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Volume 4, Número 4, Ano 4, Julho 2011
Revista Pesquisa em Foco: Educação e Filosofia
ISSN 1983-3946
A LINGUAGEM MATEMÁTICA NA APRENDIZAGEM DA MÉDIA ARITMÉTICA
Elinaldo Coutinho Morais*
Marisa Rosâni Abreu da Silveira†
RESUMO: Este artigo faz uma abordagem teórica da linguagem matemática no estudo da Média
Aritmética, dando ênfase às dificuldades encontradas pelo aluno neste campo do saber. Outro ponto
abordado neste artigo diz respeito à formalização matemática neste estudo, ou seja, a tradução da
linguagem natural para a linguagem formal, fortemente presente na matemática escolar. Para a
concretização deste trabalho adotamos como suporte teórico os autores: Bicudo (2003), Changeux &
Connes (1991), Granell (2003), Machado (2005), Ponte (2006), Silveira (2005), Toledo & Ovalle
(1992) e Wodewotzki & Jacobini (2005). Mostramos que é possível superar essas dificuldades e para
tornar esta tarefa possível, o professor deve assumir papel fundamental na comunicação matemática,
trabalhando este tema no Ensino Fundamental e Médio, estando sempre disposto a ajudar o aluno na
superação de suas dificuldades.
PALAVRAS CHAVES: Linguagem Matemática; Estatística; Média Aritmética; Linguagem Formal.
ABSTRACT: This article is a theoretical approach of mathematical language in the study of
Arithmetic Mean, emphasizing the difficulties founded by students in this field of knowledge. Another
point addressed in this article concerns the mathematical formalization in this study, in other words,
the translation of natural language to formal language, with strong presence in school mathematics.To
accomplish this work we have adapted as a theoretical support to the authors: Bicudo (2003),
Changeux & Connes (1991), Granell (2003), Machado (2005), Ponte (2006), Silveira (2005), Toledo
& Ovalle (1992) and Wodewotzki & Jacobini (2005). Showed that it is possible to overcome these
difficulties and to make this task possible, the teacher should take key role in communicating
mathematics, working on this subject elementary in the high school, always willing to help students
overcome their difficulties.
KEYWORDS: Language Mathematics, Statistics, Arithmetic Mean, Formal Language.
*
Mestre em Educação Matemática pela Universidade Federal do Pará; Professor do Departamento de
Matemática e Informática da Universidade Estadual do Maranhão; Professor de Matemática no Ensino Médio da
Secretaria de Educação do Estado do Maranhão. Pesquisa financiada pelo PICD/UEMA no biênio março/2008março/2010.
†
Doutora em Educação; Professora Adjunta do Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e
Matemáticas do Instituto de Educação Matemática e Científica da Universidade Federal do Pará.
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1 INTRODUÇÃO
Este trabalho tem como função analisar a linguagem matemática na aprendizagem da
média aritmética. Esta linguagem que se apresenta de maneira formal, em muitos casos, leva o
aluno à suas primeiras dificuldades no entendimento de diversos problemas matemáticos.
Bicudo (2003, p.43) se reporta a essas dificuldades da seguinte maneira: “Conversemos com
professores de matemática. Não são raras as vezes em que relatam as dificuldades de seus
alunos em entender o que os problemas “pedem”, ou em transformar essa compreensão numa
sentença matemática clara e válida.” Essas dificuldades produzidas pela linguagem
matemática (refiro-me à linguagem escrita formalizada) são freqüentes em todos os níveis
escolares. Segundo Bicudo (2003, p.43-44):
Conversemos com alunos de cursos de Licenciatura e de Bacharelado em
Matemática. É muito comum descreverem dificuldades que enfrentam ao
deparar-se com uma Matemática formalizada; os tropeços para a
demonstração de resultados – por vezes tão claros no enunciado que parecem
prescindir de uma prova formalizada – ou para a elaboração de sentenças, ou
mesmo para a verificação – informal – da validade de proposições.
Vários estudiosos estão debruçados em pesquisas no intuito de descobrir processos de
melhorar a aprendizagem matemática, entretanto não se pode esconder dadas as inúmeras
pesquisas e relatos de alunos, as dificuldades na aprendizagem, matemática. Segundo a
mesma autora (p.44): “Várias são as origens dessas dificuldades mas, certamente, a linguagem
matemática desempenha, quanto a isso, papel significativo.”
