Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados
Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior
Aula 12
Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio
de: raciocínio matemático (que envolvam, entre outros,
conjuntos numéricos racionais e reais - operações,
propriedades, problemas envolvendo as quatro operações
nas formas fracionária e decimal; conjuntos numéricos
complexos; números e grandezas proporcionais; razão e
proporção; divisão proporcional; regra de três simples e
composta; porcentagem); raciocínio sequencial; orientação
espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação
de elementos – Parte 1
12. Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de raciocínio
matemático; raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação
de conceitos; discriminação de elementos. ........................................................................ 2
12.1. Conjuntos Numéricos, Racionais e Reais ............................................................. 2
12.2. Operações, Propriedades, Problemas Envolvendo as Quatro Operações
nas Formas Fracionária e Decimal...................................................................................... 2
12.3. Conjuntos Numéricos Complexos ........................................................................... 2
12.3.1. Operações com Pares Ordenados ....................................................................... 2
12.3.2. Conjuntos Numéricos Complexos ....................................................................... 3
12.4. Números e Grandezas Proporcionais ..................................................................... 8
12.5. Razão, Proporção e Divisão Proporcional............................................................. 8
12.6. Regra de Três Simples e Regra de Três Composta........................................ 11
12.7. Porcentagem ................................................................................................................. 13
12.8. Raciocínio Sequencial, Orientação Espacial e Temporal, Formação de
Conceitos e Discriminação de Elementos ...................................................................... 14
12.9. Outros Assuntos que Podem Cair em Prova ..................................................... 17
12.9.1. Progressão Aritmética (PA) ................................................................................. 17
12.9.2. Progressão Geométrica (PG)............................................................................... 21
12.9.3. Movimento Uniforme .............................................................................................. 23
12.10. Memorize para a prova ........................................................................................... 28
12.11. Exercícios de Fixação............................................................................................... 32
12.12. Gabarito ........................................................................................................................ 39
12.13. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos .......................................... 40
Bibliografia ..................................................................................................................................... 60
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12. Compreensão e elaboração da lógica das situações por
meio de raciocínio matemático; raciocínio sequencial;
orientação espacial e temporal; formação de conceitos;
discriminação de elementos.
Este assunto encerrará a parte de raciocínio lógico propriamente dito, para
entrarmos no mundo da estatística e da matemática financeira. Como há
muitas questões sobre o tema dessa aula, o assunto foi dividido em duas
aulas.
Na aula de hoje, veremos os conceitos e resolveremos 22 (vinte e dois)
exercícios. Na próxima aula, na semana que vem, veremos mais exercícios.
Então, sem perda de tempo, vamos começar a aula de hoje!
12.1. Conjuntos Numéricos, Racionais e Reais
Tratamos deste assunto na aula 6.
12.2. Operações, Propriedades, Problemas Envolvendo as Quatro
Operações nas Formas Fracionária e Decimal
Tratamos deste assunto na aula 2.
12.3. Conjuntos Numéricos Complexos
Para entender os números complexos, inicialmente veremos as operações com
pares ordenados.
12.3.1. Operações com Pares Ordenados
ℝ o conjunto dos números reais. Consideremos o produto cartesiano
ℝ × ℝ = ℝ2 .
Seja
ℝ 2 = {( x, y ) | x ∈ ℝ; y ∈ ℝ}
ℝ 2 = conjunto dos pares ordenados (x,y), em que x e y são números reais.
Operações com Pares Ordenados:
1) Igualdade: (a,b) = (c,d)
⇔ a = c e b =d
2) Adição: (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)
3) Multiplicação: (a,b) . (c,d) = (ac – bd, ad + bc)
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Memorize para a prova:
Operações com Pares Ordenados:
1) Igualdade: (a,b) = (c,d) ⇔ a = c e b =d
2) Adição: (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)
3) Multiplicação: (a,b) . (c,d) = (ac – bd, ad + bc)
12.3.2. Conjuntos Numéricos Complexos
Um conjunto numérico complexo é representado por ℂ e corresponde ao
conjunto dos pares ordenados de números reais para os quais estão definidas
as operações do item anterior.
z ∈ ℂ ⇔ z = ( x, y ); x, y ∈ ℝ
Exemplos:
1) z1 = (3,2) e z2 = (4,0). Calcule z1 + z2; z1 . z2 e z12.
z1 + z2 = (3 + 4, 2 + 0) = (7,2)
z1 . z2 = (3.4 – 2.0, 3.0 + 2.4) = (12,8)
z12 = (3,2).(3,2) = (3.3 – 2.2, 3.2 + 2.3) = (5,12)
2) z1 = (1,2) e z2 = (3,4). Calcule z, tal que z1 + z = z2.
z = (x,y) ⇒ (1,2) + (x,y) = (3,4)
1+x=3 ⇒ x=3–1=2
2+y=4 ⇒ y=4–2=2
z = (2,2)
⇒ (1 + x, 2 + y) = (3,4)
3) z1 = (1,-1) e z2 = (2,3). Calcule z, tal que z1.z = z2.
z = (x,y) ⇒ (1,-1) . (x,y) = (2,3)
⇒ (x + y, y – x) = (2,3)
x + y = 2 (I)
y – x = 3 (II)
⇒ (x.1 – (-1).y, 1.y + (-1).x) = (2,3) ⇒
(I) + (II) ⇒ 2y = 5 ⇒ y = 5/2
x + y = 2 ⇒ x + 5/2 = 2 ⇒ x = 2 – 5/2 = -1/2
z = (-1/2, 5/2)
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Propriedades:
I. Adição:
Associativa: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
Comutativa: z1 + z2 = z2 + z1
Elemento Neutro: z = (0,0) = elemento neutro
⇒ z1 + z = z1
Elemento Simétrico: z + z´= (0,0). Logo, se z = (x,y), então z´= (-x,-y)
II. Multiplicação:
Associativa: (z1 . z2) . z3 = z1 . (z2 . z3)
Comutativa: z1 . z2 = z2 . z1
Distributiva: z1 . (z2 + z3) = z1 . z2 + z1 . z3
Elemento Neutro: z = (1,0) = elemento neutro
⇒ z 1 . z = z1
Exemplo: (2,3).(1,0) = (2.1 – 3.0, 2.0 + 3.1) = (2,3)
Elemento Inverso: z . z´´ = (1,0).

x
−y 
,
2
2
2
2 
x +y x +y 
Logo, se z = (x,y), então z´´ = 
⇒ inverso ou inverso multiplicativo.
Exemplo: Supondo que z1 = (1,2) e z2 = (3,4), calcule o resultado da divisão
de z1 por z2.
Fazer a divisão de z1 por z2 é o mesmo que multiplicar z1 pelo inverso de z2.
z1
3
−4
3 −4
= z1 .z´´2 = (1, 2).( 2
, 2
) = (1, 2).( , ) ⇒
2
2
z2
3 +4 3 +4
25 25
⇒
z1
3
−4
−4
3
 11 2 
= (1. − 2.( ),1.( ) + 2. ) =  , 
z2
25
25
25
25  25 25 
Nota: Unidade Imaginária (i)
⇒ corresponde ao número complexo (0,1).
i2 = (0,1).(0,1) = (0.0 – 1.1, 0.1 + 1.0) = (-1,0)
i3 = i2.i = (-1).i = -i
i4 = i2.i2 = (-1).(-1) = 1
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⇒ i2 = -1
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Normalmente, para todo n ∈ ℕ :
i4n = 1
i4n+1 = i
i4n+2 = -1
i4n+3 = -i
Dado um número complexo qualquer z = (x,y), temos:
z = (x,y) = (x,0) + (0,y) = (x,0) + (y.0 – 0.1, y.1 + 0.0) = (x,0) + (y,0).(0,1)
z = x + y.i ⇒ forma algébrica de escrever o número complexo.
x (número real) = denominado “parte real” de z.
y (número real) = denominado “parte imaginária” de z.
x = Re(z)
y = Im(z)
Nota: Chama-se real todo número complexo cuja parte imaginária é nula e
chama-se imaginário puro todo número complexo cuja parte real é nula e a
imaginária não.
z = x + 0.i
z = 0 + y.i
⇒ z = x é real
⇒ z = y.i é imaginário puro
A forma algébrica é muito mais prática que o par ordenado, pois facilita as
operações. Veja:
Igualdade: a + b.i = c + d.i
⇒ a = c e b = d.
Adição: (a + b.i) + (c + d.i) = (a + c) + (b + d).i
Multiplicação: (a + b.i) . (c + d.i) = a.c + a.d.i + b.c.i + b.d.i2
Como i2 = -1
(a + b.i) . (c + d.i) = a.c + a.d.i + b.c.i + b.d.(-1) = (a.c – b.d) + (a.d + b.c).i
Exemplo: Dados z1 = 1 + 2.i e z2 = 2 – i e z3 = 3 + i, calcule z1.z2.z3.
z1.z2.z3 = (1 + 2.i).(2 – i).(3 + i) = (1.2 – 1.i + 2.2.i – 2.i2).(3 + i) ⇒
⇒ z1.z2.z3 = (2 – 1.i + 4.i – 2.(-1)). (3 + i) = (4 + 3.i).(3 + i) ⇒
⇒ z1.z2.z3 = (4.3 + 4.i + 3.3.i + 3.i2) = (12 + 4.i + 9.i + 3.(-1)) ⇒
⇒ z1.z2.z3 = 9 + 13.i
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(2 + i )101 .(2 − i )50
Exemplo: Calcule
.
(−2 − i )100 .(i − 2) 49
(2 + i )101 .(2 − i )50
(2 + i )101.(2 − i )50
(2 + i ).(2 − i )
=
=
=
100
49
100
49
(−2 − i ) .(i − 2)
(−1).(2 + i ) .(2 − i )
−1
2.2 − 2.i + 2.i − i 2 4 − (−1)
=
=
= −5
−1
−1
Nota:
(a + b) = (-1).(-a – b)
(a – b) = (-1).(-a + b)
(1 + i )80 − (1 + i )82
Exemplo: Calcule
.
i 96
(1 + i)2 = (1 + i). (1 + i) = 1.1 + 1.i + 1.i + i2 = 1 + 2.i + (-1) = 2.i
40
2
2
(1 + i )80 − (1 + i )82  (1 + i )  − (1 + i ) 
=
48
i 96
(i2 )
240. ( i 2 ) − 241.i. ( i 2 )
20
=
41
( 2.i ) − ( 2.i )
=
48
( −1)
40
41
=
20
1
= 240. ( −1) − 241.i. ( −1) = 240 − 241.i
20
20
Nota: Complexo Conjugado
Se z = x + y.i, o seu complexo conjugado é:
Logo, pode-se deduzir que o conjugado de
z = x − y.i
z = x − y.i
é z = x + y.i.
z = x + y.i ⇔ z = x − y.i
Propriedades do Conjugado:
z = 2.Re(z)
II) z - z = 2.Im(z).i
III) z = z ⇔ z ∈ ℝ
IV) z1 + z2 = z1 + z2
I) z +
V)
z1.z2 = z1.z2
Exemplos: z = 1 + 2.i. Logo,
z = 1 – 2.i
z = 1 + 2.i + 1 – 2.i = 2 = 2.Re(z)
II) z - z = 1 + 2.i – (1 - 2.i) = 1 + 2.i – 1 + 2.i = 4.i = 2.Im(z).i
I) z +
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Exemplo:
z1 = x1 + y1.i e z2 = x2 + y2.i
z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2).i
z1 + z2 = ( x1 + x2 ) − ( y1 + y2 ).i = ( x1 − y1 .i ) + ( x2 − y2 .i ) = z1 + z2
Exemplo:
z1 = x1 + y1.i e z2 = x2 + y2.i
z1 . z2 = x1.x2 + x1.y2.i + y1.x2.i + y1.y2.i2 = (x1.x2 - y1.y2) + (x1.y2 + y1.x2).i
z1.z2 = ( x1 .x2 − y1 . y2 ) − ( x1. y2 + y1 .x2 ).i = x1.( x2 − y2 .i ) − y1.i.( x2 − y2 .i ) ⇒
⇒ z1 .z2 = ( x1 − y1.i ).( x2 − y2 .i ) = z1 .z2
Nota: Utilização do conjugado na divisão: para calcular z2/z1, basta
multiplicar o denominador e o numerador pelo conjugado do
denominador.
