UNESPAR/PARANAVAÍ - Professor Sebastião Geraldo Barbosa
PROFESSOR: SEBASTIÃO GERALDO BARBOSA
Setembro/2014
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1. RENDAS CERTAS OU ANUIDADES
Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de
uma só vez ou através de uma sucessão de pagamentos ou de recebimentos.
Quando o objetivo é constituir-se um capital em uma data futura, tem-se um
processo de amortização
Pode ocorrer também o caso em que se tem o pagamento pelo
uso, sem que haja amortização, o que é caso dos aluguéis.
Estes exemplos caracterizam a existência de rendas ou anuidades, que podem
ser basicamente de dois tipos:
 RENDAS CERTAS OU DETERMINISTICAS: São aquelas cujas duração
e pagamentos são predeterminados, não dependendo de condições
externas;
 RENDAS ALEATÓRIAS OU PROBABILISTICA: Os valores e/ou as
datas de pagamentos ou de recebimentos podem ser variáveis
aleatórias. É o que ocorre, por exemplo, com os seguros de vida: os
valores de pagamentos são certos, sendo aleatórios o valor do seguro a
receber e a data de recebimento.
1.1. CLASSIFICAÇÃO DAS ANUIDADES:
1.1.1.QUANTO AO PRAZO:
a) Temporárias: quando a duração for limitada:
b) Perpétuas: quando a duração for ilimitada:
1.1.2.QUANTO AO VALOR DOS TERMOS:
a) constante: quando os termos são iguais;
b) variáveis: quando os termos não são constante.
1.1.3.QUANDO A FORMA DE PAGAMENTO OU DE RECEBIMENTO:
a) imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do primeiro mês;
- POSTECIPADAS - se os termos são exigíveis no fim dos período;
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- ANTECIPADAS - se os termos são exigíveis no inicio do períodos.
b) diferidas:
primeiro.
Se os termos são exigíveis num período que não seja o
- postecipadas;
- antecipadas.
1.1.4. QUANDO A PERIODICIDADE:
a) periódicas - se todos os períodos são iguais;
b) não periódicas - se os períodos não são iguais entre si.
1.2. MODELO BÁSICO DE ANUIDADE:
Por modelo básico de anuidade entendemos as anuidade que são:
- temporária;
- constante;
- imediatas e postecipadas;
- periódicas.
1.3. VALOR ATUAL DE UMA ANUIDADE:
Seja um principal P a ser pago em n termos iguais a R,
postecipados e periódicos. Seja também uma taxa de juros i, referida ao
mesmo período dos termos.
A soma do valor atual dos termos na data zero é dada
por;
P
R
R
R
R
1



 ... 
1
2
3
3
(1  1) (1  i)
(1  i)
(1  i)
(1  i) n
Ou, colocando-se R em evidencia:
P = R. [
1
1
1


 1 4  ... + 1 n ]
1
2
3
(1  1) (1  i)
(1  i)
(1  i)
(1  i)
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A expressão do colchete denominamos de an i , logo :
an  i
=
1
1
1
1
1





...
(1  1)1 (1  i) 2 (1  i) 3 (1  i) 4
(1  i) n
an  i
O valor de
an  i
(lê-se: a , n cantoneira i)
an  i pode ser obtido usando a fórmula:
1  (1  i)  n

i
ou
an  i
(1  i) n  1

(1  i) n .i
Logo:
P  R.an  i  E
Exemplos:
1. Um carro é financiado em 36 prestações mensais de R$ 460,00.
Considerando que o cliente deu uma entrada de R$ 3.000,00 e que a taxa
de juros cobrada pelo banco foi de 3,2% a.m., calcular o preço a vista do
carro.
R. R$ 12.749,71
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2. O preço a vista de um objeto é R$ 1.800,00. No crediário pode ser
comprado nas seguintes condições: 30% de entrada, mais 24 prestações
mensais. Considerando-se uma taxa de juros de 4,8% a.m., Calcular o valor
da prestação.
R$ 89,55
3. O preço a vista de um equipamento eletrônico é R$ 2.500,00. No crediário
pode ser comprado em 18 prestações mensais, sendo uma como entrada.
Considerando-se uma taxa de juros de 5,2% a.m., calcular o valor da
prestação.
R$ 206,48
4. Um televisor pode der comprado através do crediário nas seguintes
condições: 20% de entrada mais 15 prestações mensais de R$ 80,00.
Considerando-se uma taxa de juros de 4,5% a.m., calcular o preço a vista
do televisor.
R$ 1.073,95
5. Uma pessoa compra um carro no valor de R$ 28.000,00. Deverá financiar
70% deste valor em um banco que cobra uma taxa de 1,8% a.m..
Considerando-se que deverá pagar prestações mensais de R$ 1.012,94,
determinar o número de prestações.
R. 24 prestações.
6. O preço a vista de um objeto é R$ 2.500,00. No crediário pode ser
comprado nas seguintes condições: 20% de entrada mais 36 prestações
mensais de R$ 97,16. Calcular a taxa mensal.
R. 3,4% a.m.
1.4. MONTANTE DE UMA ANUIDADE:
Seja um processo de capitalização em que são aplicados n , parcelas
iguais a R, postecipadas, a uma taxa de juros i, referida ao mesmo período
dos termos.
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O problema é determinar o montante S na data focal n, que resulta
deste processo de capitalização.
