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APÊNDICES
PRODUTO DA DISSERTAÇÃO
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INTRODUÇÃO
Neste apêndice, são apresentadas as sete atividades e uma estratégia para
resolução das mesmas, as quais constituem um facilitador para o estudante no trabalho
com o conceito de taxa de variação relacionada e na resolução de problemas físicos. As
atividades foram elaboradas a partir de problemas presentes nos livros de Cálculo
Diferencial e Integral de Stewart (2006), Thomas (2002) e Anton; Bivens e Davis
(2007).
Nas três primeiras atividades, trabalha-se de forma implítica com a estratégia de
resolução de problemas de Taxas Relacionadas. O aluno interage com o OA, que
oferece auxílio na resolução destas atividadeso, e, assim, resolve os problemas
propostos pelas atividades, de modo a não perceber que está a utilizar a estratégia
elaborada.
Após a terceira atividade, a estratégia de resolução de problemas é apresentada,
sendo sugerido que o aluno aplique-a nas próximas quatro atividades, nas quais, devido
à revelação da estratégia, o nível de auxílio do OA é reduzido na tentativa de
autonomizar, o aluno quanto à resolução de problemas de Taxas Relacionadas.
Desse modo, apresenta-se parte do produto desta dissertação sob a forma de
orientações gerais de utilização do OA quanto à seção de Atividades.
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Instruções gerais para acessar as atividades no OA.
Na tela de “Menu” escolher o botão “Atividades”.
Figura 1: Tela menu do OA
Fonte: Elaborado pelo autor
Ao escolher o botão de atividades, o OA encaminhará o aluno para o “Menu
Atividades”, que contém: 7 atividades e uma vídeo-aula sobre o conceito e a utilização
da estratégia de resolução de problemas. Desse modo, o aluno deve percorrer cada botão
na ordem em que aparacem.
Figura 2: Menu atividades.
Fonte: Elaborado pelo autor
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Instruções gerais para a resolução da primeira atividade.
A atividade deve ser resolvida observando os comandos apresentados no OA, os
quais estão respaldados na metodologia de Resolução de Problemas e seguem a
estratégia de resolução de problemas apresentada nesta dissertação de forma implícita.
Dessa forma, o aluno tem auxílio do OA durante a resolução da atividade.
Atividade 1: Termodinâmica
1º Passo - Ler o enunciado para a compreensão do problema.
Quadro 1: Problema da atividade 1.
A Lei de Boyle estabelece que, quando uma amostra de gás está comprimida a
uma temperatura constante, a pressão P e o volume V satisfazem a equação PV =
C, onde C é uma constante. Suponha que, em certo instante, o volume é de 600
cm³, a pressão é de 150 kPa e a pressão cresce a uma taxa de 20 kPa/min. A que
taxa está decrescendo o volume nesse instante?
Fonte: Stewart, 2006, p.260.
2º Passo - Representar a situação, sempre que possível, através de um diagrama, para
melhor visualizá-la.
Figura 3: Diagrama da atividade 1.
Fonte: Elaborado pelo autor
3º Passo - Retirar do enunciado os dados presentes, escolhendo notações matemáticas
favoráveis. Neste problema, tem-se:
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O volume (V = 600 cm³), a pressão (P=150 kPa), velocidade instantânea (no exato
momento) da pressão (
dP
dt
20 kPa/min) e a relação PV = C.
Figura 4: Dados da atividade 1.
Fonte: Elaborado pelo autor
4º Passo - Verificar qual é o dado procurado, escolhendo, para isso, uma notação
favorável. O dado procurado neste problema é a taxa de variação do volume que está
diminuindo
dV
. No OA, este passo vem com uma pergunta de múltipla escolha.
dt
Figura 5: Dado procurado da atividade 1.
Fonte: Elaborado pelo autor
5º Passo - Buscar por uma equação que auxilie na resolução da proposta apresentada.
Esta equação é cedida pelo problema: PV = C.
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Figura 6: Equação da atividade 1.
