Pró Reitoria de Graduação - Núcleos de Ensino da UNESP
Ermínia De Lourdes Campello Fanti1
Odete Fátima Rossi Papandré2
Thaisa Alves Pianoschi3
Resumo
Palavras-chaves
Software Cabri-Géomètre II, Geometria Analítica plana, sistemas lineares, números
COMPLEXOSENSINODE-ATEM¹TICA
1
2
3
Docente do Departamento de Matemática – IBILCE/UNESP - SJRP – Coordenadora do Projeto do Núcleo de Ensino.
Professora da E.E. Profa. Amira Homsi Chalella - SJRP - Colaboradora do Projeto do Núcleo de Ensino.
Bolsista do Núcleo de Ensino.
747
O Projeto do Núcleo de Ensino da UNESP, intitulado Informática e Jogos no Ensino
de Matemática, sob a coordenação da Profa. Ermínia de Lourdes Campello Fanti, foi
DESENVOLVIDOEMEMDUASESCOLASPÒBLICASNA%-%&0ROFØTHAYRDA3ILVA2OSA
- Urupês e na EE Profa. Amira Homsi Chalella - São José do Rio Preto. Vários conteÒDOS MATEM¹TICOS FORAM EXPLORADOS COM ALUNOS DOS %NSINOS &UNDAMENTAL E -ÁDIO
EMATIVIDADESDESENVOLVIDASNOS,ABORATËRIOSDE)NFORM¹TICADESSASESCOLASUTILIZANDO SOFTWARES ESPECÅÞCOS EM ESPECIAL O #ABRI'ÁOMÀTRE )) %STE TRABALHO TEM COMO
objetivo mostrar como o Cabri-Géomètre II foi usado no estudo de certos tópicos de
-ATEM¹TICAPARTICULARMENTENOESTUDODE'EOMETRIAØNALÅTICAPLANASISTEMASLINEARES
ENÒMEROSCOMPLEXOSCOMCLASSESDO%NSINO-ÁDIODA%%0ROFAØMIRAEAPRESENTAR
ALGUMASDASATIVIDADESQUEFORAMELABORADASEAPLICADASNO,ABORATËRIODE)NFORM¹TICADAESCOLAAEXPERIÂNCIAADQUIRIDAEALGUNSRESULTADOSOBTIDOS
#AP6))p Educação Matemática
Cabri-Géomètre II como um Importante
Instrumento no Estudo de Conteúdos
Matemáticos no Ensino Médio
Pró Reitoria de Graduação - Núcleos de Ensino da UNESP
Introdução
4ANTOOS0ARºMETROS#URRICULARES.ACIONAISDO%NSINO-ÁDIOCOMOA0ROPOSTA#URRICULARPARAO%NSINODE-ATEM¹TICADE3»O0AULOEAS/RIENTA¿ÍES#URRICULARES.ACIONAISPARAO%NSINO-ÁDIONOSDIRECIONAMPARAESTUDOSEMAMBIENTEDEINFORM¹TICA
UTILIZA¿»ODETECNOLOGIASCOMOCOMPUTADORESEAPRESENTAMINFORMA¿ÍESEREßEXÍES
QUEPODEMAJUDARNOUSODETALAMBIENTE3OBREOUSODETECNOLOGIASNA-ATEM¹TICA
AS/RIENTA¿ÍES#URRICULARES.ACIONAISPARAO%NSINO-ÁDIORESSALTAMQUEÁIMPORTANTE
contemplar uma formação escolar em dois sentidos “[...] a Matemática como ferramenta para entender a tecnologia, e a tecnologia como ferramenta para entender a Matemática”."2Ø3),P
-AISESPECIÞCAMENTESOBREPROGRAMASSOFTWARES
PARAOENSINODEGEOMETRIAAS
/RIENTA¿ÍES#URRICULARES.ACIONAISPARAO%NSINO-ÁDIOAPRESENTAM
748
Já se pensando na Tecnologia para a Matemática, há programas de computador (softwares
NOS QUAIS OS ALUNOS PODEM EXPLORAR E CONSTRUIR DIFERENTES
CONCEITOSMATEM¹TICOS;=0ARAOAPRENDIZADODAGEOMETRIAH¹PROGRAMAS
QUE DISPÍEM DE RÁGUA E COMPASSO VIRTUAIS E COM MENU DE CONSTRU¿»O EM
linguagem clássica da geometria – reta perpendicular, ponto médio, mediaTRIZ BISSETRIZ ETC &EITA UMA CONSTRU¿»O PODESE APLICAR MOVIMENTO A SEUS
ELEMENTOSSENDOPRESERVADASASRELA¿ÍESGEOMÁTRICASIMPOSTAS¸ÞGURAqDAÅ
SEREMDENOMINADOSPROGRAMASDE'EOMETRIA$INºMICA"2Ø3),P
3OBREA'EOMETRIA$INºMICA"RAVIANOE2ODRIGUESP
DESCREVEM
nØ GEOMETRIA DINºMICA N»O Á UMA NOVA 'EOMETRIA POIS N»O SE BASEIA EM
OUTROSAXIOMASOUPROPOSI¿ÍESNEMEMNOVASRELA¿ÍESDEESPA¿OFORMAMAS
SIMUMTERMOUSADOPARADESIGNARUMMODODINºMICOEINTERATIVODETRABALHAR'EOMETRIAESUASPROPRIEDADESUSANDOEDITORESGR¹ÞCOSPARAESSEÞMo
/SOFTWARE#ABRI'ÁOMÀTREUTILIZADONESTETRABALHOÁUMDENTREOSDIVERSOSREPRESENTANTESDOAMBIENTEINFORM¹TICODEGEOMETRIADINºMICAEFOIUSADOPARACOMPLEmentar a formação no segundo sentido mencionado, isto é, a tecnologia como ferraMENTAPARAENTENDERA-ATEM¹TICA¡UMPROGRAMAINTERATIVOCOMPATÅVELCOMO7INDOWSQUEPERMITEAELABORA¿»ODEPROJETOSQUEVISAM¸DESCOBERTADEPROPRIEDADES
TORNANDOSEASSIMUMEXCELENTEINSTRUMENTODEENSINOAPRENDIZAGEMPRINCIPALMENTE
DE'EOMETRIA&OIDESENVOLVIDOPOR*EAN-ARIE,ABORDEE&RANCK"ELLEMAINNOo)NSTITUTDm)NFORMATIQUEET-ATHÁMATIQUESØPPLIQUÁESDE'RENOBLE)-Ø'
”, um laboratório
DEPESQUISADA“Université Joseph Fourier” em Grenoble, França, em cooperação com
On#ENTRE.ATIONALDELA2ECHERCHE3CIENTIÞQUE#.23
oEAn4EXAS)NSTRUMENTSo"Ø,$).6),,Ø'2ØP
n#Ø"2)ÁUMASIGLACOMPOSTAPELASINICIAISDOSTERMOS
#ØHIERDE"2OUILLON)NTERATIFnCADERNOSDERASCUNHOSINTERATIVOSo
Há vários trabalhos
J¹PUBLICADOSRELACIONADOSAOUSODESSESOFTWARENOENSINODE-ATEM¹TICAEMESPECIALNAGEOMETRIA0OREXEMPLO3ANT
QUEAPRESENTAO#ABRIEDENTREOSV¹RIOS
ITENS ABORDADOS RELATA PONTOS POSITIVOS DO SOFTWARE COMO nA FACILIDADE COM QUE O
ESTUDANTEPODEEXPLORAREVERIÞCARCOMOUSODOSOFTWARE
OQUEACONTECECOMV¹RIAS
SITUA¿ÍESAN¹LOGASÁÒTILPARAFORMARCONJECTURASAGU¿ANDOSUACURIOSIDADEPARABUSCARUMADEMONSTRA¿»OoASUAUTILIZA¿»OPARAnMOTIVA¿»ODEDEÞNI¿ÍESoEnTESTARA
capacidade de transferência de conhecimentos (dos estudantes)”. Em Gravina (2001) o
#ABRIFOIUSADOPARAINVESTIGARCOMOSITUA¿ÍESDID¹TICASQUEACONTECEMEMAMBIENTES
Pró Reitoria de Graduação - Núcleos de Ensino da UNESP
#AP6))p Educação Matemática
INFORMATIZADOSPODEMFAVORECERASUPERA¿»ODASDIÞCULDADESPRESENTESNOPROCESSO
DEAPRENDIZAGEMDAGEOMETRIA%M&ANTIE3ILVA
O#ABRIFOIUSADONOESTUDODE
isometria e construção/exploração de alguns jogos. Existem também livros com descri¿»ODEATIVIDADESCOMOPOREXEMPLOODE"ALDINE6ILLAGRA
QUETEMCOMOOBjetivo oferecer um texto básico com desenvolvimento de alguns tópicos fundamentais
NAPREPARA¿»ODEUMPROFESSORDE-ATEM¹TICAUSANDOOPROGRAMA#ABRI'ÁOMÀTRE))
Segundo os autores tais atividades foram testadas em turmas de licenciatura e em minicursos destinados a licenciandos e professores do ensino básico e o formato foi avaliado positivamente por todos os participantes. O Cabri não é um software livre, mas está
disponível na maioria das escolas públicas do Estado de São Paulo. No site http://www.
cabri.com.br/index.phpPODESEOBTERAVERS»O$EMOBEMCOMOOUTRASINFORMA¿ÍES
relacionadas ao software.
