12
Cosmologia
A cosmologia trata de temas cujo interesse é inerente a todos os seres humanos que após uma longa jornada evolucionária, de certa forma revivida por
todos a partir da concepção até o despertar da consciência, passa a explorar
o mundo que os acollhe. O conhecimento sobre este mundo vai se tornando
cada vez maior, idade após idade e geração após geração, graças à capacidade
humana de transmitir os conhecimentos adquiridos para as gerações futuras,
num processo cumulativo responsável pela civilização tecno-cientí…ca atual.
Assim como a necessidade de saciar a fome …siológica é um dos instintos
básicos de sobrevivência, a necessidade de saciar a fome de conhecimento
é um instinto necessário para a sobrevivência futura como civilização, emprurrando do confortável berço humano que é a Terra em direção ao espaço
exterior. É possível intuir que, assim como os peixes que abandonaram o
ambiente aquático para colonizarem a terra …rme deixaram de ser peixes,
os homens no espaço deverão passar por um longo processo evolucionário
para se adaptarem ao novo ambiente. A partir daí, por enquanto, somente a
…cção cientí…ca para explorar as múltiplas possibilidades. Assim, é natural
que a cosmologia desperte tantos fascínios, seja entre leigos ou cientistas.
Nos remete a questões que podem afetar as crenças mais arraigadas de cada
um de nós e de por à prova todos os conhecimentos adquiridos pela ciência
ao longo do tempo. Questões tão ancestrais quanto a origem e o destino do
próprio homem assim como a origem e o destino do universo. Questões ligadas a conceitos intangíveis como o in…nitamente pequeno e o in…nitamente
grande, as propriedades físicas e geométricas do espaço-tempo e a sua relação
com a matéria e tudo o mais que o popula.
Este material pretende apresentar uma visão geral da cosmologia, abordando as principais conquistas e os desa…os futuros. O Princípio Cosmológico
é a base da Cosmologia Moderna e a Relatividade Geral fornece a ferramenta
teórica matemática para lidar com a estrutura do espaço tempo na presença
da interação gravitacional que, acredita-se, seja predominante em escala cosmológica.
A equação fundamental da Cosmologia é a equação de Friedmann que,
casualmente, pode ser obtida usando a energia potencial gravitacional newtoniana e a equação de conservação da energia mecânica total. Numa fase
introdutória, é um procedimento útil para manter em foco a cosmologia, evitando o estresse de uma abordagem direta via Relatividade Geral. Dados
estes passos iniciais, a cosmologia é sem dúvida um dos maiores campos de
aplicação da Relatividade Geral, o que pode tornar sua aprendizagem bastante prazerosa.
O Modelo Cosmológico Padrão descreve a evolução do Universo coman178
dada pela interação gravitacional após a grande explosão inicial (Big Bang)
que forneceu a energia cinética necessária para o movimento de expansão atual. Levando em conta o ambiente do espaço-temporal e o seu conteúdo energético, o modelo cosmológico padrão faz uma série de previsões bem sucedidas como a presença da radiação cósmica de fundo na região do micro-ondas e
a abundância relativa dos elementos químicos leves. Um modelo cosmológico
mais abrangente, o Modelo In‡acionário, explora os efeitos quânticos e interações de curto alcance que acredita-se sejam predominantes na fase inicial da
evolução do Universo para descrever a dinâmica da grande expansão inicial
e a presença de pequenas inomogeneidades primordiais que darão origem às
grandes inomogeneidades atuais como os aglomerados galácticos.
O universo observável é constituído de matéria bariônica com as suas
quatro interações fundamentais e a dinâmica da evolução do universo prevê
uma densidade bem próxima à densidade crítica. Entre os problemas da
cosmologia atual, a densidade prevista de matéria bariônica é da ordem de 4%
em relação à densidade crítica e também estudos das velocidades de rotação
das estrelas em torno de núcleos galácticos preveem a existência de uma
matéria não visível (matéria escura) responsável por cerca de 80% da massa
total de uma galáxia, restando 20% para a matéria bariônica. Esta proporção
também está de acordo com os dados fornecidos pelas lentes gravitacionais.
No cômputo geral, a matéria bariônica contribui com
5%, a matéria
escura com 20% e uma ainda misteriosa energia escura com 75%, tendo
como base a densidade crítica. Enquanto a matéria escura é dominante nas
grandes inomogeneidades, moldando as galáxias e os aglomerados galácticos, a energia escura deve estar diluída numa distribuição uniforme em todo
o universo. Necessária para explicar a expansão acelerada do universo nos
tempos mais recentes, observada a partir dos levantamentos sistemáticos das
velocidades de recessão de supernovas padrões conhecidas como tipo Ia, deve
ser responsável por uma força gravitacional de natureza repulsiva, estando
associada à constante cosmológica introduzida por Einstein num outro contexto.
Muitas das teorias de uni…cação das interações fundamentais pretendem
ser compatíveis com a a evolução do universo, partindo de uma interação inicial uni…cada e sofrendo quebras em processos similares a transições de fases
à medida que a densidade de energia do universo vai diminuindo em função
da expansão. A primeira a se desacoplar é a interação gravitacional, de
longo alcance, responsável pela evolução do universo em escala cosmológica.
A seguir, a interação nuclear forte, de curto alcance, responsável pela estrutura da matéria hadrônica (bárions e mésons), possibilitando a formação dos
núcleos atômicos. Por último, a separação das interações fraca e eletromagnética, resultando na con…guração presente, quando os elétrons são captura179
dos pelos núcleos atômicos com a formação dos elementos químicos. Matéria
e radiação se desacoplam, tornando o universo transparente e iniciando a era
atual, dominada pela matéria.
12.1
Cosmologia observacional
Vamos começar da Terra, o planeta que habitamos. É um dos nove (dez?)
planetas orbitando ao redo do Sol, formando o Sistema Solar, que inclui ainda
outros objetos como cometas, asteróides, luas, etc. Acredita-se que sistemas
planetários como o nosso Sistema Solar sejam comuns, sendo que o Sol é uma
estrela como tantas outras. Na realidade, observa-se que cerca de 90% das
estrelas formam sistemas binários, ternários, etc., até cinco estrelas ligadas
gravitacionalmente em órbitas próximas. Estas estrelas ou sistemas estelares,
por sua vez, formam aglomerados ou organizam-se em estruturas de galáxias,
podendo conter entre 106 a 1012 estrelas. A Via Láctea é a nossa galáxia, o
Sol localizando-se nos limites de um dos seus braços espirais. Uma galáxia
típica tem dimensão da ordem de 0,1 Mpc. O parsec, abreviatura de paralax
per second, corresponde à distância de uma estrela …xa tal que um observador
na Terra, ao ocupar as posições opostas durante a sua translação em torno do
Sol, vê a posição desta estrela deslocada de um segundo de arco, e equivale a
3; 262 anos-luz. Um ano-luz, por sua vez, de…ne a distância percorrida pela
luz no vácuo durante um ano, sendo 1ano luz = 9; 461 1017 cm. Estima-se
que a Via Láctea contenha aproximadamente 100 bilhões (1011 ) de estrelas
distribuídas no bulbo central e no disco equatorial que se extende a 110.000
anos-luz de diâmetro. Os braços espirais contém gás, poeira e estrelas.