Exemplo:
3 + 2.i (3 + 2.i ).(1 − i ) (3.1 − 3.i + 2.i − 2.i 2 ) 5 − i 5 1
=
=
=
= − .i
1+ i
(1 + i ).(1 − i )
(1 − i + i − i 2 )
2
2 2
Memorize para a prova:
Números Complexos:
Propriedades:
I. Adição:
Associativa: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
Comutativa: z1 + z2 = z2 + z1
Elemento Neutro: z = (0,0) = elemento neutro ⇒ z1 + z = z1
Elemento Simétrico: z + z´= (0,0). Logo, se z = (x,y), então z´= (-x,-y)
II. Multiplicação:
Associativa: (z1 . z2) . z3 = z1 . (z2 . z3)
Comutativa: z1 . z2 = z2 . z1
Distributiva: z1 . (z2 + z3) = z1 . z2 + z1 . z3
Elemento Neutro: z = (1,0) = elemento neutro
Elemento Inverso: z . z´´ = (1,0).
⇒ z 1 . z = z1
Normalmente, para todo n ∈ ℕ :
i4n = 1
i4n+1 = i
i4n+2 = -1
i4n+3 = -i
z = x + y.i ⇒ forma algébrica de escrever o número complexo.
x (número real) = denominado “parte real” de z.
y (número real) = denominado “parte imaginária” de z.
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Memorize para a prova:
Números Complexos:
Complexo Conjugado
Se z = x + y.i, o seu complexo conjugado é:
Logo, pode-se deduzir que o conjugado de
z = x − y.i
z = x − y.i
é z = x + y.i.
z = x + y.i ⇔ z = x − y.i
Propriedades do Conjugado:
z = 2.Re(z)
II) z - z = 2.Im(z).i
III) z = z ⇔ z ∈ ℝ
IV) z1 + z2 = z1 + z2
I) z +
V)
z1.z2 = z1.z2
Utilização do conjugado na divisão: para calcular z2/z1, basta multiplicar
o denominador e o numerador pelo conjugado do denominador.
Exemplo:
3 + 2.i (3 + 2.i ).(1 − i ) (3.1 − 3.i + 2.i − 2.i 2 ) 5 − i 5 1
=
=
=
= − .i
1+ i
(1 + i ).(1 − i )
(1 − i + i − i 2 )
2
2 2
12.4. Números e Grandezas Proporcionais
Tratamos deste assunto na aula 9.
12.5. Razão, Proporção e Divisão Proporcional
Razão: é o quociente entre dois números racionais, sendo que o denominador
deve ser diferente de zero.
Exemplos: 7/13, 3/5, 8/20, etc.
Equivalências entre Razões: duas razões são equivalentes quando o
resultado da divisão do numerador pelo denominador é igual.
Exemplo:
1 2 3 4
5
= = = = = ...
3 6 9 12 15
Proporção: é a igualdade entre duas razões.
Exemplo:
1 5
=
3 15
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Propriedades da Proporção: Considere a proporção
a c
=
b d
I) a.d = b.c
II)
a c
a+b c+d
= ⇒
=
b d
a
c
a−b c−d
ou
=
b
d
ou
ou
a+b c+d
=
b
d
a+c a c
= =
b+d b d
ou
ou
a −b c −d
=
a
c
a−c a c
= =
b−d b d
Exemplo: Gwen deseja calcular a altura do prédio onde mora. Para isso,
cravou uma vara de 2 metros, verticalmente ao solo. Esta vara, no horário da
medição, produziu uma sombra de 3 metros. No mesmo momento, Gwen
mediu a sombra de seu prédio e verificou que era de 30 metros. Determine a
altura do prédio.
2metros
x
=
⇒ 3.x = 2.30 ⇒ x = 2.10 = 20metros
3metros 30metros
Números Diretamente Proporcionais:
Se
x y z
= = , então x, y e z são diretamente proporcionais (a, b e c são
a b c
números racionais).
Sempre que uma grandeza for diretamente proporcional à outra, o aumento ou
diminuição de uma grandeza provocará, respectivamente, o aumento ou
diminuição da outra grandeza.
Exemplo: combustível gasto e quilômetros percorridos ⇒ quando mais
quilômetros percorremos com nosso carro, mais combustível gastamos; quanto
menos quilômetros percorremos com nosso carro, menos combustível
gastamos.
Números Inversamente Proporcionais:
Se x.a = y.b = z.c, então x, y e z são inversamente proporcionais (a, b e c são
números racionais).
Sempre que uma grandeza for inversamente proporcional à outra, o aumento
ou diminuição de uma grandeza provocará, respectivamente, a diminuição ou
aumento da outra grandeza.
Exemplo: tempo de viagem e velocidade do percurso ⇒ quando maior
velocidade de nosso carro, menor será o tempo de viagem; quanto menor a
velocidade de nosso carro, maior será o tempo de viagem.
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Exemplos Práticos:
1. Sabendo-se que 5 kg de arroz custam R$ 10,00, qual será o preço de 13 kg
do mesmo arroz?
Grandezas: quilos de arroz e preço (diretamente proporcionais => quanto
maior a quantidade de arroz, maior o preço).
5kg R$10,00
=
⇒ 5.x = 13.10 ⇒ x = 13.2 = R$26,00
13kg
x
2. Duas torneiras completamente abertas enchem um tanque em 90 minutos.
Em quanto tempo 9 torneiras semelhantes às primeiras, também
completamente abertas, encheriam esse mesmo tanque?
Nesta questão, torneiras e tempo são grandezas inversamente proporcionais,
ou seja, quanto maior o número de torneiras, menor o tempo gasto para
encher o tanque. Deste modo, temos:
2torneiras.90 min = 9torneiras.x ⇒ 2.90 = 9.x ⇒
⇒ x = 2.10 = 20 min
ou
9torneiras 90 min
=
⇒ 9.x = 2.90 ⇒ x = 20 min
2torneiras
x
Memorize para a prova:
Razão: é o quociente entre dois números
denominador deve ser diferente de zero.
Exemplos: 7/13, 3/5, 8/20, etc.
racionais,
sendo
que
o
Equivalências entre Razões: duas razões são equivalentes quando o
resultado da divisão do numerador pelo denominador é igual.
Exemplo:
1 2 3 4
5
= = = = = ...
3 6 9 12 15
Proporção: é a igualdade entre duas razões.
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Memorize para a prova:
Propriedades da Proporção: Considere a proporção
a c
=
b d
I) a.d = b.c
II)
a c
a+b c+d
= ⇒
=
b d
a
c
a−b c−d
ou
=
b
d
ou
ou
a+b c+d
=
b
d
a+c a c
= =
b+d b d
ou
ou
a −b c −d
=
a
c
a−c a c
= =
b−d b d
Números Diretamente Proporcionais:
Se
x y z
= = , então x, y e z são diretamente proporcionais (a, b e c são
a b c
números racionais).
Sempre que uma grandeza for diretamente proporcional à outra, o aumento
ou diminuição de uma grandeza provocará, respectivamente, o aumento ou
diminuição da outra grandeza.
Números Inversamente Proporcionais:
Se x.a = y.b = z.c, então x, y e z são inversamente proporcionais (a, b e c
são números racionais).
Sempre que uma grandeza for inversamente proporcional à outra, o aumento
ou diminuição de uma grandeza provocará, respectivamente, a diminuição ou
aumento da outra grandeza.
12.6. Regra de Três Simples e Regra de Três Composta
Regra de Três Simples: são formadas por uma igualdade entre duas razões
(proporção).
Regra de Três Composta: são formadas por uma igualdade entre mais de
duas razões (proporção).
Exemplos Práticos:
1. Com 10 kg de farinha é possível fazer 100 pães. Quantos quilogramas de
farinha são necessários para produzir 5.000 pães?
As grandezas quantidade de farinha e quantidades de pães são diretamente
proporcionais, pois quanto maior a quantidade de pães, maior a quantidade de
farinha.
10 kg de farinha ===== 100 pães
x
===== 5.000 pães
100.x = 10 . 5.000 ⇒ x = 10 . 50 = 500 kg de farinha
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2. Vovô Max, conhecido professor de Raciocínio Lógico-Quantitativo, demora
30 minutos para digitar uma página de seu curso online. Quantos dias Vovô
Max levará para digitar uma aula de seu curso online, que possui 120 páginas?
As grandezas tempo de digitação e número de páginas são diretamente
proporcionais, tendo que vista que, quanto maior o número de páginas, maior
o tempo para digitá-las.
30 minutos ===== 1 página
x
===== 120 páginas
x = 120 . 30 = 3.600 minutos = 3.600/60 minutos = 60 horas/24 horas
⇒ x = 2,5 dias
⇒
3. Em uma fábrica, 25 máquinas produzem 15.000 peças de automóvel em 12
dias, trabalhando 10 horas por dia. Quantas horas por dia deverão trabalhar
30 dessas máquinas para produzir 18.000 peças em 15 dias?
Relações:
I. Quanto mais horas por dia forem trabalhadas, menos máquinas serão
necessárias (grandezas inversamente proporcionais).
II. Quanto mais horas por dia forem trabalhadas, menos dias serão
necessários (grandezas inversamente proporcionais).
III. Quanto mais horas por dia forem trabalhadas, mais peças serão produzidas
(grandezas diretamente proporcionais).
Horas/Dia
10
X
Máquinas
25
30
Dias
12
15
Número de Peças
15.000
18.000
10 30 15 15.000 10 6 5 5
10 5
= . .
⇒ = . . => = ⇒
x 25 12 18.000
x 5 4 6
x 4
2 1
⇒ = ⇒ x = 8horas / dia
x 4
Memorize para a prova:
Regra de Três Simples: são formadas por uma igualdade entre duas razões
(proporção).
Regra de Três Composta: são formadas por uma igualdade entre mais de
duas razões (proporção).
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12.7. Porcentagem
As porcentagens são razões cujo denominador é 100. Também são conhecidas
como razões centesimais e taxas percentuais. Não entendeu? Vamos ver uma
questão de prova para entender melhor o assunto.
Porcentagem:
q
ou q%, onde q é um número.
100
Já caiu em prova! (AFC-CGU-2004-Esaf) Durante uma viagem para visitar
familiares com diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas
mudanças em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu
20% de seu peso. A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de
uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma
sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento.
Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo
25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada
confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O
peso final de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao
peso imediatamente anterior ao início dessa seqüência de visitas, ficou:
a) exatamente igual
b) 5% maior
c) 5% menor
d) 10% menor
e) 10% maior
Alice
⇒ Peso Inicial = P
I - Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso.
20% =
20
= 0, 20
100
P1 = P – 20%.P = P – 0,20.P = 0,80.P
II - A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o
que fez Alice ganhar 20% de peso.
P2 = 0,8.P + 20%.0,8.P = 0,8.P + 0,20 x 0,80.P = 0,80.P + 0,16.P = 0,96.P
III - Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de
emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também
emagreceu, perdendo 25% de peso.
25% =
25
= 0, 25
100
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P3 = 0,96.P – 25%.0,96.P = 0,96.P – 0,25 x 0,96 .P ⇒
⇒ P3 = 0,96.P – 0,24.P = 0,72.P
IV - Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria,
visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de
Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao peso
imediatamente anterior ao início dessa seqüência de visitas, ficou:
PFinal = 0,72.P + 25%.0,72.P = 0,72.P + 0,25 x 0,72.P
⇒ PFinal = 0,72.P + 0,18.P = 0,90.P =
⇒
90
.P = 90%.P
100
Portanto, o peso final é 10% menor que o peso imediatamente anterior
ao início dessa seqüência de visitas.
GABARITO: D
Memorize para a prova:
Porcentagens: são razões cujo denominador é 100.
Porcentagem:
q
ou q%, onde q é um número.
100
12.8. Raciocínio Sequencial, Orientação Espacial e Temporal, Formação
de Conceitos e Discriminação de Elementos
Este tópico abrange aquelas questões estilo “psicotécnico”, ou seja, são
questões para testar, efetivamente e literalmente, o seu raciocínio lógico.
Vamos ver alguns exemplos:
Exemplo 1: Assinale a alternativa que completa a seguinte seqüência: 1/2,
2/3, 3/5, 5/7, 7/11, 11/13, ....
a) 11/15
b) 13/15
c) 13/17
d) 15/17
e) 15/19
Repare a seqüência: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13
de números primos.
⇒ ela corresponde a uma seqüência
Na seqüência da questão, o numerador da fração anterior é igual ao
denominador da fração seguinte. Repare:
1/2, 2/3, 3/5, 5/7, 7/11, 11/13, ....
Logo, o próximo numerador é 13 e o denominador é o número primo após 13
(17) ⇒ 13/17.
GABARITO: C
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Exemplo 2: Assinale a alternativa que completa a seqüência abaixo:
9
16
25
4
1
36
0
a) 40
b) 49
c) 44
d) 81
e) 64
Repare que a seqüência corresponde aos números, em ordem crescente, a
partir do zero, elevados ao quadrado:
02 = 0; 12 = 1; 22 = 4; 32 = 9; 42 = 16; 52 = 25; 62 = 36; 72 = 49; ...