2 VÁRIOS OLHARES SOBRE A MATEMÁTICA
Acreditamos que estes “vários olhares” sobre a matemática seja um dos grandes “nós”
na aprendizagem matemática. Estes vários olhares, várias formas de ver a Matemática nos
conduz a “(...) três grandes correntes do pensamento matemático, cada uma das quais
pretendendo fundamentar a Matemática, sua produção, seu ensino, são o Logicismo, o
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Formalismo e o Intuicionismo” (MACHADO, 2005, p.26). Um olhar a que nos referiremos é
o Formalismo. Atentar para a Matemática Formal é ver o ensino moderno. O ensino e
aprendizagem estão pautados na formalização matemática, pois esta se reporta ao
conhecimento mais elaborado, mais refinado, expondo demonstrações e provas. “(...) É na
demonstração, ou seja no nascimento da prova que surge a oportunidade da criação
matemática. A demonstração feita pelo professor não é suficiente como técnica de ensino, ela
sozinha não fornece uma explicação” (SILVEIRA, 2005, p.16). Exigir que professores sejam
logicistas, formalista ou intuicionistas é reduzir o ensino da Matemática e negar a existência
de grandes nomes na Matemática. “Wittgenstein rejeita as três posições filosóficas e vê a
matemática como resultado de práticas humanas” (SILVEIRA, 2005, p. 31). Representando o
Logicismo podemos citar Frege, Russel, Leibniz. Representando o formalismo cito Kant,
Hilbert. Na defesa do intuicionismo Morris Kline advoga seu pensamento:
Em artigo de 1970, Morris Kline, debatendo-se contra a implantação do que
foi a chamada Matemática Moderna, defende que a visão da abordagem
dedutiva formal como sendo a essência da Matemática é equivocada. Kline
pretende, com sua possante retórica e apoiado em exemplos históricos
extremamente esclarecedores, restabelecer o primado da intuição nos
processos de criação do conhecimento matemático, advogando para que essa
atenção à intuição seja levada às salas de aula como proposta pedagógica (
BICUDO, 2003, p.60-61).
Vemos que esta luta entre Logicistas, Formalistas e Intuicionistas já perdura por
muitos anos, tendo sido motivo de debates entre grandes matemáticos. Então, não deve ser
questão simples para os professores de Matemática, decidirem-se por uma das três correntes
filosóficas.
3 ENSINANDO E APRENDENDO
Uma das grandes dificuldades do professor é superar as dificuldades que se
apresentam em sua prática pedagógica. E uma destas dificuldades está na construção de
conceitos por parte do aluno usando a linguagem matemática. Portanto, o professor precisa
melhorar sua comunicação com o aluno.
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Quando o professor conduz o aluno a fazer conjeturas, a aula torna-se
enriquecida, pois é no diálogo que se abre um horizonte de sentidos no qual
o aluno pode construir o seu próprio conceito do objeto, com julgamentos
justos, e o professor pode mostrar como sabe o que sabe. Assim, enquanto o
aluno vai construindo seu conceito, o professor vai aprimorando a maneira
de expor o seu. (SILVEIRA, 2005, p.16).
Esta construção de conceitos será abordada usando a estatística como ferramenta
matemática.
No currículo de Matemática, a Estatística é um tema relativamente recente.
As abordagens usuais deste tópico enfatizam os aspectos computacionais e
procedimentais: como se calcula a média ou o desvio padrão, como se faz
um gráfico de barras, um gráfico circular ou um diagrama de caule e folhas.
Como conseqüência, a Estatística pode tornar-se um dos temas de
Matemática mais aborrecidos de ensinar e de aprender. (PONTE et al, 2006,
p.91)
Acreditamos que Ponte se expressa com certo exagero quando diz que “a Estatística
pode tornar-se um dos temas de Matemática mais aborrecidos de ensinar e de aprender.” No
entanto, retrata-se com os amantes da Estatística ao dizer:
No entanto, este tema matemático desempenha um papel essencial na
educação para a cidadania. Na verdade, a Estatística constitui uma
importante ferramenta para a realização de projetos e investigações em
numerosos domínios, sendo usada no planejamento, na recolha e análise de
dados e na realização de inferências para tomar decisões (PONTE et al,
2006, p.91).
