Matemática 1
17. Uma revista semanal de larga circulação apresentou matéria contendo o seguinte
texto: “O governo destinou 400.000 reais para a vacinação de 25 milhões de cabeças
de gado, ou seja, um centavo de real para cada cabeça”. De qual percentual a revista
errou, acerca do valor que o governo destinou a cada cabeça de gado?
Resposta: 60
Justificativa:
O governo destinou 40000000/25000000 = 160/100 = 1,60 centavos para cada
cabeça de gado e o valor da revista estava errado em (1,6 – 1,0).100%/1,0 = 60%.
18. Uma mistura A, de gasolina e álcool, contém 30% de álcool, enquanto uma mistura B,
também de gasolina e álcool, contém 80% de álcool. Usando as misturas A e B,
pretende-se obter 150 litros de uma terceira mistura de álcool e gasolina com 60% de
gasolina. Quantos litros da mistura B serão utilizados?
Resposta: 30
Justificativa:
Seja x o número de litros utilizados de B para compor a terceira mistura. Temos
que serão utilizados 150 – x litros de A. Além disso, a terceira mistura terá 0,4.150 =
60 litros de álcool. Portanto, 0,3(150 – x) + 0,8 x = 60, que se simplifica como 0,5x =
60 – 45 = 15 e x = 30 litros.
19. O gráfico abaixo ilustra o percentual de compradores via Internet, por região, em 2004.
Assuma que esta distribuição se manterá em 2005.
12%
10%
7%
4%
67%
Sudeste
Norte
Centro-Oeste
Nordeste
Sul
Em 2004, o número de compradores foi de 3,2 milhões, e espera-se para 2005 um
aumento de 30%. De quantos milhares, o número de compradores via Internet, irá
aumentar na região Nordeste?
Resposta: 96
Justificativa:
O aumento total no país será de 0,3.3,2 = 0,96 milhões de compradores, e, na
região Nordeste, o aumento será de 0,1.0,96.1000 = 96 milhares de compradores.
20. Abaixo temos um extrato bancário simplificado do mês de novembro.
Data
Transação
Débito (R$)
Crédito (R$)
Saldo (R$)
1/11
Saldo
anterior
600,00
12/11
Cheque
18/11
Depósito em
dinheiro
25/11
Cheque
500,00
-100,00
27/11
Cheque
200,00
-300,00
800,00
-200,00
600,00
400,00
30/11
Saldo
-300,00
O banco cobra juros mensais de 9%, e o cálculo dos juros sobre o saldo devedor é
feito segundo o número de dias correspondentes, a juros diários simples. Calcule o
juro devido ao banco, em reais, no mês de novembro, na conta do extrato acima, e
assinale dez vezes o valor obtido.
Resposta: 69
Justificativa:
Os saldos negativos de R$ 200,00, R$ 100,00 e R$ 300,00 permaneceram durante
6 dias, 2 dias e 3 dias, respectivamente, a uma taxa diária de 9/30 = 0,3%. O juro
devido é de 200.0,003.6 + 100.0,003.2 + 300.0,003.3 = 2300.0,003 = 6,9 reais.
21. Indique a área do conjunto dos pontos do plano cartesiano com coordenadas (x , y)
tais que x ≥ 0, y ≥ 0 e 9x + 10y ≤ 90.
Resposta: 45
Justificativa:
A reta 9x + 10y = 90 intercepta o eixo das abscissas em (10 , 0) e o das ordenadas
em (0 , 9). O conjunto mencionado corresponde à região limitada pelo triângulo com
vértices nos pontos (0 , 0), (0 , 9) e (10 , 0), que é retângulo com catetos medindo 9
e 10 e tem área 9.10/2 = 45.
22. Júnior investiu um total de R$ 1200,00; parte na poupança e parte em um fundo de
investimentos. A poupança rendeu 0,5% ao mês, o fundo de investimentos rendeu
0,6% ao mês, e os dois têm capitalização mensal. Se, passado um ano, o montante
obtido da poupança e do fundo de investimentos foi de R$ 1279,00, calcule quanto foi
investido na poupança, em reais, e indique um décimo do valor obtido. (Dados: use as
12
12
aproximações 1,005 ≅ 1,06 e 1,006 ≅ 1,07).
