Estatística
4 - Variáveis Aleatórias
Unidimensionais
Prof. Antonio Fernando Branco Costa
e-mail: [email protected]
Página da FEG: www.feg.unesp.br/~fbranco
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS
Variável Aleatória é uma Função que
associa um número real a cada Evento
X:S
R
1) Experimento : jogar 1 dado
Variável Aleatória: X = “ o dobro do número obtido
menos 1”
X : {1, 2, 3, 4, 5, 6}
{1, 3, 5, 7, 9, 11}
P(X) : R
[0, 1]
x
P(x)
1
1/6
3
1/6
5
1/6
7
1/6
9
1/6
11
1/6
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS
1) Experimento : jogar 1 dado
Variável Aleatória: X = “ o dobro do número obtido
menos 1”
X : {1, 2, 3, 4, 5, 6}
{1, 3, 5, 7, 9, 11}
P(X) : R
[0, 1]
x
P(x)
1
1/6
3
1/6
5
1/6
7
1/6
9
1/6
11
1/6
  E ( X )   xi P(xi )  1(1 / 6)  3(1 / 6)  ...  11(1 / 6)
i
  E( X )  6
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS
x
P(x)
1
1/6
3
1/6
5
1/6
7
1/6
9
1/6
11
1/6
  E( X )  6
 2 ( X )   ( xi   ) 2 P(xi )
i
 2 ( X )  (1  6) 2 (1/ 6)  (3  6) 2 (1/ 6)  ...  (11  6) 2 (1/ 6)
 ( X )  70 / 6  3,4
Exemplo de Distribuição Acumulada - Caso Discreto
Experimento : jogar um dado e observar face superior
v. a.
X = dobro do número que sair menos 1
x
1
3
5
7
9
11
P(x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
F(x)
0
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
1
intervalos
x<1
1  x < 3
3  x < 5
5  x < 7
7  x < 9
9  x < 11
x  11
Exemplo:Um jornaleiro precisa definir o número de
jornais a serem comprados por dia. Do histórico de
muitos dias de vendas obteve-se a seguinte Tabela
x
0
1
2
3
4
5
P(x)
0,05
0,1
0,15
0,2
0,3
0,2
X:Número de jornais vendidos em um dia
Cada jornal custa $5 e é vendido por $7
Y:Número de jornais a serem comprados por dia
demanda
compra
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
-5
-10
-15
-20
-25
2
-3
-8
-13
-18
0
4
-1
-6
-11
0
0
6
1
-4
0
0
0
8
3
0
0
0
0
10
Tabela de Ganho-Prejuízo-variável Z
x
0
1
2
3
4
5
P(x)
0,05
0,1
0,15
0,2
0,3
0,2
X:Número de jornais vendidos em um dia
demanda
compra
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
-5
-10
-15
-20
-25
2
-3
-8
-13
-18
0
4
-1
-6
-11
0
0
6
1
-4
0
0
0
8
3
0
0
0
0
10
Tabela de Ganho-Prejuízo-variável Z
demanda
compra
1
2
3
4
5
0,05
0
0,1
1
0,15
2
0,2
3
0,3
4
0,2
5
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,95
0,1
0,1
0,1
0,1
0
0,85
0,15
0,15
0,15
0
0
0,7
0,2
0,2
0
0
0
0,5
0,3
0
0
0
0
0,2
Tabela de Probabilidades
demanda
compra
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
-5
-10
-15
-20
-25
2
-3
-8
-13
-18
0
4
-1
-6
-11
0
0
6
1
-4
0
0
0
8
3
0
0
0
0
10
Tabela de Ganho-Prejuízo
demanda
compra
1
2
3
4
5
0,05
0
0,1
1
0,15
2
0,2
3
0,3
4
0,2
5
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,95
0,1
0,1
0,1
0,1
0
0,85
0,15
0,15
0,15
0
0
0,7
0,2
0,2
0