GABARITO: B
Exemplo 3: Assinale a alternativa que contém as letras que completam a
seqüência abaixo:
C .J .E P.N .M
=
A.H .C
........
a) M.N.J
b) N.L.J
c) J.H.G
d) N.M.I
e) N.M.J
As letras do denominador ocupam duas posições a menos no alfabeto que suas
correspondentes no numerador.
C ⇒ menos duas letras ⇒ A
J ⇒ menos duas letras ⇒ H
E ⇒ menos duas letras ⇒ C
P ⇒ menos duas letras => N
N ⇒ menos duas letras => L
M ⇒ menos duas letras => J
⇒ N.L.J
GABARITO: B
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Exemplo 4: Assinale a alternativa que completa a seqüência de dominós
abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
Repare que somando 2 a cada número obtém-se o número seguinte
(lembrando que, no dominó, os números variam de 0 a 6). Seqüência de
números no dominó: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
0+2=2+2=4+2=6+2=1+2=3+2=5+2=0
GABARITO: C
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Exemplo 5: Assinale a alternativa que completa a seqüência abaixo:
?
a)
b)
c)
d)
e)
A figura gira 900 no sentido horário e o traço, que começa no meio, vai
alternando a sua posição. Logo, a próxima figura da seqüência será:
c)
GABARITO: C
12.9. Outros Assuntos que Podem Cair em Prova
12.9.1. Progressão Aritmética (PA)
É toda seqüência numérica cujos termos, a partir do segundo, são iguais ao
anterior somado com um valor constante denominado razão.
Exemplos:
PA1 = (1, 5, 9, 13, 17, 21, ...) ⇒ razão = 4 (PA crescente)
PA2 = (15,15, 15, 15, 15, 15, 15, ...) ⇒ razão = 0 (PA constante)
PA3 = (100, 90, 80, 70, 60, 50, ...) ⇒ razão = -10 (PA decrescente)
Seja a PA (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r.
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De acordo com a definição:
a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
(...)
an = a1 + (n – 1) . r ⇒ Termo Geral da PA
n ⇒ termo de ordem n (n-ésimo termo)
r ⇒ razão
a1 ⇒ primeiro termo
Exemplo: Determine o milésimo termo da PA abaixo.
PA = (1, 3, 5, 7, 9, ...)
a1= 1
r=3–1=2
a1000 (n = 1.000) = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999
Considere:
aj ⇒ termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA
ak ⇒ termo de ordem k (k-ésimo termo) da PA
aj = ak + (j - k).r
Exemplo: Se numa PA, o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a
sua razão?
a5 = 30
a20 = 60
a20 = a5 + (20 - 5) . r ⇒ 60 = 30 + (20 - 5).r ⇒
⇒ 60 - 30 = 15.r ⇒ r = 2
Propriedades:
I. Cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos
deste.
Exemplo:
PA : (x, y, z) ⇒ y = (x + z) / 2
Sabe-se que: x = y – r e z = y + r => (x + z)/2 = (y - r + y + r)/2 = 2y/2 = y
II. A soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.
Exemplo:
PA : (m, n, r, s, t) ⇒ m + t = n + s = r + r = 2r
Soma dos n primeiros termos de uma PA
Considere a seguinte PA = (a1, a2, a3, ..., an-1, an)
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an =
a1 + an
.n
2
Exemplo: Calcule a soma dos 200 primeiros termos da PA abaixo.
PA= (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ...)
a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399
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Sn =
a1 + an
1 + 399
.n =
.200 = 40.000
2
2
Já caiu em prova! (APO-MPOG-2010-Esaf) Ana é nutricionista e está
determinando o peso médio – em quilos (kg) – de todos seus 50 clientes.
Enquanto Ana está somando os pesos de seus clientes, para calcular a média
aritmética entre eles, sem perceber, ela troca os dígitos de um dos pesos; ou
seja, o peso XY kg foi trocado por YX kg. Essa troca involuntária de dígitos
alterou a verdadeira média dos pesos dos 50 clientes; a média aritmética ficou
acrescida de 0,9 kg. Sabendo-se que os pesos dos 50 clientes de Ana estão
entre 28 e 48 kg, então o número que teve os dígitos trocados é, em quilos,
igual a:
a) 38
b) 45
c) 36
d) 40
e) 46
Média Correta dos Pesos = (P1 + P2 + .... + P50)/50
Suponha que o peso P1 é aquele que teve os dígitos trocados, ou seja, P1 era
igual a XY, mas Ana considerou YX.
Média Correta dos Pesos (MC) = (XY + P2 + .... + P50)/50 (I)
Média Incorreta dos Pesos (MI) = (YX + P2 + .... + P50)/50 (II)
Fazendo (II) – (I): MI – MC = (YX – XY)/50 (III)
MI = MC + 0,9 kg (dado da questão) ⇒ MI – MC = 0,9 (IV)
Como (III) = (IV):
(YX – XY)/50 = 0,9
⇒ YX – XY = 45
Como o número está entre 28 e 48, vamos testar:
XY = 28 ⇒ YX = 82 ⇒ YX – XY = 82 – 28 = 54
XY = 29 ⇒ YX = 92 ⇒ YX – XY = 92 – 29 = 63
XY = 30 ⇒ YX = 3 ⇒ Como YX é menor, a diferença será negativa.
XY = 31 ⇒ YX = 13 ⇒ Como YX é menor, a diferença será negativa.
XY = 32 ⇒ YX = 23 ⇒ Como YX é menor, a diferença será negativa.
XY = 33 ⇒ YX = 33 ⇒ YX – XY = 0
XY = 34 ⇒ YX = 43 ⇒ YX – XY = 43 – 34 = 9
XY = 35 ⇒ YX = 53 ⇒ YX – XY = 53 – 35 = 18
XY = 36 ⇒ YX = 63 ⇒ YX – XY = 63 – 36 = 27
XY = 37 ⇒ YX = 73 ⇒ YX – XY = 73 – 37 = 36
XY = 38 ⇒ YX = 83 ⇒ YX – XY = 83 – 38 = 45
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Repare que é uma PA de
razão 9.
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Ou:
YX = 10Y + X
XY = 10X + Y
YX – XY = 45 ⇒ 10Y + X – 10X – Y = 45 ⇒ 9Y – 9X = 45 ⇒
⇒ Y – X = 5 (logo, a única alternativa possível é 38 ⇒ Y – X = 8 – 3 = 5)
GABARITO: A
Memorize para a prova:
Progressão Aritmética:
a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
(...)
an = a1 + (n – 1) . r ⇒ Termo Geral da PA
n ⇒ termo de ordem n (n-ésimo termo)
r ⇒ razão
a1 ⇒ primeiro termo
Considere:
aj ⇒ termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA
ak ⇒ termo de ordem k (k-ésimo termo) da PA
aj = ak + (j - k).r
Propriedades:
I. Cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos
deste.
II. A soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.
Exemplo:
PA : (m, n, r, s, t) ⇒ m + t = n + s = r + r = 2r
Soma dos n primeiros termos de uma PA
Considere a seguinte PA = (a1, a2, a3, ..., an-1, an)
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an =
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a1 + an
.n
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12.9.2. Progressão Geométrica (PG)
É toda seqüência numérica cujos termos, a partir do segundo, são iguais ao
anterior multiplicado por um valor constante denominado razão (q).
Exemplos:
PG1 = (1, 3, 9, 27, 81,...) ⇒ razão = 3 (PG crescente)
PG2 = (15,15, 15, 15, 15, ...) ⇒ razão = 1 (PG constante ou estacionária)
PG3 = (128, 64, 32, 16, 8, 4, ...) ⇒ razão = 1/2 (PG decrescente)
PG4 = (1, -3, 9, -27, 81,...) ⇒ razão = -3 (PG alternante)
Seja a PG (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r.
De acordo com a definição:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2
a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3
(...)
an = a1 . qn-1 ⇒ Termo Geral da PG
n ⇒ termo de ordem n (n-ésimo termo)
q ⇒ razão
a1 ⇒ primeiro termo
Exemplo: Determine o milésimo termo da PG abaixo.
PA = (1, 3, 9, 27, 81, ...)
a1= 1
q = 3/1 = 3
a1000 (n = 1.000) = a1 .qn-1 = 1.31000-1 = 3999
Considere:
aj ⇒ termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA
ak ⇒ termo de ordem k (k-ésimo termo) da PA
aj = ak . q(j-k)
Exemplo: Se numa PG, o segundo termo é 3 e o sexto termo é 243, qual a
sua razão?
a2 = 3
a6 = 243
a6 = a2 . q6-2 ⇒ 243 = 3 . q4 ⇒
⇒ 81 = q4 ⇒ q = 3
Propriedades:
I. Cada termo (a partir do segundo) é a média geométrica dos termos vizinhos
deste.
Exemplo:
PG: (x, y, z)
⇒ y=
x.z
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Sabe-se que: x = y/q e z = y . q
⇒
x.z =
y
. y.q = y 2 = y
q
II. O produto dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.
Exemplo:
PG : (m, n, r, s, t) ⇒ m . t = n . s = r . r = r2
Soma dos n primeiros termos de uma PG
Considere a seguinte PG = (a1, a2, a3, ..., an-1, an)
a1 .(1 − q n )
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an =
,q ≠1
1− q
Exemplo: Calcule a soma dos 200 primeiros termos da PG abaixo.
PA= (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1.024, ... )
a1 .(1 − q n ) 1.(1 − 2200 )
Sn =
=
= 2200 − 1
1− q
1− 2
Nota:
1) Se q = 1
2) Se 0 <
3)
Pn =
q
⇒ Sn = n.a1
< 1 e a PG for crescente e infinita: Sn (n muito grande) =
( a1.an )
n
a1
1− q
⇒ produto dos n primeiros termos de uma PG.
Memorize para a prova:
Progressão Geométrica:
Seja a PG (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r.
De acordo com a definição:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2
a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3
(...)
an = a1 . qn-1 ⇒ Termo Geral da PG
n ⇒ termo de ordem n (n-ésimo termo)
q ⇒ razão
a1 ⇒ primeiro termo
Considere:
aj ⇒ termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA
ak ⇒ termo de ordem k (k-ésimo termo) da PA
aj = ak . q(j-k)
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Memorize para a prova:
Propriedades:
I. Cada termo (a partir do segundo) é a média geométrica dos termos
vizinhos deste.
Exemplo:
⇒ y=
PG: (x, y, z)
x.z
Sabe-se que: x = y/q e z = y . q
⇒
x.z =
y
. y.q = y 2 = y
q
II. O produto dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.
Exemplo:
PG : (m, n, r, s, t) ⇒ m . t = n . s = r . r = r2
Soma dos n primeiros termos de uma PG
Considere a seguinte PG = (a1, a2, a3, ..., an-1, an)
a1 .(1 − q n )
,q ≠1
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an =
1− q
Nota:
1) Se q = 1
2) Se 0 <
3)
Pn =
⇒ Sn = n.a1
q
< 1 e a PG for crescente e infinita: Sn (n muito grande) =
( a1.an )
n
a1
1− q
⇒ produto dos n primeiros termos de uma PG.
12.9.3. Movimento Uniforme
É o movimento que se caracteriza pela velocidade constante em qualquer
instante ou intervalo de tempo. Podemos dizer ainda que o móvel percorre
distâncias iguais em intervalos de tempos iguais.
Instante t0
v
Instante t
v
S0
S
a = aceleração = zero
v = velocidade = constante e diferente de zero
s = posição no instante t
s0 = posição no instante t0
s = s0 + v.t
Velocidade = Distância Percorrida/Variação do Tempo
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Memorize para a prova:
Movimento Uniforme:
a = aceleração = zero
v = velocidade = constante e diferente de zero
s = posição no instante t
s0 = posição no instante t0
s = s0 + v.t
Velocidade = Distância Percorrida/Variação do Tempo
Já caiu em prova! (AFC-STN-2008-Esaf) Uma equipe de três policiais está
em uma viatura perseguindo o carro de Telma e Louise que corre por uma
estrada reta onde existe um túnel construído também em linha reta. Antes de
chegarem até o túnel, os policiais avistam o carro de Telma e Louise que já
está dentro do túnel - , exatamente a 200 metros de uma das extremidades.
