caderno do
ensino médio
a
3 - SÉRiE
volume 2 – 2009
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matEmática
PROFESSOR
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Coordenação do Desenvolvimento dos
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos
dos Professores
Ghisleine Trigo Silveira
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
AUTORES
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,
Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana
Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti,
Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton
Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo,
Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
Governador
José Serra
Vice-Governador
Alberto Goldman
Secretário da Educação
Paulo Renato Souza
Secretário-Adjunto
Guilherme Bueno de Camargo
Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas
Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região
Metropolitana da Grande São Paulo
José Benedito de Oliveira
Coordenador de Ensino do Interior
Rubens Antonio Mandetta
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação Geral
Maria Inês Fini
Concepção
Guiomar Namo de Mello
Lino de Macedo
Luis Carlos de Menezes
Maria Inês Fini
Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:
Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:
Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias
aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos:
Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TéCNiCA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina
Schrijnemaekers
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana,
Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso
Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina
Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem,
Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã
Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de
Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de
Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira
e Yassuko Hosoume
Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de
Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença
de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi,
Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque,
Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e
Sayonara Pereira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira
da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues,
Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,
José Luís Marques López Landeira e João Henrique
Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz
Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério
Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e
Walter Spinelli
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de
Felice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos de
Carvalho, Beatriz Blay, Eliane Yambanis, Heloisa
Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto,
Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo
Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha,
Pepita Prata, Ruy César Pietropaolo, Solange
Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial,
Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design
(projeto gráfico)
APOiO
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da
Educação
CTP, Impressão e Acabamento
Esdeva Indústria Gráfica
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais
secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*
deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não
estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
S239c
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
Caderno do professor: matemática, ensino médio - 3ª- série, volume 2 /
Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José
Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
ISBN 978-85-7849-298-4
1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês.
II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV.
Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.
CDU: 373.5:51
Prezado(a) professor(a),
Vinte e cinco anos depois de haver aceito o convite do nosso saudoso e querido
Governador Franco Montoro para gerir a Educação no Estado de São Paulo, novamente assumo a nossa Secretaria da Educação, convocado agora pelo Governador
José Serra. Apesar da notória mudança na cor dos cabelos, que os vinte e cinco anos
não negam, o que permanece imutável é o meu entusiasmo para abraçar novamente a
causa da Educação no Estado de São Paulo. Entusiasmo alicerçado na visão de que
a Educação é o único caminho para construirmos um país melhor e mais justo, com
oportunidades para todos, e na convicção de que é possível realizar grandes mudanças
nesta área a partir da ação do poder público.
Nos anos 1980, o nosso maior desafio era criar oportunidades de educação para todas
as crianças. No período, tivemos de construir uma escola nova por dia, uma sala de aula
a cada três horas para dar conta da demanda. Aliás, até recentemente, todas as políticas
recomendadas para melhorar a qualidade do ensino concentravam-se nas condições de
ensino, com a expectativa de que viessem a produzir os efeitos desejados na aprendizagem dos alunos. No Brasil e em São Paulo, em particular, apesar de não termos atingido
as condições ideais em relação aos meios para desenvolvermos um bom ensino, o fato é
que estamos melhor do que há dez ou doze anos em todos esses quesitos. Entretanto, os
indicadores de desempenho dos alunos não têm evoluído na mesma proporção.
O grande desafio que hoje enfrentamos é justamente esse: melhorar a qualidade
de nossa educação pública medida pelos indicadores de proficiência dos alunos. Não
estamos sós neste particular. A maioria dos países, inclusive os mais desenvolvidos, estão lidando com o mesmo tipo de situação. O Presidente Barack Obama, dos Estados
Unidos, dedicou um dos seus primeiros discursos após a posse para destacar exatamente esse mesmo desafio em relação à educação pública em seu país.
Melhorar esses indicadores, porém, não é tarefa de presidentes, governadores ou
secretários. É dos professores em sala de aula no trabalho diário com os seus alunos.
Este material que hoje lhe oferecemos busca ajudá-lo nesta sua missão. Foi elaborado
com a ajuda de especialistas e está organizado em bimestres. O Caderno do Professor
oferece orientação completa para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem
propostas para cada disciplina.
Espero que este material lhe seja útil e que você leve em consideração as orientações
didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer suas
dúvidas e acatar suas sugestões para melhorar a eficácia deste trabalho.
Alcançarmos melhores indicadores de qualidade em nosso ensino é uma questão
de honra para todos nós. Juntos, haveremos de conduzir nossas crianças e jovens a um
mundo de melhores oportunidades por meio da educação.
Paulo Renato Souza
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
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SuMário
São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado
Ficha do Caderno
5
7
orientação geral sobre os Cadernos
Situações de Aprendizagem
8
13
Situação de Aprendizagem 1 – A equação de 3º- grau e o aparecimento natural dos
números complexos 13
Situação de Aprendizagem 2 – Das fórmulas à análise qualitativa: relações entre
coeficientes e raízes 21
Situação de Aprendizagem 3 – Equações e polinômios: divisão por x – k e redução
do grau da equação 26
Situação de Aprendizagem 4 – Números complexos: representação no plano e
significado das operações (translações, rotações, ampliações) 35
Orientações para Recuperação
50
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão
do tema 51
Considerações finais
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Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio
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São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA
CurriCulAr PArA o EStAdo
Prezado(a) professor(a),
É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do
Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão
também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas
durante a primeira fase de implantação da proposta.
Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida
das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto
na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e sugestões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam
ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los.
A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição.
Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e
consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o
que estava sendo proposto.
Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas
para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia
esse processo.
Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação
da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único,
gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes.
Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no
contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia
escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da
aprendizagem e de seus resultados.
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Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva,
na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, revelando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas
e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Educação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e
recursos didáticos.
Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de
São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das
ações propostas para a construção de uma escola melhor.
O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que
acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a
em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será
apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi
alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos
Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados.
Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para
que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo
este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que
pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade
a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever
esse sucesso, que também é de vocês.
Bom ano letivo de trabalho a todos!
Maria inês Fini
Coordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
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FiCHA do CAdErno
Equações, polinômios, complexos: uma história cheia de significado em que as
fórmulas não são tudo
nome da disciplina:
Matemática
área:
Matemática
Etapa da educação básica:
Série:
Período letivo:
temas e conteúdos:
Ensino Médio
3ª2º- bimestre de 2009
Equações algébricas: história e significado
Equações como perguntas e expansões nos
conjuntos numéricos
Noções sobre números complexos
Equações algébricas e polinômios
Das fórmulas à abordagem qualitativa;
relações entre coeficientes e raízes
de equações
Operações com polinômios – algoritmo de
Briot-Ruffini
Números complexos
Representação no plano
Significado das operações com complexos
Transformações no plano complexo
e aplicações
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oriEntAção GErAl SobrE oS CAdErnoS
Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam,
de maneira geral, do que é usualmente ensinado
nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros
didáticos. As inovações pretendidas referem-se
à maneira de abordagem dos mesmos, sugerida
ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os
princípios norteadores do presente currículo,
destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a
escrita matemática, bem como os elementos
culturais internos e externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão
organizados em oito unidades de extensões
aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo.
De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada
assunto com mais ou menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada
para o tratamento do mesmo. A critério do
professor, em cada situação específica, o tema
correspondente a uma das unidades pode ser
estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de
modo mais simplificado.
É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que,
juntas, compõem um panorama do conteúdo
do bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras.
Insistimos, no entanto, no fato de que somente
o professor, em sua circunstância particular, e
levando em consideração seu interesse e o dos
alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a
cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos, são apresentadas,
além de uma visão panorâmica do conteúdo
do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a maneira de abordagem sugerida, instrumentando
o professor para sua ação em sala de aula. As
atividades são independentes, e podem ser exploradas pelos professores com mais ou menos
intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no
espaço dos Cadernos, nem todas as unidades
foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma
de abordagem dos temas seja explicitada nas
atividades oferecidas.
São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis
(textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em
sintonia com a maneira de abordagem proposta,
que podem ser utilizados pelo professor para o
enriquecimento de suas aulas.
Compõem o Caderno ainda algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem
como o conteúdo considerado indispensável ao
desenvolvimento das competências esperadas
no presente bimestre.
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Matemática - 3a série - Volume 2
Conteúdos básicos do bimestre
O conteúdo básico do 2o bimestre da 3a série
é Equações Algébricas, Polinômios e Números
Complexos. Os três temas entrelaçam-se continuamente, ao longo da História. Como se sabe,
uma equação sempre corresponde a uma pergunta, sempre envolve algo desconhecido, uma
incógnita, e sempre está associada à solução de
algum problema. Equacionar um problema é
justamente traduzir a pergunta que ele representa por meio de uma equação.
No Ensino Fundamental, sobretudo nas
séries finais, já foram apresentados aos alunos
diversos problemas, em diferentes contextos,
cuja solução conduz a equações do primeiro e do segundo graus. Já sabemos resolver
equações de 1º- grau (ax + b = 0, com a ≠ 0)
e de 2º- grau (ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0).
Trata-se agora de enfrentar equações correspondentes a situações um pouco mais enredadas, que conduzem a equações de 3º- grau
(ax3 + bx2 + cx + d = 0, com a ≠ 0), de 4º- grau
(ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, com a ≠ 0), de
5º- grau (ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0, com
a ≠ 0), e assim por diante. Tal é o conteúdo das
Unidades 1 e 2.
A história da busca de soluções para tais
equações, chamadas equações algébricas, é
muito instrutiva. Com base nela, compreendemos mais facilmente as sucessivas ampliações nos conjuntos numéricos, dos números
naturais até os números complexos, que viabilizam a atribuição de significado à raiz quadrada de um número negativo. Aprendemos
também com a história que, com as equações de
3º- grau, a busca por uma fórmula envolvendo
radicais que nos forneça as raízes, do mesmo
tipo da que nos dá as soluções de uma equa– b ± b2 − 4ac
), não cosção de 2º- grau ( x =
2a
tuma ser o melhor caminho para resolver as
equações de graus 3 e 4, e é um caminho inviável, impossível de ser trilhado, para equações de grau maior ou igual a 5. O caminho
mais conveniente, nesses casos, é uma análise qualitativa da pergunta que cada equação
representa, extraindo da própria pergunta
informações relevantes sobre as raízes. Aprenderemos com a história, portanto, que é muito importante sempre, e é decisivo em muitos
casos, pensar efetivamente em um problema
como se pensa em uma pergunta, aprendendo
a examiná-la criticamente com a intenção de
chegar à sua resposta. Mais do que qualquer
intenção de ensinar técnicas de solução, nosso objetivo aqui é a plena compreensão desse
fato. Uma apresentação das ideias fundamentais da história das equações algébricas será
feita na Situação de Aprendizagem 1.
Avançando um pouco mais, o significado
da análise qualitativa de uma equação algébrica estará presente nas Unidades 3 e 4.
Tanto as relações entre os coeficientes do polinômio P(x) e as raízes da equação P(x) = 0,
quanto o fato de que, conhecendo-se uma raiz
x = k da equação P(x) = 0, conseguimos reduzir sua solução à de uma equação de grau uma
unidade menor, e assim por diante, são explorados nas Situações de Aprendizagem 2 e 3,
correspondentes a essas unidades. Serão entrelaçados em atividades os dois resultados
seguintes, que expressam basicamente o mesmo fato: “x = k é raiz da equação P(x) = 0” é
9
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rado e escrito na forma (x – k) . Q(x), em que
Em sintonia com tal representação, veremos que o valor absoluto de um complexo z
Q(x) é um polinômio de grau uma unidade
é |z| =
menor que P(x)”. Até esse ponto, vários fatos
complexo, da imagem de z à origem do sistema de coordenadas. O ângulo que a reta determinada pela origem e a imagem de z forma
com o eixo x (medido no sentido anti-horário) é o argumento de z, representado por θ.
As aproximações com a geometria analítica
plana serão naturais: por exemplo, o conjunto de pontos do plano que representam complexos de módulo constante, digamos, |z| = 5,
é a circunferência x2 + y2 = 25.
equivalente a “o polinômio P(x) pode ser fato-
terão sido reunidos a respeito das raízes da
equação P(x) = 0, sendo P(x) um polinômio.
Relações entre coeficientes e raízes, possíveis
raízes inteiras, fatoração de P(x) e diminuição
no grau da equação, entre outros, poderão ser
resumidos na Unidade 5.
A partir da Unidade 6, os números complexos entram em cena mais diretamente.
Como no caso das equações, a ênfase também não será posta nos cálculos algébricos,
x 2 + y 2 , e mede a distância, no plano
eixo Y
y
mas sim no significado de tais números, de
P (x:y)
aparência inicialmente estranha, mas que
conduzem a uma notável expansão dos conjuntos numéricos já conhecidos. As múltiplas
possibilidades da representação geométrica
x
1
de um número complexo z, que tem como
imagem um ponto no plano, como um par
x2 + y2 = 25
(x; y) de números reais, ou escrito na forma
z = x + yi. Assim, como a reta foi necessária e
suficiente para acolher todos os números
reais, racionais e irracionais, veremos que,
com a expansão do campo numérico para
incluir números que possam ser raízes qua-
eixo X
1
Plano Cartesiano
eixo Imaginário
y
z = x + yi
dradas de negativos, será necessário (e sufi|z|
ciente) todo o plano cartesiano, que servirá
de inspiração para a construção do plano
complexo, suporte para a representação de
todos os números complexos. A unidade
imaginária i, que representa o novo número
i
1
cujo quadrado dá –1, serve de padrão para
x
eixo Real
|z| = 5
a representação no eixo vertical de números como 2i, 6i, 7i, – 4i, etc.
