Conceitos
Fundamentais
Parte A
Fluido como um Contínuo
O fluido será tratado como uma substância infinitamente divisível, um contínuo, em
detrimento ao comportamento das moléculas individuais. Isso ocorre pelo fato que na maioria
das aplicações de Engenharia estamos interessados nos efeitos médios ou macroscópicos de
muitas moléculas, pois são esses efeitos que geralmente percebemos e medimos.
O conceito de um contínuo é a base da mecânica dos fluidos clássica. A hipótese é
válida no tratamento do comportamento dos fluidos sob condições normais. Entretanto, ela
não é válida quando a trajetória média livre das moléculas se torna na mesma ordem de
grandeza da menor dimensão característica do problema.
Em razão da hipótese do contínuo, cada propriedade do fluido é considerada como
tendo um valor definido em cada ponto do espaço. Com isso, propriedades dos fluidos tais
como: massa específica, temperatura e velocidade são consideradas funções contínuas da
posição e do tempo.
Para demonstrar o conceito de uma propriedade num ponto, vamos analisar o modo
pelo qual determinamos a massa específica num ponto numa determinada região de fluido
(Fig. 1). Nosso objetivo é determinar a massa específica em C, cujas coordenadas são x0 , y0
e z0 .
(a)
(b)
Figura 1. Definição de massa específica num ponto.
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1
A massa específica média dentro do volume ∀ será dada por ρ = m ∀ .
Provavelmente, isso não será igual ao valor da massa específica no ponto C. Para
determinarmos ρ em C, devemos escolher um pequeno volume δ∀ ao redor de C e
determinar δm δ∀ .
A questão é quão pequeno deve ser o volume δ∀ ?
A resposta é que δ∀ deve ser suficientemente grande para fornecer um valor
significativo e reproduzível da massa específica num local e ainda pequeno o suficiente para
poder detectar variações espaciais de ρ . Existe, por conseqüência, um valor limítrofe inferior
para δ∀ , designado por δ∀' na Fig. 1(b), permissível para uso na definição de massa
específica num ponto.
A massa específica num “ponto” é então definida como
δm
.
δ∀→δ∀' δ∀
ρ = lim
Se determinações de massa específica fossem feitas simultaneamente em um número
infinitos de pontos do fluido, uma expressão para a distribuição de massa específica como
funções das coordenadas espaciais, ρ = ρ ( x, y, z ) no instante de tempo dado seria obtida.
A massa específica em qualquer ponto pode variar com o tempo, logo sua
representação completa (representação de campo) é dada por
ρ = ρ ( x, y , z , t ) .
Como a massa específica é uma quantidade escalar, o campo ρ = ρ ( x, y, z , t ) é
escalar.
A massa específica de um líquido ou um sólido pode também ser expressa na forma
adimensional, a partir da gravidade específica, SG, ou densidade relativa,
SG =
ρ
ρ máx, água
,
onde, ρmáx, água é a máxima massa específica da água, que é 1000 kg/m3 a 4°C.
O peso específico, γ, é definido como:
γ =
mg
= ρg .
V
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Campo de Tensão
Na mecânica dos meios contínuos lidamos tanto com forças de superfície quanto
forças de campo.
As forças de superfície atuam nas fronteiras de um meio através do contato direto.
As forças de campo são desenvolvidas sem contato físico e distribuídas por todo o
volume do fluido (gravitacionais e eletromagnéticas).
As tensões num meio resultam das forças que atuam em alguma porção dele. O
conceito de tensão nos fornece uma maneira conveniente de descrever o modo pelo qual as
forças atuantes nas fronteiras do meio são transmitidas através dele.
Como a força e a área são ambas quantidades vetoriais, em geral, são necessárias nove
quantidades para especificar o estado de tensão num fluido. O campo de tensão se comporta
como um tensor de segunda ordem, ou seja, ele é um campo tensorial.
G
Considere da Figura 2 uma porção, δA , da superfície na vizinhança de C. A orientação
G
de δA é dada pelo vetor unitário, n̂ . O vetor n̂ é normal à superfície apontando para fora
G
G
dela, ou seja, no sentido da transmissão da força de contato. A força, δF , atuando sobre δA ,
pode ser decomposta em duas componentes, uma normal e outra tangencial à área.
Figura 2. O conceito de tensão num meio contínuo.
- Tensão Normal:
δFn
δAn → 0 δAn
σ n = lim
- Tensão Cisalhante ou Tangencial:
δFt
δAn → 0 δAn
τ n = lim
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3
G
O índice n na tensão indica que as tensões estão associadas com δA que passa por C,
tendo uma normal com a direção e sentido de n̂ . Qualquer outra superfície passando por C
possui valores de tensões diferentes.
Quando tratamos de quantidades vetoriais, é usual considerar as componentes num
sistema de coordenadas cartesianas.
Em coordenadas ortogonais, podemos considerar as tensões atuando em planos cujas
normais orientadas para fora estão nas direções dos eixos x, y e z (Fig. 3).
δFx
,
δAx → 0 δAx
σ xx = lim
δFy
,
δAx → 0 δAx
τ xy = lim
δFz
.
δAx → 0 δAx
τ xz = lim
Figura 3. Componentes da força e da tensão sobre um elemento de área δAx.
Índice duplo é utilizado para designar as tensões. O primeiro índice (neste caso, x)
indica o plano no qual a tensão atua (neste caso, a superfície perpendicular ao eixo x). O
segundo índice indica a direção na qual a tensão atua.
Um número infinito de planos pode passar por C, resultando num número infinito de
tensões associadas a estes planos. Por sorte, o estado de tensão num ponto pode ser
completamente descrito pela especificação das tensões atuantes em três planos que passam
por ele e que são mutuamente perpendiculares.
