1 - SINAIS PERIÓDICOS NÃO SENOIDAIS
Freqüências harmônicas
Sejam dois sinais senoidais de freqüências respectivas f n e f 0 . A freqüência f n é
harmônica da freqüência f 0 quando for satisfeita a igualdade:
f n = nf 0
onde n é qualquer número inteiro positivo, inclusive zero. A freqüência f 0 é chamada,
normalmente, de freqüência fundamental. Neste caso dizemos que a freqüência f n é a
enésima harmônica da freqüência f 0 .
A fig. 1-1 mostra uma senoide fundamental, sua segunda harmônica, e sua harmônica
de ordem zero. Note-se que a harmônica de ordem zero é um sinal de freqüência zero,
ou seja é um sinal contínuo.
Harmônica de ordem zero
0 × f0
0
0
t
Fundamental
f0
T
0
t
Segunda harmônica
2 f0
T
2
Fig. 1.1
Composição harmônica de um sinal periódico não senoidal.
O matemático francês Fourier demonstrou, matematicamente, que todo sinal periódico,
não senoidal, é composto de uma soma de senoides harmônicas de uma freqüência
fundamental. Esta série de senoides, cujas freqüências são harmônicas da componente
fundamental, se denomina série de Fourier.
Freqüência fundamental
Um sinal periódico, não senoidal, cujo período é T0 tem como freqüência fundamental o
1
parâmetro f 0 = .
T0
1
Vamos ilustrar, a afirmação de Fourier, analisando um sinal periódico com forma de
pulsos, de amplitude V e período T0 . A duração de cada pulso é igual a metade do
período, ou seja, τ =
T0
. Ver fig. 1-2
2
T0
V
τ=
T0
2
t
0
Fig. 1-2
Esta forma de onda é composta de uma freqüência fundamental de valor f 0 , e das
senoides harmônicas de freqüências 0, 3 f 0 , 5 f 0 , 7 f 0 , etc. O valor da componente
contínua (harmônica de ordem zero) é sempre a média do sinal periódico. Em nosso
exemplo em que os pulsos variam 0 a V e duram a metade do período, essa média
V
. A componente fundamental, a terceira e a quinta harmônicas
resultou no valor
2
2V
2V
2V
possuem respectivamente, as amplitudes
;
e
.
π
3π
5π
A fig. 1-3.a faz a composição da componente fundamental com a componente contínua
e com a terceira harmônica. A fig. 1-3.b adiciona, a esse sinal composto, a quinta
harmônica. Percebe-se que a composição dessas senoides caminha no sentido de se
aproximar da forma do sinal pulsado original.
V
V
2
0
(a)
Fig. 1-3
2
(b)
Se passarmos esse sinal pulsante por um filtro passa baixas, que impede a passagem de
todas as componentes alternadas, teremos na saída apenas a componente contínua ou
seja, o sinal que representa a sua média. Ver Fig. 1-4.
V
Filtro
Passa
Baixas
0
V
2
0
Fig. 1-4
Um voltímetro DC , de ponteiro, se comporta como um filtro passa baixas natural.
Quando, por exemplo, se mede um sinal pulsante de freqüência fundamental de 60 Hz
a inércia de seu mecanismo de medição impede que seu ponteiro acompanhe a variação
rápida do sinal pulsante. Isto faz com que ele acabe indicando o valor médio dessa
variação. Esse valor médio corresponde a componente contínua desse sinal pulsante.
Exemplo:
Se for medida a tensão, com um voltímetro DC, do sinal de relógio digital, mostrado na
fig. 1-5, ele indicará a tensão de 2 volt.
4 v
2 v
0
Fig. 1-5
Expressão matemática da série de Fourier do sinal pulsante exemplificado
Freqüência cíclica fundamental: f 0 =
1
Hz
T0
rd
2π
ou ω 0 =
s
T0
Chamando, o sinal pulsante exemplificado, de v(t ) , tem-se:
Freqüência angular fundamental: ω 0 = 2πf 0
v(t ) =
rd
s
V 2V
2V
2V
+
sen (ω 0 t ) +
sen (3ω 0 t ) +
sen (5ω 0 t ) + .............
2 π
3π
5π
Representação no domínio da freqüência ( espectro de freqüências ).
A fig. 1-6 mostra a representação dessa série de Fourier no domínio de freqüências.
3
2V
V
2
π
2V
3π
ω0
0
2ω 0
3ω 0
2V
5π
4ω 0
5ω 0
ω
Fig. 1-6
Caso geral de sinal periódico
Seja o sinal, periódico v(t ) representado na fig. 1-7.
v (t )
T0
−t
0
T0
t
Fig. 1-7
Sua série de Fourier tem a forma geral
v(t ) =
A0
+ A1 cos(ω 0 t ) + A2 cos(2ω 0 t ) + A3 cos(3ω 0 t ) + ........
2
+ B1 sen (ω 0 t ) + B2 sen (2ω 0 t ) + B3 sen (3ω 0 t ) + ........
Repare-se que, no caso geral, cada harmônica da série de Fourier é representada por um
par de termos: um seno e um coseno. Desta maneira, por exemplo, a enésima harmônica
é representada pelo par An cos nω 0 t e Bn sen ω 0 t .
Determinação das amplitudes An e Bn
Vamos escolher, arbitrariamente, um intervalo de tempo iniciado em t = t1 e terminado
em t = t1 + T0 . Ver fig. 1-8.
4
v (t )
T0
t1
t1 + T0
t
Fig. 1-8
Neste caso teremos
An =
2
T0
Bn =
2
T0
t1 +T0
t1
t1 +T0
t1
v(t ) cos(nω 0t )dt
v(t ) sen (nω 0 t )dt
n = 0; 1; 2; 3; 4; ............
Note-se que para n = 0 resulta:
A0 =
2
T0
B0 =
2
T0
t1 +T0
t1
t1 +T0
t1
v(t ) cos(0 )dt =
2
T0
v(t )sen (0 )dt =
2
T0
t1 +T0
t1
t1 +T0
t1
v(t )dt
v(t ) × 0 ×dt = 0
Origem no tempo
È comum adotarmos uma posição, na representação do sinal periódico, onde t = 0. Este
ponto é denominado origem no tempo. A direita dessa posição temos t > 0. A esquerda
teremos t < 0. Ver fig. 1-9
origem
-t
+t
0
Fig. 1-9
5
Exemplo de cálculo de amplitudes das componentes harmônicas.
Como ilustração, vamos calcular as amplitudes das harmônicas da onda quadrada
pulsante do nosso exemplo. Na fig. 1-10 redesenhamos o sinal com a indicação de uma
origem temporal que foi escolhida. Seja o tempo inicial, do intervalo de integração, o
T
ponto t1 = − 0 .
2
v(t )
V
T0
0
1
− T0
2
t
1
T0
2
0
Fig. 1-10
A0 =
2
T0
= 0+
A1 =
2
T0
= 0+
T0
2
v(t )dt =
−
T0
2
2V
t
T0
0
2
T0
T0
2
=
0
0 ×dt +
−
T0
2
2
T0
V dt =
0
A0 V
=
2
2
2V T0
× =V
T0 2
T0
2
v(t ) cos(ω 0 t )dt =
T
− 0
2
2V
sen ω 0t
T0ω 0
T0
2
T0
2
=
0
2
T0
0
0 × cos(ω 0 t )dt +
T
− 0
2
2
T0
T0
2
V cos(ω 0 t )dt =
0
V
2V T0
2π T0
[sen(π ) − sen(0)] = 0
×
sen
×
− sen (0 ) =
π
T0 2π
T0 2
A1 = 0
6
B1 =
= 0−
=−
2
T0
T0
2
v(t )sen (ω 0 t )dt =
T
− 0
2
2V
cos(ω 0t )
T0ω 0
V
π
T0
2
=−
0
2
T0
0
0 × sen (ω 0 t )dt +
T
− 0
2
2
T0
T0
2
V sen(ω 0 t )dt =
0
2V T0
2π T0
×
cos
×
− cos(0 ) =
T0 2π
T0 2
[cos(π ) − cos(0)] = − V (− 1 − 1) = 2V
π
Se calculássemos A2 =
2
A3 =
T0
2
T0
B1 =
π
T0
2
v(t ) cos(2ω 0 t )dt ,
B2 =
T
− 0
2
T0
2
v(t ) cos(3ω 0 t )dt
T
− 0
2
e
2
B3 =
T0
2
T0
2V
π
T0
2
v(t ) sen (2ω 0 t )dt
T
− 0
2
T0
2
v(t )sen (3ω 0 t )dt ,
T
− 0
2
chegaríamos aos resultados:
A2 = 0 , B2 = 0 , A3 = 0 e
B3 =
2V
3π
Portanto, confirma-se que, até a terceira harmônica, a composição da série de Fourier é:
v(t ) =
2V
V 2V
sen (ω 0 t ) +
+
sen (3ω 0 t ) + ..............