O montante S é o resultado da soma dos montante de cada um dos
termos, à
taxa de juros i na data focal
n. Vamos admitir que estejamos
fazendo esta soma a partir do termo de n-ésima ordem até o termo de 1ª.
Ordem:
S = R + R .(1 + i)¹
+ R .(1 + i)² + R .(1 + i)³ + ... + R.(1 + i)n-1
Colocando-se R em evidência:
S = R.[(1 + i)¹
+ R .(1 + i)² + R .(1 + i)³ + ... + R.(1 + i) n-1]
Logo, temos a expressão do colchete como sendo
Sn i
(S, n cantoneira i)
Sn i = 1 + (1 + i)¹ + (1 + i)² + (1 + i)³ +...+ (1 + i)n -1
O valor de
Sn  i
Sn i
pode ser calculado usando a fórmula:
(1  i )n  1

i
S  R.Sn  i
Exemplos:
1. Uma pessoa deposita R$ 800,00 mensalmente. Sabendo-se que ela está
ganhando 2,5% a.m., quando receberá no final de 1 ano.
R. R$ 11.036,44
2. Quanto deverá depositar mensalmente, para que ao final de 2 anos, não se
processando nenhuma retirada se
tenha R$ 20.000,00. Considerar que a
instituição financeira paga uma taxa de juros de 2,3% a.m.
R. R$ 633,70
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Para calcular o valor dos termos de uma anuidade, procede-se:
1. Tecle f CLEAR FIN para zerar os registros financeiros.
2. Informe o valor presente e tecle CHS e depois FP .
2. Informe a taxa utilizando a tecla i .
3. Tecle n para fornecer o número de termos.
4. Tecle PMT para calcular a prestação.
Exemplos:
1. Quanto deverá depositar mensalmente para que, ao final de 2 anos, se
tenha um montante de R$ 20.000,00. Considerar que a financeira para
uma taxa de juros de 1,8% a.m., sobre o saldo credor.
R. 673,62
2. Uma pessoa, pretendendo comprar um carro numa data futura, resolver
fazer, durante 3 anos, depósitos mensais de R$ 500,00. Considerandose que a financeira paga uma taxa de juros de 2,5% a.m., sobre o saldo
credor, qual o valor máximo do carro que poderá comprar?
R. 28.650,71
3. Uma pessoa aplica mensalmente em uma instituição financeira
depósitos mensais de R$ 800,00, a uma taxa de 1,5% a.m.. Quantos
depósitos foram necessários, para que, não efetuando nenhuma retirada
se tenha um montante de R$ 37.820,78?
R. 36 depósitos
4. Certa pessoa prevendo a compra de um terreno, resolve fazer durante 4
anos depósitos mensais de R$ 750,00. Considerando-se que ao final da
aplicação obteve um montante de R$ 50.000,00, calcular a taxa de juros
mensais.
R. 1,34% a.m.
1.5. VALOR ATUAL DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA.
Para calcular o valor dos termos de uma anuidade postecipada,
procede-se:
1. Tecle f CLEAR FIN para zerar os registros financeiros.
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2. Informe o valor presente e tecle CHS e depois PV .
2. Informe a taxa utilizando a tecla i .
3. Tecle n para fornecer o número de termos.
4. Tecle g
END . (informa que o pagamento será ao final de cada
período)
4. Tecle PMT para calcular a prestação.
1. O preço a vista de um televisor é R$ 1.500,00. No crediário pode ser
comprado em 36 prestações mensais. Considerando-se uma taxa de juros
de 3,5% a.m., calcular o valor da prestação.
R. R$ 73,93
2. Um objeto é comprado no crediário em 24 prestações de R$ 120,49.
Considerando-se uma taxa de juros de 4,2% a.m., calcular o preço a vista
do objeto.
R. R$ 1800,05
3. Um carro, cujo preço a vista é R$ 30.000,00, foi financiado em um 75%
deste valor, em um banco que cobra uma taxa de juros de 33,6% a.a.,
tabela price. Considerando-se que o valor da prestação foi de R$ 857,92,
calcular o número de prestações.
R. 48 prestações
4. O preço a vista de um equipamento eletrônico é R$ 2.500,00. No crediário foi
comprado em 36 prestações mensais de R$ 121,45. Calcular a taxa de
juros mensal cobrada pela loja.
R. 3,4% a.m.
5. O preço a vista de um objeto é R$ 1.800,00. No crediário pode ser comprado
nas seguintes condições: 30% de entrada mais 36 prestações de R$ 68,96.
Calcular a taxa de juro mensal.
R. 4,25% a.m.
6. Um determinado site vente um televisor cujo preço a vista é R$ 1.500,00 em
dez pagamentos, sem nenhum acréscimo. No boleto oferece um desconto
de 10%. Qual a taxa de juros implícita nesta operação.
R. 1,96% a.m.
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2. ANUIDADE ANTECIPADA E DIFERIDA
2.1. ANUIDADE ANTECIPADA
Para calcular o valor dos termos de uma anuidade postecipada,
procede-se:
1. Tecle f CLEAR FIN para zerar os registros financeiros.
2. Informe o valor presente e tecle CHS e depois PV .
2. Informe a taxa utilizando a tecla i .
3. Tecle n para fornecer o número de termos.
4. Tecle g
BEGIN . (informa que o pagamento será no início de cada
período)
4. Tecle PMT para calcular a prestação.
Exemplos:
1. O preço a vista de um objeto é R$ 1.300,00. No crediário é comprado em 48
prestações mensais, sendo uma como entrada. Considerando-se uma taxa
de 3,8% a.m., calcular o valor da prestação.