Resposta: 50
Justificativa:
Seja x o valor investido na poupança. Temos que, após 12 meses, o montante
12
acumulado na poupança foi de x(1 + 0,005) e, no fundo de investimentos, foi de
12
(1200 - x)(1 + 0,006) e daí x.1,06+(1200 – x)1.07 = 1279. Segue desta igualdade
que 0,01x = 1284 – 1279 = 5 e x = 500 reais.
23. O preço de mercado de um produto se desvaloriza anualmente de certo valor
constante. O produto foi comprado em 1995 e, em 2010, seu valor será nulo. Se, em
1999, o valor do produto era de R$ 2046,00, calcule qual é seu valor em 2005, em
reais, e indique a soma dos dígitos do número obtido.
Resposta: 12
Justificativa:
Se x é quanto o preço do produto se desvaloriza a cada ano, temos que o valor do
produto em 1995 era de (2010 – 1995)x = 15x, e seu valor em 1999 era de 15x –
(1999-1995)x = 11x, logo, x = 2046/11 = 186 reais, e o valor do produto em 2005 é
de 5x = 930 reais.
As informações abaixo referem-se às duas questões a seguir.
O faturamento de uma pequena empresa nos meses de janeiro, fevereiro e março é
dado, em centenas de reais, pelos valores da tabela abaixo.
Mês
Faturamento
Janeiro
56
Fevereiro
63
Março
68
Suponha que o faturamento (F) seja uma função quadrática do número x associado
ao mês do ano (x = 1 para janeiro, x = 2 para fevereiro, ... , x = 12 para dezembro). Os
dados da tabela se expressam como F(1) = 56, F(2) = 63 e F(3) = 68.
24. Se F(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c sendo números reais, indique o valor de c.
Resposta: 47
Justificativa:
Temos a + b + c = 56, 4a + 2b + c = 63 e 9a + 3b + c = 68. Subtraindo a segunda
igualdade da primeira e a terceira da segunda, obtemos, respectivamente, 3a + b =
7 e 5a + b = 5; subtraindo a segunda destas igualdades da primeira, obtemos 2a = 2
2 e a = -1. Segue que b = 10 e c = 47 e F(x) = -x + 10x + 47.
25. Assinale o maior faturamento mensal da empresa, em centenas de reais.
Resposta: 72
Justificativa:
O faturamento será máximo quando x = -10/-2 = 5, ou seja, em maio, e seu valor
será F(5) = -25 + 50 + 47 = 72 centenas de reais.
26. O retângulo ABCD ilustrado a seguir está dividido em seis quadrados e tem perímetro
21. Qual a sua área?
D
C
A
B
Resposta: 26
Justificativa:
Se x é a medida do lado do menor quadrado que aparece na dissecção do
retângulo, temos que os lados dos outros quadrados medem 2x, 3x, 5x e 8x. O
perímetro do retângulo ABCD é 2(x + x + 3x + 8x + 8x) = 21, e daí x = ½. A área do
retângulo mede (13x).(8x) = 13.8/4 = 26.
27. Júnior comprou um apartamento em 2005, pelo preço de R$ 120.000,00. O plano de
Júnior é vender o apartamento por um preço de R$ 200.000,00. Se o valor do
apartamento aumenta, de maneira cumulativa, a uma taxa anual de 4%, em quantos
anos Júnior venderá o apartamento? (Dados: use as aproximações ln(5/3) ≅ 0,51 e
ln(1,04) ≅ 0,04.). Aproxime sua resposta para o inteiro mais próximo do valor obtido.
Resposta: 13
Justificativa:
t
Em t anos, o valor do apartamento será 120(1+0,04) , em milhares de reais, e este
t
t
valor será igual a 200, quando 120(1+0,04) = 200, ou, 1,04 = 5/3 e daí t =
ln(5/3)/ln(1,04) ≅ 0,51/0,04 = 12,75 anos.
28. A média das notas da prova de matemática de uma turma foi 3,0. O professor decidiu
adicionar 2,0 pontos às notas superiores a 5,0, que representavam 10% do total, e 3,0
pontos às notas iguais ou inferiores a 5,0. Calcule a nova média m da turma e assinale
10m. (Observação: admita que o número de notas é divisível por 10 e que a maior nota
foi 8.)
