (modelo E), seguindo uma distribuição de
Poisson, sendo este, uma aproximação do modelo D.
Os modelos foram construídos utilizando o software EXCEL, através de ferramentas e funções estatísticas
disponíveis no pacote computacional. Após a análise individual dos modelos, definiu-se o modelo mais
adequado para o dimensionamento da baia. Após a definição, propusera-se métodos para a validação do modelo
in loco.
3. CONSTRUÇÃO E ANÁLISES DOS MODELOS
3.1. Análise do cruzamento com ausência de semáforo
•
Chegada de veículos para conversão à esquerda
Em média, segundo estudos já realizados no cruzamento, chegam 180 veículos por hora para efetuar a conversão
ao PGT. Esta chegada segue uma distribuição de POISSON, e possui uma taxa λ = 180 = 3 veículos
. Para a
min
60
hora de pico, considerou-se 60 intervalos de 1 minuto para a verificação da distribuição de probabilidades de
chegada.
Apesar da distribuição de Poisson não apresentar um limite máximo como parâmetro, deve-se, limitar um valor
para a apresentação da tabela. Após análise da Tabela 1, na qual verificam-se as probabilidades para a ocorrência
de chegadas de veículos na baia de conversão, percebemos que valores acima de 8 chegadas por minuto
apresentam probabilidade muito baixa (menor que 1%) de acontecer. A distribuição de probabilidades desta
chegada está representada na Tabela 1 e pode ser visualizada no Gráfico 1.
Gráfico 1: Distribuição de chegadas de
Tabela 1: Distribuição de chegadas de veículos na
veículos na baia de conversão
baia de conversão
CHEGADA DE VEÍCULOS
P [X = x]
5,0%
14,9%
22,4%
22,4%
16,8%
10,1%
5,0%
2,2%
0,8%
P [X≤x]
5,0%
19,9%
42,3%
64,7%
81,5%
91,6%
96,6%
98,8%
99,6%
Chegada na baia
25,0%
Probabilidade
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
22,4%
22,4%
20,0%
16,8%
14,9%
15,0%
10,1%
10,0%
5,0%
5,0%
5,0%
2,2%
0,8%
0,0%
0
1
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2
3
4
5
6
7
8
Nº de veículos / minuto
3
•
Chegada de veículos na via principal
Em média, segundo estudos já realizados no cruzamento, chegam 420 veículos por hora na via principal do
cruzamento estudado. Esta chegada, também segue uma distribuição de POISSON, e possui uma taxa
420
. No horário de pico, também foi considerado 60 intervalos de 1 minuto para a
= 7 veículos
λ =
min
60
verificação da distribuição de probabilidades de chegada nesta via. A distribuição de probabilidades desta
chegada está representada na Tabela 2 e pode ser visualizada no Gráfico 2.
Tabela 2: Distribuição de chegadas de veículos na via principal.
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
CHEGADA DE VEÍCULOS
P [ X=x]
P [X≤x]
0,09%
0,09%
0,64%
0,73%
2,23%
2,96%
5,21%
8,18%
9,12%
17,30%
12,77%
30,07%
14,90%
44,97%
14,90%
59,87%
13,04%
72,91%
10,14%
83,05%
7,10%
90,15%
4,52%
94,67%
2,63%
97,30%
1,42%
98,72%
0,71%
99,43%
0,33%
99,76%
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Gráfico 2: Distribuição de chegadas de veículos na via principal.
Distribução de chegadas na Via Principal
16,00%
14,9%14,9%
14,00%
13,0%
12,8%
Probabilidade
12,00%
10,1%
10,00%
9,1%
8,00%
7,1%
6,00%
5,2%
4,5%
4,00%
2,6%
2,2%
1,4%
2,00%
0,1%
0,7%
0,6%
0,3%
0,00%
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
Nº de veículos / minuto
•
Análise dos intervalos entre passagens de veículos na via principal
Nos itens anteriores realizou-se a caracterização das taxas de chegadas nas vias estudadas, o que subsidia a
análise da quantidade de veículos que conseguirão realizar a conversão no período estipulado. Para tal análise,
foi necessário calcular a quantidade de intervalos entre veículos que possuíssem 4,5 segundos ou mais (tempo
necessário para um veículo converter à esquerda em condições de segurança), durante a hora de pico.
Pode-se considerar que, para o veículo realizar o movimento de conversão à esquerda, não deverá surgir nem um
veículo no intervalo mínimo de até 4,5 segundos na via principal. Logo, teremos P[X=0] seguindo uma
distribuição de Poisson, uma vez que a passagem dos veículos na via principal segue esta
(λt )0 e − λt
= e −λt  O que reflete numa distribuição exponencial de probabilidades;
0!
