ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2011/2012 - Matrizes
1
Matrizes
Introdução
Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m
n ("m vezes n" ou
"m por n") a uma aplicação
A : f1; 2; :::; mg
f1; 2; :::; ng !
(i; j)
R:
! A (i; j)
Para simpli…car, em vez de A (i; j) ; escreve-se habitualmente ai;j :
Uma matriz A pode ser representada numa das formas:
2
a1;1
a1;2
a1;3
6
6 a2;1 a2;2 a2;3
6
6
A = 6 a3;1 a3;2 a3;3
6 .
..
..
6 ..
.
.
4
am;1 am;2 am;3
3
7
a2;n 7
7
a3;n 7
7.
.. 7
..
.
. 7
5
am;n
A = [ai;j ]i=1;:::;m ou A = [ai;j ]m
j=1;:::;n
a1;n
n
Atendendo à representação em forma de quadro, quando uma matriz é do tipo m
n;
considera-se que a matriz tem m linhas e n colunas e, se m = n; a matriz diz-se quadrada,
dizendo–se nesse caso que a matriz é de ordem n.
Os elementos ai;j dizem-se as entradas da matriz, concretamente o elemento ai;j está
posicionado na linha de índice i e na coluna de índice j e é a entrada (i; j) da matriz A: Os
elementos com o mesmo índice de linha e coluna, isto é, os elementos ai;i ; dizem-se entradas
principais da matriz. Duas matrizes A e B são iguais se forem do mesmo tipo e as entradas
correspondentes forem iguais.
Exemplos de matrizes:
#
"
2 1
0
5 31
- matriz de tipo 2 5:
1. A =
1 0
1
1 2
(
1 se i + j é par
2. A = [ai;j ]4 4 em que ai;j =
é a matriz quadrada de ordem 4, que
0 se i + j é ímpar
2
3
1 0 1 0
6
7
6 0 1 0 1 7
6
7
pode ser representada por A = 6
7
4 1 0 1 0 5
0 1 0 1
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Matrizes particulares
Se a matriz é do tipo 1
n diz-se uma matriz linha.
Se a matriz é do tipo n
1 diz-se uma matriz coluna.
(Às vezes chamam-se vectores às matrizes linha ou às matrizes coluna)
Se A = [ai;j ]n
n
é uma matriz quadrada, então:
a diagonal principal de A é constituída pelas suas entradas principais (elementos
com índice de linha igual ao índice de coluna).
a matriz diz-se triangular superior se ai;j = 0; sempre que i > j;
a matriz diz-se triangular inferior se ai;j = 0; sempre que i < j;
a matriz diz-se diagonal se é triangular superior e inferior, ou seja se ai;j = 0;
sempre que i 6= j;
Matriz nula
2
0
6
6 0
Om n = 6
6 ..
4 .
de tipo m
0
0
3
n é a matriz Om
7
0
0 7
.. . . .. 7
. . 7
.
5
0 0
0 m
n
= [oij ]m
6
6
ou seja, In = 6
6
4
1 0
0
n
3
7
1
0 7
.. . . .. 7
. . 7
.
5
0 0
1 n
0
..
.
; em que oij = 0, ou seja,
.
Matriz identidade de ordem n é a matriz In = [ai;j ]m
2
n
n
em que ai;j =
(
1 se i = j
0 se i 6= j
;
:
n
A simétrica da matriz A = [ai;j ]m
é a matriz A = [bi;j ]m n ; onde bi;j = ai;j .
3
2
k 0
0
6
7
6 0 k
0 7
7
Se k é um número real, então a matriz 6
diz-se uma matriz es6 .. .. . . . .. 7
.
.
.
4
5
n
0 0
k n n
calar. Uma matriz escalar é uma matriz diagonal em que todas as entradas principais
são iguais.
Nota: A matriz nula de ordem n e a matriz identidade de ordem n são casos particulares de matrizes escalares, com k = 0; no caso da matriz nula, e k = 1 ,no caso da
matriz identidade.
