EXPLORANDO ALGUNS MÉTODOS NÃO CONVENCIONAIS DE
RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU
Alex da Luz Paz, Miquéias Augusto Ferreira Nantes, Douglas Peixoto de Carvalho
Acadêmicos do Curso de Matemática pela Universidade Anhanguera Uniderp. Rua Ceará,
333 – Bairro Miguel Couto CEP. 79.003-010 – Campo Grande – MS
[email protected]; [email protected]; [email protected]
Celso Correia de Souza1, Antonio Sales2
Professor do Curso de Matemática da Universidade Anhanguera Uniderp.
2
Professor do Curso de Matemática da Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul –
UEMS, Nova Andradina, MS.
[email protected]; [email protected]
1
RESUMO: A resolução de equações algébricas, particularmente as do segundo grau, são
objeto de estudo em todo o período estudantil, quer no ensino fundamental, médio ou
superior. Observa-se, porém, uma preocupante restrição na gama de conhecimentos que
são efetivamente transmitidos nos bancos escolares, o que pode, inclusive, comprometer o
desenvolvimento da compreensão e do raciocínio matemático, sobretudo no ensino médio.
Partindo da premissa que quando o aluno se fixa num único método de resolução para um
problema, perde a oportunidade de aprender outras possibilidades, limitando seu
conhecimento, fica a presente pesquisa justificada na necessidade de demonstrar os
diversos métodos de resolução de equações algébricas numa única fonte de pesquisa, com
o fim específico de desmistificar a operação com números e variáveis, expandir os
horizontes da compreensão matemática e a capacidade de abstração.
Palavras-chave: Equação do 2° grau, fórmula de Baskara, método da falsa posição, ensinoaprendizagem
Tema: História da Matemática
INTRODUÇÃO
A resolução de equações algébricas, particularmente as do segundo grau, é objeto
de estudo em todo o período estudantil, quer no Ensino Fundamental, Médio ou Superior.
Observa-se, porém, uma preocupante restrição na gama de conhecimentos que são
efetivamente transmitidos nos bancos escolares, o que pode, inclusive, comprometer o
desenvolvimento da compreensão e do raciocínio matemático, sobretudo no Ensino Médio.
Uma restrição que, imposta pelo programa de disciplinas do Ministério da
Educação e Cultura (MEC), dificulta sobremaneira o acesso a esse conhecimento, visto que
as diversas bibliografias disponíveis no mercado, na sua maioria, seguem as linhas gerais
deste programa. Nestes termos, como poderá o aluno interessado em expandir seus
2
conhecimentos, potencializar a sua compreensão matemática e aumentar a sua capacidade
de abstração num sistema de limitação da aprendizagem dos fundamentos da matemática?
Preliminarmente, ressaltamos a importância de pesquisas nesta área, visto que o
estudo da Álgebra faz parte de todo e qualquer programa de ensino ou parâmetro curricular
dos moldes atuais de aprendizagem.
Assim, a importância da resolução de equações algébricas repousa no fato de que
ela hoje se encontra presente, ainda que como mera coadjuvante, à quase todos os
domínios da matemática, tanto como objeto de estudo quanto como instrumento para
outros estudos.
Ocorre que, na prática docente dos diversos bancos escolares, quer seja no Ensino
Fundamental, Médio ou Superior e na maioria dos livros didáticos, percebe-se a ênfase
dada aos algoritmos usuais para a resolução de equações algébricas em detrimento de uma
abordagem que privilegie a construção do entendimento matemático daquilo que se está
calculando, o que só pode ser alcançado com o aprofundamento do estudo.
Partindo da premissa que quando o aluno se fixa num único método de resolução
para um problema, perde a oportunidade de descobrir coisas novas, fica a presente
pesquisa justificada na necessidade de demonstrar alguns métodos de resolução de
equações do segundo grau, com o fim específico de desmistificar as operações com
números e variáveis, expandir os horizontes da compreensão matemática e a capacidade de
abstração, com foco na abordagem dos métodos não convencionais de resolução de
equações algébricas, os quais não são explorados nos livros didáticos usuais.
REFERENCIAL TEÓRICO
Segundo Boyer (1999), as equações do segundo grau são abordadas na história da
matemática desde a época dos egípcios (1991-1786 a.C.) e por diversos outros povos
antigos, como os babilônios (1700 a.C.), gregos (500 a 200 a.C.), hindus (1114 a 1014) e
chineses (1303).
O primeiro registro importante das equações polinomiais do segundo grau foi feito
pelos babilônios. Eles tinham uma álgebra bem desenvolvida e resolviam equações de
segundo grau por métodos semelhantes aos atuais ou pelo método de completar quadrados.
Como as resoluções dos problemas eram interpretadas geometricamente, não fazia sentido
falar em raízes negativas. O estudo de raízes negativas foi feito a partir do século XVII.
3
Foi um hindu chamado Sridhara que desenvolveu o método de resolução mais
utilizado nos dias de hoje, que conhecemos dos livros didáticos usuais por fórmula de
Bhaskara, por ter sido este o estudioso que a tornou conhecida (BOYER, 1999). Assim
sendo, um breve estudo daquilo que é abordado nos livros didáticos usuais faz-se
necessário para que possamos compreender a problemática elencada na presente pesquisa.
Para tanto fizemos uso da obra (GIOVANNI, 2002) e (SODRÉ e BARBIERI,
1997), os quais, em linhas gerais, mostram que a equação do segundo grau, também
chamada equação quadrática, é uma equação algébrica polinomial onde a incógnita “ x ”,
definida no campo dos números reais, apresenta como maior expoente o grau 2. Assim
sendo, obedece a forma geral:
ax 2  bx  c  0
(01)
onde x é a incógnita, a  0 é o coeficiente do termo dominante, b é o coeficiente do
termo x e c é o coeficiente do termo independente.
A equação do segundo grau é dita completa quando os valores de todos os seus
coeficientes a , b e c são diferentes de zero e incompleta quando apresenta coeficientes
b e/ou c iguais a zero.
A equação do segundo grau é um caso particular da função do segundo grau ou
quadrática, definida pelas variáveis x e y , quando y  0 . A forma geral desta função é
dada por:
y  ax 2  bx  c
(02)
O gráfico de uma função do segundo grau possui a característica de uma curva
aberta chamada parábola, onde os pontos que pertencem ao eixo dos x são denominados
raízes da função y  0 e o ponto que pertence a eixo dos y é o coeficiente do termo
independente (valor de “ c ”). A parábola apresenta concavidade voltada para cima se o
valor do coeficiente do termo dominante for maior que zero ( a  0 ) e concavidade
voltada para baixo se o valor for menor que zero ( a  0 ). Os gráficos da Figura 1
apresentam essas duas características.
4
Figura 1: Gráficos da função do segundo grau y  ax 2  bx  c quando a  0 e
a  0.
Pela análise dos gráficos verifica-se que o domínio da função quadrática é  ou
um dos seus subconjuntos. No entanto, quando esta função está ligada a uma situação real,
fato bastante comum, é necessário verificar o que representa a variável x para determinar
seu domínio.
A Imagem da função quadrática, Im f , depende do valor da ordenada do seu

