Estimação por Intervalo
Estatística
11 - Estimação de
Parâmetros por Intervalo
UNESP – FEG – DPD
11-1
Estimação por Intervalo
Intervalo de confiança para a média da
população quando σ é conhecido
e0: Erro ou Precisão do Intervalo
α/2
1-α
α/2
µ - e0 µ µ + e0
Sabe-se que:
(
x
Normal (µ
µ , σ2/n)
)
P µ − e0 ≤ x ≤ µ + e0 = 1 − α
Nível ou Grau de Confiança
Logo:
µ − e0 ≤ x ⇒ µ ≤ x + e0
µ + e0 ≥ x ⇒ µ ≥ x − e0
Normal
Reduzida:
zα 2 =
(µ + e 0 ) − µ
σ
n
x − e0 ≤ µ ≤ x + e0
Portanto:
e0 = zα 2 ⋅
σ
n
σ
σ 

P x − zα 2 ⋅
≤ µ ≤ x + zα 2 ⋅
 = 1− α

n
n
UNESP – FEG – DPD
11-2
Estimação por Intervalo
Exemplo: Considerando-se que uma amostra de cem elementos extraída
de uma população aproximadamente normal, cujo desvio-padrão é
igual a 2,0, forneceu média x = 35,6, construir um intervalo de 95 %
de confiança para a média dessa população.
Solução: Pode-se considerar a distribuição de como praticamente
normal.
Da Tab. A6.2 da distribuição reduzida normal tem-se:
zα/2 = z2,5 % = 1,96, logo:
e0 = 1,96 ⋅
2,0
= 0,392
100
O intervalo de confiança será:
35,6 ± 0,392
Então:
P (35,208 ≤ µ ≤ 35,992) = 0,95
2,5%
95%
2,5%
35,208 35,6 35,992
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11-3
Estimação por Intervalo
Intervalo de confiança para a média da
população quando σ é desconhecido
•
Para amostras com n > 30, pode-se substituir σ por s:
σ
σ 

P x − zα 2 ⋅
≤ µ ≤ x + zα 2 ⋅
 = 1− α

n
n
•
Para amostras menores, usar a variável t de Student:
σ
σ 

P x − zα 2 ⋅
≤ µ ≤ x + zα 2 ⋅
 = 1− α

n
n

σ s
σ s 
P x − z α 2 ⋅ ⋅ x ≤ µ ≤ x + z α 2 ⋅ ⋅ x  = 1 − α
sx n
sx n 

Como:
t n −1,α / 2
σ
= zα 2 ⋅
sx
s 
s

P x − t n −1,α / 2 ⋅ x ≤ µ ≤ x + t n −1,α / 2 ⋅ x  = 1 − α

n
n
sx
e0 = t n −1,α 2 ⋅
n
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11-4
Estimação por Intervalo
Exemplo: Considerando-se que uma amostra de quatro elementos
extraídas de uma população com distribuição normal forneceu
média = 8,20 e desvio-padrão sx = 0,40, construir um
intervalo de 99 % de confiança para a média dessa população.
Solução: da Tab. A6.5, temos
O intervalo de confiança será:
8,20 ± 1,168
Indicando que:
P (7,032 ≤ µ ≤ 9,368) = 0,99
e0 = t n −1,α 2 ⋅
sx
n
s
s 