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3
Exemplos:
1. Matriz linha:
2
6
6
2. Matriz coluna: 6
6
4
3
0 0
5
3
2
7
1 7
7
0 7
5
3
2
2
0
0
3
6
3. Matriz triangular superior: 4 0
0
2
0
6
6 2
4. Matriz triangular inferior: 6
6 4
4
0
2
5 0
6
5. Matriz diagonal: 4 0 0
0 0
2
3 0 0
6
6 0 3 0
6. Matriz escalar: 6
6 0 0 3
4
0 0 0
8
27
5
2 4
3
7
3 0 5:
0 5
3
0 0 0
7
3 0 0 7
7:
0 5 0 7
5
0 0 0
7
0 5:
2
3
0
7
0 7
7:
0 7
5
3
Operações com matrizes
Transposição
Se A = [ai;j ]m
de tipo n
n
é uma matriz de tipo m
n; a sua transposta é a matriz AT = [bi;j ]n
m tal que bi;j = aj;i :
Uma matriz quadrada diz-se simétrica se AT = A.
Exemplos:
1. Se A =
"
2 1 0
3 7 2
#
2
6
, então AT = 4
2 3
3
7
1 7 5:
0 2
m
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2
2 1
6
2. A matriz A = 4
4
3
0
7
2 5 é simétrica pois A = AT :
13
1 7
0 2
Soma
Se A = [ai;j ]m
n
e B = [bi;j ]m
são matrizes de tipo m
n
A + B = [ci;j ]m
Exemplo:
"
Se A =
2 1 0
3 7 2
#
eB=
n
"
n, de…ne-se a matriz:
do mesmo tipo, onde ci;j = ai;j + bi;j :
2
1
5
3
2
1
#
então A + B =
"
4 0 5
0 9 1
#
:
Produto por um escalar
Se A = [ai;j ]m
n
é uma matriz de tipo m
:A = [ci;j ]m
n
ne
é um número real, de…ne-se a matriz:
do mesmo tipo, onde ci;j = ai;j :
Exemplo:
Se A =
"
2 1 0
3 7 2
#
então
2A =
2
"
2 1 0
3 7 2
#
=
"
4
2
0
6
14
4
#
Produto
Se A = [ai;j ]m
q
é uma matriz de tipo m
q e B = [bi;j ]q
n
é uma matriz de tipo q
n,
de…ne-se a matriz:
A
B = [ci;j ]m
n
de tipo m
n, onde ci;j =
q
X
ai;k bk;j = ai;1 b1;j + ai;2 b2;j +
ai;q bq;j :
k=1
Seguindo a fórmula atrás, para obter o elemento (i; j) da matriz A
B, usa-se a linha i da
matriz A e a coluna j da matriz B:
Multiplica-se o primeiro elemento da linha i pelo primeiro elemento da coluna j; o segundo
elemento da linha i pelo segundo elemento da coluna j, e assim sucessivamente até "esgotar"
os elementos, e por …m soma-se tudo. O resultado é a entrada (i; j) da matriz produto.
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Exemplos:
1. Sejam A =
"
2 1 0
3 7 2
Entrada (1; 1) de A
#
B:
2
2
6
eB=4 4
2
1
3
1
3
0
1
6
3
7
6 5
2
Usa-se a primeira linha de A e a primeira coluna de B
2
2+1
4+0
Entrada (1; 2) de A
6=0
B:
Usa-se a primeira linha de A e a segunda coluna de B
2
( 1) + 1
3+0
Entrada (2; 1) de A
1=5
B:
Usa-se a segunda linha de A e a primeira coluna de B
3
2+7
4+2
2 = 38
Repetindo o procedimento
"
0 5
6
A B=
38 20 7
"
#
"
1 2
2. Se A =
eB =
3 4
para as outras entradas, obtêm-se
#
18
:
28
#
"
#
"
#
2 3
0 13
7 8
; então A B =
eB A=
:
1 5
2 29
16 22
Observações:
1. Só é possível multiplicar matrizes se o número de colunas da primeira matriz for igual
ao número de linhas da segunda.
2. No produto de matrizes omite-se habitualmente o sinal
; designando-se o produto da
matriz A pela matriz B por AB:
3. Seja C = AB: O elemento ci;j obtém-se fazendo o "produto interno" da linha i de A
pela coluna j de B:
(i) Multiplicando a matriz A pela coluna j de B obtém-se a coluna j da matriz C:
(ii) Multiplicando a linha i da matriz A pela matriz B obtém-se a linha i da matriz
C:
4. O produto de matrizes não goza da propriedade comutativa. Dadas duas quaisquer
matrizes A e B, pode não ser possível efectuar ambos os produtos AB e BA: Quando
as duas matrizes são quadradas, da mesma ordem, é possível efectuar AB e BA; mas
também não se veri…ca a comutatividade (a não ser em alguns casos particulares),
como se pode veri…car com o exemplo 2 acima.
