competências
Enem
matemática
ensino médio
organizadora
Edições SM
Obra coletiva concebida, desenvolvida
e produzida por Edições SM.
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São Paulo,
1ª- edição 2014
2/26/14 8:05 AM
Direção editorial
Gerência editorial
Gerência de processos editoriais
Colaboração Coordenação de edição
Ser Protagonista Matemática – Competências ENEM
© Edições SM Ltda.
Todos os direitos reservados
Juliane Matsubara Barroso
Angelo Stefanovits
Rosimeire Tada da Cunha
Regina Vaz
Ana Paula Landi, Cláudia Carvalho Neves
Assistência administrativa editorialAlzira Aparecida Bertholim Meana, Camila de Lima Cunha, Fernanda Fortunato,
Flávia Romancini Rossi Chaluppe, Silvana Siqueira
Preparação e revisãoCláudia Rodrigues do Espírito Santo (Coord.), Izilda de Oliveira Pereira,
Rosinei Aparecida Rodrigues Araujo, Valéria Cristina Borsanelli
Coordenação de design
Erika Tiemi Yamauchi Asato
Ulisses Pires
Coordenação de Arte
Edição de Arte
Melissa Steiner Rocha Antunes
Projeto gráfico
Erika Tiemi Yamauchi Asato
Capa
Alysson Ribeiro, Erika Tiemi Yamauchi Asato, Adilson Casarotti
Iconografia
Priscila Ferraz (Coord.), Bianca Fanelli
Tratamento de imagem
Editoração eletrônica
Fabricação
Robson Mereu
Setup Bureau
Alexander Maeda
Impressão
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Ser protagonista : matemática : competências ENEM :
ensino médio, volume único / obra coletiva
concebida, desenvolvida e produzida por Edições SM.
— 1. ed. — São Paulo : Edições SM, 2014. —
(Coleção ser protagonista)
Bibliografia.
ISBN 978-85-418-0382-3 (aluno)
ISBN 978-85-418-0383-0 (professor)
1. ENEM - Exame Nacional do Ensino Médio
2. Matemática (Ensino médio) I. Série.
14-00654CDD-510.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino médio 510.7
1ª edição, 2014
Edições SM Ltda.
Rua Tenente Lycurgo Lopes da Cruz, 55
Água Branca 05036-120 São Paulo SP Brasil
Tel. 11 2111-7400
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www.edicoessm.com.br
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Apresentação
Este livro, complementar à coleção Ser Protagonista, contém aproximadamente cem questões elaboradas segundo o modelo das competências e habilidades, introduzido no universo educacional pioneiramente
pelo Enem e depois adotado por muitos vestibulares do país. A maioria
das questões é do próprio Enem; as demais foram elaboradas pela equipe editorial de Edições SM.
O volume proporciona prática mais do que suficiente para dar ao
aluno o domínio das estratégias de resolução adequadas. Além disso,
ao evidenciar o binômio competência-habilidade explorado em cada
questão, contribui para que ele adquira mais consciência do processo
de aprendizagem e, consequentemente, mais autonomia.
Antes de começar a resolver as questões, recomenda-se a leitura da
seção Para conhecer o Enem, que fornece informações detalhadas sobre
a história do Enem e apresenta a matriz de competências e habilidades
de cada área do conhecimento.
Edições SM
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Conheça seu livro
O Ser Protagonista Competências Enem
possibilita um trabalho sistemático e
contínuo com as principais habilidades
exigidas pelo Enem.
competências
EnEm
competências
EnEm
matemática
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ensino médio
organizadora
edições sm
Obra coletiva concebida, desenvolvida
e produzida por Edições SM.
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80. Para descobrirmos a altura pedida basta igualar os dois volumes, lembrando que devemos
1
multiplicar o volume da esfera por __, já que
2
pelo desenho temos uma semiesfera, e substituir os raios, como segue:
1 4pR3 pR2h
__1 ? V
5 Vcone à __ ? ______ 5 ______ à
2 esfera
2
3
3
à 4 ? p ? 33 5 p ? 32 ? h à 2 ? 33 5 32 ? h à
Apresenta questões
selecionadas das provas
do Enem e também
questões inéditas,
desenvolvidas com base
na Matriz de Referência
do Enem (identificadas
pela sigla SM).
à2?35hàh56
Alternativa b.
81. Vamos verificar todos os itens para saber qual
deles não é possível encaixar na figura do
cubo:
a. esta imagem pode ser obtida na segunda fileira de peças do cubo, já que não sabemos
a cor das peças contidas no interior do cubo.
b. esta imagem pode ser obtida na segunda fileira de peças do cubo, já que não sabemos a
cor das peças contidas no interior do cubo.
c. esta imagem pode ser obtida na segunda fileira de peças do cubo, já que não sabemos
a cor das peças contidas no interior e no
fundo da imagem cedida.
d. Não existe a possibilidade de haver tal disposição das peças.
e. esta imagem pode ser obtida na segunda fileira de peças do cubo, já que não sabemos
a cor das peças contidas no interior do cubo.
