ATITUDE INTERDISCIPLINAR ENTRE PROFESSORES DE
MATEMÁTICA E FÍSICA NO AMBIENTE GERADO PELO
PROCESSO DE MODELAGEM MATEMÁTICA
Ednilson Sergio Ramalho de Souza 1
Universidade Federal do Pará-UFPA/IEMCI
[email protected]
Resumo
Desenvolve-se uma experiência de modelagem matemática realizada por três professores (dois
de Matemática e um de Física), alunos de um curso de Especialização em Educação
Matemática. O objetivo do grupo foi promover atitude interdisciplinar durante ambiente gerado
pelo processo de modelagem matemática. Motivados por um acontecimento de comoção
nacional: o desabamento do teto de uma igreja, os sujeitos da pesquisa escolheram um tema:
“reforma de telhados”. A partir de uma situação física (forças incidentes em uma tesoura de um
telhado) foram estudados conceitos de Matemática e Física de maneira significativa e
interdisciplinar, onde os assuntos foram abordados conforme a necessidade para se resolver o
problema inicial (o que pode causar o desabamento de telhados?). Constatou-se que o ambiente
de ensino-aprendizagem gerado pelo processo de modelagem matemática de uma situação física
favoreceu atitude interdisciplinar entre os professores participantes da atividade.
Palavras-chave: Modelagem Matemática; Atitude Interdisciplinar; Matemática e
Física.
1. Introdução
A modelagem matemática tem sido apontada como uma estratégia que
proporciona uma atividade interdisciplinar e até mesmo transdisciplinar (Souza e
Espírito Santo, 2008; Levy, 2003). A respeito da interdisciplinaridade, as Orientações
Curriculares para o Ensino Médio salientam que,
1
Professor de Física, mestre em Educação em Ciências e Matemáticas pelo Instituto de Educação
Matemática e Científica-IEMCI/UFPA.
2
Trata-se da construção de um novo saber a respeito da realidade,
recorrendo-se aos saberes disciplinares e explorando ao máximo os
limites e as potencialidades de cada área do conhecimento. O quanto
será ultrapassado do limite de cada disciplina dependerá do projeto
inicialmente elaborado. O objeto de estudo é o mesmo, mas levará a
um novo saber, que não é necessariamente da Física, da Química ou
da Biologia, mas um saber mais amplo sobre aquela situação, aquele
fenômeno.
(BRASIL, 2006, p. 51).
Desse modo, o objetivo desse trabalho é mostrar o desenvolvimento de uma
atividade interdisciplinar entre professores de Matemática e Física realizada durante um
curso de Especialização em Educação Matemática.
Partindo da seguinte problemática: o que pode causar o desabamento de um
telhado? e motivados por um acontecimento de comoção nacional que vitimou nove
pessoas após o desabamento de um telhado de uma igreja em uma cidade brasileira, os
alunos realizaram várias pesquisas na internet, livros, entrevistas com especialistas da
área para buscar respostas à pergunta formulada. No decorrer da atividade foram
estudados de maneira imbricada conteúdos de Matemática e Física, possibilitando,
assim, uma atitude interdisciplinar para a sala de aula.
2. Aspectos gerais sobre modelagem matemática
Genericamente, podemos dizer que modelagem matemática é um processo que
visa à obtenção e validação de um modelo matemático (BASSANEZI, 2004). Para
melhor compreendermos o conceito de modelo matemático, vamos entender
primeiramente o conceito de modelo no âmbito da psicologia cognitiva.
Rodney Bassanezi (2004) argumenta que ao se procurar refletir sobre uma parte
da realidade, na tentativa de explicar, de entender, ou de agir sobre ela, o processo
comum é selecionar, no sistema, argumentos ou parâmetros considerados essenciais e
formalizá-los através de um sistema artificial: o modelo.
Depreende-se que, para esse autor, o termo modelo possui, necessariamente, a
função de possibilitar explicações, inferências, predições, deduções. O que pode ser
corroborado por Pinheiro (2001) “Os modelos, devido à sua flexibilidade, podem
desempenhar diversas funções, às vezes até simultaneamente. Eles podem servir para
compreender, explicar, prever, calcular, manipular, formular” (p. 38).