Plano Complexo
10
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Matemática - 3a série - Volume 2
O significado das operações com números
complexos será explicitado nas Unidades 7 e 8.
Veremos em tais unidades que as operações
com complexos correspondem à realização
de certos movimentos no plano.
Por exemplo, se a um complexo z for somado o número real 4, sua representação no
plano será deslocada na direção do eixo x de
4 unidades; se a z for somado o número imaginário 3i, sua representação será deslocada
na direção do eixo y de 3 unidades; se a z for
somado o número 4 + 3i, sua representação
sofrerá um deslocamento horizontal (eixo
Real) de 4 unidades, seguido de um vertical
(eixo Imaginário) de 3 unidades, ou seja, o
deslocamento de z terá valor igual ao módulo do complexo 4 + 3i, que é igual a 5, na
direção determinada pela origem e a representação deste complexo. Ao multiplicar o
complexo z pelo real 5, mostraremos que z
permanece com o mesmo argumento (ângulo com o eixo x) mas a distância de z até a
origem fica multiplicada por 5; se multiplicarmos z por i, o módulo de z permanecerá
π
o mesmo e seu argumento aumentará de ;
2
já se multiplicarmos z por 5i, os dois efeitos
são combinados: aumenta a distância até a
origem, ao mesmo tempo que o argumento
π
aumenta de .
2
eixo Imaginário
3z
z + 3i
z + 4 + 3i
z.i
z
z+4
|z|
|z|
eixo Real
11
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A exploração de tais movimentos na imagem de z, decorrentes de operações realizadas
sobre z, torna o estudo dos números complexos especialmente significativo, abrindo caminho para um grande número de aplicações
práticas dos mesmos. Tal é o conteúdo da Situação de Aprendizagem 4.
De modo geral, ao longo das oito unidades
do bimestre, a ênfase será dada ao significado
de cada equação como uma pergunta, de cada
raiz como uma resposta, de cada complexo
como um ponto do plano, de cada operação
realizada sobre ele como uma transformação
em sua imagem no plano.
Desde as seções iniciais, o exercício da
compreensão leitora encontra-se presente em
todas as etapas do texto. Os cálculos a serem
efetuados ao longo da resolução das equações são sempre acompanhados de um texto
explicativo, o que pode alongar um pouco o
percurso, mas esperamos que o torne mais
significativo. Afinal, aprender Matemática
também significa desenvolver a capacidade
de expressão na leitura e na escrita, ao lado
das habilidades de cálculo.
Sinteticamente, as oito unidades que compõem o presente bimestre são apresentadas
a seguir.
Quadro geral de conteúdos
do 2º- bimestre da 3ª- série
do Ensino Médio
unidade 1 – Equações algébricas de
graus 1, 2, 3, 4, 5, ...; história, fórmulas.
unidade 2 – A raiz quadrada de um número negativo e o conjunto dos complexos.
unidade 3 – Das fórmulas à abordagem
qualitativa: relações entre coeficientes
e raízes.
unidade 4 – Equações e polinômios;
operações com polinômios; divisão de
um polinômio por x – k.
unidade 5 – Síntese de resultados sobre
a resolução de equações algébricas de
qualquer grau.
unidade 6 – Números complexos; representação no plano; relações com Geometria
Analítica.
unidade 7 – Significado das operações
com números complexos; translações,
rotações, ampliações.
unidade 8 – Transformações no plano
complexo; exercícios simples.
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Matemática - 3a série - Volume 2
SituAçõES dE APrEndizAGEM
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 1
A EQUAçãO DE 3º- GRAU E O APARECIMENTO NATURAL
DOS NÚMEROS COMPLEXOS
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: equações como perguntas; expansões nos conjuntos numéricos; história
das equações algébricas: a passagem das equações de 2o grau (com fórmulas resolutivas)
para as equações de grau superior, em que elas podem não existir; primeiras noções sobre
números complexos.
Competências e habilidades: compreender a representação de perguntas por equações; compreender a importância do deslocamento das atenções da busca por fórmulas para a análise qualitativa de situações-problema.
Estratégias: recorrer à história das equações algébricas para apresentar aos alunos a abordagem qualitativa das equações; explorar por meio de exercícios os fatos fundamentais
sobre equações.
roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 1
um pouco da história das equações
A história das equações pode ser apresentada pelo professor para despertar nos alunos interesse sincero pela maneira como a
Matemática é construída. Como se sabe, uma
equação sempre representa uma pergunta envolvendo algum elemento desconhecido, uma
incógnita. Resolver a equação é descobrir tal
incógnita. Equações de 1o grau, ou seja, da
forma ax + b = 0 (a ≠ 0), traduzem a pergunta
“Qual é o número x que multiplicado por a e
somado com b dá zero?”. A resposta é única
b
e a raiz da equação é x = – , ou seja, x é o
a
simétrico do quociente de b por a. Já vimos
que muitos problemas práticos envolvendo
grandezas diretamente proporcionais recaem
em equações de 1o grau.
As equações de 2o grau possuem a forma
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) também podem ser completamente resolvidas, obtendo-se uma fórmula
− b ± b2 − 4ac
. Quando o
2a
discriminante ∆ = b2 – 4ac é positivo, a equapara as raízes: x =
ção tem duas raízes distintas; quando ∆ = 0,
as duas raízes são iguais; e quando ∆ < 0, então
a equação não tem raízes reais, uma vez que
não é possível extrair a raiz quadrada de um
número negativo.
13
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Na 8ª série do Ensino Fundamental e na
1ª- série do Ensino Médio, tais equações já foram estudadas, referidas a diversos contextos.
propuseram caminhos que conduziam a tal fór-
O estudo das equações de 3o grau, na
forma ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0), historicamente, seguiu pelo mesmo caminho:
buscava-se uma fórmula, envolvendo radicais,
que expressasse as raízes. No século XVI, os
italianos Tartaglia e Cardano, entre outros,
tudam Matemática sem serem especialistas no
mula. Nunca, no entanto, o uso sistemático da
mesma se consolidou, e poucos são os que estema, que a conhecem, muito diferentemente do
caso das equações de 2o grau, em que a fórmula
de Bhaskara é amplamente conhecida. Sinteticamente, o caminho seguido por Tartaglia
e Cardano era:
Dividindo-se todos os coeficientes por a, a equação
f ax3 + bx2 + cx + d = 0
pode ser transformada na forma equivalente
f x3 + bx2 + Cx + d = 0, onde B =
Fazendo-se x = y –
B
b
c
d
,C=
,D= .
a
a
a
(o denominador 3 corresponde ao grau da equação), a equação x3 + Bx2 +
3
Cx + D = 0 pode ser reduzida a y3 + My + n = 0, onde M e N podem ser determinados em termos de
B, C e D (o que será explicado mais adiante, na Atividade 3).
Assim, para resolver uma equação completa de 3o grau, basta resolver a equação incompleta
y3 + My + n = 0 (o que será feito mais adiante, na Atividade 4), encontrando-se:
f y=
3
–
n
+
2
Logo, como x = y –
M3 +
n2
+
27
4
B
3
3
–
n
–
2
n2 M3 .
+
27
4
, obtemos os valores de x em termos de a, b, c e d.
Para equações de 4o grau, procedimentos
semelhantes levam a fórmulas ainda mais
complicadas. Para equações de grau 5, no
entanto, foi demonstrado pelo matemático
Abel, em 1824, que não é possível expressar
as soluções por meio de radicais. Um pouco depois, Galois estendeu tal resultado para
equações de grau maior do que 5, de maneira
que a busca de uma fórmula que englobe as
soluções tornou-se um caminho inviável.
No fim do século XVIII, Gauss demonstrou o fato de que uma equação algébrica
de grau n, ou seja, da forma a0xn + a1xn – 1 +
a2xn – 2 + a3xn – 3 + ... + an – 1x + an = 0 (a0 ≠ 0)
tem pelo menos uma raiz; em consequência,
pode ser mostrado que terá sempre n raízes,
reais ou complexas. Tal fato é conhecido
como Teorema Fundamental da Álgebra.
14
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Matemática - 3a série - Volume 2
Do ponto de vista prático, equações de
grau maior do que 4 precisam ser resolvidas,
uma vez que surgem efetivamente em situações concretas; para isso, no entanto, devemos seguir outros caminhos. As equações são
perguntas e as respostas a elas precisam, nesses casos, ser extraídas de uma análise engenhosa da própria pergunta; decididamente, as
fórmulas não são tudo. Esse será o tema das
Unidades 3 e 4. Antes disso, para trazer para
a sala de aula as questões históricas apresentadas até aqui, vamos desenvolver algumas
atividades relativas às Unidades 1 e 2.
Atividade 1
Já sabemos resolver completamente as equações de 2o grau, obtendo as soluções por meio
da fórmula de Bhaskara. Apenas como exercício, para verificar a compreensão do caminho
sugerido para resolver as equações de 3o grau,
vamos procurar resolver a equação de 2o grau
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) seguindo os passos
propostos por Tartaglia e Cardano no texto
anterior, para verificar se eles funcionariam,
nesse caso.
a) Divida os dois membros da equação
ax2 + bx + c = 0 por a, obtendo:
b
c
x2 + Bx + C = 0, com B =
e
C
=
a
a.
b
b) Substitua x por y −
(o denominador
2
2 corresponde ao grau da equação) e
verifique que a equação se transforma
B2
= 0.
em: y2 + C –
4
c) Mostre que, em consequência,
y=±
B2 – 4C
.
2
Como y2 =
y=±
B2
– C, segue que
4
B 2 – 4C .
2
d) Substitua agora os valores de y, de b e
B
de C em x = y – , obtendo os valores de
2
x (você identifica, nos cálculos, a fórmula de Bhaskara?).
Como
x
x = ±
x=–
B
±
2
=
y
–
B 2 – 4C
2
2
B – 4C .
2
Substituindo B por
B
, segue que
2
– B , ou seja,
2
b
c
e C por , obtemos
a
a
– b ± b 2 – 4ac
, que é a fórmula de
2a
Bhaskara.
x = e) Resolva a equação 3x2 + 15x + 18 = 0,
seguindo os passos descritos nos
itens anteriores.
f Dividindo os coeficientes por 3, obtemos
x2 + 5x + 6 = 0;
5
, onde o deno­
2
minador 2 é o grau da equação, obtemos
5
5
(y – )2 + 5(y – ) + 6 = 0;
2
2
1
f efetuando os cálculos, obtemos y2 = ,
4
1
ou seja, y = ± ;
2
f substituindo x por y –
5
f como x = y – , segue que x = – 2 ou
2
x = – 3.
15
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Atividade 2
Atividade 3
Já sabemos que, se uma equação de 2o grau
a) Considere a equação x3 + 15x2 + 11x +
15
7 = 0. Substitua x por y –
, ou seja,
3
x = y – 5 e mostre que a nova equação em y não apresenta o termo em y2
(o denominador 3 corresponde ao grau
da equação).
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) tiver duas raízes distintas, x1 e x2, então ela pode ser escrita na forma
x2 – Sx + P = 0, onde:
S = x1 + x2 e P = x1 . x2
a) Mostre que, nesse caso, as raízes são dadas
S ± S2 – 4P
. Mostre
2
que não existem dois números reais cuja
soma seja 10 e cujo produto seja 40.
pela fórmula x =
Tais números seriam as raízes da equação
x2 – 10x + 40 = 0 . Segundo a fórmula do
item a, teríamos de calcular
10 2 – 160 =
– 60 ; como não existe a raiz quadrada
de um número negativo, concluímos que não
existem dois números reais cuja soma seja
10 e cujo produto seja 40.
b) Mostre que não existem dois números
reais cujo quadrado de sua soma seja
menor do que o quádruplo do produto
dos dois números.
Se existissem dois números reais de soma
igual a S e produto igual a P, então eles
seriam raízes da equação x2 – Sx + P = 0.
Mas se o quadrado da soma S dos dois nú­
meros fosse menor que o quádruplo de seu
produto P, ou seja, se S2 < 4P, então a equa­
ção x2 – Sx + P = 0 teria o discriminante
Δ = S2 – 4P negativo, ou seja, não teria raí­
zes reais. Logo, não existem dois números
Efetuando a substituição indicada, obtemos:
(y – 5)3 + 15(y – 5)2 + 11(y – 5) + 7 = 0.
Efetuando os cálculos: y3 – 64y + 202 = 0
b) Mostre que, na equação x3 + Bx2 + Cx +
B
+ D = 0, substituindo-se o x por y – ,
3
a nova equação em y não apresenta o
termo em y2.
B
Efetuando a substituição de x por y –
ve­
3
rificamos que os termos em y2 se cancelam.
De modo geral, efetuando­se os cálculos
indicados, é possível mostrar que, na equa­
ção xn + A1xn – 1 + A2xn – 2 + A3xn – 3 + ...
+ An – 1x + An = 0, a substituição de x por
A
y – 1 conduz à eliminação do termo em y n­1.
n
Atividade 4
Vamos agora procurar entender a lógica
dos passos propostos por Tartaglia e Cardano
para resolver a equação incompleta de grau 3
resultante da eliminação do termo do segundo grau: y3 + 3y + 6 = 0. Para tanto, considere
a seguinte analogia:
f Sabemos que: (p + q)3 = p3 + 3 p2q +
3pq2 + q3.
f Podemos rearranjar
acima, escrevendo:
a
igualdade
reais nas condições acima.