P x − t n −1,α / 2 ⋅ x ≤ µ ≤ x + t n −1,α / 2 ⋅ x  = 1 − α

n
n
e0 = t n −1,α 2 ⋅
UNESP – FEG – DPD
sx
0,40
,
= 5,841 ⋅
≅ 1168
n
4
11-5
Estimação por Intervalo
Intervalo de confiança para a variância da
população
Para a construção do intervalo de confiança para a variância, é
necessário conhecer a distribuição χ2:
ν=1
ν=3
Gráfico da χ2
ν=6
ν = 10
χ2ν
Para os valores particulares
pode-se escrever:
χ 2n −1,1− α / 2
e
(
χ 2n −1,α / 2
)
P χ 2n −1,1− α / 2 ≤ χ 2n −1 ≤ χ 2n −1,α / 2 = 1 − α
P( χ
2
n −1,1−α / 2
(n − 1) ⋅ s 2
≤
≤ χ n2−1,α / 2 ) = 1 − α
2
σ
ou
Dividindo por (n - 1) ⋅ s2 e invertendo:
(n − 1) ⋅ s 2
(n − 1) ⋅ s 2
2
) = 1−α
P( 2
≤σ ≤ 2
χ n −1,α / 2
χ n −1,1−α / 2
UNESP – FEG – DPD
11-6
Estimação por Intervalo
Exemplo: Uma amostra de onze elementos, extraída de uma
população com distribuição normal, forneceu variância s2
= 7,08. Construir um intervalo de 90 % de confiança para
a variância dessa população
Solução: Na Tab. A6.4, para 10 graus de liberdade, temos
2
χ 2n −1,1− α / 2 = χ10
,95 % = 3,940
2
χ 2n −1,α / 2 = χ10
,5 % = 18,307
( n − 1) ⋅ s 2
χ 2n −1,α / 2
( n − 1) ⋅ s 2
χ 2n −1,1− α / 2
=
10 ⋅ 7,08
3,940
18,307
=
10 ⋅ 7,08
= 18,0
3,940
Indicando que:
P (3,87 ≤ σ2 ≤ 18,0) = 090
Intervalo de confiança para o desviopadrão da população:
Para amostras pequenas:
( n − 1) ⋅ s 2
χ 2n −1,α / 2
( n − 1) ⋅ s 2
Para amostras com n > 30: χ 2
n −1,1− α / 2
UNESP – FEG – DPD
≤σ≤
( n − 1) ⋅ s 2
χ 2n −1,1− α / 2
s ± zα / 2 ⋅
s
2 ⋅ ( n − 1)
11-7
Estimação por Intervalo
Intervalo de confiança para uma
proporção populacional:
•
A freqüência relativa amostral p´ distribui-se conforme uma
distribuição do tipo Binomial.
f
1
1
µ(p´) = µ( ) = ⋅ µ(f ) = ⋅ np = p
n
n
n
f
1
1
p(1 − p)
σ 2 (p´) = σ 2 ( ) = 2 ⋅ σ 2 (f ) = 2 ⋅ np(1 − p) =
n
n
n
n
•
Aproximar para uma distribuição Normal quando
n⋅p ≥ 5
e
p´
n⋅(1 - p´) ≥ 5.
Normal (np, p(1 − p) )
n
Considere:
P(p-e0 < p´< p+e0) = 1-α
P(p´ -e0 < p< p´+e0) = 1-α
Nível de Confiança
Normal Reduzida:
zα / 2 =
(p´+ e 0 ) − p´
=
p´(1 − p´)
n
Logo: P  p ′ − z
α/2


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e0
p´(1 − p´)
n
e0 = zα / 2
p ′(1 − p ′)
≤ p ≤ p′ + zα / 2
n
p ′(1 − p ′ )
n
p ′(1 − p ′) 
 = 1 − α
n

11-8
Estimação por Intervalo
Exemplo: retirada uma amostra de 1.000 peças da produção de
uma máquina, verificou-se que 35 eram defeituosas. Dar um
intervalo de confiança ao nível de 95 % para a proporção de
defeituosas fornecida por essa máquina.
Solução: As condições de aproximação da distribuição binomial
pela normal estão satisfeitas. Sendo:
n = 1000
.
f
35
p′ = =
= 0,035
n 1000
.
zα / 2 = z2,5% = 1,960
Temos:
e0 ≅ z α / 2
0,035 ⋅ 0,965
p ′(1 − p ′)
= 1,960 ⋅
= 0,0114
1.000
n
O intervalo de confiança será:
0,035 ± 0,0114
0,00581
Significando que:
P (0,0236 ≤ p ≤ 0,0464) = 0,95
2,5%
95%
2,5%
0,0236 0,035 0,0464
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11-9
Estimação por Intervalo
Tamanho da amostra
• Para o intervalo de confiança para a média µ da população quando σ
é conhecido:
 zα 2 ⋅ σ 
n=

