Álgebra Matricial - Nota 07
Produto de Matrizes
Márcio Nascimento da Silva
Universidade Estadual Vale do Acaraú
Curso de Licenciatura em Matemática
[email protected]
3 de junho de 2014
Prosseguindo com as operações entre matrizes, passemos ao produto. Diferentemente da soma, a
multiplicação entre duas matrizes não é tão “natural”, isto é, não é o resultado do produto elemento a
elemento entre duas matrizes de mesma ordem. Mas qual a razão para que o produto não seja, digamos,
da maneira “fácil”?
Lembremos que, cronologicamente, os sistemas lineares foram objetos de estudo antes da Álgebra
Matricial, sendo as matrizes apenas meios para representação de sistemas. Além disso, tudo que viria
a ser feito depois dos sistemas, não deveria ir de encontro ao que já estava consolidado. Nesse contexto
se desenvolve a Álgebra Matricial.
1
Funções Lineares
Sejam A, B conjuntos nos quais estão definidas a operação soma e o produto por escalar. Uma função
f : A 7−→ B
é dita função linear quando
f (X + Y) = f (X) + f (Y)
f (c.X) = c. f (X)
para X, Y ∈ A
Exemplo 1 Considere o plano R2 . A soma de pares ordenados é dada por (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e o produto
por escalar é definido por c.(x, y) = (cx, cy). Seja C o conjunto de escalares. Neste caso:
A = R2 ,
B=R
Dados X, Y ∈ R2 , temos que X = (x1 , x2 ) e Y = (y1 , y2 ). Defina f (x1 , x2 ) = x1 + x2 . Daı́
f (X + Y) =
=
f ((x1 , x2 ) + (y1 , y2 ))
f (x1 + y1 , x2 + y2 )
= (x1 + y1 ) + (x2 + y2 )
= (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )
=
f (x1 , x2 ) + f (y1 , y2 ) = f (X) + f (Y)
f (c.X) =
=
f (c.(x1 , x2 ))
f (cx1 , cx2 )
= cx1 + cx2
= c(x1 + x2 )
= c. f (x1 , x2 ) = c. f (X)
1
Portanto, esta é uma função linear.
Exemplo 2 Considere o sistema de 2 equações e 3 variáveis
(
2x + 3y + 4z = 3
S
3x − 2y + 2z = 1
Sejam
"
#
2 3 4
A=
,
3 −2 2
e defina a função
 
x
 
X =  y ,
 
z
" #
3
B=
1
f : R3 7−→ R2
f (X) = B
Então
 
!
x
 
2x + 3y + 4z
f  y =
3x − 2y + 2z
 
z
Verifiquemos que se trata de uma função linear. Sejam u, v ∈ R3 . Então
 
 
u1 
v1 
 
 
u = u2  , v = v2 
 
 
u3
v3
Daı́,
f (u + v) =
=
=
   


!
u1  v1 
u1 + v1 
   


2(u1 + v1 ) + 3(u2 + v2 ) + 4(u3 + v3 )

f u2  + v2  = f u2 + v2  =
3(u1 + v1 ) − 2(u2 + v2 ) + 2(u3 + v3 )
   


u3
v3
u3 + v3
!
!
!
(2u1 + 3u2 + 4u3 ) + (2v1 + 3v2 + 4v3 )
2u1 + 3u2 + 4u3
2v1 + 3v2 + 4v3
=
+
(3u1 − 2u2 + 2u3 ) + (3v1 − 2v2 + 2v3 )
3u1 − 2u2 + 2u3
3v1 − 2v2 + 2v3
 
 
u1 
v1 
 
 



u
f  2  + f v2  = f (u) + f (v)
 
 
u3
v3

  

!
!
α.u1 
 u1 

  

2(α.u1 ) + 3(α.u2 ) + 4(α.u3 )
α.(2u1 + 3u2 + 4u3 )






f (α.u) = f α u2  = f α.u2  =
=
3(α.u1 ) − 2(α.u2 ) + 2(α.u3 )
α.(3u1 − 2u2 + 2u3 )

  

u3
α.u3
 
!
u1 
 
2u1 + 3u2 + 4u3
= α. f u2  = α. f (u)
= α
3u1 − 2u2 + 2u3
 
u3
A ideia do Exemplo 2 pode ser estendida para um sistema qualquer com n equações e m variáveis,
isto é, dado um sistema
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1m xm = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2m xm = b2
2
..
.
an1 x1 + an2 x2 + . . . + anm xm = bn
onde A = [ars ]n×m é a matriz dos coeficientes, X = [xi ]m×1 é a coluna das variáveis e B = [bi ]n×1 é a coluna
dos termos independentes, temos que
f : Rm 7−→ Rn
definda por
é uma função linear.

  
 x1   a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1m xm 

  
 x2   a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2m xm 




f  ..  = 
..