/#ABRIFOIUTILIZADONA%%0ROFAØMIRA(OMSI#HALELLAq3*20NASƒs séries do EnSINO-ÁDIOPARAOESTUDODEFUN¿»OAÞMESISTEMASLINEARESNASƒs séries no estudo
DE SISTEMAS LINEARES TRIGONOMETRIA DO TRIºNGULO RETºNGULORAZÍES TRIGONOMÁTRICAS E
nas 3as no estudo de coordenadas cartesianas (explorando os conceitos de abscissa, orDENADAEQUADRANTES
NOESTUDODERETASCIRCUNFERÂNCIASDISTºNCIAENTREDOISPONTOS
DISTºNCIADEPONTOARETAENÒMEROSCOMPLEXOS
Desenvolvimento/Metodologia
749
O projeto do Núcleo de Ensino, acima referido, foi desenvolvido na EE Profa Amira,
EMPARAOSEGUINTEGRUPODEALUNOS
¸SQUINTASFEIRASDEMANH»COMTODAS
as classes de 1asSÁRIESDO%NSINO-ÁDIODOPERÅODOdiurnoNUMTOTALDECLASSES
APROXIMADAMENTEALUNOS4AISCLASSESESTAVAMSOBARESPONSABILIDADEDOSPROFESSORES -ARIA ØPARECIDA .ECCHI E 6ANDERLEI $ "OFO E CONTOU COM A COLABORA¿»O
MAIS DIRETA DOS BOLSISTAS DO .ÒCLEO *AIME 2 DE -ORAES E 2APHAELA Ø 4RIST»O ’
SEMESTRE
4HAISA Ø 0IANOSCHI ’ SEMESTRE
¸S QUINTASFEIRAS ¸ NOITE COM AS classes de 2asSÁRIESDO%NSINO-ÁDIODOPERÅODOnoturno, em torno de 120 alunos,
SOBARESPONSABILIDADEDA0ROFA-ARIºNGELAØ-#ALSAVARAACOLABORA¿»ODOSBOLSISTAS DO .% ,ETÅCIA 4 -EDEIROS E 2ENATO ' &IOROTTO VOLUNT¹RIO NO ’ SEMESTRE E
BOLSISTAAPARTIRDO’
¸SSEXTASFEIRAS¸NOITECOMASCLASSESDEas séries do
%NSINO-ÁDIODOPERÅODOnoturno, com aproximadamente 130 alunos, classes sob a
responsabilidade da Profa. Odete Fátima R. Papandré e do Prof. Luis A. Evangelista,
A COLABORA¿»O DAS BOLSISTAS DO .% *AQUELINE " DOS 3ANTOS E 4HAISA Ø 0IANOSCHI
(1º semestre), Luana C. C. dos Santos (2º semestre, bolsista do Programa Ciência na
UNESP - voluntária do NE).
0ARA O DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO INICIALMENTE FORAM FEITAS PESQUISAS BIBLIOGR¹ÞCASREUNIÍESCOMACOORDENADORAEDISCUSSÍESPARAMONTAGEMDOSROTEIROSDE
ATIVIDADESQUEAPËSSEREMTESTADOSTRABALHADOSCOMOSBOLSISTASFORAMDISTRIBUÅDOS
para os alunos no Laboratório de Informática da escola. Nesses roteiros em geral são
DEIXADOSESPA¿OSPARAOSALUNOSANOTAREMSEUSRESULTADOSDESCOBERTASDEFORMAQUE
OSMESMOSPARTICIPEMMAISEFETIVAMENTE/MATERIALFOIELABORADODEMODOQUEA
atividade possa ser desenvolvida com o mínimo de conhecimento do software, pois
ESPERASEQUEASATIVIDADESSEJAMDESENVOLVIDASMESMOPORQUEMN»OTEMFAMILIARIDADECOMOSOFTWAREEQUEOMATERIALPOSSASERVIRDEAPOIOAOUTROSPROFESSORESINTEressados em desenvolver tais atividades no Laboratório de Informática de sua escola.
Respeitando o ritmo de cada aluno, e visando ter um melhor resultado, as atividades
S»OELABORADASEMGERALDEMODOATERUMAPARTEQUEDEVASERFEITAPORTODOSOS
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ALUNOSDACLASSEEUMAPARTEÞNALQUEPODESERFEITAAPENASPORAQUELESQUEAPRESENtassem mais habilidades e um melhor desempenho.
Para facilitar a reprodução/cópia das atividades, caso haja interesse por parte de
professores, vamos dispô-las separadamente e em espaço simples, apresentando-as
COMOFORAMUTILIZADASPORNËS
Roteiros de Atividades
Noções básicas do Cabri; ponto, reta, retas perpendiculares e paralelas, polígonos.
Público Alvo:%NSINO-ÁDIO0ROJETO.ÒCLEODE%NSINOq5.%30"),#%
Software: Cabri-Géomètre II
Noções básicas0ARAENTRARNOPROGRAMA#ABRIDÂDOISCLIQUESEM.OTEQUE
aparecerá uma tela com 11 “caixas de ferramentas” COMO MOSTRADA A SEGUIR QUE
vamos numerar, para referência posterior, de 1 a 11):
750
QUEPODEMSERUSADASEPARAOBTÂLASTEMOSQUECLICARNACAIXAASERUSADAEmanter
o botão do mouse apertado, como no caso ilustrado (caixa 2) selecionando então a
ferramenta desejada.
/BSERVAMOSAINDAQUECLICANDONOMENUAjuda e em seguida na ferramenta Ajuda (F1)APARECER¹NATELABEMABAIXOUMAEXPLICA¿»ODOQUEPODEMOSEFETUARCOM
AQUELAFERRAMENTAPOREXEMPLOAFERRAMENTAnPonteiro”, na caixa 1:
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#AP6))p Educação Matemática
6AMOSASEGUIRREALIZARASCONSTRU¿ÍESMOSTRADASNAÞGURASEGUINTE:
&IGURA#ONSTRU¿ÍESGERAISCOMO#ABRI'ÁOMÀTRE))
751
Passos:
1) Represente dois pontos e nomeie esses pontos de P e Q. Para isso selecione
PontoNACAIXAMANTENDOOBOT»ODOMOUSEAPERTADO
EDÂUMCLIQUENATELA
e em seguida digite P. Repita o procedimento para obter um ponto Q. Os pontos
poderiam ser rotulados selecionando Rótulo na caixa 10, em seguida direcione
OMOUSEPARAOPONTOEQUANDOAPARECER¸FRASE“este ponto”CLIQUEEDIGITEA
LETRADESEJADANACAIXAQUEAPARECER
2) 2EPRESENTEUMARETAQUEPASSAPOR0E1ENOMEIEESSARETADER. Para isso selecione Reta NACAIXADIRECIONEOMOUSEPARA0ASSIMQUEAPARECERAFRASE“por
este ponto”CLIQUEEM04IREODEDODOMOUSE%MSEGUIDADIRECIONEOMOUSE
PARAOPONTO1ENOVAMENTEQUANDOAFRASEAPARECERCLIQUEEM1$IGITEAGORA
a letra r para nomear essa reta.
3) Represente a reta s perpendicular a r passando por P. Para isso selecione Reta
PerpendicularNACAIXADESLIZEOMOUSEPARAARETARAPARECER¹AFRASE“perpendicular a esta reta”CLIQUENARETAR#ONDUZAOMOUSEATÁOPONTO0APARECErá a frase “por este ponto”CLIQUESOBREELE$IGITESPARANOMEARARETAOBTIDA
Repita o procedimento para obter a reta t perpendicular a r passando por Q.
2EPRESENTEUMTRIºNGULO0ARAISSOCONSTRUATRÂSPONTOSN»OCOLINEARESØ"E#
depois selecione Triângulo NACAIXAEDESLIZEOMOUSEPARAOPONTOØAPAREcerá a frase “este vértice”CLIQUESOBREELE4IREODEDODOMOUSEEODIRECIONE
PARAOPONTO"APARECER¹NOVAMENTEAFRASE“este vértice”, CLIQUESOBREELE%DO
MESMOMODODIRECIONEPARAOPONTO#DEMODOAOBTEROTRIºNGULO
5) Represente um pentágono não regular. Selecione Polígono na caixa 3 e dê 5 cliQUESNATELAEMLUGARESDISTINTOSUMSEGUIDODOOUTROSER»OMARCADOSPONTOS
DISTINTOS
%MSEGUIDADIRECIONEOMOUSEPARAOPRIMEIROPONTOMARCADOEQUANdo aparecer a frase “este ponto”, clique, fechando assim o pentágono.
2EPRESENTE UM TRIºNGULO EQÔIL¹TERO, usando a ferramenta Polígono Regular na
CAIXA0ARAISSODÂDOISCLIQUESEMLUGARESDIFERENTESNATELAEV¹GIRANDOPARAA
DIREITAOMOUSE
ATÁOBTERONÒMERODELADOSDESEJADOISTOÁEDÂOUTROCLIQUE
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752
2EPRESENTEUMQUADRADOEUMPENT¹GONOREGULAR (usando Polígono Regular).
8) 2EPRESENTEUMRETºNGULOQUALQUER (Sugestão: Repita os passos 1) a 3), depois
MARQUEUMPONTO4EMSDIFERENTEDE0SELECIONANDOPonto sobre Objeto na
CAIXAEARRASTEOMOUSEPARAARETASASSIMQUEAPARECERAFRASE“nesta reta”,
CLIQUEENOMEIEOPONTOOBTIDODE P. Agora trace a reta paralela a r passando por
T. Para isso selecione Reta Paralela na caixa 5, direcione o mouse para a reta r,
aparecerá a frase “paralela a esta reta”CLIQUESOBREELA%MSEGUIDADIRECIONEO
mouse para o ponto T, até aparecer a frase “por este ponto”CLIQUESOBRE43Elecione na caixa 2, Ponto de Intersecção ECLIQUEEMUMARETAEEMSEGUIDAEM
uma outra de modo a obter os pontos de intersecção (de cada duas retas). Selecione Polígono NACAIXAECLIQUENOSVÁRTICESPONTOSDEINTERSEC¿»O
QUANDO
aparecer para cada um a frase “por este ponto”, retornado ao primeiro. Esconda
em seguida as retas auxiliares selecionado a ferramenta Esconder/Mostrar na
CAIXAECLICANDOSOBRECADARETAASSIMQUEAPARECERAFRASE“esta reta”).
2EPRESENTE UM TRIºNGULO ISËSCELES E EXPLORE ALGUMAS PROPRIEDADES
. Para isso
CONSTRUAUMSEGMENTO89USANDOSegmento NACAIXAECLIQUEEMDOISLUGARES
DISTINTOSNATELA$ETERMINEOPONTOMÁDIO-DOSEGMENTO890ARAISSOSELEcione Ponto Médio na caixa 5, direcione o mouse para o segmento, aparecerá a
frase “ponto médio deste segmento”CLIQUEEDIGITE-4RACEUMARETAUPERPENDICULARAOSEGMENTO89PASSANDOPELOPONTO--ARQUEUMponto:QUALQUERNA
RETAUDIFERENTEDE-
EDEPOISESCONDAARETA#ONSTRUAOSSEGMENTOS8:E9:
OBTENDOASSIMUMTRIºNGULOISËSCELES-EDIROSSEGMENTOS8:E9:SELECIONANDO
Distância e Comprimento NACAIXAEDESLIZEOMOUSESOBREOSEGMENTO8:
aparecerá a frase “comprimento deste segmento”CLIQUE2EPITACOMOSEGMENTO9:-OVIMENTEOPONTO:PARAISSOSELECIONEPonteiroNACAIXACLIQUEEM:
EMANTENDOOBOT»ODOMOUSEAPERTADOARRASTEO/QUEVOCÂOBSERVA /NOVO
TRIºNGULOOBTIDOÁISËSCELES 0ORQUÂ ?????????????????