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6
Propriedades
Soma, produto por um escalar e transposição
Se A; B e C são matrizes de tipo m n, O é a matriz nula do mesmo tipo e ;
são números
reais, veri…cam-se:
1. A + B = B + A (comutatividade)
2. (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade)
3. A + O = A (elemento neutro)
4. A + ( A) = O (existência de simétricos)
5.
(A + B) = A + B
6. ( + ) A = A + A
7.
( A) = (
)A
8. 1A = A
9.
O=O
10. AT
T
=A
11. (A + B)T = AT + B T
12. ( A)T = AT
Produto
Se A; B e C são matrizes, O é a matriz nula e
é um número real então, sempre que os
produtos sejam possíveis, veri…cam-se:
1. (AB) C = A (BC) :
2. Se A é do tipo m
n, então AOn
3. Se A é do tipo m
n, então AIn = A = Im A:
n
= Om
n
= Om
4. (A + B) C = AC + BC e A (B + C) = AB + AC:
5.
(AB) = ( A) B = A ( B) :
6. (AB)T = B T AT :
m A:
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7
7. Se A e B são matrizes diagonais, AB é uma matriz diagonal.
8. Se A e B são matrizes triangulares superiores, AB é uma matriz triangular superior.
9. Se A e B são matrizes triangulares inferiores, AB é uma matriz triangular inferior.
Inversa de uma matriz
Seja A uma matriz de ordem n. Se existe uma matriz X tal que AX = XA = In ; diz-se que
a matriz A é invertível; A matriz X diz-se a inversa de A e denota-se X = A 1 .
Se a matriz A é invertível, a sua inversa é única.
Exemplos:
1. A matriz A =
2. A matriz A =
"
1 2
1 2
"
#
1 2
#
é invertível e a sua inversa é A
1
=
"
1
2
1
4
1
2
1
4
#
:
não é invertível. Vejamos porquê:
1 2
Considerando uma matriz arbitrária X =
"
a b
c d
#
; veri…ca-se que a equação
8
>
a + 2c = 1
>
>
"
#"
# "
#
"
# "
#
>
<
b + 2d = 0
1 2
a b
1 0
a + 2c b + 2d
1 0
=
,
=
,
>
a + 2c = 0
1 2
c d
0 1
a + 2c b + 2d
0 1
>
>
>
: b + 2d = 1
leva a um sistema impossível.
Propriedades
Se A e B são matrizes invertíveis de ordem n, veri…cam-se:
(i) A
1
1
é invertível e (A 1 )
(ii) AB é invertível e (AB)
1
(iii) AT é invertível e AT
(iv) Se A é invertível e
(v) Se A é diagonal, A
1
= A.
= B 1A 1.
T
= (A 1 ) :
6= 0 é um número real, então A é invertível e ( A)
1
(vi) Se A é triangular, A
é também diagonal.
1
é também triangular.
1
=
1
A 1.
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8
Matriz em forma de escada
Seja A = [ai;j ]m
n
uma matriz real de tipo m
n:
A matriz A está em forma de escada (ou em escada de linhas) se, para cada linha
i 2 f1; 2; :::; mg ; se veri…ca:
Caso 1 A linha i é nula
Então, para todo o r > i; a linha r é nula.
Caso 2 A linha i não é nula
Se ai;s é o primeiro elemento não nulo da linha i (denominado o pivot); então para
todo o l > i e para todo o c
A matriz A = [ai;j ]m
s; al;c = 0.
está na forma condensada (ou em escada de linhas reduzida) se
n
está em forma de escada e, para cada linha i 2 f1; 2; :::; mg se veri…cam:
1. O pivot é igual a 1;
2. Se ai;s é o pivot, então para todo o l < i; al;s = 0.
Exemplos:
2
2
6
1. A matriz 4 0
0
2
1
6
2. A matriz 4 0
0
2
0
19 0
0
4
3 0
0
0
0 1
0
1
19
2
3
4
0
0
0
1 0
3
3
7
6 5 está em forma de escada.
2
0
0
3
2
3
2
1
2
3
7
5 está em forma condensada.
Operações elementares sobre as linhas de uma matriz
Tipos de operações elementares
Tipo I Trocar duas linhas;
Tipo II Multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
Tipo III Somar a uma linha outra multiplicada por um escalar.
Observação: Podem-se de…nir operações elementares análogas sobre as colunas.
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9
Exemplos:
2
2 2 4
3
2
2 2 4
3
6
7
6
7
6 0 0 0 7
6 0 1 1 7
!