Alternativa d.
C2.H8
a)
c)
80. (Enem) Em um casamento, os donos da festa serviam
champanhe aos seus convidados em taças com formato de
um hemisfério (figura 1), porém um acidente na cozinha
culminou na quebra de grande parte desses recipientes.
Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro
tipo com formato de cone (figura 2). No entanto, os noivos
solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de
taças fosse igual.
b)
d)
R 5 3 cm
83. Ordenando todos os 7 valores da tabela para
obter o rol, determinamos a mediana, termo
central do rol, uma vez que há um número ímpar de dados nesse conjunto, ou seja, 83,00.
Alternativa d.
82. (SM) Uma empresa fez um levantamento dos salários de
seus funcionários, obtendo a seguinte tabela:
h
Salário
4
R$ 850,00
8
5
Shutterstock.com/ID/BR
R$ 1 500,00
2
R$ 3 000,00
1
Sobre os valores de média, moda e mediana desse levantamento, podemos concluir que:
a) a média salarial é R$ 1 000,00.
b) a moda e a mediana são iguais.
c) a média e a mediana são iguais.
d) a média e a moda são iguais.
e) os valores da média, moda e mediana são todos diferentes.
C2.H7
81. (SM) Um publicitário criou como logomarca de uma empresa
o cubo abaixo. Sabendo que o plano de secção mostrado na
figura é um eixo de simetria do cubo, ou seja, a reta que divide a figura em duas partes congruentes, semelhante a um
espelho, qual a única figura que NÃO pode ser encontrada na
secção mostrada?
Frequência
R$ 700,00
R$ 1 000,00
Figura 2
4
Considere: Vesfera 5 ___ pR3 e Vcone 5 __1 pR2h
3
3
Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida
completamente cheia, a altura do volume de champanhe que
deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de:
a) 1,33
d) 56,52
b) 6,00
e) 113,04
c) 12,00
C7.H27
83. (Enem) Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em
reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos
anos 2007 e 2008.
Cotação
Ano
Outubro
R$ 83,00
2007
Novembro
R$ 73,10
2007
Dezembro
Mês
R$ 81,60
2007
Janeiro
R$ 82,00
2008
Fevereiro
R$ 85,30
2008
Março
R$ 84,00
2008
Abril
R$ 84,60
2008
56
57
C2.H7
74. Os cortes nas arestas XXX
AB e XX
DC são iguais e os
74. (Enem) Uma indústria fabrica brindes promocionais em forma de pirâmide. A pirâmide é obtida a partir de quatro cortes
em um sólido que tem a forma de um cubo. No esquema,
estão indicados o sólido original (cubo) e a pirâmide obtida
a partir dele.
75. O bebedouro 3 é um semicilindro circular com
100 cm de comprimento; sua base é um semicírculo de diâmetro igual a 60 cm.
Alternativa e.
O
O
C
D
A
cortes nas arestas XX
BC e XXX
AD são iguais.
Alternativa e.
Caderno de competências
Todas as questões
trazem a indicação
da competência e da
habilidade que está
sendo trabalhada.
82. Vamos ordenar e obter o rol:
( 700, 700, 700, 700, 850, 850, 850, 850, 850,
850, 850, 850, 1 000, 1 000, 1 000, 1 000, 1 000,
1 500, 1 500, 3 000 ). Temos 21 funcionários na
empresa. A mediana é o elemento central do
rol que coincide com a moda.
Alternativa b.
C2.H7
R 5 3 cm
Figura 1
e)
Caderno de competências
SP CADERNO COMPETENCIAS MAT VU LP E15 CAPA.indd 1
A
B
C
D
B
Os pontos A, B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os mesmos. O ponto O é central na face superior do cubo. Os quaAD, XXX
BC, XXX
AB e XXX
CD,
tro cortes saem de O em direção às arestas XXX
nessa ordem. Após os cortes, são descartados quatro sólidos.
Os formatos dos sólidos descartados são:
a) todos iguais.
b) todos diferentes.
c) três iguais e um diferente.
d) apenas dois iguais.
e) iguais dois a dois.
Este espaço é
destinado a
resoluções de
exercícios e
anotações.
C2.H7
75. (Enem) Alguns testes de preferência por bebedouros de água
foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1
e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura
igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e
60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é um semicilindro,
com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de
largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura.
120 cm
60 cm
60 cm
Bebedouro 1
60 cm
Bebedouro 2
60 cm
0
10
cm
30 cm
Bebedouro 3
A escolha do bebedouro. In: Biotemas. v. 22, n. 4, 2009 (adaptado).
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sumário
Para conhecer o Enem 6
ƒƒ Uma breve história do Enem 6
O contexto, a análise e a reflexão interdisciplinar 8
Os eixos cognitivos 9
Competências e habilidades 10
As áreas de conhecimento 10
ƒƒ Ser Protagonista Competências Enem 13
ƒƒ Atividades 14
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PARA conhecer o ENEM
O Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) tornou-se o exame mais importante
realizado pelos alunos que concluem a formação básica. Sem dúvida, essa avaliação
ganhou destaque nos últimos anos, na medida em que é, atualmente, a principal forma de ingresso no Ensino Superior público e, em grande medida, também no Ensino
Superior privado.