R. R$ 57,13
2. Um objeto é comprado, através do crediário, em 37 prestações mensais de
R$ 250,00, sendo uma de entrada. Considerando-se uma taxa de juros de
4,5% a.m., calcular o preço a vista do objeto. R. R$ 4.666,51
3. Se uma taxa de mercado é de 3,5% a.m., compensa comprar a vista com
desconto de 15% sobre o preço de tabela ou a prazo em 15 prestações
mensais, sendo uma como entrada? R. 2,43% a.m.; Sim
2.2. ANUIDADE DIFERIDA.
Anuidade diferida corresponde, na prática, os financiamentos que possui
carência, podendo ser, antecipado ou postecipado. Os empréstimo, em
geral, são beneficiados com carência antecipado, salvos, algumas
exceções.
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SUGESTÃO: Quando o problema envolver carência (antecipada) é
conveniente utilizar a seguinte fórmula:
Po (1  i )
c 1
1  (1  i ) n
 R.
i
,
sendo c = n° de períodos de carência
Exemplos:
1. O preço a vista de um objeto é R$ 1.200,00. No crediário pode ser
comprado nas seguintes condições: 30% de entrada e o restante em 24
prestações, sendo a primeira daqui a 5 meses. Considerando-se uma taxa
de juros de 3,8% a.m., calcular o valor da prestação.
R. R$ 62,65
2. Um equipamento eletrônico foi comprado no crediário em 36 prestações
mensais de R$ 120,00, sendo a primeira prestação paga com uma carência
postecipada de 3 meses. Considerando-se uma taxa de juros, tabela price,
de 38,4% a.a., calcular o preço a vista do objeto. R$ 2.314,0
3. . Um magazine oferece, em sua promoção, um computador por 24
prestações de R$ 300,00, ocorrendo o primeiro pagamento apenas após 4
meses da compra. Qual seria o preço a vista deste televisor, uma vez que
a taxa de mercado é 2,5% a.m.?
R. R$ 4.982,40
4. 2. Preço a vista de um carro é de R$ 8.000,00. A revendedora exige 30%
como entrada, financiando o salto em 36 prestações, com 6 messes de
carência postecipada. Sabendo-se que a taxa de juros é de 4,5% a.m., qual
é o valor das prestações?
R. R$ 412,80
5. Um noivo, precisando comprar seus móveis e não dispondo de dinheiro de
imediato, abriu um crediário em uma loja, no valor de R$ 2.000,00. Por esta
compra irá pagar 24 prestações de R$ 194,23, mensalmente, com 6
messes de carência postecipada. Qual é a taxa de juros mensal desta loja
“camarada”?
R. 5% a.m.
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6. Antônio compra de um amigo um apartamento, cujo valor a vista é de
R$ 150.000,00,
nas seguintes condições: de R$ 50.000,00 mais prestações mensais de R$ 18.598,04, com 1
ano de carência postecipada. Sabendo-se que a taxa de juros contratada fora de 4,5% a.m.,
qual é o número de prestações? R. 12 meses
1.8.1. Uso da HP
Para cálculo, procede-se:
1º passo: Calcular o valor a ser financiado, utilizando o algoritmo de
juros composto, durante a carência.
2º passo: Utilizar o algoritmo da anuidade para calcular a prestação.
Para calcular o preço a vista, utilize o procedimento anterior, pela ordem
inversa.
RESOLVA OS SEGUINTES PROBLEMAS FINANCEIROS, UTILIZANDO A HP
1. Um capital de R$ 25.000,00 foi aplicado por um período 105 dias.
Considerando-se uma taxa de juros de 2,5% a.m., calcular o montante em
juros compostos ao final da aplicação. (convenção exponencial e linear)
R. R$ 27.256,72;
R$ 27.258,79
2. Certo capital foi aplicado por um período de 6 meses a uma taxa de 1,8%
a.m., produzindo um montante de R$ 3.338,93. Calcular o valor aplicado,
considerando-se capitalização composta.
R. R$ 3.000,00
3. Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado a uma taxa de 3,2% a.m.
produzindo um montante de R$ 6.040,16. Calcular o período da aplicação,
considerando-se juros compostos.
R. 6 meses
4. Uma pessoa aplicou um capital de R$ 7.000,00 e após 105 dias, recebeu
um montante de R$ 7.631,88. Calcular a taxa de juros compostos mensais.
Qual a taxa equivalente anual?. Qual a taxa nominal anual com
capitalização mensal?
R. 2,5% a.m.; 34,49% a.a.;
30% a.a.
5. Um título de R$ 15.000,00 foi descontado 48 dias antes do vencimento.
Considerando-se uma taxa de desconto racional composta de 3,5% a.m.,
calcular o valor de resgate.
R. R$ 14.194,66
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6. Um carro é financiado em 36 prestações mensais de R$ 460,00.
Considerando que o cliente deu uma entrada de R$ 3.000,00 e que a taxa
de juros cobrada pelo banco foi de 3,2% a.m., calcular o preço a vista do
carro.