A tensão num ponto é especificada pelas nove componentes
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4
⎡σ xx τ xy τ xz ⎤
⎢
⎥
⎢τ yx σ yy τ yz ⎥ .
⎢ τ zx τ zy σ zz ⎥
⎣
⎦
onde, σ denota tensão normal e τ tensão cisalhante. A notação para a designação de tensão é
mostrada na Fig. 4.
Figura 4. Notação para tensões.
Existem seis planos nos quais as tensões podem atuar (dois planos x, dois planos y e
dois planos z ou ainda, frontal e posterior; superior e inferior ou; esquerdo e direito). Os
planos são nomeados em termos dos eixos de coordenadas e são denotados como positivo ou
negativo de acordo com o sentido da sua normal. Isto é, o plano superior, por exemplo, é um
plano y positivo; o posterior, é um plano z negativo.
Adotar uma convenção de sinais para a tensão também se faz necessário. Na Figura 4,
todas as tensões foram traçadas como positivas. As componentes são negativas quando o seu
estado e o plano no qual atuam têm sinais opostos.
Viscosidade
Em geral, os fluidos podem ser classificados de acordo com a relação entre a tensão de
cisalhamento aplicada e a taxa de deformação.
O comportamento de um elemento fluido entre duas placas infinitas, onde a placa
superior move-se a velocidade constante, δu , sob a influência de uma força constante
aplicada, δFx , é mostrado na Fig. 5.
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5
A tensão de cisalhamento, τ yx , aplicada ao elemento fluido é dada por:
δFy dFy
=
,
δA y → 0 δAy
dAy
τ yx = lim
sendo que, δAy é a área do elemento fluido em contato com a placa e, δFx , é a força exercida
pela placa sobre esse elemento.
Durante o intervalo de tempo, δt , o elemento fluido é deformado da posição MNOP
para a posição M’NOP’. A taxa de deformação do fluido é dada por:
δα dα
=
δt → 0 δt
dt
Taxa de deformação = lim
Figura 5. A deformação de um elemento fluido.
Para calcular a tensão de cisalhamento, τ yx é desejável expressar dα dt em função de
quantidades prontamente mensuráveis
δl = δu δt
para pequenos ângulos,
δl = δy δα
Igualando as duas expressões, obtêm-se que
δα δu
=
δt δy
Tomando os limites em ambos os lados da igualdade
dα du
=
dt
dy
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Portanto, o elemento fluido quando submetido à tensão de cisalhamento, τ yx ,
experimenta uma taxa de deformação dada por du dy .
Os fluidos nos quais a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à taxa de
deformação são chamados fluidos Newtonianos. Quando essa proporcionalidade não existe,
classificamos estes fluidos como não-Newtonianos.
Fluido Newtoniano
Os fluidos mais comuns, tais como: a água, o ar, a gasolina e a glicerina, sob
condições normais, são Newtonianos. Se o fluido da Figura 5 for Newtoniano, então:
du
.
dy
τ yx α
Ao analisarmos o comportamento entre a água e a glicerina, observaremos que eles
irão se deformar a taxas diferentes sob a ação da mesma tensão de cisalhamento aplicada. A
glicerina apresenta uma resistência à deformação muito maior do que a água. Em outras
palavras, ela é muito mais viscosa. A constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta
(ou dinâmica), μ .
A lei de Newton da viscosidade é dada por:
τ yx = μ
du
,
dy
no SI, as unidades de viscosidade são kg m.s ou Pa.s onde, 1 Pa.s = 1 N .s m 2 .
A viscosidade cinemática é dada por:
υ=
μ
ρ
no SI a unidade de viscosidade cinemática é m2 / s.
Os dados de viscosidade para diversos fluidos Newtonianos comuns são apresentados
em tabelas.
Para gases, a viscosidade aumenta com a temperatura, enquanto para líquido a
viscosidade diminui com o aumento de temperatura.
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Fluido Não-Newtoniano
Os fluidos não-Newtonianos são aqueles nos quais a tensão de cisalhamento não é
diretamente proporcional à taxa de deformação. Exemplos de comportamento de fluidos não-
Newtonianos que independem do tempo são apresentados no diagrama reológico da Fig. 6.
Figura 6. Diagrama reológico dos fluidos não-Newtonianos.
O estudo dos fluidos não-Newtonianos é adicionalmente completado com os fluidos
dependentes do tempo, tais como: os tixotrópicos e os reopéticos. Após a deformação, alguns
fluidos retornam parcialmente à sua forma original quando a tensão aplicada é liberada; estes
fluidos são chamados viscoelásticos.
Tensão Superficial
A tensão superficial é a tensão de tração interfacial aparente (força por unidade de
comprimento da interface) agindo num líquido que tem uma interface de massa específica,
como nos casos de um líquido em contato com um gás, vapor outro líquido, ou sólido. A
superfície do líquido na interface parece atuar como uma membrana elástica esticada, como
mostrada pelas formas aproximadamente esférica de pequenas gotas de líquidos e bolhas de
sabão.
Com cuidado é possível colocar uma agulha sobre a superfície da água e ela ali
permanece sustentada pela tensão superficial. Pequenos insetos aquáticos são capazes de
permanecer apoiados na superfície da água.
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A tensão superficial também conduz aos fenômenos de ondas capilares em uma
superfície líquida e de ascensão ou depressão capilar. O ângulo de contato entre um líquido e
um sólido depende da limpeza da superfície e da pureza do líquido e é definido na Fig. 7.
Figura 7. Ascensão capilar e depressão capilar dentro e fora de um tubo circular.
Fonte:
Fox, R.W. & McDonald, A.T., 2005. Introdução à Mecânica dos Fluidos. Rio de Janeiro:
Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 5ª Edição.
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