Claudio Lucas Nunes de Oliveira
Escoamento Bifásico em Meios Porosos:
Aplicações na Recuperação de Óleo e
Infiltração de Fluidos Adesivos
Fortaleza
13/02/2009
Claudio Lucas Nunes de Oliveira
Escoamento Bifásico em Meios Porosos:
Aplicações na Recuperação de Óleo e
Infiltração de Fluidos Adesivos
Tese submetida à Coordenação do Curso de
Pós-Graduação em Fı́sica, da Universidade
Federal do Ceará, como requisito parcial para
a obtenção do grau de Doutor em Fı́sica
Orientador:
Murilo Pereira de Almeida
universidade federal do ceara - Departamento de Fı́sica
Fortaleza
13/02/2009
Claudio Lucas Nunes de Oliveira
Escoamento Bifásico em Meios Porosos:
Aplicações na Recuperação de Óleo e
Infiltração de Fluidos Adesivos
Tese submetida à Coordenação do Curso de
Pós-Graduação em Fı́sica, da Universidade
Federal do Ceará, como requisito parcial para
a obtenção do grau de Doutor em Fı́sica
Aprovada em 13/02/2009
BANCA EXAMINADORA
Prof. Dr. Murilo Pereira de Almeida (Orientador)
Universidade Federal do Ceará
Prof. Dr. José Soares de Andrade Jr. (Co-orientador)
Universidade Federal do Ceará
Prof. Dr. Hans J. Herrmann (Co-orientador)
ETH Zurique
Prof. Dr. Liacir dos Santos Lucena
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Prof. Dr. Luciano Rodrigues da Silva
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Aos Meus Pais
e
à Mariana.
Agradecimentos
Ao Professor Murilo Pereira de Almeida pela orientação, ajuda e dedicação que foram
de fundamental importância para a realização deste trabalho;
Ao Professor José Soares de Andrade Júnior pelas idéias, apoio e motivação durante
estes quatro anos;
Ao Professor Hans J. Herrmann pela valiosa oportunidade de ser recebido em Zurique
em seu grupo de pesquisa para o meu doutorado sanduı́che;
Ao Professor Josué Mendes Filho pelo incentivo e empenho em prol da pós-graduação
e dos estudantes do curso de Fı́sica;
Aos professores André Auto e Ascânio Dias pelas dúvidas esclarecidas que me ajudaram em minha formação;
Às funcionárias da pós-graduação, Rejane e Ana Cleide;
Aos amigos, em especial, Felipe, Talita, Samyr, Bedê, Luciana Magal e Franciné, com
quem troquei idéias durante todos esses anos;
Aos Amigos Apiano, Hansjoerg, Marilı́a, Saulo, Enerson e Petrúcio.
À Mariana e Matheus pelo amor, dedicação e ajuda;
Aos meus pais, Nadir e Claudeide, e irmãos, Tati, Marcus e Carol pelo amor e incentivo;
Aos sobrinhos Taı́s, Gabriel, Cauã e Ana Clara.
Aos meus cunhados Emmanuel, Luı́s e Marina.
Aos meus sogros Valéria e Batista.
À CAPES pela minha bolsa no doutorado e ao CNPq pela bolsa no doutorado
sanduı́che.
Resumo
O escoamento de fluidos em meios porosos tem sido objeto de pesquisa de grande
interesse cientı́fico e tecnológico, visto que a compreensão desse processo é fundamental
para importantes aplicações na indústria, incluindo extração de óleo em reservatórios,
estudo de água subterrânea, desenvolvimento de filtros etc. Nesta tese, investigamos
através de simulação numérica três trabalhos sobre escoamento bifásico. O primeiro deles
é sobre a recuperação secundária de petróleo, que consiste em retirar o óleo do reservatório
por diferença de pressão causada pela injeção de um outro fluido; o segundo caso trata
da recuperação terciária, em que a viscosidade do óleo é diminuı́da pelo aumento da
temperatura por meio da injeção de um fluido quente no meio poroso; e o terceiro é
um modelo de endurecimento interfacial entre dois fluidos desenvolvido para simular a
penetração de cola em meios porosos.
No primeiro trabalho, onde é usado o método secundário, a produção do óleo sofre
bastante influência do breakthrough do fluido invasor. Por isso, nossa intenção é estudar
o comportamento da produção do óleo e do tempo de breakthrough quando se injeta um
fluido com viscosidade diferente da do óleo, para o caso a água. O sistema é isotérmico
e não reagente. Utilizamos o simulador comercial STARS do CMG para realizar as simulações. Os resultados foram obtidos através das médias das curvas de produção de
reservatórios desordenados. Foi considerado tanto o reservatório homogêneo quanto o
heterogêneo no ponto crı́tico de percolação. Foi estudada a influência que as curvas de
produção sofrem com a variação da distância entre os poços, r, e com a razão entre as
viscosidades dos fluidos, m (m = µo /µa ). No caso homogêneo, os resultados mostram que
existem duas regiões de lei de potência nas curvas de produção com expoente de -1/3 e
-5/2. O crossover acontece quando o reservatório começa a ficar exausto de óleo. No caso
heterogêneo, a produção do óleo cai com expoente de -0.8. Foi verificado, também, que o
1.8
r
tempo de breakthrough carrega unidades de mr 1/4 no reservatório homogêneo e de m1/5
no
heterogêneo.
Quando o óleo presente no reservatório é do tipo pesado, métodos terciários são
necessários para uma boa recuperação deste. Umas das técnicas que se tornou promissora
nos últimos anos é a Injeção a Vapor, que consiste no aumento da temperatura do reservatório através da injeção de um fluido quente (geralmente, água ou vapor), reduzindo
assim a viscosidade do óleo. Para realizar esse estudo utilizamos uma aproximação microscópica do meio, onde o escoamento acontece em escala de poro. A viscosidade do óleo
tem uma dependência exponencial com a temperatura da forma exp(B/T ), onde B é um
parâmetro fı́sico-quı́mico que define o quão pesado é o óleo, e T é a temperatura. Inicialmente, o meio está saturado com o óleo e em seguida outro fluido é injetado. Um gradiente
de temperatura, ∆T , é aplicado no meio na mesma direção de injeção. Analisamos dois
casos da razão da viscosidade, um infinito, no qual o fluido invasor é considerado invı́scito,
e o outro finito. Verificamos que a eficiência da recuperação de óleo pode aumentar substancialmente com ∆T . Vimos também que o percentual de recuperação decresce com B
para o caso da razão da viscosidade finita, e que o comportamento oposto é observado
para o caso infinito. Com isso é possı́vel saber qual a configuração de parâmetros que
melhor se adapta a um projeto de recuperação de um reservatório.
Na terceira parte desta tese, propomos um modelo de Percolação Invasiva modificado
com a presença da gravidade para simular o escoamento bifásico, no qual a interface
sofre um efeito de endurecimento. Inicialmente, a pressão capilar de cada sı́tio da rede é
escolhido aleatoriamente entre 0 e 1, e, então, o efeito de endurecimento é obtido através
do aumento da pressão dos sı́tios na interface. Quanto mais tempo um sı́tio fica exposto,
maior sua pressão. Durante essa exposição, se um sı́tio tem pressão maior ou igual a
1, esse se torna um pino e não pode mais ser invadido. Isso representa a penetração de
cola em meios porosos onde o endurecimento se dá devido ao contato com o ar. Foram
considerados, também, três regimes de escoamento segundo o Bond number, Bo > 0,
Bo = 0 e Bo < 0, que mede a razão entre as forças gravitacionais e capilares. Nós
analisamos a influência do efeito de endurecimento nesses regimes, e observamos que
apesar das estruturas de invasão mudarem com esse efeito seu comportamento médio não
sofre muita alteração.
Abstract
The fluids displacement in porous media has been subject in researches with great
scientific and technologic interesting due to its close connection to industry applications,
like oil recovery problem, groundwater studies etc. In this thesis, we have investigated
through numerical simulations three two-phase flow problems. The first one, is about
the secondary oil recovery method, which consist to push the oil using the injection of
water; the second case, treats of the tertiary oil recovery method, where the oil viscosity is
decreased by the increasing of the temperature; and the last one, is an interfacial hardness
model to simulate the glue penetration in porous media.
In the first part, we study the behavior of the oil production rate in an isothermal
and two-dimensional reservoir field. Water is pushed from an injection to a production
well, separated by a distance r. This corresponds to the secondary recovery method
in oil reservoirs. We then investigate through direct numerical calculation using the
commercial reservoir field simulator STARS of CMG (Computer Modelling Group) the
influence of the viscosity ratio (m = moil /mwater ) on the oil production (C(t)) when m ≥ 1.
We keep m constant through simulation. We first consider a macroscopically disordered
and homogeneous reservoir. In this case, all the geometry is accessible to the fluids,
but the porosity varies randomly in space. The results show two power law regimes in
the oil production curves, with exponent -1/3 and -5/2. We also study the behavior of
inhomogeneous system with a percolation-like reservoir geometry. We see in this case a
power law behavior with exponent -0.8 in C(t) curves. We verify that the breakthrough
1.8
r
time carries units of mr 1/4 in the homogeneous case and m1/5
in the inhomogeneous one.
When the kind of oil is heavy, tertiaries methods are necessary to improve the recovery.
One of the most used techniques is the Steam Injection, where a hot fluid (usually, water
or steam) is injected into the reservoir to decrease the oil viscosity. In order to make
those studies we consider a microscopic approximation of the medium. The oil viscosity
is dependent on temperature according the following function, exp(B/T ), where B is a
physico-chemical parameter which define the kind of oil, and T is the temperature. A
gradient of temperature, ∆T , is applied crossing the medium in the same direction of
the injection. Initially, the porous medium is saturated with oil and, then, another fluid
is injected. We have considered two cases of injection. The first one, the viscosity of
the invading fluid is constant (the viscosity ratio is, then, finite) and the second one,
the invading fluid is inviscid (infinite viscosity ratio). Our results show that the recovery
efficiency of the oil can increase substantially with the ∆T . We show, also, that the
percentage of the oil recovery decreases with B for the finite viscosity ratio case, but the
opposite behavior for the other case.
In the last part, we propose an Invasion Percolation modified model to simulate the
penetration of a fluid into another with hardening interface. Initially, the capillary pressure of each site in the lattice is randomly chosen between 0 and 1, and then, the hardness
effect by contact with the defending phase is obtained by increasing the pressure of those
sites at interface. The most time exposition a site has the greatest is its pressure value.
During this exposition, if a site has pressure greater or equal to 1, that site becomes a
pine and cannot be invaded anymore. That represents a glue penetrating into a porous
medium where it becomes hard due to exposition with the air. We also consider three
different regimes of the displacement according the Bond number, Bo > 0, Bo = 0 and
Bo < 0. We have analyzed the influence of that hardness effect in those regimes. We
see that, besides the patterns change with this effect, the average behavior do not affect
much.
Sumário
Lista de Figuras
INTRODUÇÃO
p. 19
0.1
Recuperação de Óleo em Reservatórios de Petróleo . . . . . . . . . . .
p. 19
0.2
Escoamento de Fluidos Adesivos em Meios Porosos . . . . . . . . . . .
p. 21
0.3
Trabalhos Abordados na Tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 22
1 ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
1.1
1.2
p. 25
Escoamento em Reservatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 25
1.1.1
O Meio Poroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 25
1.1.2
Lei de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 26
1.1.3
Escoamento Multifásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 27
1.1.4
Conservação da Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 29
Escoamento Bifásico em Escala de Poro . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 32
1.2.1
Pressão Capilar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 33
1.2.2
Escoamento em um Tubo Capilar . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 33
1.3
”Diagrama de Fase”de Lenormand
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 35
1.4
O Uso da Teoria de Percolação na Recuperação de Óleo . . . . . . . . .
p. 38
1.5
Percolação Invasiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 41
2 COMPORTAMENTO PÓS-BREAKTHROUGH DA PRODUÇÃO DE
ÓLEO EM CAMPOS DE PETRÓLEO
p. 44
2.1
p. 44
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Descrição do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 44
2.3
Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 47
2.3.1
Caso Homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 47
2.3.2
Caso Heterogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 53
Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 56
2.4
3 ESCOAMENTO DE ÓLEO EM ESCALA DE PORO SOB INFLUÊNCIA
DE UM GRADIENTE DE TEMPERATURA
p. 60
3.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 60
3.2
Descrição do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 63
3.2.1
Rede de Poros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 63
3.2.2
Equações de Fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 64
3.2.3
Movimento dos Meniscos nos Tubos . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 65
3.2.4
Movimento dos Meniscos nos Nós . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 66
3.2.5
Dependência da Viscosidade do Óleo com a Temperatura . . . .
p. 66
Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 67
3.3.1
Razão de Viscosidade Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 67
3.3.2
Razão de Viscosidade Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 71
Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 77
3.3
3.4
4 PERCOLAÇÃO INVASIVA SOB GRAVIDADE COM ENDURECIMENTO INTERFACIAL
p. 78
4.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 78
4.2
Percolação Invasiva com Endurecimento na Interface . . . . . . . . . .
p. 79
4.3
Percolação Invasiva sob Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 81
4.4
Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 83
4.4.1
Bo > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 84
4.4.2
Bo = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 87
4.4.3
4.5
Bo < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 87
Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 92
Referências
p. 94
Lista de Figuras
1
Imagem obtida por um microscópico eletrônico de varredura mostrando
a resina penetrando na superfı́cie dentária [7]. . . . . . . . . . . . . . .
2
p. 22
Experimento de penetração de cola para madeira escoando em um meio
granular com granulometria média 400 µm. O escoamento se dá somente pela atuação da gravidade. O experimento prossegue até o endurecimento da cola. O que está apresentado na figura é a estrutura de
penetração da cola juntamente com os grãos que foram colados [10]. . .
3
p. 23
Esquema ilustrativo da interface de dois fluidos, em equilı́brio, sobre
uma surperfı́cie horizontal. O ângulo de contato θ entre a superfı́cie e a
interface da gota define a molhabilidade. Na figura da esquerda, 0 ≤ θ
≤ 90, o fluido da gota é a fase não-molhante. Já na figura da direita, 90
≤ θ ≤ 180, ele é a fase molhante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
p. 27
Curvas das permeabilidades relativas da água e do óleo versus a saturação
da água. Geralmente, em um sistema óleo-água em meios porosos, a
água é a fase molhante. Perceba que existe uma saturação residual da
fase não-molhante (óleo), aproximadamente igual a 35%, que ficará no
reservatório independentemente da pressão aplicada. Lembrando que a
soma das saturações é sempre igual a 1 (So + Sa = 1). . . . . . . . . .
5
Elemento infinitesimal do meio poroso macroscópico para o desenvolvimento da conserva¸cão de massa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
p. 28
p. 30
(a) Fluxo bifásico em um tubo capilar com comprimento d e raio r. (b)
Representação geométrica da interface curva com o ângulo de contato θ
e curvatura principal R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
p. 32
Pressão capilar como função da posição da interface no tubo. No meio
do tubo a pressão capilar atinge seu valor máximo, chamado de pressão
limiar, e igual a 4γ/r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 34
8
”Diagrama de fase”de Lenormand em escala logaritma com a razão da
viscosidade m no eixo x e o número capilar Ca no eixo y. Isso mostra
os três principais regimes de escomento bifásico (viscous fingering, stable
displacement e capillary fingering) obtidos por Lenormand et al. [26]. .
9
p. 35
Estruturas das regiões de invasão obtida por simulação nos regimes de
viscous fingering (a esquerda), stable displacement (no centro) e capillary
fingering (a direita). O número capilar e a razão da viscosidade nessas
simulações foram, respectivamente: Ca = 4.6x10−3 e m = 1.0x10−3 ; Ca
= 4.6x10−3 e m = 1.0x102 ; Ca = 4.6x10−5 e m = 1.0. Figuras tiradas da
referência [27]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Distribuição de probabilidade dos tempos de breakthrough obtido pela
Teoria de Percolação. Gráfico tirado da referência [30]. . . . . . . . . .
11
p. 37
p. 39
Gráfico log-log da produção de óleo versus o tempo normalizado pelo
tempo de breakthrough para uma rede quadrada de tamanho L = 1024,
no ponto crı́tico de percolção com diferente distância (r) entre os poços.
No gráfico λ = L/r. Gráfico tirado da referência [31]. . . . . . . . . . .
12
p. 40
Esquema ilustrativo do modelo de Percolação Invasiva sem aprisionamento em uma rede quadrada com L = 4. A invasão começa na borda
esquerda da rede e os sı́tios de crescimento são aqueles cujo valor de ri é
mostrado em vermelho. Em cada passo de tempo o sı́tio na interface que
possui menor valor de ri é invadido pelo fluido. Esse processo tem continuidade até que o fluido alcance a borda direita da rede. Nas bordas
superior e inferior são aplicadas condições de contorno periódicas. No
tempo t = 3, uma avalanche ocorre porque o tamanho do sı́tio invadido,
0.6, é maior do que o tamanho dos outros sı́tios já invadidos no agregado,
0.5 e 0.4. Nos tempos t igual a 4 e 5, outras duas avalanches acontecem.
13
p. 42
Vista superior do reservatório mostrando os valores da porosidade (acima)
e os da permeabilidade (abaixo) em uma realização. O valor da porosidade em cada célula é calculado aleatoriamente através de uma distribuição uniforme entre 0.02 e 0.33 [3]. Essa distribuição de porosidade
corresponde as encontradas em rochas cálcarias. A permeabilidade em
cada célula é calculada, em milidarcy, usando a equação Carman-Kozeny
(Eq. 2.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 45
14
Frente de propagação da água no reservatório desordenado da realização
referente à Figura 13. Cada quadro mostra as linhas de iso-saturação em
tempos diferentes, onde r = 16 e m = 1. (a) Antes de ocorrer o breakthrough; (b) No momento do breakthrough; (c) Depois do breakthrough,
quando a frente de água toca as paredes do reservatório; (d) Para tempos
muito grandes a água invade o reservatório inteiro. . . . . . . . . . . . .
15
p. 48
O mesmo que na Figura 14, mas aqui m = 100. Os quadros com a mesma
letra, em ambas as figuras, então no mesmo tempo. Quando m = 100,
o tempo de breakthrough ocorre mais cedo do que quando m = 1. Para
este caso, as linhas de iso-saturação são mais distantes uma das outras.
Isto significa que quanto maior o valor de m menos abrupta é a interface
óleo-água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
p. 49
Gráfico log-log de C(t) versus o tempo para r = 4, 8, 16 e 32, quando m
=1 (gráfico superior). Inicialmente, quando somente óleo é produzido, as
curvas são iguais a 1. Depois disso, percebe-se claramente duas regiões
de leis de potência separados por um crossover. A primeira região com
expoente -1/3 e a segunda região com -5/2. O crossover é um efeito de
tamanho finito, quando a frente de água encontra a parede do reservatório
(ver Figuras 14 e 15). Quanto maior r, mais cedo ocorre o crossover e
menor é a primeira região. O gráfico inferior mostra as curvas C(t) para
m = 100.
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 50
Gráfico log-log de C(t) versus o tempo para m = 1, 10 e 100 e r = 4
(gráfico superior). Isto mostra que quando m cresce tcr também cresce.
Isso é mostrado nas Figuras 14 e 15. O gráfico inferior mostra o colapso
das curvas C(t) rescalonado por m−0.85 versus o tempo rescalonado por
m. Quando m é maior do que 1 as curvas de produção logo após o
breakthrough caem rapidamente antes de colapsar com as curvas quando
m = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
p. 51
Acima: gráfico log-log do tempo de breakthrough tbr rescalonado por
m−1/4 versus r para m = 1, 10 e 100. Inferior: gráfico log-log de tbr
rescalonado por r1.8 versus m para r = 4, 8, 16 e 32. Isso mostra que tbr
∝ r1.8 m−1/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 52
19
Reservatório 32x32x1 mostrando as células numéricas e a região invadida pela água (em cinza escuro). Esquerda: Reservatório sem refinamento. A célula numérica é igual à célula fı́sica. Direita: O mesmo
reservatório, mas agora cada célula numérica é dividida em outras quatro células menores. Podemos ver, claramente, que a região invadida é
maior quando refinamos o reservatório. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
p. 54
O mesmo que na Figura 19, mas aqui o reservatório é 100x100x1 com r
= 16 e m = 1. As linhas de contorno de cada célula foram omitidas da
figura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
p. 55
Gráfico log-log C(t) versus tempo para os reservatórios na Figura 20. O
gráfico mostra as curvas de produção para o reservatório sem refinamento,
refinamento em 4 (primeiro refinamento) e em 9 (segundo refinamento)
outras células numéricas. Nesta figura m = 1 e r = 4. As curvas C(t)
para o primeiro e o segundo refinamento são basicamente as mesmas. O
inset mostra o erro percentual versus tempo. O erro é calculado entre o
C(t) sem refinamento e o C(t) do primeiro refinamento. A curva do erro
rapidamente cresce mantendo seu valor em, aproximadamente, 15%. . .
22
p. 56
Gráfico log-log de C(t) versus o tempo para r = 4, 8, 16 e 32, quando m =
1 (gráfico superior). Inicialmente, quando somente óleo é produzido, as
curvas são iguais a 1. O comportamento para este caso é semelhante ao
caso homogêneo, porém, uma segunda região não foi encontrada devido
ao custo computacional. O gráfico inferior mostra as curvas C(t) para m
= 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
p. 57
Gráfico log-log de P (t) versus o tempo para m = 1, 10 e 100 com r = 4,
8, 16 e 32. As curvas colapsam mostrando um comportamento universal
em lei de potência com expoente -1.8.
24
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 58
Acima: gráfico log-log detbr rescalonado por m−1/5 versus r para m =
1, 10 e 100. Inferior: gráfico log-log de tbr rescalonado por r versus
logaritmo de m para r = 4, 8, 16 e 32. Isso mostra que o tempo de
breakthrough carrega unidades de rm−1/5 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 59
25
Esquema ilustrativo do método de combustão in situ. Esse método é um
tipo de processo térmico no qual um gás contendo oxigênio é injetado no
reservatório a fim de aumentar a temperatura do óleo pela sua queima.
A figura mostra as diferentes regiões desse processo. A combustão fica
restrita a uma zona estreita (zona 3). Atrás dessa zona, temos a região
já queimada de óleo e a frente dela, o óleo cru é aquecido pelo aumento
de temperatura vinda da zona de combustão. . . . . . . . . . . . . . . .
26
p. 61
Esquema de rede de poros em uma estrutura diamante com 4x4 nós (L
= 4). Uma diferença global de pressão e temperatura são aplicadas na
direção horizontal. O fluido invasor é então injetado no lado esquerdo
da rede. Na parte superior e inferior empregam-se condições de contorno
periódicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
p. 62
Esquema ilustrativo representando um menisco alcançando um nó. O
fluido invasor, então, entra a uma distância δ Nos itens (c) e (d), o fluido
defensor alcança o nó e este agora passo pelo mesmo procedimento entrando nos tubos vizinhos. Quando um menisco entra nos tubos vizinhos
contendo outros dois meniscos, como no item (f), a bolha se junta ao
menisco deixando um único menisco, item (g). . . . . . . . . . . . . . .
28
p. 65
Formação de penetração do fluido invasor no momento do breakthrough
para nove conjuntos de parâmetros para o caso da razão da viscosidade
finita. De cima para baixo temos: B = 7, 5 e 3. Da esquerda para a
direita temos: ∆T = -4, 0 e 4. Com L = 80. . . . . . . . . . . . . . . .
29
p. 68
Perfil da saturação do fluido invasor versus direção de injeção no momento do breakthrough para o caso da razão da viscosidade finita. As
curvas no gráfico superior foram feitas para vários valores de ∆T (= 4, -3, -2, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 2, 3 e 4) com B = 5. No gráfico inferior,
mostramos as curvas para B = 3, 5 e 7 quando ∆T = 4. . . . . . . . .
30
p. 69
No gráfico superior mostramos a porcentagem do volume recuperado de
óleo versus ∆T para diferentes valores de B para o caso da razão da viscosidade finita. No gráfico inferior mostramos que para o caso isotérmico