As galáxias próximas ligam-se gravitacionalmente, podendo formar sistemas binários, por exemplo, assim como aglomerados de galáxias, separadas
por distâncias da ordem de 1 Mpc. A maioria dos aglomerados de galáxias
são pequenos, contendo em torno de poucas dezenas de galáxias e gases intergalácticos. No entanto, alguns aglomerados maiores podem conter alguns
milhares de galáxias. A nossa Via Láctea pertence a um pequeno aglomerado
chamado Grupo Local, com cerca de outras 25 galáxias menores.
Os grupos e aglomerados de galáxias formam estruturas maiores, os super aglomerados de galáxias, com dimensões da ordem de 100 Mpc, sendo
estas as maiores estruturas ligadas gravitacionalmente. Acima dos 100 Mpc,
a interação gravitacional torna-se bastante tênue, de modo que os superaglomerados de galáxias praticamente não interagem entre si, distribuindo-se
uniformemente, separadas por distâncias também da ordem de 100 Mpc.
Assim, conforme as observaçãoes astronômicas vão se aprofundando, a
distribuição de matéria altamente inhomogênea e anisotrópica representada
pelas estrelas, galáxias, aglomerados e super-aglomerados de galáxias passa
180
a se repetir, mostrando que, a partir de uma determinada escala, cosmológica, correspondente a distâncias da ordem de 100 Mpc, a distribuição de
matéria observável torna-se homogênea e isotrópica, reforçando a idéia de
que não deve haver posições ou orientações privilegiadas no universo. A recessão sistemática das galáxias distantes, observada pela primeira vez por
Hubble, com velocidade de recessão proporcional à distância, também indica uma distribuição homogênea de matéria estelar. Mais recentemente foi
detectada a radiação cósmica de fundo na faixa de micro-ondas, com distribuição altamente isotrópica. Presume-se que esta radiação provenha dos
primórdios da evolução do universo, quando a temperatura esfriou o su…ciente para possibilitar o desacoplamento da matéria e radiação, ocorrida
com a captura dos elétrons livres remanescentes pelos núcleos atômicos com
a formação dos primeiros elementos químicos. A expansão do universo afeta
as distâncias somente a partir da escala cosmológica, justamente pelo fato
de os super aglomerados de galáxias, distribuídas uniformemente, não mais
estarem ligadas gravitacionalmente.
12.1.1
Desvio da raia espectral
As luzes provenientes das galáxias são emitidas no interior das estrelas podem passar através dos gases quentes, nuvens e aglomerados globulares.
Deste modo, além de informações macroscópicas como o tamanho e a forma
das galáxias, por exemplo, carregam informações sobre as propriedades microscópicas, como a composição química dos gases, nuvens e aglomerados
galácticos, que podem ser obtidas pela análise espectral da luz. De fato, a
decomposição espectral acusa a presença de linhas de absorção características dos elementos químicos presentes nos gases através dos quais passa a luz
proveniente do interior das estrelas.
Um dos fatos mais importantes da cosmologia observacional é a presença
de um desvio sistemático para o vermelho (red shift) das raias espectrais
de galáxias distantes, tanto maior quanto mais distantes. Estas observações
foram apresentadas pela primeira vez por Edwin Hubble em 1929 como resultado dos estudos sistemáticos conduzidos pelo mesmo no levantamento das
distâncias das galáxias. Supondo que se conheça a luminosidade absoluta
da fonte (potência), Lapar , a distância, r pode ser inferida a partir da sua
luminosidade aparente (energia/área/unidade de tempo), Lapar , através da
relação geométrica
Labs
:
(1)
4 r2
Observa-se que quanto mais distante a galáxia maior é o desvio para o
Lapar =
181
vermelho (redshift) e se este desvio for creditado ao efeito Doppler, signi…ca
que as galáxias distantes estão se afastando da Via Láctea com velocidades
crescentes com a distância.
O efeito Doppler relativístico é dado por
0
=
em
0
(1
(2)
cos )
é a freqüência de emissão,
a freqüência de observação,
=p
1
1
= V =c,
(3)
2
e é o ângulo de incidência da luz de…nida pelo vetor de onda k em relação à direção da velocidade relativa fonte-observador V . Em deslocamentos
frontais, = 0 e = implicam movimentos relativos de aproximação e de
afastamento, respectivamente, entre a fonte e o observador.
O desvio para o vermelho signi…ca que as frequências de observação são
menores do que as correspondentes frequências de emissão, < 0 , e portanto
a fonte e o observador devem estar se afastando ( = ), de modo que a
equação (2) …ca
0
=
ou, em termos de comprimento de onda
=
(4)
(1 + )
0
= c= ,
(5)
(1 + ) :
No caso de velocidades não relativísticas, V
que
' 0 (1 + ) ;
c,
1e
' 1, de modo
(6)
de onde resulta o parâmetro de red shift
z=
0
0
'
V
:
c
(7)
Hubble observou que o parâmetro de red shift das galáxias resultava proporcional à distância r das mesmas em relação à Via Láctea,
z=
V
H0
=
r;
c
c
(8)
que é a lei de Hubble. Atualmente a constante de Hubble é de…nido como
H0 = 100h km=s=M pc
182
(9)
juntamente com o parâmetro h que deve ser determinado a partir das observações, que lhe confere o valor
h = 0; 65+0:15
0:1 :
12.1.2
Universo em expansão
A lei de Hubble (8) é perfeitamente compatível com a homogeneidade e
isotropia do universo, e pode ser considerado como mais uma evidência desta
homogeneidade e isotropia espacial, embora em evolução no tempo. Vamos
reescrever a lei de Hubble na forma vetorial,
v = H0 r ;
(10)
onde r e v são os vetores posição e velocidade, respectivamente, para um
observador em repouso tendo como referencial a Via Láctea, por exemplo.
Sejam r1 e r2 as posições relativas a este observador que satisfazem a lei de
Hubble, isto é,
v1 = H0 r1 e v2 = H0 r2 ;
onde v1 e v2 são as velocidades de recessão dos objetos localizados nas
posições r1 e r2 , respectivamente. Então
v1
v2 = H0 (r1
r2 ) = H0 r ;
mostrando que a lei de Hubble também é válida para um observador em r1
ao observar o objeto em r2 , e vice-versa.
Esta dinâmica e a isotropia tornam conveniente a introdução de um fator
de escala, R(t), para a distância radial,
r(t) = R(t) r(t0 ) = R(t) r0 ;
(11)
onde t0 é um tempo de referência, que pode ser o tempo presente, tal que
R(t0 ) = 1. Em situações não suscetíveis a confusões, podemos usar a notação
simpli…cada r = r0 = r(t0 ), que é a distância no tempo presente.
