Universidade do Vale do Paraíba
Faculdade de Engenharias, Arquitetura e
Urbanismo
Física Experimental I
São José dos Campos
2014
ÍNDICE
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 3
Tópico 4
Tópico 5
Tópico 6
Tópico 7
Tópico 8
Tópico 9
Tópico 10
Tópico 11
Tópico 12
Medidas Físicas: Coerência de Dimensional e de Unidades
Coerência Dimensional
Coerência de Unidades
Conversão de Unidades, Notação Científica e Algarismos Significativos
Fatores de Conversão de Comprimento
Fatores de Conversão de Tempo
Fatores de Conversão de Unidades Derivadas
Notação Científica
Algarismos Significativos
Critérios de Arredondamento
Operações com Algarismos Significativos
Estudo de Erros em Medidas
Erros de uma Medida
Propagação de Incertezas
Erro Propagado nas Operações Básicas
O Método dos Mínimos Quadrados
Teoria e Exercícios
Como Elaborar um Relatório e Apresentar Gráficos de Fenômenos
Confecção de um Relatório
Apresentação dos Gráficos de Fenômenos
Aparelhos básicos de medida de comprimento, massa e tempo.
Experimento: Propagação de Incertezas - Determinação Experimental do
Volume de um Objeto
O Paquímetro (Definição, Uso e Leitura)
O Micrômetro (Definição, Uso e Leitura)
Balanças e medidores de tempo
Prática
Experimento: Medida do Tempo de Reação Humano (Queda Livre)
Teoria - Queda Livre
Prática
Experimento: Movimento retilíneo uniforme e uniformemente variado
(Trilho de Ar)
Teoria – MRU e MRUV
Prática
Experimento: Medição da aceleração da gravidade loca (Pêndulo Simples)
Teoria - Pêndulo Simples
Prática
Experimento: Forças (sistema massa-mola, determinação da constante
elástica da mola)
Teoria - Sistema Massa-Mola na vertical
Prática
Equilíbrio dos corpos (método dos momentos de força - experimento da
barra em equilíbrio e mesa de força)
Teoria – Equilíbrio dos Corpos
Prática
Momento angular/torque/precessão (roda de bicicleta)
Teoria
Prática
Tópico 1. Medidas Físicas: Coerência Dimensional e de
Unidades
É de extrema importância em engenharia e ciências físicas que saibamos obedecer a
coerência de dimensões e unidades de uma equação qualquer. Uma equação deve
sempre possuir coerência dimensional. Você não pode somar automóvel com maçã, por
exemplo; dois termos só podem ser somados caso eles possuam a mesma unidade. Por
isso, faz-se necessário o aprendizado destes conceitos.
Antes de iniciarmos as discussões do tópico, vamos a algumas definições
importantes:
Grandeza física: é tudo aquilo que pode ser medido. As medidas
podem ser feitas de forma direta (por instrumentos) ou indireta
(utilizando expressões matemáticas).
São exemplos de grandezas físicas: comprimento, massa, temperatura,
velocidade, aceleração, etc.
Dimensão física: está relacionada com o tipo de medição realizada.
Por exemplo: dimensão de comprimento, dimensão de massa,
dimensão de temperatura, dimensão de velocidade, etc.
1.1. Coerência Dimensional (Análise dimensional)
Começando com a equação do movimento retilíneo uniforme:
x = x0+v.t
(1)
onde x representa a posição de qualquer objeto no eixo x, x0 representa a posição inicial,
v é a velocidade do móvel e t o tempo.
No lado esquerdo da equação 1 temos somente o termo referente a posição do móvel,
ou seja, um comprimento qualquer que pode estar em metros, quilômetros, etc. Agora,
no lado direito da equação temos a soma de dois termos, x0 e v.t . Para que ocorra a
soma de ambos os termos, há a necessidade de que ambos possuam a mesma dimensão,
ou seja, comprimento, caso contrário, a equação acima estaria errada. Portanto, somente
é possível somar grandezas físicas que tenham a mesma dimensão.
Uma equação física não pode ser verdadeira se não for
dimensionalmente homogênea!
Traduzindo a frase acima, notamos que as dimensões de um membro da equação
devem ser iguais as dimensões do outro membro. Seria completamente errada a
expressão:
80 quilogramas = 30 metros + x metros
Para facilitar a análise das dimensões presentes em uma equação, adotaremos os
seguintes símbolos:
Comprimento
Massa
Tempo
[L]
[M]
[T]
Aplicando a fórmula dimensional na equação (1) teremos:
x
t
posição = [ L ]
tempo = [ T ]
𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑎𝑜
[L]
=
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
[𝑇]
v
x = x0 + vt => [L] = [L] +
[L]
[T] => [L] = [L] + [L]
[𝑇]
Note que finalmente a equação (1) é uma equação que possui uma coerência de
unidades.