16
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Matemática - 3a série - Volume 2
(p + q)3 – 3pq.(p + q) – (p3 + q3) = 0
y3 + M . y + N = 0, deduzimos que:
se –3pq = M e – (p3 + q3) = N, então
y = p + q será raiz da equação.
f Temos, então, de encontrar dois nú­
 M3 
f Comparando com y3 + 3 . y + 6 = 0,
se tivermos, simultaneamente, – 3pq = 3
e – (p3 + q3) = 6, então a solução da equação dada será y = p + q.
f De –3pq = 3, concluímos que pq = –1, e
portanto, p3. q3 = –1; como p3 + q3 = – 6,
podemos construir a equação do segundo grau que tem como raízes p3 e q3,
uma vez que temos a soma e o produto desses dois números; tal equação é
z2 + 6z – 1 = 0 (soma das raízes igual
a – 6; produto das raízes igual a –1; ver
Atividade 2).
f Resolvendo esta equação, obtemos as
raízes –3 ± 10 ou seja, p3 = –3 + 10 e
q3 = –3 –
10 .
36 + 4 , ou seja, z = –3 ± 10 .
2
Significa que estes são os valores de p3 e q3,
e
meros p e q tais que p3. q3 =  –
 27 
p3 + q3 = –N. Tais números p3 e q3, que
têm soma e produto conhecidos, devem
ser as raízes da equação do segundo grau
3
z2 + Nz – M = 0.
27
f Resolvendo tal equação, obtemos:
–N ± N 2 +
z=
f Isso significa que os valores de p3 e q3 são
2
3
–N
N2 M3
e –N – N + M .
+
+
2
4
27
2
4
27
f Logo, os valores de p e de q serão:
3
z = –6 ±
3
3
ou seja, p = – 3 + 10 e q = – 3 – 10 .
Concluímos, então, que y = p + q, ou seja,
3
y = – 3 + 10 +
3
– 3 – 10 .
Se você acompanhou todos os passos da explicação, então repita os mesmos procedimentos
e mostre que a fórmula que dá as raízes da equação algébrica de grau 3, dada por y3 + My + N = 0,
é a apresentada na introdução da Atividade 1:
y= 3 –
N
N 2 M3 3 N
N 2 M3
+
+
+
+ – – .
2
4
27
2
4
27
f Comparando a igualdade (p + q) – 3pq.
.(p + q) – (p3 + q3) = 0 com a equação
3
2
4M 3
2
3
27 = –N ± N + M ,
2
4
27
–N
N2 M3 e
+
+
2
4
27
3
–N
–
2
N2 M3
+
4
27
Em consequência, o valor de y será:
y = p + q, ou seja,
–N
N 2 M 3 3 –N
N2 M3
+
+
–
+
+
2
2
4
4
27
27
como queríamos mostrar.
y=
3
Atividade 5
Encontre uma raiz da equação y3 – 3y – 2 = 0.
Substituindo na fórmula obtida na atividade
anterior, temos:
y=3
3
2
4 ( –27 )
+
+
+
2
4
27
3
2
–
2
4 ( –27 )
+
=
4
27
1+ 0 + 3 1– 0 = 2 ;
17
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logo, y = 2 é uma raiz.
Como será visto nas atividades seguintes, co­
nhecendo­se uma das raízes de uma equação
de grau 3, é possível reduzi­la a uma equa­
ção de 2o grau, encontrando­se, assim, todas
as raízes da equação inicial.
Atividade 6
Um marceneiro quer construir duas caixas, uma com a forma de um cubo de aresta x,
outra com a forma de um paralelepípedo
com a base retangular, de lados 3 m e 5 m,
e de altura igual à altura do cubo. O valor
de x deve ser escolhido de tal maneira que
o volume do cubo seja 4 m 3 maior do que o
do paralelepípedo.
a) Escreva a equação que traduz a exigência a ser satisfeita pelo valor de x.
O volume do cubo de aresta x é igual a x3;
o volume do paralelepípedo de base 15 m2
e aresta x é igual a 15x; segue, então, que
a exigência de o volume do cubo ser 4 m3
maior do que o do paralelepípedo pode ser
traduzida pela equação x3 = 15x + 4, ou
seja, x3 – 15x – 4 = 0 .
b) Use a fórmula da atividade anterior para
determinar as raízes da equação do item a.
A que conclusão você chega?
Calculando o valor de x pela fórmula obtida an­
teriormente para equações de 3o grau, obtemos:
x=
3
2 + –121 + 3 2 – –121 .
Pela fórmula, parece não existir raiz da equação,
uma vez que deparamos, nos cálculos, com a raiz
quadrada de um número negativo.
c) Verifique diretamente na equação dada
que x = 4 é uma raiz, ou seja, fazendo
x = 4 m, temos o cubo com volume
64 m 3 e o paralelepípedo com volume 60 m3. Como podemos interpretar
o resultado do item b?
Certamente a equação admite x = 4 como
raiz, como se pode verificar diretamente,
uma vez que 43 – 15 . 4 – 4 = 0. No uso da
fórmula das raízes, os cálculos foram inter­
rompidos quando surgiu a raiz quadrada de
–121. No estudo das equações de 2o grau,
era assim que procedíamos: ao deparar com
a raiz quadrada de um número negativo, di­
zíamos: “a equação não tem raízes reais”.
Mas aqui sabemos que a equação de grau 3
proposta tem uma raiz real, que é x = 4.
Então, como ficamos?
Na atividade seguinte, vamos examinar
uma maneira de prosseguir nos cálculos e obter o resultado x = 4, reinterpretando a limitação sobre a existência de raízes quadradas
para um número negativo.
Atividade 7
Sabemos que o quadrado de qualquer número real não nulo, positivo ou negativo, é
sempre positivo. Até aqui, em nosso percurso
escolar, sempre que deparamos com a extração da raiz quadrada de um número negativo,
dizemos que ela não existe. Na Atividade 5, tal
decisão nos impediu de chegar a uma das raízes
da equação, uma vez que teríamos de extrair
a raiz quadrada de –121. Vamos fazer, agora,
uma atividade de imaginação: imaginemos
18
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Matemática - 3a série - Volume 2
que existam números estranhos (certamente,
não seriam números da reta real) cujo quadrado seja negativo.
a) Mostre que, na verdade, bastaria existir
um número estranho desses, a raiz quadrada de –1, para que dele decorressem
todas as outras raízes de negativos.
De fato, como –121 = 121.(–1), para extrair
a raiz quadrada de –121 bastaria sabermos
quanto vale a raiz quadrada de –1. Se re­
presentarmos por i esse número imaginário,
teríamos –1 = i2, ou seja, i = –1 .
Em consequência, –121 = 121 . –1= 11. i .
Analogamente, seria possível expressar a
raiz quadrada de qualquer número negativo:
–9 = 9 . –1 = 9 .i = 3i; analogamente,
–7 = 7 . i , e assim por diante.
Insistimos em que estamos, por enquanto,
apenas fazendo um exercício de imaginação:
se existir um número que seja a raiz quadrada
de –1, então as raízes quadradas de todos os
números negativos poderão ser expressas
com base nesse número; chamando tal nú­
mero imaginário de i, temos, por exemplo,
que – 25 = 25 . ( – 1) = 25 . –1 = 5.i.
b) Retorne ao item b da Atividade 6. Escrevendo no lugar de −121 o valor
imaginário 11i indique a solução da
equação x3 – 15x – 4 = 0.
Substituindo
x =
3
–121 por 11i na expressão
2 + –121 + 3 2 – –121 , obtemos:
x = 3 2 + 11i + 3 2 – 11i .
Professor, uma sugestão!
Novamente temos de parar, pois não sabemos calcular a raiz cúbica do estranho número 2 + 11i. Tal número é “mistura” de uma parte real, que é 2, com uma parte
imaginária, que é 11i. Números assim são chamados “números complexos”, e serão
estudados a seguir. Por enquanto, vamos supor que possamos continuar a operar com
tais números como se opera com os números reais, respeitando-se apenas a novidade
que decorre do fato de termos i2 = –1. Por exemplo:
f para somar 3 + 4i com 5 + 7i, somamos as partes reais e imaginárias separadamente e
obtemos: (3 + 4i) + (5 + 7i) = (3 + 5) + (4i + 7i) = 8 + 11i.
f para multiplicar (3 + 4i) por (5 + 7i), utilizamos a propriedade distributiva e escrevemos:
(3 + 4i).(5 + 7i) = 3.5 + 3.7i + 4i.5 + 4i.7i.
f agrupando termos do mesmo tipo, obtemos: (3 + 4i).(5 + 7i) = 15 + 21i + 20i + 28i2.
f como i2 = –1, o resultado final seria o seguinte:
(3 + 4i).(5 + 7i) = 15 + 41i – 28 = –13 + 41i.
Como veremos, essas operações envolvendo números imaginários vão se mostrar recurso
fecundo para superarmos as limitações resultantes da impossibilidade de extrair raízes quadradas de números negativos. Com base nelas, vamos conseguir harmonizar o fato de sabermos que a equação x3 – 15x – 4 = 0 admite efetivamente a raiz real x = 4, ainda que a fórmula
resolutiva nos conduza à raiz quadrada de um número negativo.
19
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c) Usando o fato de que a raiz cúbica de
um número é outro número que, elevado ao cubo, reproduz o primeiro,
mostre que 2 + i é uma raiz cúbica de
2 + 11i.
Vamos elevar ao cubo o “número” 2 + i, que
é uma “mistura” de uma parte real com uma
parte imaginária, e verificar que, efetuados
os cálculos, obtemos (2 + i)3 = 2 + 11i.
De fato, temos:
3
Supondo válidas as propriedades das operações com os números reais para os números
formados por uma parte real x e uma parte
imaginária yi, sendo i = −1, efetue as operações indicadas, dando o resultado mais simples possível:
a) (3 – 4i) + (–5 + 3i)
–2 – i
b) (–11i + 7) – (–5 – 8i)
(2 + i) = 2 + 3.2 .i + 3. 2.i + i
3
Atividade 8
2
2
3
–3i + 12
(2 + i)3 = 8 + 12.i + 6.i2 + i2.i
c) (2i – 13) . (7 – 5i)
Como i2 = –1, segue que:
– 81+ 79i
(2 + i)3 = 8 + 12i + 6.(–1) + (–1).i
d) (13 – i). (13 + i)
Ou seja, (2+ i)3 = 2 + 11i.
De modo análogo, pode ser mostrado que uma
raiz cúbica de 2 – 11i é 2 – i.
170
e) i3 + i5 + i7
–i
f) i13
d) Retorne à Atividade 5. Mostre que a
solução x = 4 pode ser obtida com base
na fórmula para as raízes cúbicas da
equação x3 – 15x – 4 = 0.
Considerações sobre a avaliação
Substituindo os valores das raízes cúbicas
encontradas, temos: x = 3 2 + 11i + 3 2 – 11i ,
ou seja, x = 2 + i + 2 – i = 4. Assim, reconci­
liamos a fórmula com o fato concreto de que a
equação tinha x = 4 como uma de suas raízes.
Como se vê, pode ser conveniente atribuir
significado às raízes quadradas de núme­
ros negativos. Mostraremos mais adiante
de que maneira os novos números assim
construídos – os chamados números com­
plexos – são uma extensão natural muito
fecunda dos conhecidos números reais.
Até aqui, o objetivo das atividades foi a
apresentação dos novos números, formados
por uma parte real e uma parte imaginária,
como recurso necessário para dar sentido a
cálculos envolvendo a solução de equações
algébricas, correspondentes a problemas concretos, como é o exemplo da Atividade 6.
Reiteramos o fato de que equações são traduções de perguntas propostas por problemas, e
que o interesse em resolvê-las é inerente aos
procedimentos matemáticos. A história contada até este ponto ilustra uma importante mudança de perspectiva, como já foi assinalado
i
20
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Matemática - 3a série - Volume 2
anteriormente, que é a de se passar da busca
desenfreada de fórmulas resolutivas para uma
abordagem qualitativa, que busca extrair da
própria equação/pergunta as condições para
a obtenção de sua resposta. Nas Situações de
Aprendizagem seguintes, explicitaremos mais
o significado de tal abordagem qualitativa,
bem como exploraremos a existência dos números complexos, aqui apenas vislumbrados.
Na avaliação das atividades, até este ponto, sugerimos que o professor se concentre na
compreensão da passagem natural das equações de 2o grau para as equações de grau superior a 2, revendo fatos básicos sobre as equações
de 2o grau, como a análise do sinal do discriminante para a determinação do número de raízes
reais, as relações entre coeficientes e raízes, entre
outros. No caso das equações de 3o grau, não se
deve pretender mais do que a tentativa de resolução de algumas delas, com coeficientes simples,
usando os passos propostos nas atividades da
presente situação. Esbarrar em raízes quadradas
de números negativos pode ser uma motivação a
mais para a continuidade dos estudos das situações seguintes. Em resumo, a compreensão histórica da problemática da solução de equações
é mais importante, neste momento, do que as
técnicas algébricas para resolvê-las.