2 π
3π
Propriedades dos valores de An e Bn
A0
corresponde ao valor médio de v(t ) ( componente contínua )
2
Os valores de An e Bn , n ≠ 0 , dependem da posição da origem do tempo ( t = 0 ).
Seja, novamente, o sinal pulsado. A fig. 1-11 mostra uma posição da origem adotada
como exemplo. Podemos ver que a função adquire o mesmo valor, tanto para t positivo
quanto para t negativo, ou seja, v(t ) = v(− t ) . Nesta situação, dizemos que v(t ) é uma
função par. Neste caso, na série de Fourier , desse sinal, todas as amplitudes Bn se
O termo
anulam. Teremos somente termos do tipo An cos(nω 0 t ) , incluindo A0 .
7
v (t )
V
v(+ t )
v(− t )
−t
0
1
− T0
2
t
1
T0
2
0
Fig. 1-11
A série de Fourier desse sinal, com a origem nessa posição, é:
v(t ) =
V 2V
2V
2V
+
cos(5ω 0 t ) − ....
cos(ω 0 t ) −
cos(3ω 0 t ) +
2 π
3π
5π
Seja, agora o sinal com a forma de onda quadrada mostrada na fig. 1-12. Neste caso, a
origem foi escolhida de tal forma que se tenha v(t ) = −v(− t ) . Tem-se, portanto, uma
função ímpar. Neste caso, na série de Fourier , desse sinal, todas as amplitudes An se
anulam. Teremos somente termos do tipo Bn sen (nω 0 t ) .
v(t )
−t
v(+ t )
v(− t )
V
2
0
−
t
V
2
−
T0
2
0
Fig. 1-12
Sua série de Fourier toma a forma
v(t ) =
2V
π
sen (ω 0 t ) +
2V
2V
sen (3ω 0 t ) +
sen (5ω 0 t )..............
3π
5π
8
T0
2
Sugestão: Sempre que for possível, deveremos escolher a origem t = 0, de tal forma,
que se tenha função par ou função impar. Desta maneira teremos que calcular apenas a
metade dos coeficientes da série geral de Fourier.
-------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 1-1
Calcular a amplitude da componente contínua do sinal periódico abaixo. Esse sinal
representa uma tensão senoidal de amplitude V, retificada por meio de um diodo ideal..
Note-se que:
T
T
2π
− 0 ≤t≤ 0
v(t ) = V cos
t
para
T0
4
4
v(t ) = 0
no restante do período
v(t )
V
0
T
− 0
2
0
T
− 0
4
t
T0
4
T
+ 0
2
Solução:
Podemos ver que, em torno da origem, a função é par, ou seja, v(+ t ) = v(− t ) .
Portanto, a série de Fourier só contém termos em co-seno.
A amplitude da componente contínua fica dada pela expressão:
VDC =
=
A0 1
=
2 T0
T0
4
T
− 0
4
V T0
2π
×
sen
T0 2π
T0
v(t ) cos(0 )dt =
T0
4
=
1
T0
T0
4
T
− 0
4
v(t )dt =
V
π
π
sen − sen −
2π
2
2
1
T0
T0
4
T
− 0
4
=
V cos
2π
dt =
T0
V
π
T
− 0
4
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 1-2
Determinar a componente contínua (valor médio) do sinal pulsado cujo período é T0 e a
duração do pulso é τ . Ver figura abaixo.
9
v (t )
V
0
−
T0
2
−
τ
2
0
τ
T0
2
2
Solução:
A0 1
=
2 T0
T0
2
−
Portanto,
τ
v(t )dt =
T0
2
1 2
1
τ
τ
Vdt =
V − −V
T0 τ
T0
2
2
−
=V
τ
T0
2
A0
τ
=V
2
T0
Note-se que quando o pulso dura a metade do período ( τ =
T0
) resulta
2
A0 V
=
2
2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Espectro de freqüências no caso geral
Voltemos à expressão geral da série de Fourier
v(t ) =
A0
+ A1 cos(ω 0 t ) + A2 cos(2ω 0 t ) + A3 cos(3ω 0 t ) + ........
2
+ B1 sen (ω 0 t ) + B2 sen (2ω 0 t ) + B3 sen (3ω 0 t ) + ........
Vamos agrupar os termos de mesmas freqüências
v(t ) =
A0
+ [A1 cos(ω 0 t ) + B1 sen (ω 0 t )] + [ A2 cos(2ω 0 t ) + B2 sen (2ω 0 t )] +
2
+ [ A3 cos(3ω 0 t ) + B3 sen (3ω 0 t )] + ...........
Como as senoides de mesma freqüência estão em quadratura, podemos fazer a
composição vetorial mostrada na figura 1-13.
10
Bn
Dn
Dn = An2 + Bn2
φn
φ n = tg −1
An
Bn
An
Fig. 1-13
Portanto
An cos(nω 0 t ) + Bn sen (nω 0 t ) = Dn cos(nω 0 t + φ n )
onde
Dn =
An2 + Bn2
φ n = tg −1
e
Bn
An
Desta maneira, a série de Fourier toma a forma
v(t ) =
D0
+ D1 cos(ω 0 t + φ1 ) + D2 cos(2ω 0 t + φ 2 ) + D3 cos(3ω 0 t + φ 3 ) + ........
2
Podemos escrever, esta série, em uma forma compacta
v(t ) =
onde
Dn =
D0
+
2
An2 + Bn2
Propriedades de
Dn
e
∞
n =1
e
Dn cos(nω 0 t + φ n )
φ n = tg −1
Bn
An
φn
O valor de Dn resulta sempre o mesmo, independentemente da escolha da origem t = 0.
O valor de φ n é a única grandeza que varia com a posição de t = 0
O conjunto de freqüências nω 0 e as respectivas amplitudes Dn , formam o espectro de
freqüências do sinal periódico v(t ) . Este espectro de freqüências corresponde à figura
que observamos quando se injeta o sinal v(t ) em um analisador de espectro.
Ver figura 1-14.
D1
0
f0 =
D2
D0
2
D3
1
T0
f0
1 ω0
=
T0 2π
D4
D5
2 f0
3 f0
Fig. 1-14
11
4 f0
5 f0
f
2 – FORMA EXPONENCIAL DA SÉRIE DE FOURIER
Vimos no capítulo 1 que a fórmula geral da série de Fourier é:
v(t ) =
A0
+ A1 cos(ω 0 t ) + A2 cos(2ω 0 t ) + A3 cos(3ω 0 t ) + ........
2
+ B1 sen (ω 0 t ) + B2 sen (2ω 0 t ) + B3 sen (3ω 0 t ) + ........
As fórmulas de Euler fornecem as igualdades
e jx = cos x + j sen x
e − jx = cos x − j sen x
Podemos ver que
e +e
− jx
e −e
− jx
jx
jx
= 2 cos x
= 2 j sen x
e jx + e − jx
cos x =
2
ou
e jx − e − jx
sen x =
2j
ou
Estas fórmulas de coseno e seno são conhecidas como fórmulas de Moivre.
Vamos aplicá-las aos termos da série de Fourier
cos(nω 0 t ) =
e jnω 0t + e − jnω 0t
2
sen (nω 0 t ) =
e jnω 0t − e − jnω 0t
e jnω 0t − e − jnω 0t
=−j
2j
2
Substituindo estas igualdades na expressão geral da série de Fourier, resulta
v(t ) =
(
)
(
)
(
)
(
)
A0 A1 jω 0t
A
A
+
e + e − jω 0t + 2 e j 2ω 0t + e − j 2ω 0t + 3 e j 3ω 0t + e − j 3ω 0t + .....
2
2
2
2
−j
(
)
(
)
B
B1 jω 0t
B
e
− e − jω 0t − j 2 e j 2ω 0t − e − j 2ω 0t − j 3 e j 3ω 0t − e − j 3ω 0t + .....