(
λ .4,5)0 e − λ ( 4,5)
P(N=0) = P ( X > 4,5) =
= e −λ ( 4,5) , onde: λ =7 veic./min. ~ 0,0117veic./min, o que resulta
0!
distribuição: P[ X = 0] =
em numa probabilidade de intervalos maiores ou iguais a 4,5 segundos aproximadamente igual a 59%. A
distribuição de probabilidades dos intervalos entre veículos na via principal é representada no Gráfico 3.
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Gráfico 3: Distribuição de probabilidades dos intervalos de veículos.
Considerando que, durante o horário de pico ocorrem em média 419 intervalos, verifica-se que 59% desse valor,
ou seja, 247, é o número médio de intervalos maiores ou iguais a 4,5 segundos durante a hora estudada. Esta
valor significa a quantidade de intervalos seguros para realizar a conversão.
•
Dimensionamento da baia com ausência de semáforo:
De posse da distribuição de chegadas de veículos na baia, bem como da distribuição dos intervalos
entre veículos na via principal, pode-se analisar essa situação como sendo um caso de teoria das filas, onde
existe um tempo médio de chegada seguindo uma distribuição de Poisson, um tempo médio de atendimento
seguindo uma distribuição exponencial e um servidor enquadrado no modelo M/M/1. Conforme Andrade (2004),
esse modelo supõe que clientes chegam a um único servidor com distribuição de Poisson ou Exponencial
Negativa tendo um ritmo λ. Cada cliente, após a chegada, é atendido diretamente pelo servidor, senão aguarda na
fila, a qual respeita a disciplina FIFO. Assim como o ritmo de chegada, o servidor possui um atendimento
marcoviano ou de distribuição de Poisson com ritmo μ. Tanto a capacidade da fila assim como da população é
infinita.
A taxa média de chegada de chegada (λ) para esse modelo é de 180 veículos por hora e a taxa média de serviço
(μ) é igual a 247 intervalos por hora. Proporcionando uma taxa de utilização do sistema (ρ = λ / μ )
aproximadamente igual a 73%. Esta taxa denota um sistema capaz de atender aos veículos, uma vez que não
ultrapassa a capacidade de 100% do atendimento. A partir desta taxa de utilização, pode-se estimar o valor
máximo da fila na área de estocagem da baia, calculando a probabilidade de k veículos na fila, como mostrado
na Tabela 3.
Tabela 3: Distribuição de Probabilidades da quantidade de veículos na fila da baia.
Probabilidade k veiculos na fila
k
P[X=k]
P[X≤k]
0
=
27,19%
27,19%
1
=
19,80%
46,98%
2
=
14,41%
61,40%
3
=
10,50%
71,89%
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6
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
7,64%
5,56%
4,05%
2,95%
2,15%
1,56%
1,14%
0,83%
0,60%
0,44%
0,32%
0,23%
0,17%
0,12%
0,09%
0,07%
0,05%
79,53%
85,10%
89,15%
92,10%
94,25%
95,81%
96,95%
97,78%
98,38%
98,82%
99,14%
99,38%
99,55%
99,67%
99,76%
99,82%
99,87%
Seguindo o critério de decisão estipulado, de que a probabilidade da baia ser excedida não deve ser superior a
10%, pode-se extrair da tabela que o valor imediatamente posterior a P[X ≤ 90%] é P[X ≤ 92,10%] ,onde o
tamanho k correspondente ao número de veículos chegando na baia é igual a 7. Assim deve-se dimensionar o
tamanho desta baia para estocar 7 veículos. De acordo com os valores fornecidos no item 2 para o
dimensionamento das baias, podemos concluir que o tamanho da baia (em metros) para este modelo seria: [(7 x
3)+(6 x 1,5)] = 30.
3.2. Análise do cruzamento com presença de semáforo
Após a análise do cruzamento sem a presença de semáforo, verificou-se a possibilidade de instalação de um
semáforo para tal cruzamento, com o intuito de verificar se o sistema adquire eficiência operacional. O semáforo
proposto a ser instalado para o cruzamento destina 20 segundos de verde efetivo para a conversão à esquerda,
em um ciclo de 60 segundos. Foram então elaborados 7 modelos, compostos de diferentes cenários, para
dimensionar a baia onde o carros ficarão estocados até a conversão (Modelos A, B, C, D e E). Adota-se, nestes
modelos, o mesmo critério de decisão para o tamanho da baia.
•
Cenário I – Modelo A
Neste modelo considera-se a chegada dos veículos na baia de conversão como uma Distribuição Binomial, onde
o sucesso no Experimento de Bernoulli é caracterizado pela chegada do veículo no tempo de vermelho. A
probabilidade deste sucesso é dada por: p = 40/60 = 0.67. Neste modelo, primeiramente, recorreu-se à
distribuição de Poisson, conforme mostrado na Tabela 3, para encontrar o valor da amostra (n=8), a ser usado na
distribuição de Bernoulli.