Atividade extra: Use a ferramenta Espessura na caixa 11 para aumentar a espessura
DASÞGURASCONSTRUÅDAS2EPRESENTEUMACIRCUNFERÂNCIAEUMQUADRADOINSCRITONELA
Coordenadas cartesianas, distância entre dois pontos.
Público Alvo: 3a SÁRIEDO%NSINO-ÁDIO
Software: Cabri-Géomètre II.
Inserindo um sistema de eixos ortogonais (cartesiano) e pontos de grade Represente
os eixos x e y (ou Ox e Ou). Para isso selecione Mostrar Eixos na caixa 11. Na mesma
caixa selecione $EÚNIRŸ'RADEECLIQUEEMUMDOSEIXOS3EQUISERPODEMUDARACORDA
grade, para isso selecione CorNACAIXAESCOLHAACORPRETAECLIQUEEMALGUMPONTO
DAGRADEQUANDOAPARECERAFRASE“esta grade”.
1) Represente os pontos R = (-1; 1)OU2
M = (-2; -1) e N = (3; 3), para isso
selecione PontoNACAIXAECLIQUESOBREOPONTODAGRADEQUEREPRESENTACADA
UMDOSPONTOSPEDIDOSCLIQUEQUANDOAPARECERAFRASE“neste ponto da grade”.
2) Represente agora o ponto P=(4,2). Dê as coordenadas desse ponto usando o CabriSELECIONANDONACAIXAAFERRAMENTAEquação e Coordenadas (mantendo o
botão do mouse apertado), e em seguida direcionando o mouse para o ponto P
EDANDOUMCLIQUEQUANDOAPARECERAFRASE“coordenadas deste ponto”.
3) 6AMOSOBTERASPROJE¿ÍESDE0NOSEIXOSCOORDENADOS. Selecione Reta Paralela
NACAIXA#LIQUESOBREOEIXO/XQUANDOAPARECERAFRASE“paralela a este eixo”
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753
3ELECIONEPonto na caixa 2 e represente o ponto Q = (8; 5) EENCONTRECONÞRA
suas coordenadas usando Equação e CoordenadasNACAIXA.ACAIXASELEcione SegmentoEEMSEGUIDACLIQUENOPONTOP e depois no ponto Q, teremos
então o segmento PQ.
#AP6))p Educação Matemática
EEMSEGUIDASOBREOPONTO0QUANDOAPARECER“por este ponto”, obtendo assim
a reta r passando por P paralela ao eixo Ox. Repita o processo para o eixo Oy e
P, obtendo a reta s.
a) Selecione PontilhadoNACAIXAEDESLIZEOMOUSESOBREARETARAPARECER¹A
frase “esta reta”, CLIQUE2EPITAPARAARETAS
b) Selecione Pontos de Intersecção NACAIXAECLIQUESOBREOEIXO/XENARETA
s obtendo o ponto de intersecção. Nomeie este ponto de P1. Repita para o
eixo Oy e a reta r. Nomeie o ponto de P2.
c) Selecione Equação e CoordenadasNACAIXAECLIQUESOBREOSPONTOS0E0
para achar suas coordenadas. /SPONTOS0E0S»OASPROJE¿ÍESORTOGONAIS
do ponto P sobre os eixos cartesianos. Digite usando Comentário na caixa 10,
abscissa de P = , EDESLIZEOMOUSEPARAOVALORDAABSCISSADOPONTO0OU
SEJAEMEQUANDOAPARECERAFRASE“incluir este número”CLIQUESOBRE
ele. Digite usando Comentário, ordenada de P = ,ECLIQUESOBREOVALOR
2.00 (note na representação decimal do Cabri usa--se ponto e não virgula, asSIMSIGNIÞCAEAQUIESTAMOSUSANDODUASCASASDECIMAIS
D
#LIQUEEMPonteiroNACAIXACLIQUEEMSEGUIDANOPONTO0EARRASTEESSE
PONTOMANTENDOOBOT»ODOMOUSEAPERTADOOBSERVEOQUEACONTECECOMAS
COORDENADASDE00E02ETORNEDEPOIS0NAPOSI¿»OINICIAL
3ELECIONE Ponto na caixa 2 e REPRESENTE UM PONTO QUE TENHA ABSCISSA NULA E
ordenada um número inteiro negativoNOMEIEESSEPONTODEØØ????
2Epresente um ponto BQUETENHAabscissa um número inteiro e ordenada nula, "
????
Observação.ESSECASOQUANDOAPARECERNATELADO#ABRIAPERGUNTAQual o objeto? “Este eixo ou grade”CLIQUEEMgrade.
5) 2EPRESENTEUMPONTOØNO’QUADRANTECOMCOORDENADASINTEIRAS e complete:
Ø ?? ??
UM PONTO QUALQUER Ø NO ’ QUADRANTE Ø ?? ??
um ponto
ØNO’QUADRANTE,Ø????
EØNO’QUADRANTEØ????
)DENTIÞQUE
NUMERENATELADO#ABRICADAUMDOSQUADRANTEDIGITANDO1UADRANTE)
IV, usando Comentário na caixa 10. Selecione CorNACAIXAEESCOLHAAZULE
cliqueNESSESCOMENT¹RIOSENOSPONTOSØAØ
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#ALCULEADISTºNCIAENTRE0E1.ACAIXASELECIONEDistância e Comprimento e
CLIQUENOSEGMENTOQUANDOAPARECERAFRASEnComprimento deste segmento”. A
DISTºNCIAENTREOSPONTOS0E1Á?????
8) #ALCULANDOADISTºNCIAENTRE0E1USANDOAFORMULADADISTºNCIAEACALCULADORA
2ECORDEMOSQUECHAMANDORESPECTIVAMENTEECHAMANDOAABSCISSAEAORDEnada de P de x P e y P , a abscissa e a ordenada de Q de xQ e y Q respectivamente, vamos ter: d(P,Q) = ( xP − xQ ) 2 + ( yP − yQ ) 2 . Selecione Calculadora na caixa
NAJANELAQUEAPARECERABAIXOCLIQUEEMsqrtNOTECLADODACALCULADORAQUE
SIGNIÞCA
EMSEGUIDACLIQUEEM ( , leve o mouse na tela do Cabri no valor
da abscissa do ponto PECLIQUEQUANDOAPARECERnEste númerooCLIQUEEMOUDIGITE
CLIQUENOVALORDAabscissa do ponto QNASEQUÂNCIACLIQUEEM
) e em ^, e digite 2. Abra parêntese novamente digitando (CLIQUENOvalor
da ordenada do ponto P, em - , e no valor da ordenada do ponto Q, e
feche o parênteses ) CLIQUEEM^ e digite 2&INALMENTECLIQUEEM= #LIQUE
em seguida no resultado obtido pelo Cabri e, mantendo o botão apertado sobre
esse valor, arraste-o para a tela do Cabri. Qual é o valor obtido com a calculadoRA ????????#LIQUEEMPONTEIROEEMSEGUIDANOPONTO0OU1
EMANTENDO
OBOT»ODOMOUSEAPERTADOMOVIMENTE0OBSERVEOQUEACONTECECOMVALORES
obtidos: comprimento do segmento e d(P,Q).
754
Retas, equação da reta e distância de ponto a reta.
Público Alvo: 3a SÁRIEDO%NSINO-ÁDIO
Software: Cabri - Géomètre II.
Inserindo um sistema de eixos ortogonais e pontos de grade: Represente os eixos x
e y (ou Ox e Ou). Para isso selecione Mostrar Eixos na caixa 11. Na mesma caixa selecione $EÚNIRŸ'RADEECLIQUEEMUMDOSEIXOS3EQUISERPODEMUDARACORDAGRADE
para isso selecione CorNACAIXAESCOLHAACORPRETAECLIQUEEMALGUMPONTODA
GRADEQUANDOAPARECERAFRASE“esta grade”.
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y 2 − y1
. Que valor você encontrou para m =_____.
x 2 − x1
-ARQUEOPONTO-
$ETERMINEADISTºNCIADDOPONTO-¸RETARPARAISSO
TRACEUMARETATPASSANDOPOR-PERPENDICULARARETARUSE2ETA0ERPENDICULAR
NACAIXA
$EPOISMARQUEOPONTODEINTERSEC¿»ODARETARCOMARETAT.Omeie de N.
12) Selecione Distância e ComprimentoNACAIXAECLIQUENOPONTO-EDEPOIS
no ponto N, d =_______. Digite usando Comentários NACAIXADISTºNCIADO
PONTO-¸RETARD????ECLIQUENOVALORENCONTRADOPELO#ABRI
%NCONTRE A DISTºNCIA D D-R
DO PONTO - ¸ RETA R: y = x − 2 ⇔ x − y − 2 = 0 ,
usando a seguinte fórmula: d =
ax M + by M + c
a2 + b2
=
1x M - 1y M - 2
12 + (-1)2
. Use a ferramenta
CalculadoraNACAIXAPARAFAZEROSC¹LCULOS1UEVALORVOCÂENCONTROUpara d
= ___.
755
m = tg α =
#AP6))p Educação Matemática
2EPRESENTEARETARDEEQUA¿»OYXSugestão: Obtenha 2 pontos P e Q
pertencentes a reta dada, para isso atribua dois valores para x (por exemplo, 0 e
1) e encontre y : x = 0 ⇒ y = _____ ⇒ P = ( , ) e, x = 1 ⇒ y = ___ ⇒ Q =
( , ).
Observação: Quando aparecer na tela do Cabri a pergunta: Qual o objeto? “Este
eixo ou grade”CLIQUEEMGRADE
2) Represente agora a reta r que passa por P e Q, para isso selecione Ponto na caixa
2 e represente os pontos P e Q, depois selecione Reta NACAIXAECLIQUENOS
pontos P e Q.