R. R$ 12.749,71
7. O preço a vista de um objeto é R$ 1.800,00. No crediário pode ser
comprado nas seguintes condições: 30% de entrada, mais 24 prestações
mensais. Considerando-se uma taxa de juros de 4,8% a.m., calcular o valor
da prestação.
R. R$ 89,55
8. O preço a vista de um equipamento eletrônico é R$ 2.500,00. No crediário
pode ser comprado em 18 prestações mensais, sendo uma como entrada.
Considerando-se uma taxa de juros de 5,2% a.m., calcular o valor da
prestação.
R. R$ 206,48
9. Um televisor pode der comprado através do crediário nas seguintes
condições: 20% de entrada mais 15 prestações mensais de R$ 80,00.
Considerando-se uma taxa de juros de 4,5% a.m., calcular o preço a vista
do televisor.
R. R$ 1.073,95
10. Uma pessoa compra um carro no valor de R$ 28.000,00. Deverá financiar
70% deste valor em um banco que cobra uma taxa de 1,8% a.m..
Considerando-se que deverá pagar prestações mensais de R$ 1.012,94,
determinar o número de prestações.
R. 24 prestações.
11. O preço a vista de um objeto é R$ 2.500,00. No crediário pode ser
comprado nas seguintes condições: 20% de entrada mais 36 prestações
mensais de R$ 97,16. Calcular a taxa mensal.
R. 3,4% a.m.
12. Uma pessoa deposita R$ 800,00 mensalmente. Sabendo-se que ela está
ganhando 2,5% a.m., quando receberá no final de 1 ano. R. R$ 11.036,44
13. Quanto deverá depositar mensalmente, para que ao final de 2 anos, não se
processando nenhuma retirada se
tenha R$ 20.000,00. Considerar que a
instituição financeira paga uma taxa de juros de 2,3% a.m.
R. R$ 633,70
14. Uma pessoa aplicou R$ 8.000,00 e após 5 meses recebeu a soma de R$
11.485,04. Que depósitos mensais nesse período produziriam a mesma
soma, se os juros sobre o saldo credor fossem beneficiados com a mesma
taxa da 1ª. Hipótese.
R. R$ 1.977,31
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15. Uma pessoa pretende financiar um carro, cujo preço a vista é R$
40.000,00. O banco aceita financiar 70% deste valor, com 36 prestações
mensais de R$ 1050,93. Considerando-se uma taxa de IOF de 2,5% sobre
o valor financiado, calcular a taxa do banco e a taxa efetiva.
R.1,58% a.m.
1,73% a.m.
Para cálculo do número de pagamentos ou períodos de capitalização,
procede-se:
1. Tecle f CLEAR FIN para zerar os registros financeiros.
2. Informe a taxa utilizando a tecla i ou 12: .
3. Informe pelo menos dois valores:
valor presente, utilizando PV ;
valor do pagamento, utilizando PMT;
valor futuro, utilizando FV.
4. Se o PMT foi informado, aperte g BEG ou g END para configurar
o modo de vencimento.
3. Tecle n para fornecer o número de termos.
3. MODELOS GENÉRICOSDE ANUIDADE
1. Uma pessoa toma emprestado R$ 20.000,00 para comprar um carro. Os
juros são tabela price de 30% a.a. Se a pessoa deverá pagar prestações de
R$ 720,12 ao fim da cada mês, quantos pagamentos serão necessários?
Quanto tempo levará?
R. 48 prestações ou 4 anos
2. Uma pessoa abre uma conta depositando, hoje, R$ 10.000,00. Um mês após
o depósito a pessoa efetua depósitos mensais de R$ 493,62. Quanto tempo
levará para poupar R$ 30.000,00, considerando-se uma taxa de juros de
1,5% a.a.?
R. 26 meses
3. Você abre uma conta, hoje, (no meio do mês) com um depósito de R$
775,00. A conta rende 6,25% a.a. com capitalização quinzenal. Se você
fizer depósitos quinzenais de R$ 50,00, começando no mês que vem,
quantos meses levará para poupar R$ 4.000,00?
R. 29 meses.
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4. Pensando em aposentadoria, uma pessoa deseja acumular R$ 600.000,00
após 15 anos através de depósitos em uma conta que paga juros de 9,75%
a.a., com capitalização semestral. Para isto, abre uma conta, com um
depósito de R$ 32.000,00 e pretende fazer depostos semestrais começando
daqui a seis meses. Determinar o valor do depósito. R. 1.129,43
5. Qual a taxa de juros nominal anual deve ser cobrada para obter R$
50.000,00 em 6 anos com investimento de R$ R$ 7.542,51 com
capitalização trimestral?
R. 32,8% a.a
6. Uma máquina industrial comprada por R$ 30.000,00, sobre uma
depreciação, em relação ao seu preço inicial, aproximadamente 3% ao final
de cada ano. Calcule o valor no final de 10 anos.
R. 22.122,72
7. Um capital de R$ 20.000,00 foi feito para ser resgatado durante um prazo de
6 anos, a uma taxa de 18% a.a. (tabela price), com pagamentos feitos ao
final de cada mês. Se o juros começam a ser calculado em 15 de março de
2010 e a primeira prestação no dia 01 de maio, calcule o pagamento
mensal, com os dias extras contados com base no ano comercial e os juros
compostos usados para o período fracionário.