A derivada em relação ao tempo de (11) é a velocidade radial, que …ca
r(t) = R(t) r0 =
R(t)
R(t)
R(t) r0 =
r(t)
R(t)
R(t)
(12)
que, com o parâmetro de Hubble
H(t) =
R(t)
;
R(t)
183
(13)
resulta na lei de Hubble
(14)
v(t) = H(t) r(t) :
No tempo presente é justamente a equação (8), para
H0 =
R(t0 )
= R(t0 ) :
R(t0 )
(15)
Existe uma outra relação importante envolvendo o parâmetro de red shift,
e que iremos deduzir a seguir. Considere uma fonte luminosa localizada
a uma distância radial r. Se a luz for emitida no instante t1 , chegando
até o observador em t0 , o intervalo de tempo gasto neste percurso pode ser
calculado integrando a relação diferencial
cdt = dr(t) = R(t)dr
que descreve a propagação da luz da fonte até o observador. Assim,
Z 0
Z t0
1
dr = f (r) :
dt =
c
r
t1 R(t)
Se a segunda frente de onda partir no instante t1 +T1 , chegando ao observador
no instante t0 + T0 , teremos
Z t0 +T0
Z 0
1
c
dt =
dr = f (r) :
(16)
t1 +T1 R(t)
r
A integral do lado esquerdo desta equação pode ser desdobrada em
Z t0 +T0
Z t1 +T1
Z t0
Z t0 +T0
1
cdt
cdt
cdt
c
dt =
+
+
;
R(t)
R(t)
t1 +T1 R(t)
t1
t1 R(t)
t0
(17)
que, comparada com a integral em (16) resulta
cT1
cT0
+ f (r) +
= f (r) ;
R(t1 )
R(t0 )
(18)
que, a partir das relações entre período, frequência e comprimento de onda,
resulta
T1
R(t1 )
0
1
=
=
=
= R(t1 ) ;
(19)
T0
R(t0 )
1
0
lembrando que R(t0 ) = 1. Assim, o parâmetro de red shift resulta
z=
0
1
=
1
184
1
R(t1 )
1:
(20)
O desvio para o vermelho signi…ca 0 > 1 e consequentemente, z positivo,
implicando no universo em expansão tal que R(t1 ) < R(t0 ) = 1. De uma
forma geral,
R(t) =
1
z+1
(21)
e
0
=
1
R(t1 )
=
R(t)
:
(22)
Esta última relação pode ser reescrita em termos de frequências,
0
12.1.3
=
1 R(t1 )
= R(t) :
(23)
Radiação cósmica de fundo
A observação feita em 1929 por Edwin Hubble da presença de um desvio
sistemático para o vermelho (red-shift) das raias espectrais provenientes de
objetos astrofísicos distantes, diretamente proporcional à distância (lei de
Hubble), implica que o universo como um todo encontra-se em expansão e
portanto, tornando-se cada vez mais diluído e frio. Assim sendo, no passado
deve ter sido muito mais quente e denso do que no presente, podendo-se concluir que o universo teve um início quente e denso, resfriando-se e tornando-se
mais rarefeito enquanto se expandia.
Também, pelos dados observacionais, sabemos que o universo presente
é aproximadamente homogêneo e isotrópico, pelo menos em escalas muito
grandes. Como a força gravitacional é atrativa, ela tende a aumentar as
inomogeneidades com o tempo, de modo que no passado o universo deve ter
sido ainda mais homogêneo do que o observado atualmente.
Portanto, durante a sua evolução, o universo deve ter passado por uma
época na qual a densidade de energia e a temperatura tinham valores extremamente altos comparados com os valores atuais. Deve ter passado por
fases onde matéria e radiação estavam em equilíbrio térmico, pares matériaantimatéria sendo criados e aniquilados em igual velocidade. Com a expansão e consequente diminuição da temperatura, a matéria como a conhecemos
hoje começam a surgir, com elétrons, prótons, nêutrons, etc., em velocidades
médias ultra-relativísticas, em equilíbrio térmico com a radiação. Com o
gradual esfriamento, núcleos atômicos começam a se formar, primeiramente
ainda em estado ionizado, e depois, já começando a capturar os elétrons, formando as primeiras estruturas atômicas (recombinação). Isto ocorre quando
a temperatura cai abaixo de T < 30000 K (kT < 10eV ), e de…ne o desacoplamento matéria-radiação. Os fótons, que estavam em equilíbrio térmico com
os elétrons e os prótons remanescentes, não podem mais interagir com a
185
matéria agora na forma atômica neutra, e propagam-se com pouquíssima
interferência, resfriando-se e diluindo-se com a expansão do universo a uma
taxa mais elevada que a matéria. Estes fótons residuais é que dão origem
à radiação cósmica de fundo, detectada hoje na faixa de frequências de microondas. Como estava em perfeito equilíbrio térmico com a matéria até o
desacoplamento matéria-radiação, deve apresentar o espectro de uma radiação de corpo negro, como realmente ocorre, correspondente à temperatura
atual de aproximadamente 30 K. A sua distribuição espacial é extremamente
isotrópica, coerente com o universo inicial também extremamente homogêneo e isotróprico. No entanto, observações mais precisas indicam minúsculas
inomogeneidades representadas por perturbações de uma parte em 105 com
relação à temperatura de fundo, que correspondem a ‡utuações da ordem
de ~10 5 0 K. Acredita-se que estas pequenas inhomogeneidades (em escala
cosmológica) são a origem das atuais inhomogeneidades da distribuição de
matéria, formando os aglomerados de matéria que deram origem às galáxias.
Esta radiação cósmica de fundo foi detectada, casualmente, em 1964,
por Arno Penzias e Robert Wilson, dois astrônomos a serviço da Bell Laboratories, cujo objetivo era identi…car as fontes causadoras das persistentes
interferências nas telecomunicações.
12.1.4
Raios cósmicos
A maior parte das informações do espaço exterior são obtidas através de
observações ópticas estendidas a um amplo espectro da radiação eletromagnética através de detectores sensíveis a faixas especí…cas de frequências, desde
ondas de baixa frequência (ondas de rádio), passando por micro-ondas, infravermelho, a luz visível, ultravioleta, raios X e raios gama. Outras informações nos chegam de forma mais direta, através de inúmeros impactos
de objetos e matérias provenientes do espaço exterior. Podem ser objetos
macroscópicos, como os meteoritos, ou microscópicos, essencialmente partículas elementares que formam a matéria usual, como prótons e outros núcleos
atômicos altamente energéticos, identi…cados como raios cósmicos.
Os raios cósmicos de baixa energia, até da ordem de 109 eV , são principalmente de origem solar ou sofrem forte in‡uência solar, e são em parte
desviados ou capturados pelo campo geomagnético, penetrando na alta atmosfera pelas regiões polares. Os raios cósmicos de alta energia, até da ordem
de 1016 eV , são partículas liberados nas explosões estelares super-novas, por
exemplo, com energias iniciais da ordem de centenas de M eV e que, sob a infuência do fraco campo magnético intergaláctico, são mantidos aprisionados
pelas linhas de campo. Ao encontrarem e colidirem com regiões de inhomogeneidades do campo magnético, adquirem e aumentam a sua energia, num
186
processo estatístico sucessivo sugerido por Fermi. A partir de aproximadamente 1018 eV , o raio de giro magnético torna-se maior que a espessura do
disco galáctico, podendo abandonar a galáxia. Por este motivo, acreditase que os raios cósmicos ultra-energéticos, com energias entre
1018 eV a
1020 eV , sejam extra-galácticos. Evidências recentes apontam a sua origem
para os núcleos de galáxias ativas, onde aparentemente matérias estelares
estão sendo capturadas por buracos negros.
O elétron-volt, eV , é uma unidade de energia correspondente à energia
potencial de um elétron submetido a uma diferença de potencial de 1 volt, e
tem a equivalência 1eV = 1; 602 10 19 Joule0 s. Comumente é usado também
como unidade de massa, considerando a equivalência massa-energia E = mc2
da Relatividade Restrita.