 .  
.

  
an1 x1 + an2 x2 + . . . + anm xm n×1
xm
1.1 Produto interno
Considere uma matriz linha
L = [l1 l2 . . . ln ]
e uma matriz coluna
 
c1 
 
c2 
C =  . 
 .. 
 
cn
ambas com n entradas. Então
L.C := l1 .c1 + l2 .c2 + . . . + ln .cn
é chamado produto interno entre L e C. Observe que L ∈ C1×n , C ∈ Cn×1 e L.C ∈ C, isto é,
C1×n × Cn×1 −→ C
(L, C)
7→
Exemplo 3 Dados
L = [(2 − i)
3
− 1]
então o produto interno L.C é o número complexo
L.C


(2 + i)


C =  3 


−1
(2 − i).(2 + i) + 3.3 + (−1)(−1) = 15
Exemplo 4 Dadas as matrizes




 1 7
3 1 2 




A = 4 3 2  , B = −4 1




1 0 −1
1 1
O produto interno entre a linha 2 de A e a coluna 2 de B é:
A2∗ · B∗2 = 4.7 + 3.1 + 2.1 = 33
3
1.2 Composição de Funções Lineares
Por volta de 1855 Arthur Cayley ficou interessado em composição de funções lineares, mais precisamente as funções lineares como no Exemplo 2.
Exemplo 5 Considere os sistemas
S1
S2
(
(
Ax + By = U
Px + Qy = V
ax + by + cz = u
px + qy + rz = v
As matrizes dos coeficientes são, respectivamente
"
#
A B
M1 =
,
P Q
"
#
a b c
M2 =
p q r
Definindo
f : R2 → R2
g : R3 → R2
por
!
!
x
Ax + By
f
=
y
Px + Qy
 
!
x
 
ax + by + cz
g  y =
px + qy + rz
 
z
e
temos que a composta f ◦ g está definida de R3 em R2 da seguinte forma:
  
!
!
 x
  
ax + by + cz
A(ax + by + cz) + B(px + qy + rz)




h(x) = ( f ◦ g)(x) = f (g(X)) = f  g  y = f
=
px + qy + rz
P(ax + by + cz) + Q(px + qy + rz)
  
z
!
(Aa + Bp)x + (Ab + Bq)y + (Ac + Br)z
=
(Pa + Qp)x + (Pb + Qq)y + (Pc + Qr)z
Cayley teve a ideia de representar as funções lineares do tipo descrito no exemplo acima a partir das
matrizes dos coeficientes de cada um dos sistemas, isto é, as funções f, g e h seriam representadas pelas
matrizes:
"
#
"
#
"
#
A B
a b c
(Aa + Bp) (Ab + Bq) (Ac + Br)
F=
G=
, H =F◦G=
P Q
p q r
(Pa + Qp) (Pb + Qq) (Pc + Qr)
Daı́, foi natural para Cayley chamar a matriz H de composição (ou produto) de F e G:
"
# "
# "
#
A B a b c
(Aa + Bp) (Ab + Bq) (Ac + Br)
=
P Q p q r
(Pa + Qp) (Pb + Qq) (Pc + Qr)
Repare, ainda, que cada entrada hij da matriz H equivale ao produto escalar
Fi∗ .G∗ j
entre a linha i de F e a coluna j de G.
4
Dom(f)
f
g
Im(f o g)
Im(g)
Figura 1: Composição das funções lineares f e g.
1.3 Produto de Matrizes
No Exemplo 5, vemos que a imagem da função g e o domı́nio da função f devem ter alguma
interseção para que seja possı́vel a composição f ◦ g. Neste caso, o contradomı́nio de g é o conjunto R2
e o domı́nio de f também é R2 , o que viabiliza a existência de interseção. Quanto ao domı́nio de g e ao
contradomı́nio de f não há restrições deste tipo.
Considerando as matrizes F, G e H associadas as funções f, g e h, vemos que o número de colunas
de F corresponde ao número de linhas de G. Já o número de linhas de H será igual ao número de linhas
de F e o o número de colunas de H será igual ao número de colunas de G.
F2×2 ,
G2×3
H2×3
∴
Por outro lado, dada qualquer matriz A, podemos criar uma função linear f onde A é a matriz
associada.
Definição 6 (Produto de Matrizes) Sejam as matrizes A = [aij ]n×m e B = [bij ]m×r . O produto A.B é definido
por