 b
vértice  
,  , com   b 2  4ac . Tem-se, então:
 2a 4a 
   


Im f   y  IR / y 
, 
 
4a   4a


para a > 0
(03)
  
 

Im f   y  IR / y 
    ,
4a  
4a 

para a < 0
A resolução da equação do segundo grau, equação (01), consiste em determinar os
valores da incógnita x que tornam verdadeira essa sentença matemática. Os diversos
métodos de resolução da equação do segundo grau, objeto desse trabalho de pesquisa,
serão apresentados a seguir.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
3.1 RESOLUÇÕES USUAIS DE EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
5
Nesta seção foi feito uma breve discussão dos principais métodos usados na solução
de equações do segundo grau. As fórmulas apresentadas não foram demonstradas, apenas
citadas as bibliografias correspondentes, visto que as mesmas são bastante detalhadas em
livros didáticos de matemática do Ensino Fundamental e Médio.
Resolução, em  , da equação completa ax 2  bx  c  0
Para a resolução da equação completa do segundo grau, em  , utiliza-se o método
usual denominado de fórmula quadrática de Sridhara, mais conhecida por fórmula de
Bhaskara (BOYER, 1999), equação (04).
x
b 
com   b 2  4ac  0
2a
(04)
O símbolo  , também representado por D , é denominado “discriminante” da equação do
segundo grau (01) possuindo propriedades importantes relativas à solução da equação.
Propriedades do discriminante 
1. Se em (04)  > 0 , tem-se duas raízes reais e distintas x ' e x '' , com
x' 
b 
2a
x '' 
e
b 
2a
(05)
2. Se em (04)  = 0 , tem-se duas raízes reais e iguais, com
x '  x ''  
b
2a
(06)
3. Se em (04)  < 0, não existem raízes reais, pois não existe raiz quadrada real
de número negativo.
Relações de Girard
Segundo Giovanni (2002), existem duas relações importantes entre as raízes x ' e
x '' da equação do segundo grau (01), denominadas relações Girard.
a) A soma das raízes x ' e x '' é igual à razão negativa do termo b pelo dobro do
termo a , ou seja:
x '  x ''  
b
2a
(07)
b) O produto das raízes x ' e x '' é igual à razão do termo c pelo termo a , ou seja:
6
x ' x '' 
c
a
(08)
Consequentemente, utilizando-se as relações de Girard (07) e (08) permitem reescrever a
equação de segundo grau (01) conforme equação (09).
x 2  Sx  P  0
(09)
onde S  x '  x '' e P  x ' x '' (GIOVANNI, 2002).
Resolução, em  , da equação incompleta do tipo ax 2  c  0
Neste caso, na equação (01), tem-se a  0 , b  0 e c  0 . A resolução consiste em
isolar x por meio das operações algébricas, obtendo-se o conjunto verdade.