R. 459,81
8. Uma pessoa faz um empréstimo de R$ 20.000,00, comprometendo-se a
pagar 45 prestações iguais de R$ 917,09, começando a acumular juros a
partir de 18 de agosto de 2010, com o primeiro período em 1º de setembro
(postecipado). Calcule a taxa mensal usando o número de exato de dias
extras e juros simples para o período fracionário.
R. 3,59% a.m.
4. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES – EMPRÉSTIMOS
Segundo as práticas habituais, os empréstimos classificam-se em: de
curto, de médio e longo prazo.
Os empréstimos de médio e de longo prazo sofrem um tratamento
especial porque existem várias modalidades de restituição do principal e juros.
Tais empréstimos, em geral, tem suas condições previamente estipuladas por
contratos entre as partes, ou seja, entre o credor e o devedor.
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Os problemas mais importantes que surgem nos empréstimos dizem
respeito à explicitação do sistema de reembolso adotado e ao cálculo da taxa
de juros efetivamente cobrada pelo credor.
Nos sistemas de amortização a serem estudados, os juros serão
calculados sempre sobre o saldo devedor. Isto significa que consideraremos
apenas o regime de juros compostos e o não pagamento de juros em um dado
período levará a um saldo devedor maior, sendo calculado juro sobre juro.
4.1. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
Por este sistema o credor exige a devolução do principal em n parcelas
iguais, incidindo os juros sobre o saldo devedor .
Exemplo 1. Uma empresa pede emprestado R$ 40.000,00 que o banco entrega
no ato. Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros é de 5% a.s. e que o
principal será amortizado em 4 parcelas semestrais, sem prazo de carência
construir a planilha.
Sem
SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO
JUROS
PRESTAÇÃO
0
1
2
3
4
TOTAL
4.2. SISTEMA FRANCÊS (SF):
Por este sistema, o mutuário obriga-se a devolver o principal
mais os juros em prestações iguais entre si e periódicas.
Temos de resolver, portanto, dois problemas para construir a planilha:
como calcular a prestação e como separar a amortização dos juros.
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Exemplo 1: Um banco empresta R$ 20.000,00, entregues no ato, sem prazo de
carência. Sabendo-se que o banco utiliza o sistema francês, que a taxa
contratada foi de 10 % a.a. com capitalização semestral e que o banco quer a
devolução em 5 prestações, construir a planilha.
Sem
SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO
JUROS
PRESTAÇÃO
0
1
2
3
4
5
TOTAL
4.3. SISTEMA PRICE
Este sistema também e conhecido como tabela “Price” (lê-se
praice) e é um caso particular do sistema francês, com as seguintes
características:
a) A taxa de juros contatada é dada em termos nominais. Na prática, esta taxa
é dada em termos anuais.
b) As prestações tem período menor que aquele a que se refere a taxa. Em
geral, as amortizações são feitas em base mensal.
c) No cálculo é utilizado a taxa proporcional ao período a que se refere a
prestação, calculada a partir da taxa nominal.
Exemplo: Um banco emprestou R$ 10.000,00, entregues no ato, com três
mêses de carência. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pelo banco é de
30% a.a., tabela Price, e que a devolução deve ser feita em 5 meses com juros
pagos mensalmente, construir a planilha.
Exemplo: O preço a vista de um carro é R$ 18.000,00. Um cliente financiou
80% deste valor em um banco que cobra uma taxa de juros de 33,6% a.a.,
tabela "price" em 06 parcelas mensais iguais, sem prazo de carência. Construir
a planilha do financiamento.
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meses SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO
- 16 -
JUROS
PRESTAÇÃO
0
1
2
3
4
5
6
TOTAL
A HP 12c, permite em um empréstimo, separar a parcela da amortização
utilizada para saldar o compromisso e os juros. Para este cálculo, procede-se:
1. Tecle f CLEAR FIN para zerar os registros financeiros.
2. Informe a taxa utilizando a tecla i ou 12: .
3. Informe o valor do empréstimo, utilizando PV ;
4. Informe o valor do pagamento, utilizando CHS PMT;
5. Tecle g BEG ou g END para configurar o modo de vencimento.
6. Tecle
n
para fornecer o número de pagamentos a serem
amortizados;
7. Tecle f AMORT para exibir a parte dos pagamentos usada para
pagar juros;
8. Tecle x<>y para exibir a parte dos pagamentos usada para pagar o
principal;
10. Para mostrar o saldo devedor, tecle RCL PV
Ex. Uma pessoa toma emprestado R$ 30.000,00 para ser amortizado pelo
sistema price em 48 prestações mensais de R$ 1.080,18. Considerandose uma taxa de juros de 30% a.a., calcular as partes dos pagamentos do
primeiro ano direcionadas ao pagamento dos juros, aquelas direcionadas
à amortização do principal e o saldo devedor. R. 8.407,14; 4.555,01 e
25.444,9
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- 17 -
5. INDÍCES ECONÔMICOS
5.1.
TAXA DE JURO NOMINAL E TAXA REAL:
Quando atemos um regime inflacionário, devemos distinguir, na
taxa nominal, uma componente devida à inflação e outra devida à parcela de
juros realmente recebida e paga.
Sejam:
Co – Capital inicial;
i
– taxa nominal;
r
– taxa real;
j
– taxa inflacionária.