Tabela 4: Distribuição de probabilidades para o modelo A.
MODELO A
x
P[X=x]
P [X≤x]
0
0,02%
0,02%
1
0,24%
0,26%
2
1,71%
1,97%
3
6,83%
8,79%
4
17,07%
25,86%
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7
5
6
7
8
27,31%
27,31%
15,61%
3,90%
53,18%
80,49%
96,10%
100,00%
De acordo com o critério de decisão estipulado, pode-se extrair da Tabela 4 que o valor imediatamente posterior
a P[X ≤ 90%] é P[X ≤ 96,10%], onde o numero de veículos chegando na baia é igual a 7. Assim deve-se
dimensionar o tamanho desta baia para estocar 7 veículos. De acordo com os valores fornecidos no item 2 para o
dimensionamento das baias, podemos concluir que o tamanho da baia para este modelo seria 30 metros.
•
Cenário II - Modelo B
Neste modelo considera-se a chegada dos veículos na baia de conversão também como uma Distribuição
Binomial, entretanto, o sucesso no Experimento de Bernoulli caracteriza-se pela chegada do veículo em um
intervalo de tempo de 2 segundos ao longo do período de vermelho. A probabilidade deste sucesso é dada por: p
= (180veic. x 2seg / 3600seg) = 0,1. O número de experimentos (n) é igual ao número total de veículos
chegando no vermelho, ou seja, n = 40/2 = 20. A distribuição de probabilidade do modelo pode ser observada na
Tabela 5.
Tabela 5: Disribuição de probabilidades para o modelo B.
MODELO B
x
P[X=x]
P [X≤x]
0
12,16%
12,16%
1
27,02%
39,17%
2
28,52%
67,69%
3
19,01%
86,70%
4
8,98%
95,68%
5
3,19%
98,87%
6
0,89%
99,76%
7
0,20%
99,96%
≥8
0,04%
100,00%
De acordo com o critério de decisão estipulado, verifica-se, na Tabela 5 que o valor imediatamente posterior a
P[X ≤ 90%] é P[X ≤ 95,68%], onde o número de veículos que chegam na baia é igual a 4. Assim deve-se
dimensionar o tamanho desta baia para estocar 4 veículos. De acordo com os valores fornecidos no item 2 para o
dimensionamento das baias, podemos concluir que o tamanho da baia para este modelo seria 16,5 metros.
•
Cenário III – Modelo C
Este modelo também considera-se a chegada dos veículos na baia de conversão como uma Distribuição
Binomial, porém o sucesso no Experimento de Bernoulli se caracteriza pela chegada do veículo em um intervalo
de tempo de 0,5 segundo ao longo do período de vermelho. A probabilidade deste sucesso é dada por: p =
(180veic. x 0,5 seg / 3600seg) = 0,025. O número de experimentos (n) é igual ao número total de veículos
chegnado no vermelho, ou seja, n = 40/0,5= 80. A distribuição de probabilidade do modelo pode ser observada
na Tabela 6.
Tabela 6: Distribuição de probabilidades para o modelo C
MODELO C
x
P[x]
P[X≤x]
0
13,19%
13,19%
1
27,06%
40,26%
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8
2
3
4
5
6
7
≥8
27,41%
18,27%
9,02%
3,52%
1,13%
0,31%
0,09%
67,67%
85,94%
94,96%
98,48%
99,61%
99,91%
100,00%
Conforme critério de decisão utilizado para os modelos, pode-se verificar na Tabela 6 que o valor imediatamente
posterior a P[X ≤ 90%] é P[X ≤ 94,96%] , onde o número de veículos chegando na baia é igual a 4. Desta forma,
o tamanho desta baia deve ser dimensionado para estocar 4 veículos. O tamanho da mesma, para este modelo
seria 16,5 metros
•
Cenário IV – Modelo D
O modelo D também segue o mesmo raciocínio dos modelos B e C, entretanto, o sucesso no Experimento de
Bernoulli caracteriza-se como a chegada do veículo em um intervalo de tempo de 0,01 segundo ao longo do
período de vermelho. A probabilidade deste sucesso é dada por: p = (180veic. x 0,01 seg / 3600seg) = 0,0005. O
número de experimentos (n) é igual ao número total de veículos chegnado no vermelho, ou seja, n = 40/0,01 =
4000 . A distribuição de probabilidade do modelo pode ser observada na Tabela 7.
Tabela 7: Distribuição de probabilidade para o modelo D.