Na posição em que o carro das moças se encontra, elas acreditam que têm
duas opções de fuga: continuar dirigindo no sentindo em que se encontram ou
dirigirem em direção à polícia. A partir da velocidade do carro de Telma e
Louise e da velocidade da viatura, os policiais concluíram, acertadamente, que
as moças não poderão fugir se forem capturadas no túnel. Ou seja, os policiais
poderão
apanhá-las
numa
ou
noutra
extremidade
do
túnel,
independentemente da direção que elas tomarem. Sabe-se que o carro de
Telma e Louise e a viatura dos policiais locomovem-se a velocidades
constantes. Sabe-se, também, que o túnel tem um quilômetro de
comprimento. Desse modo, conclui-se que a relação entre a velocidade da
viatura e a do carro das moças é dada por:
a) 3/2
b) 3/5
c) 7/5
d) 3/4
e) 5/3
I – Hipótese I: Telma e Louise tentam fugir pela entrada do túnel.
Túnel = 1 km = 1.000 m
Telma
Louise
200 m
vp
vt
Polícia
800 m
A
X
0
Repare que a questão estabelece que a distância do carro de Telma e Louise a
uma das extremidades do túnel é de 200 metros, mas não estabelece qual é a
extremidade. Nesta hipótese, considerei que a distância até a saída de túnel é
de 200 metros.
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Como os policiais irão apanhá-las em uma ou outra extremidade do túnel,
temos que, na extremidade “A”, nesta hipótese, os carros irão se encontrar:
Polícia: sp = so + vp.t ⇒ sp = 0 + vp.t ⇒ sp = vp.t (I)
Telma e Louise: st = so + vt.t ⇒ st = (x + 800) - vt.t (II) ⇒ repare que a
velocidade do carro de Telma e Louise é em sentido contrário de nosso eixo de
referência. Por isso, o sinal negativo.
No instante “t”, quando s = x, os carros se encontram:
sp = st = x
sp = vp.t ⇒ x = vp.t ⇒ t = x/vp
Substituindo em (II): st = (x + 800) - vt.t
⇒ vt/vp = 800/x
⇒ x = x + 800 - vt.x/vp ⇒
II – Hipótese II: Telma e Louise tentam fugir pela saída do túnel.
Túnel = 1 km = 1.000 m
vt
B
200 m
vp
Telma
Louise
Polícia
800 m
A
X
0
Como os policiais irão apanhá-las em uma ou outra extremidade do túnel,
temos que na extremidade “B”, nesta hipótese, os carros irão se encontrar:
Polícia: sp = so + vp.t ⇒ sp = 0 + vp.t ⇒ sp = vp.t (I)
Telma e Louise: st = so + vt.t ⇒ st = (x + 800) + vt.t (II)
No instante “t”, quando s = x + 1.000, os carros se encontram:
sp = st = x + 1.000
sp = vp.t ⇒ x + 1.000 = vp.t ⇒ t = (x + 1.000)/vp
Substituindo em (II): st = (x + 800) + vt.t ⇒
⇒ x + 1.000 = x + 800 + vt.(x + 1.000)/vp ⇒
⇒ vt/vp = 200/(x + 1.000)
Relações obtidas:
I: vt/vp = 800/x ⇒ x = 800/(vt/vp) = 800.vp/vt (III)
II: vt/vp = 200/(x + 1.000) (IV)
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Substituindo (III) em (IV):
vt
200
=
=
v p x + 1.000
⇒
⇒
200
1
=
⇒
vp
vp
800. + 1.000 4. + 5
vt
vt
vt
=
vp
 vp

⇒ vt .  4. + 5  = v p ⇒ 4.v p + 5.vt = v p ⇒ 5.vt = −3.v p ⇒
v
 vt

4. p + 5
vt
vp
−5
3
vt
=
1
Se fizéssemos considerando que a distância de 200 m é em relação à entrada
do túnel, teríamos:
I – Hipótese I: Telma e Louise tentam fugir pela entrada do túnel.
Túnel = 1 km = 1.000 m
Telma
Louise
800 m
vp
vt
Polícia
200 m
A
X
0
Como os policiais irão apanhá-las em uma ou outra extremidade do túnel,
temos que, na extremidade “A”, nesta hipótese, os carros irão se encontrar:
Polícia: sp = so + vp.t ⇒ sp = 0 + vp.t ⇒ sp = vp.t (I)
Telma e Louise: st = so + vt.t ⇒ st = (x + 200) - vt.t (II) =>repare que a
velocidade do carro de Telma e Louise é em sentido contrário de nosso eixo de
referência. Por isso, o sinal negativo.
No instante “t”, quando s = x, os carros se encontram:
sp = st = x
sp = vp.t ⇒ x = vp.t ⇒ t = x/vp
Substituindo em (II): st = (x + 200) - vt.t ⇒ x = x + 200 - vt.x/vp
⇒ vt/vp = 200/x
⇒
II – Hipótese II: Telma e Louise tentam fugir pela saída do túnel.
Túnel = 1 km = 1.000 m
vt
B
800 m
vp
Telma
Louise
Polícia
200 m
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A
X
0
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Como os policiais irão apanhá-las em uma ou outra extremidade do túnel,
temos que na extremidade “B”, nesta hipótese, os carros irão se encontrar:
Polícia: sp = so + vp.t ⇒ sp = 0 + vp.t ⇒ sp = vp.t (I)
Telma e Louise: st = so + vt.t ⇒ st = (x + 200) + vt.t (II)
No instante “t”, quando s = x + 1.000, os carros se encontram:
sp = st = x + 1.000
sp = vp.t ⇒ x + 1.000 = vp.t ⇒ t = (x + 1.000)/vp
Substituindo em (II): st = (x + 200) + vt.t ⇒
⇒ x + 1.000 = x + 200 + vt.(x + 1.000)/vp ⇒
⇒ vt/vp = 800/(x + 1.000)
Relações obtidas:
I: vt/vp = 200/x ⇒ x = 200/(vt/vp) = 200.vp/vt (III)
I: vt/vp = 800/(x + 1.000) (IV)
Substituindo (III) em (IV):
vt
800
=
=
v p x + 1.000
⇒
⇒
800
4
=
⇒
vp
vp
200. + 1.000 1. + 5
vt
vt
 vp

vt
4
=
⇒ vt .  + 5  = 4.v p ⇒ v p + 5.vt = 4.v p ⇒ 5.vt = 3.v p ⇒
vp vp
 vt

+5
vt
vp
vt
=
5
3
GABARITO: E
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12.10. Memorize para a prova
Operações com Pares Ordenados:
1) Igualdade: (a,b) = (c,d) ⇔ a = c e b =d
2) Adição: (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)
3) Multiplicação: (a,b) . (c,d) = (ac – bd, ad + bc)
Números Complexos:
Propriedades:
I. Adição:
Associativa: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
Comutativa: z1 + z2 = z2 + z1
Elemento Neutro: z = (0,0) = elemento neutro ⇒ z1 + z = z1
Elemento Simétrico: z + z´= (0,0). Logo, se z = (x,y), então z´= (-x,-y)
II. Multiplicação:
Associativa: (z1 . z2) . z3 = z1 . (z2 . z3)
Comutativa: z1 . z2 = z2 . z1
Distributiva: z1 . (z2 + z3) = z1 . z2 + z1 . z3
Elemento Neutro: z = (1,0) = elemento neutro
Elemento Inverso: z . z´´ = (1,0).
⇒ z 1 . z = z1
Normalmente, para todo n ∈ ℕ :
i4n = 1
i4n+1 = i
i4n+2 = -1
i4n+3 = -i
z = x + y.i ⇒ forma algébrica de escrever o número complexo.
x (número real) = denominado “parte real” de z.
y (número real) = denominado “parte imaginária” de z.
Complexo Conjugado
Se z = x + y.i, o seu complexo conjugado é:
Logo, pode-se deduzir que o conjugado de
z = x − y.i
z = x − y.i
é z = x + y.i.
z = x + y.i ⇔ z = x − y.i
Propriedades do Conjugado:
z = 2.Re(z)
II) z - z = 2.Im(z).i
III) z = z ⇔ z ∈ ℝ
IV) z1 + z2 = z1 + z2
I) z +
V)
z1.z2 = z1 .z2
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Utilização do conjugado na divisão: para calcular z2/z1, basta multiplicar o
denominador e o numerador pelo conjugado do denominador.
Exemplo:
3 + 2.i (3 + 2.i ).(1 − i ) (3.1 − 3.i + 2.i − 2.i 2 ) 5 − i 5 1
=
=
=
= − .i
1+ i
(1 + i ).(1 − i )
(1 − i + i − i 2 )
2
2 2
Razão: é o quociente entre dois números racionais, sendo que o denominador
deve ser diferente de zero.
Exemplos: 7/13, 3/5, 8/20, etc.
Equivalências entre Razões: duas razões são equivalentes quando o
resultado da divisão do numerador pelo denominador é igual.
Exemplo:
1 2 3 4
5
= = = = = ...
3 6 9 12 15
Proporção: é a igualdade entre duas razões.
Propriedades da Proporção: Considere a proporção
a c
=
b d
I) a.d = b.c
II)
a c
a+b c+d
= ⇒
=
b d
a
c
a−b c−d
ou
=
b
d
ou
ou
a+b c+d
=
b
d
a+c a c
= =
b+d b d
ou
ou
a −b c −d
=
a
c
a−c a c
= =
b−d b d
Números Diretamente Proporcionais:
Se
x y z
= = , então x, y e z são diretamente proporcionais (a, b e c são
a b c
números racionais).
Sempre que uma grandeza for diretamente proporcional à outra, o aumento ou
diminuição de uma grandeza provocará, respectivamente, o aumento ou
diminuição da outra grandeza.
Números Inversamente Proporcionais:
Se x.a = y.b = z.c, então x, y e z são inversamente proporcionais (a, b e c são
números racionais).
Sempre que uma grandeza for inversamente proporcional à outra, o aumento
ou diminuição de uma grandeza provocará, respectivamente, a diminuição ou
aumento da outra grandeza.
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Regra de Três Simples: são formadas por uma igualdade entre duas razões
(proporção).
Regra de Três Composta: são formadas por uma igualdade entre mais de
duas razões (proporção).
Porcentagens: são razões cujo denominador é 100.
Porcentagem:
q
ou q%, onde q é um número.
100
Progressão Aritmética:
a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
(...)
an = a1 + (n – 1) . r ⇒ Termo Geral da PA
n ⇒ termo de ordem n (n-ésimo termo)
r ⇒ razão
a1 ⇒ primeiro termo
Considere:
aj ⇒ termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA
ak ⇒ termo de ordem k (k-ésimo termo) da PA
aj = ak + (j - k).r
Propriedades:
I. Cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos
deste.
II. A soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.
Exemplo:
PA : (m, n, r, s, t) ⇒ m + t = n + s = r + r = 2r
Soma dos n primeiros termos de uma PA
Considere a seguinte PA = (a1, a2, a3, ..., an-1, an)
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an =
a1 + an
.n
2
Progressão Geométrica:
Seja a PG (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r.
De acordo com a definição:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2
a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3
(...)
an = a1 . qn-1 ⇒ Termo Geral da PG
n ⇒ termo de ordem n (n-ésimo termo)
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q ⇒ razão
a1 ⇒ primeiro termo
Considere:
aj ⇒ termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA
ak ⇒ termo de ordem k (k-ésimo termo) da PA
aj = ak . q(j-k)
Propriedades:
I. Cada termo (a partir do segundo) é a média geométrica dos termos vizinhos
deste.
Exemplo:
PG: (x, y, z)
⇒ y=
x.z
Sabe-se que: x = y/q e z = y . q
⇒
x.z =
y
. y.q = y 2 = y
q
II. O produto dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.
Exemplo:
PG : (m, n, r, s, t) ⇒ m . t = n . s = r . r = r2
Soma dos n primeiros termos de uma PG
Considere a seguinte PG = (a1, a2, a3, ..., an-1, an)
a1 .(1 − q n )
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an =
,q ≠1
1− q
Nota:
1) Se q = 1
2) Se 0 <
3)
Pn =
q
⇒ Sn = n.a1
< 1 e a PG for crescente e infinita: Sn (n muito grande) =
( a1.an )
n
a1
1− q
⇒ produto dos n primeiros termos de uma PG.