2
2
2
Agrupando os termos com a mesma exponencial, resulta
v(t ) =
A0
A − jB3 j 3ω 0t
A − jB1 jω 0t
A − jB2 j 2ω 0t
+ 1
e
+ 2
e
+ 3
e
+ ......
2
2
2
2
12
A + jB3 − j 3ω 0t
A1 + jB1 − jω 0t
A + jB2 − j 2ω 0t
e
e
+ 3
e
+ ......
+ 2
2
2
2
+
Podemos escrever
v(t ) = C 0 + C1e jω 0t + C 2 e j 2ω 0t + C 3 e j 3ω 0t + ........ + C −1e − jω 0t + C − 2 e − j 2ω 0t + C −3 e − j 3ω 0t + ......
onde
Cn =
An − jBn
2
e
C −n =
An + jBn
2
Note-se que os coeficientes C n e C − n
são números complexos conjugados
Podemos observar, também, que
C0 =
A0 + j × 0 A0
=
2
2
Esta forma de exprimir a série de Fourier é conhecida como série exponencial de
Fourier.
Podemos representar a série exponencial pelo gráfico da figura 2-1. Neste caso os
coeficientes C − n e C n , da série exponencial, são números complexos.
C−1
C− 4
− 4ω 0
C−3
− 3ω 0
C0
C−2
− 2ω 0
C1
− ω0
C2
ω0
0
2ω 0
C3
C4
3ω 0
4ω 0
ω
Fig. 2-1
Repare-se que na representação mostrada na fig. 2-1, aparecem freqüências positivas e
negativas. Devida a essa situação, diz-se que essa figura representa a forma bilateral da
série de Fourier. Esta é apenas uma representação matemática, pois sabemos que
fisicamente não existem freqüências negativas
Expressão compacta da série exponencial de Fourier
v(t ) =
∞
C n e jnω 0t
n = −∞
13
onde
Cn =
An − jBn
2
e
C −n =
An + jBn
2
Esta expressão também é conhecida como:
transformada de Fourier de um sinal periódico
v(t ) .
Outro tipo de representação da série de Fourier bilateral está mostrado na fig. 2-2.
Nesta representação, os coeficientes das componentes entram na forma do módulo de
seus valores complexos, ou seja
C −n = C n =
An2 + Bn2
2
C−1
C− 4
− 4ω 0
C−3
− 3ω 0
C0
C−2
− 2ω 0
C1
− ω0
0
C2
ω0
2ω 0
C3
C4
3ω 0
4ω 0
ω
Fig. 2-2
Como veremos, mais adiante, esta última representação é útil, por exemplo, para a
determinação da potência média de um sinal v(t ) não senoidal:
Também facilita a determinação do sinal resultante de processamentos de v(t ) como,
por exemplo, filtragens, modulações, etc. A notação exponencial bilateral, da série de
Fourier, é a mais usada na literatura técnica de telecomunicações do que a notação
trigonométrica unilateral.
Fórmula opcional para o cálculo da potência média de um sinal v(t ) periódico.
Quando não se dispõe da série de Fourier, a potência média só pode ser calculada pela
fórmula geral:
2
1
[
v(t )] dt
T T0
P0 = 0
R
Nota: Nas disciplinas de telecomunicações é costume supor que a tensão v(t ) está sobre
uma resistência padronizada R = 1 Ω . Nesta apostila sempre adotaremos essa
convenção.
14
2
1
[v(t )] dt
T
T0 0
Vimos, em cursos anteriores, que a potência média de uma tensão senoidal é dada por
P0 =
Portanto
(tensão eficaz ) = (tensão eficaz )
=
R
2
P0
P0 =
ou
amplitude
2
2
(pois R = 1 Ω )
2
(
amplitude )
=
2
2
Quando se dispõe da série de Fourier, a potência média é igual a soma das potências
médias de todas as componentes senoidais, adicionadas à potência da componente DC,
ou seja:
A02 1 2
+ (A1 + A22 + A32 + ........B12 + B22 + B32 + .........)
4 2
P0 =
Podemos reescrever na seguinte forma:
A02
A2 A2 A2
B2 B2 B2
+ 2 1 + 2 + 3 + ........ 1 + 2 + 3 + .........
4
4
4
4
4
4
4
P0 =
P0 =
ou
A02
A 2 + B12 A22 + B22 A32 + B32
+2 1
+
+
+ ........
4
4
4
4
Vimos que
C −n =
An + jBn
2
e
Cn =
An − jBn
2
Portanto, seus módulos ficam
C −n
C0
2
2
= Cn
=
2
=
An2 + Bn2
4
A02
4
Aplicando estes resultados à expressão anterior da potência média, resulta
15
∞
2
P0 = C 0 + 2
P0 =
ou
∞
n = −∞
n =1
Cn
2
2
Cn
Portanto, quando se tem à disposição a série exponencial bilateral de Fourier,
poderemos calcular a potência média de um sinal periódico, não senoidal, pela
expressão:
P0 =
∞
n = −∞
2
Cn
----------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 2-1
Dado o sinal senoidal
v(t ) = V cos ω 0 t
Supondo que este sinal está em uma resistência normalizada R = 1 Ω , sabemos que sua
potência média fica P0 = (Veficaz ) =
2
V
2
2
=
V2
2
a) Determinar a representação, deste sinal v(t ) , na forma de série de Fourier
exponencial.
b) Calcular sua potência média utilizando os coeficientes dessa série.
Solução:
e jω0t + e − jω0t
a) V cos ω 0 t = V
2
=
=
V jω0t V − jω0t
e
+ e
=
2
2
V jω0t V − jω0t
e
+ e
= C −1e − jω0t + C1e jω0t
2
2
Por identidade tem-se:
C −1 = C1 =
V
2
A figura abaixo mostra a representação gráfica desse sinal na forma complexa.
16
V
2
V
2
− ω0
0
ω0
ω
b) Cálculo da potência média do sinal senoidal exemplificado:
C −1 = C1 =
V
2
A potência média fica:
2
P0 = C −1 + C1
2
2
V
=
2
V
+
2
2
=
V2
2
V2
2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------Determinação direta dos coeficientes C − n e C n
P0 =
Vamos demonstrar que
Cn =
1
T0
T0
v(t )e − jnω 0t dt
1
v(t )e jnω 0t dt
T0 T0
Demonstração
C −n =
1
T0
=
T0
1
T0
v(t )e − jnω 0t dt =
T0
1
T0
T0
v(t )[cos(nω 0 t ) − j sen (nω 0 t )]dt =
v(t ) cos(nω 0t )dt − j
An
2
1
T0
T0
v(t ) sen (nω 0t )dt =
Bn
2
17
An
B
A − jBn
−j n = n
= Cn
2
2
2
Analogamente se demonstra que
C −n =
1
T0
T0
An + jBn
= C −n
2
v(t )e jnω 0t dt =
Expressão recursiva de v(t )
Partimos da fórmula compacta da série exponencial
v(t ) =
∞
C n e jnω 0t
n = −∞
Substituimos os coeficientes pelas suas fórmulas diretas. Resulta
v(t ) =
∞
n = −∞
1
T0
T0
v(t )e − jnω 0t dt e jnω 0t
C± n
Comparação entre os coeficientes C n e C − n
Vimos que
Cn =
An − jBn
2
C −n =
e
An + jBn
2
Na forma polar fica
C n = C n e jφ n
C− n = C− n e jφ−n
Cn =
onde
C −n =
onde
An2 + Bn2
2
An2 + Bn2
2
e
e
φ n = −tg −1
Bn
An
φ − n = tg −1
Bn
An
Conclusões:
C −n = C n
e
φ − n = −φ n
Portanto, em função de n, o módulo dos coeficientes possui simetria par e a fase possui
simetria impar. Este tipo de simetria se chama Simetria Hermetiana.
18
Nota: Estas propriedades de simetria são validas somente quando a função v(t ) for
real. Quando se trata da análise de um sinal elétrico, isto realmente ocorre. Entretanto a
série exponencial de Fourier é extensiva à análise de sinais compostos de parte real e
parte imaginária. Isto se aplica, por exemplo, ao projeto de filtros construídos na técnica
digital.