3
Borges (1997) contribui ressaltando que,
Um modelo pode ser definido como uma representação de um objeto
ou uma idéia, de um evento ou de um processo, envolvendo analogias
Portanto, da mesma forma que uma analogia, um modelo implica na
existência de uma correspondência estrutural entre sistemas distintos.
Se isso não fosse assim, os modelos teriam pouca utilidade.
(BORGES, 1997, p. 207).
Entendemos, portanto, que um modelo é uma representação de alguma coisa
que possibilite explicações, inferências e predições por meio de analogias entre o
modelo (representante) e a coisa modelada (representado).
O modelo de um motor de carro (uma planta, uma maquete, um protótipo) deve
permitir que o engenheiro o explique e tome decisões a partir da interpretação desse
modelo. Para um leigo, essa representação de motor não será um modelo, visto que não
possibilitará nenhuma explicação científica, apenas o representará em sua ausência.
2.1 Representação matemática ou modelo matemático?
Considerando o exposto acima, somos levados a inferir que um modelo
matemático seria uma representação matemática que possibilite algum tipo de
interpretação científica sobre o objeto de conhecimento. Deste modo, a distinção entre
representação matemática e modelo matemático é função do repertório cognitivo de
quem tenta interpretar/utilizar tal representação. Um modelo matemático é fruto de um
processo cognitivo, ou seja, é fruto da mobilização de estruturas internas de
conhecimento pelo sujeito. Portanto, uma representação matemática exige um custo
cognitivo apenas de identificação ou reconhecimento. Um modelo matemático exige a
mobilização de estruturas cognitivas mais elaboradas.
2.2 O fluxo do processo de modelagem
O processo ou a dinâmica da modelagem matemática pode ser realizado em
etapas. Rodney Bassanezi (2004) propõe cinco “atividades intelectuais”, a saber:
•
Experimentação: onde ocorre a obtenção de dados;
•
Abstração: procedimento que deve levar à formulação de modelos matemáticos
(seleção de variáveis, problematização, formulação de hipóteses, simplificação);
4
•
Resolução: atividade própria do matemático. Consiste em usar técnicas de
resolução para tratar o modelo matemático;
•
Validação: processo de aceitação ou não do modelo proposto;
•
Modificação: reformulação dos modelos para garantir coerência e utilidade.
Os passos acima são suficientes para efetivar o processo de modelagem
matemática. Porém, como argumenta o autor acima: só se aprende a fazer modelagem
matemática, modelando!
Barbosa (2001) ressalta que as atividades de modelagem matemática vêm sendo
realizadas basicamente de três maneiras ou, como o próprio autor se refere, em “casos”:
No caso 1 a descrição da situação, os dados reais e os problemas são trazidos
pelo professor, cabendo aos alunos apenas a tarefa de resolução,
No caso 1, o fato de o professor ter simplificado e formulado o
problema não significa a ausência de indagação pelos alunos. Ela está
presente durante o engajamento dos alunos no processo de resolução.
O problema posto pelo professor é uma indagação geradora de outras.
O nível de questionamento dos alunos, certamente, depende do papel
estimulador do professor: “Qual o caminho?”, “Por quê?”, “Como?”,
“Tem certeza? etc.”
(BARBOSA, 2001, p. 39-40).
No caso 2 o professor traz para a sala de aula um problema não-matemático, ou
seja, cabe ao professor formular e apresentar o problema. A coleta de dados qualitativos
e quantitativos necessários para resolver o problema fica a cargo dos alunos.
No caso 3 são escolhidos temas para desenvolver a pesquisa, “...o levantamento
de informações, a formulação de problemas e a resolução destes cabem aos alunos. A
ênfase está em estimular os alunos a identificar situações problemáticas, formulá-las
adequadamente e resolvê-las”.(ibidem, p. 39).