(A1∗ · B∗1 ) (A1∗ · B∗2 ) . . . (A1∗ · B∗r )


(A2∗ · B∗1 ) (A2∗ · B∗2 ) . . . (A2∗ · B∗r )

 = [(A · A )]
A.B = 
..
..
..

i∗
∗ j n×r


.
.
.


(An∗ · B∗1 ) (An∗ · B∗2 ) . . . (An∗ · B∗r ) n×r
isto é, cada entrada xij da matriz A.B é o produto interno entre a linha i da matriz A e a coluna j da matriz B.
Observe que o produto só está definido quando o número de colunas da primeira matriz for igual
ao número de linhas da segunda matriz. Neste caso, dizemos que as matrizes são compatı́veis para o
produto.
Exemplo 7 Considere as matrizes


4 (2 + i)


6 
B = 5


3
2i
"
#
2 i 3
A=
,
4 3 1
Analisando as ordens das matrizes, temos
A
2×
B
3
3
×2
e portanto existe A.B, cuja ordem será 2 × 2. Analogamente,
B
3×
A
2
5
2
×3
implica que B.A existe e terá ordem 3 × 3. Vamos a elas.
A.B =
"
#
(A1∗ .B∗1 ) (A1∗ .B∗2 )
(A2∗ .B∗1 ) (A2∗ .B∗2 )
"
[2.4 + i.5 + 3.3] [2.(2 + i) + i.6 + 3.2i]
=
[4.4 + 3.5 + 1.3] [4.(2 + i) + 3.6 + 1.2i]
"
#
(17 + 5i) (4 + 14i)
=
34
(26 + 6i)
#


(B1∗ · A∗1 ) (B1∗ · A∗2 ) (B1∗ · A∗3 )


B.A = (B2∗ · A∗1 ) (B2∗ · A∗2 ) (B2∗ · A∗3 )


(B3∗ · A∗1 ) (B3∗ · A∗2 ) (B3∗ · A∗3 )


(4.2 + (2 + i).4) (4.i + (2 + i).3) (4.3 + (2 + i).1)


(5.i + 3.6)
(5.3 + 6.1) 
=  (5.2 + 6.4)


(3.2 + 2i.4)
(3.i + 2i.3)
(3.3 + 2i.1)


(16 + 4i) (6 + 7i) (14 + i)


(18 + 5i)
(21) 
=  (34)


(6 + 8i)
(9i)
(9 + 2i)
No exemplo acima, vemos que
A.B , B.A
Na verdade, se A tem ordem n × m e B tem ordem m × p com n , p,
existe A.B sem que exista B.A!
1.4 Equação matricial de um sistema
Considere um sistema linear com n equações e m variáveis
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1m xm = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2m xm = b2
..
.
an1 x1 + an2 x2 + . . . + anm xm = bn
Observe que, sendo A = [ars ]n×m a matriz dos coeficientes do sistema e X = [xi ]m×1 a matriz coluna
cujas entradas são as variáveis do sistema, então o primeiro membro de cada uma das equações acima
é um produto interno:
h
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1m xm = a11 a12
h
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2m xm = a21 a22
6
 
 x1 
 
i  x2 
. . . a1m ·  .  = A1∗ · X = b1
 .. 
 
xm
 
 x1 
 
i  x2 
. . . a2m ·  .  = A2∗ · X = b2
 .. 
 
xm
..
.
h
an1 x1 + an2 x2 + . . . + anm xm = an1 an2
Ou seja
 
 x1 
 
i  x2 
. . . anm ·  .  = An∗ · X = bn
 .. 
 