/BTENHAAEQUA¿»ODARETAR3ELECIONEEquação e CoordenadasNACAIXADESLIZEOMOUSEPARAARETARAPARECER¹AFRASE“equação desta reta”,CLIQUESOBRE
ELAØEQUA¿»OENCONTRADAFOIYXQUEÁEQUIVALENTE¸EQUA¿»OANTERIOR
2EPRESENTE UM PONTO 8 SOBRE A RETA R DIFERENTE DOS PONTOS 0 E 1 3ELECIONE
Ponto sobre ObjetoNACAIXAECLIQUENARETAR$ÂASCOORDENADASDEX, selecionando Equação e Coordenadas NACAIXAEDEPOISCLIQUENOPONTO8ENT»O
8
-OVIMENTEOPONTO8SELECIONANDOPonteiro NACAIXA/BSERVEQUE
a relação y = x - 2 se mantêm.
5) Represente dois pontos S1= (x1, y1), e S2 =(x2, y2),TAISQUEY1 > x1 - 2 e y2 > x2 - 2.
/QUEVOCÂOBSERVAEMRELA¿»O¸POSI¿»ODESSESPONTOSEARETA ?????????????
2EPRESENTEDOISPONTOST1= (x1, y1), e T2= (x2, y2),TAISQUEY1 < x1 - 2 e y2 < x2 - 2.
Selecione Comentários NACAIXAEMSEGUIDADÂUMCLIQUENATELANAREGI»O
EMQUEYXEDIGITEESSAINEQUA¿»ONACAIXADETEXTOQUEAPARECER)DEMPARA
y< x-2.
-ARQUEOPONTODEINTERSEC¿»ODARETARCOMOEIXO/XPARAISSOSELECIONE Pontos de Intersecção NACAIXAECLIQUENARETAREDEPOISNOEIXO/X.OMEIEESSE
ponto de A.
%NCONTREOºNGULO Į formado pela reta r e o eixo Ox (orientado no sentido anti-horário), para isso selecione ÂnguloNACAIXAECLIQUEEMUMPONTOQUALQUER
DOEIXO/XQUEESTEJA¸DIREITADEØDEPOISNOPONTOØEPORÒLTIMONARETARĮ
= _______.
#OMOSPONTOS0E1ENCONTREOCOEÞCIENTEANGULARINCLINA¿»ODARETARQUEDEnotamos por m, selecione InclinaçãoDACAIXAECLIQUENARETARM????$IGITE
usando Comentários NACAIXACOEÞCIENTEANGULARDARETARMECLIQUENO
VALORENCONTRADOPELO#ABRI/COEÞCIENTEANGULARÁPOSITIVOOUNEGATIVO ?????
%NCONTRE O COEÞCIENTE ANGULAR DA RETA R USANDO A SEGUINTE FËRMULA
Pró Reitoria de Graduação - Núcleos de Ensino da UNESP
&UN“ÁOŸAÚM
756
Público Alvo: 1aSÁRIEDO%NSINO-ÁDIO
Software: Cabri-Geomètre II.
Inserindo um sistema de eixos ortogonais e pontos de grade. Para isso selecione
Mostrar Eixos na caixa 11. Na mesma caixa selecione $EÚNIRŸ'RADEECLIQUEEMUM
dos eixos.
4RABALHANDOACONSTRU¿»ODOGR¹ÞCODAFUN¿»OYFX
XQUESER¹ARETA
DEEQUA¿»OYX
0ARAISSOATRIBUADOISVALORESPARAXEPOREXEMPLO
E
encontre os valores de y correspondentes.
x1= 0 Ÿ y1=.....Ÿ0
X2 =1 Ÿ y2 = ..... e Q= ( , ).
2) Selecione Ponto na caixa 2, e marcar clicando na grade, os pontos obtidos, P e Q.
Obs: Quando aparecer na tela do Cabri a pergunta: Qual o objeto? “Este eixo ou
grade”CLIQUEEMGRADE
3) Na caixa 3, selecione Reta CLIQUENOSPONTOSOBTIDOSPARATRA¿ARARETACHAMANdo-a de r
3ELECIONEEquação e CoordenadasNACAIXACLICARSOBREARETAr, aparecerá a
EQUA¿»ODARETA%SCREVAUSANDOComentário na caixa 10 f(x)= e arraste, após
selecionar Ponteiro NACAIXAESSETEXTOPERTODAEQUA¿»Oy = 3x+1.
%STAÁUMAFUN¿»OCRESCENTEOUDECRESCENTE ??????0ORQU X1 < x2 Ÿ f(x1) __f(x2))
$ETERMINAROCOEÞCIENTEANGULAROUINCLINA¿»O
QUEVAMOSDENOTARPORα, da reta
r. Selecione InclinaçãoCAIXAECLIQUENARETAR???ØINCLINA¿»OÁPOSITIVAOU
NEGATIVA ????
3ELECIONAR Pontos de Intersecção na caixa 2 e clicar na reta r e depois no eixo das
abscissas, nomeie o ponto de S. Selecionar Equação e CoordenadasNACAIXA
CLICARSOBREOPONTOQUEINTERCEPTAOEIXO/XOBTENDOSUASCOORDENADAS%SCREVA
NATELADO#ABRIUTILIZANDO ComentáriosNACAIXAARETAROUOGR¹ÞCODAFUN¿»OFX
X
INTERCEPTAOEIXO/XOUEIXODASABSCISSAS
NOPONTO3??????
COMPLETE
8) Selecionar Pontos de Intersecção na caixa 2 e clicar na reta r e depois no eixo
das ordenadas, nomeie o ponto de T. Selecionar Equação e Coordenadas na
CAIXACLICARSOBREOPONTOQUEINTERCEPTAOEIXO/YOBTENDOSUASCOORDENADAS
%SCREVANATELADO#ABRIUTILIZANDOComentáriosNACAIXAARETAOUOGR¹ÞCO
DAFUN¿»OFX
X
INTERCEPTAOEIXO/YNOPONTO4????
COMPLETE
#ALCULAROZERODAFUN¿»OFX
ou seja o no. real x tal que f(x)=0) e, com a ferramenta
ComentáriosNACAIXADIGITARn/ZERODAFUN¿»OYFX
XÁo
Note/ZERODEUMAFUN¿»ODOTIPOYFX
AXBCOMAz 0 é x = -b/a pois
FX
AXB⇔ x = -b/a. Ainda, x0ÁUMZERODAFUN¿»O ⇔ f(x0) = 0 ⇔ o ponto
(x0,f(x0)=0) é um ponto da intersecção da reta r com o eixo das abscissas. Assim, o
ZERODAFUN¿»OFX
ÁIGUALa abscissa do ponto S já encontrado anteriormente.
$ETERMINEOVALORDEXTALQUEFX
X????&AZERPRIMEIROOC¹LCULOALGÁBRIco, depois obtenha esse valor com o Cabri, encontrando o ponto de intersecção
DARETAYCOMARETAR
11) Representar na tela do Cabri os pontos (-1, f(-1)) e (-2, f(-2)).
-UDARAESPESSURADARETARUSANDOEspessura na caixa 11 e colorir de verde
claro, usando Cor na mesma caixa.
2EPRESENTARAGORAASRETASDADASPELOSGR¹ÞCOSDASFUN¿ÍESy = g(x) = 3x e h(x)
= 3x+3CHAMANDOASDESEWESEUSCOEÞCIENTESANGULARESDE ȕ e γ , respecTIVAMENTE"ASTAREPETIROPROCESSOAPARTIRDOITEM
#OLORIRARETASDEROSA
EARETAWDEAZUL%SCREVAARELA¿»OENTREOSCOEÞCIENTESANGULARESINCLINA¿»O
Pró Reitoria de Graduação - Núcleos de Ensino da UNESP
Sistemas lineares (no R2) – Interpretação Geométrica
Publico Alvo: 1ª e 2a SÁRIESDO%NSINO-ÁDIO
Software: Cabri-Géomètre II.
Introdução: Podemos usar o Cabri para interpretar sistemas lineares de duas ou
MAISEQUA¿ÍES e duas incógnitasUMAVEZQUECADAEQUA¿»ODOSISTEMAÁAEQUA¿»O
de uma reta.
#AP6))p Educação Matemática
das retas r, s e w: α __ β __ γ . Elas retas são ___________ (perpendiculares/ paralelas).
2EPRESENTEAGORAOGR¹ÞCODAFUN¿»OYKX
X-x/3. (Use x1 = 0 e x2 = 3).
$ETERMINEOCOEÞCIENTEANGULAR ρ DARETATQUEÁOGR¹ÞCODAFUN¿»OKX
ρ
=______. O valor de α . ρ ??????6ERIÞQUEUSANDOPerpendicular na caixa 8,
QUEASRETAS r e t são perpendiculares.
 a1x + b1y = c1

 a2 x + b2 y = c2
a x + by = c
3
2
 3
 x+y =3
. Primeiro representamos com o Cabri as
2x − y = 0
Exemplo: Resolver o sistema: 
RETASDEEQUA¿ÍESXYEXYQUEAPARECEMNOSISTEMAEQUEVAMOSINDICAR
POR2ETAE2ETARESPECTIVAMENTEOUEQUIVALENTEMENTE2ETAYX2ETA
y = 2x). Para isso necessitamos de dois pontos pertencentes a cada reta:
 x = 0 ⇒ 0 + y = 3 ⇒ y = 3 ⇒ P1 = (0,3) ∈ Reta 1,
 x = 1 ⇒ 1 + y = 3 ⇒ y = 2 ⇒ Q1 = (1,2) ∈ Reta 1,
Reta 1: 
 x = 0 ⇒ 0 − y = 0 ⇒ y = 0 ⇒ P 2 = (0,0) ∈ Reta 2,
 x = 2 ⇒ 4 − y = 0 ⇒ y = 4 ⇒ Q2 = (2,4) ∈ Reta 2.
Reta 2: 
&IGURA#ONSTRU¿»ODASDUASRETASCUJASEQUA¿ÍESFORAMDADASNOSISTEMA
757
0ARAASSOLU¿ÍESDESISTEMASLINEARESTEMOSTRÂSPOSSIBILIDADESpossível determinado, possível indeterminado ou impossível¡CLAROQUEPARAESSAINTERPRETA¿»ONO
software Cabri é necessário escolhermos exemplos convenientes em função da limita¿»ODOSOFTWARE)SSOOCORREPOREXEMPLOSEASEQUA¿ÍESENVOLVEMNÒMEROSMUITO
grandes (e o espaço na tela é bastante limitado).
