Pré-vestibular – Matemática
Caderno 1 – Unidade IV – Série 5
Resoluções
Segmento: Pré-vestibular
Coleção: Alfa, Beta e Gama
Disciplina: Matemática
Volume: 1
Unidade IV: Série 5
Circunferência
1.
=
º
0
9
º
0
8 2
1
x
a) Como o ângulo central tem a mesma medida do arco que “enxerga”, logo
x = 80°.
b) Como o ângulo inscrito é a metade da medida do arco que “enxerga”, logo
x°=°40°.
c) Como x e 35° “enxergam” o mesmo arco, eles têm a mesma me dida, isto
é x = 35°.
d) Como o ângulo inscrito é a metade da medida do arco que “enxerga”, logo
=
e)
ɵ = 40º∴ AOB = 100º
Como OA = OB, OA B = OBA
Como o ângulo inscrito é a metade do ângulo central, ACB = 50º , ou
seja, x = 50°.
1
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f)
120º
= 60º
2
ˆ = 40º = 20º
ACB
2
Pelo ângulo externo temos:
x = 60° + 20° = 80º
DÂC =
g)
B
ˆ
C
A
=
º
º
0
0
7
2
º
º
0
0 2
4 24
1
C
Â
D
=
=
=
Pelo teorema do ângulo externo temos:
x + 20º = 70º
x = 50º
280º
= 140º
h) x =
2
2
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2.
a) x + 100º = 180º∴ x = 80º
b) x − 30º + 2x = 180º∴ 3x = 210º∴ x = 70º
c) 80° + (180° − 4x) = 180°
Logo,
4x = 80°
x = 20°
3.
a) Como 2x é a medida do ângulo inscrito que “enxerga” o diâmetro, isto é,
180º
um ângulo de 180°, temos: 2x =
∴ x = 45º
2
b) Como BD é diâmetro o arco mede 180°.
Do enunciado, o arco CD mede 150°
Com isso, o arco CB mede 30°
Logo,
º
5
1
º
0
3 2
x
=
=
c) Temos um triângulo isósceles e como o ângulo do vértice oposto a base é
100°, então o os ângulos da base medem 40° cada.
Logo, x + 40° = 90°∴ x = 50° .
3
0
3
0
3
0
6 2
4. Como BC tem medida igual ao raio, o triângulo OBC é equilátero, ou seja,
BO C = 60°.
°
Consequentemente BAC =
= °∴ α = ° .
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5. A
Pelo teorema do ângulo externo:
ɵ = AED
ɵ
EA B + EBA
EA B + 20° = 85°
EA B = 65°
ɵ
=
=
º
5
2
Como BD é diâmetro temos que DC mede 50°, logo
º
0 2
5
D
B
C
Logo o arco BC mede 130º
.
6. C
(
)
Seja m ABC a medida do arco de extremos A e C que contém o ponto B.
ɵC =
AP
ɵC =
AP
(
m ABC
(
2
)
) (
m ABC + m BYC
)
2
+
°
180º
45
ɵC =
AP
2
ɵ
AP C = 112,5º
º
0
4
7. Do enunciado α − β =
(I)
α+β =
º
0
8
1
Como se trata de um equilátero inscrito em uma circunferência,
(II)
β=
º
0
7
∴α =
e
º
0
1
1
º
0
8
1
 α−β =

α + β =
º
0
4
Resolvendo o sistema com as equações (I) e (II):
4
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8. D
D
A
Como BC é diâmetro, BÂC = 90º (I)
Sabendo que
é bissetriz de BA C e usando I, temos que DA C = 45º (II)
⇒
=
º
5
2
º
0
2
º
5
4
() ( )
O
A
D
−
( )
C
A
O
C
A
D
O
A
D
=
=
I
I
I
e
I
I
=
I
I
I
º
0
2
C
A
O
A
C
O


Como AO = OC temos: 


−
=
9. E
Seja AOD = α e CO B = β
O
B
C
Do enunciado BC = OA, mas sabemos que OC = OD = OA, logo os
triângulos BCO e CDO são isósceles. De ∆BCO, temos ɵ = β e, pelo
2
O
C
D
ângulo externo,
=β+β = β
2
=
O
C
D
C
D
O
Do ∆CDO temos que
= β
Olhando agora para o triângulo BOD temos, pelo ângulo externo, que:
ɵ O + ODB = AOD ∴β + 2β = α ∴ 3β = α ∴ α = 3
CB
β
10.
a) 3x = 24 ∴ x = 8
b) x + 16 = 4x − 5 ∴ 3x = 21∴ x = 7
5
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11.
a)
AB = AT ∴ AT = 8
AC = AT + TC ∴ 14 = 8 + TC
∴ TC = 6
DC = TC ∴ x = 6
b) Pelos dados da figura do exercício, temos:
2x + x + 20 = 5x
2x = 20
∴ x = 10
12. C
Seja r o raio da circunferência.
I
I
r
6
∴
I
r
8
∴ = +
C A
R S
C A
R S
r r
8 6
+
C A
R S
=
R S
B B
C A
B B
Note que OSBR é um quadrado, logo, BS = BR = r. Com isso:
=
+
∴ = +
∴
= −()
= −( )
=
−
∴
=
6
2
r
r
2
4
1
+
0
1
r
2
4
1
= −
∴
= −
C
T
A
T
r r
6 8



A C
T T
Como SA = TA e RC = TC, por (I) e (II) temos:
−
∴ =
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13. E
AR = AT ∴ AT = 7
BS = BR ∴ BR = 4
CT = CS ∴ CS = 6
O perímetro é calculado por:
AT + TC + CS + SB + BR + RA = 7 + 6 + 6 + 4 + 4 + 7 = 34
14. Como ABC é isósceles e M é o ponto de tangência, temos
AM = MB = 4 cm
AP = AM
BN = BM
CP = CN
+
+
+
+
+
+ + + + +
=
= ∴
=
2
2
C
N 2
2
N
B N
C
B
M 4 3
M 4 N
A
C
4
6
A
P 4
N
P N C
C C 2
Temos assim:
=
15. C
=
=
=
5
1 y x
S T S
A C B