xm
A·X =B
onde B é a matriz coluna de ordem n × 1 cujas entradas são os termos independentes do sistema.
1.5 Propriedades
Apesar da terminologia “produto”, esta operação entre matrizes - diferentemente da soma - não
possui algumas caracterı́sticas básicas do produto de números complexos.
1.5.1
Não há lei do cancelamento
No conjunto dos números complexos C, a igualdade ax = bx implica a = b desde que x , 0.
Lembre-se que o zero é o elemento neutro da soma em C. Com matrizes, isso pode não acontecer.
Exemplo 8 Considere as matrizes
h
i
A= 2 1 ,
h
i
B= 1 0 ,
"
#
−1
C=
1
Veja que A.C = B.C com C , 0, mas A , B. Portanto, a lei do cancelamento não vale para o produto de matrizes.
1.5.2
Não há comutatividade
Como já vimos, pode ocorrer o produto A.B sem que exista o produto B.A. Mas mesmo que os dois
produtos existam, é possı́vel que não ocorra a igualdade.
"
#
"
#
2 0
1 4
Exemplo 9 Considere as matrizes A =
eB=
. Daı́
3 0
2 3
"
#
"
#
2 8
14 0
A.B =
e B.A =
3 12
13 0
e portanto a comutatividade não ocorre sempre.
Agora vejamos algumas propriedades válidas para o produto de matrizes.
7
1.6 Distributividade
Com os números complexos, sabemos que é válido
x.(y + z) = x.y + x.z
isto é, vale a distributividade do produto com relação a soma. Além disso, tanto faz escrever x.(y + z)
ou (y + z).x, uma vez que em C tem-se comutatividade. No caso das matrizes, devemos ter cuidado ao
usar a distributividade.
Distributividade à Esquerda: Sejam as matrizes An×m , Bm×p , Cm×p . Então
A(B + C) = AB + AC
Distributividade à Direita: Sejam as matrizes Dn×m , En×m , Fm×p . Então
(D + E).F = DF + EF
Provemos a primeira igualdade. Considere A = [aij ]n×m , B = [bij ]m×p , C = [cij ]m×p e sejam xij as
entradas da matriz A(B + C). Então
xij = Ai∗ · (B + C)∗ j


 (b1 j + c1 j ) 
 (b2 j + c2 j ) 



= (ai1 ai2 ... aim ) · 
..


.



(bm j + cm j )
= ai1 .(b1 j + c1 j ) + ai2 .(b2 j + c2 j ) + . . . + aim .(bm j + cm j )
= [ai1 .b1 j + ai2 .b2 j + . . . + aim .bm j ] + [ai1 .c1 j + ai2 .c2 j + . . . + aim .cm j ]
 
 
 b1 j 
 c1 j 
 b2 j 
 c2 j 
 
 


= (ai1 ai2 ... aim ) ·  .  + (ai1 ai2 ... aim ) ·  . 
.
 . 
 .. 
 
 
bm j
cm j
= Ai∗ · B∗ j + Ai∗ · C∗ j
Por outro lado,
A.B = [Ai∗ · B∗ j]
e
A.C = [Ai∗ · C∗ j]
Ou seja,
A(B + C) = AB + AC
e de maneira análoga constata-se a distributividade à direita.
1.7 Associatividade
Sejam An×m , Bm×p , Cp×k . Então
A.(B.C) = (A.B).C
Se A = [aij ]n×m , B = [bij ]m×p , C = [cij ]p×k e xij as entradas da matriz BC. Então
xij = Bi∗ · C∗ j
= bi1 .c1 j + bi2 .c2 j + . . . + bip .cp j
Daı́, se yij são as entradas de A.(BC), então
8
yij = Ai∗ · (BC)∗ j
= ai1 .x1 j + ai2 .x2 j + . . . + aim .xm j
= ai1 .(b11 .c1 j + b12 .c2 j + . . . + b1p .cp j ) +
+ai2 .(b21 .c1 j + b22 .c2 j + . . . + b2p .cp j ) +
+ . . . + aim .(bm1 .c1 j + bm2 .c2 j + . . . + bmp .cp j )
Por outro lado, denotando por zij as entradas da matriz A.B, temos:
zij = Ai∗ · B∗ j
= ai1 .b1 j + ai2 .b2 j + . . . + aim .bm j
e se wij são as entradas da matriz (AB).C, então
wij = (AB)i∗ · C∗ j
= zi1 .c1 j + zi2 .c2 j + . . . + zip .cp j
= (ai1 .b11 + ai2 .b21 + . . . + aim .bm1 ).c1 j +
+(ai1 .b12 + ai2 .b22 + . . . + aim .bm2 ).c2 j +
+ . . . + (ai1 .b1p + ai2 .b2p + . . . + aim .bmp ).cp j
= ai1 .(b11 .c1 j + b12 .c2 j + ... + b1p .cp j ) +
+ai2 .(b21 .c1 j + b22 .c2 j + ... + b2p .cp j ) +
+ . . . + aim .(bm1 .c1 j + bm2 .c2 j + ... + bmp .cp j ) +
Comparando yij e wij , concluimos que A(BC) = (AB)C.
1.8 Elemento Neutro
Dado um conjunto não vazio Ω com uma operação binária ∗, o elemento neutro é aquele que não
influencia no resultado. Em C, o elemento neutro para o produto é o número 1, pois z.1 = z qualquer
que seja z ∈ C. E num conjunto de matrizes?
Seja A ∈ Cn×m . Procuremos a matriz X tal que A.X = A.
Inicialmente, vejamos a ordem de X. Digamos que X tem p linhas e k colunas. Para que o produto
A.X exista, é necessário que p = m, uma vez que a ordem de A é n × m. Por outro lado, A.X deve ter
ordem n × m. Portanto, k = m. Assim, X deve ser uma matriz quadrada de ordem m × m.
Considerando a matriz identidade de ordem m × m, isto é,
Temos


