UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Modelagem da Histerese
Magnética
Jean Vianei Leite
Curitiba , abril de 2010.
Modelo de JA - Parâmetros
Parâmetros do Modelo – Ms, k, c, a, 
Magnetização de saturação MS
• Influência na magnetização
máxima e a remanente
• O campo coercitivo sofre pouca
alteração
Modelo de JA - Parâmetros
Parâmetro a
•Advém da teoria de Langevin, está
associada aos momentos magnéticos e à
temperatura.
• Modifica a forma do
laço, tornando-o mais
ou menos inclinado.
Modelo de JA - Parâmetros
Parâmetro k
• Deduzido das considerações a respeito
do bloqueio das paredes dos domínios
• Influência na magnitude do
campo coercitivo
Modelo de JA - Parâmetros
Parâmetro 
• Da teoria de Langevin,  está relacionado
às interações entre os domínios
• Modifica a retangularidade do laço
e a magnitude da indução remanente
Modelo de JA - Parâmetros
Parâmetro c
• Parâmetro da reversibilidade da magnetização.
DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS A PARTIR UM
LAÇO EXPERIMENTAL DE HISTERESE
• O cinco parâmetros do modelo de Jiles-Atherton podem
ser obtidos de um laço experimental de histerese do
material.
• Jiles et alii propõem um algoritmo para obtenção dos
parâmetros a partir das susceptibilidades em regiões
distintas da curva de histerese e dos valores de campo
coercitivo e magnetização remanente, além da
magnetização máxima experimentada pelo material.
•
Outros metodologias propõem métodos de minimização
de erro ajustando o conjunto de parâmetros até o modelo
seguir a curva experimental.
Modelo de JA - Obtenção dos Parâmetros
Obtenção dos parâmetros do modelo –
Método de Jiles
• Os cinco parâmetros
do
modelo
são
obtidos de um único
laço experimental, o
qual tenha atingido a
saturação.
• Jiles propõe um
algoritmo baseado em
pontos chaves do
laço.
Modelo de JA – Obtenção do parâmetros
• Para a obtenção dos parâmetros, as equações anteriores
necessitam ser resolvidas simultaneamente.
• As equações são não lineares e complexas, as suas
derivadas são complexas também. Há a necessidade de uso
um método linear baseado nos dois valores mais recentes
da função.
•
O método das Secantes é geralmente utilizado (NewtonRaphson torna-se complicado para trabalhar com as
derivadas).
Modelo de JA – Obtenção do parâmetros
• Um algoritmo usando o método das Secantes é apresentado
a seguir. Uma iteração é mostrada.
1.Cálculo de k