Por tangência temos: 


R R T
A C B
Seja x e y as medidas dos segmentos BS e RC, respectivamente.
=
=
=
+
+
∴
∴
=
=
−
−
−
=
0
3
− + + +
x
5
1
x
y
y
=
+ ∴
+ ∴
5
1
+
A
B
+
B
T
+
T
C
C
A
O perímetro é:
=
=
y x
5 5
1 1
C B
A A
=
=
y x
C B
A A
5 5
1 1
R S
C B
C B
A A
R S
A A
Temos também que:
16. B
Como ABCD está circunscrito à circunferência, temos:
AB + CD = BC + DA ∴ 14 + x + 8 = 2x + 2 + 18 ∴ x = 2
Assim os lados medem AB = 14 cm, BC = 6 cm, CD = 10 cm e DA = 18 cm.
Logo o perímetro é 48 cm.
Observação: A medida correta do lado AB é 14 cm e não 4 cm, como se
encontra na figura do exercício.
7
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17. Observação: Com os valores dados no exercício, a figura não existe. Para
a que a questão seja possível, tome os seguintes valores:
AB = 6 cm, BC = 10 cm e CD = 12 cm
Resolução: C
Calculando os segmentos temos a seguinte figura:
+
∴ =
=
∴
0
1
r
6
r
2
1
B
C
m
B c
T 4
T r
C
Note então que:
− + − =
18.
a) AP ⋅ PB = CP ⋅ PD
4 ⋅3 = x ⋅6
x=2
b) AP ⋅ PB = CP ⋅ PD
( x − 1) ⋅ 6 = ( x + 3 ) ⋅ 3
6x − 6 = 3x + 9
3x = 15
x=5
c) AP ⋅ PB = CP ⋅ PD
3x ⋅ x = x ⋅ (12 − x )
3x = 12 − x
4x = 12
x=3
8
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19.
a) AP ⋅ PB = PC ⋅ DP
x ⋅6 = 2⋅9
x=3
b) AP ⋅ PB = CP ⋅ PD
x ⋅ ( 5 + x ) = 3 ⋅ 12
5x + x² = 36
x² + 5x − 36 = 0
x = −9 ou x = 4
∴x = 4
c) AP ⋅ PB = PT²
4 ⋅ 10 = x²
x = 2 10
20. C
Seja AP = x. Logo BP = 25 – x
Como OP = 5 e o raio mede 13, PC = 13 − 5 = 8 e PD = 13 + 5 = 18
Temos:
AP ⋅ PB = CP ⋅ PD
x ⋅ ( 25 + x ) = 8 ⋅ 18
5x + x² = 36
x² + 25x + 144 = 0
x = 16 ou x = 9
Então P determina sobre a corda AB 16 cm e 9 cm.
9
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21.
Uma maneira de resolver é:
AP ⋅ PB = CP ⋅ PD
2 ⋅ 6 = 2 ⋅ PD
∴ PD = 6
Como AB e CD são perpendiculares e se interceptam em P temos:
BP² + PD² = BD²
6² + 6² = BD²
e
BD = 6 2
CP² + PB² = BC²
2² + 6² = BC²
BC = 2 10
Liguemos B com O e seja E a outra extremidade do diâmetro.
Note que:
ɵ = DCB e BDE = BCP
BED
Assim, por semelhança entre ∆BDE e ∆BPC, temos:
BE BD
2r
6 2
=
∴
=
∴r = 2 5
BC BP 2 10
6
Outra maneira é:
Tracemos os diâmetros paralelos aos segmentos AB e CD.
10
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Sabemos que:
AP ⋅ PB = CP ⋅ PD
2 ⋅ 6 = 2 ⋅ PD
∴ PD = 6
Sejam M e N os pontos médios de AB e CD , respectivamente.
Assim,
DN = AM = 4
∴ MP = MA − AP = 2
Note que MP = ON, ou seja ON = 2
Utilizando o teorema de Pitágoras no ∆DON, temos:
OD² = ON² + ND² ∴r² = 2² + 4² ∴r2 5
22.
PD ⋅ PE = PA ⋅ PB
8 ⋅ ( 8 + 2r ) = 10 ⋅ 16
8 + 2r = 20
2r = 12
Perímetro de ∆PCA:
PC + CA + AP = 8 + r + r + 10 = 8 + 12 + 10 = 30
11
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23. B
PA ⋅ PB = PT²
(
)
x ( x + 12 ) = 2 40 ²
x² + 12x − 160 = 0
x = −20 ou x = 8
∴x = 8
24. B
AP ⋅ PB = CP ⋅ PD ⇒ m ⋅ n = a ⋅ b
AP ⋅ PB = EP ⋅ PF ⇒ m ⋅ n = c ⋅ d
(I)
(II)
Multiplicando membro a membro das equações (I) e (II), temos:
(m ⋅ n ) ² = a ⋅ b ⋅ c ⋅ d
∴ mn = abcd
25. D
AE ⋅ EB = CE ⋅ ED
( 7 + 5 ) 5 = 4 ⋅ ED ∴ ED = 15
ED = EC + CD ∴ 15 = 4 + CD ∴ CD = 11
CD = CG + GD ∴ 11 = CG + 3 ∴ CG = 8
AG ⋅ GF = CG ⋅ GD ∴ 6 ⋅ GF = 8 ⋅ 3 ∴ GF = 4
12