c
V =   ,
a

c
c
  ; com -  0
a
a
(10)
Resolução, em  , da equação incompleta do tipo ax 2  bx  0
Essa equação é obtida de (01) com a  0, b  0 e c  0 . Neste caso fatorando-se
essa equação, obtém-se a equação.
x(ax  b)  0
Isolando-se a incógnita x , obtém-se o conjunto verdade.
b

V = 0,  
a

(11)
Resolução, em  , da equação incompleta do tipo ax 2  0
Neste caso, a equação ax 2  0 é obtida da equação (01) para b  c  0 . A sua
solução é obtida isolando-se a incógnita x, obtendo-se x '  x ''  0 , obtendo-se o conjunto
verdade (12).
V  0
(12)
3.2 RESOLUÇÕES NÃO USUAIS DE EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
Como pode-se perceber, os métodos usuais de resolução são essencialmente
métodos de aplicação de fórmulas. Os métodos não usuais, dificilmente abordados no
Ensino Fundamental e Médio, enquanto aprofundamento de estudo, oferecem a
possibilidade da construção do conhecimento matemático amplo, com vistas ao
entendimento daquilo que se está calculando, por meio da ampliação da capacidade de
7
operação com números e variáveis em diversidade e da capacidade de abstração, pois não
fazem foco na mera aplicação de fórmulas.
3.3 RESOLUÇÃO PELO MÉTODO GEOMÉTRICO
Método de René Descartes
Segundo Fragoso (2000), em 1637, o francês René Descartes, além de possuir uma
notação que diferia da atual somente pelo símbolo da igualdade (que não era utilizado),
desenvolveu um método geométrico para obtenção da solução positiva das equações do
segundo grau dos tipos:
x 2  bx  c 2
;
x 2  c 2  bx
;
x 2  bx  c 2
(13)
Resolução da equação x 2  bx  c 2
Na Figura 3, seja LM um segmento de comprimento c . Pelo ponto L levanta-se
um segmento LN igual a
círculo de raio
b
e perpendicular a LM . Com centro em N constrói-se um
2
b
e traça-se a reta por M e N , que corta o círculo nos pontos O e P . A
2
raiz positiva procurada da equação x 2  bx  c 2 é x  OM .
Figura 3: Método de René Descartes para a determinação da raiz positiva da
equação
x 2  bx  c 2
Com efeito, no triângulo retângulo MLN , se OM  x , tem-se:
2
b
b2

 c 2 e daí x 2  bx  c 2
x   
2
4



x 2  bx  c 2
Nota: Sabe-se, atualmente, que a segunda raiz é  PM , mas Descartes não considerava a
raiz negativa (BOYER, 1999).
8
Método de Sir John Leslie
Segundo Fragoso (2000), no século XVIII, o inglês Sir John Leslie, em sua obra
Elements of Geometry, apresenta o seguinte procedimento para a determinação das raízes
da equação quadrática x 2  bx  c  0 .
Sobre um sistema cartesiano retangular de referência, marque os pontos A  (0, 1) e
B  (b, c) . Trace o círculo de diâmetro AB . As abscissas dos pontos em que esse círculo
cortar o eixo x , se cortar, são as raízes da equação quadrática dada. Na Figura 4, as raízes
x1 e x 2 são abscissas dos pontos M  ( x1 , 0) e N  ( x2 , 0) .
Figura 4: Método de Sir John Leslie para a determinação das raízes da equação
x 2  bx  c  0
Com efeito, a equação da circunferência construída é
b 
c  1