a seguinte relação é válida: R0 (%)B 0 = R”(%)B”. . . . . . . . . . . . .
p. 70
31
Formação de penetração do fluido invasor no momento do breakthrough
para o caso da razão da viscosidade infinita. Da esquerda para a direita:
∆T = -4, 0 e 4. Com B = 5 e L = 256. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
p. 73
Formação de penetração do fluido invasor no momento do breakthrough
para o caso da razão da viscosidade infinita. Da esquerda para a direita:
B = 1, 3 e 5. Com ∆T = 4 e L = 256. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
p. 73
Perfil da saturação do fluido invasor versus direção de injeção no momento do breakthrough para o caso da razão da viscosidade infinita. As
curvas no gráfico superior foram feitas para vários valores de ∆T (= 4, -3, -2, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 2, 3 e 4) com B = 5. No gráfico inferior,
mostramos as curvas para B = 3, 5 e 7 quando ∆T = 4. . . . . . . . .
34
p. 74
No gráfico superior mostramos a porcentagem do volume recuperado de
óleo versus ∆T para diferentes valores de B para o caso da razão da
viscosidade infinita. No gráfico inferior mostramos que essas curvas são
colapsadas obedecendo a Eq. 3.11.
35
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 75
Esquema ilustrativo do modelo de Percolação Invasiva sem aprisionamento com endurecimento na interface em uma rede quadrada com L =
4. A invasão começa na borda esquerda da rede e os sı́tios de crescimento
são aqueles cujo valor de pcap é mostrado em vermelho. Esse processo
segue os mesmos critérios que o PI padrão, porém, neste caso as pressões
dos sı́tios na interface são elevadas quando ocorrem avalanches. Nesse
exemplo, uma avalanche ocorre no tempo t = 3 porque o tamanho do
sı́tio invadido, pn = 0.6, é maior do que o maior sı́tio no agregado, pm
= 0.5. Nesse momento, todos os sı́tios na interface tem a pressão aumentada por α(0.6 - 0.5). Em t = 4, outra avalanche ocorre, mas agora
as pressões são aumentadas por α(0.7 - 0.6). Se algum sı́tio na interface
tiver sua pressão elevada até 1 ou maior, então, esse sı́tio se torna um
pino e não pode ser mais invadido. Por simplicidade, α = 1 nesse exemplo. p. 80
36
Estruturas de invasão do fluido invasor no momento do breakthrough para
quinze conjuntos de parâmetros. De cima para baixo temos: Bo = 10−3 ,
10−4 , 0, -10−4 , -10−3 . Da esquerda para a direita temos: α = 0, 0.5, 5.0.
Para um tamanho de rede L = 512. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 82
37
Realização para o caso de Bo positivo com L = 128 mostrando a superfı́cie na cor verde e o seu valor médio na cor vermelha. . . . . . . . .
38
Rugosidade da frente de invasão, σ, no momento do breakthrough versus
Bo com diferentes valores de α mostrando que σ ∝ Bo−0.54 . . . . . . . .
39
p. 84
p. 85
Dimensão fractal da frente de invasão calculada pelo método de ”counting
box”para diferentes valores de α. De cima para baixo temos: Bo = 10−1 ,
10−2 , 10−3 e 10−4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
p. 86
Massa do agregado, M , versus o tamanho da rede, L, com diferentes
valores de α. Aqui mostramos que a dimensão fractal não é afetada pelo
efeito de endurecimento no caso onde o empuxo está ausente. . . . . . .
41
p. 87
Realização para o caso de Bo negativo com L = 128 onde mostramos os
sı́tios com coordenada x menor do que 10% de L na cor cinza, esses sı́tios
não são considerados para o finger percolante que está representado na
cor verde. A regressão linear dos sı́tios que formam esse finger é colocado
na cor vermelha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Densidade linear do finger percolante, Sf , versus |Bo| com diferentes
valores de α, mostrando que Sf ∝ |Bo|−0.47 . . . . . . . . . . . . . . . .
43
p. 88
p. 89
Comprimento do finger percolante, hf , versus a massa do finger, Mf ,
com diferentes valores de α. De cima para baixo: Bo = -10−1 , -10−2 ,
-10−3 e -10−4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
p. 90
Espessura do finger percolante, wf , versus a massa do finger, Mf , com
diferetens valores de α. De cima para baixo: Bo = -10−1 , -10−2 , -10−3 e
-10−4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 91
19
INTRODUÇÃO
O escoamento em meios porosos é um tópico abordado por inúmeros ramos de engenharia e ciência, dentre eles podemos citar o estudo de águas subterrâneas, engenharia de
reservatório, mecânica dos solos e engenharia quı́mica. Neste capı́tulo de introdução vamos mostrar duas aplicações desse processo, com suas respectivas motivações, que foram
abordadas nesta tese. Começamos com uma breve introdução sobre a história do petróleo
e os atuais métodos de recuperação. Posteriormente, faremos uma explanação sobre fluidos adesivos em meios porosos, e por fim descreveremos os trabalhos desenvolvidos nos
capı́tulos posteriores.
0.1
Recuperação de Óleo em Reservatórios de Petróleo
O petróleo é um produto bastante conhecido e que vem sendo usado pela humanidade
há muito tempo, sendo citado historicamente com diferentes nomes e aplicações, dependendo da época e do local onde o usavam. Além de betume e asfalto, ele foi também
chamado de alcatrão, lama, resina, azeite, nafta da Pérsia e até de “óleo de são Quirino“.
Segundo a Bı́blia, Noé calafetou sua Arca com asfalto, material usado na Antiguidade
para essa e outras finalidades em várias regiões do Oriente Próximo. No Egito, era usado
para embalsamar os mortos e calafetar pirâmides. Foi usado ainda como medicamento no
século 19. Depois, com o refinamento desse produto, surgiram várias outras aplicações
como por exemplo sua utilização na iluminação pública. Hoje em dia, o petróleo e seus
derivados são desdobrados em mais de 6 mil produtos que vai do copinho de café à gasolina
usada no carros [1].
Antigamente, todo o petróleo consumido era oriundo de reservatórios rasos, que brotavam na superfı́cie, nos quais quase nenhuma técnica ou esforço era necessária para a
extração. Foi somente no século 19, quando a procura por esse produto começou a ficar
maior do que a oferta, que novas técnicas foram desenvolvidas para a extração do óleo
em reservatórios mais profundos. Para isso, novas empresas especializadas foram criadas
e desde então a busca por uma maior quantidade de óleo retirado e um maior alcance em
reservatórios de difı́cil acesso não parou [2].
0.1 Recuperação de Óleo em Reservatórios de Petróleo
20
Tabela 1: Classificação dos Métodos de Recuperação [3].
Métodos de Recuperação
Primário
usa pressão do próprio reservatório
Secundário
injeção de água ou de gás
Terciário
Processos quı́micos
Processos miscı́veis
Processos térmicos
Um dos primeiros métodos desenvolvidos, e que ainda hoje é usado, consiste em perfurar um poço até o reservatório. Como a pressão dentro do reservatório é bem maior do
que na superfı́cie, isso faz com que o óleo seja levado à superfı́cie. Esse é conhecido como
método de recuperação primário porque a própria energia do reservatório se encarrega de
expulsar o petróleo [3]. A produção por esse método se dá até a pressão do reservatório
se estabilizar com a pressão atmosférica. Na recuperação primária, geralmente, a quantidade de óleo retirada é pequena quando comparada à quantidade original de óleo no
reservatório.
Como um complemento ao método de recuperação primário, existem as recuperações
secundárias e terciárias, onde energia externa ao reservatório é utilizada para aumentar a
produção. Destaca-se que não é necessário aplicar o método secundário antes do terciário,
pois serão as caracterı́sticas do reservatório e dos fluidos presentes que irão definir qual
melhor método a ser aplicado.
No método de recuperação secundário, poços injetores são furados para injeção de
água, ou gás, no reservatório aumentando a pressão interna. Esse processo é basicamente
isotérmico e é governado, principalmente, por forças viscosas e de tensão interfacial [3, 4].
Esse método é bastante eficiente quando o óleo no reservatório é do tipo leve (baixa
viscosidade e densidade volumétrica). Nos casos onde o reservatório não tem conexão
com um aquı́fero, a produção de óleo é determinada pela ruptura do fluido injetado no
poço produtor. O tempo em que isso ocorre e o comportamento da produção do óleo
depois disso são importantes para o volume acumulado de óleo retirado, pois, em geral,
um poço continua aberto até que a taxa de produção de óleo cai para, aproximadamente,
0.2 Escoamento de Fluidos Adesivos em Meios Porosos
21
30 ou 10% da mistura extraı́da neste poço.
Os métodos de recuperação terciários são aqueles que não são classificados nem como
primários nem como secundários e, em geral, podem ser separados em três processos:
quı́micos, miscı́veis e térmicos. No primeiro deles, compostos quı́micos (usualmente surfatantes) são injetados para diminuir a tensão interfacial entre as fases (oleosa, aquosa1
e gasosa). Isso reduz a saturação residual do óleo para que mais óleo possa ser recuperado; nos processos miscı́veis são injetados gases que são miscı́veis com o óleo, a mistura
óleo-gás é menos viscosa do que o óleo sozinho; e nos processos térmicos a intenção é
elevar a temperatura do reservatório (aumentando também a pressão) pela injeção de um
fluido quente (geralmente água quente ou vapor) para diminuir a viscosidade do óleo o
que facilita a sua recuperação [5, 6].
O petróleo ainda no reservatório é chamado de óleo cru. Esse óleo é uma mistura
de hidrocarbonetos cuja composição exata é difı́cil de determinar. É comum chamar
os hidrocarbonetos de cadeia mais longas, do óleo cru, de óleo pesado, e os de cadeia
mais curta de óleo leve. Sendo que, dependendo do reservatório, o óleo pode ser mais
predominantemente pesado ou leve. Isso depende basicamente do local do reservatório e
dos processos iniciais de sua formação. Conhecer qual tipo de óleo está no reservatório é
fundamental para o desenvolvimento de um projeto de recuperação adequado.
0.2
Escoamento de Fluidos Adesivos em Meios Porosos
Outra aplicação de interesse industrial é o escoamento de um fluido adesivo em meios
porosos. As pesquisas variam em assunto e escala, indo desde resina para prótese dentárias
[7, 8] até o uso de cola em madeira [9]. Conhecer a forma como a frente de invasão de
tais fluidos penetra no meio é importante para aumentar a eficiência da aderência.
No caso das próteses é importante saber como a adesão de biomateriais restauradores
(resina, por exemplo) em estruturas dentárias pode ser forte e duradoura, a fim de evitar
microinfiltrações, pigmentações e incidências de cáries recorrentes. Na Figura 1, são apresentadas fotomicrografias da interface dentina-resina obtidas através de um microscópico
eletrônico de varredura. Isso mostra que a resina se prolonga para o interior da dentina
em foma de longas caudas [7].
Em geral, esses processos são difı́ceis de serem estudados por existirem vários fenômenos
1
Na engenharia de petróleo é comum separar a fase lı́quida nas fases oleosa e aquosa não só por terem
propriedades fı́sicas e quı́micas bastante diferentes, mas também pelo interesse comercial na fase oleosa.
0.3 Trabalhos Abordados na Tese
22
Figura 1: Imagem obtida por um microscópico eletrônico de varredura mostrando a resina
penetrando na superfı́cie dentária [7].
presentes, como difusão, dependência com a temperatura etc. Um experimento simplificado de um sistema simples de cola em um meio granular foi realizado a fim de entender
como os efeitos de endurecimentos influenciam no escoamento (Figura 2). O experimento
mostra o resultado da penetração de um tipo de cola para madeira em areia [10]. O
aumento na viscosidade da cola se dá através de reações quı́micas na interface, devido ao
contato com o ar, fazendo com que o endurecimento da cola se dê de fora para dentro.
Uma estrutura acrı́lica de 23x0.6x17 cm (LxExA) foi montada com o intuito de criar um
meio quasi-bidimensional. Entre as placas foi colocada areia de granulometria média de
400 µm. Uma rede com espaçamento inferior a granulometria da areia era posta por baixo
do sistema a fim de deixar a areia suspensa e permitir a saı́da de ar. Em seguida uma
camada de cola de aproximadamente 3 cm era adicionada sobre a de areia, cuja penetração se dava somente devido a presença de gravidade. O experimento prosseguia até o
endurecimento da cola. O que está apresentado na figura é a estrutura de penetração da
cola juntamente com os grãos que foram colados. A parte da areia que não foi atingida
pela frente de penetração foi removida.
0.3
Trabalhos Abordados na Tese
Esta tese trata de três trabalhos distintos, dois deles sobre a produção de óleo e o
terceiro sobre o escoamento em meios porosos de um fluido adesivo, cuja interface sofre
um efeito de endurecimento, similar ao comportamento de uma cola.
0.3 Trabalhos Abordados na Tese
23
Figura 2: Experimento de penetração de cola para madeira escoando em um meio granular
com granulometria média 400 µm. O escoamento se dá somente pela atuação da gravidade.
O experimento prossegue até o endurecimento da cola. O que está apresentado na figura
é a estrutura de penetração da cola juntamente com os grãos que foram colados [10].
No primeiro trabalho desta tese investigamos o comportamento qualitativo da produção
secundária de óleo de um reservatório. O reservatório é delgado visto que em campos de
petróleo os reservatórios são, em geral, muito mais largos do que profundos. Para descrever
a dinâmica das fases e a taxa de óleo produzido foi usado o simulador comercial STARS
do CMG que resolve as equações de conservação da massa no meio poroso macroscópico
utilizando a lei de Darcy. É investigada a influência da distância entre os poços, r, e
da razão entre as viscosidades, m, no tempo de ruptura e no comportamento da taxa de
produção do óleo.
A segunda parte dessa tese será voltada ao estudo do escoamento e produção de
óleo em escala microscópica quando o reservatório sofre a influência de um gradiente de
temperatura. Esse estudo está voltado para a produção terciária de óleo. O meio poroso
é representado por uma rede de tubos e as equações de fluxo são resolvidas através de
um programa computacional. O comportamento de penetração do fluido invasor e o
percentual de recuperação são investigados variando esse gradiente de temperatura e as
propriedades fı́sico-quı́micas do óleo que controlam a dependência da viscosidade com a
temperatura.
0.3 Trabalhos Abordados na Tese
24
Na terceira e última parte da tese é apresentado um modelo de percolação invasiva
modificado a fim de se estudar o comportamento de um fluido escoando em meios porosos
cuja interface sofre um efeito de endurecimento. Consideramos os efeitos gravitacionais
atuando nos fluidos em três regimes de escoamento segundo o Bond number. Em cada um
desses regimes verificamos o comportamento da frente de penetração variando o efeito de
endurecimento.
A tese está organizada da seguinte maneira. No capı́tulo 1, uma breve formulação
teórica de escoamentos bifásicos em meios porosos é apresentada. Mostramos modelos
tanto determinı́sticos (neste caso macroscópico e microscópico) quanto estatı́sticos que
servirão como base para o restante dessa tese. No capı́tulo 2, é apresentado o trabalho
sobre o comportamento de produção secundária do óleo em reservatórios delgados. No
capı́tulo 3, abordamos o processo de recuperação térmica em escala microscópica. No
capı́tulo 4, estudamos o escoamento de um fluido com endurecimento interfacial em meios
porosos.
25
1
ESCOAMENTO EM MEIOS
POROSOS
Neste capı́tulo, pretendemos revisar alguns conceitos de escoamento em meios porosos.
Nas seções que seguem são apresentados tanto modelos determinı́sticos quanto estatı́sticos
de escoamento que servirão de base teórica para os problemas abordados nesta tese. Na
primeira seção, falaremos sobre o escoamento de fluidos em reservatórios, começando
com uma breve descrição do meio poroso e depois uma explicação sobre a lei de Darcy.
O escoamento multifásico é, então, abordado mostrando os conceitos de permeabilidade
relativa e molhabilidade. Na seção 1.2, trataremos do escoamento bifásico em escala
de poro, mostrando os efeitos capilares e a lei de Washburn de escoamento num tubo
capilar. Mostraremos também o ”diagrama de fase”de Lenormand onde estão presentes
os diferentes regimes de escoamento. Na seção 1.4, falaremos sobre a utilização da Teoria
de Percolação para prever a recuperação de óleo em reservatórios de petróleo. E por fim,
na seção 1.5, abordaremos a Teoria da Percolação Invasiva.
1.1
1.1.1
Escoamento em Reservatórios
O Meio Poroso
Quando pensamos em um meio poroso, o solo e uma simples esponja de cozinha
são, provavelmente, os primeiros exemplos que nos vem a cabeça. Porém, apesar de
serem bastante comuns, os meios porosos são extremamente complexos, e diferem entre
si porque suas caracterı́sticas dependem do material constituinte e de suas condições de
formação. Por isso, é quase impossı́vel que dois meios porosos sejam iguais.
Um meio poroso consiste, basicamente, de uma matriz sólida cheia de espaços vazios,
denominados poros, onde os fluidos estão alojados. Esses poros podem estar conectados
uns aos outros por canais que permitem o escoamento dos fluidos. No caso do solo a
matriz é composta por fragmentos minerais e matéria orgânica [11]. Como exemplo de
1.1 Escoamento em Reservatórios
26
meios porosos também podemos citar as rochas reservatórios. Estas podem conter vários
tipos de fluidos nas fases oleosa, gasosa e/ou aquosa. Tais rochas são em geral sedimentares
(arenito ou calcário, por exemplo), e dependendo dos fluidos em seu interior podem ser
classificadas como aquı́feros, reservatórios de petróleo etc.
Duas propriedades muito importantes dos meios porosos são a porosidade, φ, e a
permeabilidade, k. A porosidade, por definição, é a razão entre o volume dos espaços
vazios e o volume total do meio, ou seja,
volume total dos poros
.
volume da rocha
Portanto, a porosidade varia entre 0 e 1.
φ=
(1.1)
A permeabilidade, por sua vez, nos dá uma informação de como esses espaços vazios
estão conectados. Essa é uma quantidade que depende somente da geometria e é frequentemente chamada de permeabilidade absoluta [12]. Ela descreve a habilidade de uma
determinada fase escoar pelos canais entre os poros. Logo mais, falaremos sobre o conceito
de permeabilidade relativa, que ocorre quando duas ou mais fases escoam juntas num meio
poroso. Uma relação geral entre φ e k tem sido procurada por vários pesquisadores ao
longo dos anos [2]. Porém, sabe-se atualmente que a forma dessa relação depende fortemente do tipo de material da matriz, podendo ter uma dependência tanto exponencial
quanto em lei de potência [13, 14, 15].
1.1.2
Lei de Darcy
O escoamento de fluidos em meios porosos foi estudado por Henry Darcy em 1856
[16, 17]. Em seus experimentos, Darcy observou que a velocidade da água, ao passar por
uma amostra porosa, era proporcional ao gradiente de pressão, ∇p, ao qual a amostra
estava submetida [12]. Com alguns testes foi possı́vel verificar que a constante de proporcionalidade dependia da permeabilidade do meio poroso, k, e do inverso da viscosidade
do fluido, µ. Portanto, a fórmula da velocidade média, que leva o nome de Darcy, pode
ser escrita como
k
v = − ∇p,
(1.2)
µ
onde os efeitos gravitacionais foram desprezados e o sinal negativo indica que o escoamento
segue para as regiões de menor pressão. A equação acima é válida para um meio poroso
macroscópico, sendo a velocidade definida em uma região muito maior do que o tamanho
1.1 Escoamento em Reservatórios
27
Figura 3: Esquema ilustrativo da interface de dois fluidos, em equilı́brio, sobre uma
surperfı́cie horizontal. O ângulo de contato θ entre a superfı́cie e a interface da gota
define a molhabilidade. Na figura da esquerda, 0 ≤ θ ≤ 90, o fluido da gota é a fase
não-molhante. Já na figura da direita, 90 ≤ θ ≤ 180, ele é a fase molhante.
dos poros.
1.1.3
Escoamento Multifásico
Quando há mais de uma fase escoando simultaneamente em um meio poroso haverá
uma competição entre as fases no escoamento. Isso acontece porque cada uma delas
tem uma caracterı́stica de aderência aos sólidos, chamada de molhabilidade (ver Figura
3). Quando duas fases estão em contato com um mesmo sólido uma delas será mais
aderente do que a outra, portanto, molhará mais o sólido. A essa fase dá-se o nome de
”molhante”e a outra de ”não-molhante”. Essa propriedade ocorre devido as interações
moleculares entre os dois fluidos e o sólido. As moléculas da fase ”molhante”se atraem
mais fortemente com as moléculas do sólido do que aquelas da fase ”não-molhante”. Se
três fases escoam pelo mesmo meio, então a molhabilidade será definida para cada par
de fluidos. Por exemplo, em um sistema contendo óleo, água e gás, o par óleo-água terá,
geralmente, a água como fase molhante, porém, no par gás-óleo o óleo será a fase molhante.
Normalmente, quando um gás é comparado a um lı́quido ele é a fase não-molhante.
Ao realizar a experiência de Darcy com duas ou mais fases, uma nova permeabilidade,
chamada de permeabilidade efetiva, é encontrada para cada fase f cuja velocidade é, então,
reescrita da seguinte forma,
vf = −
f
kef
∇p,
µf
(1.3)
f
onde kef
é a permeabilidade efetiva da fase, e µf é a sua viscosidade. Enquanto a perme-
abilidade absoluta é uma propriedade somente da rocha, a permeabilidade efetiva depende
somente da fração volumétrica ocupada pela fase (chamada de saturação) [18].
1.1 Escoamento em Reservatórios
28
Saturação do óleo (S )
o
0.8
0.6
0.4
0.2
0.4
0.6
0.8
Permeabilidade Relativa
1.0
0.8
0.6
0.4
água
0.2
óleo
0.0
0.2
Saturação da água (S )
a
Figura 4: Curvas das permeabilidades relativas da água e do óleo versus a saturação da
água. Geralmente, em um sistema óleo-água em meios porosos, a água é a fase molhante.
Perceba que existe uma saturação residual da fase não-molhante (óleo), aproximadamente igual a 35%, que ficará no reservatório independentemente da pressão aplicada.
Lembrando que a soma das saturações é sempre igual a 1 (So + Sa = 1).
f
A razão entre a permeabilidade efetiva e a permeabilidade absoluta, kef
/k, é chamada
de permeabilidade relativa, krf . Finalmente, reescrevendo a equação de Darcy para cada
fase, em termos de krf , temos
vf = −
kkrf
∇p.
µf
(1.4)
Para o sistema óleo-água, o formato das curvas de permeabilidade relativa é mostrado
na Figura 4. A água ao ser injetada no reservatório, para empurrar o óleo, inicialmente
tende a ocupar os menores poros, que não contribuem muito para o escoamento, por
isso, a permeabilidade relativa da água (curva de cor preta na Figura 4) é zero até um
determinado valor da saturação, em seguida, quando começa a ocupar os poros maiores sua
permeabilidade relativa aumenta e a água passa a ter velocidade, esse ponto é chamado de
saturação connate. O óleo, por outro lado, tem permeabilidade relativa igual a 1 quando
há somente óleo (permeabilidade efetiva igual a permeabilidade absoluta) e diminui com
a saturação da água até chegar a zero em um certo valor onde ainda há uma quantidade
1.1 Escoamento em Reservatórios
29
razoável de óleo. Essa quantidade de óleo alojada no reservatório, em torno de 35%
do volume inicial de óleo no caso da Figura 4, é chamado saturação residual e é uma
quantidade muito importante para a recuperação secundária de óleo, pois, significa o
quanto de óleo ficará preso no reservatório, independente do gradiente de pressão aplicado.
No caso da Figura 4, usamos uma representação analı́tica para as curvas de permeabilidade relativa, frequentemente usadas em simulações de reservatórios contendo óleo e
água [19], são elas:
·
kro
kra
¸
1 − Sa − Soc no
=
,
1 − Sac − Soc
·
¸na
Sa − Sac
= (kra )Soc
,
1 − Sac − Soc
(kro )Sac
(1.5)
(1.6)
onde:
(kro )Sac = 0.85 é permeabilidade relativa do óleo na saturação connate da água;
(kra )Soc = 0.4 é permeabilidade relativa da água na saturação crı́tica do óleo;
Sac = 0.25 é a saturação connate da água
Soc = 0.35 é a saturação crı́tica do óleo;
no = 0.9 e na = 1.5 são expoentes das curvas de permeabilidade relativa.
1.1.4
Conservação da Massa
Nesta subseção, iremos desenvolver, brevemente, a conservação da massa de fluidos
multifásicos escoando em meios porosos macroscópicos, quando os poros têm tamanho
muito menor do que o tamanho caracterı́stico do sistema. Essa aproximação é bastante
usada em simulação de reservatórios.
A conservação, ou balanço, de massa pode ser plicada tanto para cada componente
quı́mico (por exemplos, CH4 , H2 O, O2 , CO2 etc) quanto para cada elemento quı́mico
(C, H, O, N etc). Em simulação de reservatórios de petróleo, geralmente, escreve-se a
conservação da massa para cada componente quı́mico, porque não se conhece com certeza
a composição quı́mica do óleo.
Os princı́pios de conservação aplicam-se não somente a qualquer fluido, mas também
a qualquer região do espaço sujeito à restrição da aproximação do contı́nuo [20]. Portanto,
vamos usar um Volume de Controle (VC) onde serão definidas as propriedades dos fluidos. VC é qualquer volume do meio de tamanho e forma arbitários e diferenciável sendo
1.1 Escoamento em Reservatórios
30
Dz
Dy
Dx
Figura 5: Elemento infinitesimal do meio poroso macroscópico para o desenvolvimento da
conserva¸cão de massa.
sua surperfı́cie chamada de Superfı́cie de Controle (SC). Para um VC fixo, chamado de
descrição euleriana [21, 22, 23], a equação de conservação pode ser escrita da seguinte
forma geral