19
3 - ESPECTRO CONTÍNUO DE FREQÜÊNCIAS
Consideração sobre a composição do espectro de freqüências
Sabemos a freqüência fundamental de um sinal periódico é igual ao inverso de seu
período. Isto significa que, se o período for T0 , a componente fundamental terá a
1
freqüência f 0 = . Portanto, o espaçamento entre componentes vizinhas fica igual a
T0
1
f 0 = . Vemos que quanto menor for o período do sinal, maior será o espaçamento
T0
entre harmônicas de seu espectro. Da mesma forma, quando o período for muito grande,
o espaçamento, entre as componentes do espectro de freqüências, se torna muito
pequeno. A figura 3-1 ilustra essas situações.
T0
f0 =
1
T0
t
0
f0
1
T0
T0
t
2 f0
f0 =
1
T0
3 f0
1
T0
0
f
Fig. 3-1
Vamos supor o caso limite em que se considera o período infinito. Neste caso
1
=0
T0
T0 → ∞
f 0 = lim
Isto significa que o espaçamento, entre as componentes do espectro de freqüências, se
anula. Neste caso, dizemos que o sinal temporal possui um espectro contínuo de
freqüências.
Seja, por exemplo, o pulso da fig. 3-2.a, que acontece uma única vez (aperiódico).
20
f
Matematicamente podemos considerar que o período de repetição é infinito.
Nesta caso, no domínio da freqüência teremos um espectro contínuo. No caso particular
do pulso da fig. 3-2.a, a envoltória do espectro contínuo obedece a curva mostrada na
fig. 3-2.b.
v(t )
V
−
τ
2
0
−
(a)
t
τ
2
V(f )
Vτ
−f
−
4
τ
−
3
τ
−
2
τ
−
1
0
0
1
τ
τ
2
τ
3
τ
4
τ
(b)
Fig. 3-2
Vemos que essa representação espectral está na forma bilateral. A representação
bilateral é a mais vantajosa para os processamentos matemáticos em que ela é aplicada.
Mais adiante, a forma desta envoltória espectral, será confirmada por meio de calculo.
Transformada de Fourier
Quando se tem um espectro de freqüências contínuo, não se pode usar o nome de série
de Fourier para descrever o sinal nesse domínio da freqüência. O nome, que se utiliza, é
Transformada de Fourier.
Quando um sinal é periódico no domínio do tempo, seu espectro de freqüências é
composto de componentes discretas e é determinado pela série de Fourier. Por outro
21
f
lado, se o sinal for aperiódico no domínio do tempo, seu espectro de freqüência é
continuo e suas propriedades são determinadas pela transformada de Fourier.
Na realidade, a transformada de Fourier é mais abrangente porque serve para os dois
casos, ou seja, a transformada de Fourier de um sinal periódico resulta na série de
Fourier.
Expressão matemática da Transformada de Fourier
A envoltória, do espectro contínuo bilateral, pode ser calculada por meio da
transformada de Fourier. Dado um sinal, aperiódico, v(t ) , sua transformada de Fourier é
dada pela expressão
ℑ[v(t )] =
+∞
v(t )e − j 2πft dt
−∞
Esta transformada produz, como resultado, uma função no domínio da freqüência. Por
isto, podemos chamá-la de V ( f ) .
V(f ) =
+∞
v(t )e − j 2πft dt
−∞
Exemplos de funções aperiódicas e suas transformadas de Fourier.
1) Impulso de área unitária que ocorre no instante t = 0. Ver fig. 3-3.
Como já vimos, em cursos anteriores, o impulso unitário, que é representado por δ (t ) , é
uma função matemática ideal que só ocorre no instante t = 0, tem altura H infinita, e
duração τ = 0. zero. Apesar disto, sua área é unitária, ou seja,
τ × H = 0×∞ =1
∞
δ (t )
área = 0 × ∞ = 1
t
0
Fig. 3-3
Isto significa que
∞
δ (t )dt = 1
−∞
A transformada de Fourier desse impulso unitário fica
22
+∞
ℑ[δ (t )] = δ (t )e − j 2πft dt
−∞
Como δ (t ) só é diferente de zero, no instante t = 0, o produto δ (t ) × e − j 2πft também só
não será nulo para t = 0.
Em t = 0 tem-se
e − j 2πft = e 0 = 1
Portanto
+∞
+∞
+∞
−∞
−∞
−∞
ℑ[δ (t )] = δ (t )e − j 2πft dt = δ (t ) × 1 ×dt = δ (t )dt = 1
ℑ[δ (t )] = 1
ou seja
2 ) Pulso retangular
Com relação à parte (a) da fig. 3-4, vamos supor que a chave S fecha durante um tempo
τ e torna a ficar aberta definitivamente. Neste caso teremos, sobre o resistor, o único
pulso de tensão mostrado na parte (b) da mesma figura.
S
V
V
R
τ
v2 (t )
0
(a)
t
(b)
Fig. 3-4
Para facilitar o cálculo da transformada de Fourier desse sinal vamos escolher a origem
do tempo no meio do pulso (ver fig. 3-5). Vemos que, desse modo temos uma função
v 2 (t ) do tipo par.
23
v 2 (t )
V
−
τ
2
0
−
t
τ
2
Fig. 3-5
τ
τ
τ
2
2
2
ℑ[v2 (t )] = V2 ( f ) = Ve − j 2πft dt = V cos(2πft )dt − j V sen (2πft )dt =
−
τ
−
2
τ
2
= V cos(2πft )dt + j 0 = V
−
τ
τ
−
2
τ
2
sen (πfτ )
πf
2
Podemos escrever
V ( f ) = Vτ
sen (πfτ )
πfτ
ou
V ( f ) = Vτ × sinc( fτ )
sen (πx )
são bem conhecidas na matemática
πx
superior. Essa função se anula para todo x = ± n onde n = 1; 2; 3; ........
Portanto, em nosso caso a função V(f) se anula para todo fτ = 1; 2; 3; .......
Entretanto, para fτ = 0 , resulta
As propriedades da função sinc(x ) =
lim
sen πx
sen πfτ
=1
= lim
πx
πfτ
fτ → 0
x→0
Pode-se verificar este resultado aplicando-se a fórmula de L´Hopital
A função V ( f ) = Vτ sinc( fτ ) está mostrada na fig. 3-6. Para f = 0 tem-se o valor
máximo igual a Vτ , que corresponde à área do pulso no domínio do tempo.
24
V (f )
Vτ
−f
−
4
−
τ
3
τ
−
2
−
τ
0
1
0
4
τ
τ
τ
τ
3
2
1
f
τ
Fig. 3-6
Note-se que V ( f ) é uma função real. Entretanto, como tem partes com valores positivos
e negativos, possui módulo e fase. A fig. 3-7 mostra o módulo e a fase dessa função.
V (f )
Vτ
−f
−
4
τ
−
3
−
τ
2
τ
−
1
0
τ
1
2
τ
τ
3
τ
4
f
τ
θ
−f
−
4
τ
−
3
τ
−
2
τ
−
1
0
τ
180 0 1
2
τ
τ
00
3
τ
4
τ
f
− 180 0
Fig. 3 -7
Essa função é bastante importante para o estudo da transmissão de sinais digitais.
Note-se que essa transformada de Fourier possui simetria Hermetiana em função da
freqüência. Na realidade, a transformada de Fourier, de todas as funções reais, possui
simetria Hermetiana.
Analogia entre a série de Fourier e a transformada de Fourier
Vimos que , a forma recursiva, da série de Fourier, de um sinal periódico, pode ser
expressa pela equação:
25
v(t ) =
∞
n = −∞
1
T0
T0
v(t )e − jnω 0t dt e jnω 0t
C (± nω 0 )
A forma recursiva da transformada de Fourier , de um sinal aperiódico, é expressa pela
equação:
v(t ) =
∞
∞
v(t )e − j 2πft dt e j 2πft df
− ∞ −∞
V(f )
Note-se que V ( f ) = ℑ[v(t )] =
∞
v(t )e − j 2πft dt
−∞
Portanto, a forma recursiva de v(t ) pode ser escrita
∞
v(t ) = V ( f )e j 2πft df
−∞
Dizemos que v(t ) é a anti-transformada, de Fourier, da função V ( f ) , ou seja
v(t ) = ℑ −1 [V ( f )]
Par de transformadas
ℑ[v(t )] = V ( f ) =
∞
v(t )e − j 2πft dt
−∞
∞
ℑ −1 [V ( f )] = v(t ) = V ( f )e j 2πft dt
−∞
Podemos observar que a única diferença, entre a transformada e a anti-transformada de
Fourier, é o sinal algébrico do expoente de e. No caso da transformada ele é negativo e
na anti-transformada ele é positivo.