Resposta: 59
Justificativa:
Seja x o número de alunos da turma. Depois da mudança das notas, a soma de
todas as notas será 3x + 0,1x.2 + 0,9x.3 = 5,9x, e a nova média será m = 5,9x/x =
5,9.
29. Ricardo e Júnior constituíram uma empresa, investindo juntos um capital inicial total de
R$ 7.000,00. Ricardo trabalha dois dias por semana na empresa enquanto Júnior
trabalha três dias por semana. Passado certo período, a empresa foi desfeita, e coube
a Júnior o dobro do valor que coube a Ricardo. Se o valor recebido por cada um foi
diretamente proporcional ao valor investido inicialmente na empresa e ao número de
dias trabalhados por semana, quantas centenas de reais Ricardo investiu, ao
formarem a empresa?
Resposta: 30
Justificativa:
Seja x a quantia que Ricardo investiu ao formarem a empresa; então, a quantia que
Júnior investiu foi de (7000 – x) reais. Os valores recebidos por Ricardo e Júnior,
quando a empresa foi desfeita, são proporcionais a 2x e 3(7000 – x), e, como Júnior
recebeu o dobro do que coube a Ricardo, temos 1/(2x) = 2/[3(7000 - x)] e, portanto,
21000 – 3x = 4x e x = 3000 reais, que é o valor investido inicialmente por Ricardo.
30. A quantia que Júnior possui lhe permite comprar, sem que nada lhe reste, um certo
número de picolés de cajá a R$ 0,47 a unidade, ou, um certo número de picolés de
goiaba a R$ 0,25 a unidade, com uma sobra de R$ 0,01. Se a quantia que Júnior
possui é um valor entre R$ 3,00 e R$ 4,00, indique o número de centavos desta
quantia, que excede R$ 3,00.
Resposta: 76
Justificativa:
Se j é o número de picolés de cajá que se pode comprar com a quantia, e g é o
número de picolés de goiaba que se pode comprar, com troco de R$ 0,01, temos
0,47j = 0,25g + 0,01. Como 300 < 47j < 400, temos 6 < j < 9, logo j = 7 ou j = 8. Se j
= 7, temos que g = 328/5 não é inteiro. Para j = 8 temos g = 375/25 = 15. Portanto,
a quantia que Júnior possui é de 0,47.8 = 3,76 reais.
31. Uma pesquisa concluiu que:
•
•
•
10% dos pais duvidam que são os pais biológicos de um filho;
30% dos pais que duvidam da paternidade de um filho não são pais biológicos;
4% dos pais que não duvidam da paternidade de um filho não são pais biológicos.
Se um pai é o pai biológico de um filho, qual a probabilidade percentual p% de ele
duvidar de sê-lo? Indique o inteiro mais próximo de 10p.
Resposta: 75
Justificativa:
Dos 10% que duvidam da paternidade temos que 0,3.10% = 3% não são pais
biológicos e (10 - 3)% = 7% o são. Dos (100 – 10) = 90% que não duvidam da
paternidade temos que 0,04.90% = 3,6% não são pais biológicos e (90 – 3,6)% =
86,4%, que o são. Portanto, do total de pais, (7 + 86,4)% = 93,4% são pais
biológicos e 7% duvidam de sê-lo. Segue que a probabilidade procurada é p =
7/93,4.100 = 7,49 e 10p = 74,9.
32. As medidas do comprimento, da largura e da altura de um paralelepípedo retângulo
estão em progressão geométrica e têm soma 78 cm. Se o volume do paralelepípedo é
3
3
2
18 cm , determine sua área total, em cm , e indique a soma de seus dígitos.
Resposta: 18
Justificativa:
Desde que o comprimento, largura e altura estão em progressão geométrica, eles
podem se expressar como a/q, a e aq. O volume do paralelepípedo será a/q.a.aq =
3
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3
18 , que se simplifica como a = 18 e daí a = 18cm. A área total do paralelepípedo
2
2
é dada por 2(a/q.a + a/q.aq + a.aq) = 2 a(a/q + a + aq) = 2.18.78 = 2808 cm .