1 0 . . . 0


0 1 . . . 0

I =  .. .. . . .. 
 . .
. . 


0 0 . . . 1 m×m

 

a11 a12 . . . a1m  1 0 . . . 0

 

a21 a22 . . . a2m  0 1 . . . 0




A.I =  ..
..
..  .  .. .. . . ..  = A

 .

.
.
.   . .
. 

 

an1 an2 . . . anm 0 0 . . . 1
Ou seja, I é uma solução para a equação A.X = A. Da mesma forma, I.A = A, quando I e A
compatı́veis. A matriz quadrada I é chamada Matriz Identidade. Como se trata de uma matriz
quadrada, para nos referirmos à sua ordem usaremos apenas a notação In para denotar a ordem n × n
da matriz.
9
1.9 Potências de uma matriz
Para matrizes quadradas, podemos usar uma notação análoga a usada para escalares (reais ou
complexos). Se A ∈ Cn×n então
• A0 = In
• A2 = A.A, A3 = A.A.A, ..., An = A.A. · · · .A com n ∈ Z+
| {z }
n−vezes
Daı́, é correto escrever:
Ar .As = Ar+s ,
(Ar )s = Ar.s ,
r, s ∈ Z+
r, s ∈ Z+
1.10 Transpostas e Conjugadas Transpostas
Sejam A, B matrizes compatı́veis para o produto A.B. Então
(i) (AB)T = BT .AT
(ii) (AB)∗ = B∗ A∗
Vamos verificar a primeira igualdade. Sejam A = [aij ]n×m e B = [bij ]m×p . Então
A.B = [xij ]n×p
e
onde xij = Ai∗ · B∗ j


(A1∗ · B∗1 ) (A2∗ · B∗1 ) . . . (An∗ · B∗1 )
(A1∗ · B∗2 ) (A2∗ · B∗2 ) . . . (An∗ · B∗2 )


T

(A.B) = 
..
..
..


.
.
.



(A1∗ · B∗p ) (A2∗ · B∗p ) . . . (An∗ · B∗p ) p×n
Por outro lado, AT = [a ji ]m×n e BT = [b ji ]p×m . Assim, BT e AT são compatı́veis para o produto BT .AT e
BT .AT = [yij ]p×n
onde
yij = BTi∗ · AT∗ j
e cada elemento yij é o produto interno entre a linha i de BT e a coluna j de AT . Ora, mas a linha i de
BT é a coluna i de B e a coluna j de AT é a linha j de A. Portanto
yij = B∗i · A j∗ = b1i .a j1 + b2i .a j2 + . . . + bmi .a jm
= a j1 .b1i + a j2 .b2i + . . . + a jm .bmi
 
 b1i 
 
 b2i 
= a j1 a j2 . . . a jm ·  .. 
 . 
 
bmi
= A j∗ · B∗i
e
BT .AT = [yij ]p×n


(A1∗ · B∗1 ) (A2∗ · B∗1 ) . . . (An∗ · B∗1 )


(A1∗ · B∗2 ) (A2∗ · B∗2 ) . . . (An∗ · B∗2 )
 = (A.B)T

= 
..
..
..



