Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada
Programa de Aperfeiçoamento para Professores de Matemática do Ensino Médio
PROPORCIONALIDADE
1. Por um trabalho adicional a seu emprego, Álvaro deve descontar 27, 5% de Imposto
de Renda sobre o que receber. Quanto deve ele cobrar por esse trabalho para que
seu ganho lı́quido seja dois mil reais?
2. Dois comerciantes formaram uma sociedade. Um deles, que trabalha 3 dias por
semana, contribuiu com 45 mil reais. O outro, que trabalha 2 dias por semana,
entrou com 55 mil reais. (Eles não trabalham sábado nem domingo.) Após algumas
semanas, venderam o negócio por 198 mil reais. Quanto desse total coube para cada
um deles?
Teorema de Pitágoras – Exercícios
1) Na figura abaixo ABCD é um quadrado. Se AP  3 e PQ  1 calcule o lado do quadrado.
A
D
P
B
C
Q
2) 31 fios de 1mm de diâmetro foram dispostos no interior do cabo circular como mostra a
figura. Calcule o diâmetro desse cabo.
3) Em um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c mostre que b  c  a 2 .
4) Um helicóptero sai de um ponto P no solo e faz os seguintes movimentos sucessivos:
500m verticalmente para cima, 900m horizontalmente na direção norte, 200m verticalmente
para cima, 700m horizontalmente na direção oeste e 100m verticalmente para baixo
pousando no ponto Q de uma montanha próxima. Determine um valor aproximado para a
distância PQ.
Problemas do Primero Grau
1. (PROFMAT) Maria foi trabalhar e deixou dinheiro para seus três filhos, com este
bilhete: “Dividam igualmente o dinheiro. Beijos”. O primeiro filho chegou, pegou a
terça parte do dinheiro e saiu.O segundo chegou e não viu ninguém. Pensando que era
o primeiro, pegou a terça parte do dinheiro que tinha e saiu. O terceiro encontrou 4
notas de 5 reais. Achou que era o último, pegou tudo e saiu. Quanto em dinheiro a mãe
deixou?
(A) 25 reais
(B) 35 reais
(C) 45 reais
(D) 48 reais
(E) 55 reais
2. (PROFMAT) Joaquim pagou n reais por cada uma de m canetas e m reais por cada
um de n lápis, tendo gastado em média R$7,50 por item comprado. Em seguida,
Joaquim observou que se cada caneta tivesse custado 1 real a menos e cada lápis tivesse
custado 1 real a mais, ele teria pago, em média, R$7,75 por cada item comprado.
Determine a quantidade de canetas que Joaquim comprou.
3. (OBMEP) Um grupo de amigos acabou de comer uma pizza. Se cada um der R$
8,00 faltarão R$ 2,50 para pagar a pizza e se cada um der R$ 9,00 sobrarão R$ 3,50.
Qual é o preço da pizza?
A) R$ 45,50
B) R$ 48,50
C) R$ 50,50
D) R$ 52,50
E) R$ 54,50
4. (OBMEP) Para ir com Maria ao cinema, João pode escolher dois caminhos. No
primeiro, ele passa pela casa de Maria e os dois vão juntos até o cinema; nesse caso, ele
anda sozinho 2/3 do caminho. No segundo, ele vai sozinho e encontra Maria na frente
do cinema; nesse caso ele anda 1 km a menos que no primeiro caminho, mas o dobro do
que Maria terá que caminhar. Qual é a distância entre a casa de Maria e o cinema?
A) 1 km
B) 2 km
C) 3 km
D) 4 km
E) 6 km
Combinatória
Prof.Luciano Monteiro de Castro
1. Para fazer uma viagem de ida e volta de Lisboa a Paris, Manoel pode usar ônibus, trem ou avião,
tanto na ida como na volta. De quantos modos Manoel pode escolher os transportes, se ele não
quer voltar utilizando o mesmo meio de transporte da ida?
2. Isabella dispõe de 8 torres em um tabuleiro de xadrez (8 × 8). De quantas maneiras ela pode
arrumar essas peças no tabuleiro de modo que não haja duas torres na mesma linha e nem na
mesma coluna?
3. Um grupo de 15 amigos se reúne para jogar basquetebol. De quantas maneiras eles podem formar
3 times de 5 jogadores cada?
4. Um homem tem 5 amigas e 7 amigos. Sua esposa tem 7 amigas e 5 amigos (totalizando 12 amigos
e 12 amigas diferentes). De quantos modos eles podem convidar 6 amigas e 6 amigos, se cada um
deve convidar 6 pessoas?
Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada
Programa de Aperfeiçoamento para Professores de Matemática do Ensino Médio
PROBLEMAS DO SEGUNDO GRAU
1. Seja α uma raiz da equação x2 + px + q = 0. Mostre que se tem x2 + px + q =
(x − α)(x − β), onde o número β também é raiz. Conclua, a partir daı́, que uma
equação do segundo grau não pode ter três raı́zes distintas.
2. Para quais valores da abcissa x a parábola y = 3x2 −4x+3 situa-se acima da parábola
y = 2x2 + x − 9?
Estatística
1. (ENEM 2010) O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros
das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 até a de 2006.
A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados
pelos artilheiros das Copas do Mundo?
A) 6 gols
B) 6,5 gols
C) 7 gols
D) 7,3 gols
E) 8,5 gols
2. (ENEM 2010) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no
último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna
da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols.
Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e
a moda desta distribuição, então
A) X = Y < Z.
B) Z < X = Y.
C) Y < Z < X.
D) Z < X < Y.
E) Z < Y < X.
3. (ENEM 2010) Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para
classificação no concurso, o candidato deveria obter média aritmética na pontuação
igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da
pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os
pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média,
a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos.
Dados dos candidatos no concurso
O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é
A) Marco, pois a média e a mediana são iguais.
B) Marco, pois obteve menor desvio padrão.
C) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português.
D) Paulo, pois obteve maior mediana.
E) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.
4. (OBMEP) O Professor Márcio aplicou uma prova de Matemática valendo 10
pontos. Para ter uma idéia do desempenho da turma, ele organizou a tabela abaixo.
Qual é a única alternativa que mostra um possível valor para a média aritmética das
notas da turma?
A) 3,9
B) 4,1
C) 4,5
D) 4,9
E) 7,9
Aritmética
Prof.Luciano Monteiro de Castro
1. (OBMEP) Paula iniciou um programa de ginástica no qual os dias de treino são separados
por dois dias de descanso. Se o primeiro treino foi em uma segunda-feira, em qual dia da
semana cairá o centésimo treino?
2. (OBM) Esmeralda rasgou uma folha de papel em n pedaços e, em seguida, pegou uma
dessas partes e rasgou-a também em n pedaços. Não satisfeita, pegou uma destas últimas
partes e também a rasgou em n partes. Qual dos números a seguir poderia ser a quantidade
total de pedaços obtida por Esmeralda?
(A) 15
(B) 18
(C) 24
(D) 26
(E) 28
3. (ProfMat 2011) O máximo divisor comum entre dois números naturais é 16 e o mı́nimo
múltiplo comum desses mesmos números é 576. Podemos garantir que:
(A) Os dois números são maiores que 50 (B) O produto dos dois números é maior que
8000 (C) Os dois números são múltiplos de 32 (D) Os dois números são divisores de 96
(E) Um dos números é múltiplo do outro
4. (OBM) O número n = 9999 . . . 99 tem 2011 algarismos e todos iguais a 9. Quantos
algarismos 9 tem o número n2 ?
Áreas – Exercícios
1) PROFMAT-2011
Na figura ao lado as retas r e s são paralelas
a uma distância 2 uma da outra. AB é um
segmento unitário contido em s, X é um
ponto de r com AX  5 e P é o pé da
perpendicular baixada de B sobre AX. O
comprimento de BP é:
A) 2/3
B) 1/5
C) 2/5
D) 3/2
E) 3/4
X
r
P
A
s
B
2) PROFMAT-2011
Se espremermos um círculo de raio 10cm entre duas retas paralelas que distam entre
si 10cm, obteremos uma figura de área menor mas de mesmo perímetro que o círculo
original (v. desenho ao lado). Se as partes curvas
da figura são semicircunferências a razão da área
da figura espremida pela área o círculo inicial é:
A) 3/4
B) 4/3
C) 2/3
D) 3/2
E) π/4
3) PROFMAT-2011
Um terreno triangular foi dividido em três terrenos menores
conforme a figura ao lado.
Então:
A) A área do terreno B é a metade da área do terreno A.
B) A área do terreno C é maior do que a área do terreno A.
C) A área do terreno B é 1/3 da área do terreno A.
D) A área do terreno A é igual à área do terreno C.
E) A área do terreno B é maior que a área do terreno A.
4) Na figura ao lado OA  a , OB  b e OX  x .
Se AOX  XOB  60 o , calcule x em função de
a e b.
A
C
40m
B
20m
B
X
O
5) Em um trapézio ABCD de bases AB e CD as
diagonais AC e BD cortam-se em P.
a) Mostre que os triângulos APD e BPC têm mesma área.
b) Se a área de ABP é a 2 e se a earea de CPD é b 2 , calcule a área do trapézio.
A