OFICINA: APROXIMAÇÕES NO CÁLCULO DE ÁREAS
AUTORES: ANA PAULA PEREIRA E JULIANA DE MELO PEREIRA
Resumo: O Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática
tem em seu currículo o componente Fundamentos de Cálculo e Análise da Matemática e
um dos objetivos da disciplina é propiciar uma visão do Cálculo mais ampla e significativa
tanto para o docente, como para o discente, a fim de que sejam capazes de introduzir
elementos do cálculo nas séries finais do Ensino Fundamental e durante o Ensino Médio.
Pensando nesse objetivo, dentro do conteúdo programático de Noção Intuitiva de Limite,
Derivada e Integral, elaboramos a oficina pedagógica intitulada de Aproximações no
Cálculo de Áreas, aonde o participante chega à ideia intuitiva da integral através do cálculo
de áreas.
Palavras-chave: Oficina pedagógica; Ideia intuitiva da integral.
DADOS DA OFICINA PEDAGÓGICA
Título: Aproximações no Cálculo de Áreas
Público Alvo: Alunos da 3ª série do Ensino Médio, Matemática básica ou Cálculo I.
Carga Horária: 60 minutos
Objetivos gerais:
• Reconhecer as figuras formadas (triângulo, retângulo e trapézio) e calcular suas
respectivas áreas;
• Investigar o cálculo de áreas de qualquer região plana sob as curvas de um gráfico
dado;
•
Escolher figuras planas para calcular as áreas;
• Reconstruir conhecimentos matemáticos vistos em anos anteriores do ensino básico
na busca de soluções por meio da observação.
Objetivos específicos:
• Conteúdos conceituais: Construir gráficos de função polinomial constante e de
primeiro grau; perceber as partições do intervalo dado na reta; determinar o valor
da imagem da função dado um elemento do domínio; calcular áreas de polígonos
regulares (triângulo, retângulo e trapézio).
• Conteúdos Procedimentais: Ler e interpretar as atividades propostas; localizar as
subdivisões feitas na reta numérica; manipular corretamente as informações
contidas nas questões com os conhecimentos adquiridos anteriormente, tanto em
funções como em áreas de figuras planas.
• Conteúdos Atitudinais: Participar da atividade proposta, em grupo.
Conteúdos matemáticos abordados:
• Gráficos de funções polinomiais do 1º e 2º graus;
• Área de figuras planas;
• Determinação da imagem da função a partir de pontos do domínio identificados
graficamente.
Metodologia
Inicialmente separaremos os alunos em grupo e pedir para que eles resolvam as
atividades propostas pela apostila, de modo que eles possam trocar idéias e construírem
seus próprios conhecimentos. Em seguida, num segundo momento da oficina será
dialogado com os alunos sobre a atividade indicada e a construção do conhecimento por
meio dos exemplos dados, pois como afirma Ribeiro e Ferreira (2001, p.10) “a Oficina
Pedagógica cria um contexto em que as situações de aprendizagens são claras, precisas e
diversificadas, de forma que os alunos aprendam a partir de seus itinerários de apropriação
dos saberes e desenvolvimento de suas capacidades”. Após essa etapa, continuaremos uma
exposição dialogada, utilizando o software GeoGebra, como recurso metodológico.
Com o software GeoGebra foi possível criar todas as imagens que serão exploradas
durante a oficina e dar continuidade a essas construções. Ao término da oficina, pretendese que os alunos tenham percebido que quanto maior a quantidade de retângulos que
inserimos abaixo da curva, mais próximos estaremos da região limitada pelos gráficos,
mostraremos no software que essa quantidade de retângulos é tão grande quanto se queira.
A atividade tem o intuito de fazer com que o aluno responda que a quantidade é infinita,
mas como a idéia de infinito nem sempre parece tão clara e convincente diante de um
intervalo limitado, achamos necessário o uso do software para enfatizar essa questão. Tal
dificuldade com relação à imagem conceitual para infinito é enfatizada por Marilaine de
Fraga Sant’Ana e Priscila Tedesco no artigo Discussão das Noções de Limite e Infinito:
“[...] É comum o aluno não aceitar a ideia de um intervalo limitado como infinito[...]”.
Com o uso desta Oficina, pretendemos verificar a importância do se uso em sala de
aula e observar como o aluno se sobressai quando é provocado por uma determinada
situação com a “[...] interação ao novo, à revisão do conhecimento já absorvido [...]”
Martin (apud RIBEIRO, FERREIRA, 2001).
Esta Oficina trará ao aluno um momento em que ele estará fazendo uso de um
conhecimento prévio e essa experiência será utilizada para compor um novo conhecimento
que é o cálculo de áreas e o levará a ideia de integral.