Como partículas carregadas com energias da ordem de 1019 eV , ao interagirem com os fótons da radiação cósmica de fundo, tendem a perder energia
rapidamente em reações de foto-produção de píons do tipo p + ! n + +
e p + ! p + 0 , por exemplo, a presença dos raios cósmicos com energias
acima da ordem de 1020 eV con…gura-se um dos grandes mistérios da física
atual, principalmente porque não se conhece nenhuma fonte próxima, até
da ordem de 50 Mpc, com mecanismos capazes de fornecer energias tão altas, agravado pelo fato de estes raios cósmicos ultra-energéticos aparecerem
distribuídos isotropicamente.
As partículas primárias dos raios cósmicos são essencialmente matéria
comum, prótons e núcleos atômicos leves, em proporção similar à da matéria
presente no sistema solar, e a ausência de anti-partículas é um indicativo de
que, pelo menos nas regiões de onde vem os raios cósmicos, o nosso universo
é constituído principalmente de matéria.
12.1.5
Matéria escura
Uma galáxia típica tem dimensão da ordem de 0,1 Mpc., podendo conter
algo entre 106 a 1012 estrelas. A maior parte das estrelas localiza-se no
núcleo da galáxia, bulbo (bojo) esférico com raio da ordem de 1 kpc, em cujo
centro pode residir um buraco negro super massivo. Além do bulbo central,
a maioria das galáxias estende-se em forma de disco, com diâmetro da ordem
de 50 kpc contendo estrelas, gases e poeira intergaláctica, em formação de
braços espirais mais densos.
Estudos mostram que as velocidades de rotação das estrelas ao redor do
núcleo das galáxias, em função da distância radial ao centro galáctico, não
é compatível com a matéria observável em forma de estrelas, gases e poeira
intergaláctica, indicando um de…cit de matéria da ordem de ~80% em termos
da matéria total necessária para explicar a dinâmica do movimento estelar.
187
Esta matéria não visível, que recebeu a denominação de matéria escura, deve
estar distribuída em toda a extensão da galáxia, estendendo-se muito além
do núcleo e dos braços espirais, numa distribuição esfericamente simétrica,
denominada halo. A matéria escura deve interagir predominantemente via
interação gravitacional e, dependendo da sua natureza física, por enquanto
desconhecida, via interação fraca, o que poderia tornar detectável, indiretamente, pelas observações de decaimentos previstos pela interação eletrofraca.
Uma outra evidência associada à matéria escura é o efeito de lente gravitacional observada em algumas formações de galáxias distantes só justi…cável
pela presença de uma massa muito maior que a devida à matéria visível.
12.1.6
Energia escura
Baseados nas medições recentes das velocidades de recessão de supernovas
tipo Ia, usadas como velas padrão de luminosidade, em função de suas distâncias, chega-se à conclusão de que a expansão do universo ocorre de forma
acelerada, contrariando a previsão do Modelo Cosmológico Padrão, onde a
aceleração é intrinsecamente negativa devido à força gravitacional atrativa.
No entanto, esta di…culdade pode ser contornada recorrendo a um artifício inicialmente usado por Einstein para obter soluções estacionárias, introduzindo a constante cosmológica nas suas equações.
Levando em conta os dados atuais, chega-se à conclusão de que, dentre todos os constituintes do universo, algo da ordem de 75% corresponde à energia
escura, com distribuição (densidade) espacial uniforme e temporal constante,
20% à matéria escura distribuída no halo das galáxias (Cold Dark Matter)
e apenas 5% corresponde à matéria bariônica (matéria comum que forma
os elementos químicos) presente nas estrêlas, galáxias e nebulosas (poeira e
gás). Da matéria bariônica, 75% corresponde ao hidrogênio (próton), 23%
ao hélio e 2% aos outros elementos.
12.2
Equação de Friedmann
Dados observacionais indicam que a distribuição de matéria no universo observável é espacialmente homogênea e isotrópica, e está num processo de
expansão, indicada pelo desvio sistemático para o vermelho das raias espectrais provenientes das fontes distantes. A homogeneidade e isotropia do
universo, que tem base observacional em escala cosmológica, é tomada como
um postulado fundamental da cosmologia moderna através do Princípio Cosmológico.
A rigor, o formalismo teórico adequado para descrever a dinâmica do
universo como um todo é a Relatividade Geral, que abriga a interação grav188
itacional como parte da sua estrutura teórica, através das equações de Einstein. Sendo um sistema de equações tensorial de segunda ordem, simétrica,
abriga dez equações, que pode ser reduzida a apenas duas se condiderada a
homogeneidade e a isotropia do sistema. Dentre estas duas equações, uma
corresponde à conservação de energia e a outra à equação de Friedmann que
determina a dinâmica da evolução do universo.
Há uma forma alternativa de obter a equação de Friedmann usando simples considerações de balanço energético dado pela energia total, soma das
energias cinética e potencial, de regiões arbitrárias do universo sob a ação
gravitacional do resto do universo.
Vamos considerar uma pequena região arbitrária do universo a ser tomada
como um corpo de prova, cujo conteúdo de massa é m =
V, onde é a
densidade de matéria, uniforme, e V é o volume da região considerada,
localizada na superfície de uma esfera imaginária de raio arbitrário r. A
ação gravitacional sobre o corpo de prova é devida unicamente à massa
M=
4 3
r
3
contida no interior desta esfera imaginária. As contribuições devidas à distribuição externa de massas se anulam devido à isotropia do sistema. Este
é essencialmente o enunciado do teorema de Bircho¤ aplicado a uma distribuição uniforme de matéria.
A energia potencial gravitacional, newtoniana, da massa m devido à
massa M contida na nossa esfera imaginária, é
4
mM G
=
mGr2 ;
r
3
de modo que a energia mecânica total do corpo de prova será
V (r) =
1 2
E = mr
2
4
mGr2 ;
3
que pode ser escrita na forma
:2
r
8
2E
=
G +
:
2
r
3
mr2
Em termos do fator de escala R(t) da de…nição
r(t) = R(t)r0
e do parâmetro
=
2E
;
mr02
189
(24)
resulta
: 2
R
8
G
= H2 =
:
(25)
2
R
3
R2
Esta é a equação de Friedmann, uma equação diferencial de primeira
ordem no tempo, não linear, cuja solução depende da densidade de matéria
(R). Derivando em relação ao tempo, resulta na aceleração
R =
@
8
4
GR2
+
GR :
3
@R
3
A energia total contida na nossa esfera imaginária é essencialmente devida
ao conteúdo de massa,
4 3
E=M =
r ;
3
onde a velocidade da luz pode ser omitida desde que massa e energia sejam
medidas numa unidade comum. A relação diferencial envolvendo a variação
da enregia em função da variação do volume esférico é
dE = 4 r2 dr +
4 3@
r
dr ;
3 @r
que, combinada com a relação termodinâmica
dE =
resulta
4 r2 dr +
4 r2 pdr ;
pdV =
4 3@
r
dr + 4 r2 pdr = 0 ;
3 @r
isto é,
@
=
@R
de modo que a aceleração …ca
::
R =
3
( + p)
R
(26)
4
GR( + 3p) :
3
(27)
Para um universo em evolução, sob a ação da força gravitacional, atrativa, e em fase de expansão, é de se esperar que a velocidade de recessão
seja decrescente, isto é, que esteja sujeito a uma desaceleração. Assim, o
parâmetro de desaceleração, de…nida por
::
q=
RR
: 2
R
tem um papel relevante na cosmologia.