Fonte: Elaborado pelo autor
6º Passo - Aplicar a regra da cadeia na equação para relacionar as taxas pretendidas.
Figura 7: Regra da cadeia relativa à atividade 1.
Fonte: Elaborado pelo autor
7º Passo - Substituir os dados apresentados pelo problema na equação gerada pela regra
da cadeia.
Figura 8: Substituição de dados relativo à atividade 1.
Fonte: Elaborado pelo autor
8º Passo - Interpretar a resposta encontrada.
Figura 9: Interpretação da resposta da atividade 1.
Fonte: Elaborado pelo autor
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Instruções gerais para a resolução da segunda atividade.
A atividade deve ser resolvida observando os comandos apresentados no OA e
que são respaldados na metodologia de Resolução de Problemas, seguindo a estratégia
de resolução de problemas apresentada nesta dissertação de forma implícita. Desse
modo, o aluno tem auxílio do OA durante a resolução da atividade.
Atividade 2: Variação da Resistência em um Circuito
1º Passo - Ler atentamente ao enunciado.
Quadro 2: Problema da atividade 2.
Variando a voltagem: A voltagem V (volts), a corrente I (em ampères) e a resistência R
(ohms) de um circuito elétrico estão relacionadas entre si pela equação V = RI. Suponha
que V esteja aumentando a uma taxa de 1 volt/s, enquanto I está diminuindo a uma taxa
de 1/3 A/s. Sendo o tempo dado em s, encontre a taxa com a qual R está variando
quando V = 12 V e I = 2A.
Fonte: Adaptado Thomas, 2002, p.203.
2º Passo - Interagir com o diagram presente no OA, observando a dinamicidade:
Figura 10: Diagrama da atividade 2.
Fonte: Elaborado pelo autor
3º Passo - Retirar do enunciado os dados fornecidos, escolhendo notações matemáticas
adequadas para os mesmos. Para este problema, tem-se:
dV
dt
1 volt/s (a taxa de variação da voltagem em relação ao tempo no exato momento),
dI
= -1/3 A/s (a taxa de variação da corrente elétrica em relação ao tempo), V = 12
dt
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Volts (a voltagem no momento), I = 2A (a corrente elétrica no instante) e a equação
matemática fornecida V = RI.
Figura 11: Dados da atividade 2.
Fonte: Elaborado pelo autor
4º Passo - Escrever na notação matemática adequada o dado procurado pela atividade. O
OA traz uma questão de múltipla escolha, na qual o aluno deve optar por:
dR
(a taxa de
dt
variação da resistência em relação ao tempo).
Figura 12: Dado procurado na atividade 2.
Fonte: Elaborado pelo autor
5º Passo - Verificar uma equação que relaciona os dados. Esta equação é fornecida pelo
enunciado do problema: V = IR.
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6º Passo - Aplicar a regra da cadeia para relacionar as taxas.
Figura 13: Aplicação da regra da cadeia na atividade 2.
Fonte: Elaborado pelo autor
7º Passo - Substituir os dados na equação encontrada ao aplicar a regra da cadeia,
obtendo, assim, o dado procurado, isto é, a taxa de variação pretendida.
Figura 14: Substituição de dados utilizando as equações.
Fonte: Elaborado pelo autor
8º Passo - Interpretar a resposta encontrada.
Figura 15: Interpretação da resposta realizada pela OA.
Fonte: Elaborado pelo autor
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Instruções gerais para a resolução da terceira atividade.
A atividade deve ser resolvida observando os comandos apresentados no OA e
que estão respaldados na metodologia de Resolução de Problemas e seguindo a
estratégia de resolução de problemas apresentada nesta dissertação de forma implícita.
Desse modo, o aluno tem auxílio do OA durante a resolução da atividade.
Atividade 3: Variação linear da altura de um triângulo.
1º Passo - Ler atentamente o problema.
Quadro 3: Problema da Atividade 3.