4 UMA PRIMEIRA FORMA DE VER A MÉDIA ARITMÉTICA
Ao estudarmos a Média Aritmética, bem como qualquer outro conteúdo matemático, o
professor está interessado em que o aluno construa o seu conceito sobre o tema estudado.
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O aluno constrói seu conceito matemático ao estar inserido nos jogos de
linguagem e quando trabalha com sentidos intersubjetivos dados ao objeto.
Desta relação do aluno com o outro, com o professor, com o colega, com o
contexto da sala de aula e da relação com a própria disciplina, nascem
condições para o movimento de ação do seu conceito matemático.
(SILVEIRA, 2005, p.24 - 25)
A seguir, apresentaremos um estudo da Estatística, onde a linguagem matemática é
fortemente aplicada. Usaremos esse estudo para mostrar a influência dessa linguagem na
aprendizagem da Média Aritmética.
Seja X uma variável que representa as notas de um estudante em determinada
disciplina. Por exemplo, se tomarmos como notas os dados 7,0; 9,0; 8,0; 10,0 e se desejarmos
calcular a nota média dessas notas ou a média aritmética dessas notas, deveremos assim
proceder da seguinte maneira: somar todas as notas, tomar o resultado e dividir pela
quantidade de dados, que neste caso é quatro. Em linguagem matemática, assim fica:
MA =
7  9  8  10
34
 MA =
 MA= 8,5.
4
4
Percebemos que a comunicação matemática foi realizada e dificilmente o aluno teria
dificuldades para entender o que foi proposto, que neste caso, é o entendimento sobre o que
seja a média aritmética. No entanto, aqui já aparecem alguns termos que não fazem parte do
cotidiano do aluno. São estes: variável, representada pela letra X, e a sigla MA que
propositadamente aqui representa a média aritmética.
Vejamos agora que esta comunicação pode ser feita de outra forma, usaremos uma
Linguagem Matemática Formal, diferente da apresentada anteriormente.
Em Linguagem Formal, usa-se uma simbologia para identificação da média aritmética.
Esta será identificada, segundo Toledo (1992), por x . Observe que temos um traço horizontal
sobre uma letra x e esta simbologia é lida como x barra. A introdução de tal simbologia, por si
só, acarreta dificuldades no entendimento do conteúdo matemático. Por que usar um x com
traço em cima?
Resolvendo então a questão proposta em Linguagem Formal: daremos nomes às
variáveis, que são as notas. Neste caso, 4 notas. Chamaremos então 4 de n e representará o
tamanho da amostra que será pesquisada. Desse modo 7,0 será chamado
chamado
x;
2
8,0 será chamado
x;
3
10,0 será chamado
x.
4
x;
1
9,0 será
Organizando estes dados,
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x = 7,0; x = 9,0; x = 8,0; x = 10,0. Procedendo
x x x x .
então ao cálculo da média aritmética, teremos: x =
podemos reescrever da seguinte maneira:
1
2
3
1
2
4
3
4
n
Substituindo as notas e o valor de n na fórmula da média, teremos a mesma situação
anterior, que é MA =
7  9  8  10
34
 MA =
 MA = 8,5.
4
4
Observamos que a fórmula pode ser tratada da seguinte maneira, usando um
tratamento ainda mais formal. Se tomarmos x =
x x x x
1
2
3
n
4
, perceberemos que o
numerador é uma soma, o que nos permite reescrevê-lo em forma de somatório, logo x =
4
 x . Percebemos aqui o surgimento de uma fórmula estatística, com toda uma notação e
i
1
4
simbologia própria da estatística. Esta simbologia e linguagem se não for bem comunicada
poderá acarretar dificuldades no processo de aprendizagem no estudo da média aritmética.
Aqui aparecem termos totalmente desconhecidos do repertório de conhecimentos do aluno: x
, n,
x (i= 1, 2, 3, 4). O surgimento de termos e símbolos novos ao aluno remete uma nova
i
postura do professor, induzindo-o a aprimorar a sua comunicação matemática, dando grande
ênfase na linguagem matemática.
Na Estatística, (...) A sua linguagem e conceitos são utilizados em cada
passo do dia-a-dia para apoiar afirmações em domínios como a saúde, o
desporto, a educação, a ciência, a economia e a política. Todo o cidadão
precisa saber quando um argumento estatístico está ou não a ser utilizado
com propriedade. (PONTE et al, 2006, p.91).