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 2
DAS FÓRMULAS À ANÁLISE QUALITATIVA: RELAçÕES ENTRE
COEFICIENTES E RAÍzES
tempo previsto: 1 semana.
Conteúdos e temas: relações entre coeficientes e raízes de uma equação de 2o grau – revisão;
extensão das relações entre coeficientes e raízes para equações de 3o e 4o graus.
Competências e habilidades: compreender o fato de que uma pergunta bem formulada traz em
si os elementos constituintes de sua resposta; compreender o fato de que é possível conhecer
qualidades das raízes de equação algébrica mesmo sem resolvê-la, com base no conhecimento
de seus coeficientes.
Estratégias: rever e estender o estudo das relações entre coeficientes e raízes, já conhecido
no caso das equações de 2o grau, para equações de grau superior a 2; explorar tal fato para
resolver ou conhecer algumas das soluções de uma equação algébrica.
roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 2
Equações algébricas: das fórmulas à
abordagem qualitativa
Uma vez abandonada a perspectiva de termos uma fórmula que indique as raízes de uma
equação algébrica, cabe ao professor explorar
a via da observação dos coeficientes da própria
equação, em busca de informações sobre suas
21
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raízes. Sabemos, por exemplo, que as raízes da
equação x2 + 7x + 12 = 0 têm soma igual a –7
e produto igual a 12. É possível generalizar informações desse tipo, sobre a soma e o produto
das raízes, para uma equação de qualquer
grau. É o que exploraremos a seguir.
No caso da equação de 2 o grau ax 2 + bx
+ c = 0, de raízes r1 e r2, sabemos que, após a
divisão de todos os coeficientes por a, ela pode
b
c
ser escrita na forma x2 + x +
= 0, que poa
a
demos imaginar fatorada e escrita na forma
(x – r1) . (x – r2) = 0. Efetuando as multiplicações indicadas e ordenando, obtemos a forma
equivalente:
No caso de uma equação de 3º- grau ax3 +
bx + cx + d = 0, mesmo sem conhecer fórmulas para as soluções, se a equação tiver
como raízes r1, r2 e r3, procedendo de maneira análoga ao que fizemos para a equação de
2º- grau, após a divisão por a de todos os seus
coeficientes, ela pode ser escrita na forma
b 2
c
d
x3 +
x +
x+
= 0, que podemos
a
a
a
imaginar fatorada e escrita na forma:
2
(x – r1) . (x – r2) . (x – r3) = 0.
Efetuando as multiplicações indicadas e
ordenando, obtemos a forma equivalente
x3 – (r1 + r2 + r3)x2 + (r1r2 + r1r3 + r2r3)x –
r1r2r3 = 0,
f x2 – (r1 + r2)x + r1 . r2 = 0, ou seja:
ou seja: x3 – S1x2 + S2x – S3 = 0, onde
f x2 – S1x + S2 = 0,
S1 = r1 + r2 + r3 é a soma das raízes,
b
é a soma das raízes e
a
c
é o produto das raízes.
S2 = r1 . r2 =
a
onde S1 = r1 + r2 = –
S2 = r1 . r2 + r1 . r3 + r2 . r3 é a soma dos
produtos das raízes tomadas duas a duas,
e S3 = r1 . r2 . r3 é a soma dos produtos das
raízes tomadas três a três, ou seja, é o produto
das raízes.
observação para o professor!
Poderíamos notar, com base na fórmula de Bhaskara, que as duas raízes da
equação são as indicadas a seguir:
r1 = (x – 2) . (x – 3) . (x – 5) = 0, e ao efetuarmos
as multiplicações, obtemos:
– b + b2 – 4ac
2a
e r2 =
– b – b2 – 4ac
,
2a
cuja soma dá r1 + r2 =
produto dá r1 . r2 =
Por exemplo, se uma equação de 3º- grau
tiver como raízes 2, 3 e 5, então ela poderá ser
escrita na forma:
x3 – 10x2 + 31x – 30 = 0 ; podemos notar
que: S1 = 2 + 3 + 5 = 10,
–b
, e cujo
a
c
.
a
S2 = 2 . 3 + 2 . 5 + 3 . 5 = 31
e
S3 = 2 . 3 . 5 = 30, ou seja,
22
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a equação pode ser escrita na forma
x3 – S1x2 + S2x – S3 = 0.
Se procedermos analogamente no caso de
uma equação de 4º- grau
ax + bx + cx + dx + e = 0, de raízes r1, r2,
r3, r4, chegaremos à forma equivalente:
4
3
2
x4 – S1x3 + S2x2 – S3x + S4 = 0, onde:
S1 = r1 + r2 + r3 + r4,
S2 = r1r2 + r1r3 + r1r4 + r2r3 + r2r4 + r3r4
S3 = r1r2r3 + r1r2r4 + r1r3r4 + r2r3r4
S4 = r1r2r3r4.
Tal relação pode ser generalizada para
uma equação algébrica de grau n. É importante notar a alternância nos sinais
das somas S: as somas das raízes tomadas
de 1 em 1, de 3 em 3, de 5 em 5 ... aparecem como coeficientes na equação com
o sinal trocado; as somas de 2 em 2, de
4 em 4, de 6 em 6, ... aparecem como coeficientes com o próprio sinal.
As atividades seguintes darão ao professor a oportunidade de explorar essa relação entre os coeficientes e as raízes de uma
equação algébrica.
Atividade 1
Escreva na forma x3 – S1x2 + S2x – S3 = 0
uma equação algébrica de grau 3 cujas
raízes são:
a) 3, 5 e 1
Temos: S1 = 3 + 5 + 1 = 9,
S2 = 3.5 + 3.1 + 5.1 = 23 e S3 = 3.5.1 = 15;
Logo, a equação correspondente é
x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0.
b) 2, 7 e –3
Analogamente, temos: S1 = 6, S2 = –13, e
S3 = –42, e a equação correspondente é
x3 – 6x2 –13x + 42 = 0.
c) –2, –3 e 4
Efetuando os cálculos, obtemos:
S1 = –1, S2 = –14, S3 = 24, e a equação
correspondente é x3 + x2 – 14x – 24 = 0.
Atividade 2
Escreva na forma x4 – S1x3 + S2x2 – S3x + S4 = 0
uma equação algébrica de grau 4 cujas
raízes são:
a) 2, 3, 4 e 5
Calculando as somas das raízes tomadas 1 a 1,
2 a 2, 3 a 3 e 4 a 4, temos:
S1 = 14,
S2 = 2.3 + 2.4 + 2.5 + 3.4 + 3.5 + 4.5 = 71,
S3 = 2.3.4 + 2.3.5 + 2.4.5 + 3.4.5 = 154,
S4 = 2 . 3 . 4 . 5 = 120, e a equação correspondente
é x4 – 14x3 + 71x2 – 154x + 120 = 0.
b) –2, 3, 4, –5
Analogamente, temos:
S1 = 0, S2 = –27, S3 = –14, S4 = 120, e
a equação correspondente é
x4 – 0 . x3 – 27x2 +14x + 120 = 0.
23
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c) 1, 0, 3, 7
Efetuando os cálculos, temos:
S1 = 11, S2 = 31, S3 = 21, S4 = 0, e
a equação correspondente é:
x4 – 11x3 + 31x2 – 21x = 0.
Atividade 3
Dada a equação x3 – 8x2 + kx – 24 = 0,
responda:
a) Quais as possíveis raízes inteiras da equação?
Observando os coeficientes, concluímos que
24 é igual ao produto das três raízes. Logo,
os divisores de 24 são possíveis raízes intei­
ras da equação, ou seja, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4,
± 6, ± 8, ± 12, ± 24. Naturalmente, depen­
dendo do valor de k, tal equação pode não
admitir qualquer um desses divisores como
raiz; o que se pode afirmar é precisamente
o fato de que, se houver raiz inteira, ela terá
de ser um dos divisores de 24.
b) Se a equação tiver duas raízes simétricas,
qual será a terceira raiz?
Como a soma das duas raízes simétricas é
zero e a soma das três raízes é 8, então a
terceira raiz deverá ser igual a 8.
c) Se uma das raízes for o inverso da outra,
qual será a terceira raiz?
Como o produto das duas raízes inversas é
igual a 1 e o produto das três raízes é 24,
então a terceira raiz deverá ser igual a 24.
d) É possível que a equação tenha uma
raiz nula?
Não é possível que a equação tenha raiz
nula, pois, nesse caso, o produto das raízes
seria zero, e já vimos que o produto das raí­
zes é igual a 24.
Atividade 4
Considere a equação 3x4 – 12x3 + kx2 – 6x +
+ 3 = 0.
a) Quais as possíveis
da equação?
raízes
inteiras
Dividindo os coeficientes da equação por 3,
que é o coeficiente do termo de maior grau,
obtemos a equação equivalente (com as
mesmas raízes) expressa na forma:
k
x4 – 4x3 + x2 – 2x + 1 = 0.
3
Comparando com a forma x4 – S1x3 + S2x2 –
– S3x + S4 = 0, concluímos que o produto das
raízes da equação é igual a S4 = 1.
Logo, as possíveis raízes inteiras da equação
são os divisores de 1, ou seja, +1 ou –1.
b) Quais os valores de k que fazem com
que a equação proposta acima tenha
raízes inteiras?
Para que a equação tenha raízes inteiras, ou
seja, para que ela tenha +1 ou –1 como raí­
zes, quando substituirmos os valores de x por
+1 ou por –1 no primeiro membro da equa­
24
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ção, o resultado deve dar igual ao segundo
membro, ou seja, a zero.
Para x = 1, temos:
k 2
14 – 4 . 13 +
1 – 2 . 1 + 1 = 0,
3
ou seja, k = 12.
Para x = –1, temos:
k
(–1)4 – 4. (–1)3 +
(–1)2 – 2(–1) + 1 = 0,
3
ou seja, k = –24.
Atividade 5
Sabendo que 1 é raiz da equação
x + 7x2 + kx – 15 = 0, determine o valor de k
e encontre as outras duas raízes.
3
Como 1 é raiz, substituindo x por 1 devemos
ter a igualdade verdadeira;
logo, 1 + 7 + k – 15 = 0, e então, k = 7.
Como a soma das três raízes é igual a –7,
sendo uma delas igual a 1, a soma das outras
duas deve ser igual a – 8.
Como o produto das três raízes é igual a 15,
sendo uma delas igual a 1, o produto das ou­
tras duas é igual a 15.
Logo, além da raiz dada r1 = 1, as outras duas
raízes da equação são tais que sua soma é – 8
e seu produto é 15; elas são, portanto, as raí­
zes da equação de 2­o grau x2 + 8x + 15 = 0.
Resolvendo tal equação, obtemos r2 = –3 e
r3 = –5.
Concluímos que a equação proposta no
enunciado tem como raízes os números reais
1, –3 e –5.
observação para o professor!
Outras atividades como as anteriores
podem ser propostas, mas lembramos
que não interessa tanto, nesse caso, a realização de muitos cálculos, quanto, por
exemplo, a percepção, na Atividade 5,
do fato de que, conhecendo uma raiz
da equação, é possível reduzi-la a uma
equação mais simples, ou seja, a pesquisa sobre as possíveis raízes inteiras
pode resultar na solução da equação. Na
Situação de Aprendizagem seguinte tal
fato será mais bem explorado.
Considerações sobre a avaliação
O objetivo das atividades desta Situação
de Aprendizagem é a compreensão do fato de
que os próprios coeficientes das equações
trazem informações relevantes sobre suas
possíveis raízes, o que é apenas uma amostra
das possibilidades de uma abordagem qualitativa das equações. Outros procedimentos
semelhantes poderiam ser aqui apresentados,
mas consideramos que as atividades realizadas terão sido bem-sucedidas se os alunos
compreenderam a existência de tais caminhos alternativos, na busca das soluções de
equações, mesmo sem uma exploração mais
exaustiva de tal fato.
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SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 3
EQUAçÕES E POLINÔMIOS: DIVISãO POR x–k E REDUçãO DO
GRAU DA EQUAçãO
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: divisão de um polinômio por x – k; algoritmo para efetuar de maneira
simples a divisão de um polinômio por x – k; redução do grau de uma equação com base no
conhecimento de uma das raízes.
Competências e habilidades: compreender as relações naturais entre o estudo dos polinômios e
o estudo das equações algébricas; compreender a importância da articulação entre a técnica e o
significado na solução de equações/problemas.
Estratégias: todos os elementos conceituais relativos aos conteúdos da presente Situação de
Aprendizagem serão apresentados por meio de exercícios exemplares, tendo em vista uma
aproximação efetiva entre as técnicas resolutivas e os significados dos conceitos envolvidos.
roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 3
Alguns fatos fundamentais sobre
polinômios: a ideia de identidade
Como foi mostrado aos alunos na Atividade 4 da Situação de Aprendizagem 2, conhecendo uma das raízes de uma equação de
grau 3, é possível reduzir a sua solução à
de uma equação de 2o- grau. De maneira geral, é possível generalizar tal procedimento: se
conhecemos uma das raízes de uma equação
algébrica de grau 4, é possível reduzir a sua
solução à de uma equação de grau 3, e assim
sucessivamente; conhecendo-se uma das raízes
de uma equação de grau n, será possível reduzir a sua solução à de uma equação de grau
n – 1. Para isso, é preciso realizar algumas
operações com os polinômios que constituem
o primeiro membro das equações algébricas.
