Quinta Lista de Exercı́cios de Elementos de Cálculo I (Solução) - Primeiro Semestre/2010
Prof Carlos Alberto Santana Soares
1) Uma elipse tem eixo maior medindo 6 e eixo menor medindo 4. Determine sua distância
focal e sua excentricidade.
Solução:
2
2𝑎 = 6 ⇒√𝑎 = 3. 2𝑏 = 4 ⇒ 𝑏 = 2. Como 𝑎2 = 𝑏√
+ 𝑐2 , teremos 𝑐 =
focal= 2𝑐 = 2 5. Teremos ainda excentricidade=𝑒 = 35 .
2) Uma elipse de excentricidade
seu eixo menor e a distância focal.
√
5 e daı́ distância
√
3/2 tem eixo maior medindo 20. Determine a medida de
Solução:
√
Tal como acima determinarmos eixo menor=𝑏 = 5, 2𝑐 = 10 3.
3) Que figura representa o conjunto dos pontos (𝑥, 𝑦) que satisfazem cada equação abaixo?
√
√
(a) (𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 1)2 + (𝑥 − 8)2 + (𝑦 − 4)2 = 7
√
√
(b) (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 7)2 + (𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 10)2 = 5
√
√
(c) (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 7)2 + (𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 10)2 = 4
Solução:
(a) Elipse de eixo maior 7 e focos (6, 1) e (8, 4)
(b) Elipse de eixo maior 7 e focos (2, 7) e (6, 10)
(c) Elipse de eixo maior 4 e focos (2, 7) e (6, 10)
4) Determine a equação da elipse cujo eixo maior mede 6 e cujos focos são os pontos (-2,-1)
e (1,2).
Solução:
√
√
Devemos ter (𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 1)2 + (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 6. Fazendo as contas, encontramos 3𝑥2 + 3𝑦 2 − 2𝑥𝑦 + 4𝑥 − 4𝑦 + 20 = 0.
5) Uma elipse cujo eixo maior é vertical tem centro C(-1,1), excentricidade 𝑒 = 1/3 e eixo
menor de medida 6. Determine sua equação.
Solução:
𝑏 = 3 e centro 𝐶(−1,
1). Como√excentricidade=𝑒 = 1/3, devemos ter 𝑎 = 3𝑐 e portanto
√
3 2
2
9𝑐 = 9 + 𝑐 ⇒ 𝑐 = 4 . Daı́, 𝑎 = 9 4 2 ⇒ 𝑎2 = 81
. Logo, a equação será
8
2
(𝑥 + 1)2 (𝑦 − 1)2
+
=1
81
32
8
.
6) Uma elipse de eixo maior horizontal passa pelos pontos (0,-1) e (3,1). Determine sua
equação sabendo que o centro é o ponto (3,-1).
1
Solução:
A equação da elipse será do tipo
(𝑥 − 3)2 (𝑦 + 1)2
+
= 1.
𝑎2
𝑏2
Como o ponto (0, −1) está na elipse, substituindo na equação acima teremos 𝑎92 = 1 ⇒ 𝑎2 = 9.
2
Substituindo agora o ponto (3, 1), teremos 2𝑏2 = 1 ⇒ 𝑏2 = 4 e daı́ a equação será
(𝑥 − 3)2 (𝑦 + 1)2
+
= 1.
9
4
7) Considere a elipse de equação
𝑥2 + 2𝑦 2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 7 = 0.
Determine:
(a) vértice (b) focos (c)excentricidade
Solução:
Completando os quadrados encontraremos a equação reduzida
(𝑥 + 1)2 (𝑦 − 1)2
+
= 1.
10
5
√
√
√
Portanto, centro=𝐶(−1, 1), 𝑎 = 10, 𝑏 = 5 e 𝑐 = 5. teremos, então:
√
√
√
√
(a) Vértices: 𝐴1 (−1 − 10, 1), 𝐴2 = (−1 + 10, 1), 𝐵1 = (−1, 1 + 5) e 𝐵2 = (−1, 1 − 5.
√
√
(b) Focos: 𝐹1 (−1 − 5, 1) e 𝐹2 (−1 + 5, 1).
(c) 𝑒 =
√
√5
10
√
2
.
2
=
Faça um esboço e veja a determinação dos focos e vértices!!!
8) Considere a elipse de equação
3𝑥2 + 2𝑦 2 + 12𝑥 + 4𝑦 + 8 = 0.
Determine:
(a) vértice (b) focos (c)excentricidade
Solução:
Completando os quadrados encontraremos a equação reduzida
(𝑥 + 2)2 (𝑦 + 1)2
+
= 1.
2
3
√
√
Portanto, centro=𝐶(−2, −1), 𝑎 = 3, 𝑏 = 2 e 𝑐 = 1. teremos, então:
√
√
√
(a)
Vértices:
𝐴
(−2,
−1
+
3),
𝐴
=
(−2,
−1
−
3),
𝐵
=
(−2
+
3, −1) e 𝐵2 = (−2 −
1
2
1
√
3, −1).
(b) Focos: 𝐹1 (−2, −2) e 𝐹2 (−2, 0).
(c) 𝑒 =
√1
3
√
=
3
.
3
Faça um esboço e veja a determinação dos focos e vértices!!!
2
9) Determine a equação reduzida da elipse
9𝑥2 + 25𝑦 2 − 36𝑥 + 50𝑦 − 164 = 0.
Solução:
Basta completar os quadrados e encontramos
(𝑥 − 2)2 (𝑦 + 1)2
+
= 1.
25
9
3