Por conta disso, em 2013, a edição do Enem teve mais de 7 milhões de candidatos
inscritos. O objetivo de quem faz o exame no contexto atual é, fundamentalmente, ingressar no Ensino Superior. As informações disponíveis neste material foram elaboradas
no sentido de auxiliá-lo nessa tarefa.
Uma breve história do Enem
A primeira edição do Enem é de 1998. As características daquela avaliação eram diferentes da atual. Apesar de poucas mudanças pedagógicas, há muitas diferenças no que
diz respeito à estrutura do exame.
Em 1998, a prova tinha 63 questões com uma proposta interdisciplinar e mais uma
redação, realizada em apenas um dia. Muito diferente do formato atual, no qual as provas são divididas em quatro áreas do conhecimento – Ciências Humanas, Ciências da
Natureza, Linguagens e Códigos e Matemática e suas respectivas tecnologias – e mais a
redação. Além disso, com 180 questões, a prova ficou muito maior e mais abrangente,
exigindo maior capacidade de organização e concentração dos candidatos em dois dias
de aplicação.
É importante compreender os sentidos dessas mudanças e os seus significados. Em
suma, é relevante esclarecer por que e como o Enem se tornou o exame mais importante do país.
Em meados da década de 1990, uma proposta de reforma no sistema educacional
brasileiro foi finalmente posta em prática com a criação da Lei de Diretrizes e Bases da
Educação Nacional (LDB, Lei n. 9 394/1996).
A nova lei apresentava uma proposta, inovadora à época, de organização da chamada
educação básica, incluindo nela o Ensino Médio, como última etapa dessa formação. No
artigo 35, a lei apresentava os objetivos gerais do Ensino Médio:
O Ensino Médio, etapa final da educação básica, com duração mínima de três anos,
terá como finalidades:
I — a consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos no ensino
fundamental, possibilitando o prosseguimento de estudos;
II — a preparação básica para o trabalho e a cidadania do educando, para continuar
aprendendo, de modo a ser capaz de se adaptar com flexibilidade a novas condições de
ocupação ou aperfeiçoamento posteriores;
III — o aprimoramento do educando como pessoa humana, incluindo a formação
ética e o desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crítico;
IV — a compreensão dos fundamentos científico-tecnológicos dos processos produtivos, relacionando a teoria com a prática, no ensino de cada disciplina.
Brasil. Presidência da República. Lei de Diretrizes e Bases da Educação (Lei n. 9 394, de 20 de dezembro de 1996).
Brasília, DF, 1996. Disponível em: <http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/l9394.htm>. Acesso em: 11 fev. 2014.
Assim, o Ensino Médio se tornava parte integrante da formação básica dos estudantes
brasileiros e seu papel seria a continuação dos estudos, a preparação para o mundo do
trabalho e da cidadania, o desenvolvimento dos valores humanos e éticos e a formação
básica no que tangem aos aspectos científicos e tecnológicos.
Tentava-se, assim, aproximar a educação brasileira das questões contemporâneas, dotá-la de capacidade para enfrentar os dilemas do mundo rápido, tecnológico e globalizado que começava a se solidificar naquele momento.
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Nesse caminho, pouco mais de dois anos depois, o Ministério da Educação apresentou ao país os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. A proposta de
elaborar um currículo baseado em competências e habilidades, sustentados na organização de eixo cognitivos e em áreas de conhecimento, foi a estrutura básica dos Parâmetros e a característica fundamental do modelo pedagógico que se tentava implementar
no país a partir de então.
A preocupação era, novamente, dotar os educandos de uma formação adequada para
o novo mundo tecnológico, de mudanças rápidas que exigem adaptação quase instantânea a realidades que nem bem se cristalizam já estão sendo transformadas. Por isso, a
ideia de organizar o currículo a partir de competências que garantam a atuação do indivíduo numa nova realidade social, econômica e política:
A revolução tecnológica, por usa vez, cria novas formas de socialização, processos
de produção e, até mesmo, novas definições de identidade individual e coletiva. Diante
desse mundo globalizado, que apresenta múltiplos desafios para o homem, a educação
surge como uma utopia necessária indispensável à humanidade na sua construção da
paz, da liberdade e da justiça social. [...]
Considerando-se tal contexto, buscou-se construir novas alternativas de organização curricular para o Ensino Médio comprometidas, de um lado, com o novo significado
do trabalho no contexto da globalização e, de outro, com o sujeito ativo, a pessoa humana que se apropriará desses conhecimentos para se aprimorar, como tal, no mundo
do trabalho e na prática social. Há, portanto, necessidade de se romper com modelos
tradicionais, para se alcancem os objetivos propostos para o Ensino Médio.
Brasil. Ministério da Educação, Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros curriculares nacionais:
Ensino Médio. Brasília: Ministério da Educação, 1999. p. 25.
