Lista de Exercı́cios de Análise na Reta I
1. Sejam A, B, C conjuntos quaisquer. Mostre que
(a) A ∩ A = A
(b) A ∪ A = A
(c) A ∩ B = B ∩ B
(d) A ∪ B = B ∪ B
(e) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(f) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(g) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(h) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
2. Mostre que os conjuntos A ∩ B e A − B são disjuntos e A = (A ∩ B) ∪
(A − B).
3. Se A, B, C são conjuntos quaisquer, mostre que:
(a) A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C).
(b) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C).
4. Mostre que A ⊂ B se e somente se A ∩ B = A.
5. Mostre que o conjunto D dos elementos que pertencem ou a A ou a B
mas não a ambos é dado por D = (A − B) ∪ (B − a).
6. Mostre que o conjunto D, definido no exercı́cio anterior, também pode
ser escrito como D = (A ∪ B) − (A ∩ B)
7. Se B ⊂ A, mostre que B = A − (A − B).
8. Se A e B são conjuntos quaisquer, mostre que A ∩ B = A − (A − B).
9. Se {A1 , A2 , · · · , An } é uma coleção de conjuntos e E é um conjunto
qualquer, mostre que
E∩
n
[
j=1
Aj =
n
[
(E ∩ Aj ) e E ∪
j=1
n
[
j=1
1
Aj =
n
[
(E ∪ Aj ).
j=1
10. Se {A1 , A2 , · · · , An } é uma coleção de conjuntos e E é um conjunto
qualquer, mostre que
E∩
n
\
Aj =
j=1
n
\
(E ∩ Aj ) e E ∪
j=1
n
\
Aj =
j=1
n
\
(E ∪ Aj ).
j=1
11. Se {A1 , A2 , · · · , An } é uma coleção de conjuntos e E é um conjunto
qualquer, mostre que
E−
n
\
j=1
Aj =
n
[
(E − Aj ) e E −
j=1
n
[
Aj =
j=1
n
\
(E − Aj ).
j=1
12. Se B1 , B2 são subconjuntos de B com B = B1 ∪ B2 e A um conjunto
qualquer, mostre que
A × B = (A × B1 ) × (A × B2 ).
13. Seja f : A → B e E, F ⊂ A. Mostre que
(a) Se E ⊂ F então f (E) ⊂ f (F ).
(b) f (E ∩ F ) ⊂ f (E) ∩ f (F ).
(c) f (E ∪ F ) = f (E) ∪ f (F ).
(d) f (E − F ) ⊂ f (E).
14. Mostre que f : A → B é injetiva se e somente se possui inversa à
esquerda.
15. Mostre que f : A → B é sobrejetiva se e somente se possui inversa à
direita.
16. Mostre que a composição de duas funções bijetoras é ainda uma função
bijetora.
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