Recursos Metodológicos
• Apostila com atividades;
• Datashow;
• Software GeoGebra.
RELATOS DA APLICAÇÃO
A oficina pedagógica foi aplicada na turma da disciplina Fundamentos de Cálculo e
Análise do Programa de Pós- Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática e
contou com a participação de oito alunos. Inicialmente, os alunos receberam a atividade
impressa e enquanto a resolviam, observamos aspectos como: leitura e interpretação das
atividades propostas, manipulação e uso das informações fornecidas e dos conhecimentos
prévios exigidos. Todas as observações feitas tinham como objetivo corrigir ou melhorar
os enunciados, caso não estivessem sendo compreendidos como deveriam e também
analisar a dificuldade e o tempo exigido para a realização levando em consideração que a
proposta da oficina tem como público alvo alunos do Ensino Médio, Matemática Básica e
Cálculo I.
Após a aplicação da oficina foi feita uma breve discussão a respeito da proposta,
onde concluímos que a atividade atingiu o objetivo desejado, que era através da
aproximação no cálculo de áreas chegar à noção intuitiva da integral, mas algumas
sugestões e observações foram feitas:
• O tempo proposto, que era 60 minutos, não seria suficiente;
• Os enunciados estavam claros e foram compreendidos como deveriam, mas as
equações das retas poderiam ser escritas de forma diferente: no lugar de y = 0 e
y = 4, deveria ser f(x) = 0 e g(x) = 4;
• Os gráficos, quando copiados do Geogebra e colados no Word foram ampliados e
ficaram com a escala distorcida, mas no momento da aplicação isso foi percebido e
não causou problemas na compreensão;
• O uso da calculadora seria importante, pois são necessários muitos cálculos
envolvendo frações e números decimais, o que poderia levar muito tempo e tirar o
foco do que realmente estava sendo proposto.
Tais observações são de grande importância nesse momento do trabalho, pois como
a oficina não foi aplicada em turmas para as quais foi planejada podemos acatar as
sugestões dadas pelos colegas e assim obtermos um resultado mais significativo, fazendo
as correções necessárias, usando a calculadora e administrando melhor o tempo da
atividade.
REFERÊNCIAS
ÁVILA, Geraldo. Análise Matemática para Licenciatura. São Paulo: Edgar Blucher,
2005.
SANT’ANA, Marilaine de Fraga, TEDESCO, Priscila. Discussão das Noções de Limite e
Infinito. Educação Matemática em Revista. Ano 11-nº17, Dezembro de 2004.
RIBEIRO, Márcia Maria Gurgel, FERREIRA, Maria Salonilde, Oficina Pedagógica: uma
estratégia de ensino aprendizagem. Natal: EDUFRN, 2001.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CCET/PPGECNM
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO E ANÁLISE
Oficina Pedagógica
Tema: Aproximações no cálculo de áreas
1. Considere as retas dadas pelas equações: y = 0, x = 0, y = 4 e x = 5.
a) Esboce os gráficos dessas retas em um mesmo sistema de eixos.
b) Determine a área da região limitada pelas pelos gráficos das retas.
2. Considere as retas dadas pelas equações: y = 0, x = 2, x = 0 e y = x + 2
a) Esboce os gráficos dessas retas em um mesmo sistema de eixos.
b) Determine a área da região limitada pelos gráficos das retas.
3. Observe a figura formada pela região limitada pelos seguintes gráficos:
x = 0, x = 2, y = 0 e y = x² + 1.
Descreva o procedimento que você utilizaria para encontrar a área dessa região ?
4. Observe a imagem abaixo e faça o que se pede:
a) Qual a soma das áreas dos retângulos inseridos abaixo da curva?
b) A área encontrada corresponde a área da região limitada pelos gráficos?
5. Encontre a altura de cada retângulo usando a expressão f(x) = x²+1. Em seguida
determine a soma das áreas dos 4 retângulos.
6. O intervalo [0,1] agora será dividido em 4 partes, sendo essas partes as bases dos
retângulos que serão formados. Qual a soma das áreas dos retângulos?
7. O que você observa relacionando a soma das áreas dos retângulos em cada uma das
situações apresentadas acima?
8. Aumentando o número de retângulos abaixo da curva, o que podemos concluir com
relação a área da região limitada pelos gráficos?
9. Observe as imagens a seguir com 10 e 15 retângulos, respectivamente, abaixo da curva :
É possível calcular exatamente a área da região limitada pelos gráficos? Qual o número de
retângulos que devem ser desenhados para obter essa área?