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5
5
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Aula 5 – Flechas em vigas
VERIFICAÇÃO
VERIFICAÇÃO DE
DE
FLECHAS
FLECHAS EM
EM VIGAS
VIGAS
CONCRETO
CONCRETO ARMADO
ARMADO
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5.1 DESLOCAMENTOS LIMITES
NBR 6118:2003/13.3
5.1.1 ACEITABILIDADE SENSORIAL
RAZÕES DA
EXEMPLOS
LIMITAÇÃO
Visual
Deslocamentos em elementos
estruturais visíveis
Outras
Vibrações que podem ser
sentidas no piso
DESLOCAM.
DESLOCAMENTO
LIMITE
A CONSIDERAR
L 250
L 350
Deslocamento total
Deslocamentos devidos
à carga acidental
NOTA: Para verificações de vigas em balanço considerar L igual ao dobro do vão.
L
2L
L/125
L/250
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5.1.2 EFEITOS EM ELEMENTOS NÃO ESTRUTURAIS
RAZÕES DA
LIMITAÇÃO
Paredes
Fôrros
EXEMPLOS
DESLOCAM.
DESLOCAMENTO
LIMITE
A CONSIDERAR
Alvenaria, caixilhos, e
revestimentos
L 500
Deslocamento ocorrido após
construção da parede
Divisórias leves e
caixilhos telescópicos
L 250
Deslocamento ocorrido após
instalação da divisória
L 350
Deslocamento ocorrido após
construção do fôrro
L 175
Deslocamento ocorrido após
construção do fôrro
Revestimentos colados
Revestimentos pendurados
ou com juntas
NOTA: Para verificações de vigas em balanço considerar L igual ao dobro do vão.
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5.2 COMBINAÇÃO DAS AÇÕES NO
ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS)
NBR 6118:2003/11.8.3
ψ1
ψ2
Residenciais
0,4
0,3
Comerciais e públicos
0,6
0,4
Bibliotecas, oficinas, garagens
0,7
0,6
Ações
Cargas acidentais
de edifícios
Verificações para o estado limite
dedeformações excessivas ELS-DEF
COMBINAÇÕES QUASE
PERMANENTES DE SERVIÇO
Fd , se r = ∑ Fg ,k + ψ2 ⋅ Fq ,k
a<alim
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5.2 COMBINAÇÃO DAS AÇÕES (cont...)
NBR 6118:2003/11.7.2
valor de cálculo das
ações para combinações de serviço
valor característico
das aç ões pe rmanent es diretas
valor característico
das ações variáveis
principais diretas
ψ12 ⋅ Fqk
Fd,serv = Fgk + ø
fator de co mbinação
quase permanente
de se rviço
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5.3 RELAÇÃO MOMENTOMOMENTO-CURVATURA
NBR 6118:2003/15.3.1
σ
0,5 fcd
M
ε
fissuração
Mu
ELU
My
diagrama
não-linear
ESTÁDIO
III
ESTÁDIO
II
M r : momento de fissuração
M y : momento de escoamento
Mr
M u : momento último
ESTÁDIO
I
α
1/ ρ ≈
d 2v(x)
d x2
=
1
⋅ M (x)
EI
M ≈ EI ⋅ 1/ρ
tan α ≈ (EI)sec
(1/ρ)r
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1/ρ
(1/ρ)y
momento
curvatura
(1/ρ)u
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5.4 INÉRCIA EQUIVALENTE
NBR 6118:2003/17.3.2.1.1
momento de
fissuração
Fórmula de
BRANSON
somente para:
Ma > M r
3
  M  3
Mr 
 ⋅ I 0 + 1−  r   ⋅ I II
I eq = 
Ma 
 M a  


 
 
momento máximo no vão
onde ocorre a flecha para a
combinação considerada no ELS
momento de inércia da seção
fissurada no ESTÁDIO II
momento de inércia
da seção bruta
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5.4.1 MOMENTO DE FISSURAÇÃO
NBR 6118:2003/8.2.5;17.3.1
Inicializa o processo
de fissuração da viga
( limite ESTÁDIO I )
1,5 ⋅ fctm ⋅ I 0
3 ⋅ fck2 / 3 ⋅ b ⋅ h2
Mr =
=
h/ 2
40
Unidades
obrigatórias
h
fck [MPa]
b,h [mm]
M r [N .mm]
b ⋅ h3
I0 =
12
Momento de inércia da
seção bruta (íntegra)
b
−
Resistência média
à tração é atingida
+
Desperta a primeira
fissura na viga
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σc=f ctm = 0,3 ⋅ fck2 / 3
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5.4.2 MOMENTO ATUANTE PARA A
COMBINAÇÃO QUASEQUASE-PERMANENTE
Fd,ser = Fgk +ψ2 Fqk
Fd,ser = Fgk +ψ2 Fqk
Ma
Ma
Fg1k +ψ2 Fq1k
Fg2k +ψ2 Fq2k
Fg3k +ψ2 Fq3k
seção crítica
(flecha)
Ma
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5.4.3 MOMENTO DE INÉRCIA NO ESTÁDIO II
NBR 6118:2003/17.3.2.1.1
15 ⋅ A s 
x II =
⋅  − 1+