Neidson Moreira/OIMP/D.A Press
Foi com base nesses documentos e na visão que eles carregam sobre o significado da
educação da última etapa da formação básica, isto é, uma educação voltada para a cidadania no contexto de um país e um mundo em constante transformação, que o Enem foi
pensado como um exame de avaliação do Ensino Médio brasileiro.
Em 1998, na sua primeira versão, o Enem pretendia dar subsídios para a avaliação
do desempenho geral dos alunos ao final da educação básica, buscando aferir o nível de
desenvolvimento das habilidades e das competências propostas na LDB e nos Parâmetros
Curriculares Nacionais.
O exame tornava-se, assim, uma ferramenta de avaliação que os próprios estudantes poderiam utilizar para analisar sua formação geral e, conforme indicavam os documentos que sustentaram sua criação, como uma forma alternativa para processos
de seleção para novas modalidades de ensino após a formação básica e mesmo para o
mundo do trabalho.
Inscrições para o Sistema
de Seleção Unificada – SiSU
na Universidade Federal do
Maranhão (UFMA) em 2012.
7
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PARA conhecer o ENEM
Ao longo dos anos, o número de inscritos foi crescendo, chegando à casa dos milhões
desde 2001, e a prova passou a ser utilizada em vários processos seletivos de universidades públicas e privadas. Essa transformação tem um momento decisivo no ano de 2004,
quando o governo federal criou o Programa Universidade para Todos (ProUni) – onde
alunos de baixa renda, oriundos da escola pública ou bolsistas integrais de escolas privadas, podem cursar o Ensino Superior privado com bolsas de 100% ou 50%.
Nesse momento, quando várias escolas de nível superior privado aderiram ao
ProUni, o Enem ganhou uma dimensão gigantesca, com mais de três milhões de inscritos em 2005.
Em 2009, com a criação do Sistema de Seleção Unificada (SiSU), no qual a maioria das vagas nas universidades federais é disputada pelos candidatos que realizaram o
Enem numa plataforma virtual, o exame do Enem passou por uma profunda reformulação. Desde então, a avaliação se realiza em dois dias, no último fim de semana do mês de
outubro, com 180 questões e uma redação.
A forma de pontuação também mudou. Inspirado no sistema estadunidense, o Ministério da Educação implementou a Teoria de Resposta ao Item (TRI), na qual cada questão passa por classificações de dificuldade e complexidade e a pontuação varia de acordo com essa classificação, as consideradas mais difíceis recebem uma pontuação maior
que as consideradas mais fáceis. Além disso, é possível, segundo a TRI, verificar possíveis
“chutes”, caso o candidato acerte questões difíceis e erre as fáceis sobre assuntos parecidos. Assim, desde então, provas de anos diferentes podem ser comparadas e os resultados do Enem podem ser analisados globalmente.
Com a adesão de mais de 80% das universidades federais ao SiSU e com quase 200
mil bolsas oferecidas em universidades privadas pelo ProUni, o Enem se tornou o exame
mais importante do país. Além de avaliar o desempenho dos alunos, ele passou a ser decisivo para o ingresso nas escolas de Ensino Superior em todo o país.
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Desde sua primeira formulação, o Enem sempre se apoiou na proposta de ser uma
prova interdisciplinar. Desde 2009, no entanto, o exame mantém a interdisciplinaridade, mas dentro das áreas de conhecimento. Assim, a interdisciplinaridade se realiza entre as disciplinas das quatro grandes áreas: Linguagens e Códigos, Matemática,
Ciências Humanas e Ciências da Natureza.
Em geral, as questões exigem dos candidatos capacidade de análise e reflexão sobre
contextos. Procura-se, portanto, estabelecer a relação entre o conhecimento adquirido
e a realidade cotidiana que nos cerca, abordando as múltiplas facetas da vida social,
desde aspectos culturais até os tecnológico e científico.
As capacidades de leitura e de interpretação, nas suas diversas modalidades
– textos, documentos, gráficos, tabelas,
charges, obras de arte, estruturas arquitetônicas, etc. –, são elementos centrais da
proposta pedagógica do exame. O domínio dessas competências se aplica a toda
a prova, na medida em que não há, no
Enem, questões que exijam apenas memorização. Na verdade, elas exigem capacidade de análise crítica a partir da leitura
e da interpretação de situações-problema
apresentadas.
AaronAmat/iStockphoto/Thinkstock/Getty Images
O contexto, a análise e a reflexão interdisciplinar
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Portanto, em geral, o Enem apresenta diferenças de estilo e proposta pedagógica
quando comparado aos vestibulares tradicionais. Entretanto, isso não quer dizer que a
prova não exija uma boa formação no Ensino Médio. Ao contrário, esta é essencial para
que o desempenho seja satisfatório, já que o exame procura valorizar todo o conhecimento obtido e relacionado ao cotidiano. Além disso, verifica-se, nos últimos anos, uma
aproximação dos vestibulares à proposta do Enem, tornando-os mais reflexivos e críticos, em detrimento do caráter memorizador que algumas provas apresentavam anteriormente, o que vem exigindo também uma reformulação dos currículos e das propostas
pedagógicas das escolas.