Pró Reitoria de Graduação - Núcleos de Ensino da UNESP
Depois analisamos a intersecção das retas. O conjunto solução é o conjunto de
pontos de interseção das duas retas.
Conclusão: O sistema tem uma única solução, logo é Possível determinado. Conjunto Solução S= {(1, 2)} (ponto de intersecção das duas retas).
2ESOLVAVOCÂOSISTEMADOEXEMPLODADOUTILIZANDOO#ABRI. Veja os passos para as
CONSTRU¿ÍESNOÞNALDESSAATIVIDADE2EPITAOSPROCEDIMENTOSDESCRITOSPARARESOLVER
OSSISTEMASESEGUINTESEXERCÅCIOS
COMPLETANDONOSESPA¿OSRESERVADOSPARA
as respostas.
Exercícios: 2ESOLVER OS SISTEMAS LINEARES ABAIXO USANDO O #ABRI
E CLASSIÞC¹LOS
Solução:
 2x + y = 1
5 x − 2 y = −1
1) 
Pontos:
Este sistema é _____________ e
Pontos:
2)
Este sistema é _____________ e
758
 x+ y =3

3) S:  2 x − y = 0
 x + 2 y = 0
 P1 ( , ),

P2 ( , ),
S = ___.
 P1 ( , ),

P2 ( , ),
Q1 ( , )
Q2 ( , )
S = ___.
 P1 ( , ),

Pontos: P2 ( , ),
 P ( , ),
 3
Este sistema é _____________ e
Q1 ( , )
Q2 ( , )
Q1 ( , )
Q2 ( , ) .
Q3 ( ,
)
S = ___.
 x + y=3
 2 x − y = 0
3 
− 3x + 2 y = 1

 2 x + 2 y = 6
Este sistema é _____________ e
S = ___.
Descrevendo os passos para as construções com o Cabri
Inserindo um sistema de eixos ortogonais e pontos de grade. Para isso selecione
Mostrar Eixos na caixa 11. Na mesma caixa selecione $EÚNIRŸ'RADEECLIQUEEMUM
dos eixos.
2EPRESENTEASRETASRELATIVAS¸SEQUA¿ÍESDOSISTEMALINEARDADO0ARAISSOBASTA
encontrar de dois pontos distintos da reta. Então dê um valor para a incógnita x e
encontre o valor de y. Ache os pontos P1 e Q1, P2 e Q2, se o sistema tiver apenas
DUASEQUA¿ÍESCOMONOEXEMPLO
2) Selecione Ponto na caixa 2 e represente na tela do Cabri, usando a “malha pontilhada”, o ponto P1, (encontrado) pertencente a primeira reta. Selecione Rótulo
NACAIXACLIQUENOPONTOENOMEIEESSEPONTODE0DIGITANDO0
&A¿AO
mesmo para o ponto Q1, nomeando-o de Q1.
3) Selecione RetaNACAIXACLIQUENOPONTO0EEMSEGUIDANOPONTO1ØPARECER¹ARETAQUECORRESPONDE¸PRIMEIRAEQUA¿»O.OMEIEESTARETADE2ETAPARA
nomear use RótuloNACAIXACLIQUENARETAEDIGITE2ETA
2EPITAOSPROCEDIMENTOSACIMAPARAREPRESENTARA2ETACORRESPONDENTEAEQUAção 2 do sistema. Represente os pontos P2 e Q2 e trace a reta por estes pontos
nomeando-a de Reta 2.
Pró Reitoria de Graduação - Núcleos de Ensino da UNESP
#AP6))p Educação Matemática
.ACAIXASELECIONEEquação e CoordenadasECLIQUEEMUMADASRETASPARA
OBTERAEQUA¿»OCORRESPONDENTE2EPITAPARAAOUTRARETA
Caso as retas se interceptam, o ponto de interseção será a única solução do sistema. Para obter tal solução com o Cabri:
3ELECIONE Ponto de IntersecçãoNACAIXAECLIQUENA2ETAEEMSEGUIDANA
Reta 2.
.ACAIXASELECIONEEquação e Coordenadas ECLIQUENOPONTOPARAOBTERTAL
solução.
8) Selecione ComentáriosNACAIXACLIQUENATELAEDIGITESistema Possível Determinado. Digite também, usando Comentários: o conjunto solução obtido nesse caso é {(1,2)}, ou seja, S={(1,2)}.
0ARACOLORIRASRETASBASTASELECIONARCor na caixa 11, selecionar a cor desejada e
EMSEGUIDACLICARNARETAQUEVOCÂQUERCOLORIR
Trigonometria no triângulo retângulo.
Público AlvoƒSÁRIEDO%NSINO-ÁDIO
Software: Cabri-Géomètre II.
759
1) #ONSTRU¿»OB¹SICADOISTRIºNGULOSRETºNGULOS
#ONSTRUIRUMARETARHORIZONTAL0ARA
isso, selecione Reta NACAIXACLIQUENATELAEDESLIZEOMOUSENAHORIZONTALTENTANDODEIXARARETAOMAISPERFEITAPOSSÅVELECLIQUENOVAMENTESOBREATELA0ARA
nomear a reta de r digite após a construção da reta a letra r ou, selecione Rótulo
NACAIXACLIQUESOBREARETAEDIGITEALETRARNACAIXADETEXTOQUEAPARECER¹
-ARCARPONTOSDISTINTOSSOBREARETARDAESQUERDAPARADIREITA0ARAISSOSELEcione Ponto sobre Objeto NACAIXACLIQUESOBREARETAREMLUGARESDISTINTOS
DA ESQUERDA PARA A DIREITA N»O MUITO DISTANTES
&EITO OS PONTOS SELECIONE
Rótulo NACAIXACLIQUESOBREOPRIMEIROPONTOQUECRIOUEDIGITEALETRA/NA
CAIXADETEXTOQUEAPARECER¹2EPITAESSEPASSOPARANOMEAROSOUTROSPONTOS
de A e A1.
#ONSTRUIRPORØEØASRETASSESPERPENDICULARES¸RETARRESPECTIVAMENTE0ARA
isso, selecione Reta Perpendicular NACAIXADESLIZEOMOUSEPARAARETARAPArecerá a frase “perpendicular a esta reta”. #LIQUESOBREELAECONDUZAOMOUSE
até o ponto A, aparecerá a frase “por este ponto”CLIQUESOBREELEØSSIMTER¹
feito a reta s. Para nomeá-la, basta digitar em seguida a letra s, ou, usar Rótulo.
Repita esse passo para criar a reta s1 e nomeá-la de s1.
-ARCARUMPONTO"SOBREARETASACIMADEØ0ARAISSOSELECIONE Ponto sobre Objeto NACAIXAECLIQUESOBREARETASDIGITE"LOGOEMSEGUIDAPARA
nomeá-lo.
4RA¿AR O SEGMENTO /" 0ARA ISSO SELECIONE Segmento NA CAIXA DESLIZE O
mouse para o ponto O, aparecerá a frase “este ponto”CLIQUE$EPOISV¹PARAO
PONTO"EQUANDOAPARECERAMESMAFRASECLIQUESOBREELE
-ARCAROPONTODEINTERSEC¿»ODESCOMOSEGMENTO/"0ARAISSOSELECIONE
Ponto de Intersecção NACAIXAECLIQUESOBREARETASEDEPOISSOBREOSEGMENTO/"ØPARECER¹UMPONTOSOBRES.OMEARESSEPONTODE"
#ONSTRUIROSTRIºNGULOS/Ø"/Ø"0ARAISSOSELECIONETriângulo na caixa 3,
CLIQUESOBREOSPONTOS/ØE"PARACONSTRUIRO’TRIºNGULOEDEPOISEM/Ø
E"PARAFAZEROSEGUNDO
/BTERAMEDIDADOSLADOSØ"USANDODistância e Comprimento NACAIXAØRRASTEOMOUSEPARAOPONTO"APARECER¹AFRASE“distância deste ponto”CLIQUE
Pró Reitoria de Graduação - Núcleos de Ensino da UNESP
760
sobre ele. Vá para o ponto A, e aparecerá a frase “a este ponto”,CLIQUEEMØ
Observação: Se necessário podemos mover o número obtido para uma posição
melhor da tela para isso basta selecionar Ponteiro na caixa 1 e clicar sobre o número (aparecerá a mensagem “este número”) e com o botão do mouse apertado
ARRASTARPARAUMLUGARADEQUADO)STOPODESERFEITOCOMRËTULOSTEXTOSEOUTRAS
medidas.
2EPITAMOPASSOPARAOBTERASMEDIDASDOSLADOSA1B1, AO, OA1, OB, OB1.
10) Selecione Marcar Ângulo NACAIXAECLIQUESOBREOSPONTOSØESOLTE
EM/
EEM"RESPECTIVAMENTE%SSEPASSOÁAPENASPARAFAZERUMAMARCANOºNGULO
ج"
-EDIROºNGULOج"0ARAISSOSELECIONEÂngulo NACAIXAECLIQUESOBREOS
PONTOSØ/E"RESPECTIVAMENTESER¹DADAAMEDIDAEMGRAUS
12) Selecione Comentários NACAIXACLIQUESOBREUMLOCALADEQUADODATELAE
DIGITENACAIXADETEXTOQUEAPARECER¹SENODEUMºNGULOAGUDO
13) Selecione Calculadora NA CAIXA CLIQUE SOBRE A MEDIDA DE Ø" APARECER¹ A
LETRAnAoNOVISORDACALCULADORACLIQUESOBREOSINALQUEINDICAADIVIS»ONA
CALCULADORAECLIQUESOBREAMEDIDADE/"APARECER¹ALETRAnBoNOVISORDACALCULADORA
CLIQUEEMAPARECER¹UMNÒMEROQUEÁORESULTADODESTADIVIS»O
#LIQUESOBREESTENÒMEROESEGURANDOOBOT»OARRASTEOPARAATELAABAIXO
DAFRASESENODEUMºNGULOAGUDOECLIQUEAPARECER¹ESCRITORESULTADOXXX
Selecione Ponteiro NACAIXADÂDOISCLIQUESSOBREESTAFRASEDELETEAPALAVRA
resultado e digite AB/OB =. Obtemos assim a (medida do cateto oposto)/(meDIDADAHIPOTENUSA
DOTRIºNGULO/Ø"RELATIVOAOºNGULOØ/"
Seno: Usando novamente CalculadoraNACAIXAEOBTENHAOVALORDEA1B1/
OB1= ....... CATETOOPOSTOHIPOTENUSAPARAOOUTROTRIºNGULO
ØRRASTEORESULTADOPARAATELA/BSERVEQUEOSVALORESCOINCIDEM)STOSEGUEDOFATOQUEOS
TRIºNGULOS Ø/" E Ø/" S»O SEMELHANTES PELO CASO ØØØ ºNGULO ºNGULO
ºNGULO
15) Selecione Comentários na caixa 10 e escreva sen(AOB)= _____ e em seguida
CLIQUESOBREOVALORDEAB/OB (incluir este valor no comentário).