Na mecânica, adotam-se a massa (M), o comprimento (L) e o tempo (T) como
grandezas fundamentais.
Esta análise dimensional nos permite obter a dimensão de certas constantes em
equações, como por exemplo, a seguinte equação da lei de Hooke:
F = −k . x
(2)
onde, no lado esquerdo da equação temos a força F, enquanto que no lado direito temos
uma constante k (constante elástica da mola), que queremos determinar sua dimensão,
multiplicada pela posição x (elongamento da mola). Então, realizando a análise
dimensional:
1.
F = massa × aceleração
2.
aceleração =
3.
F = massa
×
comprimento
tempo × tempo
[L]
= [T].[T] =
acelaração = [M]
[L]
[T]2
, logo
[L]
[T]2
Aplicando na equação (2) os resultados acima, teremos:
[𝑀 ]
[𝐿 ]
[𝑀 ]
[𝑀] [𝐿]
[
]
= 𝑘 𝐿 =>
= 𝑘 => 𝑘 =
[𝑇]2
[𝐿] [𝑇]2
[𝑇]2
Note que a constante k tem que ter dimensão de massa ([M]) por tempo ao
quadrado, ou seja, g/ s2 ou kg/s2 .
Vejamos a seguir alguns exemplos de análise dimensional:
1. Velocidade:
𝑣=
∆𝑆
∆𝑡
∆𝑆 = [𝐿]
e ∆𝑡 = [𝑇]
[𝐿]
𝑣=
[𝑇]
se
𝑎=
2. Aceleração:
𝑎=
∆𝑉
∆𝑡
[𝐿]
[𝑇]2
3. Força: F
= m.a
𝐹 = [𝑀 ].
[𝐿]
[𝑇]2
4. Trabalho: 𝜏
= 𝐹. 𝑑
[𝐿]2
𝜏 = [𝑀 ]. 2
[𝑇]
5. Potência: 𝑃
𝑃=
=
𝜏
∆𝑇
[𝑀].[𝐿]2
[𝑇]3
6. Quantidade de Movimento: 𝑄
𝑄 = [𝑀 ].
= 𝑚. 𝑣
[𝐿]
[𝑇]
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1) Faça a análise dimensional das equações abaixo e verifique quais estão
dimensionalmente incorretas, onde:
v0 é a velocidade inicial do objeto;
a é a aceleração do corpo;
x0 é a posição inicial do objeto;
Δx = x−x0 é o deslocamento;
g é a aceleração da gravidade;
r é o raio de uma circunferência;
v é a velocidade;
t é o tempo;
W é o trabalho realizado.
a) x = x0+v0.t+1/2.a.t2
b) v = v0+a.t2
c) v = v02 + 2.a.Δx
d) t = (v0.sen θ) / g
e) a = v / r
f) W = F.Δx.cosθ
2) Nas equações abaixo, determine as dimensões das constantes G, μ, c e d:
a) F= G.(M.m)/r2
b) fa = μ.N , onde f a é a força de atrito e N é a força normal.
c) F = c.a3
d) F = d.v , onde v é a velocidade.
3) A variação da massa M com o tempo t, de uma esfera de naftalina que sublima, é
dada por M = M0e-Kt, válida no Sistema Internacional de Unidades. Quais as unidades
de M0 e K? Sabe-se que e é a base dos logaritmos neperianos.
4) Um estudante de física resolvendo certo problema chegou à expressão final: F = 2(m1
+ m2) vt2 onde F representa uma força, m1 e m2 representam massas, v é uma
velocidade linear, t é tempo. Outro estudante resolvendo o mesmo problema chegou à
expressão: F = 2(m1 + m2) vt-1. Mesmo sem conhecer os detalhes do problema você
deve ser capaz de verificar qual das respostas acima obviamente deve estar errada.
Explique qual delas é certamente errada.
1.2. Coerência de Unidades
O Sistema Internacional de Unidades – SI
“Todo o conhecimento que não pode ser expresso por números é de qualidade pobre e
insatisfatória". (Lorde Kelvin, grande cientista britânico)
As informações aqui apresentadas irão ajudar você a compreender melhor e a
escrever corretamente as unidades de medida adotadas no Brasil. A necessidade de
medir é muito antiga e remota à origem das civilizações. Por longo tempo cada país,
cada região, teve o seu próprio sistema de medidas, baseado em unidades arbitrárias e
imprecisas, como por exemplo, aquelas baseadas no corpo humano: palmo, pé,
polegada, etc. Isso criava muitos problemas para o comércio, porque as pessoas de uma
região não estavam familiarizadas com o sistema de medida das outras regiões. Imagine
a dificuldade em comprar ou vender produtos cujas quantidades eram expressas em
unidades de medida diferentes e que não tinham correspondência entre si.