Os “casos” de Barbosa acima apresentados não devem ser tomados como formas
prescritivas rígidas de organização das atividades de modelagem. Dependendo de
contexto escolar e da maturidade do professor e dos alunos com relação à modelagem,
pode-se “passear” entre os casos “... de modo a se nutrirem reciprocamente” (ibidem, p.
40).
5
Chaves e Espírito Santo (2008, p. 159), ao refletirem sobre as diversas
possibilidades de uso e aplicação da modelagem matemática em sala de aula, entendem
a mesma como um processo gerador de um ambiente de ensino-aprendizagem no qual
os conteúdos matemáticos podem ser vistos imbricados a outros conteúdos de outras
áreas do conhecimento, por exemplo, de Física; tendo-se, dessa forma uma visão
holística do problema em investigação.
Entendemos que um ambiente de ensino e aprendizagem é
construído no espaço sala de aula, sem necessariamente se restringir a
ele, a partir do momento em que, cada um de seus participantes,
alunos e professores, assumem responsabilidades e obrigações pelo
desenvolvimento de atividades que visem o ensino e a aprendizagem
do conhecimento, aqui, em particular, o matemático. E, ao entender
Modelagem Matemática como um processo gerador de um
ambiente de ensino e aprendizagem que tem as atividades como
mote, englobamos nesse processo várias possibilidades para o uso da
Modelagem na perspectiva da Educação Matemática. (grifos dos
autores)
(CHAVES e ESPÍRITO SANTO, 2008, p. 159).
3. Interdisciplinaridade
Muito se tem falado nessa palavra nos últimos anos, mas parece que o discurso
não condiz com a prática “poucos sabem o que esta vem a ser e como deve ser exercida
na prática científica e, em especial, na prática docente” (SILVA, 2009, p. 37).
Corroboramos com as idéias de Silva (2009) quando este reflete que a
interdisciplinaridade não está na integração das ciências, mas na atitude do cientista [ou
do modelador matemático] que, ciente de sua capacidade limitada pela necessidade de
especialização, busca informações de outras áreas que permitam melhor compreensão
do fenômeno estudado.
O mesmo autor elenca, a partir de idéias de autores como: Jean Piaget, Edgar
Morin, Vygotsky, David Ausubel e Gerard Vergnaud, alguns princípios para uma
atitude interdisciplinar:
•
Reversibilidade: capacidade de executar uma mesma ação nos dois sentidos de
percurso, porém não perdendo a consciência de que se trata da mesma ação. Tal
capacidade é primária para o desenvolvimento de conduta interdisciplinar, pois
ela permite ao sujeito compor e decompor uma ação mental na busca de um
6
equilíbrio cognitivo necessário à compreensão do objeto de conhecimento
(SILVA, 2009);
•
Abstração reflexiva: este princípio permite ao indivíduo entender que os
conceitos podem ser relacionados na busca do entendimento mais completo de
um dado fenômeno ou um novo conceito. A Biologia explica a fisiologia do
globo ocular; a Física explica os fenômenos óticos e a Matemática explica,
através do conceito de proporcionalidade, como é possível capturar uma imagem
em tamanho real e convertê-la em tamanho menor (ibidem);
•
Aprendizagem significativa: quando a aprendizagem se apóia em organizadores
prévios (que são, na realidade, “velhos” conhecimentos, isto é, conhecimentos já
estabelecidos e consolidados na estrutura cognitiva do sujeito) e os utiliza como
instrumento de aglutinação de novos conhecimentos, procurando diferenciá-los
progressivamente e reconciliá-los em uma rede;
•
A idéia de campo conceitual: a fim de se refletir, explorar e tentar, é necessário
articular os conhecimentos já estabelecidos, que nada mais são do que as
competências que fazem parte do campo conceitual do sujeito que vislumbra
uma postura interdisciplinar;
•
O pensamento complexo de Edgar Morin: que em linha gerais consiste em
romper com a compartimentalização na direção da (re)ligação dos saberes.