190
(28)
12.2.1
Densidade crítica
Veja que se a única interação responsável pela evolução do universo for a
gravitacional, a aceleração é intrinsecamente negativa, signi…cando que, devido à natureza atrativa da força gravitacional, a expansão do universo deve
ser necessariamente desacelerado. Se essa desaceleração é su…ciente ou não
para reverter a expansão, depende da energia cinética inicial disponível em
comparação com a energia potencial. Se a energia total for positiva ( < 0),
a expansão continuará inde…nidamente, se for negativa ( > 0) signi…ca que o
sistema está ligado gravitacionalmente, a expansão devendo cessar e reverter
para um processo de contração. No limite, quando a energia total for nula
( = 0), a expansão continuará inde…nidamente, a velocidade de expansão
tendendo a zero no limite do tempo in…nito.
O caso limite = 0 de…ne a densidade crítica c ,
3H 2
8
G
()
=
:
(29)
c
3 c
8 G
A relação entre a densidade real e a densidade crítica de…ne o parâmetro de
densidade
:
(30)
=
H2 =
c
Em temos da densidade crítica
equação de Friedmann (25) …ca
8
G(
3
e o parâmetro de desaceleração,
R2
=
c
c)
q=
e do parâmetro de densidade
=
8
G c(
3
1)
, a
(31)
( + 3p)
:
2 c
No universo domindado pela matéria não relativística, p ' 0, e portanto
:
(32)
2
Assim, dependendo da densidade atual do universo, a sua evolução futura
pode seguir uma das três alternativas, conforme tabela abaixo:
q=
0
0
>
=
<
c
c
c
Evolução do Universo
q0
> 0 > 1 > 1=2
expansão seguida de contração
= 0 = 1 = 1=2 expansão tendendo a estacionário para t ! 1
< 0 < 1 < 1=2
expansão para sempre
191
A densidade de matéria bariônica atual, componente visível da matéria
presente nas estrelas e galáxias, é estimado em
B
= (0:013
0:002) h
2
(33)
< 0:09
para 0:4 < h < 1. Usando a constante de Hubble, a densidade crítica atual
é estimada em
c;0
= 1:88
10
29 2
h g cm
3
= 10:5 h2 GeV =m3 :
Dados cosmológicos indicam que o parâmetro de densidade atual deve
ser da ordem da unidade, 0 ' 1, indicando que a densidade atual seja da
ordem da densidade crítica, o que está longe de ser satisfeita se considerarmos
apenas a densidade bariônica. As contribuições dos fótons e dos neutrinos,
estimados em
= 2:51 10 5 h 2
e
= 1:71
10
5
h
2
;
respectivamente, não são su…cientes para aproximar o parâmetro de densidade
= B+
+
+
da unidade.
Além da matéria visível, as galáxias devem conter até da ordem de 80%
da massa em matéria escura, e a contribuição restante é preenchida pela
energia escura cosmológica tal que
=
12.2.2
B
+
+
+
+
DM
+
DE
'1:
Evolução de universo
Em princípio, a evolução do universo pode ser obtida resolvendo a equação
de Friedmann, que pode ser escrita na forma
2
1 dR
R dt
8
G=
3
R2
(34)
se a distribuição de matéria (R) for conhecida. Para a matéria não relativística, dominante no presente,
(R) =
0
R3
de modo que a equação de Friedmann …ca
2
;
(35)
dR
8 0
G=
:
(36)
dt
3 R
A seguir serão consideradas as três possibilidades do parâmetro .
192
Caso
se a
= 0 Este é o caso mais simples, a equação de Friedmann reduzindo2
dR
dt
=
8 c;0
G:
3 R
(37)
Usando a densidade crítica no presente,
c;0
resulta
dR
dt
=
3H02
;
8 G
2
=
(38)
H02
;
R
(39)
que pode ser integrada como
Z Rp
Z t
dt ;
RdR = H0
0
0
cuja solução é
3
H0
2
R(t) =
2=3
t2=3 :
(40)
No presente, R(t0 ) = 1 por de…nição, e a idade do universo …ca
t0 =
2 1
2
= tH ;
3 H0
3
(41)
onde
1
= 9; 78 109 h 1 anos
H0
de…ne o tempo de Hubble, de modo que
tH =
t0 = 0:65
(42)
1010 h 1 anos ;
é a estimativa da idade do universo, em torno de 10 bilhões (10 109 ) de
anos.
A idade de um objeto distante pode ser estimada em função do parâmetro
de red shift,
3=2
2
1
t(z) =
:
(43)
3H0 z + 1
Naturalmente, t(z = 0) = t0 e no limite z ! 1, t(z ! 1) = 0.
Na realidade o limite superior de z está de…nido pelo tempo em que
ocorreu o desacoplamento entre a matéria e a radiação, quando o universo
193
tornou-se transparente à radiação eletromagnética, e que tem como resquício a radiação cósmica de fundo na faixa de microondas. Tendo estado em
perfeito equilíbrio com a matéria, o espectro desta radiação é dada pela distribuição de Planck a uma dada temperatura temperatura T ,
u( )d =
3
8 h
c3 exp
h
kT
1
(44)
d ;
e que no tempo presente t0 deve permanecer com a mesma distribuição de
Planck, agora com a temperatura T0 . Como
=
0
então
R4 u( )d ! u0 ( 0 )d
0
;
R
=
3
0
8 h
c3 exp
d
h 0
kT0
0
(45)
1
desde que seja satisfeita a relação
(46)
T0 = RT
Em função do parâmetro de red shift,
(47)
T = (z + 1) T0 ;
que pode ser usada para relacionar o tempo e a temperatura,
t(T ) =
T0
T
2
3H0
3=2
(48)
:
Na equação (45) 0 é uma variável de integração, cujo índice é irrelevante,
a equação podendo ser reescrita como
R4 u( )d ! u0 ( )d =
8 h
c3 exp
3
h
kT0
d ;
(49)
1
de modo que
R4 u( ) ! u0 ( ) ;
isto é, a densidade da radiação evolui como
u=
u0
:
R4
194
(50)
Comparada com a evolução da densidade de matéria não relativística, a
densidade de radiação dilui mais rapidamente que a densidade de matéria no
universo em expansão, razão porque, a partir do desacoplamento, a matéria
passa a ser dominante no universo.
A energia de ionização é da ordem de grandeza de 10eV , que corresponde
à temperatura em torno de 3 103 K. Aproximando a temperatura atual a
3K e substituindo em (48), resulta no tempo
t=
3=2
T0
T
105 anos
t0 = 3
(51)
para a idade do universo na era da recombinação.