5 UMA SEGUNDA FORMA DE VER A MÉDIA ARITMÉTICA
Imaginemos agora, como na situação anterior, uma situação mais abrangente,
contendo as notas de alguns alunos de uma determinada turma. Seja X a variável que
representa essas notas. As notas são: 7,0; 9,0; 8,0; 10,0; 7,0; 6,0; 7,0; 8,0; 6,0; 9,0;
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. Por exemplo, se desejamos calcular a nota média dessas notas ou a média aritmética
dessas notas deveremos assim, proceder como no caso anterior e teremos x =
7  9  8  ...  6  9
77
 x =
 x = 7,7
10
10
Na verdade, o que fizemos foi somar todas as notas e dividir pela quantidade total de
notas.
escrever o
Da mesma forma, podemos usar uma Linguagem Formal para
entendimento sobre a média, observando que estas notas apresentam algumas repetições.
Chamaremos estas repetições de freqüências e reorganizaremos os dados assim:
3;
x
f
= 9,
2
2
= 2;
x
3
f
= 8,
3
= 2;
x
4
f
= 10,
4
= 1;
x
5
= 6;
f
5
x
1
= 7,
f
1
=
= 2. Podemos então
efetuar ao cálculo da média aritmética da seguinte forma:
7  3  9  2  8  2  10  1  6  2
x =
3  2  2 1 2
 x =
21  18  16  10  12
77
 x =
10
10
 x = 7,7.
O procedimento matemático pode ser apresentado de forma formal da seguinte
maneira:
x =
x  f  x  f  x  f  x  f  x  f 
1
2
1
f
3
2
1

f
2

4
3
f
3

f
4

4
f
5
5
5
Se observarmos novamente para o numerador desta fração, veremos com clareza que
temos uma soma de produtos, e o denominador uma soma de termos. Podemos então
reescrever, usando uma matemática formal da seguinte forma:
5
 x f
i
x =
i 1
i

5
f
i 1
i
Se tivermos certa familiaridade com a notação estatística, poderemos escrever x =
 x  f
f
i
i

. Lembrando que
f
i
é a soma das freqüências ou repetições das notas e,
i
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portanto pode ser entendido como o tamanho da amostra estudada, comumente representada
pela letra n. Mais uma vez podemos reescrever para x =
 x  f
i
i

n
Percebemos novamente que a comunicação matemática foi realizada e, no entanto, as
dificuldades para o aluno no que diz respeito ao entendimento sobre o que é a média
aritmética parecem ter sido aumentadas. Este grau de dificuldade aumentado dá-se ao fato de
que acontece a introdução de novos elementos na Linguagem Matemática. No entanto, para se
ter um estudo completo sobre o tema proposto é necessário que o aluno entre em contato com
esta formalização estatística ou a matemática formal presente na estatística.
Vejamos, por exemplo, que a fórmula x =
 x  f
i
n
i
 , que possui uma aplicação
elementar, pode apresentar-se como peça de difícil demonstração ou prova para o aluno que
se impressionar com a sua aparência, com a Linguagem Matemática usada para escrevê-la.
Aqui, trazemos de volta a questão: É conveniente estudar a Média Aritmética apenas
aplicando a fórmula acima? E o caminho para se chegar à construção dessa fórmula? Não
precisa o aluno tomar conhecimento desse caminho? A construção dessa fórmula obedece à
Matemática Formal. Se for necessário que o aluno tome conhecimento desse caminho, então o
estudo da média aritmética não pode prescindir da Linguagem Matemática usada na
Matemática Formal.
(...) o conhecimento matemático é profundamente dependente de uma
linguagem específica, de caráter formal, que difere muito das linguagens
naturais. A característica dessa linguagem é tentar abstrair o essencial das
relações matemáticas, eliminando qualquer referência ao contexto ou à
situação, ao ponto de na linguagem algébrica – considerada como a autêntica
linguagem da matemática -, os números, em si mesmo abstratos, serem
substituídos por letras, que têm um caráter
muito mais genérico.