 e0 
2
• Para o intervalo de confiança para a média µ da população quando σ
é desconhecido:
 t n ′−1,α 2 ⋅ s 
n=

e0


2
Onde n´ é o tamanho da amostra-piloto
para se ter uma estimativa de s.
• Para o intervalo de confiança para a Proporção populacional de uma
população infinita:
2
 zα 2 
n=
 ⋅ p ⋅ (1 − p )
 e0 
•
Desconhecendo p, resolve-se através:
–
–
De uma amostra-piloto ou
Analisando o comportamento do fator p ⋅ (1 - p) que é uma expressão
de parábola cujo ponto máximo é p = 1/2, o que resulta:
2
 z α 2  1  zα 2 
n=
 ⋅ =

 e0  4  2 ⋅ e0 
UNESP – FEG – DPD
2
11-10
Estimação por Intervalo
•
•
Exemplo 1: Qual o tamanho de amostra necessária para se
estimar a média de uma população infinita cujo desvio-padrão é
igual a 4, com 98 % de confiança e precisão de 0,5?
Solução: Ao definirmos a precisão da estimativa desejada,
estamos estabelecendo o erro máximo que desejamos cometer,
com confiança dada. Logo, essa precisão eqüivale
numericamente à própria semi-amplitude do intervalo de
confiança.
Portanto:
2
2
•
Logo, necessitamos de uma amostra de 347 elementos.
•
Exemplo 2: Qual o tamanho de amostra suficiente para
estimarmos a proporção de defeituosos fornecidos por uma
máquina, com precisão de 0,02 e 95 % de confiança, sabendo
que essa proporção seguramente não é superior a 0,20?
Solução: De acordo com o anteriormente exposto, temos:
•
•
 z ⋅ σ
 2,326 ⋅ 4 
n =  1%  = 
 = 346,3
 0,5 
 e0 
2
z