MODELO D
x
P[x]
P[X≤x]
0
13,53%
13,53%
1
27,07%
40,59%
2
27,07%
67,67%
3
18,05%
85,72%
4
9,02%
94,74%
5
3,61%
98,35%
6
1,65%
99,55%
7
13,53%
99,89%
≥8
0,11%
100,00%
Verifica-se na Tabela 7 que o valor a considerar é P[X ≤ 94,74%], onde o número de veículos chegando na baia
é igual a 4. Neste caso, o tamanho desta baia deve ser dimensionado para estocar 4 veículos e possuiria 16,5
metros
•
Cenário V – Modelo E
O modelo E constitui uma aproximação da distribuição binominal do modelo D para uma distribuição de
poisson. Esta aproximação deve-se ao fato de que, para este modelo, o número de experimentos é muito grande
(n= 4000) e a probabilidade de sucesso é muito pequena (p = 0,0005) resultando em um valor esperado de
μ = n. p = 4000 .0,0005 = 2 .A Tabela 8 demonstra a distribuição de probabilidade para o modelo E.
Tabela 8: Distribuição de probabilidade para o modelo E.
MODELO E
x
P[x]
P[X≤x]
0
13,53%
13,53%
1
27,07%
40,60%
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9
2
3
4
5
6
7
≥8
27,07%
18,04%
9,02%
3,61%
1,20%
0,34%
0,11%
67,67%
85,71%
94,73%
98,34%
99,55%
99,89%
100,00%
Observa-se, na Tabela 8, que o valor a considerar é P[X ≤ 94,73%] , onde o número de veículos chegando na
baia é igual a 4. Neste caso, o tamanho desta baia deve ser dimensionado para estocar 4 veículos e possuiria 16,5
metros.
3.3. Análise dos resultados
Após análise dos modelos, verifica-se que a distribuição de Poisson representa melhor este tipo de situação,
quando comparado com a distribuição Binomial. Isto acontece em virtude do tamanho da amostra ser muito
grande e a probabilidade muito pequena
O modelo A pode ser considerado falho neta situação, uma vez que necessita de limitação referente a número
máximo de veículos chegando na baia. Esta limitação faz com que se recorra à distribuição de Poisson para
estimar este número máximo, influenciando diretamente no dimensionamento do tamanho da baia.
Pode-se observar, após a análise dos modelos, que os modelos B a D apresentam resultados semelhantes,
principalmente quando o intervalo de tempo do estudo tende a zero. Pode-se verificar, então, que o modelo E, o
qual é uma aproximação do modelo D, se torna mais adequado já que não limita um valor máximo e a
probabilidade tende para zero, sendo considerado um evento raro.
Uma baia com 30 metros, sem a presença de semáforo no cruzamento pode ser considerada uma solução mais
apropriada e viável para a situação, uma vez que a implantação de um semáforo geraria custos de aquisição,
implantação e controle, além de visão negativa por parte dos condutores que trafegam na via principal. De
acordo com a análise, este tamanho proposto para a baia atenderia o horário de pico, portanto, também atenderia,
até com certa com folga, a necessidade de estocagem dos veículos nos demais horários do dia.
4. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
Os modelos considerados e analisados são uma abstração da realidade, simplificando-a. Em função disto,
ocorreram diversas limitações durante este estudo. As taxas de chegadas de veículos nas vias são valores médios,
obtidos durante a hora de pico, não demonstrando o comportamento do sistema durante esta hora, tendo a
confiabilidade baseada na distribuição de probabilidades de Poisson.
Também se considerou, durante o estudo, a passagem, em um tempo efetivo de verde, de todos os veículos
presentes na fila de espera, bem como daqueles que chegam durante o verde do semáforo. Não se considerou o
tamanho dos veículos para o estudo da conversão, este fator poderia influenciar significativamente a análise do
cruzamento sem a presença de semáforo. O valor médio considerado para os veículos também desconsidera a
possibilidade deste PGV atrair veículos de longo comprimento como ônibus e caminhões.
Para a validação deste modelo in loco, propõe-se a observação do cruzamento no horário de pico, durante uma
semana, a coleta de dados referentes ao número de veículos que chegam ao cruzamento pela baia e pela via
principal em intervalos de 1 minuto e intervalos entre chegadas nas duas vias. Posteriormente, deve-se verificar,
através dos gráficos de freqüências observadas e esperadas, se estes dados seguem realmente a distribuição de
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Poisson, além de avaliar se as hipóteses de eventos independentes e raros são válidas. Caso não sigam, deve-se
analisar estatisticamente qual a distribuição representaria bem o comportamento da população para este estudo
de caso.
Somente com a validação correta dos dados coletados in loco pode-se realizar análises fundamentadas na
realidade, embasando a tomada de decisão em sistemas operacionais.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Paulo. Disponível em: http://www.antp.org.br/telas/desenvolvimento_urbano/capitulo2_urbano.htm
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Mestrado. Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, Brasil.
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LTC. 2ª Edição. Rio de Janeiro.
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