É preciso religar o que era considerado como separado. Ao mesmo
tempo, é preciso aprender a fazer com que as certezas interajam com a
incerteza. O conhecimento é, com efeito, uma navegação que se
efetiva num oceano de incerteza salpicado de arquipélagos de
incerteza.
(MORIN, 2002, p. 61 apud SILVA, 2009, p. 46).
Entendemos, portanto, que a interdisciplinaridade está relacionada a um
comportamento, conduta ou atitude educacional que visa (re)estabelecer laços entre os
diversos conhecimentos que orbitam um objeto de estudo. Apesar da necessidade da
especialização na prática científica, é necessário que o sujeito não perca de vista os
laços existentes entre as partes do todo. Interligando-os e relacionando-los para melhor
compreender a realidade a sua volta. Acreditamos que o ambiente gerado pelo processo
de modelagem matemática no ensino possa favorecer a essa postura interdisciplinar.
É importante também perceber que uma atitude interdisciplinar pode ser
mediada por representações matemáticas que possibilitem convergências entre os
7
diversos conhecimentos. Por exemplo, a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 pode ser usada em uma
mesma aula tanto para estudar conceitos de Física (deslocamento de um móvel), quanto
conceitos de Biologia (pressão sanguínea) ou conceitos da economia (importação e
exportação).
4. Metodologia
Descreveremos abaixo os procedimentos metodológicos realizados durante uma
atividade interdisciplinar entre professores Matemática e Física. Primeiramente, os
sujeitos da pesquisa (dois professores de Matemática e um de Física) discutiram qual
seria a questão de pesquisa a ser investigada. Tendo chegado a um consenso, os mesmos
realizaram pesquisas na internet para obter informações sobre um acidente que vitimou
nove pessoas em uma cidade do Brasil. A partir dessas informações construíram um
texto introdutório sobre o desabamento do telhado da igreja. Os sujeitos elaboraram,
então, uma situação-problema envolvendo o tema de pesquisa:
4.1 Situação-problema
O telhado é a parte superior da construção que tem como função principal
protegê-la das intempéries (sol, chuva, vento etc.) e também proporcionar isolamento
térmico à edificação. É composto por estrutura própria para o carregamento de forças
incidentes, é coberto por telhas dispostas de maneira a canalizar as águas pluviais ao
solo. As telhas são apoiadas sobre uma estrutura inclinada, e também tem função
estética, quando bem desenhado embeleza a construção.
A tesoura (estrutura de madeira que serve par sustentar o peso do telhado, figura
1) é um elemento fundamental na construção de telhados. O telhado é tão importante
quanto o alicerce de uma casa, por isso devemos construir tesouras que suportem o peso
de um telhado, principalmente nos dias de chuva quando as telhas ficam mais pesadas.
Pretende-se trocar a cobertura do telhado abaixo por telhas do tipo colonial. No
entanto, precisamos verificar se a viga principal da tesoura suportará o peso do novo
telhado.
8
→
→
→
→
Figura 1. Tesoura de um telhado mostrando três forças (f1, f2 e f3) que convergem para o
ponto P.
4.2 Análise da situação-problema
Após a compreensão geral da situação e formação de um modelo mental2 da
mesma, pode-se passar para a etapa de análise da situação física: para saber se a viga
principal suportará o peso do novo telhado é preciso calcular o peso total e comparar
com a carga de ruptura3 da viga. Se o peso do novo telhado for maior que a carga de
ruptura é preciso reforçá-la, caso contrário o serviço de reforma poderá ser feito sem
problema de desabamento do telhado.
4.3 Problematizando a situação física
a) Qual o peso do novo telhado?
Desde já é importante esclarecer a diferença entre peso e massa. Enquanto o
primeiro é uma força que tem direção para o centro da terra e normalmente é calculada
em unidades de força (Newtons, N), a segunda é a quantidade de matéria de um corpo,
normalmente calculada em unidade de massa (quilogramas, kg).