Vejamos como se comporta a taxa real com e sem inflação:
a) SEM INFLAÇÃO:
C1 = Co.(1 + i);
Como o valor de Co em termos de poder aquisitivo é o mesmo no
início e no fim do período, podemos dizer que o valor real que se recebe é C1.
Neste caso:
C1 = Co.(1 + i) = Co.(1 + r)
logo
i=r
b) COM INFLAÇÃO:
C1 = Co . (1 + i)
C1’ = Co.(1 + j)
C1” = Co.(1 + r)
C” = Co . (1 + j) . (1 + r),
como C1” = C1, temos
Co . (1 + i) = C .(1 + j) . (1 + r), 1
Logo, temos:
i  (1  j.(1  r )  1
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r
(1  i)
1
(1  j )
j
(1  i)
1
(1  r )
- 18 -
EXERCÍCIOS
01. Calcular a taxa de juros nominal que deve cobrar uma financeira ganhar 8% a .
a . de juros reais nas seguintes hipóteses:
a) 25% a . a .
b) 20% a . a .
c) 40 % a . a
02. A taxa de juros para aplicações de curto e médio prazo, em um banco, é de
40% a . a . Que remuneração real o cliente recebe, se a inflação for de:
a) 30% a. a .
b) 38% a. a .
c) 45% a. a.
03. Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um capital aplicado ganhe
12% a . a . de juros reais; caso a taxa nominal seja:
a) 25% a.a.
b) 35% a.a.
c) 48% a.a.
04. Para um capital de R$ 6.000,00 aplicado por 2 anos, o investidor recebeu R$
15.179,35 de juros. Qual é a taxa de juros real, se a inflação foi de 30% a . a.
R. 22,3% a.a .
05. Uma pessoa aplica R$ 10.000,00 em uma instituição financeira que paga 7% a
. a . mais a correção monetária. Que montante receberá o investidor após 3
anos, se a correção anual for de 25% a.a.
R. 23.926,62
06. Uma pessoa aplicou R$ 5.000,00 em títulos de um banco pelo prazo de 1 ano,
tendo sido fixado o valor de resgate de R$ 7.200,00 quando do vencimento da
aplicação. Entretanto, necessitando do dinheiro, descontou os títulos 3 meses
antes do vencimento, recebendo a quantia líquida de R# 6.400,00. Que taxa
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- 19 -
real de juros recebeu e que taxa nominal foi cobrada na operação de desconto,
se
a
inflação
R. 3,34%
nos
primeiros
9
meses
tiver
sido
de
2,5%
a.m.?
e 60,18%
07. O preço a vista de um carro é R$ 20.000,00. A agência o vende por R$
5.000,00 de entrada e restante após 6 meses, a juros efetivos de 12% a.a. mais
a correção. Sabendo-se que a correção do 1o trimestre do financiamento foi de
6% e do 2o trimestre foi de 10%, pergunta-se qual é o valor a ser pago ao fim
dos 6o mês.
R. 18.508,50
08. Uma pessoa compra um objeto em 13 prestações mensais de R$ 60,00, sendo
uma como entrada. Considerando-se que a loja cobra uma taxa real de 2% a.m.
mais a correção inflacionária e que a inflação acumulada anual foi de 30%,
calcular o valor a vista do objeto.
R. R$ 616,02
09. O preço a vista de um objeto é R$ 800,00. No crediário pode ser comprado em
8 prestações mensais, sendo a primeira exigida após o 5o mês. Considerandose que a loja cobra uma taxa de juros de 2,5% a.m. mais a correção monetária
e que a inflação ao final dos 12 meses foi de 15%, calcular o valor da
prestação.
R. 135,71
10. Uma pessoa comprou uma casa por R$ 80.000,00 e vendeu-a após 1 ano por
R$ 120.000,00. De quanto deve ser a inflação mensal para que o investidor
ganhe 10% a.a., como juros reais?
R. 2,62% a.m.
11. Quanto deve ser aplicado em caderneta de poupança no dia 1o de janeiro de
1997 para que se tenha R$ 10.000,00 no dia 1o de janeiro de 98? Considerar
juros reais de 6% a.a. mais a correção inflacionária, conforme hipótese abaixo:
Trimestre
Correção
trimestre
correção
1o
6,675%
3o
8%
2o
8,69%
4o
7%
R. 7.040,27
13. Um carro importado é vendido por R$ 50.000,00 a vista ou em 12 prestações
mensais, vencendo a 1a a um mês. Qual é o valor da prestação, se a taxa de
juros real for de 10% a.a. e a inflação de 40% a. a.?
R. 5.223,03
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- 20 -
6. CUSTO EFETIVO DE UM EMPRÉSTIMO
6.1.
FLUXO DE CAIXA
Os problemas de matemática financeira tratam, basicamente, de entradas
e saídas, ao longo do tempo, de dinheiro no caixa de uma entidade. O conjunto de
entradas e saídas de dinheiro também é conhecido como fluxo de caixa.
6.2.
EQUIVALÊNCIA ENTRE FLUXOS DE CAIXAS
Dois fluxos de caixas são equivalentes a uma taxa de juros quando os seus
respectivos valore atuais forem iguais numa data focal escolhida.
Exemplo 1: Determinar os valores atuais dos fluxo de caixa abaixo relacionados, na
data 1, considerando taxa de 3% a.m. capitalizados mensalmente.
