O ARCO CAPAZ VIA NÚMEROS COMPLEXOS
Funções Analı́ticas I
MATEMÁTICA — DCET — UESC
Humberto José Bortolossi
http://www.arbelos.hpg.com.br/
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Introdução
Vamos demonstrar que o conjunto de pontos que satisfazem a equação
z−a
= θ,
arg
z−b
onde a e b são números complexos e θ é um ângulo (todos fixos), é o arco
capaz de ângulo θ sobre o segmento de reta com extremidades a e b, isto é,
o lugar geométrico dos pontos z ∈ C tal que o ângulo azb é constante e
igual a θ (figura (1)).
z
µ
µ
µ
µ
a
b
Figura 1: O arco capaz de ângulo θ sobre o segmento de reta com extremidades a e b.
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Geometria euclidiana
O texto que se segue foi extraı́do do livro “Geometria Euclidiana Plana”
de João Lucas Marques Barbosa, publicado na Coleção do Professor de Matemática da Sociedade Brasileira de Matemática.
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Um ângulo se denomina inscrito em uma circunferência se seu vértice A é
um ponto da circunferência e seus lados cortam a circunferência em pontos B
e C distintos do ponto A. Os pontos B e C determinam dois arcos. O arco
que não contiver o ponto A é chamado de arco correspondente ao ângulo
inscrito dado. Diremos também que o ângulo subtende o arco (figura (2)).
A
O
C
B
Figura 2: Um ângulo inscrito em uma circunferência.
Teorema 1 Todo ângulo inscrito em uma circunferência tem a metade
da medida do arco correspondente.
Demonstração:
Consideremos primeiro o caso em que um dos lados do ângulo inscrito é um
diâmetro. Seja A o vértice do ângulo inscrito e B e C os pontos em que seus
lados cortam a circunferência. Neste caso, a medida do arco correspondente
ao ângulo inscrito é a medida do ângulo B OC.
Como BO = AO, então
o triângulo OAB é isósceles e, portanto, OAB = OBA.
Mas, então,
= OAB
+ OBA
= 2 C AB.
B OC
Portanto, neste caso particular, o
teorema é verdadeiro.
Suponhamos agora que nenhum dos lados do ângulo inscrito é um diâmetro.
Tracemos então o diâmetro que passa pelo vértice A do ângulo inscrito.
Seja D a outra extremidade deste diâmetro. Pelo primeiro caso, concluire = 2 B AD
e que DOC
= 2 DAC.
mos que B OD
2
A
A
C
B
B
A
O
C
B
O
O
C
D
D
Figura 3: Os três casos do teorema 1.
Neste ponto, temos de distinguir dois casos: (a) o diâmetro AD divide
e (b) o diâmetro AD não divide o ângulo B AC
(veja a
o ângulo B AC
+ DAC
= B AC.
A demonsfigura (3)). No caso (a), temos que B AD
tração é então completada somando-se as igualdades já encontradas:
+ DOC
= 2 (B AD
+ DAC)
= 2 B AC.
B OD
é exatamente a medida do arco correspondente
Observe que B OD+D
OC
No caso (b), podem ainda advir duas situações distintas:
ao ângulo B AC.
e (ii) AB divide o ângulo C AD.
Faremos o
(i) AC divide o ângulo B AD
= B AD
− C AD.
caso (i). Neste caso, B AC
Então, utilizando as duas
igualdade obtidas inicialmente, tem-se
− C OD
= 2 (B AD
− C AD)
= 2 B AC.
B OD
− C OD
é exatamente a medida do arco corresAgora, observe que B OD
pondente ao ângulo B AC.
Corolário 1 Todos os ângulos inscritos que subtendem um mesmo
arco têm a mesma medida. Em particular, todos os ângulos que subtendem uma semicircunferência são retos.
Sendo assim, dados dois pontos A e B sobre uma circunferência, para todo
= θ é constante. Este arco
ponto A sobre um dos arcos, o ângulo B AC
chama-se arco capaz do ângulo θ sobre o segmento BC. Um observador,
portanto, que se mova sobre este arco, consegue ver o segmento BC sempre
sob o mesmo ângulo. Naturalmente que se um ponto P pertence ao outro
arco, o ângulo B PC é também constante e igual a 180◦ − θ.
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Régua e compasso
O texto que se segue foi extraı́do do livro “Construções Geométricas”
de Eduardo Wagner, publicado na Coleção do Professor de Matemática da
Sociedade Brasileira de Matemática.
O
B
µ
M
C
X
Figura 4: A construção do arco capaz com régua e compasso.
Para construir o arco capaz procedemos da seguinte forma. Dado o seg = θ
mento BC (figura (4)), traçamos a sua mediatriz e o ângulo C BX
(dado). A perpendicular a BX traçada por B encontra a mediatriz de BC
em O, centro do arco capaz. O arco de centro O e extremidades B e C situado no semi-plano oposto a X (semi-planos relativos a BC) é o arco capaz
do ângulo θ sobre BC. Para justificar a construção, observe que se M é o
= θ, então teremos M BO
= 90◦ − θ,
ponto médio de BC e se C BX
= θ e B OC
= 2 θ. Portanto, como a medida do ângulo inscrito é a
B OM
metade da medida do ângulo central correspondente, teremos para qualquer
ponto do arco construı́do, B PC = θ.
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Usando números complexos
Para demonstrar que o conjunto de pontos que satisfazem a equação
z−a
=θ
arg
z−b
é o arco capaz de ângulo θ sobre o segmento de reta com extremidades a e
b, basta observar que
z1
θ = arg
z2
é o ângulo entre z1 e z2 e considerar a figura (5).
Im
z {a
a
z {b
z
µ
z {a
z {b
µ
b
0
Re
Figura 5: O conjunto de pontos que satisfazem arg((z − a)/(z − b)) = θ é o
arco capaz de ângulo θ sobre o segmento de reta com extremidades a e b.
Texto composto em LATEX2e, HJB, 30/04/2003.
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