Cosseno: Selecione Comentários NACAIXAECLIQUENATELAEMUMLUGARADEQUADOEESCREVA#OSSENO2EPITAAGORAACONSTRU¿»OFAZENDOASALTERA¿ÍES
NECESS¹RIASDEMODOAOBTEROSVALORESDE/Ø/"E/Ø/"nCATETOADJAcente)/hipotenusa”, e obtenha cos(AOB) = ____.
Tangente: Selecione Comentários na caixa 10 e escreva Tangente. Repita noVAMENTEACONSTRU¿»OFAZENDOASALTERA¿ÍESNECESS¹RIASDEMODOAOBTER
OSVALORESDEØ"/ØEØ"/ØCATETOOPOSTOCATETOADJACENTE
EOBTENHA
tg(AOB)= _____.
18) Selecione Ponteiro NACAIXAECLIQUENOPONTO"EMOVIMENTEOCOMOBOT»O
DOMOUSEAPERTADOPARACIMAEPARABAIXO
SEMPREACIMADARETAHORIZONTALE
OBSERVEOQUEOCORRECOMOSVALORESDOºNGULOSENØ/"
COSØ/"
ETGØ/"
Desta forma, podemos obter os valores de sen x, cos x e tg x para 00Xˆ
Pró Reitoria de Graduação - Núcleos de Ensino da UNESP
#AP6))p Educação Matemática
&IGURA#ONSTRU¿ÍESOBTIDASCOMO#ABRI'ÁOMÀTRE))
Circunferência, distância, ciclo trigonométrico.
#ONSTRUA UMA CIRCUNFERÂNCIA # COM CENTRO NO PONTO Ø E RAIO R 0ARA
ISSOMARQUEPRIMEIROOPONTOØSELECIONANDOPontoNACAIXAECLIQUESOBRE
OPONTODAGRADEQUEOREPRESENTAELOGOEMSEGUIDADIGITEØ$EPOISSELECIOne Edição NuméricaNACAIXAECLIQUENATELADIGITENACAIXADETEXTOQUE
aparecer, o valor do raio, ou seja, 2. Em seguida selecione Transferência de MedidasNACAIXACLIQUENOPONTOØENOVALORDADONAEDI¿»ONUMÁRICAISTOÁ
APARECER¹UMSEGMENTOPONTILHADOENT»ODÂUMCLIQUENATELAEAPARECER¹
UMPONTOQUENOMEAREMOSDE0ØGORASELECIONECircunferênciaNACAIXAE
V¹DIRECIONANDOOMOUSEPARAOPONTOØQUANDOAPARECER¸FRASEneste centro”
CLIQUEEEMSEGUIDAARRASTEOMOUSEPARAOPONTO0QUANDOAPARECER¸FRASE
“passando por este pontooDÂOUTROCLIQUEPARAOBTERACIRCUNFERÂNCIA3ELECIONE
Rótulo na caixa10 e nomeie a circunferência de C.
$ÂAEQUA¿»ODACIRCUNFERÂNCIA#PARAISSOSELECIONEEquação e Coordenadas na
CAIXADESLIZEOMOUSEPARAACIRCUNFERÂNCIA#QUANDOAPARECER¸FRASE“equação desta circunferência” CLIQUEØEQUA¿»OENCONTRADAFOI????????????????
-ARQUEUMPONTO0SOBRE#DIFERENTEDE0SELECIONEPonto sobre Objeto na
CAIXAARRASTEOMOUSEPARAACIRCUNFERÂNCIAEQUANDOAPARECE¸FRASE“nesta
circunferência”CLIQUEEDIGITE0$EPOISCALCULEADØ0
?????PARAISSOSELEcione Distância e Comprimento NACAIXAARRASTEOMOUSEPARAOPONTOØAPARECER¹¸FRASE“distância deste ponto”CLIQUE%MSEGUIDAARRASTEOMOUSEPARA
OPONTO0QUANDOAPARECER¸FRASE“a este ponto“CLIQUE#ALCULEADØ0
???/QUEVOCÂOBSERVOU??????????????0ORQUEISSOOCORREU ????????????
761
Público Alvo: 3a SÁRIEDO%NSINO-ÁDIO
Software: Cabri-Géomètre II.
Inserindo um sistema de eixos ortogonais (cartesiano) e pontos de grade Represente
os eixos x e y (ou Ox e Ou). Para isso selecione Mostrar Eixos na caixa 11. Na mesma
caixa selecione $EÚNIRŸ'RADEECLIQUEEMUMDOSEIXOS3EQUISERPODEMUDARACORDA
grade, para isso selecione CorNACAIXAESCOLHAACORPRETAECLIQUEEMALGUMPONTO
DAGRADEQUANDOAPARECERAFRASE“esta grade”.
Pró Reitoria de Graduação - Núcleos de Ensino da UNESP
762
#ONSTRUAUMACIRCUNFERÂNCIA#DECENTRO$
ERAIO$EPOISDETERMINEA
EQUA¿»ODE#????????????????
/BS1UANDOAPARECERNATELADO#ABRIAPERGUNTA1UALOOBJETO n%STEEIXOOU
GRADEoCLIQUEEMGRADE
-ARQUEUMPONTO-NOINTERIORDACIRCUNFERÂNCIA#UMPONTO.NOEXTERIORDE
#EUMPONTO0QUEPERTENCEA#
#ONSTRUAACIRCUNFERÂNCIA#COMCENTRONAORIGEMERAIO.OMEIEOPONTODO
centro da circunferência de O. Depois determine a equação de C2:_____________.
Obs: Quando aparecer na tela do Cabri a pergunta: Qual o objeto? “ponto ou
ponto O”CLIQUEEMPONTO/
Esta circunferência é chamada de ciclo trigonométrico.
#ONSTRUAUMACIRCUNFERÂNCIA#TANGENTE¸RETAY0ARAISSOTRACEPRIMEIROA
reta y = - 3, selecionando Reta NACAIXAECLICANDOEMDOISPONTOSDAGRADEQUE
TENHAMORDENADASIGUAISA$ETERMINEAEQUA¿»ODARETAUSANDOEquação e
Coordenadas NACAIXAARRASTEOMOUSENADIRE¿»ODARETAYQUANDOAPARECER¸FRASE“equação desta reta”CLIQUE$EPOISMARQUEUMPONTO1QUALQUER
SOBREARETAYPOREXEMPLO1
4RACEUMARETATPERPENDICULAR¸RETAY
=- 3 passando por Q. Selecione Reta Perpendicular na caixa 5 e arraste o mouse
NADIRE¿»ODARETAYQUANDOAPARECER¸FRASE“perpendicular a esta reta” cliQUEDEPOISARRASTEOMOUSEPARAOPONTO1EQUANDOAPARECER¸FRASE“por este
ponto”CLIQUE-ARQUEUMPONTO"QUALQUERSOBREARETATDIFERENTEDE13ELEcione CircunferênciaNACAIXAECLIQUENOPONTO"EDEPOISNOPONTO1$ÂAS
COORDENADASDE"B=( , ) EAEQUA¿»ODEC3: ___________________________.
Números Complexos
Público Alvo: 3aSÁRIEDO%NSINO-ÁDIO
Software: Cabri-Géomètre II.
O conjunto dos números complexos: C := {a+bi, a e b números reais}. Se z= a+bi
é um número complexo, o número a é chamado parte real de z e b é chamado parte
imaginária de z. Notação: Re(z) = a, Im(z) = b. Operações: Adição: (a+bi)+(c+di) =
(a+c) + (b+d)i; -ULTIPLICA¿»O (a+bi).(c+di) = (ac–bd)+(ad+bc)i , ∀ a+bi, c+di ∈ C.
I. Representação no plano complexo
0ODEMOSASSOCIARACADANÒMEROCOMPLEXOZABIUMPONTOP do plano cartesiano, de coordenadas a e b, isto é, PAB
%STEPLANONOQUALEST»OREPRESENTADOSOS
números complexos é denominado plano complexo ou plano de Argand-Gauss.
Vamos representar geometricamente o número complexo u = 6 + 1i = 6+i:
Represente os eixos cartesianos Ox e Oy e pontos de grade. Para isso selecione
Mostrar Eixos na caixa 11. Na mesma caixa selecione $EÚNIRŸ'RADEECLIQUEEMUM
dos eixos.
1) Na caixa 10 selecione ComentáriosCLIQUEPRËXIMODOEIXO/XEDIGITEn2EZ
o
NACAIXADETEXTOQUEAPARECER#LIQUEPRËXIMOAOEIXO/YEDIGITEn)MZ
o
2) Selecione Ponto NACAIXAEDÂUMCLIQUENATELADO#ABRINOPONTODAGRADE
QUECORRESPONDEA
3ELECIONEEquação e CoordenadasNACAIXAECLIQUE
NESSEPONTOPARAOBTERASCOORDENADAS
0RONTOONÒMEROCOMPLEXOUI
está representado.
Exercício2EPRESENTENOPLANOOSNÒMEROSCOMPLEXOSVWIET
I
I
????????3ELECIONERótuloNACAIXAECLIQUEEMCADAPONTOPARANO-
Pró Reitoria de Graduação - Núcleos de Ensino da UNESP
II. Interpretando geometricamente a soma de dois números complexos
Rotule a origem (0,0) do plano como O, para isso selecione Rótulo na caixa 10,
CLIQUESOBREAORIGEMEDIGITE/NACAIXADETEXTOQUEAPARECER0ODEMOSASSOCIARA
cada número complexo z = a + bi um único “vetor” com extremidade inicial no ponto
OORIGEMDOSISTEMADECOORDENADASCARTESIANASEEXTREMIDADEÞNALNOPONTOP(a,b).
Exercício: Calcule algebricamente o vetor soma de v + (2 - 3i) = ..............e represente geometricamente repetindo a construção anterior (por retas paralelas).