Movimento Uniforme:
a = aceleração = zero
v = velocidade = constante e diferente de zero
s = posição no instante t
s0 = posição no instante t0
s = s0 + v.t
Velocidade = Distância Percorrida/Variação do Tempo
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12.11. Exercícios de Fixação
1.(AFRFB-2009-Esaf) Considere uma esfera, um cone, um cubo e uma
pirâmide. A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone. A esfera pesa o
mesmo que o cubo mais a pirâmide. Considerando ainda que dois cones
pesariam o mesmo que três pirâmides, quantos cubos pesa a esfera?
a) 4
b) 5
c) 3
d) 2
e) 1
2.(ATRFB-2009-Esaf) Sejam X, Y e Z três pontos distintos de uma reta. O
segmento XY é igual ao triplo do segmento YZ. O segmento XZ mede 32
centímetros. Desse modo, uma das possíveis medidas do segmento XY, em
centímetros, é igual a:
a) 27
b) 48
c) 35
d) 63
e) 72
3.(Assistente
Técnico-Administrativo-MF-2009-Esaf)
Com
50
trabalhadores, com a mesmo produtividade, trabalhando 8 horas por dia, uma
obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores, trabalhando 10 horas
por dia, com uma produtividade 20% menor que os primeiros, em quantos
dias a mesma obra ficaria pronta?
a) 24
b) 16
c) 30
d) 15
e) 20
4.(Assistente
Técnico-Administrativo-MF-2009-Esaf)
Existem
duas
torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for
aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda
torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas
torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o
tanque encherá?
a) 12 horas
b) 30 horas
c) 20 horas
d) 24 horas
e) 16 horas
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5.(Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças PúblicasSefaz/SP-2009-Esaf) Num acampamento escolar com crianças que
supostamente comem a mesma quantidade de comida por dia, havia comida
suficiente para exatamente 60 dias. Passados 20 dias, chegaram
inesperadamente mais vinte crianças que supostamente comiam a mesma
quantidade de comida por dia que as que estavam acampadas e que ficaram
10 dias no local antes de seguirem viagem. Se, ao fim de 50 dias, a contar do
início do acampamento, as crianças tiveram que ir embora porque a comida
havia acabado, quantas eram elas?
a) 120
b) 20
c) 30
d) 60
e) 10
6.(Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças PúblicasSefaz/SP-2009-Esaf) Suponha que um carro perde por ano 20% de seu
valor em relação ao ano anterior, uma moto perde por ano 30% de seu valor
em relação ao ano anterior e uma bicicleta perde por ano 10% de seu valor em
relação ao ano anterior. Além disso, suponha que o carro custa o dobro de
uma moto e uma moto o dobro de uma bicicleta. Sendo assim, ao final de 5
anos:
a) a bicicleta valerá mais que a moto.
b) o carro valerá mais que a moto e a moto valerá mais que a bicicleta.
c) nenhum dos 3 valerá nada.
d) a bicicleta valerá mais que o carro.
e) apenas a bicicleta valerá algo.
7.(Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças PúblicasSefaz/SP-2009-Esaf) Em uma cidade, às 15 horas, a sombra de um poste
de 10 metros de altura mede 20 metros e, às 16 horas do mesmo dia, a
sombra deste mesmo poste mede 25 m. Por interpolação e extrapolação
lineares, calcule quanto mediria a sombra de um poste de 20 metros, na
mesma cidade, às 15h30min do mesmo dia.
a) 45m
b) 35m
c) 20m
d) 50m
e) 65m
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8.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Se a idade de uma criança hoje é a diferença
entre a metade da idade que ela teria daqui a dez anos e a metade da idade
que ela tinha há dois anos, qual a sua idade hoje?
a) 3 anos.
b) 2 anos.
c) 4 anos.
d) 5 anos.
e) 6 anos.
9.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Uma picape para ir da cidade A para a cidade B
gasta dois tanques e meio de óleo diesel. Se a distância entre a cidade A e a
cidade B é de 500 km e neste percurso ele faz 100 km com 25 litros de óleo
diesel, quantos litros de óleo diesel cabem no tanque da picape?
a) 60
b) 50
c) 40
d) 70
e) 80
10.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Dois pintores com habilidade padrão
conseguem pintar um muro na velocidade de 5 metros quadrados por hora. Se
fossem empregados, em vez de dois, três pintores com habilidade padrão, os
três pintariam:
a) 15 metros quadrados em 3 horas.
b) 7,5 metros quadrados em 50 minutos.
c) 6 metros quadrados em 50 minutos.
d) 7,5 metros quadrados em 30 minutos.
e) 5 metros quadrados em 40 minutos.
11.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Uma empresa de turismo fechou um pacote
para um grupo de 80 pessoas, com o qual ficou acordado que cada pessoa que
participasse pagaria R$ 1.000,00 e cada pessoa que desistisse pagaria apenas
uma taxa de R$ 150,00. Se a empresa de turismo arrecadou um total de R$
59.600,00, qual a porcentagem das pessoas que desistiram do pacote?
a) 20%
b) 24%
c) 30%
d) 42%
e) 36%
12.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Um passageiro, para viajar de A para C, deve
ir de ônibus de A até B e de trem de B até C, sendo que B está na metade do
caminho entre A e C. Os ônibus, de A para B, e os trens, de B para C, saem
sempre no mesmo horário, a cada 20 minutos. Sabendo-se que a velocidade
média do ônibus para ir de A até B é de 60 km/h, que a distância entre A e C é
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de 100 km e que o passageiro chegou em B, pegou o primeiro trem que partia
para C e chegou em C exatamente uma hora e meia após partir de A, qual a
velocidade média do trem para ir de B até C?
a) 100 km/h
b) 90 km/h
c) 70 km/h
d) 80 km/h
e) 60 km/h
13.(ANA-2009-Esaf) Um rio principal tem, ao passar em determinado ponto,
20% de águas turvas e 80% de águas claras, que não se misturam. Logo
abaixo desse ponto desemboca um afluente, que tem um volume d água 30%
menor que o rio principal e que, por sua vez, tem 70% de águas turvas e 30%
de águas claras, que não se misturam nem entre si nem com as do rio
principal. Obtenha o valor mais próximo da porcentagem de águas turvas que
os dois rios terão logo apos se encontrarem.
a) 41%
b) 35%
c) 45%
d) 49%
e) 55%
14.(ANA-2009-Esaf) Em um ponto de um canal, passam em media 25
barcos por hora quando esta chovendo e 35 barcos por hora quando não esta
chovendo, exceto nos domingos, quando a freqüência dos barcos cai em 20%.
Qual o valor mais próximo do numero médio de barcos que passaram por hora
neste ponto, em um fim de semana, se choveu durante 2/3 das horas do
sábado e durante 1/3 das horas do domingo?
a) 24,33
b) 26,83
c) 25,67
d) 27,00
e) 30,00
15.(ANA-2009-Esaf) Alguns amigos apostam uma corrida num percurso em
linha reta delimitado com 20 bandeirinhas igualmente espaçadas. A largada e
na primeira bandeirinha e a chegada na ultima. O corredor que esta na frente
leva exatamente 13 segundos para passar pela 13a bandeirinha. Se ele
mantiver a mesma velocidade durante o restante do trajeto, o valor mais
próximo do tempo em que ele correra o percurso todo será de:
a) 17,54 segundos.
b) 19 segundos.
c) 20,58 segundos.
d) 20 segundos.
e) 21,67 segundos.
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16.(APO-Mpog-2008-Esaf) No último mês, cinco vendedores de uma grande
loja realizaram as seguintes vendas de pares de calçados: Paulo vendeu 71,
Ricardo 76, Jorge 80, Eduardo 82 e Sérgio 91. Ana é diretora de vendas e
precisa calcular a venda média de pares de calçados realizada por estes cinco
vendedores. Para este cálculo, a empresa disponibiliza um software que calcula
automaticamente a média de uma série de valores à medida que os valores
vão sendo digitados. Ana observou que, após digitar o valor de cada uma das
vendas realizadas pelos vendedores, a média calculada pelo software era um
número inteiro. Desse modo, o valor da última venda digitada por Ana foi a
realizada por:
a) Sérgio
b) Jorge
c) Paulo
d) Eduardo
e) Ricardo
17.(Enap-2006-Esaf) A média aritmética entre as idades de Ana, Amanda,
Clara e Carlos é igual a 16 anos. As idades de Ana e Amanda são,
respectivamente, iguais a seis e oito anos. Paulo, primo de Ana, é quatro anos
mais novo do que Carlos. Jorge, irmão de Amanda, é oito anos mais velho do
que Clara. Assim, a média aritmética entre as idades de Jorge e Paulo é, em
anos, igual a
a) 20.
b) 13.
c) 24.
d) 27.
e) 38.
18.(Enap-2006-Esaf) Quatro carros de cores diferentes, amarelo, verde, azul
e preto, não necessariamente nessa ordem, formam uma fila. O carro que está
imediatamente antes do carro azul é menos veloz do que o que está
imediatamente depois do carro azul. O carro verde é o menos veloz de todos e
está depois do carro azul. O carro amarelo está depois do carro preto. As cores
do primeiro e do segundo carro da fila, são, respectivamente,
a) amarelo e verde.
b) preto e azul.
c) azul e verde.
d) verde e preto.
e) preto e amarelo.
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19.(Aneel-2006-Esaf) Uma progressão aritmética é uma seqüência de
números a1, a2, a3,...., an, cuja lei de formação de cada um dos termos desta
seqüência é dada por uma soma, conforme representação a seguir:
a2 = a1 + r, a3 = a2 + r, a4 = a3 + r, ........an = an-1 + r,
onde r é uma constante, denominada razão da progressão aritmética. Uma
progressão geométrica é uma seqüência de números g1, g2, g3,......., gn, cuja
lei de formação de cada um dos termos desta seqüência é dada por um
produto, conforme representação a seguir:
g2 = g1 * q, g3 = g2 * q, g4 = g3 * q,.....gn = g n-1*q,
onde q é uma constante, denominada razão da progressão geométrica. Os
números A, B e 10 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Os
números 1, A e B formam, nesta ordem, uma progressão geométrica. Com
estas informações, pode-se afirmar que um possível valor para o produto entre
r e q é igual a:
a) -12
b) -15
c) 10
d) 12
e) 8
20.(Aneel-2006-Esaf) Ana foi visitar Bia que mora a uma distância de 150
km de sua casa. Ana percorreu esta distância em seu automóvel, com uma
determinada velocidade média, gastando x horas para chegar à casa de Bia.
Ana teria percorrido os mesmos 150 km em duas horas a menos, se a
velocidade média de seu automóvel fosse aumentada em 20 km/h
(quilômetros por hora). Com estas informações, pode-se concluir que Ana
percorreu os 150 km a uma velocidade média, em quilômetros por hora, igual
a:
a) 25
b) 30
c) 40
d) 35
e) 50
21.(Técnico-MPU-2004-Esaf) Um avião XIS decola às 13:00 horas e voa a
uma velocidade constante de x quilômetros por hora. Um avião YPS decola às
13:30 horas e voa na mesma rota de XIS, mas a uma velocidade constante de
y quilômetros por hora. Sabendo que y>x, o tempo, em horas, que o avião
YPS, após sua decolagem, levará para alcançar o avião XIS é igual a
a) 2 / (x+y) horas.
b) x / (y-x) horas.
c) 1 / 2x horas.
d) 1/ 2y horas.
e) x / 2 (y-x) horas.
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22.(AFC-CGU-2004-Esaf) Marco e Mauro costumam treinar natação na
mesma piscina e no mesmo horário. Eles iniciam os treinos simultaneamente,
a partir de lados opostos da piscina, nadando um em direção ao outro. Marco
vai de um lado a outro da piscina em 45 segundos, enquanto Mauro vai de um
lado ao outro em 30 segundos. Durante 12 minutos, eles nadam de um lado
para outro, sem perder qualquer tempo nas viradas. Durante esses 12
minutos, eles podem encontrar-se quer quando estão nadando no mesmo
sentido, quer quando estão nadando em sentidos opostos, assim como podem
encontrar-se quando ambos estão fazendo a virada no mesmo extremo da
piscina. Dessa forma, o número de vezes que Marco e Mauro se encontram
durante esses 12 minutos é:
a) 10
b) 12
c) 15
d) 18
e) 20
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12.12. Gabarito
1. B
2. B
3. C
4. E
5. B
6. A
7. A
8. E
9. B
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
E
C
A
A
B
C
B
D
B
A
B
E
E
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12.13. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos
1.(AFRFB-2009-Esaf) Considere uma esfera, um cone, um cubo e uma
pirâmide. A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone. A esfera pesa o
mesmo que o cubo mais a pirâmide. Considerando ainda que dois cones
pesariam o mesmo que três pirâmides, quantos cubos pesa a esfera?