.
.
.


(A1∗ · B∗p ) (A2∗ · B∗p ) . . . (An∗ · B∗p )
De maneira similar é possı́vel mostrar que (AB)∗ = B∗ A∗ .
10
Exemplo 10 Seja A uma matriz de ordem n × m. Mostremos que AT .A é simétrica.
Com efeito, AT é uma matriz de ordem m × n. Portanto, o produto AT .A existe e terá ordem m × m. Sendo
essa uma matriz quadrada, mostrar que ela é simétrica significa mostrar que ela e sua transposta são iguais. Isto é:
(AT .A)T = AT .A
Partindo do primeiro membro, temos:
(AT .A)T = AT .(AT )T = AT .A
2
Exercı́cios
1. Sendo


 1 −2 3 


A =  0 −5 4  ,


4 −3 8


 1 2 


B =  0 4 


3 7
calcule os seguintes produtos quando possı́vel:
 
 1 
 
e C =  2 
 
3
(a) AB
(b) BA
(c) CB
(d) CT B
(e) A2
(g) CT C
(h) C.CT
(i) BBT
(j) BT B
(k) CT AC
(f) B2
2. Considere o seguinte sistema de equações:
2x1 + x2 + x3 = 3
4x1
+ 2x3 = 10
2x1 + 2x2
= −2
(a) Escreva a equação matricial do sistema (AX = B).
(b) Escreva a solução S do sistema na forma coluna e verifique, usando multiplicação de
matrizes, que S satisfaz a equação AX = B.
(c) Escreva B como uma combinação das colunas de A.


 1 0 0 


3. Seja E =  0 1 0  e seja A uma matriz arbitrária de ordem 3 × 3.


3 0 1
(a) Descreva as linhas de EA em termos das linhas de A.
(b) Descreva as colunas de AE em termos das colunas de A.
4. Seja e j a j-ésima coluna unitária, isto é, a j-ésima coluna de uma matriz identidade de ordem n.
Para uma matriz arbitrária An×n descreva os seguintes produtos:
(a) A.e j
(b) eTi .A
(c) eTi .Ae j
5. Suponha que A e B são matrizes de ordem m × n. Se ocorre Ax = Bx para todo vetor coluna x,
mostre que A = B. [Sugestão: o que acontece se x é uma coluna unitária?]
6. Se Cm×1 e R1×n , então a matriz produto Pm×n = CR é, às vezes, chamada de produto externo de C
com R. Para matrizes compatı́veis A e B, explique como escrever o produto AB como uma soma
de produtos externos envolvendo as colunas de A e as linhas de B.
11
7. Uma matriz quadrada U = [uij ] é dita triangular superior sempre que uij = 0 para i > j, isto é, as
entradas abaixo da diagonal principal são todas nulas.
(a) Se A e B são duas matrizes do tipo triangular superior, explique por que o produto AB
também é uma matriz triangular superior.
(b) Se An×n e Bn×n são duas matrizes do tipo triangular superior, o que está na diagonal
principal de AB?
(c) L = [lij ] é dita triangular inferior quando lij = 0 para i < j. É verdade que o produto de
duas matrizes do tipo triangular inferior, é também uma matriz triangular inferior?
8. Seja Am×n uma matriz arbitrária. Mostre que A∗ .A e A.A∗ são matrizes hermitianas.
9. Se A e B são duas matrizes simétricas que comutam, mostre que o produto AB também é simétrico.
Se AB , BA, AB é simétrica?
10. Seja f : A → B uma função. Mostre que se f (c.X + Y) = c. f (X) + f (Y), então f é uma função linear.
11. Sejam A, B duas matrizes. Sob que condições tem-se (AB)n = An .Bn ?
12. O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal, ou seja:
traço(A) = a11 + a22 + . . . + ann
(a) Qual o traço da matriz I3 ?
(b) Qual o traço da matriz In ?
(c) Qual o traço da matriz A = [aij ]n×n tal que aij = 2i − j2 ? [Sugestão: 1 + 2 + ... + n =
n(n + 1)(2n + 1)
].
6
e Ym×n . Mostre que traço(XY) = traço(YX).
e 12 + 22 + 32 + ... + n2 =
(d) Sejam Xn×m
12
n(n + 1)
2