Em 1789, numa tentativa de resolver o problema, o Governo Republicano Francês
pediu à Academia de Ciências da França que criasse um sistema de medidas baseado
numa "constante natural". Assim foi criado o Sistema Métrico Decimal. Posteriormente,
muitos outros países adotaram o sistema, inclusive o Brasil, aderindo à "Convenção do
Metro". O Sistema Métrico Decimal adotou, inicialmente, três unidades básicas de
medida: o metro, o litro e o quilograma.
Entretanto, o desenvolvimento científico e tecnológico passou a exigir medições cada
vez mais precisas e diversificadas. Por isso, em 1960, o sistema métrico decimal foi
substituído pelo Sistema Internacional de Unidades - SI, mais complexo e sofisticado,
adotado também pelo Brasil em 1962 e ratificado pela Resolução nº 12 de 1988 do
Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial - Conmetro,
tornando-se de uso obrigatório em todo o Território Nacional. É importante salientar
que na área da mecânica o SI engloba dois subsistemas de unidades: o MKS e o CGS.
As unidades SI podem ser escritas por seus nomes ou representadas por meio de
símbolos.
Exemplos:
Unidade de comprimento
nome: metro
símbolo: m
Unidade de tempo
nome: segundo
símbolo: s
Unidade de massa
nome: quilograma
símbolo: kg
Observações:
 Os nomes das unidades SI são escritos sempre em letra minúscula. Exemplos:
quilograma, newton, metro cúbico. As exceções ocorrem somente no início da frase e
"grau Celsius".
 O símbolo é um sinal convencional e invariável utilizado para facilitar e
universalizar a escrita e a leitura das unidades SI. Por isso mesmo não é seguido de
ponto.
segundo
metro
kilograma
hora
Certo
s
m
kg
h
 O símbolo não tem plural, invariavelmente não é seguido de "s".
Certo
5m
cinco metros
2 kg
dois kilogramas
8h
oito horas
Errado
s. ou seg.
m. ou mtr.
kg. ou kgr.
h. ou hr.
Errado
5 ms
2 kgs
8 hs
 Toda vez que você se refere a um valor ligado a uma unidade de medir, significa que,
de algum modo, você realizou uma medição. O que você expressa é, portanto, o
resultado da medição, que apresenta as seguintes características básicas:
 Ao escrever uma unidade composta, não misture nome com símbolo.
Certo
Errado
quilômetro por hora
quilômetro/h
km/h
km/hora
metro por segundo
metro/s
m/s
m/segundo
 O prefixo quilo (símbolo k) indica que a unidade está multiplicada por mil. Portanto,
não pode ser usado sozinho.
Certo
quilograma; kg
Errado
quilo; k
 Use o prefixo quilo da maneira correta.
Certo
quilômetro
quilograma
quilolitro
Errado
kilômetro
kilograma
kilolitro
O SI é baseado em sete Unidades Padrões Fundamentais:
Grandeza
comprimento
tempo
massa
corrente elétrica
temperatura termodinâmica
quantidade de substância
Intensidade luminosa
Nome
metro
segundo
quilograma
ampère
kelvin
mol
candela
Plural
metros
segundos
quilogramas
ampères
kelvins
mols
candelas
Símbolo
m
s
kg
A
K
mol
cd
As unidades de outras grandezas como velocidade, força e energia são derivadas das
setes grandezas acima. Na tabela abaixo estão listadas algumas destas grandezas:
Grandeza
área
volume
ângulo plano
velocidade
aceleração
massa específica
vazão
força
pressão
trabalho, energia,
quantidade de calor
potência, fluxo de
energia
Nome
metro quadrado
metro cúbico
radiano
metro por segundo
metro por segundo
quilograma por
metro cúbico
metro cúbico por
segundo
newton
pascal
Plural
metros quadrados
metros cúbicos
radianos
metros por segundo
metros por segundo
quilogramas por
metro cúbico
metros cúbicos por
segundo
newtons
pascals
Símbolo
m²
m³
rad
m/s
m/s²
joule
joules
J
watt
watts
W
kg/m³
m³/s
N
Pa
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1) É correto afirmar que representam unidades de medida da mesma grandeza:
a) volts e watts.
b) m/s2 e newton/quilograma.
c) joule/m2 e celsius.
d) atmosfera e quilograma/m3.
e) joule e kelvin.
2) O empuxo sobre um corpo mergulhado em um líquido é a força, vertical e para cima,
que o líquido exerce sobre esse corpo e tem valor igual ao peso do volume de líquido
deslocado. No sistema internacional de unidades, o empuxo é medido em:
a) kg.m3
b) N/m3
c) N.m/s
d) kg.m/s2
3) A força que atua sobre um móvel de massa m, quando o mesmo descreve, com
velocidade v constante, uma trajetória circular de raio R, é dada por F = mgv2/aR, onde
g representa a aceleração da gravidade. Para que haja homogeneidade, a unidade de a no
Sistema Internacional de Unidades é:
a) m.s-1
b) m.s-2
c) m.s
d) m.s2
e) m2.s