 b   c 1 
 1
x  y 
   
2 
2 

2  2

2
2
2
2
(14)
Daí, quando y  0 , tem-se x 2  bx  c ou, modernamente, x 2  bx  c  0 .
Resolução pelo método de completar quadrados
Segundo Luchetta (1999), o método de completar quadrados foi desenvolvido pelo
matemático e astrônomo Mohammed Ibu-musa Al-khowârizmî, árabe residente em Bagdá.
Consiste em cálculos de áreas em uma figura quadrada plana. Esse método possibilita
ótima compreensão da dinâmica de resolução de uma equação do segundo grau e
consequente compreensão daquilo que está sendo calculado. É, pois, uma das melhores
exposições para melhoria da capacidade de abstração.
9
Seja a equação: ax 2  bx  c  0 , com a  1 . Representa-se um quadrado de lado
x , conforme a Figura 5 e, sobre os quatro lados constrói-se retângulos de largura igual a
b
unidades.
4
Figura 5: Método de Al-khowârizmî para a determinação das raízes da equação
x 2  bx  c  0
Para completar o quadrado maior é necessário construir quatro quadrados menores nos
2
b
cantos, como a Figura 5, cada um com área igual a   . Portanto, para completar o
a
2
b
quadrado, soma-se 4   c unidades, obtendo-se a área do quadrado maior (mais
4
2
externo). Daí conclui-se que o lado do quadrado maior mede
b
4   c unidades e,
4
b
subtraindo-se desse valor 2  encontra-se o valor da raiz x procurada, isto é:
4
2
b
b
x  4   c  2 
4
4
Observação: Neste caso, despreza-se a raiz negativa, pois em cálculos geométricos,
sobretudo de área não se utilizam valores negativos.
10
Resolução pela regra prática da cruzadinha
Segundo Kumon (2002), na equação do segundo grau
ax 2  bx  c  0
é possível determinar números reais h, i, j e k tais que
hjx 2  (hk  ij ) x  ik  (hx '  i)( jx ''  k )
(15)
O esquema da Figura 6 e 7 fornecem um método prático para a representação que
queremos demonstrar
Fonte: (KUMON, 2002)
Figura 6. Regra prática da cruzadinha – 1ª parte
Fonte: (KUMON, 2002)
Figura 7. Regra prática da cruzadinha – 2ª parte
Da equação (14) e das Figuras 6 e 7, obtém-se



hjx 2  hk  ij x  ik  hx '  i jx ''  k  0
(16)
Tem-se então:
hx  i   0  x
'
'

i
h
e
(17)
 jx
''

 k  0  x ''  
k
j
11
Cálculo das coordenadas do vértice da parábola
Segundo Kumon (2002), as coordenadas do vértice da parábola do gráfico da
função quadrática fatorando a equação,
y  ax 2  bx  c
ou seja
2
 2 b
b 
b2
 b    b 

(18)
y  ax  bx  c  a  x  x         c  a x    c 
a
2a 
4a
 2a    2a 


Como a ordenada do vértice é o menor valor do gráfico da parábola quando a  0 , e é o
2
2
2
maior valor quando a  0 , nos dois casos, esses valores são conseguidos de (18), se
2
b
b 

e a ordenada do vértice yV
 x    0 , obtendo-se a abscissa do vértice xV  
2a 
2a

que é dada por yV  c 
b 2 4ac  b 2
b 2  4ac



 .
4a
4a
4a
4a
Tem-se, então
b

, 
4a 
 2a
xV , yV    
(19)
Resolução pelo método Chakravala (ou pulverizador)
Segundo Ferreira (2007), o método do Chakravala (ou pulverizador) foi introduzido
por Bhaskara para a resolução da equação de Pell. A equação de Pell é uma equação
indeterminada, proposta por Diofante de Alexandria, que obedece à forma
x 2  Ny 2  1
(20)
ou seja, uma equação polinomial de duas incógnitas x e y com N  Ζ, por conseguinte,
com infinitas soluções inteiras.
A solução de (20) envolve as seguintes transformações,
x 2  Ny 2  1
x 2  Ny 2  1
x2 y2