0
0
0,5
0,3
0
0
0
0
0,2
Tabela de Probabilidades
z
-20
-13
-6
1
8
P(z)
0,05
0,1
0,15
0,2
0,5
  $1
Tabela de Ganho-Prejuízo para Y=4
  E ( Z )   zi P(zi )  20(0,05)  13(0,1)  ...  8(0,5)
i
y
1
2
3
4
5
E(Z)
1,65
2,6
2,5
1
-2,6
Tabela para a tomada de decisão
demanda
compra
1
2
3
4
5
0,05
0
0,1
1
0,15
2
0,2
3
0,3
4
0,2
5
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,95
0,1
0,1
0,1
0,1
0
0,85
0,15
0,15
0,15
0
0
0,7
0,2
0,2
0
0
0
0,5
0,3
0
0
0
0
0,2
0,01 0,01 0,05 0,05 0,12 0,15 0,25
Dem
0
Compra
1 -5
2 -10
3 -15
4 -20
5 -25
6 -30
7 -35
8 -40
9 -45
10 -50
Dem
Compra
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
4
5
0,2
6
0,1 0,05 0,01
1
2
7
8
9 10
2
-3
-8
-13
-18
-23
-28
-33
-38
-43
4
-1
-6
-11
-16
-21
-26
-31
-36
6
1
8
-4
3 10
-9 -2
5 12
-14 -7
0
7 14
-19 -12 -5
2
9 16
-24 -17 -10 -3
4 11 18
-29 -22 -15 -8 -1
6 13 20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,01
0,99
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,01
0,01
0,98
0
0
0
0
0
0
0
0
0,01
0,01
0,05
0,93
0
0
0
0
0
0
0
0,01
0,01
0,05
0,05
0,88
0
0
0
0
0
0
0,01
0,01
0,05
0,05
0,12
0,76
0
0
0
0
0
0,01
0,01
0,05
0,05
0,12
0,15
0,61
0
0
0
0
0,01
0,01
0,05
0,05
0,12
0,15
0,25
0,36
0
0
0
0,01
0,01
0,05
0,05
0,12
0,15
0,25
0,2
0,16
0
0
0,01
0,01
0,05
0,05
0,12
0,15
0,25
0,2
0,1
0,06
0
0,01
0,01
0,05
0,05
0,12
0,15
0,25
0,2
0,1
0,05
0,01
Z
-30
-23
-16
-9
-2
5
12
Y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P(Z)
0,01
0,01
0,05
0,05
0,12
0,15
0,61
E(Z)
1,93
3,79
5,3
6,46
6,78
6,05
3,57
-0,31
-4,89
-9,82
Demanda
0
1
2
3
4
5
6 ou +
2,9
8,5
8,5
9,9
1,5
11,3
1,5
7,8
7,1
6,4
6,54
Z
-30
-23
-16
-9
-2
5
12
P(Z)
0,01
0,01
0,05
0,05
0,12
0,15
0,61
5
-25
12
-2
512
-25
12
-2
12
12
512
125
512
-30
12
-30
12
12
-2
12
5-2
125
512
125
12
12
-2
12
12
512
-25
12
-2
-2
12
12
-2
12
12
512
-25
12
-2
12
12
12
512
125
12
12
512
-95
12
-9
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
-9
12
12
-9
-9
12
12
-9
-9
12
12
-9
-2
12
-2
12
12
12
12
12
12
12
12
-9
12
12
-9
12
12
512
-9
12
-9
12
12
12
12
-2
12
12
-2
512
-25
12
-2
-2
12
5
-2
12
12
12
5
-2
12
5
12
12 -25
512 12
-2
125
12
12
-23
12
12
12
12
-23 12
12
12
-16
12
12
12
12 -2
-16
12
12
12
-2
512 12
12
5
12
12
12
12
512
125
12
12
12
12
12
12
12
12
-2
12
5-2
5
Demanda
0
1
2
3
4
5
6 ou +
Z
-30
-23
-16
-9
-2
5
12
P(Z)
0,01
0,01
0,05
0,05
0,12
0,15
0,61
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-30
-23
-16
-9
-2
5
12
Exemplo:Um jornaleiro precisa definir o número de
jornais a serem comprados por dia. Do histórico de
muitos dias de vendas obteve-se a seguinte Tabela
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P(x)
0,01
0,01
0,05
0,05
0,12
0,15
0,25
0,2
0,1
0,05
0,01
X:Número de jornais vendidos em um dia
Cada T jornais custam $(5T+2) e é vendido por $8