Dessa forma, não se trata de analisar se o Enem é mais fácil ou mais difícil que os exames vestibulares tradicionais, mas de compreender as suas características e se preparar
para realizar a prova da melhor maneira possível.
Os eixos cognitivos
O Enem está estruturado em torno de eixos cognitivos. Eles são a base para todas as
áreas do conhecimento e se referem, essencialmente, aos domínios básicos que os candidatos devem ter para enfrentar, compreender e resolver as questões que a prova apresenta. Mas, principalmente, são as referências básicas do que precisamos dominar para atuar
na realidade social, política, econômica, cultural e tecnológica que nos cerca.
A Matriz de Referência do Enem apresenta os cinco eixos cognitivos:
I. Dominar linguagens (DL): dominar a norma culta da Língua Portuguesa e fazer
uso das linguagens matemática, artística e científica e das línguas espanhola e
inglesa.
II. Compreender fenômenos (CF): construir e aplicar conceitos das várias áreas do
conhecimento para a compreensão de fenômenos naturais, de processos histórico-geográficos, da produção tecnológica e das manifestações artísticas.
III.Enfrentar situações-problema (SP): selecionar, organizar, relacionar, interpretar
dados e informações representados de diferentes formas, para tomar decisões e enfrentar situações-problema.
IV.Construir argumentação (CA): relacionar informações, representadas em diferentes formas, e conhecimentos disponíveis em situações concretas, para construir
argumentação consistente.
V. Elaborar propostas (EP): recorrer aos conhecimentos desenvolvidos na escola
para elaboração de propostas de intervenção solidária na realidade, respeitando os
valores humanos e considerando a diversidade sociocultural.
Brasil. Ministério da Educação. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Matriz de
Referência para o Enem. Brasília, 2009. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/index.php?Itemid=310+enen.br>.
Acesso em: 12 fev. 2014.
Conforme podemos perceber pela leitura atenta, os eixos cognitivos são essenciais
para a compreensão, o diagnóstico e a ação diante de qualquer situação que se apresente a nós. A ideia é que, dominando esses eixos, os candidatos sejam capazes de solucionar os desafios colocados diante deles nas provas e na vida. Assim, propõe-se um exame que valorize aspectos da vida real, apresentando problemas para que os candidatos
demonstrem capacidade de compreensão e diagnóstico, de encarar a situação, analisando seu contexto, de construir argumentação em torno do desafio para, por fim, elaborar
uma proposta de ação.
Os eixos cognitivos, chamados, até o Enem 2008, de competências gerais, são a estrutura básica do exame, o sustentáculo pedagógico que dá sentido à prova, na medida
em que garante a ela uma coerência, já que todos os desafios apresentados na avaliação
têm de se fundamentar nesses eixos.
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PARA conhecer o ENEM
Competências e habilidades
As diversas áreas do conhecimento possuem as suas competências e habilidades específicas, que procuram evidenciar as características das abordagens de cada uma das áreas.
Mas afinal, qual a diferença entre competência e habilidade? O que elas significam?
A base para a elaboração da matriz de referência do Enem são os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Vejamos, então, como ali se apresenta a ideia de
competência:
De que competências se está falando? Da capacidade de abstração, do desenvolvimento do pensamento sistêmico, ao contrário da compreensão parcial e fragmentada dos fenômenos, da criatividade, da curiosidade, da capacidade de pensar múltiplas alternativas para a solução de um problema, ou seja, do desenvolvimento do
pensamento divergente, da capacidade de trabalhar em equipe, da disposição para
procurar e aceitar críticas, da disposição para o risco, do desenvolvimento do pensamento crítico, do saber comunicar-se, da capacidade de buscar conhecimento. Estas
são competências que devem estar presentes na esfera social, cultural, nas atividades
políticas e sociais como um todo, e que são condições para o exercício da cidadania
num contexto democrático.
Brasil. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros curriculares nacionais:
ensino médio. Brasília: Ministério da Educação, 1999. p. 24.
Ora, as competências são entendidas como mecanismos fundamentais para a compreensão do mundo e atuação nele, isto é, o saber fazer, conhecer, viver e ser. Não basta
o domínio dos conteúdos, mas é necessário aplicá-lo ao contexto em que se encontra.
Isso é competência: a capacidade de contextualizar o saber, ou seja, comparar, classificar,
analisar, discutir, descrever, opinar, julgar, fazer generalizações, analogias e diagnósticos.
As habilidades são as ferramentas que podemos dispor para desenvolver competências. Logo, para saber fazer, conhecer, viver e ser, precisamos de instrumentais que nos
conduzam para que a ação se torne eficaz. As habilidades são esses instrumentais que,
manejados, possibilitam atingir os objetivos e desenvolver a competência.