7
6
7
1. Tipo I: 6
6 2 5 7 7 L2 $ L4 6 2 5 7 7 :
4
5
4
5
0 1 1
0 0 0
2
3
2
3
2 2 4
1 1 2
6
7
6
7
6 0 1 1 7 1!6 0 1 1 7
6
7
7
2. Tipo II: 6
6 2 5 7 7 2 L1 6 2 5 7 7 :
4
5
4
5
0 0 0
0 0 0
2
3
2
1
1 1 2
6
7
6
6 0 1 1 7
!6 0
7
3. Tipo III: 6
2L1 + L3 6
6 2 5 7 7 L3
6 0
4
5
4
0 0 0
0
1 2
3
7
1 1 7
7 L3
3 3 7
5
0 0
2
1 1 2
3
6
7
7
0
1
1
!6
7
3L2 + L3 6
6 0 0 0 7
4
5
0 0 0
Teorema: Toda a matriz pode ser transformada, através de operações elementares, numa
matriz em forma de escada.
Teorema: Toda a matriz pode ser transformada, através de operações elementares, numa
matriz condensada.
Observação: A partir de uma matriz podem-se obter muitas matrizes em forma de escada,
mas só uma matriz condensada, isto é, a forma condensada de uma matriz é única
Característica da matriz
A característica de uma matriz A é o número de linhas não nulas (e, portanto, o número
de pivots) de uma qualquer matriz em forma de escada que possa ser obtida de A através
de operações elementares. É costume representar a característica de uma matriz A por carA:
Exemplos:
2
2
6
6 0
1. car 6
6 2
4
0
que está em
2 4
3
2
2 2 4
3
7
6
7
6 0 0 0 7
0 0 7
7
7 = 2, pois por meio de operações elementares obtém-se 6
6 2 5 7 7;
5 7 7
5
4
5
1 1
0 1 1
forma de escada e tem duas linhas não nulas.
2. 8m; n 2 N; carOm
n
= 0: (Só a matriz nula, de qualquer tipo, tem característica 0)
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10
Método de eliminação de Gauss
Este método permite obter uma forma de escada ou a forma condensada de qualquer matriz. É de especial importância para a resolução de sistemas de equações lineares, que será
estudada no capítulo seguinte
Seja A = [ai;j ] uma matriz de tipo m
n.
1a FASE - Eliminação descendente
Esta fase permite obter uma matriz em forma de escada a partir da matriz inicial.
1. Efectuam-se as trocas de linhas necessárias (operação elementar de tipo I) de modo a que
as primeiras k linhas da matriz sejam não nulas e as últimas m
k linhas sejam nulas.
Exemplo:
2
0
6
6 0
6
6 0
6
6
4 0
0
0
0
1
2
2
2
3
1
3
3
1
1
0
0
0
0
5
5
4
0
2
3
2
6
7
1 7
6
6
7
!
6
L
$
L
2 7
4
5
6
7
6
7
0 5
4
1
0
0
0
1
2
0
2
2
3
1
0
3
3
1
1
0
5
5
4
0
0
0
0
0
0
2
3
7
1 7
7
2 7
7.
7
1 5
0
2. Faz-se a primeira escolha de pivot. Para isso escolhe-se um elemento da primeira coluna
não nula. Se esse elemento estiver na primeira linha, passa-se ao passo três. Se não
estiver na primeira linha, efectua-se uma troca de linhas de modo a que passe a estar
na primeira linha.
Exemplo:
2
0
6
6 0
6
6 0
6
6
4 0
0
0
0
1
2
2
2
3
1
3
3
1
1
5
5
4
0
0
0
0
0
2
3
2
7
6
1 7
6
7
!6
7
2 7 L1 $ L 2 6
6
7
6
1 5
4
0
0
2
2
3
1
0
0
0
1
2
0
3
3
1
1
0
5
5
4
0
0
0
0
0
0
1
3
7
2 7
7
2 7
7
7
1 5
0
3. Utilizando o pivot escolhido anulam-se todos os outros elementos da coluna respectiva,
efectuando operações elementares de tipo III.