Hc
a 


M an ( H c )  M S  coth

a
Hc 

dM an ( H c )  M s M an ( H c )  M an ( H c ) 2a  




 (1  c )
dH
a
H c 
 Ms
 a



M an ( H c ) 
1 c
k
 

dM
(
H
)
(1  c) 
an
c 
c  c


dH
Modelo de JA – Obtenção do parâmetros
2. Cálculo de 

M r
a 
M an ( M r )  M s coth


a

M
r

dM an ( M r ) M s M an ( M r )  M an ( M r )
2a 




(1   r )
dH
a
a
M r 
 Ms

f ( )  M an ( M r )  M r 

(1  c)
k

1
dM an ( M r )
r  c
dH
 Método das Secantes para calcular

Modelo de JA – Obtenção do parâmetros
3. Cálculo de a
H e  H m  H m

He
a 
M an ( H e )  M s coth


a
H
e


(1  c)k m
g (a)  M an ( H e )  M m 
 m  1
 Método das Secantes para calcular a
Modelo de JA – Obtenção do parâmetros
4. Cálculo de c
3a in
c
Ms
 O procedimento é repetido até que uma determinada
precisão seja obtida.
Obtenção dos Parâmetros – Análise do Algoritmo
• Pequenas variações nas susceptibilidades, magnetizações e
campos retirados da curva medida levam a significativos
desvios na obtenção do conjunto de parâmetros.
• Conjunto de dados imprecisos podem levar o algoritmo a
divergir.
• Outra dificuldade é a curva de magnetização inicial, necessária
para levantar a susceptibilidade inicial. Assim necessita-se de
um sistema para levar o material a estar totalmente
desmagnetizado.
Obtenção dos Parâmetros – Métodos Alternativos
O algoritmo anterior é complexo, composto por um sistema
de equações interdependentes.
A precisão necessária no levantamento dos parâmetros pode
ser evitada utilizando métodos de ajuste da curva medida e o
modelo através de algoritmos que minimizem o erro médio
entre as curvas modelada e medida (MSE).
2
1 n1
MSE   H simi  H expi 
n i 0
Obtenção dos Parâmetros – Variação Sequencial dos
Parâmetros
• No método de minimização do erro entre as curvas, a
precisão necessária para levantar os pontos chaves é evitada.
• Neste método, os parâmetros são variados seqüencialmente
dentro de um limite específico.
• O modelo utiliza o conjunto de parâmetros obtido para
calcular um novo laço de histerese. O programa então calcula
o erro médio entre as curvas obtida e medida.
Obtenção dos Parâmetros – Variação Sequencial dos
Parâmetros
•Observando a evolução do erro médio quadrático entre as duas
curvas, o algoritmo, através da malha de controle, decide se a
variação dada aos parâmetros foi efetiva no sentido de diminuir o
erro médio quadrático.
•O algoritmo pode variar os parâmetros novamente e repetir o
procedimento até que um erro mínimo permitido seja obtido.
Curva
Medida
Variação Seqüencial
Dos Parâmetros
Modelo de Jiles-Atherton
Inverso ou Direto
Laço de Controle
MSE entre Medida e
Curva Modelada
Obtenção dos Parâmetros – Variação Sequencial dos
Parâmetros
• O uso do modelo inverso melhora a convergência do
algoritmo apresentado uma vez que usa a indução
como variável independente (a indução é filtrada
naturalmente pela integração).
Obtenção dos Parâmetros – Algoritmos Genéticos
• Outra metodologia usada para a obtenção dos parâmetros é
a técnica de Algoritmos Genéticos (AG);
• AG são mais rápidos que a variação sequencial dos
parâmetros e os parâmetros obtidos permitem uma boa
concordância entre os laços medidos e calculados.
Conjunto inicial de 5 parâmetros
Obtenção dos Parâmetros – Algoritmos Genéticos
Obtenção de Parâmetros usando
EXCEL
Comparação entre Modelo Inverso e Direto
• Comparações entre os modelos direto e inverso em cascata,
mostraram serem os mesmo equivalentes.
B
Modelo
Inverso (SL)
H
Modelo
Direto (JA)
H
B
Modelo
Direto (JA)
Modelo
Inverso (SL)
B
H
• Ao final das simulações as ondas encontradas eram exatamente
iguais, em fase e amplitude àquelas usadas na entrada.
Problema de laços internos e menores
• Parâmetros
bons para o
laço externo
podem não
ser bons para
os laços
internos.
• Laços
menores não
fisicos.
Escalonamento Para Laços Internos e Menores
• Apesar do modelo de Jiles-Atherton possuir ótima
concordância para os laços maiores o mesmo não é
observado nos laços internos de indução.
• Jiles e Atherton modificam a teoria do ferromagnetismo
para ajustar os laços menores e internos, utilizando um
fator de escala.
• Nessa metodologia as equações necessitam de um prévio
conhecimento de onde ocorrerá um ponto de inversão.
• Os campos são calculados através de equações
transcendentais nos extremos dos laços.
• Carpenter apresenta um método similar de ajuste, porém
utilizando equações diferenciais.
Escalonamento Para Laços Internos
• A equação do balanço de energia de Jiles em termos da
Indução magnética efetiva Be é:
 dM 
 Be 

M  M s L   k 
 a 
 dBe 
onde
1
L( x)  coth( x) 
x
é a função de Langevin
• A solução homogênea é:
Constante
 Be 1