III. Conjugado de um número complexo
Dado um número complexo z = a+bi, o número complexo a-bi é chamado de conjugado de z e denotamos z = a-bi.
#ONSIDEREUI2EPRESENTEOVETORU%NT»O u ???????/BSERVEQUE u é o
SIMÁTRICODEUEMRELA¿»OAOEIXO/XOUEIXODAPARTEREAL2EZ
0ARAISSOSELECIONENACAIXASimetria AxialCLIQUENOVETORUENOEIXO2EZ
Exercício: Temos v = ____, w = ____ e se k = -2 + 3i., k = _____ Represente geometricamente v , w e k .
IV. Módulo
Dado um número complexo z = a + bi, chama-se módulo DEZEINDICASEPORn|z|”
o número real positivo dado por |z| = a 2 + b 2 .
#ALCULE ALGEBRICAMENTE \I\B????? 2EPRESENTE ESSE NÒMERO NO PLANO NA
tela do Cabri) e também o vetor associado. Agora, selecione Distância e ComprimentoNACAIXACLIQUENOVETORREPRESENTADOEOBTENHAAMEDIDADOSEGMENTO
nVETORo
1UALÁACONCLUS»O ?????????
763
2EPRESENTEOnVETORUIo0ARAISSOSELECIONEVetorNACAIXACLIQUEEM
SEGUIDANAORIGEM/ENOPONTO
.ACAIXASELECIONEComentáriosCLIQUE
PRËXIMAAEXTREMIDADEDOVETOREESCREVAnUIo0RONTOOVETORUIEST¹
representado.
2) Represente agora os “vetores w, v e t”.
2EPRESENTEOVETORnSoSOMADEUW0ARAISSOSELECIONENACAIXAReta Paralela CLIQUE NO VETOR nUo E NO PONTO DA EXTREMIDADE DO nVETOR Wo 2EPITA O
processo para o vetor “w”, ou seja, selecione Reta ParalelaNACAIXACLIQUENO
vetor w e no ponto da extremidade do “vetor u”. Use Ponto de Intersecção na
caixa 2 para obter o ponto de interseção P entre essas duas retas, clicando numa
e depois na outra. Use Equação e Coordenadas na CAIXAPARAOBTERASCOORdenadas desse ponto. Esconda as retas, usando Esconder/Mostrar na caixa 11 e
EMSEGUIDACLIQUESOBREASRETASQUEQUERESCONDER3ELECIONEVetor na caixa 3 e
obtenha o “vetor OP”. Este é o vetor s soma de u e w. Quais as coordenadas do
PONTO0ISTOÁDOPONTODEEXTREMIDADEDOVETORS 0????
ØGORACALCULEALGEBRICAMENTEUWI
I
?????????????????/
QUEVOCÂOBSERVA
#AP6))p Educação Matemática
MEARCADAUM1UAISS»OASCOORDENADASDOSNÒMEROSCOMPLEXOSQUEVOCÂACABOUDE
REPRESENTARNOPLANO V __,__), w = (__,__), t = (__ ,_ _).
Pró Reitoria de Graduação - Núcleos de Ensino da UNESP
V. Forma trigonométrica (ou polar)
Dado z = a + biAFORMATRIGONOMÁTRICADEZÁDADOPOR z = r(cosθ + isenθ), onde
r = |z|, cosθ =
a
b
e senθ =
|z|
|z|
#ONSIDEREONÒMEROCOMPLEXOZI*¹VIMOSQUE\Z\????2EPRESENTEZE
\Z\NATELADO#ABRI$EPOISMARCAREMEDIROºNGULOθFORMADOPELOnVETORZoE
o eixo Ox. Para isso selecione Marca de Ângulo NACAIXAEEMSEGUIDACLIQUE
NOSPONTOS
NESSAORDEM3ELECIONEÂnguloNACAIXAENOVAMENTECLIQUENESSESPONTOSNESSAORDEM/BTENHACOSθ = ____ e senθ = _____,
selecionando Calculadora NACAIXACLIQUEEMcosDEPOISNOVALORDOºNGULO
obtido anteriormente, nesse caso 53.1º, e em seguida em =, irá obter o cosθ).
Você pode arrastar esse resultado para a tela do Cabri, clicando no resultado e
mantendo o botão do mouse apertado para arrastar para a tela. Similarmente
obtenha senθØGORADETERMINE\Z\COSθISENθ)= ______.
764
Exercício2EPRESENTEGEOMETRICAMENTEONÒMEROCOMPLEXOZCOSoISENo).
Resultados e Discussão
)NICIALMENTEÁIMPORTANTEFAZERALGUMASCONSIDERA¿ÍES
/TRABALHOFOIDESENVOLvido com todas as classes de certa série de determinado período, e assim contou com
PROFESSORES MAIS DIRETAMENTE ENVOLVIDOS E OUTROS N»O TANTO EM GERAL PORQUE N»O
tinham disponibilidade de tempo para se dedicar mais diretamente ao projeto. A decisão de se trabalhar com todas as classes de uma série, em um determinado período,
DEVESEAUMAEXPERIÂNCIAANTERIORNUMAOUTRAESCOLAQUEAPLICAMOSUMPROJETODO
.%EQUEHOUVERECLAMA¿ÍESEQUESTIONAMENTOSDEALGUNSPAISEALUNOSDECLASSES
ONDEOPROJETON»OESTAVASENDODESENVOLVIDODOPORQUEELESN»OESTAVAMSENDOBENEÞCIADOSCOMOPROJETOGERANDOABORRECIMENTOSPARANËSEADIRE¿»ODEFORMAQUE
isso tem sido evitado. (2) No laboratório da escola havia 10 ou 12 computadores funcionando, para classes com mais de 30 alunos. (3) Em 2008, foi implantada nova Proposta
Curricular para o Estado de São Paulo e as escolas estaduais receberam material para a
implantação de tal proposta. A chegada desse material mudou um pouco a estrutura/
rotina da escola. Pode-se perceber certa apreensão por parte de alguns professores em
acompanhar o cronograma/material proposto, e assim, o projeto do NE foi desenvolvido acompanhando o mais próximo possível o programa/cronograma apresentado na
nova proposta curricular do Estado, e o plano de aula do professor.
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#AP6))p Educação Matemática
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.ESSASCONDI¿ÍESPROCUROUSEELABORARUMMATERIALROTEIROnDID¹TICOoQUETORNASSE
viável (com a colaboração dos bolsistas do NE) o uso do software Cabri dentro da realidade escolar. A intenção com o projeto tem sido mais de ajudar professores e alunos na
UTILIZA¿»ODERECURSOSDEINFORM¹TICANOENSINODE-ATEM¹TICADOQUENECESSARIAMENTE
REALIZAROBTERMATERIALDEPESQUISA0OISOQUETEMOSOBSERVADOÁQUEEMBORAEXISTAM
V¹RIASPESQUISASRELACIONADASAOUSODAINFORM¹TICANOENSINOOUSODETALRECURSODE
MODOAFAZERPARTEDODIAADIADAESCOLAAINDAEST¹LONGEDESERREALIDADEPELOMENOSNOQUESEREFERE¸-ATEM¹TICAEESCOLASESTADUAISDAREGI»O#ERTAMENTEPARAQUE
ISSOOCORRAOSPROFESSORESTER»OQUESAIRDASUAnzona de conforto” "ORBAE0ENTEADO
ETERTEMPOPARASEDEDICARPREPARARØLÁMDISSOACREDITAMOSQUEINFRAESTRUTURA
MAISADEQUADAEAEXISTÂNCIADEPELOMENOSUMAPESSOAPROÞSSIONALPARACOLABORAR
COMOPROFESSORNASATIVIDADESNOLABORATËRIOS»OCONDI¿ÍESIMPORTANTESPARAQUEISSO
se torne realidade.
Os roteiros de atividades apresentados podem, é claro, serem usados em outras séRIESN»OAPENASASQUEMENCIONAMOS0OREXEMPLOORELATIVO¸FUN¿»OAÞMPODESER
UTILIZADONASas e 3asSÁRIESCOMOREVIS»ODESSETËPICO4AMBÁMADAPTA¿ÍESPODEM
ser feitas de acordo com as classes a serem aplicadas e, obviamente, outros conteúdos
podem ser trabalhados no ensino médio com o uso do Cabri, além dos mencionados
nos roteiros.
Com o uso do Cabri em atividades/aulas no laboratório de Informática da escola foi
POSSÅVELDETECTARDIÞCULDADESDOSALUNOSNOENTENDIMENTODECERTOSCONCEITOSCONTEÒDOSQUEJ¹TINHAMSIDOTRABALHADOSEMSALADEAULACOMOPOREXEMPLOSISTEMASLINEARESRETASFUN¿»OAÞMCIRCUNFERÂNCIASEMESMOCOISASMAISSIMPLESCOMOQUADRANTES
coordenadas de um ponto, pontos sobre eixos) além de acrescentar alguns conteúdos,
QUEPORALGUMMOTIVON»OTINHAMSIDOABORDADOSEMSALACOMPLEMENTANDOAFORMA¿»ODOALUNOAQUIESTAMOSNOSREFERINDOMAISDIRETAMENTEANÒMEROSCOMPLEXOSQUE
PARAALGUMASCLASSESOÒNICOCONTATOQUETIVERAMFOIOTRABALHOROTEIRODEATIVIDADE
desenvolvido pelo projeto do NE no Laboratório de Informática, tendo em vista o arGUMENTODOPROFESSORDEQUEN»OTERIATEMPOPARATRATARDOASSUNTOEMSALAEASSIM
SERIAUMAFORMADEPELOMENOSOSALUNOSTEREMUMPEQUENOCONTATOCOMOTËPICO
No início os alunos em geral acham um pouco difícil trabalhar com o Cabri, e embora
tenham sido elaborados roteiros/atividades, de modo a não exigir do aluno familiariDADECOMO#ABRIAEXPERIÂNCIAMOSTROUQUEQUANTOMAISELESCONHECEMOSOFTWARE
MELHORÁODESENVOLVIMENTOØEXPERIÂNCIATEMMOSTRADOTAMBÁMQUENEMSEMPREOS
ALUNOSQUEAPRESENTAMMELHORDESEMPENHOEMAIORINTERESSENASAULASDE-ATEM¹TICA
no ,ABORATËRIODE)NFORM¹TICAS»OOSnMELHORESoALUNOSDADISCIPLINANASAVALIA¿ÍES
usuais).