De (47), pode-se veri…car que a radiação proveniente da era da recombinação deve ter o parâmetro de red shift da ordem de
z=
T
T0
(52)
1 = 1000 :
Para …nalizar, o parâmetro de desaceleração (32) …ca
q=
2
=
1
:
2
(53)
Caso > 0 Para deixar numa forma mais simples, a equação de Friedmann
(36) será reescrita na forma
dR
dt
2
=
D
R
(54)
k;
onde se rede…niu o tempo
t0 =
as constantes
e
p
j jt ! t
(55)
!k=
(56)
8 G 0
H02
D=
=
3j j
j j
j j
0
=
0
(
0
1)
(57)
onde, das equações (25) e (31),
=
Neste caso
8 G
3
0
H02 = H02 (
0
> 0, k = 1, e a equação (54) …ca
195
1) :
(58)
D
R_ 2 =
R
Introduzindo a parametrização
(59)
1:
R = D sin2
(60)
tal que
d
R_ = 2D sin cos
dt
e fazendo as subistituições na equação (59), resulta
2
d
dt
4D2 sin2 cos2
1
sin2
=
1=
1
sin2
sin2
;
isto é,
2D sin2
que pode ser integrada como
Z t
dt = 2D
d
=1;
dt
Z
sin2 d ;
0
0
cuja solução é
t=
1
H0 (
1
sin 2
2
0
1)3=2
0
:
(61)
Esta equação, junto com a (60),
R=
1
2(
0
0
1)
(1
cos 2 ) ;
(62)
de…nem a solução parametrizada da equação de Friedmann (59).
Neste caso o universo todo é um sistema ligado gravitacionalmente, com
fases de expansão e de contração, cíclico. Veja que R(t = 0) = 0, expandindo
até atingir a expansão máxima
R=
quando cos 2 =
0
(
0
(63)
1)
1 ( = =2), que corresponde ao tempo
t=
0
2H0 (
0
196
1)3=2
;
(64)
iniciando então a fase de contração até o colapso …nal quando
corresponde ao tempo
= , que
0
;
(65)
H0 ( 0 1)3=2
a partir do qual tem início um novo ciclo de expansão, num processo in…nito, desde que se repitam as condições que originaram a expansão inicial,
resultante de uma interação não gravitacional.
O tempo presente se obtem da condição R(t0 ) = 1, que fornece o parâmetro
0 na equação (62)
t=
1
0
(1 cos 2 0 ) ;
2 ( 0 1)
que deve ser substituído na equação paramétrica do tempo,
1=
t0 =
1
H0 (
1
sin 2
2
0
0
1)3=2
0
0
(66)
:
Condição assimptótica Sempre que possível é bom checar as condições
assimptóticas das soluções para casos onde tenham soluções conhecidas. O
caso k = 0 corresponde à solução no limite 0 ! 1, quando a fase de expansão leva um tempo in…nito para atingir o máximo. Neste limite, na equação
(61), deve-se ter a condição
0
1
sin 2
2
! 1 =)
!0
de modo que pode-se usar a aproximação
1
sin 2
2
=
2
3
3
e, portanto,
t=
1
H0 (
1
0
1)3=2
2
3
ou
=(
0
1)1=2
3
H0 t
2
3
1=3
;
que pode ser substituída na equação (62) calculada para o limite
resultando
2=3
1
3
2
R(t) =
=
H0 t
;
( 0 1)
2
justamente a solução (40).do caso
= 0 (k = 0).
197
0
! 1,
Caso
…ca
< 0 Neste caso, que corresponde a k =
1, a equação de Friedmann
D
+1 ;
R_ 2 =
R
(67)
onde agora
D=
0
(1
0)
(68)
:
Usando a parametrização
R = D sinh2
(69)
tal que
R_ = 2D sinh
et
4D2 sinh2
2
d
dt
cosh2
cosh
=
d
dt
1
sinh2
+1=
1 + sinh2
sinh2
ransforma da equação (67) em
d
=1:
dt
2D sinh2
Nesta forma, é fácil de ser integrada,
Z t
Z
dt = 2D
0
resultando
t=
sinh2 d ;
0
1
H0 (1
1
sinh 2
2
0
0
)3=2
(70)
que, junto com (69),
R=
1
2 (1
0
0)
(cosh 2
1) ;
(71)
de…nem a solução parametrizada da equação de Friedmann (67).
Descreve um universo em expansão com energia cinética su…ciente para
manter esta condição para sempre, as densidades de energia e matéria rarefazendose e a temperatura diminuindo inde…nidamente.
198
Condição assimptótica No limite
1=3
3
H0 t
2
1=2
0)
= (1
! 1 resulta
0
e
1
R=
solução (40) do caso
(1
2
=
0)
2=3
3
H0 t
2
;
= 0 (k = 0).
A …gura 1 apresenta, de forma comparativa, os grá…cos das funções R(t)
para os três casos, k = 0 (azul), k = 1 (vermelho) e k = 1 (roxo), com a
origem do tempo deslocada para o presente, de modo que R(0) = 1 para os
três casos, e a diferença da idade do universo …ca evidente.
R(t)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
t
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
−1
−2
−3
Figura 1: Grá…cos comparativos da evolução do universo para os três casos
- k = 0 (azul), k = 1 (vermelho) e k = 1 (roxo). A unidade do tempo é o
tempo de Hubble tH = 1=H0 e a origem do tempo corresponde ao presente,
quando R(0) = 1, por de…nição.
1) k = 0 (azul), equação
R(t) =
3
1 + H0 t
2
2=3
a idade do universo dada por
t0 =
2 1
2
= tH ;
3 H0
3
199
onde
1
= 9; 78 109 h 1 anos :
H0
de…ne o tempo de Hubble, de modo que
tH =
1010 h 1 anos ;
t0 = 0:65
2) k = 1 (vermelho), dada pelas equações paramétricas
t = 4:2
1
sin 2
2
tH
0:56
tH
e
3
(1 cos 2 ) ;
2
onde, para efeito de ilustração, foi atribuído o valor
R=
R(0)
= 1; 5, de modo que
0
3
(1 cos 2 0 )
2
' 0:6rad
=
1=
=)
0
de…ne tempo presente t = 0 e a idade do universo …ca
t0 ' 0:56
tH :
onde o termo corresponde à idade do universo para este caso para uma
situação …ctícia , de modo que
3) k =
1 (roxo), dada pelas equações paramétricas
t = 1:4
1
sinh 2
2
tH
0:8
tH
e
1
(cosh 2
1) ;
2
onde, para efeito de ilustração, foi atribuído o valor
R=
R(0)
1
(cosh 2
2
' 0:9
=
1=
=)
0
0
0
= 0; 5, de modo que
1)
de…ne o tempo presente t = 0 e a idade do universo dada por
t0 ' 0; 8
200
tH :
12.3
História da Evolução do Universo
A solução da equação de Friedmann descreve a evolução do ambiente espaçotemporal e o seu conteúdo energético onde devem ser colocados os ingredientes fornecidos pela física das partículas e suas interações fundamentais para
se compreender como deve ser a evolução no interior deste universo.
A tabela a seguir mostra a passagem pelas diversas eras durante a evolução,
de…nidas pelo conteúdo energético. O Modelo Cosmológico Padrão descreve
o universo a partir dos 10 43 segundos.
Tempo
Era
Evento
0
Singularidade
Big Bang
Até 10
segundos
Era de Planck
In‡ação?