 
 
 

quantidade 
quantidade de
 quantidade 




 

 

de massa que − de massa que + massa criada por





 

 


entra em V C   sai do V C   f ontes no V C









=









quantidade de
massa acumulada  .



no V C
(1.7)
Os dois primeiros termos dessa relação referem-se ao fluxo de massa que atravessa
o VC. O terceiro termo refere-se à quantidade de massa ”criada”por poços injetores ou
”consumida”por poços produtores, neste último caso o sinal é negativo. Do lado direito
da equação, está o termo de mudança da massa com o tempo.
Considere que o Volume de Controle seja um elemento de volume infinitesimal do
meio poroso de tamanho ∆x∆y∆z, em coordenadas cartesianas, por onde escoam as
fases presentes em um dado sistema de fluxo (ver Figura 5). Por simplicidade, não vamos
levar em conta trocas de fase de nenhum componente quı́mico, e será considerado que
existe apenas um componente em cada fase.
O fluxo volumétrico total de massa por unidade de área que passa pelo VC é dado
pelo fluxo advectivo. Portanto, o primeiro e o segundo termos da Eq. 1.7 podem ser
escritos, matematicamente, como





1.1 Escoamento em Reservatórios
31






quantidade 







quantidade 



y
de massa que  = ∆y∆z∆tvfx ρf |x + ∆x∆z∆tvf ρf |y + ∆x∆y∆tvfz ρf |z ,






entra em V C 


y
de massa que  = ∆y∆z∆tvfx ρf |x+∆x + ∆x∆z∆tvf ρf |y+∆y + ∆x∆y∆tvfz ρf |z+∆z ,






sai em V C 
onde vfx ρf |x representa o valor médio de vfx ρf na face x do tubo.
O terceiro termo da Eq. 1.7 fica









quantidade de





massa criada por  = ṁf ∆x∆y∆z∆t,


f ontes no V C 
(1.8)
onde ṁf é a taxa de massa da fase f , por unidade de volume, devidos aos poços. Se, ao
invés de fonte, esse termo é um sorvedouro então o sinal é negativo.
O último termo da Eq. 1.7 refere-se à variação de massa, em um certo perı́odo de
tempo, no Volume de Controle, devendo-se considerar a porosidade e a saturação da fase.
Portanto, temos