Para desenvolver cada atividade/aula foram necessárias de uma a três aulas. No
caso da atividade de números complexos para as 3as séries do noturno, 2008, foram
necessárias três aulas no laboratório de informática para completar a atividade, assim
MESMONEMTODOSFORAMATÁOÞNAL2EGISTRAMOSENTRETANTOQUENOANOANTERIORATIVIDADESIMILARFOIAPLICADANAƒSÁRIEDIURNOEDOISPERÅODOSDEAULAFORAMSUÞCIENTES
/BSERVAMOS TAMBÁM QUE A ATIVIDADE DE sistemas lineares foi aplicada inicialmente
PARAUMACLASSEDEƒSÁRIENONOTURNOQUEAPRESENTOUBASTANTEDIÞCULDADENODESENvolvimento da mesma. Em seguida, a mesma atividade foi apresentada para as classes
de 1as séries, diurno - 2008, e os mesmos desenvolveram a atividade de forma bastante
TRANQUILATENDOUMËTIMOAPROVEITAMENTO
0ODESECONCLUIRAINDAQUEOIDEALÁTERMINARAATIVIDADENOMESMODIAESEPOSsível com aula dupla, pois a continuidade em uma outra oportunidade/aula pode não
SERT»OPRODUTIVAPRIMEIROPORQUEAPRËXIMAAULAENCONTROPODEDEMORARALGUNSDIAS
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para ocorrer, e segundo, as duplas/triplas de alunos em cada computador podem não
ser as mesmas.
Segundo relato dos bolsistas, muitos alunos, principalmente do noturno, apresentaRAMDIÞCULDADESSIGNIÞCATIVASEMATIVIDADESSIMPLESCOMOJ¹OBSERVADO
POREXEMPLO
marcar no plano cartesiano (tela do Cabri) um ponto de coordenadas inteiras. Alguns
ÞCAVAMOLHANDOEN»OSABIAMOQUEFAZER-ESMOCOMUMROTEIROBASTANTEDETALHADO
OSBOLSISTASERAMCONSTANTEMENTESOLICITADOSPELOSALUNOS1UANDOASDIÞCULDADESDOS
ALUNOSERAMDETECTADASPELOSBOLSISTASELESSEEMPENHAVAMEMSUPRIRTAISDIÞCULDADES FORNECENDO EXPLICA¿ÍES COMPLEMENTARES NA TELA DO COMPUTADOR OU NO QUADRO
BRANCOQUETINHADENTRODOLABORATËRIO0ARAALGUMASCLASSESDECIDIUSEAPLICARUMA
ATIVIDADEMAISSIMPLESSOBRECOORDENADASUSANDOOSOFTWARE"ATALHADOS"ICHOS"IXOSPARADEPOISRETORNAR¸SATIVIDADESCOMO#ABRI
%MBORAOTRABALHOTENHASIDODESENVOLVIDOSEMESTARMOSNASCONDI¿ÍESIDEAISUM
computador para cada aluno, todos os professores e alunos totalmente envolvidos,
AULASDUPLAS
PODESEOBSERVARCONCLUIRQUEADINºMICADOSOFTWAREEAVISUALIZA¿»ONA
TELADASCONSTRU¿ÍESFEITASPROPORCIONARAMUMAMBIENTEADEQUADOPARAOALUNOINTERAGIREAMENIZARSUASDIÞCULDADES¸SVEZESACUMULADAS
COMA-ATEM¹TICAESTANDO
de acordo com resultados parciais, ou mais conclusivos, apresentados em trabalhos já
existentes nessa direção (como, por exemplo, alguns dos mencionados na introdução).
Segundo observação do Vice-Diretor da escola, Prof. Antonio Ferdinando Scappa, a
FREQUÂNCIADOSALUNOS¸ESCOLA¸SSEXTASFEIRAS¸NOITEMELHOROUEMCOMRELA¿»O
aos anos anteriores e isso poderia ser em função do desenvolvimento do nosso projeto
no laboratório de Informática.
#OMPARANDO AS TURMAS DO DIURNO E NOTURNO PODESE OBSERVAR QUE OS ALUNOS DO
diurno demonstraram em geral mais facilidade para trabalhar com o computador e mais
habilidades no desenvolvimento das atividades.
&INALIZANDOAPRESENTAMOSORESULTADODEUMQUESTION¹RIODEAVALIA¿»OSOBREOPROjeto do Núcleo de Ensino, desenvolvido em 2008 na EE Profa Amira Homsi Chalella.
4ALQUESTION¹RIOFOIAPLICADONOÞNALDOANOPARAALGUMASCLASSESDOPERÅODODIURNO
QUEPARTICIPARAMDOPROJETON»OFOIPOSSÅVELAPLICARATODASASCLASSESQUETRABALHAMOS
TENDOEMVISTAOÞNALDOANOLETIVO
/QUESTION¹RIOFOIRESPONDIDOPORALUNOS
Questionário/respostas
1. O que você achou do projeto desenvolvido
2ESPONDERAMPOSITIVAMENTE«TIMOBOMSUPERINTERESSANTEMUITOLEGAL
2EGULAR.»OGOSTOU
2. Na sua opinião, o uso de softwares ajuda a compreensão de problemas matemáticos
3IM%MPARTE.»O
3. Você percebeu alguma melhora no seu desempenho em relação à disciplina
3IM%MPARTE.»O
O que você achou dos bolsistas que atuaram do projeto quanto ao ensino e quanto ao relacionamento com os alunos
0OSITIVAMENTELEGAISEXCELENTEMUITOBOMEDUCADOSINTELIGENTESEXPLIcam bem)
2EGULAR.EGATIVAMENTEDEVERIAMTERMAISPACIÂNCIAPARAENSINAR
5. As aulas do laboratório, dentro do projeto, foram relacionadas com os conteúdos
desenvolvidos em sala de aula e com a Nova Proposta Curricular
3IM%MPARTE.»O
Pró Reitoria de Graduação - Núcleos de Ensino da UNESP
2EFERÃNCIASŸŸ"IBLIOGR¼ÚCAS
"Ø,$).996),,Ø'2Ø'Ø,Atividades com o Cabri - Géomètre II. São Carlos:
EdUFSCAR, 2002.
"/2"Ø-#0%.4%Ø$/-'Informática na EducaçãoƒED"ELO(ORIZONTE
ØUTÂNTICAPV#OLE¿»O4ENDÂNCIASEM%DUCA¿»O-ATEM¹TICA
"2Ø3),-INISTÁRIODA%DUCA¿»O3ECRETARIADE%DUCA¿»O-ÁDIAE4ECNOLËGICAParâmetros Curriculares Nacionais%NSINO-ÁDIOq0ARTE)))#IÂNCIASDA.ATUREZA-ATEM¹TICAESUAS4ECNOLOGIAS"RASÅLIA-%#3EMTEC
"2Ø3), -INISTÁRIO DA %DUCA¿»O 3ECRETARIA DE %DUCA¿»O "¹SICA Orientações curriculares para o Ensino Médio#IÂNCIASDA.ATUREZA-ATEM¹TICAESUAS4ECNOLOGIAS
"RASÅLIA-%#3EBVP
"2Ø6)Ø./22/$2)'5%3-(7,Geometria Dinâmica: uma nova Geometria.
2EVISTADO0ROFESSORDE-ATEM¹TICA3»O0AULO3OCIEDADE"RASILEIRADE-ATEM¹TICAN
P
FANTI, E. L. C., SILVA, A. F. Informática e jogos no Ensino da Matemática))"IENALDA
3"-P.OTASDE-INICURSO3ALVADOR"Ø
'2Ø6).Ø-ØOs ambientes de geometria dinâmica e o pensamento hipotético-dedutivoF4ESE$OUTORADOEM)NFORM¹TICANA%DUCA¿»O
q5&2'30ORTO
Alegre. 2001.
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/QUESTION¹RIOREFERESEATODOOTRABALHOREALIZADODURANTEODESENVOLVIMENTODO
projeto em 2008, não avalia somente as atividades com o Cabri (pois outras atividades
FORAMREALIZADASCOMOUTROSSOFTWARESEJOGOS
MASELASOBVIAMENTEEST»OINCLUÅDAS
.OTEMOS QUE AVALIARAM POSITIVAMENTE O PROJETO E MAIS DE MANIFESTARAMSEFAVOR¹VEIS¸REAPLICA¿»OCONTINUA¿»ODOPROJETO.OTEMOSTAMBÁMQUEDOS
ALUNOSDODIURNO
QUERESPONDERAMOQUESTION¹RION»OTINHAMCOMPUTADOREMCASA
ØCREDITAMOSQUEAPORCENTAGEMNONOTURNODEVIASERAINDAMAIORUMAVEZQUEUSUALMENTE O PODER AQUISITIVO DOS ALUNOS DO NOTURNO TENDE A SER MENOR DO QUE OS DO
DIURNO
)SSOPODEJUSTIÞCAREMPARTEOMELHORDESEMPENHONASATIVIDADESREALIZADAS
no laboratório) no período diurno.
#AP6))p Educação Matemática
Você é favorável a uma reaplicação/continuação do projeto
3IM.»O
Quais são as suas sugestões para melhorar o desenvolvimento do projeto
6¹RIASSUGESTÍESFORAMDADASASMAISFREQUENTESFORAMASSEGUINTES
MAIS COMPUTADORES NO LABORATËRIO QUANTIDADE MAIOR DE MONITORESBOLSISTAS
mais verbas para os projetos desse tipo, colocar em todas as escolas.
8. O professor (da disciplina) relacionou as atividades desenvolvidas no laboratório
com sua aula na classe
3IM%MPARTE.»O
Você tem computador em casa
3IM.»O
Pró Reitoria de Graduação - Núcleos de Ensino da UNESP
,)-Ø%,ETALA Matemática do Ensino Médio2IODE*ANEIROVE#OLE¿»ODO0ROFESSORDE-ATEM¹TICAq3"-
3Ø.4*-O Cabri-Géomètre2EVISTADO0ROFESSORDE-ATEM¹TICA303"-N
P
3›/0Ø5,/%STADO
3ECRETARIADA%DUCA¿»OCaderno do Professor-ATEM¹TICA%NSINO-ÁDIOƒƒEƒSÁRIES3ECRETARIADA%DUCA¿»O#OORDENA¿»OGERAL3»O0AULO
SEE, 2008.
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