M h  M 0 exp   dBe 
k


0
Escalonamento Para Laços Internos
• A solução particular é dada por:
 k  ( n)  Be 
M p ( Be )  M s  (1)   L  
 a 
 a
n 0
n
n
onde L(n)(x) é a n-ésima derivada de L(x).
• A solução homogênea representa a curva de magnetização
inicial da curva.
• A solução particular
magnetização.
representa
o
laço
externo
de
• A magnetização é calculada retendo somente a solução
particular, escalonando e deslocando os ramos ascendente e
descendente.
Escalonamento Para Laços Internos
M / MS
Mp(Bei)
Mi
Be /a
M s
Bei
• O fator de escala  necessário para fazer o valor da
saturação do laço menor igual ao do maior, no ponto (Mi, Bei)
é:
M s  M p (Bei )  M s  Mi
Escalonamento Para Laços Internos
• O offset que deverá ser somado será:
M 0  (1  )M s
• Para a trajetória de de um laço menor na direção ,
começando no ponto (Mi, Bei) a magnetização será dada
por:
M  M p ( Be )  (1  )M s
• Em termos de equação diferencial:
M s  M i dM p
dM

dBe M s  M p ( Bei ) dBe
Escalonamento Para Laços Internos
• Expandindo por série:
dM

dBe

M s  M i
   (k / a) n L( n ) ( Bei / a)
1
k
 k  ( n )  Be 
(

1
)
  L  

 a 
 a 
n 1

n
n 1
n 0
M / MS
Integrando a equação
anterior
retida
no
terceiro
termo
da
expansão
Be /a
Escalonamento Para Laços Internos
• Seguindo o trabalho de Lederer o fator de escalonamento
foi aplicado a magnetização total:
(1  c)
dM irr
c dM an

dBe
 0 dHe
dM  M s  M i 

 
dB  M s  M ( Bi )  1  c dM an (1   )   (1  c)(1   ) dM irr
0
dHe
dBe
Laços obtidos
por
integração
equação anterior
da
Comparação Com Curvas Experimentais
• Modelo inverso com e sem fator de escalonamento foi
comparado com curvas experimentais;
• As curvas experimentais foram obtidas numa bancada
construída para caracterização eletromagnética de materiais e
medição de perdas eletromagnéticas;
• O dispositivo padrão usado foi o transformador de Epstein
padrão do tipo B-EP-25cm, com relação de transformação
unitária, com 700 espiras, caminho magnético médio de 0,94
m e resistência do primário de 0,691 .
• A alimentação é feita controlando-se a tensão no secundário,
impondo-se assim a indução magnética.
Comparação Com Curvas Experimentais - Equações
• As grandezas magnéticas B e H foram obtidas através das
grandezas elétricas tensão e corrente:
Número de espiras
Np
700
H (t ) 
i p (t ) 
i p (t )
lm
0,94
Caminho magnético médio
1
1
B(t ) 
Vs (t )dt 
Vs (t )dt


Ns S
700S
Número de espiras
Área da seção transversal do transformador
Comparação Com Curvas Experimentais - Materiais
Materiais Ensaiados:
Material A - Ensaio à 1Hz, 50% das lâminas cortadas no
sentido de laminação e 50% cortadas na direção
perpendicular;
• Material B - Ensaio à 1Hz, 100% das lâminas cortadas no
sentido de laminação (B 0o);
• Material B - Ensaio à 1Hz, 100% das lâminas cortadas na
direção perpendicular ao sentido de laminação (B 90o);
• Material B - Ensaio à 1Hz, 100% das lâminas cortadas na
direção a 45o ao sentido de laminação (B 45o).
Comparação Com Curvas Experimentais - Material A
Material A, caracterizado à 1 Hz, indução de pico de 1,24 T
B [T]
Laços calculados com modelo
inverso, sem escalonamento
Modelo
Medida
B [T]
H [A/m]
Detalhes das altas induções
H [A/m]
Comparação Com Curvas Experimentais - Material A
• Campo magnético para indução de 1 T
H [A/m]
t [s]
Comparação Com Curvas Experimentais - Material B 0o
Material B 0o, caracterizado à 1Hz indução de pico de 1,239 T
B [T]
Laços calculados com modelo
inverso, sem escalonamento
Modelo
Medida
H [A/m]
H [A/m]
Campo para indução de 0,538 T
t [s]
Comparação Com Curvas Experimentais - Material B 0o
• Aplicando o fator de escalonamento