1
1
1
N
que corresponde à equação reduzida da parábola, ou seja,
x2 y2

1
a2 b2
logo,
(21)
12
a 1 e b 
1
.
N
Em (21), existe num número real c tal que
c 2  a 2  b 2 , com c  a
1
c 1  
N
2
2
2
 c
N 2 1
N
(22)
A Figura 7 é o gráfico de (21).
Figura 7. Gráfico da equação reduzida da parábola
O método Chakravala consiste da seguinte regra: multiplique ambos os membros da
equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente de x 2 e some aos novos
coeficientes obtidos um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita x .
Reduzindo o segundo membro a zero, a solução desejada é dada pela raiz quadrada da
soma algébrica dos coeficientes atuais. A aplicação desta regra em uma equação de duas
incógnitas não é objeto de estudo desta pesquisa. Vejamos então sua aplicação na equação
do 2° grau.
ax 2  bx  c  0
ou
13
ax 2  bx  c
Assim, multiplicando-se ambos os membros da equação pelo número que vale quatro
vezes o coeficiente do quadrado, temos:
4a(ax 2 )  4abx  4a(c)
ou
(4a 2 ) x 2  (4ab) x  (4a)c
Somando-se aos coeficientes um número igual ao quadrado do coeficiente original da
incógnita (a 2 ) , temos
(a 2  4a 2 ) x 2  (a 2  4ab) x  (a 2  4ac)  0
(23)
Seja R a soma algébrica dos coeficientes de (23).
R  (a 2  4a 2 )  (a 2  4ab)  (a 2  4ac)
A solução desejada é a raiz quadrada de R , ou seja
x R
Neste caso, despreza-se a raiz negativa, pois tanto as raízes negativas quanto a raiz zero
não eram reconhecidas na época.
Resolução pelo método de Leonardo Barichello
A proposta de Barichello (2005) é um método alternativo para determinação de
soluções de equações de segundo grau que, se levado até o fim, reproduz a fórmula de
Bhaskara. Nota-se, inicialmente, que equações do segundo grau na forma ( x  a) 2  0 são
simples de se resolver, basta tomar x  a .
Ou seja, para encontrar as raízes da equação x 2  2ax  a 2  0 , basta efetuar a
fatoração
x 2  2ax  a 2  ( x  a) 2  0
Para concluir a sua única raiz igual à  a .
No caso da equação a ser resolvida não for um quadrado perfeito, ela poderá ser
transformada através de operações algébricas no sentido de se tornar uma quadrado
perfeito, resultando na fórmula de Baskara, como deduzida a seguir na solução da equação
geral do segundo grau (24).
ax 2  bx  c  0; a  0
Evidenciando a na equação (24), tem-se
(24)
14
b
c

a x 2  x    0
a
a

Somando  c nos dois membros, tem-se
b
c

a x 2  x    c  c
a
a

Simplificando, vem
b 

a  x 2  x   c
a 

Somando
b2
nos dois membros, tem-se
4a
b  b2 b2

a x 2  x  

c
a  4a 4 a

Ou ainda

b
b 2  b 2  4ac
a x 2  x   
a
4a 
4a

Que corresponde a
b 
b 2  4ac

x   
2a 
4a 2

2
Extraindo-se a raiz quadrada, obtém-se
x
b
b 2  4ac

2a
4a 2
ou seja
x
 b  b 2  4ac
2a
(25)
que é a fórmula de Baskara, já comentada neste texto.
A título de ilustração será resolvido um exemplo utilizando o desenvolvimento
descrito anteriormente.
Seja determinar as raízes da equação
6 x 2  x  15  0
Assim, como a  6, b  4 e c  15 , evidenciando-se 6, valor de a , na equação, tem-se
1
5