O estudo das equações algébricas, portanto,
se entrelaça naturalmente com o estudo dos
polinômios. Não vamos aqui nos dedicar
especialmente a técnicas de cálculos com polinômios, mas um mínimo de informações sobre elas precisam ser conhecidas, para poder
continuarmos a aprender fatos fundamentais
sobre equações.
Como se sabe, um polinômio de grau n é
uma expressão algébrica do tipo
P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + a3xn – 3 + ...
+ an – 1x + an = 0, com a0 ≠ 0.
Uma equação algébrica também pode ser
chamada uma equação polinomial, uma vez
que ela pode ser escrita na forma P(x) = 0,
sendo P(x) um polinômio.
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Se o valor de P(x) para x = k, que indicaremos por P(k), for igual a zero, ou seja, se
P(k) = 0, então isso significa que k é uma raiz
da equação polinomial P(x) = 0.
Sendo P1(x) um polinômio e P2(x) outro polinômio, podemos ter o caso de P1(x) = P2(x)para
alguns valores particulares de x e P1(x) ≠ P2(x)
para outros valores de x. Por exemplo, se
P1(x) = x2 + 3x – 1 e P2(x) = x3 – 5x2 + 4x + 13,
então temos:
P1(2) = 9 e P2(2) = 9, mas P1(0) = –1 e
P2(0) = 13.
Em consequência, dois polinômios idênticos devem ser sempre do mesmo grau, uma vez
que se forem de graus diferentes, os coeficientes
dos termos de maior grau serão distintos (um
deles é zero e o outro é diferente de zero).
Por exemplo, podemos ter P1(x) = x2 + 3x – 1
e P2(x) = x3 – 5x2 + 4x + 13 iguais para alguns valores de x, mas não para todos os
valores de x, ou seja, não é verdade que
P1(x) ≡ P2(x), neste caso, pois os coeficientes
dos termos de grau 3 são distintos (1 em P2(x)
e 0 em P1(x)).
operações com polinômios
Quando dois polinômios P1(x) e P2(x) são
tais que, para todos os valores possíveis para
x, temos P1(x) = P2(x), então dizemos que
os polinômios são idênticos, e escrevemos
P1(x) ≡ P2(x).
Sendo P1(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 +
+ a3xn – 3 + ... + an – 1x + an um polinômio de grau n
e P2(x) = b0xm + b1xm – 1 + b2xm – 2 + b3xm– 3 + ...
+ bm – 1x + bm outro polinômio de grau m, para
termos P1(x) ≡ P2(x), ou seja, para os dois polinômios serem iguais para todos os valores
de x, devemos ter a igualdade dos termos
independentes de x, ou seja, an = bm, pois
an = P1(0) e bm = P2(0). Podemos mostrar que
a igualdade entre os dois polinômios para
todos os valores de x obriga a igualdade de
todos os coeficientes dos termos de mesmo
grau, ou seja:
an = bm ; an – 1 = bm– 1 ; an – 2 = bm – 2 e assim por
diante.
Para somar, subtrair e multiplicar polinômios, basta operar com as expressões algébricas que compõem suas parcelas, que são os
monômios, realizando as operações indicadas,
recorrendo à propriedade distributiva, quando for o caso, e reunindo os termos que correspondem a potências de x de mesmo grau
(chamados “termos semelhantes”).
A divisão de um polinômio por outro, no
entanto, exige atenção um pouco maior, e será
necessária para podermos aprender a reduzir
o grau de uma equação, com base no conhecimento de uma de suas raízes.
De fato, se x = k for uma raiz da equação
algébrica:
a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + a3xn – 3 + ... + an – 1x +
+ an = 0 (a0 ≠ 0),
então a equação pode ser escrita na
forma fatorada
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(x – k) . (b0xn – 1 + b1xn – 2 + b2xn – 3 + ... +
+ bn– 2x + bn – 1) = 0.
Daí segue que ou x – k = 0, e portanto,
x = k, ou então,
b0xn – 1 + b1xn – 2 + b2xn – 3 + ... + bn – 2x + bn – 1 = 0.
Resolvendo a equação de grau n – 1 que
corresponde ao segundo fator igualado a zero,
teremos as n raízes da equação inicial.
Os polinômios a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + a3xn – 3 +
+ ... + an – 1x + an, e o resultante do produto
(x – k) . (b0xn – 1 + b1xn – 2 + b2xn – 3 + ... + bn – 2x +
+ bn – 1) são idênticos, isto é, são iguais para
todos os valores reais de x.
Para obter o polinômio b0xn – 1 + b1xn – 2 +
+ b2xn – 3 + ... + bn – 2x + bn – 1, basta dividir o
polinômio a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + a3xn – 3 + ...+
+ an – 1x + an, pelo binômio x – k, o que pode
ser feito diretamente, escrevendo-se
a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + a3xn – 3 +...+ an – 1x +
+ an ≡ (x – k) . (b0xn – 1 + b1xn – 2 + b2xn – 3 +...+
+ bn – 2x + bn – 1).
O símbolo ≡ significa, como já foi dito, nesse caso, mais do que a simples igualdade; significa que os dois membros da igualdade são
iguais para todos os valores possíveis de x.
Para determinar os valores dos coeficientes b0, b1, b2, …, bn – 1 a partir dos coeficientes
a0, a1, a2, a3, ... an –1, an, podemos efetuar a
multiplicação anteriormente indicada e, em
seguida, igualar os coeficientes dos termos de
mesmo grau nos dois lados da identidade.
Os exercícios das atividades seguintes constituem uma oportunidade de exploração dos
fatos descritos acima.
Atividade 1
Considere os polinômios A(x) = x2 – 3x + 2
e B(x) = x3 – 2x2 – 3x + 2.
a) É possível termos A(x) = B(x)?
Sim, é possível termos A(x) = B(x).
Resolvendo a equação algébrica A(x) = B(x),
temos: x2 – 3x + 2 = x3 – 2x2 – 3x + 2;
logo, x3 – 3x2 = 0. Fatorando, obtemos
x.x.(x – 3) = 0, e segue que, para o produto ser
nulo, um dos fatores deve ser nulo, ou seja, ou
x = 0, ou x = 0 (0 é uma raiz dupla), ou
então x – 3 = 0, ou seja, x = 3. Logo, a equa­
ção A(x) = B(x) tem como raízes 0 e 3.
Para todos os valores de x diferentes de 0 e
de 3 os polinômios A(x) e B(x) assumem
valores distintos.
b) É possível termos A(x) ≡ B(x)?
Não é possível termos A(x) ≡ B(x). Os poli­
nômios têm graus diferentes. Em consequên­
cia, os coeficientes de x3 são diferentes em
A(x) e em B(x).
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Atividade 2
Considere os polinômios A(x) = x3 – 3x + 2
e B(x) = x3 – 2x2 – 3x + 10.
Atividade 4
Considere o polinômio P(x) = 3x5 – 2x4 +
+ 5x3 – 11x2 – 7x + 12.
a) É possível termos A(x) = B(x)?
Sim. Basta resolver a equação correspon­
dente: x3 – 3x + 2 = x3 – 2x2 – 3x + 10.
Efetuando os cálculos, obtemos 2x2 = 8, e
então, x = ± 2.
b) É possível termos A(x) ≡ B(x)?
Não, pois os coeficientes de x2 são diferentes
nos dois polinômios.
Atividade 3
Considere os polinômios:
P1(x) = ax5 – 11x4 – 2x3 + 7x2 + bx + d.
P2(x) = bx5 + cx4 – 2x3 + 7x2 – 3x + d.
a) Determine os valores de a, b e c de modo
que os polinômios sejam idênticos.
Igualando os coeficientes dos termos de
mesmo grau, temos: a = b, c = –11 e
b=– 3 =a
b) Calcule o valor de d sabendo que –1 é raiz
da equação P1(x) = 0.
Se –1 é raiz da equação P1(x) = 0, então
devemos ter P1(–1) = 0.
Logo, substituindo x por –1, e igualando
a) Mostre que x = 1 é raiz da equação P(x) = 0.
Basta substituir x por 1 em P(x) e verificar
que o resultado dá zero, ou seja, que temos
P(1) = 0. Isso significa que P(x) pode ser
fatorado e apresenta x – 1 como um fator, ou
seja, é divisível por x – 1. Podemos, então,
escrever: P(x) ≡ (x – 1). Q(x), onde Q(x)
é o quociente da divisão de P(x) por x – 1.
b) Calcule o quociente da divisão de P(x) pelo
binômio x – 1.
O quociente da divisão será um polinômio de
grau 4, podendo ser escrito na forma geral
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.
Devemos ter a identidade
3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12 ≡ (x – 1).
.(ax4 + bx3 + cx2 + dx + e).
Efetuando as operações indicadas no segun­
do membro, obtemos:
3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12 ≡ ax5 + bx4 +
+ cx3 + dx2 + ex – ax4 – bx3 – cx2 – dx – e.
Agrupando os termos semelhantes do se­
gundo membro, obtemos:
o resultado a zero, obtemos:
– 3 . (–1)5 – 11(–1)4 – 2 . (–1)3 + 7(–1)2 –
–
3 . (–1) + d = 0.
Concluímos, efetuando os cálculos, que
d=2–2 3.
3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12
≡
ax5 + (b – a)x4 + (c – b)x3 + (d – c)x2 + (e – d)x – e.
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Igualando os coeficientes dos termos de mes­
mo grau nos dois membros da identidade,
temos: 3 = a; –2 = b – a; 5 = c – b;
–11 = d – c; –7 = e – d; 12 = – e.
Logo, concluímos que a = 3, b = 1, c = 6,
d = –5, e = –12
e em consequência, Q(x) = 3x4 + x3 + 6x2­
– 5x – 12.
Assim, para resolver a equação P(x) = 0,
sabendo que uma de suas raízes é x = 1,
obtemos o quociente de P(x) por x – 1, che­
gando ao quociente Q(x); as demais raí­
zes de P(x) = 0 são as raízes da equação
Q(x) = 0.
Atividade 5
Para determinar Q(x), temos a identidade:
3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46 ≡
≡ (x – 2) . (ax4 + bx3 + cx2 + dx + e).
Efetuando as operações indicadas no segun­
do membro, obtemos:
3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46 ≡ ax5 + bx4 +
+ cx3 + dx2 + ex – 2ax4 – 2bx3 – 2cx2 – 2dx – 2e.
Agrupando os termos semelhantes do se­
gundo membro, obtemos:
3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46
≡
ax5 + (b – 2a)x4 + (c – 2b)x3 + (d – 2c)x2 + (e – 2d)x – 2e.
Igualando os coeficientes dos termos de
Considere o polinômio P(x) = 3x – 2x +
+ 5x3 – 11x2 – 7x – 46.
mesmo grau nos dois membros da identi­
a) Mostre que x = 2 é raiz da equação P(x) = 0.
3 = a; –2 = b – 2a; 5 = c – 2b; –11 = d – 2c;
5
4
Basta substituir x por 2 em P(x) e verificar
que o resultado dá zero, ou seja, que temos
P(2) = 0. Isso significa que P(x) pode ser
fatorado e apresenta um fator x – 2, ou seja,
ele é divisível por x – 2. Podemos escrever,
então: P(x) ≡ (x – 2).Q(x), onde Q(x) é o
quociente da divisão de P(x) por (x – 2).
dade, temos:
–7 = e – 2d; –46 = –2e.
Logo, concluímos que a = 3, b = 4, c = 13,
d = 15, e = 23
e então, o quociente será:
Q(x) = 3x4 + 4x3 +13x2 +15x + 23.
Em consequência, para resolver a equa­
b) Calcule o quociente da divisão de P(x) pelo
binômio x – 2.
ção P(x) = 0, sabendo que uma de suas
O quociente da divisão será um polinômio de
grau 4. Em sua forma geral, podemos escre­
ver que Q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.
P(x) por x – 2, chegando ao quociente
raízes é x = 2, obtemos o quociente de
Q(x); as demais raízes de P(x) = 0 são as
raízes da equação Q(x) = 0.
30
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Matemática - 3a série - Volume 2
Atividade 6
f o coeficiente c é obtido somando-se
ao coeficiente de x3 em P(x) o produto
de 2 por b: c = 5 + 2b;
Algoritmo de briot-ruffini
f o coeficiente d é obtido somando-se
ao coeficiente de x2 em P(x) o produto
de 2 por c: d = –11 + 2c;
Retome o enunciado da Atividade 5.
Existe uma maneira prática para obter o quociente de P(x) = 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46
pelo binômio x – 2.
f o coeficiente e é obtido somando-se
ao coeficiente de x em P(x) o produto
de 2 por d: e = –7 + 2d.
Observando os cálculos efetuados, notamos
que, sendo Q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e,
f o coeficiente a é igual ao coeficiente de
x5 em P(x): a = 3;
f o coeficiente b é obtido somando-se
ao coeficiente de x4 em P(x) o produto
de 2 por a: b = –2 + 2a;
Esses cálculos podem ser organizados
no algoritmo seguinte, conhecido como
algoritmo de Briot-Ruffini para a divisão de um polinômio por um binômio da
forma x – k:
coeficientes de P (x)
3
raiz 2
3
–2
5
– 11
–7
– 46
3.2
4.2
13 . 2
15 . 2
23 . 2
4
13
15
23
0
coeficientes de Q (x)
resto da divisão
Q(x) = 3x4 + 4x3 + 13x2 + 15x + 23
Para verificar o entendimento do que
se apresentou, construa o algoritmo acima
para determinar o quociente da divisão de
P(x) = x5 – 2x4 – 7x3 + 3x2 + 8x + 57 por x – 3.