a) 4
b) 5
c) 3
d) 2
e) 1
Resolução
Peso
Peso
Peso
Peso
da
do
do
da
Esfera = Pe
Cubo = Pcb
Cone = Pcn
Pirâmide = Pp
Pe + Pcb = Pcn (I)
Pe = Pcb + Pp ⇒ Pp = Pe – Pcb (II)
2.Pcn = 3.Pp (III)
Substituindo (II) em (III): 2.Pcn = 3.(Pe – Pcb)
⇒ Pcn = 1,5.(Pe – Pcb) (IV)
⇒ Pcn = (3/2).(Pe – Pcb) ⇒
Substituindo (IV) em (I): Pe + Pcb = 1,5.(Pe – Pcb)
⇒ Pe + Pcb = 1,5.Pe – 1,5.Pcb ⇒
⇒ 1,5.Pe – Pe = Pcb + 1,5.Pcb ⇒
⇒ 0,5.Pe = 2,5.Pcb ⇒ Pe = 5.Pcb
GABARITO: B
⇒
2.(ATRFB-2009-Esaf) Sejam X, Y e Z três pontos distintos de uma reta. O
segmento XY é igual ao triplo do segmento YZ. O segmento XZ mede 32
centímetros. Desse modo, uma das possíveis medidas do segmento XY, em
centímetros, é igual a:
a) 27
b) 48
c) 35
d) 63
e) 72
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Resolução
X, Y e Z ⇒ 3 pontos distintos de uma reta
XY = 3.YZ ⇒ YZ = XY/3
XZ = 32 cm
Supondo a seguinte configuração:
X
Z
Y
XY = XZ + ZY ⇒ XY = 32 + XY/3 ⇒ XY – XY/3 = 32 ⇒ 2.XY/3 = 32 ⇒
⇒ XY = 3 . 32/2 = 3 . 16 ⇒ XY = 48 cm (repare que a questão fala em
uma das possíveis medidas)
Supondo a seguinte configuração:
X
Y
XZ = XY + YZ ⇒ 32 = XY + XY/3 ⇒ 4.XY/3 = 32
⇒ XY = 3 . 32/4 = 3 . 8 ⇒ XY = 24 cm
GABARITO: B
Z
⇒
3.(Assistente
Técnico-Administrativo-MF-2009-Esaf)
Com
50
trabalhadores, com a mesmo produtividade, trabalhando 8 horas por dia, uma
obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores, trabalhando 10 horas
por dia, com uma produtividade 20% menor que os primeiros, em quantos
dias a mesma obra ficaria pronta?
a) 24
b) 16
c) 30
d) 15
e) 20
Resolução
I – O número de dias para terminar a obra é inversamente proporcional ao
número de trabalhadores, ou seja, quanto maior o número de trabalhadores,
menor o número de dias, e vice-versa.
II – O número de dias para terminar a obra é inversamente proporcional à
jornada de trabalho, ou seja, quanto maior a jornada de trabalho, menor o
número de dias, e vice-versa.
III – O número de dias para terminar a obra é inversamente proporcional à
produtividade, ou seja, quanto maior produtividade, menor o número de dias,
e vice-versa.
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Dias
24
X
Trabalhadores Jornada
50
8
40
10
Produtividade
P
(P – 20%.P) = 0,8P
24 40 10 0,8.P 5.0,8
= . .
=
= 0,8 ⇒ 0,8. X = 24 ⇒
X 50 8
P
5
24
⇒X=
= 30dias
0,8
GABARITO: C
4.(Assistente
Técnico-Administrativo-MF-2009-Esaf)
Existem
duas
torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for
aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda
torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas
torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o
tanque encherá?
a) 12 horas
b) 30 horas
c) 20 horas
d) 24 horas
e) 16 horas
Resolução
I. Torneira 1 aberta (T1) ⇒ Tanque enche em 24 horas
II. Torneira 2 aberta (T2) ⇒ Tanque enche em 48 horas
O tempo para encher o tanque com as duas torneiras juntas será sempre
calculado da seguinte maneira:
1 1 1
1 T +T
= + ⇒ = 2 1⇒
T T1 T2
T T1 × T2
⇒T =
T1 × T2
24 x 48 1.152
=
=
= 16horas
T1 + T2 24 + 48
72
GABARITO: E
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5.(Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças PúblicasSefaz/SP-2009-Esaf) Num acampamento escolar com crianças que
supostamente comem a mesma quantidade de comida por dia, havia comida
suficiente para exatamente 60 dias. Passados 20 dias, chegaram
inesperadamente mais vinte crianças que supostamente comiam a mesma
quantidade de comida por dia que as que estavam acampadas e que ficaram
10 dias no local antes de seguirem viagem. Se, ao fim de 50 dias, a contar do
início do acampamento, as crianças tiveram que ir embora porque a comida
havia acabado, quantas eram elas?
a) 120
b) 20
c) 30
d) 60
e) 10
Resolução
I. Número de crianças inicial: X
Tempo de Consumo da Comida = 60 dias
Quantidade de Comida Total = Q
Quantidade de Comida Consumida por Dia = Q/60
Quantidade de Comida Consumida por Criança por Dia = Q/(X.60)
II. Passados 20 dias: mais 20 crianças, que ficaram 10 dias no local.
Número de Crianças = X + 20
Tempo de Consumo Restante = 60 – 20 = 40 dias
Quantidade de Comida Consumida por Criança por Dia (não foi alterada) =
Q/(X.60)
III. Término da Comida ⇒ 50 dias após o início do acampamento
Cálculo:
Primeiros 20 dias: Quantidade de Comida Consumida (Q1)
Q1 = 20 dias x X crianças x Q/(X.60) = Q/3
Do dia 21 ao dia 30 (10 dias): Quantidade de Comida Consumida (Q2)
Q2 = 10 dias x (X + 20) crianças x Q/(X.60) = Q.(X + 20)/(6.X)
Do dia 31 ao dia 50 (20 dias): as 20 crianças foram embora.
Quantidade de Comida Consumida (Q3)
Q3 = 20 dias x X crianças x Q/(X.60) = Q/3
Q1 + Q2 + Q3 = Q
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Q Q.( X + 20) Q
+ =Q⇒
+
3
6. X
3
1 ( X + 20) 1
2 1
X + 20
⇒ +
+ =1⇒
= 1− = ⇒
3
6. X
3
6. X
3 3
⇒ 3. X + 60 = 6. X ⇒ 3. X = 60 ⇒ X = 20crianças
GABARITO: B
6.(Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças PúblicasSefaz/SP-2009-Esaf) Suponha que um carro perde por ano 20% de seu
valor em relação ao ano anterior, uma moto perde por ano 30% de seu valor
em relação ao ano anterior e uma bicicleta perde por ano 10% de seu valor em
relação ao ano anterior. Além disso, suponha que o carro custa o dobro de
uma moto e uma moto o dobro de uma bicicleta. Sendo assim, ao final de 5
anos:
a) a bicicleta valerá mais que a moto.
b) o carro valerá mais que a moto e a moto valerá mais que a bicicleta.
c) nenhum dos 3 valerá nada.
d) a bicicleta valerá mais que o carro.
e) apenas a bicicleta valerá algo.
Resolução
Preço do Carro (Pc) = 2.Preço da Moto (Pm) ⇒ Pc = 2.Pm
Preço da Moto (Pm) = 2.Preço da Bicicleta (Pb) ⇒ Pm = 2.Pb
Pc = 2.Pm = 2. 2.Pb = 4.Pb (I)
Carro ⇒ perde 20% de seu valor em relação ao ano anterior
Moto ⇒ perde 30% de seu valor em relação ao ano anterior
Bicicleta ⇒ perde 10% de seu valor em relação ao ano anterior
Ao final de 5 anos:
I. Carro:
Pc (ano 1) = Pc(ano 0) – 20%. Pc(ano 0) = 0,8. Pc(ano 0)
Pc (ano 2) = Pc(ano 1) – 20%. Pc(ano 1) = 0,8. Pc(ano 0) – 20%.0,8. Pc(ano 0)
Pc (ano 2) = 0,8. Pc (ano 0).(1 – 20%) = 0,8. Pc (ano 0).0,8 = 0,82.Pc(ano 0)
Logo, por dedução, ao final de 5 anos: Pc(ano 5) = 0,85.Pc(ano 0)
II. Moto:
Pm (ano 1) = Pm(ano 0) – 30%. Pm(ano 0) = 0,7. Pm(ano 0)
Pm (ano 2) = Pm(ano 1) – 30%.Pm(ano 1) = 0,7.Pm(ano 0) – 30%.0,7.Pm(ano
0)
Pm (ano 2) = 0,7. Pm (ano 0).(1 – 30%) = 0,7. Pm (ano 0).0,7 = 0,72.Pm(ano
0)
Logo, por dedução, ao final de 5 anos: Pm(ano 5) = 0,75.Pm(ano 0)
III. Bicicleta:
Pb (ano 1) = Pb(ano 0) – 10%. Pb(ano 0) = 0,9. Pb(ano 0)
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Pb (ano 2) = Pb(ano 1) – 10%.Pb(ano 1) = 0,9.Pb(ano 0) – 10%.0,9.Pb(ano 0)
Pb (ano 2) = 0,9. Pb (ano 0).(1 – 10%) = 0,9. Pb (ano 0).0,9 = 0,92.Pb(ano 0)
Logo, por dedução, ao final de 5 anos: Pb(ano 5) = 0,95.Pb(ano 0)
Portanto, temos:
Pc(ano 5) = 0,85.Pc(ano 0)
Pm(ano 5) = 0,75.Pm(ano 0)
Pb(ano 5) = 0,95.Pb(ano 0)
Relações
Pc (ano5) 0,85.Pc ( ano0) 0,85.2.Pm (ano0) 0,85.2
=
=
=
= 3,90
Pm (ano5) 0,75.Pm (ano0) 0, 75.Pm (ano0)
0, 75
O preço do carro no ano 5 é maior que o preço da moto no ano 5.
Pc (ano5) 0,85.Pc (ano0) 0,85.4.Pb (ano0) 0,85.4
=
=
=
= 2, 22
Pb (ano5) 0,95.Pb (ano0)
0,95.Pb (ano0)
0,95
O preço do carro no ano 5 é maior que o preço da bicicleta no ano 5.
Pm (ano5) 0,75.Pm (ano0) 0,75.2.Pm (ano0) 0,75.2
=
=
=
= 0,57
Pb (ano5) 0,95.Pb ( ano0)
0,95.Pb (ano0)
0,95
O preço da moto no ano 5 é menor que o preço da bicicleta no ano 5.
GABARITO: A
7.(Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças PúblicasSefaz/SP-2009-Esaf) Em uma cidade, às 15 horas, a sombra de um poste
de 10 metros de altura mede 20 metros e, às 16 horas do mesmo dia, a
sombra deste mesmo poste mede 25 m. Por interpolação e extrapolação
lineares, calcule quanto mediria a sombra de um poste de 20 metros, na
mesma cidade, às 15h30min do mesmo dia.
a) 45m
b) 35m
c) 20m
d) 50m
e) 65m
Resolução
15 horas ===== Sombra de Poste de 10 metros = 20 metros
16 horas ===== Sombra de Poste de 10 metros = 25 metros
Interpolação Linear: Sombra de um Poste de 10 metros às 15h30min
(16 – 15) horas = 1 hora ===== (25 – 20) metros = 5 metros
(15h30min – 15) horas = 0,5 hora ===== X
1.X = 0,5 . 5 => X = 2,5 metros
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Logo, às 15 h e 30 min, a sombra de um poste de 10 metros seria:
S = 20 metros + 2,5 metros = 22,5 metros
Contudo a questão pede a sombra de um poste de 20 metros às 15h30min.
Extrapolação Linear:
22,5 metros ===== 10 metros
S´
===== 20 metros
S´= (22,5 . 20)/10 = 45 metros
GABARITO: A
8.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Se a idade de uma criança hoje é a diferença
entre a metade da idade que ela teria daqui a dez anos e a metade da idade
que ela tinha há dois anos, qual a sua idade hoje?
a) 3 anos.
b) 2 anos.
c) 4 anos.
d) 5 anos.
e) 6 anos.
Resolução
Idade Hoje = X
Idade Daqui a 10 anos = X + 10
Idade Há 2 anos = X – 2
Pelo enunciado:
X=
X + 10 X − 2 X + 10 − X + 2
12
−
=
⇒ X = = 6anos
2
2
2
2
GABARITO: E
9.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Uma picape para ir da cidade A para a cidade B
gasta dois tanques e meio de óleo diesel. Se a distância entre a cidade A e a
cidade B é de 500 km e neste percurso ele faz 100 km com 25 litros de óleo
diesel, quantos litros de óleo diesel cabem no tanque da picape?
a) 60
b) 50
c) 40
d) 70
e) 80
Resolução
Picape
Distância de A para B = 500 km
Gasto = 2,5 tanques de óleo diesel
Consumo = 100 km com 25 litros = 100/25 = 4 km/l
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A distância percorrida e o gasto de combustível são grandezas diretamente
proporcionais.