Até 10 6 segundos Era de hádrons
Criação de partículas pesadas
Até 1 segundo
Era de léptons
Criação de partículas leves
1 minuto
Era da radiação
Formação de hélio e deutério
10 mil anos
Era da matéria A matéria torna-se predominante
300 mil anos
Desacoplamento O Universo torna-se transparente
1 bilhão de anos
Formação de galáxias
10,5 bilhões de anos
Inicia-se a formação do Sol
15 bilhões de anos
Época atual
43
A seguir, a descrição dos acontecimentos mais relevantes que marcam as
diversas eras:
t = 10 43 s; T = 1032 K
As interações forte, fraca e eletromagnética formam uma única interação,
uni…cada. É a época da Grande Uni…cação. Nesta época ocorre a in‡ação,
que causa uma rápida expansão. Ocorre a criação das partículas fundamentais a partir das ‡utuações do vácuo.
t = 10 34 s; T = 1027 K
A interação forte se desacopla das interações fraca e eletromagnética. O
universo é uma sopa de quarks e elétrons. Termina a in‡ação, e a expansão
do universo passa a ser governada pela interação gravitacional.
t = 10
10
s; T = 1015 K
201
As interações fraca e eletromagnética se separam. Estabelece-se a assimetria partícula-antipartícula, numa proporção de um em um bilhão. Quarks
se ligam, formando prótons e nêutrons.
t = 1s; T = 1010 K
Neutrinos se desacoplam e ocorre a aniquilação de pares elétron-pósitron,
restando os elétrons residuais. Forma-se a radiação, que permanece em equilíbrio com a matéria.
t = 3s; T = 109 K
Prótons e nêutrons se ligam, formando os primeiros núcleos de átomos
leves: D, 3He, 4He, até o lítio, 7Li. Restam 75% de hidrogênio e 25% de
hélio.
t = 3 105 anos; T = 3 103 K
Matéria e radiação se separam, isto é, o universo se torna transparente.
Os elétrons se ligam aos núcleos formando átomos neutros. A radiação proveniente desta época é a atual radiação cósmica de fundo na faixa do microondas.
t = 109 anos; T = 18K
Aparecimento dos aglomerados de matéria, estrelas e galáxias. Núcleos
pesados são formados no interior das estrelas. As explosões supernovas dispersam os átomos pesados que posteriormente formam os sistemas estelares
de segunda e de terceira geração, como o nosso Sistema Solar, que contém os
elementos químicos indispensáveis ao surgimento da vida.
t = 15 109 anos; T = 3K
É a época presente. 5 bilhões de anos atrás forma-se o condensado de
remanescentes de explosões estelares, dando origem ao nosso Sistema Solar.
12.4
13
Modelo Cosmológico Padrão
Dados observacionais indicam que a distribuição de matéria no universo observável é espacialmente homogênea e isotrópica, e está num processo de
expansão, indicada pelo desvio sistemático para o vermelho das raias espectrais provenientes das fontes distantes. Observações sistemáticas mais
202
recentes das supernovas tipo Ia indicam um universo em expansão acelerada,
o que introduz um outro ingrediente na cosmologia.
O modelo cosmológico padrão toma por postulado a homogeneidade e
isotropia espacial do universo, dentro da concepção …losó…ca atual que nos
faz acreditar que não exista nenhuma posição ou orientação privilegiada no
universo. Em outras palavras, o universo, visto a partir de qualquer lugar,
será, em média, igual ao que vemos a partir da Terra. Esta é a base do
Princípio Cosmológico. Por outro lado, o indicativo da expansão signi…ca
um universo evolucionário.
Princípio Cosmológico: o Universo é espacialmente uniforme (homogêneo
e isotrópico), não havendo nenhuma posição ou orientação privilegiada.
A Relatividade Geral, como uma teoria da gravitação, é o suporte teórico
para a construção do modelo cosmológico padrão, as equações de Einstein
descrevendo a sua dinâmica.
O Princípio Cosmológico implica na possibilidade de de…nição de um
tempo universal, de modo que os relógios possam ser sincronizados para
todos os observadores. Isto ocorre nos referenciais comóveis, na realidade
referenciais inerciais, em queda livre no campo gravitacional cosmológico.
Também impõe severas restrições à métrica do espaço-tempo, implicando na
isometria. Signi…ca que a métrica, ou seja, a geometria do espaço-tempo,
deve ser a mesma para todos os observadores em quaisquer referenciais,
g 0 (y) = g (y) :
(72)
De um modo geral, os tensores devem ser invariantes na forma,
T 0 (y) = T (y) :
(73)
Dentro destas restrições, a métrica de Robertson-Walker,
2
2
ds = c d
2
2
2
= c dt
dr2
+ r2 d
R (t)
2
1 kr
2
2
+ r2 sin2
d'2
;
(74)
é a métrica usada no modelo cosmológico padrão. O fator de escala R(t),
de…nido por
r(t) = R(t) r ;
(75)
dá conta da expansão do universo, e a constante k de…ne a geometria espacial
do universo, através da curvatura espacial
3
K(t) = kR 2 (t) :
203
(76)
Esta constante depende do conteúdo de matéria e energia do universo, e pode
assumir os valores k = 1, correspondente a um espaço in…nito de curvatura
negativa, hiperbólica, k = 0, correspondente a um espaço in…nito, plano, de
geometria euclidiana, e k = +1, que de…ne um espaço …nito porém ilimitado.
A métrica de Robertson-Walker de…ne as componentes do tensor métrico:
gtt = 1; grr =
R2 (t)
; g
1 kr2
= R2 (t)r2 ; g'' = R2 (t)r2 sin2
.
(77)
As demais componentes, não diagonais, são nulas, g = 0 para 6= .
No modelo cosmológico padrão, assume-se que o universo se comporte
como um gás perfeito, cujo tensor de energia e momento é
T
= pg
+ (p + )U U :
No referencial comóvel,
U =
v (c; v
i
) = (c; 0) ;
e portanto
T00 = pg00 + (p + )
Tii = pgii
T = 0 para 6=
O termo de fonte da equação (??), usando T
1
g T
2
cujas componentes não nulas são
S
=T
Stt = Ttt
= (p + ), …ca
1
g (p + ) ;
2
=T
1
1
gtt (p + ) = (p
2
2
(78)
)gtt + (p + )
e
1
Sii = gii (p
):
2
Usando as componentes não nulas do tensor métrico, equações (77), resultam
1
gtt (p + ) =
2
1
1
)= (
= g (p
2
2
1
1
= g'' (p
)= (
2
2
Stt = Ttt
S
S''
204
1
(3p + )
2
p)R2 (t) r2
p)R2 (t) r2 sin2
(79)
Para o tensor de Ricci R , vamos usar a conexão a…m (??) e o tensor de
curvatura (??). As componentes não nulas da conexão a…m são
:
t
ij
= RRe
gij
:
i
tj
i
jk
R i
=
R j
1 1
=
2 geil
@e
gij @e
gik
+
k
@x
@xj
@e
gjk
@xi
e as componentes não nulas do tensor de Ricci,
eijk
::
R
Rtt = 3
R
Rti = 0
onde
::
eij
Rij = R
: 2
geij
R R + 2R
ek
@ ekij
eij = @ ki
+ ekli elkj ekij elkl :
R
@xj
@xk
Usando o fato de que um espaço maximamente simétrico exige que
eij =
R
obtemos
(80)
2ke
gij ;
2
RR + 2R + 2k geij :
Rij =
Combinando com as componentes não nulas do tensor de energia e momento, obtemos da componente tempo-tempo,
3R =
4 G( + 3p)R
(81)
e da componente espaço-espaço,
2
RR + 2R + 2k = 4 G(
p)R2 ;
(82)
sendo que as componentes espaço-tempo são nulas.