quantidade de





massa acumulada  = ∆(φSf ρf )∆x∆y∆z,



no V C
(1.9)
onde φ é a porosidade do meio e Sf é a saturação da fase f . Então, φSf ρf é a massa por
unidade de volume da fase f .
Sistema óleo-água
Como um caso particular dessas equações, vamos considerar um sistema bifásico onde
os fluidos são óleo e água. Para esse sistema vamos substituir as Eqs. 1.8, 1.8 e 1.9 na
Eq. 1.7 e divididir toda a equação por ∆x∆y∆z∆t. Fazendo ∆x → 0, ∆y → 0, ∆z → 0,
∆t → 0 e usando os conceitos de derivada, temos
−∇· (ρo vo ) + ṁo =
∂(φρo So )
,
∂t
(1.10)
1.2 Escoamento Bifásico em Escala de Poro
32
Figura 6: (a) Fluxo bifásico em um tubo capilar com comprimento d e raio r. (b) Representação geométrica da interface curva com o ângulo de contato θ e curvatura principal
R.
−∇· (ρa va ) + ṁa =
∂(φρa Sa )
,
∂t
onde o operador nabla é usado para escrever a equa¸cão de uma forma fechada em 3
dimensões. vo e va são as velocidades das fases oleosa e aquosa, respectivamente, dadas
pela lei de Darcy.
1.2
Escoamento Bifásico em Escala de Poro
Um escoamento bifásico ocorre quando dois fluidos com propriedades fı́siso-quı́micas
diferentes se deslocam juntos. Ao alterarmos propriedades, como por exemplo tensão
superfı́cial e viscosidade, diferentes estruturas de escoamento serão formadas. Em função
da complexidade do escoamento de fluidos em geometrias desordenadas não são possı́veis
soluções analı́ticas, desta forma modelos computacionais foram desenvolvidos com o intuito de explicar os fenômenos observados nesses processos.
Quando esse escoamento acontece em escala microscópica, ou seja, quando um tamanho
caracterı́stico do sistema é da ordem do tamanho dos poros 1 , as forças viscosas e capilares
atuando nesses poros são muito relevantes. Matematicamente, o comportamento do fluxo
é semelhante ao descrito na lei de Darcy, subseção 1.1.2, mas ele é por definição diferente,
já que descreve o escoamento dentro de um único poro enquanto a lei de Darcy é definida
para um meio macroscópico contendo vários poros.
1
É importante lembrar que ainda estamos considerando a descrição macroscópica para os fluidos, ou
seja, o tamanho dos poros é muito maior do que o livre caminho médio das partı́culas dos fluidos.
1.2 Escoamento Bifásico em Escala de Poro
1.2.1
33
Pressão Capilar
Considere uma interface separando dois fluidos, um molhante e o outro não-molhante,
nos canais que ligam os poros do meio poroso. Devido às ligações quı́micas de cada fluido,
a pressão na interface do lado da fase não-molhante será maior do que a pressão no lado da
fase molhante. Isso gera uma descontinuidade de pressão na interface, chamada de pressão
capilar, pcap , e definida com sendo pcap = pnw - pw , onde pnw é a pressão na interface no
lado da fase não-molhante e pw é a pressão no lado da fase molhante. A pressão capilar
é responsável pelo encurvamento da interface.
Se aproximarmos os canais que ligam os poros por tubos cilindrı́cos de raio r (Ver
Figura 6), então a pressão capilar na interface é dada pela lei de Young-Laplace [16],
2γ
cosθ
(1.11)
r
onde γ é a tensão interfacial e θ é o ângulo de inclinação da interface em relação às paredes
pcap =
do canal. Esse ângulo de contato pode depender, no caso do canal cilı́ndrico, da posição
da interface no tubo. No inı́cio e no fim do tubo ela tem uma forma mais plana (θ é zero),
sendo mais curva à medida que se aproxima do meio do tubo. Esse efeito pode ser escrito
modificando a equação de Young-Laplace por
2γ
[1 − cos(2πx/d)]
(1.12)
r
onde x é a posição da interface no tubo e d é o comprimento do tubo. Isso mostra que a
pcap =
pressão capilar entre os dois fluidos muda com a posição da interface de forma senoidal,
tendo seu valor máximo no meio do tubo como sendo 4γ/r como mostrado na Figura 7.
Esse valor máximo é chamado de pressão limiar.
1.2.2
Escoamento em um Tubo Capilar
Assumindo, ainda, a aproximação do canal por um tubo cilı́ndrico, como o da Figura
6, o fluxo laminar, q, através desse tubo é dado pela equação de Hagen-Poiseuille [22],
πr2 k
(pr − pl ),
(1.13)
µd
onde pr e pl são as pressões nas pontas do tubo e a permeabilidade k de um tubo cilı́ndrico
q=−
é r2 /8.
34
Pressão capilar
1.2 Escoamento Bifásico em Escala de Poro
Posição da interface
Figura 7: Pressão capilar como função da posição da interface no tubo. No meio do tubo
a pressão capilar atinge seu valor máximo, chamado de pressão limiar, e igual a 4γ/r.
Esse fluxo é constante através de todo o tubo e aplicando Hagen-Poiseuille separadamente para os dois fluidos, temos
πr4
∆pnw ,
8xµnw
πr4
q = −
∆pw ,
8(x − d)µw
q = −
(1.14)
onde ∆pnw = pnw - pl é a diferença de pressão na fase não-molhante e ∆pw = pr - pw na
fase molhante.
A diferença total de pressão no tubo é
∆p = pr − pl = ∆pnw + ∆pw − pnw + pw = ∆pnw + ∆pw + pcap ,
(1.15)
Substituindo ∆pw e ∆pnw pelas Eqs. 1.14, temos
∆p =
8
[xµnw + (d − x)µw ]q + pcap ,
r2
(1.16)
O que nos dá a equação de Washburn [25] para fluxos capilares,
q=−
πr4
(∆p − pcap ),
8dµef
(1.17)
onde µef = xµnw + (d − x)µw é a viscosidade efetiva obtida por um regra de mistura
linear. Isso mostra que uma interface só consegue atravessar um tubo se a diferença de
pressão nas pontas do tubo for maior do que o valor de limiar, ou seja, ∆p > 4γ/r.
1.3 ”Diagrama de Fase”de Lenormand
35
Figura 8: ”Diagrama de fase”de Lenormand em escala logaritma com a razão da viscosidade m no eixo x e o número capilar Ca no eixo y. Isso mostra os três principais regimes
de escomento bifásico (viscous fingering, stable displacement e capillary fingering) obtidos
por Lenormand et al. [26].
1.3
”Diagrama de Fase”de Lenormand
Em escoamentos bifásicos de fluidos imiscı́veis, quando um fluido ”invasor”empurra
um outro ”defensor”, há três tipos principais de forças atuantes (desprezando a gravidade),
são elas: forças viscosas no fluido invasor, forças viscosas no fluido defensor e forças
capilares na interface entre os fluidos. Isso nos leva a dois números adimensionais de
fundamental relevância para a completa descrição dos fenônemos envolvidos no processo,
são esses:
• razão da viscosidade
• número capilar
m,
Ca .
A razão entre as viscosidades é definida por
m=
µD
,
µI
onde µD e µI são as viscosidades do fluido defensor e invasor, respectivamente.
(1.18)
1.3 ”Diagrama de Fase”de Lenormand
36
O número capilar é a quantidade que mede a razão entre as forças viscosas e as capilares. Considere um meio poroso cujos poros têm tamanho médio a. Microscopicamente,
a diferença de pressão ∆p, devido as forças viscosas, ao longo de um poro de tamanho
médio é obtido da equação de Darcy:
vµa
,
(1.19)
k
onde k é a permeabilidade local do poro, µ é a viscosidade do fluido e v é a velocidade
∆pv ∼
através do poro. Agora, assuma que o poro contenha uma interface entre as fases com
curvatura aproximadamente igual ao tamanho médio do poro. Então, da Eq. 1.11 temos
que a pressão capilar pcap , ou a diferença de pressão na interface, ∆pint , é
∆pint ∼
γ
,
a
(1.20)
onde γ é a tensão interfacial.
Supondo que a permeabilidade, k, depende de a2 , temos que número capilar é descrito
da seguinte forma,
∆pv
vµ
∼
,
(1.21)
∆pint
γ
que é a forma conhecida do número capilar, onde µ, por definição, é a viscosidade do
Ca =
fluido invasor [4].
Essas forças capilares atuam localmente nas interfaces dentro dos poros, enquanto
as forças viscosas atuam nos fluidos em qualquer escala. Portanto, a aleatoriedade local
das estruturas dos fluidos é causada pelas forças capilares enquanto o comportamento do
escoamento macroscópico é dominado pelas forças viscosas [24].
Em 1998, Lenormand et al. [26] apresentaram um ”diagrama de fase”resultado de seus
experimentos e simulações. Esse diagrama (Figura 8) consiste de um plano onde o número
capilar está no eixo x e a razão da viscosidade no eixo y. Eles definiram, nesse plano,
as regiões de diferentes regimes de invasão, que são: os dedos viscosos, o deslocamento
estável e os dedos capilares. Ou, como são mais conhecidos pelos seus nomes em inglês:
viscous fingering, stable displacement e capillary fingering, respectivamente.
Viscous Fingering
Em viscous fingering, a principal força é a força viscosa atuando no fluido defensor.
Esse processo é obtido pela injeção de um fluido com baixa viscosidade num meio poroso
1.3 ”Diagrama de Fase”de Lenormand
37
Figura 9: Estruturas das regiões de invasão obtida por simulação nos regimes de viscous
fingering (a esquerda), stable displacement (no centro) e capillary fingering (a direita). O
número capilar e a razão da viscosidade nessas simulações foram, respectivamente: Ca
= 4.6x10−3 e m = 1.0x10−3 ; Ca = 4.6x10−3 e m = 1.0x102 ; Ca = 4.6x10−5 e m = 1.0.
Figuras tiradas da referência [27].
saturado com outro de alta viscosidade, portanto m tem um valor muito alto. Os efeitos
capilares são desprezados porque a taxa de injeção é alta, portanto, nesse caso, Ca é
alto. As regiões invadidas pelo fluido que penetra no meio são formadas, tipicamente, por
estruturas que lembram dedos, ou fingers (daı́ o nome dessas estruturas). Esse regime é
apresentado no quadro a esquerda da Figura 9.
Stable Displacement
O stable displacement, é, basicamente, o caso oposto ao viscous fingering. A principal
força é a força viscosa no fluido invasor e este processo é obtido pela injeção de um fluido
de alta viscosidade num meio poroso saturado com outro de baixa viscosidade, portanto m
torna-se muito pequeno. Devido a alta taxa de injeção, as forças capilares são desprezadas.
As estruturas formadas têm uma frente de penetração mais compacta, quase plana, com
pequenos aglomerados do fluido defensor, como visto no quadro ao meio da Figura 9.
Capillary Fingering
Em capillary fingering, um fluido é injetado a uma baixa taxa de injeção com razão da
viscosidade, m, próxima a 1. Isso faz com que os efeitos capilares sejam mais relevantes
do que os viscosos. As estrutras observadas consistem em uma frente altamente rugosa
com grandes agregados do fluido defensor em seu interior, como mostrado no quadro a
1.4 O Uso da Teoria de Percolação na Recuperação de Óleo
38
direita da Figura 9.
1.4
O Uso da Teoria de Percolação na Recuperação
de Óleo
A Teoria de Percolação foi primeiramente desenvolvida por Broadbent e Hammersley [28] em 1957 com o objetivo de estudar um fluido escoando através de uma estrutura desordenada. O termo percolação faz referência a um modelo de desordem binária
onde a aleatoriedade está na distribuição de tipos de elementos numa rede, por exemplo, condutores ou isolantes [29]. Essa teoria tem sido bastante usada para simular
a recuperção secundária de óleo em reservatórios de petróleo, cujo processo consiste
na injeção de um fluido invasor (água, dióxido de carbono ou metano) no reservatório
atráves de poços injetores, com o intuito de empurrar o óleo preso para poços produtores
[30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37]. Para as companhias de extração é de fundamental importância prever o potencial recuperável de óleo. Estando esse relacionado ao tempo que
o fluido invasor leva para alcançar o poço produtor e ao comportamento das curvas de
produção de óleo.
O modelo de percolação consiste no processo de alocação de sı́tios com uma determinada probabilidade p de ocupação, ou condutância [38]. A probabilidade de um sı́tio ser
condutor é, então, dada por p e dele não ser por (1 - p). Se os sı́tios forem distribuı́dos
aleatoriamente numa rede, existe a possibilidade de diversos sı́tios condutores serem alocados próximos uns aos outros, ou seja, serem vizinhos e formarem um agregado. Esse
agregado deve ocupar uma região cada vez maior da rede à medida que essa probabilidade p aumenta. Em um determinado valor de probabilidade, pc , o agregado apresenta
ramificações que conseguem conectar, através desse aglomerado, os lados opostos da rede.
Neste ponto, caracteriza-se a formação de um agregado percolante. A condição de percolação é que, caso haja um transporte nesse agregado, esse não esteja confinado, ou seja,
que exista um agregado condutor que atravesse a rede. Na probabilidade crı́tica pc , o processo de percolação sofre uma transição de um estado apenas localmente conectado para
um estado onde a conexão se estende indefinidamente para toda a rede. Essa propriedade
do agregado percolante explica o emprego desse modelo quando se deseja, por exemplo,
estudar fenônemos de transporte em estruturas desordenadas.
Estudando o agregado percolante, verifica-se que seu comportamento está ligado à
probabilidade de ocupação, p. Uma caracterı́stica interessante é como a relação entre
1.4 O Uso da Teoria de Percolação na Recuperação de Óleo
39
Figura 10: Distribuição de probabilidade dos tempos de breakthrough obtido pela Teoria
de Percolação. Gráfico tirado da referência [30].
o aumento da massa (ou o número de sı́tios), M e o crescimento da rede L, muda para
diferentes valores de p. Quando p < pc , onde não há formação de um agregado percolante,
o estudo é realizado fazendo uso do agregado com maior número de sı́tios, aqui M (L, p)
cresce de forma logarı́tmica. Em seguida, para p = pc , há um crescimento de M (L, p)
em lei de potência, cujo expoente é a dimensão fractal do agregado (aproximadamente
1.89 para duas dimensões e 2.53 para três). E quando p > pc , a massa é proporcional ao
produto da probabilidade de ocupação pelo número total de sı́tios presentes na rede, ou
seja, M (L) ' pL2 , em duas dimensões. Resumidamente, podemos dizer que:
M (L, p) ∝


lnL



p < pc ;
L
p = pc ;
Ld
p > pc .