4 km ==== 1litro
500 km ==== X
4.X = 500.1 ⇒ X = 500/4 = 125 litros
125 litros ==== 2,5 tanques
Y
==== 1 tanque
2,5.Y = 125 ⇒ Y = 125/2,5 ⇒ Y = 50 litros
GABARITO: B
10.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Dois pintores com habilidade padrão
conseguem pintar um muro na velocidade de 5 metros quadrados por hora. Se
fossem empregados, em vez de dois, três pintores com habilidade padrão, os
três pintariam:
a) 15 metros quadrados em 3 horas.
b) 7,5 metros quadrados em 50 minutos.
c) 6 metros quadrados em 50 minutos.
d) 7,5 metros quadrados em 30 minutos.
e) 5 metros quadrados em 40 minutos.
Resolução
O número de pintores e o número de metros quadrados pintados são
grandezas diretamente proporcionais.
Pintores
2
3
Velocidade
5 metros quadrados por hora
X
2 5
15
= ⇒ 2. X = 3.5 ⇒ X = = 7,5 metros quadrados por hora
3 X
2
7,5 metros quadrados ==== 1 hora
X ==== 50 minutos
Y ==== 40 minutos
Z ==== 30 minutos
T ==== 3 horas
T = 3 x 7,5 = 22,5 metros quadrados em 3 horas
X = 7,5 x 50/60 = 6,25 metros quadrados em 50 minutos
Y = 7,5 x 40/60 = 5 metros quadrados em 40 minutos
Z = 7,5 x 30/60 = 3,75 metros quadrados em 30 minutos
GABARITO: E
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11.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Uma empresa de turismo fechou um pacote
para um grupo de 80 pessoas, com o qual ficou acordado que cada pessoa que
participasse pagaria R$ 1.000,00 e cada pessoa que desistisse pagaria apenas
uma taxa de R$ 150,00. Se a empresa de turismo arrecadou um total de R$
59.600,00, qual a porcentagem das pessoas que desistiram do pacote?
a) 20%
b) 24%
c) 30%
d) 42%
e) 36%
Resolução
Pacote de Turismo:
Pessoa Participante (Pp) = R$ 1.000,00
Pessoa Desistente (Pd) = R$ 150,00
Total de Pessoas (P) = 80 = Pp + Pd ⇒ Pp = 80 - Pd
Arrecadação Total = R$ 59.600,00 = 1.000.Pp + 150.Pd ⇒
⇒ 59.600 = 1.000.(80 - Pd) + 150.Pd ⇒
⇒ 59.600 = 80.000 – 1.000.Pd + 150.Pd ⇒
⇒ 59.600 = 80.000 – 850.Pd ⇒
⇒ 850.Pd = 80.000 – 59.600 = 20.400 ⇒
⇒ Pd = 20.400/850 = 24 pessoas
Percentual de Pessoas Desistentes = 24/80 = 30%
GABARITO: C
12.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Um passageiro, para viajar de A para C, deve
ir de ônibus de A até B e de trem de B até C, sendo que B está na metade do
caminho entre A e C. Os ônibus, de A para B, e os trens, de B para C, saem
sempre no mesmo horário, a cada 20 minutos. Sabendo-se que a velocidade
média do ônibus para ir de A até B é de 60 km/h, que a distância entre A e C é
de 100 km e que o passageiro chegou em B, pegou o primeiro trem que partia
para C e chegou em C exatamente uma hora e meia após partir de A, qual a
velocidade média do trem para ir de B até C?
a) 100 km/h
b) 90 km/h
c) 70 km/h
d) 80 km/h
e) 60 km/h
Resolução
Passageiro ⇒ Viagem de A para C
Ônibus ⇒ de A até B
Trem ⇒ de B até C (B é metade do caminho de A para C)
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Distância entre A e C = 2X = 100 km
Distância entre A e B = Distância entre B e C = X = 100/2 = 50 km
s0
s
X
A
B
X
s´
C
Ônibus e Trens ⇒ saem no mesmo horário, a cada 20 minutos.
Velocidade Média do Ônibus (para ir de A até B) = 60 km/h
Passageiro chegou em B e pegou o primeiro trem que partia de C
Tempo de Viagem entre A e C = 1 hora e meia = 90 minutos
I – Tempo de viagem de A para B:
Distância (entre A e B) = 50 km
s0 = 0
s = 50 km
Velocidade (vo) = 60 km/h
Movimento Uniforme:
s = s0 + v.tAB ⇒ 50 = 0 + 60.tAB ⇒ tAB = 50/60 hora ⇒ tAB = 50 minutos
Como os trens saem de 20 e 20 minutos, como ele chegou em B com 50
minutos, terá que esperar mais 10 minutos para pegar o trem.
⇒ tespera = 10 minutos
II – Tempo Total:
tAC = tAB + tespera + tBC
⇒ 90 = 50 + 10 + tBC ⇒ tBC = 30 minutos
III – Velocidade Média do Trem:
Distância (entre B e C) = 50 km
s = 50
s´ = 100 km
Velocidade do Trem = vt
tBC = 30 minutos = 0,5 hora
Movimento Uniforme:
s = s0 + v.tAB ⇒ 100 = 50 + vt.0,5
GABARITO: A
⇒ 0,5.vt = 50 ⇒ vt = 100 km/h
13.(ANA-2009-Esaf) Um rio principal tem, ao passar em determinado ponto,
20% de águas turvas e 80% de águas claras, que não se misturam. Logo
abaixo desse ponto desemboca um afluente, que tem um volume d´água 30%
menor que o rio principal e que, por sua vez, tem 70% de águas turvas e 30%
de águas claras, que não se misturam nem entre si nem com as do rio
principal. Obtenha o valor mais próximo da porcentagem de águas turvas que
os dois rios terão logo apos se encontrarem.
a) 41%
b) 35%
c) 45%
d) 49%
e) 55%
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Resolução
Rio Principal = 20% de águas turvas (T) + 80% de águas claras (C)
Volume do Rio Principal = V
Afluente = 70% águas turvas (T) + 30% de águas claras (C)
Volume do Afluente = V – 30%.V = 0,7.V
Quando os dois rios se encontrarem:
Volume Total = V + 0,7.V = V.(20%.T + 80%.C) + 0,7.V.(70%.T + 30%.C)
⇒ 1,7.V = V.(20%.T + 80%.C) + 0,7.V.(70%.T + 30%.C) ⇒
⇒ 1,7 = 0,2.T + 0,8.C + 0,7.(0,7.T + 0,3.C) ⇒
⇒ 1,7 = 0,2.T + 0,49.T + 0,8.C + 0,21.C ⇒
⇒ 1,7 = 0,69.T + 1,01.C
Percentagem de Águas Turvas = 0,69/1,7 = 40,59%
GABARITO: A
14.(ANA-2009-Esaf) Em um ponto de um canal, passam em media 25
barcos por hora quando esta chovendo e 35 barcos por hora quando não esta
chovendo, exceto nos domingos, quando a freqüência dos barcos cai em 20%.
Qual o valor mais próximo do numero médio de barcos que passaram por hora
neste ponto, em um fim de semana, se choveu durante 2/3 das horas do
sábado e durante 1/3 das horas do domingo?
a) 24,33
b) 26,83
c) 25,67
d) 27,00
e) 30,00
Resolução
Canal:
Dias de chuva ⇒ 25 barcos por hora
Dias sem chuva ⇒ 35 barcos por hora
Exceto domingos ⇒ freqüência cai 20%.
Domingos com chuva = 25 – 20%.25 = 20 barcos por hora
Domingos sem chuva = 35 – 20%.35 = 28 barcos por hora
Número médio de barcos por hora ⇒ final de semana
Sábado ⇒ choveu durante 2/3 das horas
Domingo ⇒ choveu durante 1/3 das horas
Número Médio (Sábado) = (2/3) x 25 barcos/hora + (1/3) x 35 barcos/hora
⇒ Número Médio (Sábado) = 50/3 + 35/3 = 85/3 = 28,33 barcos/hora
Número Médio (Domingo) = (1/3) x 20 barcos/hora + (2/3) x 28 barcos/hora
⇒ Número Médio (Domingo) = 20/3 + 56/3 = 76/3 = 25,33 barcos/hora
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Número Médio (Final de Semana) = (28,33 + 25,33)/2 = 26,83
GABARITO: B
15.(ANA-2009-Esaf) Alguns amigos apostam uma corrida num percurso em
linha reta delimitado com 20 bandeirinhas igualmente espaçadas. A largada e
na primeira bandeirinha e a chegada na ultima. O corredor que esta na frente
leva exatamente 13 segundos para passar pela 13a bandeirinha. Se ele
mantiver a mesma velocidade durante o restante do trajeto, o valor mais
próximo do tempo em que ele correra o percurso todo será de:
a) 17,54 segundos.
b) 19 segundos.
c) 20,58 segundos.
d) 20 segundos.
e) 21,67 segundos.
Resolução
Percurso ⇒ 20 bandeirinhas igualmente espaçadas
Corredor da frente ⇒ t = 13 segundos para passar da 13a bandeirinha
D
D
D
D D
D D
D D
D
D
D
D
D
D
D
D
13
D
D
20
a
Repare que as bandeiras são igualmente espaçadas e, até a 13 bandeira, o
primeiro corredor percorreu 12.D. Até a 20a bandeira serão 19.D.
13 segundos ==== 12.D
X
==== 19.D
12.D.X = 13.19.D ⇒ 12.X = 13.19 ⇒ X = 247/12 = 20,58 segundos
GABARITO: C
16.(APO-Mpog-2008-Esaf) No último mês, cinco vendedores de uma grande
loja realizaram as seguintes vendas de pares de calçados: Paulo vendeu 71,
Ricardo 76, Jorge 80, Eduardo 82 e Sérgio 91. Ana é diretora de vendas e
precisa calcular a venda média de pares de calçados realizada por estes cinco
vendedores. Para este cálculo, a empresa disponibiliza um software que calcula
automaticamente a média de uma série de valores à medida que os valores
vão sendo digitados. Ana observou que, após digitar o valor de cada uma das
vendas realizadas pelos vendedores, a média calculada pelo software era um
número inteiro. Desse modo, o valor da última venda digitada por Ana foi a
realizada por:
a) Sérgio
b) Jorge
c) Paulo
d) Eduardo
e) Ricardo
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Resolução
Paulo ⇒ vendeu 71 pares de calçados ⇒ número ímpar
Ricardo ⇒ vendeu 76 pares de calçados ⇒ número par
Jorge ⇒ vendeu 80 pares de calçados ⇒ número par
Eduardo ⇒ vendeu 82 pares de calçados ⇒ número par
Sérgio ⇒ vendeu 91 pares de calçados ⇒ número ímpar
Ana ⇒ Software ⇒ A média é calculada à medida que os valores vão sendo
digitados
Repare que os números ímpares divididos por um número par não dão
resultados inteiros. Portanto, os dois números ímpares de vendas (Paulo e
Sérgio) serão os dois primeiros a serem digitados (para dividir por 2) ou o
terceiro e quarto a serem digitados (para dividir por 4), visto que a soma dos
dois é divisível por 2 e pode ser divisível por 4.
Hipótese I – Ímpares no início: Ordem de digitação (pode ser Paulo e
Sérgio ou Sérgio e Paulo)
Paulo = 71
Sérgio = 91 ⇒ Média 1 = (91 + 71)/2 = 162/2 = 81
Repare que 162 também é divisível por 3 (162/3 = 54).
Logo, o próximo número a ser digitado também deve ser divisível por 3.
Contudo, as vendas que sobraram para digitar não são divisíveis por 3
(Ricardo = 76; Jorge = 80 e Eduardo = 82). Logo, a hipótese I não é válida.
Hipótese II – Ímpares nas posições 3 e 4.
Possibilidades de digitação:
1. 76, 80, 71, 91, 82
2. 76, 80, 91, 71, 82
3. 76, 82, 71, 91, 80
4. 76, 82, 91, 71, 80
5. 80, 82, 71, 91, 76
6. 80, 82, 91, 71, 76
Nas duas primeiras posições, como foram digitados somente números pares,
independentemente da possibilidade, a média será um número inteiro, mesmo
que as posições sejam alternadas entre si. Portanto, vamos analisar a partir da
3a posição.