Combinando estas duas equações, obtemos a equação de Friedmann
2
R +k =
8 G 2
R :
3
205
(83)
Da conservação de energia, resulta
pR3 =
d
R3 (p + )
dt
(84)
ou
d
(85)
R3 = 3pR2 :
dR
O universo atual é dominado pela matéria não relativística, quando p ' 0.
Portanto,
= 0R 3 :
No universo primordial predomina a matéria relativística, onde p = =3, e
portanto resulta
= 0R 4 :
Substituindo (R) na equação de Friedmann, podemos calcular a função
R(t), o qual descreve a evolução do universo em função do tempo.
13.1
Constante cosmológica
O Modelo Cosmológico Padrão admite um universo evolucionário em expansão a partir de um grande evento (Big Bang) que forneceu a energia
cinética necessária para isto. Devido à natureza da interação gravitacional,
esta expansão deve ocorrer de forma desacelerada, dada pelo parâmterro de
desaceleração
0
;
(86)
2
em valores no tempo presente. No entanto, uma das constatações observacionais mais relevantes da cosmologia moderna é a expansão acelerada. do
universo, que de certa forma contradiz a força eminentemente atrativa da
interação gravitacional.
A maneira imediata de introduzir uma aceleração positiva é pela introdução da constante cosmológica nas equações de Einstein, que …ca
q0 =
1
g R + g = 8 GT :
(87)
2
O termo da constante cosmológica pode ser adicionada ao termo de fonte,
R
R
1
g R=8 G T
2
8 G
g
;
(88)
resultando na mesma equação original de Einstein sem a constante cosmológica,
1
R
g R = 8 GTe ;
(89)
2
206
mas com o termo de fonte corrigido para
Te = T
g
(90)
:
Manter a forma da equação original é interessante, pois isto torna possível
aproveitarmos os resultados anteriores, apenas realizando algumas modi…cações nas componentes do tensor de energia e momento
T
= pg
(91)
+ (p + )U U ;
que agora passa a ser
Te =
ou
p
Te = peg
para
e=
e
pe = p
Note que
g
8 G
+
+ (e
p + e)U U
8 G
8 G
=
+ (p + )U U
(92)
+
(93)
=p+p :
(94)
=
p =
(95)
8 G
e portanto
(96)
+p =0 :
Deste modo, se quisermos associar uma origem física à constante cosmológica,
devemos estar atentos para esta equação.
Como as equações de Einstein permanecem formalmente idênticas ao caso
sem a constante cosmológica, com as substituições e ! e pe ! p, o mesmo
deve ocorrer com a equação de Friedmann, que …ca
2
R +k =
8 G 2 8 G
eR =
3
3
+
8 G
R2 :
Da mesma forma, a aceleração …ca
R
=
R
4
G(e + 3e
p) =
3
207
4
G( + p
3
4 G
);
(97)
isto é,
R
4
=
G( + p) + ;
R
3
3
o que introduz a possibilidade de uma aceleração positiva para
Na era dominada pela matéria, p ' 0, resultando
R
=
R
4
G(
3
2
)=
4
G(
3
onde
M
2
)
c
;
(98)
> 0.
(99)
2
c
=
3
3 R
H2 =
8 G
8 G R2
(100)
é a densidade crítica,
M
(101)
=
c
é o parâmetro de densidade, com o subscrito reforçando que se refere à densidade de matéria, e
=
(102)
c
é o parâmetro de densidade associado à constante cosmológica.
O parâmetro de desaceleração …ca
q=
RR
2
R
=
1(
2
2
)
=
c
1
2
M
:
(103)
Esta expressão mostra que o parâmetro de desaceleração pode ser negativo,
dependendo do valor da constante cosmológica > 0.
Se admitirmos que
=1;
(104)
M +
então
q=
2
3
M
1:
(105)
O parâmetro de desaceleração,
1
;
M
2
dependendo do valor de , permite uma expansão acelerada.
Das observações do WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe)
(2003), juntamente com as pesquisas de SNe Ia, admitindo que M +
= 1,
obtiveram
q0 =
208
= 0:28
M
e
= 0:72
a matéria bariônica respondendo por
B
= 0:044
e a matéria escura,
DM
=
M
B
= 0:236
que corresponde a
q0 =
0:58 :
Num universo em expansão inde…nida, para um tempo su…cientemente
grande, a densidade de matéria tornar-se-á tão rarefeita que podemos considerar M = = c ' 0 e q ' 1, que indica um universo em expansão
acelerada.
13.1.1
Efeito local
A densidade de energia associada à constante cosmológica deve permanecer
com a distribuição uniforme, sem tomar parte na formação dos aglomerados de matéria. Do contrário, afetaria a interação gravitacional na escala
macroscópica, impossibilitando a existência de sistemas gravitacionais como
a conhecemos. Isto porque a equação do campo na aproximação estacionária
traz consigo um termo de pressão, que deve ser considerado na presença da
constante cosmológica, pois a ela é associada uma pressão negativa. Deste
modo, temos
r2 = 4 G (e + 3e
p) ;
de onde resulta
r2 = 4 G
+ 3p
4 G
(106)
:
Mesmo supondo que, para a matéria não relativística, p ' 0, …ca
r2 = 4 G
4 G
209
= 4 G(
M
2
) :
(107)
Isto mostra que a densidade
=
(108)
8 G
associada à constante cosmológica deve ser desprezível em relação à densidade de matéria normal nas grandes inhomogeneidades representadas pelas
galáxias e aglomerados de galáxias, por exemplo.
13.1.2
Energia escura
A constante cosmológica, introduzida à mão nas equações de Einstein, pode
ser formalmente obtida pela ação gravitacional
Z
p
1
S=
g [R 2 ] d4 x + SM
(109)
16 G
onde R é o escalar de Ricci e SM é a soma de todas as componentes não
gravitacionais e que entram como fonte nas equações de Einstein.
Se o termo em for movido para SM , pode ser interpretada como densidade de energia, , satisfazendo à condição
+ p = 0, que corresponde a
uma pressão negativa. Genericamente batizada de energia escura, na teoria
quântica dos campos a chamada energia do vácuo tem esta propriedade, e à
primeira vista é o seu um candidato natural.
A energia do vácuo está associada com um campo escalar com ação
Z
p
1
g g @ @
V ( ) d4 x
(110)
S=
2
que corresponde, em termos do tensor de energia e momento, a
T
1
= @
2
@
+
1
(g @ @
2
)g
V ( )g
;
a con…guração de energia mais baixa dada pela ausência de energia cinética,
isto é, @ = 0, quando
T = V ( 0 )g ;
onde 0 é o campo que minimiza o potencial V ( ).
Na realidade, a teoria quântica dos campos fornece outras componentes
para a energia do vácuo, e a constante cosmológia poderia ser o resultado
da soma de todas estas contribuições. Além disto, abre a possibilidade de
que não seja exatamente uma constante, assumindo diferentes valores nas
diversas transições de fase ligadas às quebras de simetria ocorridas durante
a evolução do universo.
210
O limite observacional implica
2
10
10
erg=cm3 ;
um valor extremamente pequeno se comparado com as diversas opções teóricas propostas para a energia escura.
211