Relação entre a transformada de Fourier e a transformada de Laplace
Para sinais aperiódicos, a transformada de Fourier é igual à transformada de Laplace
quando se substitui s por jω = j2πf
26
A tabela 3-1 mostra essa relação para algumas funções
Tabela 3-1
Transformada
de Laplace
Função
∂ (t )
Transformada
de Fourier
∞
1
1
1
s
1
j 2πf
impulso
1
degrau
1
τ
sτ
e 2 −e
τ
sτ
pulso
1
e −αt
1
(1 − e )
−
sτ
2
e jπfτ − e − jπfτ
sinπfτ
=τ
j 2πfτ
πfτ
1
s +α
1
j2πf + α
α
α
j 2πf ( j 2πf + α )
s(s + α )
−αt
τ
------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 3-2
O sinal aperiódico
v(t ) = Ve −αt cos β t
possui a seguinte transformada de Laplace:
V (s ) = V
s +α
(s + α )2 + β 2
Determinar sua transformada de Fourier
Solução:
Basta substituir s por j 2πf
ℑ[v(t)] = V ( f ) = V
j 2πf + α
( j 2πf + α )2 + β 2
---------------------------------------------------------------------------------------------
27
Resposta temporal de um filtro para uma excitação na forma de impulso.
Esta resposta é normalmente chamada de resposta impulsiva de um filtro.
Vamos, como exemplo, calcular a resposta, no domínio do tempo, do filtro passa baixas
RC da fig. 3-8, utilizando o método da transformada de Laplace. Supomos que o sinal
de entrada tem a forma de um impulso unitário.
R
v1 (s )
1
Cs
v2 ( s )
Fig. 3-8
v 2 (s ) =
ou
v1 (s )
1
×
1 Cs
R+
Cs
1
v 2 (s ) = v1 (s ) RC
1
s+
Rc
v1 (s ) = 1
Excitação impulso unitário:
Portanto
1
v 2 (s ) = RC
1
s+
RC
3-1
Fazendo a anti-transformada de Laplace, resulta a resposta no tempo:
v 2 (t ) =
1
1 − RC t
e
RC
Transformada de Fourier do sinal de saída
Se, na expressão 3-1, substituirmos s por j 2πf , teremos a expressão da transformada
de Fourier de v 2 (t ) . Ou seja
ℑ[v 2 (t )] =
1
RC
j 2πf +
3-2
1
RC
Vamos, agora calcular a resposta em freqüência do mesmo filtro. Ver fig. 3-9
28
R
v1
1
jωC
v2
.
Fig. 3-9
v2 =
1
R+
jωC
v2
=
v1
ou
Mas
v1
×
1
jωC
1
RC
jω +
1
RC
ω = 2πf
Portanto
v2
=
v1
1
RC
3-3
1
j 2πf +
RC
Comparando 3-3 com 3-2 vemos que resultaram expressões matemáticas idênticas
Isto significa que a transformada de Fourier do sinal de saída de um filtro, que foi
excitado por um impulso unitário, é igual a expressão da resposta em freqüência desse
filtro.
Conclusão: Quando se excita um filtro com um impulso unitário, seu sinal
de saída, no domínio do tempo, tem sua transformada de Fourier
identicamente igual à expressão da resposta em freqüência desse filtro.
---------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 3-3
Calcular o sinal de saída, no domínio do tempo, do filtro abaixo supondo que ele é
excitado por um impulso unitário.
jω L
v1
v2
R
29
Solução:
Inicialmente, calculamos a resposta em freqüência
v2 =
ou
v1
×R
jωL + R
v2
=
v1
R
L
R
jω +
L
=
R
L
j 2πf +
R
L
Pela propriedade mencionada tem-se
v
ℑ[v 2 (t )] = 2 =
v1
ℑ[v 2 (t )] =
R
L
j 2πf +
R
L
R
L
R
L
Para determinar v 2 (t ) devemos fazer a anti-transformada de Fourier dessa expressão:
j 2πf +
v 2 (t ) = ℑ −1
R
L
j 2πf +
R
L
Utilizando a penúltima linha da tabela 3-1, podemos concluir que esta antitransformada resulta
ℑ
−1
R
L
j 2πf +
R
R
L
R − t
= e L
L
R
Portanto
R − t
v 2 (t ) = e L
L
Na literatura técnica universal, é costume designar a resposta impulsiva de um filtro, no
domínio do tempo, por h(t). Da mesma forma, expressa-se, a resposta em freqüência de
um filtro, por H(f) .
A propriedade que acabamos de demonstrar pode ser expressa pelas igualdades:
30
H ( f ) = ℑ[h(t )]
h(t ) = ℑ −1 [H ( f )]
ou
Convolução
È uma operação matemática que determina o sinal de saída, de um filtro, no domínio do
tempo, para qualquer tipo de excitação de entrada.
Vamos supor que um filtro tenha uma resposta em freqüência H ( f ) .
Neste caso fazemos a anti-transformada:
ℑ −1 [H ( f )] = h(t ) =
∞
H ( f )e j 2πft df
−∞
Vimos que o resultado h(t ) vem a ser o sinal de saída do filtro, no domínio do tempo,
para um sinal de entrada na forma de impulso unitário.
Se na entrada do filtro tivermos um sinal genérico v1 (t ) , o sinal temporal de saída fica
dado por
v 2 (t ) = v1 (t ) * h(t )
Dizemos que o sinal de saída é igual a convolução dos sinais v1 (t ) e h(t ) .
A fig. 3-10 mostra essa situação
filtro
v1 (t )
h(t )
v2 (t ) = v1 (t ) * h(t )
Fig. 3 -10
A expressão matemática da convolução é:
v1 (t ) * h(t ) =
∞
v(t ′)h(t − t ′)dt ′
−∞
Normalmente, esta operação requer interpretação gráfica para determinar os limites de
integração. Isto torna o processo de cálculo difícil e trabalhoso. Existe uma propriedade
da convolução que resulta um processo muito mais simples para seu cálculo. Esta
propriedade será vista a seguir.
Propriedade da convolução no domínio da freqüência
A transformada de Fourier de uma convolução entre duas variáveis é igual ao produto
das transformadas individuais de Fourier dessas variáveis.
ℑ[v(t ) * h(t )] = V ( f ) × H ( f )
31
Esta propriedade induz a um processo muito mais automático para a determinação de
v 2 (t ) a partir de v1 (t ) e da resposta impulsiva do filtro.
1) Determina-se V1 ( f ) fazendo a transformada de Fourier de v1 (t )
ℑ[v1 (t )] = V1 ( f )
2) Determina-se V2 ( f ) fazendo a multiplicação de
freqüência H ( f ) do filtro.
V1 ( f ) pela resposta em
V1 ( f ) × H ( f ) = V2 ( f )
3) Determina-se v 2 (t ) fazendo a anti-transformada de Fourier de V2 ( f )
ℑ −1 [V2 ( f )] = v 2 (t )
A figura 3-11 ilustra essa seqüência em um diagrama de fluxo.
v1 (t )
ℑ
()
V1 ( f )× H ( f )
V1 ( f )
ℑ −1 (
)
v2 (t )
H( f )
Fig. 3-11
Este processo é muito mais simples que o anterior porque não necessita de interpretação
gráfica. Por isto ele é empregado, quase que exclusivamente, para resolver problemas
desse tipo em telecomunicações.
Normalmente as transformadas e anti-transformadas, de Fourier, são realizadas por
cálculo numérico, em computador, utilizando algoritmos específicos.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 3-4
Determinar o sinal de saída v 2 (t ) , do filtro passa baixas RL do exercício 4-3, supondo
que ele foi excitado por um degrau de amplitude V.