b

2 ⋅b⋅d
1+
15 ⋅ A s
b ⋅ x 3II
I II =
+ 15 ⋅ A s ⋅(d − x II )2
3




Profundidade LN (ESTÁDIO II)
=
Es
=15
Ec
σc =
x II
comportamento
elástico-linear
x II
d
As
seção crítica
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As
Ma
⋅ x II ≤ 0,5 ⋅ f cd
I II
σ s = 15 ⋅
Ma
⋅ d − x II
I II
TENSÕES NO ESTÁDIO II
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5.4.4 INÉRCIA EQUIVALENTE PARA
VÃOS DE VIGAS CONTÍNUAS
(
1
I eq = ⋅ I eq ,1 ⋅ a1 + I eq ,2 ⋅ a2 + I eq ,3 ⋅ a3
L
)
onde:
M1
M3
M2
Ieq,i : inércia equivalente do
trecho i, com Ma igual a
Mi e armadura existente;
obs:
a1
a2
a3
Pode-se adotar a1/L=a2/L=0,15.
L
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5.5 MÓDULO SECANTE DO CONCRETO
NBR 6118:2003/8.2.8
σ
Eco
Eco = 5600 ⋅ fck [MPa]
Ecs
avaliação do comportamento
global e perdas de protensão
40%f cd
Ecs = 4760 ⋅ fck [MPa]
30%fcd
ε
ε
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verificações no ELS
NOTA: 1MPa = 1000 kN/m2
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5.6 FLUÊNCIA DO CONCRETO
NBR 6118:2003/17.3.2.1.2
δ0
ξ
P
P
δ
δ2
δ1
P
P
P
E∞ =
η
E
Ec s
(1+ αf )
av alia ção d a flecha difer ida no
te mpo e m v iga s de C A
E cs
t0
t1
t2
t
t0
Modelo reológico de Boltzmann para simulação
do comportamento viscoelástico do concreto
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5.6 FLUÊNCIA DO CONCRETO (cont...)
Ecs
E∞ =
(1+ α f )
σC
QUEDA DA RESISTÊNCIA
QUED A DA RESI STÊNCIA
σ
ensaio de curta
ensa io de curta
duração
du ração
ensaio de lo
nga de longa
ensaio
duraçã o duração
ε
QUEDA D O MÓDULO
DO MÓDULO
DE ELAQUEDA
STICIDADE
εC
DE ELASTICIDADE
ξ(t) = 0,68 ⋅ (0,996t )⋅ t 0,32
ξ(t) − ξ(t 0 )
∆ξ
=
αf =
1+ 50ρ′
1 + 50 ρ′
ξ(t) = 2
para t ≤ 70 meses
para t > 70 meses
As′: á rea da armadu ra
longitu dinal de compr essão
ρ′ =
As ′
b ⋅d
z ona
co mprimi da
d
taxa de a rmadur a
de compressão
b
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5.7 CONTRAFLECHA MÁXIMA
NBR 6118:2003/13.3
compensação parcial
de deslocamentos excessivos
L/350
L
Notas
Dar contraflecha de 1,0 cm no centro da viga V35
20
15
510
P1
15
480
P2
300
P3
(20/20)
20
P4
(20/20)
(20/20)
V12
(60/20)
250
L8
h=10
h=10
P15
V8 (15/40)
20
395
(20/20)
20
380
15
155
20
P16
V7 (20/60)
335
400
V15 (20/60)
P14
L7
P12
(20/20)
V5
P11
(20/20)
V13 (20/60)
V6 (20/60)
P8
(20/20)
L6
h=10
V4
(20/60)
(15/60)
V10 (20/60)
V9 (20/60)
470
20
P10
(20/20)
P13
(60/20)
15
105
P9
(20/20)
15
(30/15)
L5
V3 (20/60) h=10
L4
h=10
L3
h=10
165
(15/30)
(20/20)
P7
15
L2
h=10
P6
20
V2 (15/60)
P5
V14 (15/60)
h=10
(15/60)
L1
250
15
V11 (15/60)
20
V1 (20/60)
20
(20/20)
(20/20)
20
ESCOLA DE ENGENHARIA
UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE
Planta de fôrmas
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
Projeto Edifício de Múltiplos Pavimentos
Profs. Yu Je Tak, Alfonso Pappalardo, Alex Bandeira
Escala
1:50
PLANTA DE ARQUITETURA TIPO E ÁREA COMUM
Edifício Aruama
www.itaplan.com.br
Medidas em cm
DES02-A3-07REV0
15/79
125