Df
(1.22)
No caso da simulação de reservatórios de petróleo, são escolhidos dois pontos no
agregado percolante, separados por uma distância r, que representam os poços injetor A
e produtor B. No poço A é injetado o fluido invasor que empurra o óleo até o poço B.
Uma quantidade infinitesimal de fluido invasor é chamado de traçador, e o tempo que
esse traçador leva para de ir de A até B é chamado de tempo de viagem. Para cada
configuração de reservatório existe uma grande quantidade de possı́veis caminhos que o
traçador pode fazer para viajar de A a B, e cada um desses caminhos recebe o nome
de linha de fluxo. Devido a variedade de linhas de fluxo, cada partı́cula traçadora que
1.4 O Uso da Teoria de Percolação na Recuperação de Óleo
40
Figura 11: Gráfico log-log da produção de óleo versus o tempo normalizado pelo tempo
de breakthrough para uma rede quadrada de tamanho L = 1024, no ponto crı́tico de
percolção com diferente distância (r) entre os poços. No gráfico λ = L/r. Gráfico tirado
da referência [31].
começa em A, em geral, leva um tempo, t, diferente para alcançar B. O tempo de ruptura
(ou breakthrough), tbr , corresponde ao tempo que o primeiro traçador leva para alcançar B
em uma dada realização. Uma distribuição tı́pica dos tempos de breakthrough para várias
realizações é mostrada na Figura 10.
Define-se P (t, r, L)dt como a probabilidade de um traçador percorrer uma linha de
fluxo de A a B em um tempo entre t e t + dt, com a condição de que entre A e B exista
uma distância r, em um reservatório de tamanho linear L. A função P (t, r, L) é a média
sobre todas as possı́veis configurações do reservatório conectando os poços. Fisicamente,
isso representa a fração de água que se torna parte da mistura extraı́da em um tempo t.
Assumindo que as linhas de fluxo não mudam com o tempo, pode-se determinar uma
curva média de produção C(t, r, L) a qual é a razão de óleo contida na mistura saindo
pelo poço produtor no tempo t,
C(t) = 1 −
Z t
0
P (t0 )dt0 .
(1.23)
Na Figura 11, está apresentado o comportamento das curvas C(t) versus o tempo
1.5 Percolação Invasiva
41
normalizado pelo tempo de breakthrough para uma rede quadrada de tamanho L = 1024,
no ponto crı́tico de percolção com diferentes distância (r) entre os poços [31].
1.5
Percolação Invasiva
Percolação Invasiva (PI) é um processo de percolação dinâmico desenvolvido em 1983
por Wilkinson e Willemsen [39] com o intuito de estudar o escoamento de dois fluidos
imiscı́veis em meios porosos. Assim como no modelo de Percolação, esse processo só é
válido no limite do deslocamento muito baixo, quase estático, que significa Ca → 0. Nesse
limite, as forças capilares dominam as viscosas e as pressões capilares nas interfaces são
assumidas em equilı́brio.
A teoria de PI é baseada no mapeamento do tamanho de cada poro em um meio
idealizado onde a rede de poros pode ser vista como uma rede regular em que seus sı́tios
representam os poros de um meio poroso. A desordem desse meio é incoporada por
assegurar um número aleatório, ri , escolhido entre 0 e 1, para cada sı́tio representando o
raio do poro. Esse modelo permite o avanço de um fluido molhante (fluido invasor) em um
fluido não-molhante (fluido defensor), a cada passo de tempo, pela ocupação do menor
sı́tio dentre aqueles ao longo da interface entre os dois fluidos. O aglomerado cresce, então,
de acordo com as propriedades locais. O processo chega ao fim quando o fluido invasor
percola, ou seja, forma um caminho que conecta o inı́cio ao fim da rede.
Diferente do modelo de Percolação, onde deve-se procurar a probabilidade crı́tica, na
Percolação Invasiva isso não se faz necessário. Isso porque, esse modelo tem criticalidade
auto-organizada [40], ou seja, há uma auto-regulação que leva a convergência natural para
a probabilidade crı́tica de ocupação. A própria dinâmica do sistema escolhe uma estrutura
crı́tica, onde naturalmente são excluı́dos aqueles sı́tios cujas probabilidades estão acima
do valor crı́tico de percolação. Essa caracterı́stica faz com que a relação entre a massa do
agregado invasor, M , e o tamanho da rede, L, obedeça a seguinte lei de potência M (L, p)
∝ LDf , mostrada na Eq. 1.22.
Nesse processo de invasão estão presentes avalanches, e essas ocorrem quando há a
invasão sequencial de sı́tios menores. Resumidamente, isso acontece ao ser invadido um
sı́tio i de tamanho ri , e em seguida um série de outros sı́tios conectados ao agregado cujo
o tamanho é menor do que ri , o número de sı́tios invadidos nessa sucessão, s, é o tamanho
da avalanche. No modelo de PI, a distribuição de avalanches mostra um comportamento
em lei de potência, P (s) ∝ sτ [41, 42, 43].
1.5 Percolação Invasiva
42
t=0
t=1
0.75
0.90
0.70
0.15
0.50
0.40
0.80
0.30
0.65
0.60
0.70
0.65
0.80
0.75
0.20
0.80
0.90
0.70
0.15
0.40
0.80
0.30
0.65
0.60
0.70
0.65
0.80
0.75
0.20
0.80
0.75
t=2
0.75
0.90
t=3
0.70
0.15
0.80
0.30
0.75
0.65
0.60
0.70
0.65
0.65
0.80
0.75
0.20
0.80
0.80
t=4
0.75
0.80
0.90
0.75
0.90
0.75
0.70
0.15
0.80
0.30
0.70
0.65
0.20
0.80
t=5
0.70
0.15
0.80
0.30
0.70
0.65
0.20
0.80
0.75
0.90
0.70
0.15
0.80
0.30
0.65
0.80
0.75
0.20
0.80
t=7
t=6
0.75
0.90
0.70
0.15
0.80
0.30
0.75
0.90
0.70
0.15
0.80
0.30
0.65
0.80
p
0.75
0.80
sítios de crescimento
0.80
0.75
0.80
sítios invadidos
Figura 12: Esquema ilustrativo do modelo de Percolação Invasiva sem aprisionamento
em uma rede quadrada com L = 4. A invasão começa na borda esquerda da rede e os
sı́tios de crescimento são aqueles cujo valor de ri é mostrado em vermelho. Em cada passo
de tempo o sı́tio na interface que possui menor valor de ri é invadido pelo fluido. Esse
processo tem continuidade até que o fluido alcance a borda direita da rede. Nas bordas
superior e inferior são aplicadas condições de contorno periódicas. No tempo t = 3, uma
avalanche ocorre porque o tamanho do sı́tio invadido, 0.6, é maior do que o tamanho dos
outros sı́tios já invadidos no agregado, 0.5 e 0.4. Nos tempos t igual a 4 e 5, outras duas
avalanches acontecem.
1.5 Percolação Invasiva
43
Existem duas formas distintas de IP, o modelo NTIP (do inglês, No Trapping Invasion
Percolation) e o TIP (Trapping Invasion Percolation). No primeiro, como o nome já
diz, não há aprisionamento, ou seja, o fluido defensor é considerado como perfeitamente
compressı́vel, sendo o fluido invasor capaz de alcançar qualquer região do meio. Por outro
lado, para o TIP, ocorre aprisionamento, pois o fluido defensor é dito incompressı́vel,
o que impede o fluido invasor de atingir certas partes da rede onde o primeiro ficou
retido. Graças as suas caracterı́sticas diferentes, cada modelo possui uma dimensão fractal
própria. No caso do NTIP em duas dimensões, temos que a dimensão fractal do agregado
é 1.89, pois M ∝ L1.89 . Já no TIP, a dimensão fractal do agregado invadido diminui
para 1.82, esse decréscimo está relacionado às regiões de aprisionamento, que são como
”buracos”na zona invadida [44].
O algoritmo do processo NTIP é mostrado abaixo para facilitar a compreensão:
• Sortear aleatoriamente números entre 0 e 1 para cada sı́tio em uma rede regular de
tamanho L;
• Considerar a rede saturada com o fluido defensor, e selecionar os sı́tios de injeção e
os de produção;
• Identificar os sı́tios de crescimento como sendo os sı́tios pertencentes ao fluido defensor mas que são vizinhos do fluido invasor;
• Avançar o fluido invasor para os sı́tios de crescimento que tem o menor número
aleatório;
• Continuar o processo até que o fluido invasor alcance um sı́tio de produção.
Em cada estágio do processo de invasão, o perı́metro constituı́do pela totalidade dos
sı́tios não ocupados, que são vizinhos dos já invadidos, é investigado e aquele sı́tio cuja
probabilidade é menor é invadido, passando a fazer parte do agregado. Com o intuito de
facilitar a compreensão, mostramos na Figura 12 um esquema ilustrativo do modelo de
NTIP em uma rede quadrada com L = 4. A invasão começa na borda esquerda da rede
e os sı́tios de crescimento são aqueles cujo valor de ri é mostrado em vermelho. Em cada
passo de tempo o sı́tio na interface que possui menor valor de ri é invadido pelo fluido.
Esse processo tem continuidade até que o fluido alcance a borda direita da rede. Nas
bordas superior e inferior são aplicadas condições de contorno periódicas.
44
2
COMPORTAMENTO
PÓS-BREAKTHROUGH DA
PRODUÇÃO DE ÓLEO EM
CAMPOS DE PETRÓLEO
2.1
Introdução
O primeiro sistema estudado nesta tese foi o comportamento da produção secundária
de óleo em reservatórios delgados (quando sua extensão é muito maior do que a profundidade), onde há um poço de produção e um de injeção, por onde é injetado um fluido
externo (tipicamente água ou gás) com temperatura igual a do reservatório.
2.2
Descrição do Modelo
Inicialmente, o reservatório está saturado com óleo e nenhum tipo de reação quı́mica
é considerado. Portanto, o sistema é tido como bifásico (óleo-água), incompressı́vel,
isotérmico e não-reagente. Para resolver esse sistema são usadas a lei de Darcy (Eq.
1.4) e a conservação da massa (Eqs. 1.10),
kkro 2
∂So
∇ p + ṁo = φ
µo
∂t
∂Sa
kkra 2
∇ p + ṁa = φ
µa
∂t
(2.1)
onde desprezamos a pressão capilar, ou seja po = pa . Estas equações foram resolvidas
através do simulador comercial STARS do CMG, que é um programa bastante confiável
e conhecido tanto pelas indústrias petrolı́feras quanto por pesquisadores da área de simulação de reservatório.
2.2 Descrição do Modelo
45
Figura 13: Vista superior do reservatório mostrando os valores da porosidade (acima)
e os da permeabilidade (abaixo) em uma realização. O valor da porosidade em cada
célula é calculado aleatoriamente através de uma distribuição uniforme entre 0.02 e 0.33
[3]. Essa distribuição de porosidade corresponde as encontradas em rochas cálcarias. A
permeabilidade em cada célula é calculada, em milidarcy, usando a equação CarmanKozeny (Eq. 2.2).
2.2 Descrição do Modelo
46
Os reservatórios abordados neste capı́tulo têm tamanho fı́sico de 1000x1000x10 metros
divididos numericamente em células cúbicas de 10 metros de lado, posicionadas horizontalmente. Foram usadas as curvas de permeabilidade relativa da Figura 4, onde a saturação
residual do óleo é em torno de 35%. As viscosidades das fases mantiveram-se constantes
durante as simulações, mas foram executadas diversas simulações com diferentes valores
da viscosidade do óleo, a fim de estudar a influência da razão das viscosidades do óleo e
da água (m =
µo
).
µa
Em todas as simulações, consideramos µa = 1 centipoise.
Neste capı́tulo, será importante definir a desordem e a homogeneidade de um reservatório. Essas caracterı́ticas dizem respeito ao meio e não aos fluidos. Dizemos que um
reservatório é desordenado, do ponto de vista de uma de suas propriedades (porosidade
e permeabilidade, no nosso caso), se essa propriedade muda abruptamente com a localização no reservatório. O caso ordenado seria, portanto, quando tal propriedade mudasse
continuamente com a posição ou fosse constante em todo reservatório. Um exemplo de um
reservatório desordenado é o da Figura 13 onde em cada célula a porosidade é escolhida
aleatoriamente em uma distribuição uniforme entre 0.02 e 0.33. Além disso, esse trabalho
classifica dois tipos de reservatório, o reservatório homogêneo e o heterogêneo. Quando a
porosidade de cada célula é calculada pela mesma regra de distribuição, então dizemos que
o reservatório é homogêneo (a Figura 13 é um exemplo de um reservatório desordenado e
homogêneo). Quando diferentes regras de distribuição são usadas em diferentes regiões,
então dizemos que o reservatório é heterogêneo.
Neste trabalho, vamos considerar, separadamente, o caso do reservatório homogêneo
e do heterogenêo. Em cada caso os resultados são obtidos através de uma média sobre
1000 realizações individuais de reservatórios desordenados. A permeabilidade é calculada
a partir da porosidade atráves da equação Carman-Kozeny
φ3
,
(2.2)
(1 − φ)2
onde φ é a porosidade da célula, e a constante de proporcionalidade é 64214.73, dando a
k(φ) ∝
unidade da permeabilidade em milidarcy [13].
Depois que as propriedades do reservatório são definidas, com φ e k constante para
cada célula, calcula-se a fração volumétrica do óleo na produção, que chamamos de C(tf ),
através do STARS. Em cada realização, a curva C(tf ) tem o tempo fı́sico, tf , normalizado
pelo tempo de breakthrough, tbr . Então, calculamos a curva média de todos os C(t =
tf /tbr ). A fim de comparar nossos resultados com outros da literatura, calculamos outra
curva que é definida da seguinte maneira
2.3 Resultados
47
C(tf ) = 1 −
Z tf
0
P (t0f )dt0f ,
(2.3)
onde P (tf ) indica como a taxa volumétrica da água muda com o tempo.
Ao normalizar o tempo fı́sico, tf , pelo tempo de breakthrough, tbr , um fator multiplicativo aparece em P (tf ) pois
P (t) = P (tf /tbr ) = P (tf )tbr .
(2.4)
Isto é facilmente visto pela Eq. 2.3. A média é, então, feita sobre o P (t) de cada
realização.
2.3
2.3.1
Resultados
Caso Homogêneo
No caso homogêneo, a porosidade de cada célula é calculada usando uma distribuição
uniforme entre 0.02 e 0.33 (ver quadro superior da Figura 13), que representa o intervalo
caracterı́stico para rochas calcárias [3]. Em seguida é calculada a permeabilidade pela
equação Carman-Kozeny (ver quadro inferior da Figura 13). Nesse caso homogêneo,
todas as célula são condutoras de massa, ou seja, todas têm permeabilidade diferente de
zero, portanto, o reservatório inteiro é acessı́vel aos fluidos.
Para esse caso, os poços são colocados ao centro de uma determinada célula localizada
√
na linha diagonal do reservatório. A distância entre os poços é dada por r0 = 2lr. Onde
l é o tamanho fı́sico da célula e r é um número inteiro que representa o número de sitı́os
na diagonal entre os poços. Nesse caso, a água injetada tende a ocupar todo reservatório
(ver Figuras 14 e 15) expulsando o óleo para o poço produtor. Para tempos muito grandes
só restará no reservatório a saturação residual do óleo. As simulações são realizadas até
o reservatório ficar completamente preenchido por água.
As Figuras 14 e 15 mostram a frente de propagação da água no reservatório em quatro
tempos diferentes quando m =1 e m = 100, respectivamente. Em ambas as figuras r =
16. Os quadros com a mesma letra estão no mesmo tempo. A distribuição de porosidade
deste reservatório é aquela mostrada na Figura 13. A Figura 15 (a), quando m = 100,
mostra o momento em que a água chega no poço produtor. Neste mesmo tempo a frente
de água quando m = 1 ainda não alcançou o poço (Figura 14 (a)). Apesar disso, quando
2.3 Resultados
48
Figura 14: Frente de propagação da água no reservatório desordenado da realização referente à Figura 13. Cada quadro mostra as linhas de iso-saturação em tempos diferentes, onde r = 16 e m = 1. (a) Antes de ocorrer o breakthrough; (b) No momento do
breakthrough; (c) Depois do breakthrough, quando a frente de água toca as paredes do
reservatório; (d) Para tempos muito grandes a água invade o reservatório inteiro.
m = 100 a água invade o restante do reservatório mais lentamente do que quando m = 1.
As curvas de produção do óleo para o caso homogêneo são dadas na Figura 16 em
escala logaritmica para r = 4, 8, 16 e 32. O gráfico superior da figura mostra o caso para
m = 1. Inicialmente, quando somente óleo é produzido, as curvas C(t) são iguais a 1.
Quando a água aparece no poço produtor a produção de óleo cai em lei de potência com o
tempo, tendo um expoente igual a -1/3. Esse expoente é mostrado analiticamente [31] e
2.3 Resultados
49
Figura 15: O mesmo que na Figura 14, mas aqui m = 100. Os quadros com a mesma letra,
em ambas as figuras, então no mesmo tempo. Quando m = 100, o tempo de breakthrough
ocorre mais cedo do que quando m = 1. Para este caso, as linhas de iso-saturação são mais
distantes uma das outras. Isto significa que quanto maior o valor de m menos abrupta é
a interface óleo-água.
2.3 Resultados
50
10
10
0
-1/3
-2
C(t)
m=1
10
-4
10
10
10
r=4
r=8
r = 16
r = 32
-6
-8
10
10
C(t)
-5/2
0
10
0
2
10
t
4
10
6
-2
m = 100
10
-4
10
10
r=4
r= 8
r= 16
r = 32
-6
-8
10
0
10
2
t
10
4
10
6
10
8
Figura 16: Gráfico log-log de C(t) versus o tempo para r = 4, 8, 16 e 32, quando m =1
(gráfico superior). Inicialmente, quando somente óleo é produzido, as curvas são iguais a
1. Depois disso, percebe-se claramente duas regiões de leis de potência separados por um
crossover. A primeira região com expoente -1/3 e a segunda região com -5/2. O crossover
é um efeito de tamanho finito, quando a frente de água encontra a parede do reservatório
(ver Figuras 14 e 15). Quanto maior r, mais cedo ocorre o crossover e menor é a primeira
região. O gráfico inferior mostra as curvas C(t) para m = 100.
2.3 Resultados
51
10
C(t)
10
10
0
-2
10
10
-8
10
10
10
0
2
10
t
4
10
6
10
8
0
-2
r=4
-4
10
10
2
10
-0.85
m=1
m = 10
m = 100
-6
10
C(t)/m
r=4
-4
-6
m=1
m = 10
m = 100
-8
10 -2
10
10
0
2
10
t/m
10
4
10
6
Figura 17: Gráfico log-log de C(t) versus o tempo para m = 1, 10 e 100 e r = 4 (gráfico
superior). Isto mostra que quando m cresce tcr também cresce. Isso é mostrado nas
Figuras 14 e 15. O gráfico inferior mostra o colapso das curvas C(t) rescalonado por
m−0.85 versus o tempo rescalonado por m. Quando m é maior do que 1 as curvas de
produção logo após o breakthrough caem rapidamente antes de colapsar com as curvas
quando m = 1.
52
10
4
tbr/m
-1/4
2.3 Resultados
1.8
m=1
m = 10
m = 100
10
3
10
10
0
10
r
2
1
10
2
tbr/r
1.8
-1/4
r=4
r=8
r = 16
r = 32
1
10 0
10
1
10
m
10
2
Figura 18: Acima: gráfico log-log do tempo de breakthrough tbr rescalonado por m−1/4
versus r para m = 1, 10 e 100. Inferior: gráfico log-log de tbr rescalonado por r1.8 versus
m para r = 4, 8, 16 e 32. Isso mostra que tbr ∝ r1.8 m−1/4 .
2.3 Resultados
53
foi comprovado por este modelo. Essa lei de potência é válida até a frente de água atingir
as paredes do reservatório. Quando isso ocorre, o reservatório começa a ficar exaustivo
de óleo e o efeito de tamanho finito muda o comportamento das curvas de produção para
outra lei de potência com expoente -5/2. O gráfico inferior da figura mostra as curvas de
produção para m = 100.
O gráfico superior da Figura 17 mostra as curvas C(t) em escala logaritmica para m
= 1, 10 e 100 e r = 4. Isso mostra que quando m aumenta o tempo de crossover, tcr ,
também aumenta. Isso é resultado da dinâmica da propagação da água no reservatório