31
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coeficientes de P (x)
1
raiz 3
1
–2
–7
1.3
1.3
1
–4
3
8
57
–4.3
–9 . 3
–19 . 3
–9
–19
coeficientes de Q (x)
0
resto da divisão
Temos, então, Q(x) = x4 + x3 – 4x2 – 9x – 19.
Atividade 7
Segue daí que P(k) = R, ou seja, o resto da
divisão de P(x) por x – k é igual a P(k).
a) Dado o polinômio P(x) = a0xn + a1xn – 1 +
+ a2xn – 2 + a3xn – 3 + … + an – 1x + an , mostre
que o resto da divisão de P(x) por x – k é P(k).
b) Calcule o resto da divisão de P(x) = 3x5 +
+ x4 + 3x3 – 7x + π pelo binômio x + 3.
O resto será o valor de P(–3), ou seja,
R = P(–3) = –708 + π.
Quando P(x) é divisível por x – k, podemos
escrever P(x) ≡ (x – k). Q(x), e segue que
P(k) = 0.
O cálculo do resto também poderia ser feito
por meio do algoritmo de Briot­Ruffini, uti­
lizado nas Atividades 5 e 6. Basta proceder
como lá foi indicado, notando que ao último
coeficiente do polinômio corresponderá, em
vez do resto zero, o valor do resto procurado:
Quando P(x) não é divisível por x – k, então
temos a identidade:
P(x) ≡ (x – k). Q(x) + R, onde a constante R
é o resto da divisão.
coeficientes de P (x)
3
1
3 . (–3)
raiz –3
3
3
0
– 8 . (–3) 27 . (–3)
–8
27
– 81
–7
p
– 81. (–3) 236 . (–3)
236
–708 + p
resto da divisão
coeficientes de Q (x)
32
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Matemática - 3a série - Volume 2
x = ± 3 , concluímos que –1 e 3 são raízes da
equação dada.
Atividade 8
a) Mostre que a equação a seguir apresenta
raízes inteiras:
2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 = 0
b) Resolva a equação.
A equação dada é, portanto, equivalente
à equação:
Dividindo os coeficientes por 2, obtemos a
equação equivalente
9
11
x4 – x3 + 3x2 + x – 3 = 0.
2
2
(x + 1) . (x – 3) . (mx2 + nx + p) = 0.
Para encontrar o trinômio mx2 + nx + p, e
descobrir as outras raízes da equação, basta
dividir o polinômio do primeiro membro su­
cessivamente por (x + 1) e (x – 3), confor­
me indicamos a seguir:
Escrita nessa forma, já vimos que os divi­
sores de –3 serão possíveis raízes inteiras,
pois esse coeficiente representa o produto
das raízes da equação. Calculando os va­
lores numéricos do polinômio do primei­
ro membro da equação para x = ± 1 e
2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 ≡
≡ (x + 1) . (ax3 + bx2 + cx + d)
coeficientes de P (x)
2
–9
raiz –1
2 . (–1)
2
–11
coeficientes de Q1(x)
6
–11 . (–1)
11
–6
17 . (–1)
17
–6
–6 . (–1)
0
resto da divisão
2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 ≡ (x + 1) . (2x3 – 11x2 + 17x – 6).
Dividindo­se agora Q1(x) por (x – 3), obtemos Q2(x):
coeficientes de Q1 (x)
2
–11
raiz 3
2.3
17
–5 . 3
2
–5
coeficientes de Q2 (x)
2
–6
2.3
0
resto da divisão
(2x3 – 11x2 + 17x – 6) ≡ (x – 3) . (2x2 – 5x + 2).
33
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Concluímos, então, que:
2x2 – 5x + 2 = 0, obtemos as raízes r3 = 2 e
2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 ≡
r4 =
≡ (x + 1) . (x – 3) . (2x2 – 5x + 2).
Resolvendo a equação de 2o grau
1
.
2
Logo, as raízes da equação dada inicialmente
1
são: r1 = –1, r2 = 3, r3 = 2, e r4 = .
2
Considerações sobre a avaliação
Como foi dito inicialmente, o objetivo da
presente Situação de Aprendizagem era apenas consolidar a ideia de que, conhecendo
uma das raízes de uma equação algébrica,
podemos reduzir a sua solução à de uma
equação de grau inferior, por meio de
uma divisão do polinômio inicial por um
binômio do tipo (x – k), onde k é a raiz conhecida. Para tanto, foi necessário introduzir algumas ideias a respeito da identidade
de polinômios, que conduziram a uma maneira de efetuar os cálculos, resumida em
um algoritmo, conhecido como Algoritmo
de Briot-Ruffini. Praticamos tal redução de
ordem em uma equação em alguns exemplos
ilustrativos, sem qualquer intenção de supervalorizar as técnicas de cálculo, procurando
apenas evidenciar a construção do caminho
alternativo que a abordagem qualitativa das
equações algébricas propicia. Se os alunos
tiverem compreendido perfeitamente o fato
de que, quando conhecemos uma das raízes de
uma equação algébrica, é como se o grau
da equação fosse reduzido de uma unidade,
sendo capazes de efetuar uma divisão e mostrar a nova equação a ser enfrentada, então
os objetivos da presente Situação de Aprendizagem terão sido atingidos.
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Matemática - 3a série - Volume 2
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 4
NÚMEROS COMPLEXOS: REPRESENTAçãO NO PLANO
E SIGNIFICADO DAS OPERAçÕES (TRANSLAçÕES,
ROTAçÕES, AMPLIAçÕES)
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: apresentação dos números complexos como pontos do plano; operações
com números complexos: significado geométrico; aplicações das operações com complexos na
interpretação de movimentos e transformações no plano (translações, rotações, ampliações).
Competências e habilidades: compreender a analogia existente entre a passagem dos números
reais aos números complexos e a passagem dos pontos da reta aos pontos do plano; aumento na
capacidade de expressão por meio de números, em decorrência da apresentação do significado
geométrico dos complexos e das operações sobre eles.
Estratégias: também aqui, todos os elementos conceituais relativos aos conteúdos serão apresentados por meio de exercícios exemplares, sobretudo no caso dos movimentos e das transformações realizadas sobre pontos do plano, a expectativa é a da exemplificação e não a de
uma apresentação sistemática dos temas, que se situaria fora dos limites do Ensino Médio.
roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 4
Complexos, para quê?
É muito frequente ouvir-se falar “mal” dos
números complexos – aqueles números “estranhos” formados por uma parte real x e uma
parte “imaginária” yi, onde i é um número tal
que seu quadrado é igual a –1, ou seja, i2 = –1.
Diz-se que os complexos não têm aplicações
práticas, ou que, quando as têm, elas não seriam acessíveis aos alunos da educação básica; em consequência, não deveríamos dedicar
qualquer atenção a tais temas.
Existem várias dificuldades associadas a
tal maneira de pensar. Quando decidimos
sobre os temas a serem estudados na escola
básica, o que deve ser levado em conta primordialmente é o valor formativo de cada
um deles, e não apenas o interesse pragmático que eventualmente representam. Certamente, interessa-nos estudar os conjuntos
numéricos, com suas diferentes ampliações.
Não podemos nos limitar às contagens, e as
frações, nos ensinaram a lidar bem com
as medidas, em que os resultados das comparações nem sempre são expressos por números naturais. Também ultrapassamos certas limitações ao efetuar subtrações, passando
a representar dívidas por meio de números
negativos, também considerados estranhos,
quando surgiram. E os números irracionais,
resultados de comparações entre grandezas
incomensuráveis, também foram considerados extravagantes, sendo até mesmo rejeitados
35
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na Grécia antiga, ainda que hoje estejam
presentes, mesmo que disfarçados em suas
aproximações racionais, nas operações elementares do dia-a-dia.
Os números complexos são, efetivamente,
“estranhos”, ao primeiro olhar. Mas eles podem ser interpretados significativamente, bem
como as operações que realizamos sobre eles,
e ao sermos apresentados a tais temas ampliamos nossa capacidade de expressão, de
compreensão de fenômenos que a realidade
nos apresenta. Afinal, a Matemática que estudamos é como uma linguagem, uma maneira
de expressão e compreensão do mundo, a ser
desenvolvida na escola, com a língua materna,
a língua nossa de cada dia.
Querer limitar o estudo da Matemática ao
de conteúdos de aplicação imediata, sem levar
em consideração seu valor expressivo, é como
querer limitar o ensino da língua ao da redação de cartas, de memorandos, de relatórios,
desprezando, por exemplo, a apreciação de um
poema; afinal, “para que serve um poema?”.
A aprendizagem da língua, no entanto, não pode
prescindir de recursos expressivos que deem força ao texto, da construção de imagens metafóricas etc. Não se trata apenas de ensinar regras
de redação, mas de desenvolver instrumentos e
formas pessoais de expressão, e a literatura, de
maneira geral, é fundamental para isso.
Também no estudo de Matemática, existem assuntos para os quais não vislumbramos “aplicações práticas” diretas, mas que
se compõem com os outros, contribuindo
para a construção de uma forma consistente
de expressão, de compreensão dos fenômenos que observamos. Às vezes, um tema de
Matemática serve apenas de apoio a outro
tema, este sim, com uma ligação direta com
a prática; ambos, tanto o apoiador quanto
o apoiado, precisam ser estudados. Se queremos um instrumento cortante – uma faca,
por exemplo – não podemos querer apenas a
lâmina, que é a parte que efetivamente corta, mas também devemos querer o cabo, que
não corta mas sem o qual a faca não existe.
E muitas vezes, para o cabo ser bem fixado
à lâmina, é preciso que existam parafusos de
fixação, que não cortam nada, mas que são a
condição de funcionamento da faca.
Como veremos a seguir, os complexos e as
operações sobre eles podem ser associados à
realização de movimentos de translação, de
rotação, de ampliação etc. Ao apresentarmos
os números complexos, vamos explorar especialmente tal perspectiva.
Como surgiram os complexos
No presente Caderno, os números complexos surgiram como números “imaginários” a
partir da seguinte situação;
f queríamos resolver a equação x3 – 15x –
– 4 = 0 (Atividade 6 da Situação de
Aprendizagem 1) usando a fórmula
deduzida para equações na forma
x3 + mx + n = 0, qual seja:
x= 3–
N
N 2 M3 3 N
+
+
+ – –
2
4
27
2
N 2 M3
;
+
4
27
36
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Matemática - 3a série - Volume 2
f encontramos a expressão:
3
3
x = 2 + –121 + 2 – –121, e poderíamos ter parado, dizendo que a equação
não teria raízes reais, uma vez que não
existe a raiz quadrada real de um número negativo;
f como sabíamos de início que a equação
x3 – 15x – 4 = 0 tinha uma raiz real, que
é x = 4, imaginamos que pudéssemos
prosseguir nos cálculos, e assim procedendo, realizando operações sobre
números na forma x + yi, onde i2 = –1,
obtivemos a raiz x = 4, mostrando que a
suposição da possibilidade de operações
com tais números poderia ser fecunda.
Plano complexo – significado dos
complexos e das operações sobre eles
Naturalmente, tal suposição precisa ser
apresentada de maneira mais consistente e
este é o momento de o professor procurar um
caminho para tal apresentação. Esboçamos, a
seguir, tal caminho.
Um número imaginário como i não pode ter
as mesmas propriedades de um número real,
não é um número real, ou seja, não se encontra na reta real, ou entre os reais representados
na reta. A reta real r encontra-se inteiramente
preenchida com os números racionais e os irracionais. Como representar, então tal número i e seus “derivados”, como toda a família
de imaginários y.i, onde y é um número real,
bem como os números “mistos”, ou “complexos”, resultantes da soma dos reais x com os
imaginários yi? Como compreender a plausibilidade dos “números complexos” z da forma
x + yi? Como representá-los de maneira a dar
significado às operações realizadas com eles?
A ideia de representar os números na forma z = x + yi como pontos de um plano pode
parecer natural, mas permaneceu latente desde os trabalhos de John Wallis (1616-1703)
durante muitas décadas. Wessel e Argand trabalharam com tal ideia em situações concretas, mas somente quando foi apresentada por
Gauss, em 1799, como parte de sua tese de
doutoramento, tal representação ganhou força e foi divulgada amplamente. Em resumo, a
inspiração fundamental é a seguinte:
f quando multiplicamos um número real
por –1, sua imagem na reta real é deslocada segundo um arco de 180º, passando da semirreta positiva para a
negativa, e vice-versa: N.(–1) = –N;
(resultado: rotação de 180º);
f quando multiplicamos um número real
por i2, ou seja, por –1, é como se tivéssemos multiplicado o número real
por i, e multiplicássemos o resultado,
novamente por i:
N.(–1) = N.i.i = –N;
f como o resultado das duas multiplicações idênticas e sucessivas foi uma rotação de 180º, seria natural considerar
o resultado de cada uma das multiplicações parciais por i como o resultado
de uma rotação de 90º: N.i = rotação de
90º em N e (N.i).i = rotação de 180º.