Solução:
No exercício 3-3 foi calculada a resposta em freqüência do filtro resultando
H(f )=
R
L
j 2πf +
R
L
32
A transformada de Fourier da excitação na forma de degrau é
ℑ[v1 (t )] = V1 ( f ) =
V
j 2πf
A transformada de Fourier do sinal de saída fica
ℑ[v 2 (t )] = V1 ( f ) × H ( f ) = V
R
L
j 2πf j 2πf +
R
L
O sinal v 2 (t ) fica
v 2 (t ) = ℑ −1 V
R
L
j 2πf j 2πf +
R
L
Utilizando a última linha da tabela 3-1, podemos concluir que esta anti-transformada
resulta
ℑ
Portanto
−1
V
R
L
R
j 2πf j 2πf +
L
= V 1− e
v 2 (t ) = V 1 − e
R
− t
L
R
− t
L
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
33
4 - EFEITOS DE ATRAZOS E TRANSFORMADA Z
Atraso de um sinal e a sua influência na transformada de Fourier
Vamos supor que um sinal v(t ) passe através de um dispositivo de tal forma que o sinal
de saída mantém a mesma forma do sinal de entrada, mas sofre um atraso, no tempo,
igual a τ segundos (ver fig. 4-1.a). A parte superior da fig. 4-1.b mostra o sinal de
entrada v(t ) . O sinal de saída, que fica expresso por v(t − τ ) , está mostrado na parte
inferior dessa figura 4-1.b.
Vimos que a transformada de Fourier, para qualquer sinal v(t ) , obedece a expressão:
ℑ[v(t )] =
+∞
v(t )e − j 2πft dt
−∞
v (t )
atrasador
τ
v(t − τ )
(a)
v (t )
Sinal de
entrada
t
τ
v(t − τ )
Sinal de
saída
t
(b)
Fig. 4-1
A transformada de Fourier do sinal da saída fica
∞
ℑ[v(t − τ )] = v(t − τ )e − j 2πft dt
−∞
Vamos multiplicar e dividir o segundo membro da equação pelo termo constante
e j 2πfτ
Neste caso fica:
34
ℑ[v(t − τ )] = e
− j 2 πf τ
∞
v(t − τ )e − j 2πft e j 2πfτ dt
−∞
Podemos escrever
ℑ[v(t − τ )] = e
− j 2πfτ
∞
v(t − τ )e − j 2πf (t −τ )dt
−∞
Podemos, ainda, escrever
ℑ[v(t − τ )] = e
− j 2πfτ
∞
v(t − τ )e − j 2πf (t −τ )d (t − τ )
−∞
d (t − τ ) = dt
pois
t ′ = t − τ , teremos
Fazendo a mudança de variável para
ℑ[v(t − τ )] = e
− j 2πτt
∞
v(t ′)e − j 2πft′ dt ′
−∞
∞
v (t ′)e − j 2πft′ dt ′ =
Entretanto,
mesmo valor.
Portanto,
−∞
∞
v (t )e − j 2πft dt pois as áreas das funções possuem o
−∞
ℑ[v(t − τ )] = e
− j 2πfτ
∞
v (t )e − j 2πft dt
−∞
Ou
Como
ℑ[v(t − τ )] = e− j 2πfτ ℑ[v(t )]
2πf = ω ,
podemos escrever também
ℑ[v(t − τ )] = e− jωτ ℑ[v(t )]
Se substituirmos
Laplace:
jω
por
s teremos
essa igualdade em termos de transformadas de
35
[v(t − τ )]= e − sτ [v(t )]
Em termos de diagrama de blocos, teremos, no domínio da freqüência, a representação
da fig. 4-2.a. Esta representação está associada à transformada de Fourier.
No domínio da transformada de Laplace, que também é conhecido como plano s, temse a representação na fig. 4-2.b.
Finalmente, existe uma terceira representação que é conhecida como plano z e que está
representada na fig. 4-2.c. Esta última representação está associada à transformada Z,
que será estudada a seguir.
V (f )
e − j 2πfτ V ( f )
atrasador
τ
(a)
V (s )
e − sτ V (s )
atrasador
τ
(b)
V (z)
z −1V (z )
atrasador
τ
(c)
Fig. 4-2
Por comparação entre as representações concluímos que
ou
z −1 = e − sτ = e − jωτ = e − j 2πfτ
4-1
z = e sτ = e jωτ = e j 2πfτ
4-2
Transformada Z
A transformada z, vem a ser a transformada de Fourier ou de Laplace aplicadas a sinais
amostrados. No caso da representação da figura 4-2.c o sinal v( z ) representa a
transformada z de uma seqüência de amostras presente na entrada do atrasador. O sinal
z −1v(z ) representa a transformada z da seqüência de amostras atrasadas existentes na
saída.
36
Definição de transformada z
Dada uma seqüência de valores {v n } para n variando de - ∞ a + ∞ , define-se, como
transformada z dessa seqüência, a expressão:
∞
V (z ) =
−∞
v n z −n
onde z é a variável complexa ilustrada na expressão 4-2.
O caso mais comum é aquele em que v n = 0 para n negativo. Neste caso:
V (z ) =
∞
v n z −n
0
Exemplo: transformada z da seqüência da amostras de um degrau. Ver Fig. 4-3.
1
v0 v1 v2 v3 v4
0 1 2 3 4
t
Fig. 4-3
vn
=
para n < 0
{10 para
n ≥0
Tem-se
V (z ) =
∞
0
z −n = 1 +
1
1
1
1
z
=
+ 2 + 3 + ...........=
−1
z
z +1
z
z
1− z
Tabela parcial de transformadas de Laplace e de transformadas Z
δ (t ) =
1
x(t )
t=0
0 t = kT , k ≠ 0
Atraso kT de uma amostra
Tabela VI-1
X (s )
X (z )
1
1
e − kTs
z −k
37
δ (t − kT ) =
1
t = kT
t ≠ kT
u (t ) , degrau unitário
t
0
rampa unitária
e −α t
1 − e −α T
t−
1 − e −α t
sen ωt
α
1
s
1
s2
1
s +α
1
s (s + α )
1
s (s + α )
2
ω
s +ω
s
2
s +ω2
2
cos ωt
e −αt sen ωt
e −αt cos ωt
z
z −1
Tz
(z − 1)2
2
ω
(s + α )2 + ω 2
s +α
(s + α )2 + ω 2
38
z
z − e −αT
1 − e −αT z
(z − 1) z − e −αT
(
(
)
)
(1 − e )z
(z − 1) α (z − 1)(z − e )
Tz
2
−
−αT
−αT
z sen ωT
z − 2 z cos ωT + 1
z (z − cos ωT )
2
z − 2 z cos ωT + 1
2
ze −αT sen ωT
z 2 − 2 ze −αT cos ωT + e − 2αT
z 2 − ze −αT cos ωT
z 2 − 2 ze −αT cos ωT + e − 2αT
5 - AMOSTRAGEM DE SINAIS ANALÓGICOS.
Amostragem natural
O circuito da fig. 5-1 possui um gerador que produz um sinal contínuo que chamaremos
x(t ) . Este sinal é transmitido para a saída através da chave S. Esta chave interrompe,
periodicamente, a passagem desse sinal. Portanto, o sinal de saída, que chamaremos
y (t ) , fica com o aspecto mostrado a direita dessa figura. Ele é formado de uma
seqüência de amostras do sinal da entrada.Vamos supor que o período de amostragem
1
seja TS . Neste caso, a freqüência de amostragem será f S = [Hz ] ou
TS
ω s = 2πf S =
2π
TS
rd
.
s
x(t )
y (t )
S
TS
Fig. 5-1
A fig. 5-2 mostra que o sinal y (t ) pode ser descrito, matematicamente, pela expressão
y (t ) = x(t ) × S (t ) , onde S (t ) é uma seqüência periódica de pulsos de níveis 0 e 1, e
freqüência ω s .
x(t )
1
0
S (t )
TS
y (t )
TS
Fig. 5-2
39
Como a função pulsante S (t ) é periódica, ela pode ser expressa pela série de Fourier
(ver capítulo 1):
S (t ) =
A0
+ A1 cos ω s t + A2 cos 2ω s t + A3 cos 3ω s t + .......
2
Portanto,
y (t ) = x(t ) ×
A0
+ A1 cos ω s t + A2 cos 2ω s t + A3 cos 3ω s t + .......
2
A0
x (t )+ A1 x (t )cos ω s t + A2 x(t )cos 2ω s t + A3 x (t )cos 3ω s t + .......
2
A
A
A primeira parcela, 0 x(t ) , vem a ser o sinal contínuo x(t ) atenuado pelo fator 0 .
2
2
Vamos supor que o sinal amostrado y (t ) seja transmitido e recebido por um receptor.