6 x 2  x    0
6
2

15
Somando 15, valor de  c nos dois membros da equação, tem-se
1
5

6 x 2  x    15  15
6
2

Ou seja
1 

6 x 2  x   15
6 

Somando-se nos dois membros
b2
1
, tem-se

4a 24
1
1 
1

6 x 2  x 
  15 
6
144 
24

Simplificando, tem-se
1
360  1 361

6 x   

12 
24
24

2
ou
2
1
361

x   
12 
144

Extraindo a raiz dos dois membros, tem-se
x
1
19

12
12
ou
x
1 19  1  19


12 12
12
Portanto, tem-se as raízes
x' 
 1  19
20
5


12
12
3
x '' 
 1  19 18 3


12
12 2
e
Nota-se que o cálculo da solução da equação dada se deu de forma bastante
simples, sem a necessidade de uso de fórmulas, basta conhecer a estratégia e ser capaz de
identificar um binômio de segundo grau próximo à equação pedida.
Usando o mesmo método para a solução da equação x 2 2 x  5  0 , chega-se à
expressão x  1  4 . Se extrairmos a raiz quadrada dos dois lados da igualdade, chega2
16
se a um absurdo, pois não existe
 4 no conjunto  dos números reais e, portanto, não
existem soluções reais para a equação dada. Mais uma vez, o novo método funcionou e
detectou com naturalidade a não existência das soluções.
Diferente do que podem pensar alguns professores, situações como esta devem ser
exploradas com alunos dos Ensinos Fundamental e Médio, pois, apesar do fato de ainda
não poderem compreender a impossibilidade do cálculo de uma raiz negativa no conjunto
dos números reais, a percepção clara da existência de situações de impossibilidade de
resolução de um determinado cálculo evita sensações indesejáveis de insegurança, muito
comuns a estudantes, do tipo: “o que farei agora?”. Logo, também contribui para a
construção do raciocínio matemático amplo.
Método da Falsa Posição
De acordo com Boyer (1999), a técnica da falsa posição era muito empregada pelos
povos mesopotâmicos, que desconheciam as fórmulas modernas, mas tinham grande
flexibilidade na álgebra, apesar da escrita cuneiforme (em formato de cunha), de
empregarem sistema numérico não posicional e sexagesimal.
Mostrar-se-á o método da falsa posição por meio de um exemplo. Seja resolver a
equação 2 x 2  7 x  39  0
2 x 2  7 x  39
(26)
Inicialmente, iguala-se x ao coeficiente do termo x 2 , isto é, x  2 , onde 2 é
denominado de falsa posição de x . Seguindo a regra, passa-se o coeficiente para o
primeiro membro e iguala-se o resultado a uma nova variável, denominada de y , isto é:
x2  y
x  y2
(27)
Substituindo (27) em (26) e simplificando, tem-se
2( y  2) 2  7( y  2)  39
2 y 2  8 y  8  7 y  14  39
2 y 2  15 y  39  22
2 y 2  15 y  17
Na seqüência, segundo a regra, divide-se o segundo membro da equação pela soma
dos coeficientes de y 2 e y , obtém-se o valor da incógnita y .
17
y
17
17

1
2  15 17
Finalmente, o valor de x é calculado substituindo o valor y  1 em (27), ou seja:
x  y  2  1 2  3
Obtendo-se o valor da raiz da equação (26)
x3
CONCLUSÃO
O estudo da resolução de equações do segundo grau tem grande aplicação prática,
sendo abordado na história da matemática desde a época dos egípcios, bem como
babilônios, gregos, hindus e chineses.
Uma rica cultura de busca pelo conhecimento e desenvolvimento da capacidade de
raciocínio que ficou relegada ao segundo plano pelos bancos escolares, uma vez que um
hindu, chamado Sridhara, desenvolveu o método de resolução que conhecemos dos livros
didáticos atuais por fórmula de Bhaskara.
A fórmula realmente garante encontrar as soluções de qualquer equação do segundo
grau de forma rápida e objetiva, mas não privilegia a construção do conhecimento, visto
que remete e condiciona o aluno a uma mera aplicação de um algoritmo de resolução.
A consequência disto é a possibilidade não rara e bastante comum de um mesmo
professor executar por vários anos a resolução de um determinado problema, encontrando
o seu resultado, sem jamais conseguir construir em sua mente a compreensão daquilo que
por tanto tempo calculou e ensinou aos seus alunos calcular.
Porém, o desejável é auxiliar os alunos a realmente aprender a matemática,
compreender cada passo dos caminhos algébricos para efetivamente abstrair aquilo que
diariamente representa, por meio de símbolos, em seu caderno. Afinal, um número, um
símbolo, um traço, não é nada se não representar um significado que possa ser realmente
compreendido.
Assim, dentre as muitas possibilidades de aprofundamento de estudo, o presente
trabalho visa resgatar os métodos não convencionais de resolução de equações algébricas,
os quais não são explorados nos livros didáticos usuais, para servir de fonte de consulta a
um aprendizado que privilegie a construção do entendimento matemático daquilo que se
está calculando.
18
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