Para saber o peso do novo telhado temos que multiplicar a massa do novo
telhado pela aceleração da gravidade. A massa do novo telhado é calculada
multiplicando-se a quantidade de telhas pela massa de uma única telha. A quantidade de
2
Os modelos mentais são estruturas cognitivas formadas no ato da compreensão de uma situação ou de
um problema, capacitam o sujeito a explicar, inferir, fazer predições.
3
Força máxima suportada pela viga na iminência de ruptura. Estamos admitindo o valor de 20.000
Newtons.
9
telhas é calculada dividindo-se a área total a ser coberta pela área de uma única telha
colonial.
i) calculando a área total a ser coberta.
Para calcular a área total a ser coberta, vamos admitir um telhado com as
seguintes dimensões,
Figura 2. Dimensões do telhado a ser coberto.
A área total consiste de dois retângulos de área 5 x L, logo a área a ser coberta é
dada por,
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚á𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 2 𝑥𝑥 5𝑚𝑚 𝑥𝑥 𝐿𝐿(𝑚𝑚)
Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 10𝐿𝐿
Podemos calcular a medida do lado L de duas maneiras: através do ângulo β ou
pelo teorema de Pitágoras.
L
β
h
6m
Figura 3. Vista frontal da tesoura do telhado da casa.
10
Após alguma pesquisa em revistas, livros técnicos, entrevistas com profissionais
da área de construção e na internet, podemos encontrar relações que nos dão o valor do
ângulo β em função da altura h. Biembengut e Hein informam que “Experimentalmente,
o caimento das tesouras deve ser de 20%, ou seja, a cada metro da horizontal
corresponderá 20 cm do suporte vertical” (2003, p. 63). Logo, como a casa tem 6m de
comprimento, a metade tem 3m. Desta forma o suporte vertical deverá ter 1,20m.
L
1,20m
β
3m
L
1,20m
β
3m
Figura 4. Cálculo do lado L.
Vamos calcular a medida do lado L usado o teorema de Pitágoras:
𝐿𝐿2 = 32 + 1,202
𝐿𝐿2 = 9 + 1,44
𝐿𝐿2 = 10,44
𝐿𝐿 = �10,44
𝐿𝐿 = 3,23𝑚𝑚
Podemos também calcular o lado L por meio do ângulo β:
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 =
1,20
3
11
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 0,4
𝛽𝛽 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑡𝑡 0,4
𝛽𝛽 = 21,80°
Usando a lei dos senos temos que:
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 =
𝐿𝐿 =
1,20
𝐿𝐿
1,20
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠21,80
𝐿𝐿 =
1,20
0,37
𝐿𝐿 = 3,23𝑚𝑚
Podemos agora calcular a área a ser coberta,
Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 10 𝐿𝐿
Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 10 𝑥𝑥 3,23
Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 32,3𝑚𝑚2
ii) calculando a área de cada telha colonial.
Podemos obter as dimensões de uma telha colonial através de pesquisa na
internet ou medindo-se diretamente com uso de uma trena. A figura 5 nos dá os
seguintes valores:
16 cm
56 cm
21 cm
partes sobrepostas
Figura 5. Dimensões de uma telha colonial (adaptado de www.ceramicaforte.com.br).
12
Comprimento: 56 cm;
Base maior: 21 cm;
Base menor: 16 cm.
A área da telha pode ser dada pela área do trapézio,
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚á𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = (𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 )𝑥𝑥
Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ𝑎𝑎 = (21𝑐𝑐𝑐𝑐 + 16𝑐𝑐𝑐𝑐) 𝑥𝑥
Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ𝑎𝑎 = 1.036𝑐𝑐𝑐𝑐2
56𝑐𝑐𝑐𝑐
2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
2
iii) Calculando a quantidade de telhas.
A quantidade de telhas é calculada dividindo-se a área a ser coberta pela área de
cada telha,
Área a ser coberta = 32,3m2
Área de cada telha = 1.036cm2
Devido as unidades de medida serem diferentes, ou seja, a área a ser coberta está
em m2 e a área de cada telha está em cm2, para efetuar a divisão temos que transformar
as medidas para a mesma unidade. Vamos usar as medidas em m2.