(GRANELL, 2003, p.260)
Segundo a mesma autora (p.260): “A linguagem matemática envolve a tradução da
linguagem natural para uma linguagem universal formalizada.” Percebemos na fórmula
apresentada para a média aritmética a presença dos símbolos
x, f , 
i
i
e do próprio x ,
isto nos leva a pensar na abstração presente na matemática. Dando importância à abstração,
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Granell (2003, p.259) se reporta dizendo: “(...) Como se sabe, alguns conceitos matemáticos,
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como os números imaginários, por exemplo, foram definidos e demonstrados muito antes de
ser encontrada alguma aplicação concreta para eles.”
A linguagem matemática tem sido motivo de estudo de muitos pesquisadores. Granell
(p.263) faz alguns questionamentos do tipo: “a) A matemática é apenas uma linguagem? Ou
melhor: em que sentido é linguagem?; a matemática como uma linguagem formal e autônoma
implica a necessidade de algum significado que não seja formal, algum vínculo com a
realidade? b) A maioria das pessoas carece realmente da capacidade de abstração necessária
para dominar linguagens formais? Ou o processo de ensino adotado é inadequado?”
Reportando-se à linguagem matemática Alain Connes e Jean-Pierre Changeux (1991, p.3940) também conversam sobre esta questão. JPC (1991, p.39) diz: “(...) Tu concordas que a
matemática constitui uma linguagem e que existem várias linguagens elementares..talvez a
matemática constitua a síntese aprimorada de todas estas linguagens, uma espécie de
linguagem universal...” AC (1991, p.40) responde: “(...) É certo que a matemática é usada
como uma linguagem por outras ciências, mas não saberíamos, sem cometer um grave erro,
reduzi-la apenas a uma linguagem.”
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Concordamos com Bicudo (2005) de que existe atualmente uma tendência da
Estatística em se fazer presente nos livros didáticos do ensino fundamental e médio, bem
como a exigência de diversos conteúdos serem abordados nesses níveis de ensino. Esta
tendência se faz pela própria exigência do mundo moderno. A Estatística está presente no
cotidiano das pessoas e se constitui como ferramenta de trabalho para muitos profissionais.
Então, entender e aprender a estatística, em particular a média aritmética, é não vê-la
dissociada da matemática e perceber nela toda uma linguagem matemática que precisa ser
traduzida e compreendida pelos alunos para que estes possam usufruir destes conhecimentos
no seu dia-a-dia.
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REFERÊNCIAS
BICUDO, Maria Aparecida Viggiani, Garnica, Antonio Vieira Marafioti. Filosofia da
Educação Matemática. – 3. ed. – Belo Horizonte: Autêntica, 2003.
CHANGEUX, Jean-Pierre, Aalin Connes. Matéria Pensante. Tradução de Carlos Lourenço e
Ana Paula Oliveira. Revisão científica de Augusto J. Franco de Oliveira. -1. ed. - Portugal:
Gradiva – Publicações,1991.
GOMEZ-GRANELL, Carmem. A aquisição da linguagem matemática: símbolo e
significado. In: TEBEROSKY, Ana. TOLCHINSKY, Liliana. (Orgs.). ALÉM DA
ALFABETIZAÇÃO: a aprendizagem fonológica ortográfica, textual e matemática. São
Paulo: Editora ática, 2003, p. 257-282.
MACHADO, Nilson José. Matemática e realidade: análise dos pressupostos filosóficos
que fundamentam o ensino da matemática. - 6 ed. – São Paulo: Cortez, 2005
PONTE, João Pedro da. Brocardo, Joana. Oliveira, Hélia. Investigações Matemáticas na
sala de aula.- 1.ed. , 2ª reimp. – Belo Horizonte: Autêntica, 2006.
SILVEIRA, Marisa Rosâni Abreu da. Produção de sentidos e construção de conceitos na
relação ensino/aprendizagem da matemática. Tese (doutorado). Orientadora Nadja Mara
Amilibia Hermann. Porto Alegre : UFRGS, 2005.
TOLEDO, Geraldo Luciano. OVALLE, Ivo Izidoro. Estatística Básica. 2. (10ª tiragem1992). Ed. São Paulo: Atlas, 1985.
WODEWOTZKI, Maria Lúcia Lorenzetti, Jacobini, Otavio Roberto. O Ensino de Estatística
no Contexto da Educação Matemática. IN: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani, Borba,
Marcelo de Carvalho. Educação Matemática: pesquisa em movimento. – 2. ed. Revisada –
São Paulo: Cortez, 2005.
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