A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1 cm/min, enquanto a área do triângulo
cresce a uma taxa de 2 cm²/min. A que taxa está variando a base do triângulo quando a
altura é 10 cm e a área 100 cm²?
Fonte: Stewart, 2006, p.260.
2º Passo - Esboçar um diagrama para a situação.
Figura 16: Diagrama interativo da atividade 3.
Fonte: Elaborado pelo autor
3º Passo - Retirar do enunciado os dados apresentados. Este passo é divido em duas
etapas: a primeira, reconhecer notações matemáticas adequadas para representar os
dados presentes no enunciado; e a segunda, preencher, nos campos destinados, os
valores dos mesmos. Neste problema, os dados são:
dh
= 1 cm/s (a variação da altura
dt
em relação ao tempo ou a velocidade com que a altura cresce ou ainda à taxa com que a
altura cresce),
dA
= 2 cm²/s (a variação da área em relação ao tempo ou a velocidade
dt
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com que a área cresce ou a taxa com que a área está crescendo), h = 10 cm (altura do
triângulo no momento) e A = 100 cm² (área deste triângulo no instante indicado).
Figura 17: Reconhecimento dos dados e preenchimento dos mesmos no OA
Fonte: Elaborado pelo autor
4º Passo - Localizar o dado procurado pelo problema proposto na atividade. Neste caso,
db
(a taxa de variação da base em relação ao tempo ou a velocidade com que a base
dt
cresce ou decresce em relação ao tempo). Tal ação é realizada no próprio OA em forma
de múltipla escolha.
Figura 18: Resposta correta ao quarto passo da atividade 3.
Fonte: Elaborado pelo autor
5º Passo - Buscar uma equação que tenha alguns dos dados presentes. A equação que
poderá ser utilizada é a de A, área de um triângulo qualquer,
semiproduto da sua base pela sua altura A
b.h
.
2
que é dada pelo
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6º Passo - Aplicar a regra da cadeia para relcionar as taxas.
A
b.h
2
Regra da Cadeia
dA
dt
1 dh
b
2 dt
1 db
h
2 dt
7º Passo - Substituir os dados na equação obtida através da regra da cadeia, o que é
realizado de forma explicativa pelo próprio OA.
Figura 19: Passo sete da atividade 3.
Fonte: Elaborado pelo autor
8º Passo - Interpretar a resposta obtida. A base do triângulo está diminuindo (sinal
negativo) 1,6 cm a cada segundo.
Instruções gerais para compreender a estratégia de resolução de problemas.
Esse momento consta de uma videoaula sobre a estratégia para resolução de
problemas de fenômenos físicos a respeito de Taxas Relacionadas. Deve-se assistir a um
problema sendo resolvido pela aplicação da estratégia. Posteriormente, em tela, a
estratégia é apresentada e pode-se recorrer à ela sempre que necessário.
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Figura 20: Estratégia de Resolução – forma textual.
Fonte: Elaborado pelo autor
A figura mostra uma das telas da videoaula.
Figura 21: Estratégia de Resolução forma videoaula.
Fonte: Elaborado pelo autor
Instruções gerais para a resolução da quinta atividade.
A atividade deve ser resolvida observando os comandos apresentados no OAe
que estão respaldados na metodologia de Resolução de Problemas, e seguindo a
estratégia de resolução de problemas apresentada nesta dissertação, porém, agora de
forma explícita. Desse modo, o aluno tem auxílio do OA durante a resolução da
atividade com a utilização da estratégia de resolução.
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Atividade 4: Variação da Área de um Triângulo
1º passo - Ler atentamente o problema quantas vezes necessário:
Quadro 4: Problema da atividade 4.
Dois lados de um triângulo são 4 m e 5 m, e o ângulo entre eles está crescendo a
uma taxa de 0,06 rad/s. Encontre a taxa segundo a qual a área está crescendo
quando o ângulo entre os lados do comprimento fixo é 30º.
Fonte: Stewart, 2006, p.260.
2º passo – O diagrama é traçado pelo OA e cabe ao aluno observar e interagir
com o mesmo.