Datas
0
1
2
3
Fluxo 1
-
-
-
1.092,72
Fluxo 2
-
353,53
353,53
353,53
Fluxo 3
200
-
-
874,18
Fluxo 4
428,78
200,00
400,00
-
R. R$ 1.000,00
Exemplo2: Determinar o valor de R de tal forma que os fluxos 1 e 2 sejam
equivalentes a uma taxa de 12% a.a.
FLUXO 1: Três pagamentos anuais, iguais, cada uma de valor igual a R a partir da
data 6.
FLUXO 2: Cinco pagamentos anuais, iguais, cada um de valor igual a 277,41 a partir
da data 1.
6.3.
R. R$ 733,74
CUSTO EFETIVO DE UM EMPRÉSTIMO
É comum, nos empréstimos feitos na prática, que as instituições financeiras
cobre o imposto sobre operações financeiras IOF, aval, comissões, etc.
Estes encargos adicionais aumentam a taxa de juros reais para o mutuário,
tornando-se indispensável seu cálculo de modo que sejam possíveis as comparações
de diversas alternativas.
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- 21 -
6.4. TAXA DE RETORNO
Taxa de retorno é a taxa de juros que iguala, em uma data focal qualquer, os
valores atuais e/ou montantes da importância emprestada com os valores das
prestações pagas. Em outras palavras, a taxa de retorno é aquela aquela que torna
nulo o valor atual da diferença entre aplicações e recebimentos.
 CÁLCULO DA TAXA DE RETORNO QUANDO OS VALORES SÃO
UNIFORMES:
Quando os valores de recebimento são uniformes, a taxa de retorno pode
ser determinada diretamente através de interpolação linear.
Exemplo: Um banco faz um empréstimo pessoal de R$ 9.800,00, que deve ser
devolvido em 36 prestações mensais iguais de R$ 450,00. Sabendo-se que o banco
cobra uma taxa de TAC de 0,5% sobre as prestações e 1,5% de IOF, sobre o valor
financiando, pagos antecipadamente, calcular a taxa de juros efetiva de empréstimo.
R. 3,2% a.m.
 CALCULO DA TAXA DE RETORNO QUANDO OS VALORES NÃO SÃO
UNIFORMES
Neste caso a taxa de retorno só pode ser obtida por um processo de
tentativa e erro.
Exemplo: Uma empresa obtém um empréstimo de R$ 10.000,00, nas seguintes
condições:
-
Taxa de juros: 10% a.a. (nominal);
-
Prazo de carência: 2 semestres;
-
Taxa administrativa: 1% sobre o total de amortizações e encargos, cobrado no ato;
-
Aval: 2% sobre o saldo devedor ao fim de cada ano;
-
Sistema de amortização constante, em 4 parcelas semestrais.
Pede-se para construir a planilha e calcular a taxa de juros real do
empréstimo.
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- 22 -
7. INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE INVESTIMENTO
Freqüentemente, devemos avaliar a viabilidade ou não de um
investimento.
Saber se o investimento dá lucro, fazendo simplesmente receita
menos despesa, é uma forma grosseira de avaliação (lembre-se que os valores
estão distribuídos ao longo do tempo).
Na verdade o que queremos saber é, o quanto de lucro, poderá
render um investimento, e, a partir daí, criarmos parâmetros de comparação
com outras alternativas de investimento.
7.1. TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE
Taxa mínima de atratividade é a taxa mínima de juros que torna conveniente
para o investidor aplicar o seu capital num determinado investimento. Se a taxa interna
de retorno do investimento for maior que a taxa de atratividade, considera-se o
investimento viável.
Normalmente a taxa de atratividade é a taxa oferecida pelo mercado
financeiro.
7.2. TAXA DE RETORNO
Taxa de retorno é a taxa de juros que iguala, em uma data focal qualquer, os
valores atuais e/ou montantes da importância emprestada com os valores das
prestações pagas. Em outras palavras, a taxa de retorno é aquela aquela que torna
nulo o valor atual da diferença entre aplicações e recebimentos.
7.3. AVALIAÇÃO DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS
Basicamente podemos utilizar dois métodos de avaliação de alternativas de
investimentos:
a) O método da taxa de retorno;
b) O método do valor atual líquido.
Exemplo: Seja o fluxo de caixa abaixo:
Período
0
3
6
10
12
(meses)
Valor
-37.000
12.000
8.000
15.000
10.000
Reais
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- 23 -
Considerando-se uma taxa de atratividade de 2, 2 % a.m, verificar se o
investimento é viável:
a) Pelo método do valor atual;
R. R$ 38.030,65; Sim, V a > Vinv.
b)
R. 2,57% a.m. Si m, pois iret. > iatrat.
Determinando a taxa de retorno.
 Pelo valor atual
Você pode analisar a viabilidade de um investimento calculando o Valor
atual. Se o valor atual for maior que o valor investido pode-se afirmar que o
investimento é viável. Para calcular o valor atual, procede-se:
1. Tecle f
CLEAR REG
para zerar os registros financeiros e de
armazenamento;
2. digite o valor do investimento inicial, aperte CHS
caixa for negativo, e tecle g
se o fluxo de
CFj . Se o valor no próximo período for
zero, tecle 0 g CFj ;
3. Digite o valor do próximo fluxo de caixa, aperte CHS
caixa for negativo, e tecle g
se o fluxo de
CFo . Se não houver um investimento
inicial, tecle 0 g Cfo ;
4. Repita o passo 3 para cada fluxo de caixa, até informar todos;
5. Informe a taxa utilizando a tecla i ou 12: .
6. Tecle f NPV .
Ex. Seja um investimento aplicado conforme fluxo de caixa abaixo:
Mês
Fluxo A
0
1
- 50.000,00 13.000,00
2
8.000,00
3
4
5
12.000,00 10.000,00 10.000,00
Considerando-se uma taxa de atratividade de 1,5% a.m., verificar se o
investimento é viável, calculando o valor atual do fluxo de caixa.