Podemos concluir, portanto, que no Exame Nacional do Ensino Médio o conteúdo
que aprendemos na escola deve ser utilizado como instrumento de vivência e de aplicabilidade real, por isso a necessidade de desenvolver competências e habilidades que
permitam isso. Assim, os diferentes conteúdos das diversas áreas do conhecimento
estão presentes na prova, mas de forma estrategicamente pensada e aplicada a situações da
realidade social, política, econômica, cultural, científica e tecnológica.
As áreas de conhecimento
Matemática e suas Tecnologias
Na área de Matemática, a principal preocupação do Enem é que os candidatos sejam
capazes de relacionar o conhecimento matemático com o contexto social em que se inserem. Assim, a noção de números deve vir associada a uma aplicabilidade dela numa
realidade dada. Da mesma forma, os conhecimentos geométricos devem servir para uma
leitura crítica de alguma situação-problema, para que se desenvolvam propostas de solução para as dificuldades apresentadas.
As diferentes grandezas e as representações algébricas devem ser entendidas como
instrumentos de leitura da realidade, assim como as diversas formas de construção gráfica, de tabelas e de dados estatísticos.
Dessa forma, as questões da área de Matemática apresentam, em geral, situações-problema, nas quais os conceitos matemáticos devem ser deduzidos e aplicados para a solução de dificuldades reais e concretas.
As competências e habilidades da área são as seguintes:
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Competência de área 1
Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1
Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos
números e operações - naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2
Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3
Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4
Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos
sobre afirmações quantitativas.
H5
Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos
numéricos.
Competência de área 2
Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a
representação da realidade e agir sobre ela.
H6
Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço
tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7
Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8
Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço
e forma.
H9
Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de
argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência de área 3
Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão
da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10
Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11
Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12
Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13
Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento
consistente.
H14
Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos
geométricos relacionados a grandezas e medidas.
11
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PARA conhecer o ENEM
Competência de área 4
Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da
realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15
Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16
Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou
inversamente proporcionais.
H17
Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a
construção de argumentação.
H18
Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência de área 5
Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas
ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
H19
Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20
Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21
Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22
Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção
de argumentação.
H23
Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos
algébricos.
Competência de área 6
Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da
leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência,
extrapolação, interpolação e interpretação.
H24
Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25
Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26
Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a
construção de argumentos.
12
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Competência de área 7
Compreender o caráter aleatório e não-determinístico dos fenômenos naturais
e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de
amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis
apresentadas em uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados
expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados (não em classes)
ou em gráficos.
H28
Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e
probabilidade.
H29
Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a
construção de argumentação.
H30
Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de
estatística e probabilidade.
Brasil. Ministério da Educação. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Matriz
de referência para o Enem. Brasília, 2009. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/index.php?Itemid=310+enen.br>.
Acesso em: 12 fev. 2014.
Para obter mais informações sobre o Enem, consulte <http://portal.inep.gov.br/web/
enem>. Acesso em: 27 fev. 2014.
Ser Protagonista Competências Enem
Desde sua formulação, os livros da coleção Ser Protagonista concebem a educação
com base nos referenciais das competências e habilidades a serem desenvolvidas em cada
uma das áreas do conhecimento. Os exercícios elaborados para os livros procuram trabalhar esses elementos, destacando-se na contextualização e no propósito de envolver problemas da multifacetada realidade da sociedade atual.
A intenção é ampliar esse olhar, apresentando um material adicional no qual o propósito da coleção é ainda mais aprofundado. Neste caderno, você tem acesso a um
material específico, focado no desenvolvimento dos eixos cognitivos e nas competências e habilidades do Enem. O objetivo é complementar e fortalecer o projeto pedagógico da coleção Ser Protagonista, com a intenção de fortalecer ainda mais a proposta
pedagógica praticada.
13
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1. Precisamos descobrir qual percentual deve ser
acrescido ao salário mínimo para que ele torne
a valer R$ 2.743,69.
x
678 1 678 ? ____
​     ​ 5 2 743,69
100
x
678 ? ​ ____   ​ 5 2 743,69 2 678
100
x
678 ? ______
​     ​ 5 2 065,69
100 
2 065,69 ? 100
x 5 ​ ________________
 
 ​  
5 304,67
678
Portanto o reajuste é de aproximadamente
300%.
Alternativa d.
2. Uma possível combinação de notas musicais seria tomar para cada um dos 6 primeiros compassos 2 colcheias e 2 semínimas, e para cada
um dos 2 últimos compassos 6 colcheias. De fa1
1 3
1 3
​    ​ 1 2 ? __
to, 2 ? __
​    ​ 5 __
​   ​ e 6 ? __
​    ​ 5 __
​   ​ . Isso resulta4 4
8
8 4
ria num total de 24 colcheias e 12 semínimas.
Alternativa d.
Atividades
C1.H3
1. (SM) O salário mínimo em fevereiro de 2013 era de R$ 678,00.
Segundo o Dieese, o valor necessário para prover o trabalhador das condições mínimas de sobrevivência, como alimentação e moradia, deveria ser de R$ 2 743,69. Qual é o reajuste
aproximado que o salário mínimo deveria ter para atingir o
valor estimado pelo Dieese?
a)10%
d)300%
b)100%
e)400%
c)200%
C1.H3
2. (Enem) A música e a matemática se encontram na
representação dos tempos
das notas musicais, conforme a figura ao lado.