Vamos supor, ainda, que esse receptor possui um filtro que deixa passar apenas a
primeira parcela e elimina as demais. Nesse caso, teremos a recuperação do sinal
A0
x(t ) . Este sinal vem a ser o sinal original contínuo x(t ) apenas atenuado pelo fator
2
A
constante 0 . Como veremos mais adiante, o filtro que elimina as componentes
2
indesejáveis é do tipo passa baixas. Ver fig. 5-3
y (t ) =
ou
y (t )
A0
x(t )
2
Filtro
passa
baixas
TS
Fig. 4-3
A0
O termo
é a componente média da função pulsante S (t ) . Com base no resultado
2
do exercício 1-2 do capítulo 1, podemos concluir que, sendo o período TS e sendo τ a
duração de cada pulso (ver fig. 5-4 ), resulta
1
τ
0
TS
Fig. 5-4
40
A0
τ
= 1× .
2
TS
Neste caso, o sinal amostrado pode ser escrito:
y (t ) =
τ
TS
x(t ) + A1 x(t ) cos ω s t + A2 x(t ) cos 2ω s t + A3 x(t ) cos 3ω s t + .......
Chamando de x R (t ) , o sinal recuperado no receptor, tem-se
x R (t ) =
τ
TS
x(t )
Portanto, podemos concluir que quanto mais largo for o pulso de amostragem, menor
será a atenuação do sinal recuperado.
Amostragem de um sinal senoidal
Vamos analisar o caso em que o sinal de entrada é
x(t ) = V cos ω a t
Neste caso, o sinal amostrado fica:
y (t )=
τ
TS
V cos ωa t + A1V cos ωa t × cos ω s t + A2V cos ωa t × cos 2ω s t + A3V cos ω at × cos 3ωs t + .......
Pela trigonometria tem-se a identidade
1
1
cos(b − a ) + cos(b + a )
2
2
Aplicando essa identidade na expressão de y (t ) , resulta:
cos a × cos b =
y (t ) =
τ
TS
V cos ωa t +
A1V
AV
cos(ω S − ωa )t + 1 cos(ω S + ω a )t +
2
2
A2V
AV
AV
AV
cos(2ω S − ω a )t + 2 cos(2ω S + ω a )t + 3 cos(3ω S − ω a )t + 3 cos(3ω S + ω a )t + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
2
2
2
2
A fig. 5-5 mostra a posição dessas componentes no espectro de freqüências
+
Y (ω )
τ
TS
0
ωa
V
A1
V
2
ωS − ωa
A1
V
2
ωS +ωa
A2
V
2
A2
V
2
2ω S − ω a
Fig. 5-5
41
2ω S + ω a
A3
V
2
A3
V
2
•
3ω S − ω a 3ω S + ω a
•
•
ω
Se este sinal passar por um filtro passa baixas cuja freqüência de corte ω X é maior que
ω a e menor que (ω S − ω a ) , o filtro deixa passar o sinal de freqüência ω a e rejeita todas
as outras componentes. Portanto, na saída desse filtro teremos o sinal
x R (t ) =
τ
Ts
V cos ω a t
Este é um sinal senoidal contínuo cuja única diferença para o sinal x(t) original é uma
amplitude menor. Esta amplitude pode ser aumentada para o valor original, com o
emprego de um simples amplificador.
Condição de recuperação do sinal
τ
TS
x(t ) .
Examinando a fig. 5-5, vemos que o filtro passa baixas só poderá deixar passar a
componente ω a e rejeitar as outras, se for obedecida a condição:
ωS − ωa > ωa
ou
ω S > 2ω a
ou
fS > 2 fa
Conclusão: Podemos transmitir somente amostras de um sinal, porque é possível
regenerar o sinal completo no receptor. Para haver recuperação de um sinal senoidal,
transmitido na forma amostrada, é necessário que a freqüência de amostragem seja
maior que duas vezes a freqüência desse sinal.
Caso da amostragem de um sinal não senoidal composto de muitas freqüências
Na fig. 5-6.a, temos um exemplo de um sinal contínuo no tempo, mas não senoidal.
Como ele é não senoidal, seu espectro é composto por muitas freqüências. Entretanto
ele possui uma freqüência máxima que foi designada por f MAX (Ver fig. 5-6.b). Quando
este sinal é amostrado por uma freqüência f S , o espectro do sinal amostrado fica como
mostrado na fig. 5-6.c.
42
x(t )
t
(a)
X(f )
0
(b)
f MAX
Y(f )
0
f S − f MAX
f MAX
fS
f S + f MAX
2 f S − f MAX
(c)
Fig. 5-6
Podemos concluir que para um filtro passa baixas poder recuperar o sinal contínuo
original é que o espectro de freqüências, do sinal amostrado, obedeça a condição:
f S − f MAX > f MAX
f S > 2 f MAX
ou
Conclusão:-Para haver recuperação de um sinal não senoidal, transmitido na forma
amostrada, é necessário que a freqüência de amostragem seja maior que duas vezes a
maior freqüência espectral do sinal não senoidal.
O sinal elétrico de voz produzido na saída do microfone de um telefone celular, tem um
espectro de freqüências semelhante ao da fig. 5-6.b. Sua freqüência máxima é 3,4 kHz.
Este sinal é amostrado 8.000 vezes por segundo e essas amostras são transmitidas.
Quando o sinal amostrado é recebido, um filtro passa baixas deve recuperar o sinal
contínuo original. Vejamos se a condição necessária é satisfeita:
f MAX = 3,4 kHz
e
f S = 8 kHz
Neste caso 2 f MAX = 6,8 kHz
Podemos ver que f S = 8 kHz é maior que 2 f MAX = 6,8 kHz
Portanto, a condição para possibilitar a recuperação do espectro do sinal de voz, pelo
filtro, ficou satisfeita.
43
COMUNICAÇÃO EM PULSE AMPLITUDE MODULATION - PAM
Amostragem natural e amostragem instantânea.
O tipo de amostragem que acabamos de analisar é denominada "amostragem natural".
Entretanto, nas transmissões PAM (Pulse Amplitude Modulation) e PCM (Pulse Code
Modulation), usa-se a chamada "amostragem instantânea".
Na amostragem instantânea, o sinal é amostrado no instante que a chave fecha. Ver
fig. 5-7.a. A duração das amostras é extremamente pequena. Ver fig. 5-7.b. Em seguida
um dispositivo, chamado hold, faz com que o nível de tensão amostrado permaneça
. Ver fig. 5-7.c. Essa operação é conhecida como sample & hold.
durante um tempo
Normalmente a duração
é muito menor que o período de amostragem TS .
τ
τ
(a)
(b)
τ
TS
(c)
Fig. 5-7
A seguir, essa seqüência periódica de pulsos estreitos é transmitida..
Quando este tipo de amostragem é transmitido o receptor consegue recuperar o sinal
original contínuo da mesma forma que no caso da amostragem natural. Basta que se
satisfaça a condição f S > 2 f MAX , onde f MAX é a maior freqüência, do sinal original de
entrada, e f S é a freqüência com que ele é amostrado.
Diferenças de comportamento entre a amostragem natural e a amostragem sample
& hold.
A fig. 5-8 mostra em detalhes as características da amostragem sample & hold em
relação à variação do sinal amostrado. Nota-se que a amostra não acompanha
44
perfeitamente a variação do sinal, durante a duração τ . Isto acarreta uma modificação
do nível do sinal recuperado no receptor como mostraremos a seguir.
Vimos que se o sinal de entrada for
x(t ) = V cos ω a t
então, na amostragem natural se recupera o sinal
x R (t ) =
τ
Ts
V cos ω a t
τ
TS
Fig. 5-8
Já, na amostragem sample & holding o sinal recuperado obedece a expressão:
xR (t ) =
τ
Ts
sen
ω aτ
2
ω aτ
V cos ω a t
2
Isto acarreta uma diminuição do nível no sinal recuperado. O valor dessa diminuição
depende da freqüência ω a do sinal recuperado. Quanto maior for esta freqüência maior
será a atenuação.
Normalmente, essas modificações das amplitudes, no sinal recuperado, são corrigidas,
facilmente, com uma pequena modificação na resposta do filtro passa baixas de
recuperação do sinal no receptor. Mais adiante será resolvido um exercício que ilustra o
processo.