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Exemplo:
2
0
6
6 0
6
6 0
6
6
4 0
0
2
2
3
1
0
0
1
2
3
3
1
1
5
5
4
0
0
0
0
0
1
3
7
2 7 L3
7
2 7
7
7
1 5 L4
0
2
0
!6
6 0
3
6
L1 + L 3 6
6 0
2
6
5
6
L1 + L 4 6
6 0
2
4
0
2
2
3
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
7
2
7
2
0
2
5
2
5
2
0
2
7
2
7
2
0
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
4. Se necessário repete-se o passo 1 e, seguidamente, faz-se nova escolha de pivot, procurando, abaixo da linha 1 a primeira coluna não nula e nesta escolhendo um elemento
não nulo. Escolhido o pivot, repete-se o passo 3.
Exemplo:
2
0
6
6 0
6
6
6 0
6
6
6
6 0
4
0
2
2
3
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
7
2
7
2
0
2
5
2
5
2
0
2
7
2
7
2
0
3
7
7
7
7 L3
7
7
7
7 L4
7
5
2
0
!6
6 0
7
6
L 2 + L3 6
6 0
2
6
7
6
L 1 + L4 6
6 0
2
4
0
2
2
3
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
9
2
9
2
0
2
7
2
7
2
0
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
5. Repetem-se os passos anteriores, escolhendo sucessivos pivots, até a matriz estar em forma
de escada.
Exemplo:
2
0
6
6 0
6
6
6 0
6
6
6
6
6 0
4
0
2
2
3
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
9
2
9
2
0
2
7
2
7
2
0
3
7
7
7
7
7
7 L4
7
7
7
7
5
2
0
6
6 0
!6
6
L 3 + L4 6 0
6
6
4 0
0
2
2
3
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
2
9
2
0
2
7
2
0
0
0
0
0
0
3
7
7
7
7
7
7
7
5
6. Quando a matriz está em forma de escada termina a eliminação descendente.
2a FASE - Normalização dos pivots
7. Na matriz em forma de escada obtida anteriormente, para cada pivot diferente de 1,
multiplica-se a linha correspondente pelo inverso do pivot, isto é, sendo ai;s 6= 1 um
1
pivot situado na linha i, efectua-se: Li
Li :
ai;s
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2011/2012 - Matrizes
12
(Com vista a obter uma forma condensada da matriz, esta fase do processo pode ser efectuada
entre a fase descendente e a fase ascendente ou ao longo da eliminação ascendente, consoante
for mais conveniente.)
Exemplo:
2
2
0
6
6 0
0
6
6
6 0
0
6
6
6
0
4 0
0
0
2
3
1
1
0
1
0
0
0
0
2
9
2
0
2
7
2
0
0
0
0
0
3
7
7
7 L1
7
7
7
7 L
7 3
5
2
0
!6
6
1
0
L1 6
6
2
6
6 0
2
L3 6
6
9
4 0
0
0 0
3
2
1
1
2
2
0 0
0
1
0 0
0
0
1
2
2
7
9
0
0 0
0
0
0
1
1
3
7
7
7
7
7
7
7
7
5
3a FASE - Eliminação ascendente
Estando a matriz em forma de escada, esta fase do método permite obter uma
matriz em forma condensada.
8. Usando o último pivot anulam-se todos os elementos não nulos na coluna onde esse pivot
esteja situado, efectuando operações elementares de tipo III..
Exemplo:
2
3
6
2
6
6 0 0 0 1
6
1. 6
6 0 0 0 0
6
6
4 0 0 0 0
1
2
2
0 1 1
0 0 0
0
1
2
2
7
9
0
0
0
1
0
3
7
7
7 L
7 2
7
7 L
7 1
7
5
2
3
0 1 1
6
2
6
!6
0 0 0 1
2L3 + L2 6
6
6
1
L3 + L 1 6
6 0 0 0 0
2
6
6
4 0 0 0 0
0 0 0
0
0
1
9
4
9
7
9
0
0
0
0
0
1
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
9. O processo repete-se com os pivots seguintes (de baixo para cima), até a matriz estar em
forma condensada.
Exemplo:
2
0 1 1
6
6
6
6 0 0 0
6
6
6
6 0 0 0
6
6
4 0 0 0
0 0 0
3
0
2
0 0
1
9
4
9
7
9
0
0 0
0
1
0
0 1
3
7
7
7
7
7
7 L1
7
7
7
7
5
2
0 1 1
6
6
6
0 0 0
!6
6
3
6
L 2 + L1 6
6 0 0 0
2
6
6
6
4 0 0 0
0 0 0
0
0
1
0
0 1
0 0
0 0
5
9
4
9
7
9
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
0 5
0
10. No …nal da eliminação ascendente a matriz obtida encontra-se em forma
condensada.