(que foi mostrado nas Figuras 14 e 15). A figura mostra também essas curvas rescalonadas
por um fator de m−0.85 em C(t) e de m no tempo, mostrando que o crossover nas curvas
de produção cai com m−0.85 e o tempo de crossover aumenta com m. Quando m é maior
do que 1, as curvas C(t), logo após o breakthrough, caem rapidamente antes de colapsar
com a curva C(t) para m = 1. A Figura 18 mostra que o tempo de breakthrough carrega
unidades de
r1.8
.
m1/4
É importante resaltar que em sistemas infinitos, o tempo tbr depende
de r2 , mas em nosso caso os efeitos de tamanho finito estão sempre presentes diminuindo
a potência de 2 para 1.8. Resumidamente, pode-se escrever as seguintes relações para o
caso homogêneo
Ccr ∝ m−0.85 ,
tcr ∝ m,
tbr ∝
2.3.2
r1.8
.
m1/4
(2.5)
(2.6)
(2.7)
Caso Heterogêneo
No caso de um reservatório heterogêneo certas regiões são definidas como sendo condutoras de massa enquanto outras são impermeáveis. Cada célula tem, então, uma probabilidade p de ser condutor. O procedimento para gerar o reservatório é o mesmo para
criar uma rede de percolação (Seção 1.4). Os reservatórios no nosso estudo foram criados no ponto crı́tico de percolação, p = pc (ver quadro esquerdo da Figura 19). Para as
células definidas como condutoras considera-se um valor de porosidade igual a 0.3, onde a
equação Carman-Kozeny é usada para calcular a permeabilidade. A desordem neste caso
está na distribuição de como as célula condutoras estão conectadas. A localização dos
poços é definida em uma linha reta, vertical ou horizontal, com distância fı́sica de r0 = lr,
2.3 Resultados
54
Figura 19: Reservatório 32x32x1 mostrando as células numéricas e a região invadida pela
água (em cinza escuro). Esquerda: Reservatório sem refinamento. A célula numérica
é igual à célula fı́sica. Direita: O mesmo reservatório, mas agora cada célula numérica
é dividida em outras quatro células menores. Podemos ver, claramente, que a região
invadida é maior quando refinamos o reservatório.
onde l é o tamanho fı́sico da célula e r é um número inteiro. Além disso, é necessário que
os poços estejam interligados por um mesmo conjunto de células, chamado de agregado
de percolação, para que haja escoamento de fluidos do injetor ao produtor. Para tempos
muito grandes a água invade todo o agregado infinito e não entra em regiões que não estão
interligadas à esse agregado.
Nesse tipo de reservatório verificamos a influência do refinamento numérico das células
nas curvas de produção. Para isso, cada célula condutora do reservatório foi dividida em
4 (que chamamos de primeiro refinamento) e em 6 (segundo refinamento) células menores.
Isso faz com que o tamanho da célula numérica seja menor do que a célula fı́sica. Foi
observado que em reservatórios refinados a água invade uma região maior do que em
reservatórios não refinados (ver Figuras 19 e 20). A razão disso é que o refinamento cria
caminhos que permitem a água penetrar em algumas regiões onde antes não podia passar,
isso causa uma diferença nas curvas de produção da ordem de 15%, como pode ser visto
na Figura 21.
Foram então calculadas as curvas de produção para o caso heterogêneo usando o
primeiro refinamento. Na Figura 22, os resultados mostram um comportamento semelhante ao do caso homogêneo (que foi visto na Figura 16). Porém, devido ao custo com-
2.3 Resultados
55
Figura 20: O mesmo que na Figura 19, mas aqui o reservatório é 100x100x1 com r = 16
e m = 1. As linhas de contorno de cada célula foram omitidas da figura.
putacional, não observamos uma possı́vel segunda região de lei de potência. Entretanto,
as curvas para m pequeno e r grande indicam uma mudança no comportamento, o que
poderia vir a ser o começo dessa segunda região. O gráfico inferior mostra que quando m
é grande as curvas colapsam para os tempos simulados.
A Figura 23 mostra as curvas P (t) para o caso heterogêneo. Os resultados apresentam
o colapso em vários valores de r e m, indicando um comportamento universal em lei de
potência com expoente -1.8.
O tempo de breakthrough, para este caso, é calculado em termos de r e m, e na Figura
24 mostra-se a seguinte relação
tbr ∝
r
.
m1/5
(2.8)
Comparando com a relação de tbr no caso homogêneo (Eq. 2.7), percebe-se que há
uma grande mudança no expoente do r, passando de 1.8 para 1.0, e uma pequena mudança
no expoente do m, passando de 1/4 para 1/5.
2.4 Conclusões
56
10
1
20
15
10
C(t)
10
m=1
0
error (%)
r=4
10
5
0
0
-1
20
40
60
80 100
t
no refinement
first refinement
second refinement
10
-2
10
0
10
t
1
10
2
Figura 21: Gráfico log-log C(t) versus tempo para os reservatórios na Figura 20. O
gráfico mostra as curvas de produção para o reservatório sem refinamento, refinamento
em 4 (primeiro refinamento) e em 9 (segundo refinamento) outras células numéricas.
Nesta figura m = 1 e r = 4. As curvas C(t) para o primeiro e o segundo refinamento
são basicamente as mesmas. O inset mostra o erro percentual versus tempo. O erro é
calculado entre o C(t) sem refinamento e o C(t) do primeiro refinamento. A curva do erro
rapidamente cresce mantendo seu valor em, aproximadamente, 15%.
2.4
Conclusões
Nós estudamos o comportamento das curvas da produção secundária de óleo em reservatórios delgados de petróleo. Utilizamos, para isso, o simulador comercial STARS do
CMG. Verificamos a influência da distância entre os poços, r, e a razão da viscosidade
entre os dois fluidos, m.
Dois casos de reservatórios foram abordados neste capı́tulo. O primeiro deles quando
todo o reservatório é assumido como sendo permeável. Portanto, os fluidos têm acesso ao
reservatório inteiro. O segundo caso é quando consideramos uma fração do reservatório
impermeável. Essa fração é calculada usando a probabilidade crı́tica de percolação. Nos
dois casos os reservatórios são desordenados, por isso, em ambos, calculamos a média das
curvas de produção utilizando 1000 realizações individuais de reservatório.
As curvas de produção de óleo, em ambos os casos, apresentam regiões de leis de
potência que concordam com os resultados obtidos usando a Teoria de Percolação. No
2.4 Conclusões
57
10
0
C(t)
m=1
10
10
-1
r=4
r=8
r = 16
r = 32
-2
10
10
0
10
1
t
0
10
2
10
3
m = 100
10
-1
C(t)
-0.8
10
-2
10
r=4
r=8
r = 16
r = 32
-3
10
0
10
1
t
10
2
10
3
Figura 22: Gráfico log-log de C(t) versus o tempo para r = 4, 8, 16 e 32, quando m
= 1 (gráfico superior). Inicialmente, quando somente óleo é produzido, as curvas são
iguais a 1. O comportamento para este caso é semelhante ao caso homogêneo, porém,
uma segunda região não foi encontrada devido ao custo computacional. O gráfico inferior
mostra as curvas C(t) para m = 100.
2.4 Conclusões
58
10
2
P(t)
10
10
10
m = 1, r = 4
m = 1, r = 8
m = 1, r = 16
m = 1, r = 32
m = 10, r = 4
m = 10, r = 8
m = 10, r = 16
m = 10, r = 32
m = 100, r = 4
m = 100, r = 8
m = 100, r = 16
m = 100, r = 32
0
-2
-4
10
1.8
-6
10
0
10
1
t
10
2
10
3
Figura 23: Gráfico log-log de P (t) versus o tempo para m = 1, 10 e 100 com r = 4, 8,
16 e 32. As curvas colapsam mostrando um comportamento universal em lei de potência
com expoente -1.8.
caso do reservatório homogêneo, encontramos uma mudança de comportamento, cujo
crossover acontece quando o reservatório começa a ficar exausto de óleo.
Os resultados mostram o tempo de breakthrough, tbr , para o caso homogêneo, proporcional à
r1.8
.
m1/4
Verificamos, também, que o tempo,tcr , é proporcional a m e a produção de
óleo nesse momento vai com m−0.85 . No caso do reservatório heterogêneo, encontramos o
tempo de breakthrough proporcional à
r
.
m1/5
2.4 Conclusões
59
4
-1/5
10
tbr/m
1.0
m=1
m = 10
m = 100
3
10 0
10
10
3
10
r
1
10
2
tbr/r
r=4
r=8
r = 16
r = 32
-1/5
2
10 0
10
1
10
m
10
2
Figura 24: Acima: gráfico log-log detbr rescalonado por m−1/5 versus r para m = 1, 10 e
100. Inferior: gráfico log-log de tbr rescalonado por r versus logaritmo de m para r = 4,
8, 16 e 32. Isso mostra que o tempo de breakthrough carrega unidades de rm−1/5 .
60
3
ESCOAMENTO DE ÓLEO EM
ESCALA DE PORO SOB
INFLUÊNCIA DE UM
GRADIENTE DE
TEMPERATURA
3.1
Introdução
Processos de recuperação térmica em reservatórios de petróleo têm sido largamente
empregados nos últimos anos como um método estratégico para o aumento da produção
de óleo pesado. Esses processos consistem, basicamente, na elevação da temperatura
do reservatório, através da utilização de uma fonte de calor, o que leva à diminuição da
viscosidade do óleo e o aumento da pressão [6]. Na prática, isso pode ser feito pela injeção
de um fluido cuja temperatura é maior do que a do reservatório. Esse método é conhecido
como Injeção a Vapor ou de Água Quente e é um dos processos térmicos mais utilizados
e bem sucedidos [3, 48].
A dependência da viscosidade do óleo com a temperatura é governada por parâmetros
fı́sico-quı́micos que podem permitir uma diminuição da viscosidade de algumas ordens de
magnitude com pouca mudança no valor da temperatura [6]. Em geral, as propriedades
do óleo enquanto está no reservatório são de difı́cil obtenção e elas mudam para cada tipo
ou mistura de óleo. Estudos sobre a importância e influência desses parâmetros na recuperação são fundamentais para um melhor entendimento do fenômeno e, posteriormente,
para uma melhora na eficiência de recuperação.
Nesse sentido, alguns autores têm dedicado muita atenção aos processos de recuperação térmica de óleos pesados. Alguns deles, usando uma aproximação macroscópica
das equações de conservação em meios porosos, onde um reservatório inteiro pode ser sim-
3.1 Introdução
61
Figura 25: Esquema ilustrativo do método de combustão in situ. Esse método é um tipo
de processo térmico no qual um gás contendo oxigênio é injetado no reservatório a fim de
aumentar a temperatura do óleo pela sua queima. A figura mostra as diferentes regiões
desse processo. A combustão fica restrita a uma zona estreita (zona 3). Atrás dessa zona,
temos a região já queimada de óleo e a frente dela, o óleo cru é aquecido pelo aumento de
temperatura vinda da zona de combustão.
ulado [49, 50, 51]. Na maioria da vezes, tais estudos utilizam como ferramentas softwares
comerciais como o CMG usado nas simulações do capı́tulo 2. Outros autores se concentraram em simular as equações de conservação usando uma aproximação microscópica do
meio [27, 52, 53, 54]. Nesses casos, o meio poroso é representado por poros conectados
uns aos outros por canais por onde os fluidos escoam. Lu et al. [54] usaram esse sistema para simular a queima de óleo através da injeção de ar. Esse método é conhecido
com combustão in situ (Veja Figura 25) e, assim como a Injeção à Vapor, é um processo
de recuperação térmica, cuja fonte de calor vem da energia liberada pela combustão.
Nesse trabalho, eles estudaram a penetração da frente de combustão em hidrocarbonetos. Porém, consideraram a fase oleosa como sendo sólida, o que dificulta a previsão de
recuperção em reservatórios reais.
Neste capı́tulo, realizamos um estudo teórico e qualitativo do escoamento de óleo,
com viscosidade dependente da temperatura, sendo empurrado, em escala de poro, por
um outro fluido. Esse esquema representa um modelo simples da injeção de água quente
3.1 Introdução
62
Figura 26: Esquema de rede de poros em uma estrutura diamante com 4x4 nós (L =
4). Uma diferença global de pressão e temperatura são aplicadas na direção horizontal.
O fluido invasor é então injetado no lado esquerdo da rede. Na parte superior e inferior
empregam-se condições de contorno periódicas.
no reservatório ou, no caso da combustão in situ, a região que precede a combustão (zonas
5 e 6 na Figura 25). Para simular este fluxo bifásico em meios porosos, usamos o modelo
de rede de poros desenvolvido por Aker et al. [27] onde se pode simular tal escoamento
para qualquer razão de viscosidade. Para tornar esse modelo mais abrangente e aplicável
a um sistema de recuperação térmica, nós implementamos um gradiente de temperatura
na mesma direção de injeção. Consideramos, também, uma relação exponencial da viscosidade do óleo com a temperatura [6]. Foram estudados dois casos distintos da razão
da viscosidade, sendo o primeiro deles quando a viscosidade do fluido invasor é constante
(razão da viscosidade é, então, finita), e o segundo quando o fluido invasor é invı́scito
(razão da viscosidade é infinita). Neste último, nós consideramos, também, que a pressão
de injeção é automaticamente transmitida para a região invadida, fazendo com que o
tempo de propagação da pressão seja desprezado.
O objetivo deste trabalho, é, então, investigar a dinâmica do escoamento em escala
microscópica segundo a influência de um gradiente de temperatura. Esse processo é
estudado no contexto da recuperação de óleo para os dois casos da razão da viscosidade,
através da análise das curvas de saturação do fluido invasor e do percentual de recuperação
de óleo.
3.2 Descrição do Modelo
3.2
63
Descrição do Modelo
3.2.1
Rede de Poros
Nós usamos um modelo de tubos para representar o meio poroso, por onde escoam
duas fases incompressı́veis e imiscı́veis. Esse modelo é composto de uma rede diamante
(rede quadrada cujos canais estão inclinados 45 graus em relação à direção de injeção, como
esquematizado na Figura 26). Desta forma, em um sistema homogêneo, onde os tubos têm
dimensões iguais e possuem mesma diferença de pressão, um lı́quido flui igualmente em
todos os tubos. Tal caracterı́stica não seria verdadeira para o caso de uma rede quadrada.
Quatro tubos vizinhos se conectam em um nó, que apesar de ter volume desprezı́vel,
permite a troca de massa entre os tubos. Os tubos, por sua vez, são cilı́ndricos com igual
comprimento l, e para cada tubo é definido um raio r que é escolhido aleatoriamente
em uma distribuição uniforme no intervalo entre r1 e r2 . Essa aleatoriedade nos raios
representa a desordem do meio poroso, onde r1 e r2 definem o comprimento de distribuição
dos raios. Neste trabalho, consideramos o raio máximo como sendo igual ao comprimento
do tubo, l, e o mı́nimo a 5% deste.
Inicialmente, o meio poroso está saturado com óleo e, então, um fluido invasor é
injetado a fluxo constante no lado esquerdo da rede, como mostrado na Figura 26. Na
parte superior e inferior são empregadas condições de contorno periódicas, e as fases fluem
da esquerda para a direita devido a uma diferença global de pressão.
O escoamento do fluido viscoso de um nó i a um nó j, através do tubo que conecta
estes nós, é calculado pela lei de Hagen-Poiseuille que foi definida no capı́tulo 1 da seguinte
maneira:
2
kij
πrij
qij =
∆pij ,
lµef
(3.1)
onde rij é o raio do tubo, l é o seu comprimento, kij é a permeabilidade do tubo que é
2
/8 [22], pi é a pressão no nó i e ∆pij = pi - pj é a diferença de pressão no tubo
igual a rij
que liga o nó i ao j. Por simplicidade, nós consideramos neste sistema o caso em que
as forças capilares são localmente desprezı́veis. Isto é análogo a assumir que a diferença
de pressão interfacial entre os fluidos é desprezı́vel em cada poro [52]. Uma viscosidade
efetiva µef é calculada para cada tubo segundo uma regra de mistura linear em termos
das viscosidades do óleo, µo , e do fluido invasor, µI :
3.2 Descrição do Modelo
64
µef = So µo + SI µI ,
(3.2)
onde So e SI são as saturações do óleo e do fluido invasor, respectivamente.
A todo passo de tempo, a conservação da massa é aplicada em cada nó, o que nos
leva ao seguinte conjunto de equações lineares
X
qij = 0, f or i = 1, 2, ..., N,
(3.3)
j
onde N é o número de nós no sistema que, para este caso, é igual a L2 , onde L é o tamanho
da rede. Esta relação é simplesmente a aplicação das equações de Kirchhoff no nó i, onde j
são seus primeiros vizinhos. Para os sı́tios na entrada da rede, pj é substituı́do, no cálculo
de ∆pij , por Pinjeção , e para os na saı́da por Psaı́da . Ao final obtemos um sistema
de equações cujas incógnitas são as pressões nos nós, e que pode ser resolvido usando
uma rotina numérica padrão para matrizes esparsas. Em nossas simulações, usamos o
LINBCG, proveniente da biblioteca Numerical Recipes [55].
3.2.2
Equações de Fluxo
Resolvendo as equações de conservação (Eqs. 3.3), obtemos as pressões nodais para o
caso de uma diferença global de pressão, ∆P , cuja taxa volumétrica de injeção pode ser
dada pela lei de Darcy
Q = A∆P,
(3.4)
onde a constante A é a mobilidade do sistema e depende da geometria e da configuração
da interface. Note que, devido todas as equações de fluxo serem lineares (Eq. 3.1), a
diferença de pressão em cada tubo é proporcional à diferença global, ou seja, ∆pij ∝ ∆P .
Suponha que estejamos interessados em calcular as pressões nodais para o caso de
uma dada taxa de injeção constante, Q0 , que pode ser diferente de Q. Teremos então a
equação, Q0 = A∆P 0 , onde a mesma constante A também é válida. Obtendo o valor de A
na equação acima e na Eq. 3.4, temos que A = Q/∆P = Q0 /∆P 0 . Desta forma, podemos
dizer que o valor de ∆P 0 para que se tenha a taxa de fluxo desejada é
∆P 0 =
Q0
∆P.
Q
(3.5)
3.2 Descrição do Modelo
65
Figura 27: Esquema ilustrativo representando um menisco alcançando um nó. O fluido
invasor, então, entra a uma distância δ Nos itens (c) e (d), o fluido defensor alcança o
nó e este agora passo pelo mesmo procedimento entrando nos tubos vizinhos. Quando
um menisco entra nos tubos vizinhos contendo outros dois meniscos, como no item (f), a
bolha se junta ao menisco deixando um único menisco, item (g).
Portanto, após resolvermos as equações de fluxo em cada tubo com uma taxa de fluxo
global Q, podemos calcular o fluxo para aquela taxa desejada, Q0 , fazendo, simplesmente
sua atualização
qij0 =
3.2.3
Q0
qij .
Q
(3.6)
Movimento dos Meniscos nos Tubos
Uma vez obtidos os fluxos em cada tubo, podemos calcular o deslocamento de cada
interface dentro dos tubos, pelo seguinte procedimento.
Em cada tubo com interface é calculado o tempo, ∆tij , necessário para o menisco
alcançar uma das duas pontas do tubo com sendo,
3.2 Descrição do Modelo
66
∆tij =
∆xij
,
vij
(3.7)
onde ∆xij é a distância que o menisco precisa para chegar em uma das duas pontas do
2
tubo e vij = qij /πrij
é a velocidade do menisco no tubo entre os nós i e j. O menor valor
dentre os ∆tij é então escolhido como sendo o passo de tempo ∆t, ou seja,
∆t = min ∆tij .
ij
(3.8)
Após definido um ∆t, cada menisco pode, agora, ser deslocado pelo esquema de Euler,
xt+∆t
= xtij + vij ∆t,
ij
(3.9)
onde xtij é a posição do menisco no tubo ij no tempo t.