Possibilidades de digitação:
1. (76 + 80 + 71)/3 = 227/3 ⇒ não é número inteiro
2. (76 + 80 + 91)/3 = 247/3 ⇒ não é número inteiro
3. (76 + 82 + 71)/3 = 229/3 ⇒ não é número inteiro
4. (76 + 82 + 91)/3 = 249/3 = 83 ⇒ é número inteiro
5. (80 + 82 + 71)/3 = 233/3 ⇒ não é número inteiro
6. (80 + 82 + 91)/3 = 253/3 ⇒ não é número inteiro
Logo, a única solução é a possibilidade “4”. Vamos, então, testar todas as
médias:
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M1 = 76 + 82 = 158/2 = 79 ⇒ inteiro
M2 = (76 + 82 + 91)/3 = 249/3 = 83 ⇒ inteiro
M3 = (76 + 82 + 91 + 71)/4 = 320/4 = 80 ⇒ inteiro
M4 = (76 + 82 + 91 + 71 + 80)/5 = 400/5 = 80 ⇒ inteiro
Logo, o último vendedor a ser digitado foi:
Jorge ⇒ vendeu 80 pares de calçados
GABARITO: B
17.(Enap-2006-Esaf) A média aritmética entre as idades de Ana, Amanda,
Clara e Carlos é igual a 16 anos. As idades de Ana e Amanda são,
respectivamente, iguais a seis e oito anos. Paulo, primo de Ana, é quatro anos
mais novo do que Carlos. Jorge, irmão de Amanda, é oito anos mais velho do
que Clara. Assim, a média aritmética entre as idades de Jorge e Paulo é, em
anos, igual a
a) 20.
b) 13.
c) 24.
d) 27.
e) 38.
Resolução
Idades:
Ana = An = 6 anos
Amanda = Am = 8 anos
Clara = Cl
Carlos = Ca
Média Aritmética = (An + Am + Cl + Ca)/4 = 16 ⇒
⇒ An + Am + Cl + Ca = 4.16 = 64 ⇒ 6 + 8 + Cl + Ca = 64
⇒ Cl + Ca = 64 – 14 = 50 (I)
⇒
Paulo = Ca – 4
Jorge = Cl + 8
Média Aritmética (Jorge e Paulo) = (Ca – 4 + Cl + 8)/2 = (Ca + Cl + 4)/2 (II)
Substituindo (I) em (II):
Média Aritmética (Jorge e Paulo) = (Ca + Cl + 4)/2 = (50 + 4)/2 = 27
GABARITO: D
18.(Enap-2006-Esaf) Quatro carros de cores diferentes, amarelo, verde, azul
e preto, não necessariamente nessa ordem, formam uma fila. O carro que está
imediatamente antes do carro azul é menos veloz do que o que está
imediatamente depois do carro azul. O carro verde é o menos veloz de todos e
está depois do carro azul. O carro amarelo está depois do carro preto. As cores
do primeiro e do segundo carro da fila, são, respectivamente,
a) amarelo e verde.
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b) preto e azul.
c) azul e verde.
d) verde e preto.
e) preto e amarelo.
Resolução
Fila
Carro 1
Carro 2
Carro 3
Carro 4
Informações:
1. O carro que está imediatamente antes do carro azul é menos veloz do que o
que está imediatamente depois do carro azul.
Logo, o carro azul, como possui um carro antes e outro depois, ou está na
posição 2 ou está na posição 3. Supondo que o carro azul esteja na posição 2:
Carro 1
Carro 2
Carro 3
Carro 4
Menos veloz que o Azul
Mais veloz que o
carro 3
carro 1
2. O carro verde é o menos veloz de todos e está depois do carro azul.
Logo, o carro verde só pode estar na posição 4, pois na posição 3 seria um
carro mais veloz que o carro 1 e o carro é o menos veloz de todos.
Carro 1
Carro 2
Carro 3
Carro 4
Menos veloz que o Azul
Mais veloz que o
Verde
carro 3
carro 1
3. O carro amarelo está depois do carro preto.
Logo, o carro amarelo deve estar na posição 3 e o preto na posição 1.
Carro 1
Carro 2
Carro 3
Carro 4
Preto
Azul
Amarelo
Verde
GABARITO: B
19.(Aneel-2006-Esaf) Uma progressão aritmética é uma seqüência de
números a1, a2, a3,...., an, cuja lei de formação de cada um dos termos desta
seqüência é dada por uma soma, conforme representação a seguir:
a2 = a1 + r, a3 = a2 + r, a4 = a3 + r, ........an = an-1 + r,
onde r é uma constante, denominada razão da progressão aritmética. Uma
progressão geométrica é uma seqüência de números g1, g2, g3,......., gn, cuja
lei de formação de cada um dos termos desta seqüência é dada por um
produto, conforme representação a seguir:
g2 = g1 * q, g3 = g2 * q, g4 = g3 * q,.....gn = gn-1*q,
onde q é uma constante, denominada razão da progressão geométrica. Os
números A, B e 10 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Os
números 1, A e B formam, nesta ordem, uma progressão geométrica. Com
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estas informações, pode-se afirmar que um possível valor para o produto entre
r e q é igual a:
a) -12
b) -15
c) 10
d) 12
e) 8
Resolução
PA ={A, B, 10}
B = A + r (I)
10 = B + r (II)
(II) – (I) ⇒ 10 – B = B – A
⇒ A = 2.B – 10 (III)
PG = {1, A, B}
A = 1.q ⇒ A = q (IV)
B = A.q ⇒ B = q.q = q2 (V)
Substituindo (IV) e (V) em (III)
⇒ q = 2.q2 – 10 ⇒ 2q2 – q – 10 = 0
Equação do segundo grau:
a=2
b = -1
c = -10
2
−b ± b 2 − 4.a.c 1 ± (−1) − 4.2.(−10) 1 ± 81
q=
=
=
⇒
2.a
2.2
4
1± 9
⇒q=
4
10 5
q1 = =
4 2
−8
q2 =
= −2
4
Para que q1 = 5/2:
A = q1 = 5/2
B = (q1)2 = 25/4
PA = {A, B, 10}
B = A + r ⇒ 25/4 = 5/2 + r ⇒ r = 25/4 – 5/2 = 15/4
Produto: r.q1 = (15/4) x (5/2) = 75/8
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Para que q2 = -2:
A = q2 = -2
B = (q2)2 = 4
PA = {A, B, 10}
B = A + r ⇒ 4 = -2 + r ⇒ r = 6
Produto: r.q2 = 6.(-2) = -12
GABARITO: A
20.(Aneel-2006-Esaf) Ana foi visitar Bia que mora a uma distância de 150
km de sua casa. Ana percorreu esta distância em seu automóvel, com uma
determinada velocidade média, gastando x horas para chegar à casa de Bia.
Ana teria percorrido os mesmos 150 km em duas horas a menos, se a
velocidade média de seu automóvel fosse aumentada em 20 km/h
(quilômetros por hora). Com estas informações, pode-se concluir que Ana
percorreu os 150 km a uma velocidade média, em quilômetros por hora, igual
a:
a) 25
b) 30
c) 40
d) 35
e) 50
Resolução
vm
Ana
Ana ⇒ visita Bia
Distância = 150 km de sua casa
Ana percorreu esta distância em seu automóvel, com uma determinada
velocidade média ⇒ vm e gastou x horas
s = s0 + vm.t
s0 = 0 (casa de Ana)
Quando t = x, s = 150 km
150 = 0 + vm.x ⇒ x = 150/vm (I)
Ana teria percorrido os mesmos 150 km em duas horas a menos (x – 2), se a
velocidade média de seu automóvel fosse aumentada em 20 km/h
(quilômetros por hora) => v´m = vm + 20
s = s0 + v´m.t
Quando t = x – 2, s = 150 km
150 = 0 + (vm + 20).(x – 2) ⇒ 150 = (vm + 20).(x – 2) (II)
Substituindo (I) em (II): 150 = (vm + 20).(150/vm – 2) ⇒
⇒ 150 = 150 – 2.vm + 3.000/vm – 40 ⇒ – 2.vm + 3.000/vm – 40 = 0
⇒ – 2.v2m – 40.vm + 3.000 = 0
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⇒
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Equação do segundo grau:
a=-2
b = -40
c = 3.000
−b ± b 2 − 4.a.c 40 ± (−40) 2 − 4.(−2).(3.000) 40 ± 25.600
v=
=
=
⇒
2.a
2.(−2)
−4
40 ± 160
⇒v=
−4
200
v1 =
= −50
−4
−120
v2 =
= 30
−4
A velocidade de Ana deve ser positiva, pois ela está na direção da referência
(figura acima). Logo, vm = 30 km/h.
GABARITO: B
21.(Técnico-MPU-2004-Esaf) Um avião XIS decola às 13:00 horas e voa a
uma velocidade constante de x quilômetros por hora. Um avião YPS decola às
13:30 horas e voa na mesma rota de XIS, mas a uma velocidade constante de
y quilômetros por hora. Sabendo que y>x, o tempo, em horas, que o avião
YPS, após sua decolagem, levará para alcançar o avião XIS é igual a
a) 2 / (x+y) horas.
b) x / (y-x) horas.
c) 1 / 2x horas.
d) 1/ 2y horas.
e) x / 2 (y-x) horas.
Resolução
Avião XIS ⇒ v1 = x km/h, so = 0
⇒ sxis = so + v.t ⇒ s = x.tx
Avião YPS ⇒ v2 = y km/h, so = 0
⇒ syps = so + v.t ⇒ s = y.ty
Quando os aviões se encontrarem: sxis = syps.
Além disso, o tempo gasto pelo avião XIS será igual ao tempo gasto pelo avião
YPS + 30 min (ou 1/2 hora), tendo em vista que decolou meia-hora antes:
tx = ty + 1/2
⇒ x.(ty + 1/2) = y.ty ⇒
⇒ x.ty + x/2 = y.ty ⇒ x/2 = y.ty - x.ty ⇒ (y – x).ty = x/2 ⇒
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⇒ ty = x/2(y – x)
GABARITO: E
22.(AFC-CGU-2004-Esaf) Marco e Mauro costumam treinar natação na
mesma piscina e no mesmo horário. Eles iniciam os treinos simultaneamente,
a partir de lados opostos da piscina, nadando um em direção ao outro. Marco
vai de um lado a outro da piscina em 45 segundos, enquanto Mauro vai de um
lado ao outro em 30 segundos. Durante 12 minutos, eles nadam de um lado
para outro, sem perder qualquer tempo nas viradas. Durante esses 12
minutos, eles podem encontrar-se quer quando estão nadando no mesmo
sentido, quer quando estão nadando em sentidos opostos, assim como podem
encontrar-se quando ambos estão fazendo a virada no mesmo extremo da
piscina. Dessa forma, o número de vezes que Marco e Mauro se encontram
durante esses 12 minutos é:
a) 10
b) 12
c) 15
d) 18
e) 20
Resolução
Marco
Mauro
⇒ vai de um lado a outro da piscina em 45 segundos
⇒ vai de um lado a outro da piscina em 30 segundos
Durante 12 minutos, eles nadam de um lado para outro, sem perder qualquer
tempo nas viradas.
Durante esses 12 minutos, eles podem encontrar-se quer quando estão
nadando no mesmo sentido, quer quando estão nadando em sentidos opostos,
assim como podem encontrar-se quando ambos estão fazendo a virada no
mesmo extremo da piscina.
Vamos fazendo passo a passo:
I – Instante = t0 = 0
Marco
Mauro
II – Instante = t = 30 segundos = Mauro chega na borda oposta
cruzamento quando um passou pelo outro.
Mauro
⇒ houve um
Marco
III - Instante = t = 45 segundos = Marco chega na borda oposta
Mauro
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Marco
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IV - Instante = t = 1 minuto = Mauro chega na borda oposta ⇒ houve o
segundo cruzamento antes de t = 1 minuto.
Marco
Mauro
V - Instante = t = 1 minuto e 30 segundos = Mauro e Marco se encontram na
borda oposta (terceiro cruzamento).
Marco
Mauro
VI - Instante = t = 2 minutos = Mauro chega na borda oposta.
Marco
Mauro
VII - Instante = t = 2 minutos e 15 segundos = Marco chega na borda oposta
(há o quarto cruzamento quando Mauro passa por Marco).
Mauro
Marco
VIII – Instante = t = 2 minutos e 30 segundos = Mauro chega na borda oposta
Mauro
Marco
IX – Instante = t = 3 minutos = Mauro chega na borda oposta e Marco chega
na borda oposta (há o quinto cruzamento quando um passa pelo outro). A
partir de 3 minutos, o ciclo se repete.
Marco
Mauro
Logo, temos:
3 minutos ===== 5 cruzamentos
12 minutos ===== x
x = (5 x 12)/3 = 60/3 = 20 cruzamentos
GABARITO: E
Abraços e até a próxima aula,
Bons estudos,
Moraes Junior
[email protected]
Alexandre Lima
[email protected]
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Paulo. Novas Conquistas, 2001.
BARROS, Dimas Monteiro de, Lógica para concursos. Araçatuba. São Paulo.
Novas Conquistas, 2005.
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MORGADO, Augusto César, Raciocínio Lógico-Quantitativo: teoria, questões
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