Figura 22: Triângulo 2
Fonte: Elaborado pelo autor
3º passo – Analisar os dados procurados pelo problema.
Figura 23: Dados da atividade 3.
Fonte: Elaborado pelo autor
4º passo - É o momento de localizar o dado ou a taxa de variação procurada,
utilizando uma notação adequada. No problema, a taxa procurada é a variação da área
em relação ao tempo, que pode ser representada por:
dA
.
dt
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Figura 24: Dado procurado pela atividade 4.
Fonte: Elaborado pelo autor
5º passo - O aluno deve pensar/buscar uma equação que relacione os dados
presentes (em sua totalidade ou em partes) no problema. Isso faz com que ele pense
minuciosamente em equações matemáticas aprendidas ao longo da vida estudantil. Caso
o aluno não se recorde, o OA traz a equação A
1
.b.c.sen , isto é, a área de um
2
triângulo é igual à metade do produto dos lados pelo seno do ângulo compreendido
entre os mesmos. É uma equação favorável, mas que não fornece a taxa procurada
dA
.
dt
Figura 25: Equação utilizada na atividade quatro.
Fonte: Elaborado pelo autor
6º passo - Aplicar a regra da cadeia para fazer o elo entre os dados, obtendo uma
nova equação, que é
dA
dt
1
d
. Nesta equação, a taxa de variação procurada
.b.c. cos
2
dt
se faz presente. Nota-se que b e c são constantes e que a variável é o ângulo
.
7º passo - Substituir os dados, o que é realizado com o auxílio do OA que
mostra, passo a passo, como realizar a substituição:
dA
dt
1
d
.bc. cos
2
dt
dA
dt
1
.4.5. cos 30.0,06
2
dA
dt
0,3 m²/s.
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Figura 26: Passos 6 e 7.
Fonte: Elaborado pelo autor
8º passo - A resposta é, então, interpretada. A cada segundo que se passa, a área
tem uma variação de 0,3 m². O aluno é convidado a retornar ao diagrama interativo e
observar a situação, isto é, verificar que realmente a área está crescendo com o passar
do tempo.
Instruções gerais para a resolução da quinta atividade.
A atividade deve ser resolvida observando-se os comandos apresentados no OAe
que estão respaldados na metodologia de Resolução de Problemas, seguindo a estratégia
de resolução de problemas apresentada nesta dissertação de forma implícita. Desse
modo, o aluno tem auxílio do OA durante a resolução da mesma. Contudo, nesta
atividade, o aluno deverá estar munido das mídias lápis e papel, a fim de desenvolver a
resolução da atividade.
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Atividade 5: Escada em movimento.
1º Passo - Ler atentamente o problema.
Quadro 5: Problema da atividade 5.
Uma escada com 13 m de altura está em pé e apoiada em uma parede, quando
sua base começa a escorregar, afastando-se da parede. No momento em que a
base está a 12 m da casa, ela escorrega a uma taxa de 5 m/s. A que taxa o topo
da escada escorrega para baixo nesse momento?
Fonte: Adaptado Thomas, 2002, p.203
2º Passo - Traçar o diagrama, que está presente no OA de forma dinâmica.
Figura 27: Diagrama da atividade 5.
Fonte: Elaborado pelo autor
Os demais passos da estratégia ficam presentes na tela sob a forma de um Menu.
Para obter ajuda, deve-se clicar no botão referente ao passo do qual se tem dúvida.
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Figura 28: Menu estratégia de resolução.
Fonte: Elaborado pelo autor
Ao clicar no botão desejado, o OA traz explicações de como proceder para obter
êxito no passo. Por exemplo, ao clicar no botão relativo ao 5º passo (achar uma equação
que tenha dados presentes no problema), tem-se a seguinte ajuda:
Figura 29: Ajuda relativo ao 5º passo.
Fonte: Elaborado pelo autor
A interação com este Menu serve para esclarecer dúvidas ou confirmar os passos
realizados nas mídias lápis e papel.