37
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eixo Imagiário y
f assim, multiplicar um número real por i
corresponderia a representar tal número
em um eixo perpendicular ao eixo real.
z = x + yi
y
Ni
i
N
–N
0
N
N . (–1)
1
x
eixo Real x
0
N.i
N
0
Ni
N
N i . i = N . (–1) = –N
0
Essa pode ter sido a inspiração para a representação do número imaginário i no eixo
perpendicular ao eixo real, o que conduziu à
representação de todo complexo z = x + yi
como um ponto do plano gerado pelas unidades real 1 e imaginária i. O plano em
que os complexos são representados constitui uma extensão da reta real e é conhecido como plano complexo, ou Plano de
Argand-Gauss.
Tal representação dos números complexos
na forma z = x + yi, chamada forma algébri­
ca, possibilita que as operações sejam efetuadas por analogia com as operações algébricas
realizadas com números reais ou com expressões algébricas, acrescentando-se apenas a
convenção i2 = –1, ou i = −1. Cabe ao professor, agora, explorar as operações com tais
novos números: para somar dois complexos,
somam-se as partes reais e as partes imaginárias;
para multiplicar, efetuam-se os cálculos como se
estivéssemos multiplicando polinômios, substituindo-se os valores das potências de i resultantes: i3 = i2 . i = –i; i4 = i2 . i2 = 1; i5 = i4 . i = i;
i6 = i4 . i2 = –1; i7 = i3 = –i, e assim por diante.
Exemplo ilustrativo
Sendo z1 = 3 – 5i e z2 = – 4 + 7i, temos:
a) z1 + z2 = (3 – 4) + (–5 + 7)i = –1 + 2i
b) z1 – z2 = (3 – (–4)) + (–5 – 7)i = 7 – 12i
c) z1 . z2 = 3 ∙ (–4) + 3 . 7i – 5i . (–4) + (–5i).
.(7i) = –12 + 21i + 20i – 35i2 = 23 + 41i
d) (z1)3 = (3 – 5i)3 = 33 + 3 . 32 . (–5i) + 3.
.3.(–5i)2 + (–5i)3 = –198 – 10i
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Matemática - 3a série - Volume 2
Forma trigonométrica de um
número complexo
Um número complexo z = x + yi também
pode ser escrito de outra maneira, destacando-se seu módulo z e seu argumento θ.
2
2
Sendo z = x + y , basta observarmos na
representação plana dos complexos que
x = z cos θ
y = z s enθ
. Substituindo-se na forma al-
gébrica tais expressões, obtemos:
z = z (cosθ
(cos θ++isenθ),
isenθ ) que é chamada forma
trigonométrica dos números complexos.
eixo Imaginário
y
z = x + yi
z cos θ
y=
z senθ
z (cos
y2 θ )
= θx+2 i+sen
z (cos θ + i senθ )
i
x=
θ
l
x
eixo Real
z = x + yi
θ ++ iisenθ)
senθ )
(cosθ
z = z (cos
forma algébrica
forma trigonométrica
O significado de algumas das operações
realizadas com números complexos pode ser
mais facilmente compreendido se recorrermos à forma trigonométrica. A exploração
de tais fatos será realizada nos exercícios
seguintes.
Exemplo ilustrativo
4
z
= 4 2
θ = 45°
Sendo z = 4 + 4i, então temos: argumento de
z = θ = 45º; módulo de z = z
forma trigonométrica de z:
z = 4 2 . (cos 45º + i sen 45º).
y
4
x
=
! 4 2,
39
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Exercícios exemplares
eixo Imaginário
3
z2
Atividade 1
135º
Dados os números complexos z1 = 3 + 4i,
z2 = 7, z3 = 7i e z4 = 3 – 4i, calcule:
a) z1 + z2
b) z1 + z3
10 + 4i
3 + 11i
3
–3
c) z1 + z4
8i
g) z3 . z4
e) z1 . z2
225º
315º
6
h) (z1 . z4)
2
28 + 21i
j) (z1 – z4)3
625
–28 + 21i
i) (z1 + z4)
3
216
k) (z3 – z1 + z4)3
–512i
–3
f) z1 . z3
21 + 28i
eixo Real
45º
z4
d) z1 – z4
z1
i
z3
Os módulos de z1, z2, z3 e z4 são todos iguais
a 32 + 32 = 3 2 .
O argumento θ é o ângulo formado pela reta
y
Oz e o eixo real; sua tangente vale , ou
x
seja, 1, no caso de z1; tal ângulo é 45o.
No caso de z2, o ângulo θ correspondente
é 135º, uma vez que temos y positivo e
x negativo.
Analogamente, no caso de z4 temos θ = 225º
e em z3 θ = 315º.
l) (–z2 + z1 + z4)15
–1
Atividade 3
Atividade 2
Dados os complexos a seguir, represente-os
no plano complexo, determinando o módulo e
o argumento de cada um deles:
a) z1 = 3 + 3i
b) z2 = –3 + 3i
c) z3 = 3 – 3i
d) z4 = –3 – 3i
Retorne ao enunciado da Atividade 2.
Escreva cada um dos complexos de z1 a z4 na
forma trigonométrica:
(cos θ ++ isenθ),
isenθ )
z = z (cosθ
π
π
+ isen ).
4
4
π
π
b) z2 = 3 2(cos 3 + isen 3 ).
4
4
a) z1 = 3 2(cos
40
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Matemática - 3a série - Volume 2
c) z3 = 3 2(cos 5
π
π
+ isen 5 ).
4
4
d) z4 = 3 2(cos 7
π
π
+ isen 7 )
4
4
c) z – 9
Analogamente, a imagem do complexo
z´ = z – 9 é a de z deslocada no sentido nega­
tivo do eixo real de nove unidades (ver figura).
eixo Imaginário
Atividade 4
Considere o complexo z = 5 + 12i no plano de Argand-Gauss e represente no mesmo
plano complexo as imagens dos seguintes
números:
a) z + 9
z–9
12
eixo Imaginário
z+9
12
z – 6i
0
5
14
eixo Real
d) z – 6i
Analogamente, a imagem do complexo
z' = z – 6i é a de z deslocada no sentido do
eixo imaginário de seis unidades para baixo
(ver figura acima).
e) z + 9 – 6i
Quando somamos o complexo z ao complexo
9 – 6i, a imagem de z resulta deslocada su­
cessivamente (em qualquer ordem) para a
direita de 9 unidades e para baixo de 6 uni­
dades (ver figura).
z + 6i
18
z+9
z
6
–4
Quando somamos o real 9 ao complexo
z = 5 + 12i, obtemos como resultado o comple­
xo z' = 14 + 12i. Notamos, então, que a imagem
de z resulta deslocada na direção do eixo real de
9 unidades no sentido positivo (ver figura).
z + 6i
18
eixo Imaginário
0
5
14
eixo Real
b) z+ 6i
Quando somamos o imaginário 6i ao com­
plexo z = 5 + 12i, obtemos como resultado
o complexo z' = 5 + 18i. Notamos, então,
que a imagem de z resulta deslocada de
6 unidades na direção do eixo imaginário, no
sentido positivo (ver figura acima).
12
z
z+9
6
0
z – 6i
5
z + 9 ­ 6i
14
eixo Real
41
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Atividade 5
Atividade 6
Considere o complexo z = 5 + 12i no plano
de Argand-Gauss e represente no mesmo plano
complexo as imagens dos seguintes números:
a) 2z
Considere a região do plano complexo indicada na figura a seguir. Cada ponto da região é a imagem de um complexo e será objeto
de uma transformação, indicada nas alternativas. Represente no plano complexo a região
Sendo z = 5 + 12i, o número complexo 2z
será igual a 10 + 24i, ou seja, tem valor ab­
soluto igual ao dobro do de z, mas tem o
mesmo argumento de z (ver figura abaixo).
resultante, após a transformação descrita em
cada um dos itens a seguir.
eixo imaginário
eixo Imaginário
2z
24
6
12
z
2
z
2
2
6
6
eixo Real
θ
0
5
5
10
eixo Real
2
b)
z
2
z
será igual a
Analogamente, o complexo
2
5
+ 6i, ou seja, tem valor absoluto igual à
2
metade do de z, mas o mesmo argumento de
z (ver figura acima).
a) A cada ponto da região será somado o número real 5.
Cada ponto da região será deslocado na di­
reção do eixo real de 5 unidades; a região
transformada será um triângulo de vértices
nas imagens dos complexos:
7 + 2i, 11 + 2i e 11 + 6i.
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eixo Imaginário
6
2
0
2
eixo Real
11
7
6
b) A cada ponto da região será somado o número imaginário 3i.
Cada ponto da região será deslocado na
Cada ponto da região será deslocado na di­
reção do eixo imaginário de 3 unidades; a
região transformada será um triângulo de
vértices nas imagens dos complexos:
2 + 5i,
6 + 5i
e
6 + 9i.
de outro na direção do eixo imaginário de
direção do eixo real de 3 unidades, seguido
4 unidades (ou vice­versa). Cada ponto
terá um deslocamento total de valor igual
ao módulo do complexo 3 + 4i, que é 5.
Os vértices da região transformada serão
os seguintes:
eixo Imaginário
5 + 6i, 9 + 6i e 9 + 10i.
9
eixo Imaginário
10
6
9
5
6
5
2
2
6
eixo Real
c) A cada ponto da região será somado o
número complexo 3 + 4i.
2
eixo Real
2
5
6
9
43
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d) Cada ponto da região será multiplicado
pelo número real 2.
de cada ponto até a origem serão multipli­
Cada ponto da região terá seu módulo mul­
tiplicado por 2; logo, a região será ampliada,
tendo cada segmento multiplicado por 2, e sua
mento da origem) com a ampliação. Os novos
área multiplicada por 4. Como as distâncias
rão alterados, ou seja, não haverá rotação.
cadas por 2, haverá uma translação (afasta­
vértices serão: 4 + 4i, 12 + 4i e 12 + 12i.
Os argumentos dos pontos da região não se­
eixo Imaginário
12
6
4
2
2
4
e) Cada ponto da região será multiplicado
1
pelo número real
.
2
Cada ponto da região terá seu módulo mul­
1
tiplicado por ; logo, a região será redu­
2
zida, tendo cada segmento multiplicado
1
por
, e sua área dividida por 4. Como
2
12
eixo Real
6
as distâncias de cada ponto até a origem
serão reduzidas à metade, haverá uma
translação (aproximação da origem) com
a redução. Os novos vértices serão: 1+ i,
3 + i e 3 + 3i. Os argumentos dos pontos
da região não serão alterados, ou seja,
não haverá rotação.
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eixo Imaginário
6
3
2
1
eixo Real
1
2
3
6
Atividade 7
Considere a região do plano complexo,
indicada na figura. Cada ponto da região é a
imagem de um complexo e será objeto de uma
transformação. Represente no plano complexo a região resultante, após a multiplicação de
cada ponto da região pelo imaginário i.
Vamos examinar o efeito de tal multiplica­
ção em cada ponto.
Ao multiplicar um número complexo
z = x + yi
por i, obtemos:
eixo Imaginário
z . i = xi + yi2,
ou seja,
6
z . i = – y + xi.
Inicialmente, notamos que os módulos de z e
zi são iguais.
2
2
6
eixo Real
Queremos multiplicar cada ponto da região
indicada pelo imaginário i.
Além disso, verificamos que se o argumento
π
de z é θ e o de zi é θ', então θ' + ( 2 – θ) = π
(ver figura a seguir), ou seja, θ' – θ =
π
.
2
45
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eixo Imaginário
zi
x
z
θ
y
θ
π
2
θ'
–θ
θ
x
–y
Isso significa que os argumentos de z e de zi
π
diferem de 90º ( radianos), ou seja, zi tem
2
π
. De maneira geral,
argumento igual a θ +
2
ao multiplicar um número complexo z por i,
seu módulo permanece o mesmo, mas seu
eixo Real
π
.
2
Em decorrência, ao multiplicarmos por i
todos os pontos da região indicada, ela man­
terá seu tamanho, mas sofrerá uma rotação
de 90º, conforme mostra a figura:
argumento aumenta de
eixo Imaginário
t
r
u
6
s
2
–6
–2
2
6
eixo Real
(Notar que as retas r e u são perpendiculares, assim como o são as retas s e t.)
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Matemática - 3a série - Volume 2
Atividade 8
Considere a região do plano complexo,
indicada a seguir. Cada ponto da região
é a imagem de um complexo e será objeto
de uma transformação, indicada nas alternativas. Represente no plano complexo a região resultante, se cada ponto da
região triangular
eixo Imaginário
8
2
2
5
a) for somado ao número real 9;
Já vimos que, ao somar um complexo
com um número real, a imagem do com­
plexo resulta deslocada horizontalmente
na direção do eixo real; no caso, a região
triangular será deslocada para a direita
de 9 unidades.
8
eixo Real
cima de 9 unidades, e depois para a direita
de 9 unidades.
d) for multiplicado pelo número real 2;
A região será ampliada, cada complexo z
tendo seu valor absoluto multiplicado por 2.
Não sofrerá rotação e sua área ficará multi­
plicada por 4.
b) for somado ao número imaginário 9i;
A região triangular será deslocada para
cima de 9 unidades.
e) for multiplicado pelo número imaginário 2i;
A região sofrerá uma rotação de 90º, cor­
respondente à multiplicação por i, e também
c) for somado ao número complexo 9 + 9i;
A região triangular será deslocada para a
direita de 9 unidades, e depois para cima,
de 9 unidades; ou, equivalentemente, para
será ampliada de um fator 2, tendo sua área
quadruplicada.