Depois de realizada a dinâmica do processo no tempo t. As equações de fluxo são,
então, resolvidas novamente para essa nova configuração de interface, e assim o fluido
invasor avança no meio poroso. Esse processo continua até que o fluido invasor alcance o
final da rede.
3.2.4
Movimento dos Meniscos nos Nós
Ao alcançar a ponta de um tubo, um menisco se move em direção aos tubos vizinhos
obedecendo algumas regras previamente definidas. Essas regras devem considerar diferentes configurações de meniscos em torno de um nó. Basicamente, o fluido invasor pode
tanto ocupar quanto abandonar os tubos vizinhos.
Na Figura 27, é apresentado um caso onde várias configurações de menisco podem ser
observadas, por exemplo, quando um menisco invade um tubo contendo um outro menisco,
uma bolha se formará dentro do tubo. Dificuldades aparecem quando um terceiro menisco
tenta entrar num tubo contendo uma bolha. Para permitir tal movimento, consideraremos
que a bolha se junte ao novo menisco, formando um único aglomerado. Essa última
configuração terá apenas um menisco como mostrado na evolução do caso da Figura 27.
3.2.5
Dependência da Viscosidade do Óleo com a Temperatura
Um gradiente de temperatura é mantido ao longo do meio, pela fixação de uma temperatura de injeção constante na entrada da rede (Tinjeção ), e outra na saı́da (Tsaı́da ).
3.3 Resultados
67
Consideramos, então, que a condutividade térmica de ambos os fluidos seja igual, fazendo
com que o gradiente de temperatura seja linear e constante ao longo do tempo. A temperatura, então, torna-se função apenas de x, e sua diferença global é definida como sendo ∆T
= Tinjeção - Tsaı́da . Com o objetivo de estudar um fenômeno fı́sico mais geral, realizamos
várias simulações com ∆T sendo positivo, negativo ou zero. Um ∆T negativo representa
a injeção de um fluido com temperatura mais baixa do que a do reservatório. Apesar disso
não ter uma aplicação econômica, nossa intenção aqui é estudar os fenômenos presentes
em tais processos. Os valores adimensionais da temperatura usados tanto para Tinjeção
quanto para Tsaı́da foram 1, 2, 3, 4 e 5. Tal que -4 ≤ ∆T ≤ 4.
A fim de que se tenha a viscosidade do óleo dependente da temperatura, usamos uma
relação bastante comum para viscosidade de lı́quidos, que em geral, depende exponencialmente do inverso da temperatura,
µo = exp(B/T ),
(3.10)
onde T é a temperatura local do tubo e B é uma propriedade fı́sico-quı́mica que controla
a dependência da viscosidade do óleo com a temperatura. Chama-se o óleo de pesado se
o valor de B é alto, caso contrário, chama-se de leve. Note que, desde que a temperatura
é uma função somente de x, a viscosidade do óleo dependerá implicitamente de x.
3.3
3.3.1
Resultados
Razão de Viscosidade Finita
Nesta seção, nós estudamos as estruturas de invasão e a porcentagem de recuperação
de óleo quando o fluido invasor tem uma viscosidade adimensional e unitária (µI = 1). A
razão da viscosidade (µo /µI ) é, então, finita e dependente da posição x se ∆T é diferente
de zero. Na Figura 28, mostramos as estruturas de invasão para nove conjunto diferentes
de B e ∆T para um único tamanho de rede (L = 80). De cima para baixo, mudamos os
valores de B do maior para o menor (7, 5 e 3). Da esquerda para a direita, alteramos
∆T pra valores de -4, 0 e 4. Nós podemos ver que mudando esses parâmetros a frente de
invasão pode ser mais compacta ou mais instável.
Para o caso isotérmico, quando ∆T = 0, a temperatura do sistema é igual a 1 e a
viscosidade do óleo tem um valor constante dependendo somente de B. Quando B tem
maior valor, igual a 7, dizemos que o óleo é pesado. Isso porque, como vemos na Figura
3.3 Resultados
68
Figura 28: Formação de penetração do fluido invasor no momento do breakthrough para
nove conjuntos de parâmetros para o caso da razão da viscosidade finita. De cima para
baixo temos: B = 7, 5 e 3. Da esquerda para a direita temos: ∆T = -4, 0 e 4. Com L =
80.
3.3 Resultados
69
1
0.8
∆Τ < 0
∆Τ = 0
∆Τ > 0
SI
0.6
|∆Τ|
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
1
x/L
0.6
0.8
1
0.8
SI
0.6
B
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
x/L
0.6
0.8
1
Figura 29: Perfil da saturação do fluido invasor versus direção de injeção no momento
do breakthrough para o caso da razão da viscosidade finita. As curvas no gráfico superior
foram feitas para vários valores de ∆T (= -4, -3, -2, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 2, 3 e 4) com B =
5. No gráfico inferior, mostramos as curvas para B = 3, 5 e 7 quando ∆T = 4.
3.3 Resultados
70
50
R(%)
40
30
B=3
B=5
B=7
20
10
-4
-2
300
R(%)*B
250
0
∆Τ
2
4
0
∆Τ
2
4
B=3
B=5
B=7
200
150
100
-4
-2
Figura 30: No gráfico superior mostramos a porcentagem do volume recuperado de óleo
versus ∆T para diferentes valores de B para o caso da razão da viscosidade finita. No
gráfico inferior mostramos que para o caso isotérmico a seguinte relação é válida: R0 (%)B 0
= R”(%)B”.
3.3 Resultados
71
28, as estruturas de invasão são Viscous-Fingering e, como foi explicado na Seção 1.3,
esse fenômeno é caracterı́stico de uma alta razão de viscosidade.
Quando ∆T > 0, a razão da viscosidade é pequena na entrada da rede e vai se tornando
maior a medida que o fluido invasor avança. Por isso que uma frente mais compacta é
formada no inı́cio da rede e, após um certo intervalo de tempo, um finger se destaca do
restante da estrutura até atingir o outro lado.
No caso oposto, quando ∆T < 0, esses fingers apararecem no inı́cio da rede e depois
se tornam mais largos. Para B = 3, quadro inferior e a esquerda da Figura 28, a viscosidade do óleo não varia muito com essa mudança na temperatura, portanto, a razão da
viscosidade não se torna alta, devido a isso os fingers não são observados.
Para cada conjunto de parâmetros, fazemos a média dos resultados com 50 realizações,
e essas médias são mostradas nas Figuras 29 e 30. No gráfico superior da Figura 29,
apresentamos o perfil da saturação do fluido invasor no momento do breakthrough. As
curvas presentes no gráfico foram feitas para vários valores de ∆T (= -4, -3, -2, -1, -0.5,
0, 0.5, 1, 2, 3 e 4) com B e L constantes e iguais a 5 e 80, respectivamente. Para valores
negativos de ∆T , os fingers que aparecem nos primeiros 10% da rede são representados
no gráfico por pequenos vales nas curvas de saturação. No gráfico inferior da figura estão
as curvas para ∆T = 4 com valores de B = 3, 5 e 7. Podemos ver que, para altos
valores de ∆T o perfil da saturação tem valor constante e aproximadamente igual a 0.6,
ao ultrapassar, aproximadamente, 30% da rede esse valor passa a diminuir na direção de
x.
No gráfico superior da Figura 30, mostramos o percentual de recuperação de óleo
versus ∆T para diferentes valores de B. Vemos na figura que quanto maior o valor
de B (óleo mais pesado), menor é a recuperação. Para o caso isotérmico, observamos
também, que se R0 (%) é o percentual de óleo recuperado usando o parâmetro B 0 , e R”(%)
o percentual de óleo recuperado usando o parâmetro B”, então, a seguinte relação é
obedecida, R0 (%)B 0 = R”(%)B”, permitindo o colapso das três curvas neste ponto. Isso
pode ser visto no gráfico inferior da Figura 30. No entanto, quando temos ∆T 6= 0, esta
relação não é mais válida.
3.3.2
Razão de Viscosidade Infinita
Agora, serão expostos os resultados obtidos para a recuperação de um óleo pesado
quando injetamos um fluido invı́scito, ou seja, quando a razão da viscosidade é sempre
3.3 Resultados
72
infinita. Durante as simulações desse sistema, foi considerado que a pressão na região
invadida é sempre igual e pressão de injeção. Isso significa que a pressão é propagada de
forma instantânea nessa área. Tal caracterı́stica nos permite usar esse modelo de poros
para sistemas maiores, já que não é necessário resolver as equações de conservação para
os sı́tios já invadidos.
Nas Figuras 31 e 32, são mostradas as configurações finais de penetração com diferentes valores de ∆T e B, em um único tamanho de rede L = 256. Para cada conjunto de
parâmetros é apresentado o resultado obtido em uma realização. Os ”dedos viscosos”que
estão presentes em todos os quadros de ambas as figuras são gerados devido à viscosidade
do fluido invasor ser sempre igual a zero. Assim uma interface irregular entre os dois
fluidos aparece, ocasionando uma competição de escoamento para diferentes posições na
interface. Ao aplicar o gradiente constante de temperatura ao longo do sistema, a viscosidade do óleo dependerá implicitamente da posição ao longo da direção x. Isto significa
que esses ”dedos viscosos”terão diferentes viscosidades à medida que penetram no meio.
Dessa forma a viscosidade aumenta com x, quando ∆T for positivo, e diminui, no caso
contrário, levando ao aumento (ou diminuição) da competição natural de crescimento
entre os pontos na interface.
Na Figura 31, analisamos as estruturas presentes para diferentes valores de ∆T mantendo B igual a 5. Quando a temperatura de injeção é menor do que a de saı́da (∆T <
0), a viscosidade nas regiões próximas a entrada do sistema é alta, o que dificulta o escoamento na parte inicial do sistema. Porém para aqueles pontos da interface que conseguem
penetrar, o escoamento torna-se cada vez mais rápido como consequência da diminuição
da viscosidade do óleo. Isso é o que podemos ver no quadro a esquerda da Figura 31,
onde há o desenvolvimento de um número menor de ”dedos viscosos”pois poucos pontos
da interface conseguem ultrapassar a região de alta viscosidade. No quadro do meio da
figura, temos o resultado da simulação para o caso isotérmico (∆T = 0), e no da direita,
o caso para uma diferença de temperatura positiva (∆T = 4), o que representa o caso da
injeção de água quente. Neste útimo caso, é possı́vel notar uma saturação maior do fluido
invasor, ocasionando uma melhor eficiência de recuperação. Isso se dá pela menor viscosidade das regiões iniciais de penetração, permitindo uma maior invasão desde o inı́cio do
processo.
Já na Figura 32, onde ∆T é mantido constante e igual a 4 e variamos B (= 1, 3 e 5),
observamos um aumento gradativo na saturação do fluido invasor. Tal aumento ocorre a
medida que há um crescimento no valor de B, o que nos leva a comparar um aumento de
3.3 Resultados
73
Figura 31: Formação de penetração do fluido invasor no momento do breakthrough para
o caso da razão da viscosidade infinita. Da esquerda para a direita: ∆T = -4, 0 e 4. Com
B = 5 e L = 256.
Figura 32: Formação de penetração do fluido invasor no momento do breakthrough para
o caso da razão da viscosidade infinita. Da esquerda para a direita: B = 1, 3 e 5. Com
∆T = 4 e L = 256.
3.3 Resultados
74
∆Τ = 0
0.4
SI
∆Τ
0.2
0
0
0.2
0.4
x/L
0.6
0.8
1
0.6
0.8
1
0.4
SI
B
0.2
0
0
0.2
0.4
x/L
Figura 33: Perfil da saturação do fluido invasor versus direção de injeção no momento do
breakthrough para o caso da razão da viscosidade infinita. As curvas no gráfico superior
foram feitas para vários valores de ∆T (= -4, -3, -2, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 2, 3 e 4) com B =
5. No gráfico inferior, mostramos as curvas para B = 3, 5 e 7 quando ∆T = 4.
3.3 Resultados
75
30
R(%)
25
20
L = 64, B = 3
L = 64, B = 5
L = 128, B = 3
L = 128, B = 5
L = 256, B = 5
15
10
-4
-2
0
∆Τ
2
4
1
L = 64, B = 3
L = 64, B = 5
L = 128, B = 3
L = 128, B = 5
L = 256, B = 5
1.74*tanh(∆Τ)
α
[R(%)*L - a]/B
2
0
-1
-2
-4
-2
0
∆Τ
2
4
Figura 34: No gráfico superior mostramos a porcentagem do volume recuperado de óleo
versus ∆T para diferentes valores de B para o caso da razão da viscosidade infinita. No
gráfico inferior mostramos que essas curvas são colapsadas obedecendo a Eq. 3.11.
3.3 Resultados
76
B com uma elevação de temperatura.
Enquanto que as Figuras 31 e 32 mostram a última configuração dos ”dedos viscosos”para uma realização tı́pica de um meio poroso desordenado. Para se obter um
resultado estatisticamente confiável deste sistema, nós realizamos 100 simulações com
diferente configurações de desordem para cada conjunto de parâmetros, cujas as médias
são mostradas nas Figuras 33 e 34.
No gráfico superior da Figura 33, temos o perfil da saturação do fluido invasor, SI , ao
longo do eixo de penetração, x. Nesse estão as curvas de SI para diferentes valores de ∆T ,
com B = 5. Quando ∆T < 0, a saturação sempre diminui com x, sendo menor do que
20% a partir de x/L = 0.2. No caso de ∆T > 0, existe uma região (0.2 < x/L < 0.7) onde
a saturação é basicamente constante e aproximadamente igual a 23%. No gráfico inferior
da figura apresentamos os resultados das simulações para ∆T = 4 com valores de B = 1,
3 e 5. Ou seja, mantemos o mesmo gradiente de temperatura, mas modificamos o fator
B da viscosidade do óleo com a temperatura. As estruturas apresentam uma formação
bastante similar para diferentes valores de B, mas pode-se perceber uma dependência do
volume da região invadida com este parâmetro.
No gráfico superior da Figura 34, mostramos a porcentagem do volume recuperado,
R(%), versus ∆T , para três tamanhos de rede, L = 64, 128 e 256, e dois valores de B, 3
e 5. O gráfico inferior da figura mostra o colapso das curvas seguindo uma dada relação.
Os resultados mostram que R(%) obedece a seguinte equação
a + bBtanh(∆T )
(3.11)
Lα
onde a = 51.11 e b = 1.74. O expoente α é igual a 0.2 e pode ser obtido por 2 - df , onde
R(%) =
2 é a dimensão euclidiana e df é a dimensão fractal das estruturas, calculada como sendo
igual a 1.8 nesse sistema. Os resultados mostram que a partir de um certo valor de ∆T ,
aproximadamente igual a 2, a recuperação atinge um valor máximo, o que representa uma
saturação residual. Esse comportamento lembra a saturação residual do óleo devido às
curvas de permeabilidade relativa. Porém, neste modelo a permeabilidade usada é apenas
função do raio do poro, e não da saturação, permitindo, a princı́pio, a total recuperação
do óleo de cada tubo.
3.4 Conclusões
3.4
77
Conclusões
Foi estudada de forma qualitativa a recuperação de óleo em escala de poro sobre a
influência de um gradiente de temperatura. Um fluido invasor é injetado no meio poroso
a fim de empurrar o óleo, cuja viscosidade tem a seguinte dependência exponencial com
a temperatura, exp(B/T ), onde T é a temperatura e B é um parâmetro fı́sico-quı́mico
do óleo que controla a dependência de sua viscosidade com T . O perfil das regiões de
invasão e o percentual de recuperação do óleo são analisados para diferentes gradientes
de temperatura e vários valores de B.
Dois casos da razão da viscosidade foram considerados. No primeiro deles, a viscosidade do fluido invasor é constante e unitária, sendo portanto a razão da viscosidade
finita e dependente somente da temperatura. Nesse caso, verificamos que as estruturas
de invasão podem mudar drasticamente quando alteramos os valores de B e ∆T , que é a
diferença global de temperatura.
Observamos que, dependendo dos parâmetros usados, fingers são formados no ı́nico
da rede (quando ∆T < 0) e no final (quando ∆T > 0). Isso é resultado de algumas regiões
de baixa temperatura terem alta razão entre as viscosidades. Percebemos também que
o percentual de recuperação de óleo obedece a seguinte relação para o caso isotérmico:
R0 (%)B 0 = R”(%)B”, onde R0 (%) é o percentual de recuperação usando o parâmetro B 0
e R”(%) usando o parâmetro B”.
No segundo caso, análisamos as estruturas de penetração usando a média sobre 100
realizações, para cada conjunto de parâmetros. Os resultados mostram que a saturação
do fluido invasor sempre diminui com a direção de injeção, quando uma diferença negativa
de temperatura é aplicada. Quando essa diferença é positiva, há uma região no centro da
rede que tem um valor, aproximadamente, constante de saturação. Observamos também,
que o aumento do parâmetro B equivale a um aumento na diferença de temperatura,
quando essa diferença é positiva. Verificamos que a porcentagem de óleo recuperado se
comporta segundo uma função analı́tica com B e ∆T , do tipo Btanh(∆T ). Os resultados
mostram que existe um valor máximo de recuperação quando se aumenta a diferença de
temperatura, o que mostra a existência de uma saturação residual. É importante comentar
que essa saturação residual não esta ligada as curvas de permeabilidade relativa, já que
não usamos tais curvas neste modelo.
78
4
PERCOLAÇÃO INVASIVA
SOB GRAVIDADE COM
ENDURECIMENTO
INTERFACIAL
4.1
Introdução
O escoamento bifásico em meios porosos é um assunto tanto de interesse cientı́fico
quanto tecnológico. Do ponto de vista cientı́fico, é importante entender a dinâmica do
processo e como as estruturas de invasão ocorrem no meio poroso. Já o interesse tecnológico está em predizer a eficiência e as garantias econômicas de tais processos. Para as
companhias de petróleo, por exemplo, é necessário saber quanto óleo pode ser extraı́do de
um dado reservatório em um determinado intervalo de tempo. Outra aplicação comercial
de fluidos em meios porosos é a infiltração de fluidos adesivos. Esse processo consiste basicamente em dois fluidos escoando em meios porosos, onde a viscosidade do fluido invasor
sofre um aumento com o passar do tempo. Isso acontece através de reações interfaciais
com o ar, o que leva ao endurecimento das bordas (interface) do fluido invasor para o seu
interior.
Com o intuito de entender tais processos, muitos modelos foram propostos ao longo
dos anos para se tentar simular, e assim predizer, o escoamento de duas fases imiscı́veis.
Nesses sistemas, os processos dinâmicos são governados pelas forças capilares, viscosas e
gravitacionais. Quando se tem um escoamento muito lento ocorrendo em um plano horizontal as forças capilares são completamente dominadas pelas viscosas, e o número capilar
se torna muito baixo. Esse caso é comumente estudado por métodos estatı́sticos, como
Percolação Invasiva (PI). Posteriormente, o modelo de PI foi modificado para considerar o
empuxo [59] no caso de um escoamento bifásico vertical, como o que usaremos em nossas
simulações.
4.2 Percolação Invasiva com Endurecimento na Interface
79
Nossa proposta neste trabalho é simular a penetração de cola em um meio poroso
desordenado usando um algoritmo de Percolação Invasiva bidimensional com gravidade.
Para levar em conta a dependência da viscosidade da cola com o tempo, nós propusemos
um modelo que representa o endurecimento interfacial. O efeito da dureza é adicionado
ao modelo de PI como um novo parâmetro para controlar a dinâmica do processo. Assim