B [T]
Modelo
Medida
Variação de  com B
H [A/m]
H [A/m]
Campo com escalonamento para indução de 0,538 T
t [s]
Comparação Com Curvas Experimentais - Material B 90o
Material B 90o, caracterizado à 1Hz indução de pico de 1,035 T
B [T]
Laços calculados com modelo
inverso, sem escalonamento
Modelo
Medida
H [A/m]
H [A/m]
Campo para indução de 0,8 T
t [s]
Comparação Com Curvas Experimentais - Material B 90o
• Aplicando o fator de escalonamento

B [T]
B [T]
H [A/m]
H [A/m]
Campo para indução de 0,8 T
t [s]
Comparação Com Curvas Experimentais - Material B 45o
Material B 45o, caracterizado à 1Hz indução de pico de 1,258 T
B [T]
Modelo
Medida
H [A/m]
Curvas calculadas com modelo inverso e medidas
Comparação Com Curvas Experimentais - Material B 45o
• Aplicando fator de escalonamento

B [T]
B [T]
Modelo
Medida
H [A/m]
Comparação Com Curvas Experimentais - Material B 45o
Realizando nova modelagem agora com indução de 1,004 T
B [T]
Laços calculados com modelo
inverso, sem escalonamento
Modelo
Medida
H [A/m]
H [A/m]
Campo para indução de 0,582 T
t [s]
Circuito RL e RLC
• A presença de materiais ferromagnéticos, com
permeabilidade magnética variável torna indutâncias
variáveis;
• Resolução
dos
circuitos
contendo
materiais
ferromagnéticos, considerando o fenômeno da histerese
através do modelo inverso de Jile-Atherton.
lm - caminho magnético médio
S - área da seção transversal
N - número de espiras
Circuito RL
Circuito RL
• Equação do circuito
dLi (t )
v(t )  Ri (t ) 
dt
• Transformação para grandezas eletromagnéticas
Li  N
  BS
Ni (t )
H (t ) 
lm
H (t )lm 
dB(t )
1 

 v(t )  R

dt
NS 
N 
Circuito RL
Cálculo considerando saturação sem histerese.
• Foram considerados os parâmetros do material A.
• Saturação modelada pela função de Langevin.
Tensão senoidal, 1 Hz e 0,5 V
1.5
B [T]
1
3
Indução
Hanh/50
His/50
H [A/m]
0.5
2
0
1
0
-0.5
-1
-1
H [A/m]
-1.5
-200
-150
-100
-50
0
50
100
-2
Hanh calculado com a
Função de Langevin
150
-3
200
0
100
200
300
400
500
Número de pontos
600
700
Circuito RL
• Saturação modelada pela média da curva de histerese
1.5
B [T]
1
Tensão senoidal, 1 Hz e 0,5 V
0.5
3
Indução
Hanh/50
His/50
H [A/m]
0
2
-0.5
1
0
-1
-1
H [A/m]
-1.5
-200
-150
-100
-50
0
50
Hanh
150 calculado
200na média
da curva B-H
100
-2
-3
100
200
300
400
Número de pontos
500
600
Circuito RLC Resposta Livre
• Circuito RLC
dLi (t )
v(t )  Ri (t ) 
 vc (t )
dt
dvc (t )
i (t )  c
dt
H (t )lm
dB(t )
1 


 vc (t ) 
 v(t )  R
dt
NS 
N

dVc (t ) 1 H (t )lm

dt
c N
Circuito RLC Resposta Livre
• Laço de histerese do material do núcleo magnético (fictício).
B [T]
B [T]
H [A/m]
Langevin e Média
H [A/m]
Circuito RLC Resposta Livre
• Campos, considerando indutor linear, saturação e histerese.
H [A/m]
t [s]
Conclusão
• As principais vantagens dos modelos:
– formulação em termos de uma equação diferencial ordinária
de primeira ordem;
•
•
•
•
– necessitam somente de cinco parâmetros.
Como desvantagem tem-se:
– processo de identificação dos parâmetros complexo;
– comportamento não físico, próximo aos extremos do laço.
Programas utilizando modelos apresentam ótima convergência.
A aplicação do fator de escalonamento, proposto por Carpenter,
não produziu melhora na representação dos laços menores.
A boa representação dos laços menores está associada à um bom
conjunto de parâmetros, sem necessidade de modificações nas
equações do modelo.