As figuras a seguir traduzem as transforma­
ções ocorridas em a, b, c e d.
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eixo Imaginário
17
11
8
2
2
5
8
11
14
17
eixo Real
eixo Imaginário
16
8
4
2
eixo Real
2
45
8
10
16
No item e, além de ampliada de um fator 2, a região acima deve sofrer uma rotação de 90º no
sentido anti­horário.
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Matemática - 3a série - Volume 2
Considerações sobre a avaliação
No caso específico dessa Situação de Aprendizagem 4, os números complexos são explorados por meio de sua representação como
pontos do plano, com ênfase nas transformações associadas às operações. Essa pode
ser a parte menos comum no tratamento dos
complexos nos diversos livros didáticos, mas
consideramos que tal tratamento pode ser
mais adequado para uma incorporação
da linguagem dos complexos, mesmo sem
o recurso a muitas técnicas de cálculo. As
transformações realizadas sobre regiões do
plano complexo constituem terreno muito
fértil para aplicações práticas dos mesmos,
que não puderam ser apresentadas apenas
em decorrência dos limites do presente Caderno, mas que poderão ser apreciadas pelos
alunos, em leituras futuras, ou em trabalhos
complementares.
No fim do percurso, consideramos o aproveitamento dos alunos satisfatório se eles
souberem reconhecer o significado dos complexos, interpretando-os como pontos do
plano, e se forem capazes de interpretar operações simples realizadas sobre complexos com
transformações no plano, como translações,
rotações e ampliações, conforme indicadas
nas atividades realizadas.
A juízo do professor, se o desempenho dos
alunos não for satisfatório, pode-se experimentar estratégias alternativas, como:
f Restringir-se apenas a destacar o fato
básico, decisivo, de que i2 = –1 na construção dos novos números, os números
complexos, mostrando a grande ampliação na ideia de número, que transborda a reta numerada e passa a ocupar o
plano inteiro. Nessa estratégia, a representação do i no eixo perpendicular ao
eixo real, como foi feito no Caderno, se
for feita de maneira compreensiva, pode
servir para despertar o interesse pelos novos números, mostrando a Matemática
como uma permanente construção, e
ampliando o horizonte da Matemática
como linguagem;
f pode-se trabalhar o significado dos complexos e das operações com papel quadriculado, representando efetivamente
complexos no plano e realizando operações simples sobre eles, como adições,
subtrações e multiplicações, sempre
procurando reconhecer diretamente nas
ações realizadas o significado geométrico de cada uma delas (deslocamentos horizontais, verticais, ampliações,
rotações). Após a construção de figuras correspondentes a operações dadas
a priori, pode-se inverter a mão e perguntar sobre as operações necessárias
para produzirem certas transformações
em figuras dadas, o que pode tornar o
desafio ainda mais interessante.
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ORIENTAçÕES PARA RECUPERAçãO
Se considerar que os alunos não apreenderam adequadamente a temática proposta na
Situação de Aprendizagem 1, o professor pode
experimentar estratégias alternativas, como:
f iniciar as atividades do bimestre com
uma retomada direta das equações do
segundo grau, tais como são apresentadas na 8ª- série do Ensino Fundamental
e na 1ª- série do Ensino Médio, recordando a fórmula de Bhaskara, as relações
entre coeficientes e raízes, e resolvendo
problemas práticos que conduzem a tais
equações. Somente depois deve ser proposta a extensão de tais interesses para
equações de grau 3, com passagem mais
suave para a problemática do presente
Caderno;
f concentrar-se efetivamente na história da
Matemática, particularmente na história das equações algébricas, explorando
materiais como os que são sugeridos no
fim deste Caderno, que se prestam especialmente à realização de pequenos
projetos de estudo e de pesquisa.
Na Situação de Aprendizagem 2, considerando insuficiente a compreensão dos alunos,
o professor poderá explorar com mais vagar algumas outras estratégias, como, por exemplo:
f trabalhar inicialmente apenas com as
equações do segundo grau, cujas raízes
podem ser determinadas a qualquer instante, se necessário, para explicitar bem
as relações entre os coeficientes e as raízes das mesmas, antes de se dedicar a
equações de grau superior;
f mesmo abordando equações de grau
superior a dois, construir diretamente
diversas equações que tenham como raízes certos números dados, explorando a
possibilidade de se escrever uma equação de raízes r1, r2, r3, r4, ..., na forma de
um produto de binômios (x – r1) . (x – r2) .
.(x – r3).(x – r4). .... = 0, e calculando
diretamente os coeficientes dos diversos termos da equação. Tal exploração, de natureza experimental, mesmo em uns poucos exemplos, pode
ser decisiva para a compreensão das
relações entre coeficientes e raízes de
uma equação.
Caso os alunos ainda tenham dúvidas
sobre os conceitos trabalhados na Situação
de Aprendizagem 3, o professor poderá reapresentar o tema, optando por uma das estratégias seguintes:
f na abordagem inicial da ideia de identidade de polinômios, para facilitar o
entendimento, o professor pode sugerir
a comparação dos gráficos de duas funções polinomiais: eles podem assumir
valores iguais em alguns pontos, sem
que as funções sejam idênticas; entretanto, para que as funções sejam iguais
para todos os valores possíveis para x,
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Matemática - 3a série - Volume 2
é necessário que os coeficientes dos termos de mesmo grau sejam iguais, ou
seja, a identidade das funções exige tal
igualdade dos coeficientes dos termos
semelhantes.
f na apresentação das equações algébricas, apresentar os polinômios construtivamente, na maneira já fatorada,
deixando mais visível o fato de que,
conhecendo-se uma das raízes, o grau
da equação pode ser diminuído; deixarse-ia, assim, para um momento posterior o ensino da divisão, que levaria à
fatoração.
Os temas trabalhados na Situação de
Aprendizagem 4 podem ser igualmente
retomados com a leitura mais aprofundada de textos sugeridos ao fim do Caderno e
da retomada de atividades anteriormente
propostas.
RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR
E DO ALUNO PARA A COMPREENSãO DO TEMA
Existem diversos softwares disponíveis que
podem ser utilizados para a exploração da representação das transformações no plano correspondentes às operações com os números
complexos. Como no caso da Geometria Analítica Plana, consideramos, no entanto, que, em
um primeiro momento, a construção efetiva por
parte dos alunos das figuras representativas das
situações estudadas é muito importante. Após
esse contato inicial, o recurso a softwares que
facilitem a construção gráfica das curvas e das
regiões do plano é, sem dúvida, conveniente e
deve ser incentivada. É importante ressaltar
que a não disponibilidade dos mesmos não
impede a efetivação de qualquer das atividades
propostas no presente texto.
Em cada um dos textos citados, podem
ser encontrados elementos para a compreensão dos caminhos da busca de soluções para
equações algébricas, tal como foi sugerido no
texto do Caderno.
BOYER, CARL B. História da Matemática.
Tradução de Elza Furtado Gomide. São
Paulo: Edgard Blücher, 1974.
DOMINGUES, Hygino H. Síntese da
história das equações algébricas. Caderno
Ensino-Aprendizagem de Matemática, n. 2.
São Paulo: SBEM, 2000.
EVES, Howard. Introdução à história
da Matemática. Tradução de Higyno H.
Domingues. Campinas: Editora da Unicamp,
2004.
KUROSCH, A. G. Equações algébricas
de grau qualquer. Traduzido por Antonio
Carlos Brolezzi. São Paulo: Atual, 1995.
MARKUSHÉVICH, A. I. Números
complexos y representaciones Conformes.
Moscou: Editorial MIR, 1977.
51
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Considerações Finais
Conforme já comentamos anteriormente,
na grade de conteúdos proposta para as três
séries do Ensino Médio, pressupõe-se que
muitos dos temas se apoiam mutuamente,
sendo mais fácil interessar os alunos quando
se apresenta um cenário de conteúdos mais
abrangente do que quando se lhes subtrai
a possibilidade de contato com alguns dos
temas. Apesar da aparente extensão do conteúdo a ser ensinado, deve ficar claro para o
professor que cada tema é apenas um meio,
um instrumento para a construção das
competências básicas de leitura, escrita, compreensão, argumentação, contextuação, problematização. A grande preocupação não pode
ser a de “esgotar os conteúdos”, mesmo porque
tal esgotamento nunca é possível, na prática,
mas sim a de aproveitar as oportunidades para
o crescimento pessoal de cada estudante, por
meio de um contato proveitoso com algumas
das ideias fundamentais da Matemática.
Na presente proposta, reservou-se apenas um bimestre para equações, polinômios
e complexos. Dependendo do número de aulas disponíveis para o professor, nem todos
os temas podem ser tratados com a mesma
profundidade, cabendo ao mesmo selecionar
as ideias que serão mais ou menos contempladas. Nossa preocupação na apresentação dos
diversos temas foi a de torná-los acessíveis
para quem deles se aproxima pela primeira
vez, não hesitando em sacrificar certo nível de
rigor formal em benefício da construção de
uma compreensibilidade. Ao mesmo tempo,
procurou-se tornar as oito unidades relativamente independentes, de modo que uma menor exploração, ou mesmo a não exploração
de alguma delas não impeça o aproveitamento
das outras. Somente o professor, em sua circunstância específica, poderá selecionar os temas em que mais se deterá, bem como aqueles
aos quais dará menos relevância.
De maneira geral, ao fim deste Caderno,
após as atividades propostas nas quatro
Situações de Aprendizagem, espera-se que os
alunos tenham atingido os seguintes objetivos
gerais, relativos à temática das equações algébricas, dos polinômios e dos complexos:
f tenham compreendido a história das
equações algébricas, com o deslocamento das atenções das fórmulas para
as análises qualitativas;
f tenham conhecimento das relações entre coeficientes e raízes de uma equação
algébrica, bem como as operações com
polinômios necessárias para a redução
da ordem com base no conhecimento de
uma raiz da equação;
f sejam capazes de expressar o significado
dos números complexos por meio do
plano de Argand-Gauss;
f sejam capazes de compreender o significado geométrico das operações
com complexos.
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Matemática - 3a série - Volume 2
Conteúdos de matemátiCa por série/bimestre
do ensino médio
4o- bimestre
3o- bimestre
2o- bimestre
1o- bimestre
1a- série
números e sequênCias
- Conjuntos numéricos.
- Regularidades numéricas:
sequências.
- Progressões aritméticas,
progressões geométricas;
ocorrências em diferentes
contextos; noções de matemática
financeira.
Funções
- Crescimento exponencial.
- Função exponencial: equações e
inequações.
- Logaritmos: definição,
propriedades, significado em
diferentes contextos.
- Função logarítmica: equações e
inequações simples.
2a- série
trigonometria
- Arcos e ângulos; graus e radianos.
- Circunferência trigonométrica: seno,
cosseno, tangente.
- Funções trigonométricas e fenômenos
periódicos.
- Equações e inequações trigonométricas.
- Adição de arcos.
3a- série
geometria analítiCa
- Pontos: distância, ponto médio e
alinhamento de três pontos.
- Reta: equação e estudo dos
coeficientes, retas paralelas e
perpendiculares, distância de ponto a
reta; problemas lineares.
- Circunferências e cônicas:
propriedades, equações, aplicações
em diferentes contextos.
matrizes, determinantes e
sistemas lineares
- Matrizes: significado como tabelas,
características e operações.
- A noção de determinante de uma
matriz quadrada.
- Resolução e discussão de sistemas
lineares: escalonamento.
equações algébriCas,
polinômios, Complexos
- Equações polinomiais: história,
das fórmulas à análise qualitativa.
- Relações entre coeficientes
e raízes de uma equação
polinomial.
- Polinômios: identidade, divisão
por x – k e redução no grau de
uma equação.
- Números complexos: significado
geométrico das operações.
Funções exponenCial e
logarítmiCa
- Formas planas e espaciais.
- Noção de perímetro e área de figuras
planas.
- Cálculo de área por composição e
decomposição.
análise Combinatória e
probabilidade
- Raciocínio combinatório: princípios
multiplicativo e aditivo.
- Probabilidade simples.
- Arranjos, combinações e permutações.
- Probabilidades; probabilidade
condicional.
- Triângulo de Pascal e binômio de
Newton.
estudo das Funções
- Panorama das funções
já estudadas: principais
propriedades.
- Gráficos: funções
trigonométricas, exponencial,
logarítmica e polinomiais.
- Gráficos: análise de sinal,
crescimento, decrescimento, taxas
de variação.
- Composição: translações,
reflexões, inversões.
geometriatrigonometria
- Razões trigonométricas nos
triângulos retângulos.
- Polígonos regulares: inscrição,
circunscrição; pavimentação
superfícies.
- Resolução de triângulos não
retângulos: lei dos senos e lei dos
cossenos.
geometria métriCa
espaCial
- Organização do conhecimento
geométrico: conceitos primitivos,
definições, postulados, teoremas.
- Prismas e cilindros: propriedades,
relações métricas.
- Pirâmides e cones: propriedades,
relações métricas.
- A esfera e suas partes; relações
métricas; a esfera terrestre.
estatístiCa
- Cálculo e interpretação de índices
estatísticos.
- Medidas de tendência central: média,
mediana e moda.
- Medidas de dispersão: desvio médio
e desvio padrão.
- Elementos de amostragem.
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Matemática - 3a série - Volume 2
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