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚á𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 =
á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ𝑎𝑎
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 =
32,3𝑚𝑚2
0,1036𝑚𝑚2
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 = 311,77
iv) Calculando a massa total das telhas
Para calcular a massa total das telhas temos que multiplicar a quantidade de
telhas pela massa de uma única telha (quadro 1),
13
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚á𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞. 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ𝑎𝑎
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 = 311,77 𝑥𝑥 2,90𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 = 904,15 𝑘𝑘𝑔𝑔
v) Calculando o peso das telhas.
Para calcular o peso das telhas temos que multiplicar a massa total das telhas
𝒎𝒎
pela aceleração da gravidade (𝑔𝑔 = 9,80665 𝟐𝟐 )
𝒔𝒔
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚á𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 = 904,15𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑥𝑥 9,80665
A unidade 𝒌𝒌𝒌𝒌
𝒎𝒎
𝒔𝒔𝟐𝟐
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 = 8.860,67 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑚𝑚
𝑠𝑠 2
𝑚𝑚
𝑠𝑠 2
é chamada de Newton (N), em homenagem ao Físico e
Matemático Isaac Newton (1642-1727). Portanto, podemos denotar o peso das telhas da
seguinte forma,
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 = 8.860,67 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 (𝑁𝑁)
Comparando-se a carga de ruptura da viga (20.000N) com o peso total do novo
telhado (8.860,67 N), percebemos que o peso do telhado é cerca de 45% da carga de
ruptura da viga. Logo, poderíamos dizer que o serviço poderia ser feito com segurança,
ou seja, sem perigo de desabamento. Porém, o cálculo do peso do novo telhado pode ser
feito de outras duas maneiras, isto é, usando as informações das colunas rendimento e
peso do quadro 1.
a) Usando a coluna rendimento
Sabe-se que na hora da colocação das telhas existem partes que ficam
sobrepostas (observar figura 5). Levando-se em consideração essa perda de área efetiva,
vamos nos deter na coluna rendimento do quadro 1 para calcular o peso do novo
telhado.
14
Quadro 1- Características das telhas do tipo colonial4.
Telha colonial
Massa (kg)
Rendimento
Inclinação (°)
Peso telhamento
(telhas/m2)
2,90
Seco/úmido (N/m2)
20
18 a 22,5
650 a 780
Percebemos que o rendimento da telha colonial é de 20 telhas por metro
quadrado. Para saber quantas telhas serão usadas podemos fazer uma regra de três
simples e multiplicar a área do total do telhado pelo rendimento.
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 = 32,3𝑚𝑚2 𝑥𝑥 20
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑚𝑚2
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 = 646 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎
i) Calculando a massa total das telhas.
Para calcular a massa total das telhas devemos multiplicar a quantidade de telhas
calculada de acordo com o rendimento do quadro 1 pela massa de uma única telha,
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 = 646 𝑥𝑥 2,90 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 = 1.873,4
ii) Calculando o peso total das telhas.
O peso total das telhas é calculado multiplicando-se a massa total das telhas pela
𝑚𝑚
aceleração da gravidade (g = 9,80665 2 ).
𝑠𝑠
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 = 1.873,4𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑥𝑥 9,80665
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 = 18.359,32 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑚𝑚
𝑠𝑠 2
𝑚𝑚
𝑜𝑜𝑜𝑜 18.359,32𝑁𝑁
𝑠𝑠 2
Nota-se que o peso do telhado calculado pelo rendimento do quadro 1
(18.359,32 N) é bem próximo à carga de ruptura do telhado (20.000 N). Talvez com o
4
Quadro construído pelos sujeitos da pesquisa por meio de pesquisa na internet.
15
peso da água da chuva a viga pudesse não agüentar. Por esse fato e também por
prevenção, o serviço não poderia ser realizado, devido o risco de desabamento do
telhado.
b) Usando a coluna peso telhamento seco/úmido.
Vamos usar a relação que fornece o peso do telhamento úmido que, de acordo
com quadro 1 é de 780 N/m2. Já que temos a área a ser coberta, podemos calcular o peso
do telhado através de uma regra de três simples.