 1,960 
n =  2,5%  ⋅ p0 ⋅ (1 − p0 ) = 
. ,64
 ⋅ 0,20 ⋅ 0,80 = 1536
 0,02 
 e0 
•
Logo, será suficiente uma amostra de 1.537 elementos.
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11-11
Estimação por Intervalo
Exercícios Propostos (pág. 79) - Livro
Texto
1. A distribuição dos diâmetros de parafusos produzidos por uma
certa máquina é normal, de desvio-padrão igual a 0,17 mm.
Uma amostra de seis parafusos retirada ao acaso da produção
apresentou os seguintes diâmetros (em milímetros):
25,4
25,2
25,6
25,3
25,0
25,4
Construa intervalos de 90, 95 e 99,74 % de confiança para o
diâmetro médio da produção dessa máquina.
Hipótese: X = diâmetro de cada parafuso
σ = 0,17 mm
x = (25,4 + 25,2 + 25,6 + 25,3 + 25,0 + 25,4) / 6
x = 25,32 (média da amostragem)
a. 90 % de confiança: zα/2 = 1,645
e0 = zα 2 ⋅
0,17
σ
= 1,645 ⋅
= 0,1142
n
6
IC = x ± e0
P (25,2025 ≤ µ ≤ 25,4309) = 90 %
e0 = zα 2 ⋅
σ
0,17
= 1,96 ⋅
= 0,1360
n
6
b. 95 % de confiança: zα/2 = z2,5 % = 1,96
IC = x ± e0
P(25,1807 ≤ µ ≤ 25,4527) = 95 %
UNESP – FEG – DPD
11-12
Estimação por Intervalo
c. 99,74 % de confiança: zα/2 = z0,13 % = 3,01
0,17
σ
e0 = zα 2 ⋅
= 3,01 ⋅
= 0,2089
n
6
IC = x ± e0
P (25,1078 ≤ µ ≤ 25,5256) = 99,74 %
3. Uma pesquisa de quinze elementos
retirada de uma população
x
normalmente distribuída forneceu = 32,4 e s2 = 2,56. Construa
intervalos de 95 e 99 % de confiança para:
a. a média da população;
b. a variância da população;
c. o desvio-padrâo da população.
Solução:
Amostra: n = 15
x = 32,4
s2 = 2,56 → s = 1,60
a. Média da população:
Para 95 %: t14,2,5% = 2,145
e0 = t n −1,α 2 ⋅
IC =
sx
s
1,60
= t14,2,5% ⋅ x = 2,145 ⋅
= 0,8861
n
n
15
x ± e = 32,4 ± 0,8861.
0
Para 99 %: t14,0,5%= 2,977,
IC = x ± e = 32,4 ± 1,2299
UNESP – FEG – DPD0
e0 = 2,977 ⋅
1,60
= 1,2299
15
11-13
Estimação por Intervalo
b. Variância da população:
( n − 1) ⋅ s 2
χ 2n −1,α / 2
≤σ ≤
2
( n − 1) ⋅ s 2
χ 2n −1,1− α / 2
2
Para 95 %: χ14,2,5% = 26,119
2
χ14
,97,5% = 5,629
14 ⋅ 2,56
14 ⋅ 2,56
≤ σ2 ≤
26,119
5,629
Intervalo: 1,372 ≤ σ2 ≤ 6,367
2
Para 99 %: χ14,2,5% = 31,319
2
χ14
,99,5% = 4,075
14 ⋅ 2,56
14 ⋅ 2,56
≤ σ2 ≤
31,319
4,075
Intervalo: 1,144 ≤ σ2 ≤ 8,795
c. Desvio-padrão da população:
Para 95 %:
1,372 ≤ σ2 ≤ 6,367 → 1,1713 ≤ σ ≤ 2,523
Para 99 %:
1,144 ≤ σ2 ≤ 8,795 → 1,0696 ≤ σ ≤ 2,9656
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11-14
Estimação por Intervalo
11. Sabe-se que a variação das dimensões fornecidas por uma máquina
independem dos ajustes do valor médio. Duas amostras de
dimesnões das prças produzidas forneceram:
amostra 1 12,2
amostra 2 14,0
12,4
13,7
12,1
13,9
12,0
14,1
12,7
13,9
12,4
Estabeleça um intervalo de 95 % de confiança para o desvio-padrão.
Solução:
amostra 1:
amostra 2:
n1 = 6
n2 = 5
= 12,3 s1 = 0,253
= x13,92 s2 = 0,148
x
ν ⋅ s2
χ 2ν;α / 2
≤σ≤
ν ⋅ s2
χ 2ν;1− α / 2
s 2p
( n1 − 1) ⋅ s12 + ( n2 − 1) ⋅ s22
=
n1 + n2 − 2
s 2p
( 6 − 1) ⋅ ( 0,253) 2 + ( 5 − 1) ⋅ ( 0,148) 2
=
6+ 5− 2
s 2p = 0,0453
s p = 0,2128
ν = n1 + n2 − 2
ν = 6+ 5− 2 = 9
χ 2ν,α / 2 = χ 92;2,5 % = 19,023
χ 2ν,1− α / 2 = χ 92;97,5 % = 2,700
( 9) ⋅ 0,0453
( 9) ⋅ 0,0453
≤ σ2 ≤
19,023
2,700
I.C.:
0,147 ≤ σ ≤ 0,389
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11-15
Estimação por Intervalo
16. Qual o tamanho da amostra necessária para se estimar a média de
uma população com precisão de um décimo do desvio-padrão, e:
a. 95 % de confiança
b. 99 % de confiança
Solução:
z
⋅ σ
n =  α/2 
 e0 
2
e0 = 0,1 ⋅ σ
⋅ σ
z
n =  α/2 
 0,1 ⋅ σ 
2
→
n = 100 ⋅ ( zα / 2 )2
a. (1 - α) = 95 %
zα/2 = z2,5 % = 1,96
n = 100 ⋅ (1,96)2
n = 384,16
→
n = 384 elementos
→
n = 663 elementos
b. (1 - α) = 99 %
zα/2 = z0,5 % = 2,575
n = 100 ⋅ ( 2,575)2
n = 663,06
UNESP – FEG – DPD
11-16