R. R$ 753,43; logo o investimento é viável.
 Pelo cálculo da taxa interna de retorno
Você pode, também, analisar a viabilidade de um investimento,
determinando a taxa interna de retorno (taxa que retorna os valores do fluxo de
caixa para a data focal zero, tornando a diferença da soma desses valores e o
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- 24 -
valor investido, zero). Se a taxa interna de retorno for maior que a taxa de
atratividade, pode-se afirmar que o investimento é viável.
Para calcular a taxa interna de retorno, procede-se:
1. Tecle f
CLEAR REG
para zerar os registros financeiros e de
armazenamento;
2. digite o valor do investimento inicial, aperte CHS
caixa for negativo, e tecle g
se o fluxo de
CFj . Se o valor no próximo período for
zero, tecle 0 g CFj ;
3. Digite o valor do próximo fluxo de caixa, aperte CHS
caixa for negativo, e tecle g
se o fluxo de
CFo . Se não houver um investimento
inicial, tecle 0 g CFo ;
4. Repita o passo 3 para cada fluxo de caixa, até informar todos;
5. Informe a taxa utilizando a tecla i ou 12: .
6. Tecle f IRR .
Ex. Dado o fluxo de caixa abaixo:
Mês
0
1
2
Fluxo A
-40.000,00
7.000,00
8.000,00
3
4
10.000,00 11.000,00
5
8.000,00
Considerando-se uma taxa de atratividade de 1,8% a.m., verificar se o
investimento foi viável, calculando a taxa de retorno.
R. 3,14% a.m., logo o investimento é viável, pois a taxa de retorno é maior que
a taxa de atratividade.
Resolva os seguintes problemas, utilizando a HP
1. Seja o seguinte fluxo de caixa
Mês
0
1
2
3
4
5
Fluxo A
- 8.000,00
2.000,00
1.300,00
1.700,00
2.747
1.373,61
Considerando-se uma taxa de atratividade de 4,5% a.m., verificar se o
investimento é viável, determinando a taxa de retorno.
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2. Dado o fluxo de caixa abaixo:
Mês
0
1
2
3
4
5
Fluxo A
-2.994,00
650,00
650,00
650,00
650,00
650,00
Considerando-se uma taxa de atratividade de 2,5% a.m., verificar se o
investimento foi viável, calculando a taxa de retorno.
R. 2,8% a.m., Sim, pois a taxa de retorno é maior que a taxa de atratividade
3. Uma pessoa ganha na loteria R$ 790.000,00. Planeja aplicar este dinheiro com
retiradas anuais, pensando ganhar pelo menos 13,5% a.a. Um amigo, então,
lhe propõe as retiradas conforme tabela abaixo:
Ano
Valor devolvido
Ano
Valor devolvido
1
R$ 140.000,00
6
R$ 90.100,00
2
R$ 110.000,00
7
R$ 90.000,00
3
R$ 100.000,00
8
R$ 90.000,00
4
R$ 100.000,00
9
R$ 40.500,00
5
R$ 100.000,00
10
R$ 1.000.000,00
Verificar se ele conseguiu seu propósito. Calcular a taxa de retorno.
R. Sim, pois conseguiu uma taxa maior do que esperava; 13,67% a.a.
4. Calcular o valor atual na data zero dos seguintes fluxos de caixa considerando
taxa de 10% a.a. e as datas em anos:
Datas
0
1
2
3
Fluxo 1
-2.127,57
1.000
1.000
1.000
Fluxo 2
5.000
-2.000
-2.000
-2.000
5. Um banco faz um empréstimo pessoal de R$ 45.518,22, que deve ser devolvido
em 5 prestações mensais iguais de R$ 10.000,00. Sabendo-se que o banco cobra
uma taxa de IOF de 2% sobre o total das prestações, antecipadamente, calcular o
custo
efetivo
R. 4% a.m.
do
empréstimo
determinando
a
taxa
interna
de
retorno.
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- 26 -
6. (BC) Considere o fluxo de caixa, abaixo:
Período
0
1
2
(anos)
Valor
-100
80
X
(milhares de Reais)
Calcular o valor de X para o qual a taxa interna de retorno anual seja de 10%. R. 33
7. Considere o fluxo de caixa, abaixo:
Período
0
1
2
3
4
(anos)
Valor
-10.000
2.000
X
X
Y
Reais
Calcular o valor de X e de Y para o qual a taxa interna de retorno anual seja de
18%.
Considerar X = 2Y
R. R$ 2.620,38; R$ 5.240,76
8. Condidere o fluxo de caixa, abaixo:
Período
0
4
6
8
12
Valor
-46.628,32
13.000
14.000
16.000
10.000
Calcular a taxa interna de retorno. Considerando-se uma taxa de atratividade de
1,6% a.m., o investimento é viável?
R. 1,8% a.m.