𝑃𝑃𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ú𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 32,3 𝑚𝑚2 𝑥𝑥 780
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ú𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 25.194 𝑁𝑁
𝑁𝑁
𝑚𝑚2
Notamos que esse peso é superior à carga de ruptura da viga de madeira do
telhado a ser reformado. Portanto, podemos concluir que não basta apenas trocar as
telhas, é necessário reforçar a viga para que não haja perigo de desabamento.
Muitas vezes quando se vai reformar um telhado é comum trocar apenas as
telhas velhas por novas, sem trocar ou reforçar as estruturas que suportam o peso do
telhado. O perigo maior ocorre quando se trocam as telhas antigas por telhas mais
pesadas. Vários desabamentos de telhados poderiam ser evitados se fosse observada a
resistência dos materiais empregados na construção ou reforma desses telhados.
5.0 Considerações finais
A atividade que acabamos de desenvolver teve como objetivo mostrar como o
professor (de física ou de matemática) poderia ter uma atitude interdisciplinar em sala
de aula, usando o processo de modelagem matemática como gerador de ambiente de
ensino-aprendizagem.
Poderíamos nos perguntar em que ponto(s) o processo de modelagem
matemática diferencia-se da resolução de problemas? A resposta a essa pergunta ocorre
quando se leva em consideração a postura do modelador matemático. A atitude do
modelador durante o processo de modelagem deve privilegiar, além da conduta
interdisciplinar,
a
elaboração
de
representações
matemáticas
interpretáveis
16
cientificamente (modelos matemáticos), sendo que o problema formulado apenas auxilia
a essa finalidade. Já o sujeito que privilegia a resolução de problemas como
metodologia de ensino-aprendizagem considera as representações matemáticas como
ferramenta auxiliar na resolução dos problemas.
Percebemos durante a realização da atividade que a dinâmica da modelagem
exige pesquisa. Esse fato tem aspectos positivos e negativos: positivamente um
ambiente de pesquisa poderá incentivar o aluno a procurar informações sobre um tema
que ele acha interessante. Muitas vezes durante a pesquisa de um assunto que
aparentemente não parece ser intrigante, o aluno depara-se com outro assunto que pode
ser interessante para ele. O professor deverá ficar atento sobre o tema que o aluno
encontrou interesse e orientá-lo de acordo.
Negativamente, o ambiente de pesquisa da modelagem poderá demandar de um
tempo que o aprendiz pode não ter para pesquisar. Nesse caso o professor deverá
auxiliar na busca de dados, muitas vezes levando o problema com os dados fornecidos,
ficando o aluno apenas com a tarefa de “trabalhar” com modelos matemáticos para
resolver o problema, conforme o caso 1 de Barbosa.
Observa-se também que os conteúdos de Matemática e de Física foram
simplesmente “surgindo” conforme a necessidade para se resolver os problemas. Deste
modo, eles não foram “impostos” pelo professor. Quando necessário, o grupo procurou
as informações indispensáveis para resolver os problemas levantados. Desse modo,
houve maior participação e os conteúdos ganharam significado de forma natural.
Entre os assuntos abordados podemos destacar:
De matemática:
•
Área das figuras planas;
•
Trigonometria;
•
Unidades e transformações de medidas;
•
Regra de três simples;
•
Números decimais.
De Física:
•
Conceitos de massa e peso;
17
•
Cálculo de massa;
•
Calculo da força peso;
•
Transformações de unidades de medidas.
Verificamos que o ambiente de modelagem matemática torna possível uma
atitude interdisciplinar entre professores de Matemática e Física. Ao mesmo tempo em
que se abordaram conteúdos de Matemática foi possível trabalhar conteúdos de Física.
A atitude interdisciplinar no ensino faz com que os assuntos permaneçam “ligados”
apesar da especificidade de cada um.
Referências
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professores. 2001. 256f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Instituto de
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estruturador da matemática no conhecimento científico. In: PIETROCOLA, M. (Org.).
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