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Instruções gerais para a resolução da sexta atividade.
A atividade deve ser resolvida observando-se os comandos apresentados no OA
e que estão respaldados na metodologia de Resolução de Problemas, seguindo a
estratégia de resolução de problemas apresentada nesta dissertação de forma implícita.
Desse modo, o aluno tem auxílio do OA durante a resolução da mesma. Porém, nesta
atividade, o aluno deverá estar munido das mídias lápis e papel, a fim de desenvolver a
resolução do problema.
Atividade 6: Onda circular.
1º Passo - Ler atentamente o problema.
Quadro 6: Problema da atividade 6.
Uma pedra jogada em um lago produz onda circular, cujo raio cresce a uma taxa
constante de 1 m/s. Com que rapidez estará variando a área englobada pela onda
crescente ao final de 10 segundos?
Fonte: Anton; Bivens e Davis, 2007, p.222.
2º Passo - Esboçar o diagrama para facilitar a visualização.
Figura 30: Diagrama atividade 6.
Fonte: Elaborado pelo autor
Os demais passos são ocultados pelo OA, que sugere ao aluno desenvolver a
resolução por si mesmo. Caso o aluno necessite relembrar de algum dos passos da
estratégia, ele deverá recorrer ao botão “ajuda” presente na tela. Este botão explicitará
os passos da estratégia para auxiliá-lo na resolução.
181
Figura 31: Botão de ajuda atividade 6.
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 32: Acesso ao botão de ajuda atividade 6.
Fonte: Elaborado pelo autor
O botão de “Ajuda 2” detalha os passos da estratégia. Caso o aluno ainda
necessite tirar dúvidas sobre os passos ou confirmar suas anotações, basta recorrer a
essa função.
182
Figura 33: Recorrendo-se ao botão de “ajuda 2” na atividade 6.
Fonte: Elaborado pelo autor
Instruções gerais para a resolução da sétima atividade.
Esta atividade tem como objetivo verificar o aprendizado do aluno. Desse modo,
não há auxílio do OA. Deve-se resolver o problema com as mídias lápis e papel e
através do conhecimento adquirido ao longo das demais atividades e da vídeo-aula
apresentada.
Atividade 7: Balão subindo.
1º Passo - Ler atentamente o problema.
Quadro 7: Problema da atividade 7.
Um balão de ar quente, subindo na vertical a partir do solo, é rastreado por um
telêmetro colocado a 500 pés de distância do ponto de decolagem. No momento
em que o ângulo de elevação do telêmetro é de 45º, o ângulo aumenta a uma taxa
de 0,14 rad/min. A que velocidade o balão sobe nesse momento?
Fonte: Thomas, 2002, p.199
2º Passo – Será responsabilidade do aluno esboçar um diagrama para visualizar a
situação. Sugere-se um diagrama como o esboçado por um aluno que utilizou o OA em
questão.
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Figura 34: Esboço do diagrama realizado por um usuário.
Fonte: Elaborado pelo autor
3º Passo - Verificar os dados presentes no enunciado do problema. Neste caso:
x = 500 pés.
d
= 0,14 rad/min.
dt
= 45º
4º Passo - Verificar o dado procurado. Nesta situação, utilizando uma notação
adequada, tem-se
dy
.
dt
5º Passo - Achar uma equação que relacione os dados presentes. A equação é
tg
y
.
500
6º Passo - Utilizar a regra da cadeia para relacionar as taxas.
tg
y
500
Regra da Cadeia
sec ² .
d
dt
1 dy
.
500 dt
dy
dt
500. sec ² .
d
.
dt
7º Passo - Substituir os dados na equação obtida através da regra da cadeia, cuja ação é
realizada por um aluno que utilizou o OA.
184
Figura 35: Substituindo os dados na atividade 7.
Fonte: Elaborado pelo autor
8º Passo - Interpretar a resposta:
dy
= 140 pés/s. A velocidade com o balão está, neste
dt
momento, de 140 pés a cada segundo.