sendo, esse é um modelo de PI modificado onde se um sı́tio fica por muito tempo sem ser
invadido na interface ele acaba se tornando um pino e não pode mais ser invadido.
A fim de estender a utilização desse modelo para escoamentos mais gerais, não somente
o da cola, nós incluimos mais dois casos. Logo o escoamento foi estudado para três regimes
distintos. Primeiramente quando o fluido invasor é menos denso do que o defensor; em
seguida, o segundo caso, no qual os fluidos invasor e defensor têm densidades iguais; e por
fim, para o caso da cola quando o fluido invasor é mais denso.
4.2
Percolação Invasiva com Endurecimento na Interface
Antes de descrever o model de PI modificado proposto neste trabalho, vamos relembrar
alguns aspectos do modelo padrão. Considere uma rede quadrada de tamanho 4x4 onde
para cada sı́tio um número aleatório entre 0 e 1 é sorteado. Esses números representam as
pressão capilar limiares, pcap , de cada poro em um meio poroso desordenado. Inicialmente,
todos os sı́tios da rede estão saturados com o fluido defensor e, em seguida, com o ı́nicio do
processo outro fluido é injetado no lado esquerdo da rede. Os sı́tios ocupados pelo fluido
defensor que estão situados na coluna mais a esquerda da rede são chamados de sı́tios
de crescimento, ou simplesmente interface, porque o fluido invasor ocupará aquele sı́tio,
dentre os da interface, que tiver o menor valor de pressão. Assim, a cada passo de tempo,
o sı́tio da interface que possui a menor pressão capilar é ocupado pelo fluido invasor. Esse
processo de ocupação acontece até que o fluido invasor atravesse a rede alcançando o lado
direito da mesma.
Neste trabalho, são aplicadas condições de contorno periódicas no topo e na base
da rede, e pcap é um número escolhido aleatoriamente em uma distribuição uniforme.
Porém, diferente do que ocorre no modelo de PI padrão, em nosso modelo modificado as
pressões capilares não são mais constantes, pois mudam com o tempo para caracterizar o
endurecimento. Nos sı́tios da interface as pressões são aumentadas com um parâmetro ∆,
4.2 Percolação Invasiva com Endurecimento na Interface
t=0
t=1
0.75
0.90
0.70
0.15
0.50
0.40
0.80
0.30
0.65
0.60
0.70
0.65
0.80
0.75
0.20
0.80
0.90
0.70
0.15
0.40
0.80
0.30
0.65
0.60
0.70
0.65
0.80
0.75
0.20
0.80
0.75
t=2
0.75
0.90
t=3
0.70
0.15
0.80
0.30
0.85
0.65
0.60
0.70
0.65
0.75
0.80
0.75
0.20
0.80
0.90
t=4
0.70
0.95
0.75
0.15
0.65
0.85
0.20
0.70
0.15
0.90
0.30
0.70
0.65
0.20
0.80
t=5
0.70
0.95
0.15
0.30
0.30
0.85
80
0.85
0.80
0.65
0.85
0.80
t=6
0.70
0.95
0.15
p
sítios de crescimento
0.30
sítios invadidos
0.85
0.85
0.80
pinos
Figura 35: Esquema ilustrativo do modelo de Percolação Invasiva sem aprisionamento
com endurecimento na interface em uma rede quadrada com L = 4. A invasão começa na
borda esquerda da rede e os sı́tios de crescimento são aqueles cujo valor de pcap é mostrado
em vermelho. Esse processo segue os mesmos critérios que o PI padrão, porém, neste caso
as pressões dos sı́tios na interface são elevadas quando ocorrem avalanches. Nesse exemplo,
uma avalanche ocorre no tempo t = 3 porque o tamanho do sı́tio invadido, pn = 0.6, é
maior do que o maior sı́tio no agregado, pm = 0.5. Nesse momento, todos os sı́tios na
interface tem a pressão aumentada por α(0.6 - 0.5). Em t = 4, outra avalanche ocorre,
mas agora as pressões são aumentadas por α(0.7 - 0.6). Se algum sı́tio na interface tiver
sua pressão elevada até 1 ou maior, então, esse sı́tio se torna um pino e não pode ser mais
invadido. Por simplicidade, α = 1 nesse exemplo.
4.3 Percolação Invasiva sob Gravidade
81
pi,novo
= pi,antigo
+∆
cap
cap
(4.1)
onde o sı́tio i pertence a interface. Quando o valor de picap torna-se maior ou igual a 1,
o sı́tio i se torna um pino e não pode mais ser invadido. Esse incremento nas pressões
é feito toda vez que ocorre uma avalanche. Aqui, nós definimos uma avalanche quando
ocorre a invasão de um novo sı́tio cuja pressão capilar é maior do que todas as pressões
dos demais sı́tios do agregado. Nós chamamos a pressão do novo sı́tio invadido de pn , e
a pressão de maior valor no agregado de pm . Em seguida, nós definimos o parâmetro ∆
como sendo uma proporção da diferença das pressões, ∆ = α(pn - pm ), onde α é uma
constante.
Na figura 35, nós mostramos um esquema ilustrativo da aplicação deste modelo onde
acontecem duas avalanches, a primeira em t = 3 e a segunda logo em seguida, em t = 4.
Antes de ocorrer a primeira avalanche nosso modelo de PI é idêntico ao padrão, pois não
é feito nenhum incremento nas pressões. Na primeira avalanche, o novo sı́tio invadido tem
pressão, pn = 0.60, enquanto que o sı́tio com maior pressão no agregado tem pressão pm
= 0.50. Então o parâmetro ∆ é calculado como sendo α(0.60 - 0.50) e a pressão dos sı́tios
da interface é aumentada. Na segunda avalanche, pn = 0.70 e pm = 0.60. Agora os sı́tios
da interface têm sua pressão aumentada de um novo ∆ igual à α(0.70 - 0.60). Os sı́tios
cuja pressão alcaçaram valores maiores ou iguais a 1, tornaram-se pinos e estão pintados
de preto na figura. A tı́tulo de simplificação, nesta figura consideramos α = 1.
4.3
Percolação Invasiva sob Gravidade
Em algoritmos padrão de Percolação Invasiva, forças externas, como a gravidade, são
desprezadas. Porém, esse não é o caso de muitas aplicações práticas, por exemplo, em
um escoamento vertical de fluidos com diferentes densidades em meios porosos. Nesse
caso, a gravidade causa um gradiente de pressão hidrostática sobre um grão de tamanho
caracterı́stico a da ordem de
∆pg ∼ ∆ρgR,
(4.2)
onde g é a aceleração da gravidade na direção do escoamento, e ∆ρ é a diferença de
densidade do fluido defensor com o invasor (∆ρ = ρdef - ρinv ). A razão adimensional
entre as forças gravitacionais e as capilares (Eq. 1.20) é chamada de Bond number, Bo, e
é escrita da seguinte forma
4.3 Percolação Invasiva sob Gravidade
82
Figura 36: Estruturas de invasão do fluido invasor no momento do breakthrough para
quinze conjuntos de parâmetros. De cima para baixo temos: Bo = 10−3 , 10−4 , 0, -10−4 ,
-10−3 . Da esquerda para a direita temos: α = 0, 0.5, 5.0. Para um tamanho de rede L =
512.
4.4 Resultados
83
∆pg
ga2 ∆ρ
∼
,
(4.3)
∆pint
γ
onde γ é a tensão interfacial da interface entre os fluidos. Um modelo de PI na presença
Bo =
de empuxo foi apresentado primeiramente em 1984 por Wilkinson [59] para descrever a
influência da gravidade. Desde então, isso tem sido objeto de estudo de vários outros
autores [60, 61, 62, 63, 64, 65].
Desde que ∆ρ é a diferença entre as densidades de ambos os fluidos, então, nós
podemos ter três diferentes tipos de regime e cada um apresenta seu padrão de interface
caracterı́stico, como mostrado na Figura 36. O primeiro regime ocorre quando não há
empuxo, ou seja, ou o sistema é ausente de gravidade ou as densidades dos fluidos são
iguais. Nesse caso, Bo = 0, podendo ser simulado por algoritmos padrão de PI. No
segundo caso, injetamos um fluido menos denso do que o fluido defensor (o fluido invasor
é injetado na mesma direção da gravidade) tal que Bo > 0. Nesse caso, a gravidade
atua tornando a frente mais compacta, como será mostrado mais adiante. O caso oposto,
quando o fluido invasor é mais denso e Bo < 0, leva a instabilidade na interface, também,
chamada de ”dedos gravitacionais”ou, em inglês, gravity fingering [64].
A implementação da gravidade em algoritmos de PI é feita pela adição de um gradiente
de pressão hidrostática à pressão capilar, pcap , em cada sı́tio i da rede, ou seja, fazendo
pit = picap + xi Bo/2
(4.4)
onde pt e x são a pressão total e a posição do sı́tio em relação ao lado esquerdo da rede,
respectivamente. Nesse modelo, somente a pressão capilar, pcap , muda com o efeito de
endurecimento. A pressão hidrostática não é afetada.
4.4
Resultados
As várias estruturas de invasão obtidas com diferentes valores de Bond number, Bo, e
da constante de endurecimento, α, são mostradas na Figura 36 para uma realização com
tamanho de rede L = 512. Podemos ver, como foi dito anteriormente, que quanto maior
o valor de Bo mais compacta a frente de invasão se torna. Com relação ao parâmetro α,
nós vemos que seu aumento tende a diminuir o tamanho do agregado.
Nas próximas subseções, analizaremos a influência de α em cada regime de Bond
number (Bo > 0, Bo = 0 e Bo < 0). Os resultados são médias sobre 103 realizações e
4.4 Resultados
84
Figura 37: Realização para o caso de Bo positivo com L = 128 mostrando a superfı́cie na
cor verde e o seu valor médio na cor vermelha.
desde que as estruturas de invasão são diferentes para cada regime, as análises também
serão.
4.4.1
Bo > 0
Quando estudamos o regime onde Bo > 0 observamos uma frente de penetração mais
compacta, pois para esse caso a gravidade tende a equilibrar a frente o que a torna mais
plana, como pode ser visto na Figura 36. Desta forma, ao penetrar o aglomerado ocupa a
maior parte da rede fazendo com que sua dimensão fractal tenda a 2. Assim faz-se interessante estudar as caracterı́sticas da frente de invasão. Nos gráficos que seguem mostramos
o comportamento da rugosidade e da dimensão fractal dessa frente para diferentes valores
de Bo.
Antes de mostrar como calculamos a rugosidade da frente de invasão, nós definimos
uma função, hj , para representar a superfı́cie como sendo o conjunto dos sı́tios invadidos
mais à direita em cada coordenada y. hj é igual a posição x desses sı́tios e j representa
a coordenada y. Essa superfı́cie é mostrada na cor verde na Figura 37 e o comprimento
médio da superfı́cie, hm , está representado pela linha vermelha na figura e calculado como
4.4 Resultados
85
10
3
α = 0.0
α = 0.1
α = 0.5
α = 1.0
α = 5.0
Bo > 0
2
-0.54
σ
10
10
1
0
10 -4
10
10
-3
Bo
10
-2
-1
10
Figura 38: Rugosidade da frente de invasão, σ, no momento do breakthrough versus Bo
com diferentes valores de α mostrando que σ ∝ Bo−0.54 .
L
1X
hj .
L j
hm =
(4.5)
A rugosidade, σ, é, então, calculada como sendo o desvio médio padrão de hj em
relação a hm [66],
v
u
L
u1 X
u
σ=t
(hj − hm )2 .
L
(4.6)
j
Na Figura 38, estão apresentadas as curvas em escala logaritma da rugosidade no
momento que esta percola a rede, versus Bo. Nós verificamos que σ obedece a uma lei
de potência com Bo onde o expoente é -0.54, independente do parâmetro α, ou seja, nós
encontramos
σ ∝ Bo−0.54 .
(4.7)
Esse expoente está em concordância com -0.57 que foi encontrado por Birovlej [63].
Nós, também, calculamos através do método counting box a dimenão fractal do perı́metro
externo da frente para diferentes valores de Bo como pode ser visto na Figura 39. Quando
4.4 Resultados
86
10
α = 0.0
α = 0.1
α = 0.5
α = 1.0
α = 5.0
2
Nδ
10
3
10
-1.1
1
-1
10
10
10
Bo = 10
0
3
2
Nδ
-1.35
10
α = 0.0
α = 0.1
α = 0.5
α = 1.0
α = 5.0
1
-2
10
10
3
2
α = 0.0
α = 0.1
α = 0.5
α = 1.0
α = 5.0
-1.4
Nδ
10
Bo = 10
0
10
1
-3
10
10
3
2
-1.4
α = 0.0
α = 0.1
α = 0.5
α = 1.0
α = 5.0
Nδ
10
Bo = 10
0
10
1
-4
10
Bo = 10
0
10
-2
10
δ
-1
Figura 39: Dimensão fractal da frente de invasão calculada pelo método de ”counting
box”para diferentes valores de α. De cima para baixo temos: Bo = 10−1 , 10−2 , 10−3 e
10−4 .
4.4 Resultados
87
10
6
Bo = 0
10
5
M
1.89
10
4
10
α = 0.0
α = 0.1
α = 0.5
α = 1.0
α = 5.0
3
2
10 1
10
10
2
L
10
3
10
4
Figura 40: Massa do agregado, M , versus o tamanho da rede, L, com diferentes valores
de α. Aqui mostramos que a dimensão fractal não é afetada pelo efeito de endurecimento
no caso onde o empuxo está ausente.
Bo = 10−4 a dimensão fractal é 1.4 e esta tende a 1 ao aumentarmos Bo. Nesse caso, o
parâmetro de endurecimento, α, não afeta de maneira significativa nenhum dos resultados.
4.4.2
Bo = 0
Na Figura 40, mostramos as curvas log-log da massa do agregado M versus o tamanho
da rede L para o caso sem empuxo, Bo = 0. Para esse caso, nós calculamos a dimensão
fractal do agregado para vários valores de α. Nós vemos que essa dimensão fractal não
é afetada pelo efeito de endurecimento mantendo seu valor clássico de 1.89 caracterı́stico
do NTIP [44].
4.4.3
Bo < 0
Para valores de Bond number negativos, o fluido invasor é mais denso do que o defensor
e, diferente do que foi observado para Bo > 0, a frente de penetração é instável, logo as
estruturas que se formam são fingers de invasão. Esse é o caso quando cola é injetada sobre
um meio poroso e essa penetra no meio por forças gravitacionais. A medida que o módulo
de Bo se distancia de zero, um menor número de fingers é formado como mostrado na
4.4 Resultados
88
Figura 41: Realização para o caso de Bo negativo com L = 128 onde mostramos os sı́tios
com coordenada x menor do que 10% de L na cor cinza, esses sı́tios não são considerados
para o finger percolante que está representado na cor verde. A regressão linear dos sı́tios
que formam esse finger é colocado na cor vermelha.
4.4 Resultados
89
10
3
Sf
Bo < 0
10
α = 0.0
α = 0.1
α = 0.5
2
-0.47
1
10 -4
10
10
-3
|Bo|
10
-2
-1
10
Figura 42: Densidade linear do finger percolante, Sf , versus |Bo| com diferentes valores
de α, mostrando que Sf ∝ |Bo|−0.47 .
Figura 36. Para esse caso, nós estudamos somente o comportamento do finger percolante,
onde, a fim de desprezar efeitos de contorno, são considerados nesse estudo apenas os sı́tios
pertencentes a fingers que se encontram a partir dos 10% da rede na direção de injeção.
Na Figura 41 é apresentado uma realização com L = 128 onde mostramos os sı́tios com
coordenada x menor do que 10% de L na cor cinza, esses sı́tios não são considerados para
o finger percolante que está representado na cor verde. A regressão linear dos sı́tios que
formam esse finger é colocada na cor vermelha.
Uma das caracterı́sticas estudada foi a densidade linear do finger percolante, Sf , que
é dada por
Sf =
Número de sı́tios do finger
.
0.9L
(4.8)
No gráfico da Figura 42 mostramos o cálculo da densidade linear, Sf , versus |Bo|
para três valores de α. Nós encontramos, que a densidade cai exponencialmente com Bo
a seguinte forma
Sf ∝ |Bo|−0.47 .
(4.9)
4.4 Resultados
90
10
3
Bo = -10
2
0.98
hf
10
-1
10
10
α = 0.0
α = 0.1
α = 0.5
1
0
10
3
Bo = -10
0.95
2
hf
10
-2
10
10
1
0
10
3
Bo = -10
-3
0.90
2
hf
10
α = 0.0
α = 0.1
α = 0.5
0.65
10
10
1
0
10
3
Bo = -10
10
α = 0.0
α = 0.1
α = 0.5
0.60
-4
2
hf
0.57
10
10
α = 0.0
α = 0.1
α = 0.5
1
0
10
0
1
10
10
2
Mf
10
3
10
4
Figura 43: Comprimento do finger percolante, hf , versus a massa do finger, Mf , com
diferentes valores de α. De cima para baixo: Bo = -10−1 , -10−2 , -10−3 e -10−4 .
4.4 Resultados
91
10
2
wf
Bo = -10
10
-1
1
0.39
α = 0.0
α = 0.1
α = 0.5
0.63
0
10
2
10
wf
Bo = -10
10
1
-2
0.48
α = 0.0
α = 0.1
α = 0.5
0.66
0
10
2
10
Bo = -10
-3
wf
0.48
10
1
α = 0.0
α = 0.1
α = 0.5
0.61
0
10
2
10
Bo = -10
-4
wf
0.49
10
1
α = 0.0
α = 0.1
α = 0.5
0.59
0
10
0
10
1
10
10
2
Mf
10
3
10
4
Figura 44: Espessura do finger percolante, wf , versus a massa do finger, Mf , com diferetens valores de α. De cima para baixo: Bo = -10−1 , -10−2 , -10−3 e -10−4 .
4.5 Conclusões
92
Nós também verificamos como o comprimento e a espessura do finger percolante
crescem com a sua massa, esses resultados são mostrados nas Figuras 43 e 44, respectivamente. O comprimento do finger é calculado como sendo a distância x (direção de
injeção) do sı́tio mais a direita do finger. Para valores intermediários de |Bo| podemos ver
que existem dois regimes no comportamento de crescimento do comprimento. Primeiramente um regime em lei de potência é encontrado com expoente em torno de 0.6, em
seguida um crossover muda esse expoente para em torno de 0.95, o que caracteriza o
aparecimento do segundo regime. Nesse segundo regime, o finger cresce mais rápido pois
o expoente se aproxima de 1. Quando Bo = -10−4 o comprimento é dominado pelo
primeiro regime. Já com a diminuição de Bo o segundo regime aparece e torna-se cada
vez maior, até que para Bo = -10−1 ele é o único presente.
Na Figura 44, apresentamos o estudo da espessura do finger para diferentes valores de
Bo e α. A espessura é calculada como sendo o desvio padrão médio dos sı́tios do finger em
relação à regressão linear do finger percolante. Vemos que, assim, como o comprimento
a espessura também cresce em lei de potência apresentando dois regimes diferentes antes
de saturar, ou seja, atingi um valor de espessura que não muda. O primeiro regime, com
expoente em torno de 0.61, é apenas resultado de um efeito inicial pois atingi somente
os 20 primeiros sı́tios do finger. Já o segundo regime, com expoente em torno de 0.48,
caracteriza o comportamento da espessura até que essa atingi a saturação.
4.5
Conclusões
Nós estudamos um modelo de endurecimento interfacial no escoamento bifásico em
meios porosos sob a ação da gravidade. O endurecimento aumenta a pressão capilar dos
sı́tios na interface tornando-os mais difı́ceis de serem invadidos. Foram considerados três
diferentes casos de Bond number, Bo, esse mede a razão entre as forças gravitacionais e
as capilares.
O primeiro caso estudado foi aquele onde o fluido invasor é menos denso do que o
defensor (Bo > 0), a gravidade nesse caso tende a estabilizar a interface tornando-a mais
plana. Vimos que a dimensão dessa interface é em torno de 1.4 para Bo = 10−4 e essa
dimensão tende a 1 para maiores valores de Bo. Foi verificado, também, que a rugosidade
da frente de invasão no momento em que esta percola a rede é uma lei de potência com
Bo, ou seja, σ ∝ Bo−0.54 .
O segundo caso estudado foi aquele no qual o sistema está ausente de forças grav-
4.5 Conclusões
93
itacionais (Bo = 0). Nesse caso, foi analizado a dimensão fractal do aglomerado, que
permanece constante com seu valor caracterı́stico em 1.89.
E, por fim, o último caso abordado foi quando Bo < 0. Esse é o caso quando cola
é injetada em um meio poroso saturado com ar. Devido o fluido invasor ser mais denso
do que o defensor a interface se torna instável e apresenta fingers. Analizamos, então, o
finger percolante e vimos que sua densidade linear, Sf , cai exponencialmente com |Bo|
segundo a relação Sf ∝ |Bo|−0.47 . Foi analizado, também, como esse finger cresce com
a sua massa, Mf . Vimos, então, que tanto o seu comprimento quanto a sua espessura
possuem dois regimes em leis de potência com Mf .
Neste trabalho, verificamos que o modelo de endurecimento interfacial, implementado
através do parâmetro α, não afeta de maneira significativa nenhum dos resultados obtidos
nos três casos considerados.
94
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