Multiplex temporal PAM
Uma das principais utilizações desse tipo de comunicação amostrada é para o envio, em
uma única linha de transmissão, de vários sinais telefônicos de voz. Entre duas amostras
sucessivas, de um mesmo sinal de voz, intercala-se amostras dos outros sinais de voz.
Esta é a principal razão para que os pulsos de amostragem sejam estreitos.
A fig. 5-9 mostra um exemplo de um multiplex PAM para quatro sinais independentes
de voz.
45
Amostras de
Quatro sinais
independentes
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
t
Fig. 5-9
Recepção de um multiplex PAM
O receptor seleciona, separadamente, as amostras de cada sinal de voz. A fig. 5-10.a
mostra a seqüência de amostras, de um mesmo sinal de voz, selecionadas no receptor.
(a)
(b)
(c)
Fig. 5-10
A seguir é feito o alargamento dos pulsos para o valor do período de amostragem. Desta
maneira o sinal amostrado assume a forma de escada. Ver fig. 5-10.b. Esta operação é
conhecida como “hold TS ”. Finalmente, as amostras passam pelo filtro passa baixas,
recuperando-se o sinal analógico original. Ver fig. 5-10.c.
Como, no receptor se tem τ = TS , a expressão do sinal recuperado toma a forma;
46
x R (t ) =
ω a Ts
sen
2
V cos ω a t
ω a TS
2
ou
x R (t ) =
sen
πf a
fS
πf a
V cos ω a t
fS
---------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 5-1
Um espectro de um sinal telefônico de voz é formado por um conjunto de freqüências
que, individualmente, possuem a amplitude V. A menor e a maior freqüência, desse
sinal, são respectivamente 100 Hz e 3400 Hz. A freqüência de amostragem é 8.000 Hz.
a) Determinar as amplitudes, no sinal recuperado, para as freqüências f a = 100 Hz e
f a = 3.400 Hz
b) Esboçar a resposta do filtro passa baixas que compensa a variação dessas amplitudes
com a freqüência.
Solução:
a)
x R (t ) =
f a = 100 Hz
sen
π × 100
8000
π × 100
V cos ω a t = 0,9997 × V cos ω a t
8000
Amplitude = 0,9997V ≈ V
x R (t ) =
f a = 3.400 Hz
sen
π × 3400
8000
π × 3400
V cos ω a t = 0,7283 × V cos ω a t
8000
Amplitude: 0,7283 × V
b) O filtro deve proporcionar um ganho G M na freqüência f a = 3.400 Hz de tal forma
que
G M × 0,7283 × V = V
ou
Portanto
G M × 0,7283 = 1
GM =
1
= 1,373
0,7283
A resposta do filtro passa baixas deve ter o aspecto mostrado abaixo
47
G
GM = 1,373
1
f
3,4 kHz
----------------------------------------------------------------------------------------------
Dificuldades da comunicação PAM.
O sinal PAM se deforma, facilmente, com a resposta em freqüência e fase do meio de
transmissão. Ver fig. 5-11.
Fig. 5-11
Além disto, a presença de ruído modifica os níveis de tensão amostrados. Por isto, a
transmissão PAM não é utilizada, a não ser, em distâncias pequenas dentro de um
equipamento. Sua utilização para transmissão a grandes distâncias só acontece após um
processamento que transforma seu sinal em “Pulse Code Modulation- PCM”
Modulação por código de pulsos ( Pulse Code Modulation – PCM )
Uma maneira mais robusta de transmitir, os níveis das amostras do sinal, é na forma
numérica. Neste caso, para cada amostra, transmite-se uma seqüência de bits “1” e “0”,
Essa seqüência de bits forma uma palavra digital que representa, na base dois, um valor
numérico proporcional ao valor da tensão da amostrada. Ver fig. 4-12.
Esta transformação é conhecida como conversão analógico-digital ou simplesmente
conversão AD. Existem circuitos integrados especializados que realizam essa operação.
AMOSTRA
SINAL TRANSMITIDO
89
0
1
0
1
1
0
0
1
Fig. 5-12
Na recepção, o receptor terá, apenas, que identificar os valores de cada bit. É claro que
a resposta em freqüência e o ruído, do meio de transmissão, deformam, também, os
pulsos digitais. Entretanto, se essas deformações não forem excessivamente grandes, o
48
receptor não terá dificuldades para identificar corretamente a seqüência de bits da
informação digital (ver fig. 5-13). Tomando-se como referência o nível médio do sinal
recebido, teremos um bit “1” quando o sinal está acima dessa referência e vice-versa.
SINAL RECEBIDO
0
1
SINAL DIGITAL REGENERADO
1
1
0
0
0
1
Fig. 5-13
Após a identificação dos bits, o receptor gera amostras analógicas cujas amplitudes
correspondem aos valores numéricos de cada palavra digital recebida. Esta operação é
denominada conversão digital-analógica, ou simplesmente, conversão DA. Existem,
também, circuitos integrados especializados que realizam essa operação.
A seguir , os pulsos analógicos, correspondendo a cada amostra, são alargados de
maneira a adquirir a duração TS , onde TS é o período de amostragem (operação hold
TS ). Com isto, o sinal adquire a forma de escada .
Finalmente, o sinal escada resultante passa pelo filtro passa baixas compensado. Desta
maneira, o sinal analógico original de voz é recuperado.
O tipo de comunicação descrito é chamado de Pulse Code Modulation - PCM . Na
parte (a) da fig. 5-14 tem-se um diagrama simplificado de um transmissor PCM. A
parte (b), da mesma figura mostra o diagrama simplificado do receptor PCM.
Modernamente, existem chips comerciais que contém um transmissor e um receptor
PCM completos.
TRANSMISSOR
PCM
amostras analógicas
amostrador
sinal
PCM
codific.
(a)
amostras
analógicas
sinal
PCM
RECEPTOR
PCM
decodif.
hold
(b)
Fig. 5-14
49
TS
filtro
passa baixas
Filtragem analógica e filtragem digital
A fig. 5-15 mostra um circuito passa baixas analógico. O sinal da entrada, que usamos
como exemplo, é um sinal periódico composto de uma freqüência fundamental f a e sua
segunda harmônica 2 f a . Essa figura mostra, esse sinal de entrada, tanto no domínio do
tempo (osciloscópio), como no domínio da freqüência (analisador de espectro). O
mesmo acontece com o sinal de saída.
t
t
fa
2 fa
f
fa
f
Fig. 5-15
O filtro elimina a segunda harmônica do sinal de entrada. Desta maneira, o sinal de
saída é formado somente da componente fundamental f a . Portanto, o sinal de saída, no
domínio do tempo, tem a forma de uma senoide.
A fig. 4-16 mostra o processo equivalente de uma filtragem digital.
t
A/D
Processamento
numérico das
amostras
D/A
t
Fig. 5-16
O sinal de entrada é amostrado resultando uma seqüência PAM. A seguir as amostras
são convertidas para valores numéricos digitais (base 2). Os valores numéricos dessas
amostras são submetidos a operações matemáticas que alteram seus valores de uma
maneira programada. Finalmente, essas amostras alteradas são convertidas, novamente,
para pulsos PAM.
Devido às alterações dos valores numéricos das amostras, o PAM de saída é diferente
daquele da entrada. Em nosso exemplo, esse PAM de saída é equivalente a uma
seqüência de amostras de um sinal senoidal de freqüência f a .
O estudo que permite o domínio dos procedimentos matemáticos, dessa filtragem, é
conhecido como Processamento Digital de Sinais. Uma introdução a esse estudo será
abrangida está nos próximos capítulos desta apostila. Como veremos, ao longo do
estudo, a matemática utilizada é bastante complicada e requer dos alunos um esforço
bem maior para seu aprendizado quando comparado com o esforço dispensado para as
disciplinas precedentes..
Vantagens da filtragem digital
A técnica de filtragem digital, por não usar capacitores ou indutores, permite que todo o
sistema seja integrado em um único chip. Além disto os processamentos matemáticos
50
necessários podem ser realizados em software. Portanto o coração do chip é um
microprocessador especializado para realizar os procedimentos matemáticos
necessários. O processamento por meio de software torna o sistema facilmente
adaptável às mudanças das características da filtragem, quando assim for desejável.
Modernamente todos os aparelhos de telefonia celular funcionam na base de
processamento digital de sinais. Esta é a principal razão da obrigatoriedade da inclusão
dessa disciplina no curso de Tecnologia e Engenharia Eletrônica, ênfase em
Telecomunicações.
51