Semibreve
Mínima
Um compasso é uma unidade musical composta
por determinada quantiSemínima
dade de notas musicais
em que a soma das durações coincide com a fração
Colcheia
indicada como fórmula do
compasso. Por exemplo,
se a fórmula de compasso
for __
​  1  ​, poderia ter um comSemicolcheia
2
passo ou com duas semínimas ou uma mínima ou
quatro colcheias, sendo
Fusa
possível a combinação de
diferentes figuras.
Um trecho musical de
Semifusa
oito compassos, cuja fór3
___
mula é ​ 
  ​
, poderia ser
4
preenchido com:
a) 24 fusas.
b) 3 semínimas.
c) 8 semínimas.
d) 24 colcheias e 12 semínimas.
e) 16 semínimas e 8 semicolcheias.
1
1/2
1/4
1/8
1/16
1/32
1/64
14
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C1.H4
3. (SM) Leia atentamente o trecho da notícia publicada pela
Agência Brasil em 27 de março de 2013:
3. Considerando que a diferença entre a quantidade
de brasileiros no Japão entre 2007 e 2012 é
313 mil 2 193 mil 5 120 mil, isso corresponde
a cerca de 40% do valor inicial de 313 mil.
Alternativa a.
Caderno de competências
Em cinco anos, pelo menos 300 mil brasileiros
que viviam no exterior retornaram ao Brasil
Brasília – A crise econômica internacional associada a
problemas específicos em alguns países, como o terremoto seguido por tsunami no Japão (em 2011), provocou o
retorno de 300 mil a 400 mil brasileiros que estavam no
exterior para o Brasil. Os números são do Ministério das
Relações Exteriores, Itamaraty, e referem-se ao período
de 2007 a 2012. A estimativa é que cerca de 2,5 milhões
de brasileiros vivam atualmente no exterior.
Os brasileiros que viviam no exterior voltaram,
principalmente, do Japão, da Espanha, de Portugal, da
França e dos Estados Unidos, além do Paraguai. Porém,
o Itamaraty informou que os dados são baseados em estimativas, pois vários brasileiros que vivem no exterior
estão em situação ilegal, o que dificulta a precisão das
informações.
O único país, segundo o Itamaraty, que é exceção é o
Japão, pois todos os brasileiros são cadastrados pelo governo japonês. De 2007 a 2012, o número de brasileiros
no país caiu de 313 mil para 193 mil. A avaliação é que
o terremoto seguido por tsunami no Nordeste do Japão
agravado por explosões e vazamentos nucleares, em março de 2011, tenha provocado o retorno dos brasileiros.
Giraldi, Renata. Em cinco anos, pelo menos 300 mil brasileiros
que viviam no exterior retornaram ao Brasil. Disponível em:
<http://agenciabrasil.ebc.com.br/noticia/2013203227/em-cincoanos-pelo-menos2300-mil-brasileiros-que-viviam-no-exteriorretornaram-ao-brasil>. Acesso em: 23 nov. 2013.
Considerando os dados do texto, é possível afirmar que:
a)a quantidade de brasileiros no Japão caiu cerca de 40%
entre 2007 e 2012.
b) se a quantidade de imigrantes continuar caindo na mesma
progressão, em 2017, serão 43 mil imigrantes brasileiros
no Japão.
c) a quantidade de imigrantes que retornou ao Brasil no período de 2007 a 2012 corresponde a 2% do total.
d)a quantidade de imigrantes que retornou da Europa no
período de 2007 a 2012 é 180 mil.
e) no Paraguai existem 500 mil imigrantes brasileiros.
15
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4. A escala é 1:150, então as dimensões da folha
de papel são x e y, assim:
36
x 5 ____
​    ​ 5 0,24m 5 24 cm
150
28,5
y 5 _____
​   ​ 5 0,19m 5 19 cm
150
Sabemos que a folha de papel tem uma margem de 1 cm, então o comprimento mínimo da
folha tem que ser 26 cm por 21 cm.
Alternativa d.
C3.H11
4. (Enem) A figura a seguir mostra as medidas reais de uma
aeronave que será fabricada para utilização por companhias
de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho
desse avião em escala de 1:150.
5. Sabemos que 2 000 km correspondem a
200 000 000 cm, assim:
8
1
​ ______________
   ​ 
   ​ 
5 _____________
​ 
200 000 000 25 000 000
28,5 metros
Então a escala proposta foi de 1:25 000 000.
Alternativa e.
36 metros
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas
da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que
essa folha deverá ter?
a) 2,9 cm 3 3,4 cm
d) 21 cm 3 26 cm
b) 3,9 cm 3 4,4 cm
e) 192 cm 3 242 cm
c) 20 cm 3 25 cm
C3.H11
5. (Enem) Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma
cidade A, localizada no estado de São Paulo, a uma cidade B,
localizada no estado de Alagoas, é igual a 2 000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a
distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm.
Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante
está na escala de:
a)1:250
d)1:250 000
b)1:2 500
e)1:25 000 000
c)1:25 000
C1.H3
6. (Enem)
Você pode adaptar as atividades do seu dia a dia de
uma forma que possa queimar mais calorias do que as
gastas normalmente, conforme a relação seguinte.
• Enquanto você fala ao telefone, faça agachamentos:
100 calorias gastas em 20 minutos.
• Meia hora de supermercado: 100 calorias.
• Cuidar do jardim por 30 minutos: 200 calorias.
16
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Disponível em: <http://cyberdiet.terra.com.br>. Acesso em:
27 abr. 2010 (adaptado).
Uma pessoa deseja executar essas atividades, porém, ajustando
o tempo para que, em cada uma, gaste igualmente 200 calorias.
A partir dos ajustes, quanto tempo a mais será necessário
para realizar todas as atividades?
a) 50 minutos
d) 120 minutos
b) 60 minutos
e) 170 minutos
c) 80 minutos
C5.H19
7. (Enem) A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos
pesados provavelmente surgiu com os antigos egípcios ao
construírem as pirâmides.
R
Bolt, Brian. Atividades matemáticas. Ed. Gradiva.
Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos, em
metros, a expressão do deslocamento horizontal y do bloco de pedra em função de R, após o rolo ter dado uma volta
completa sem deslizar, é:
a) y 5 R
d) y 5 2pR
b) y 5 2R
e) y 5 4pR
c) y 5 pR
6. Este exercício é resolvido por regra de três
simples.
Agachamentos: 100 cal
20 min
200 cal
x min
20 ? 200
__________
 5 40 minutos. Assim o
 ​ 
Logo x 5 ​ 
100
tempo gasto a mais em agachamentos é de
20 minutos.
Supermercado: 100 cal
30 min
200 cal
x min
30 ? 200
__________
 5 60 minutos. Assim o
 ​ 
Logo x 5 ​ 
100
tempo gasto a mais no supermercado é de
30 minutos.
Passear com o cachorro já gasta 200 calorias.
Tirar o pó dos móveis: 150 cal
30 min
200 cal
x min
30 ? 200
__________
 ​ 
 5 40 minutos. Assim o
Logo x 5 ​ 
150
tempo gasto a mais para tirar pó dos móveis é
de 10 minutos.
Caderno de competências
• Passear com o cachorro: 200 calorias em 30 minutos.
• Tirar o pó dos móveis: 150 calorias em 30 minutos.
• Lavar roupas por 30 minutos: 200 calorias.
Lavar roupas já gasta 200 calorias.
Portanto o tempo total gasto a mais é de
20 1 30 1 10 5 60 minutos.
Alternativa b.
7. Basta observar que a fórmula do comprimento
de uma circunferência de raio R é 2 ? p ? r.
Alternativa d.
8. Para responder a essa questão, vamos primeiro calcular quanto tempo Joana gasta para
cumprir toda sua rotina:
Aquecimento; 10 minutos
Descansos: 18 ? 1 5 18 minutos
Exercícios; 18 ? 0,5 5 9 minutos
Tempo total; 10 1 18 1 9 5 37 minutos
Portanto começando às 10h30 min, ela terminaria exatamente às 11h07 min, cumprindo
perfeitamente o programa de treino.
Alternativa b.
C1.H4
8. (Enem) Joana frequenta uma academia de ginástica onde faz
exercícios de musculação. O programa de Joana requer que
ela faça 3 séries de exercícios em 6 aparelhos diferentes,
gastando 30 segundos em cada série. No aquecimento, ela
caminha durante 10 minutos na esteira e descansa durante
60 segundos para começar o primeiro exercício no primeiro
aparelho. Entre uma série e outra, assim como ao mudar de
aparelho, Joana descansa por 60 segundos.
17
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9. Os eixos de simetria dividem a figura em duas
partes congruentes. No caso do vitral podemos identificar os seguintes eixos:
Alternativa d.
Suponha que, em determinado dia, Joana tenha iniciado seus
exercícios às 10h30 min e finalizado às 11h07 min. Nesse dia
e nesse tempo, Joana:
a) não poderia fazer sequer a metade dos exercícios e dispor
dos períodos de descanso especificados em seu programa.
b) poderia ter feito todos os exercícios e cumprido rigorosamente os períodos de descanso especificados em seu programa.
c) poderia ter feito todos os exercícios, mas teria de ter deixado de cumprir um dos períodos de descanso especificados em seu programa.
d) conseguiria fazer todos os exercícios e cumpriria todos os
períodos de descanso especificados em seu programa, e
ainda se permitiria uma pausa de 7 min.
e) não poderia fazer todas as 3 séries dos exercícios especificados em seu programa; em alguma dessas séries deveria ter feito uma série a menos e não deveria ter cumprido
um dos períodos de descanso.
C2.H7
Shutterstock.com/ID/BR
9. (SM) A simetria axial é muito utilizada na composição de
desenhos artísticos. Nesta simetria, parte da figura é obtida
pela reflexão da outra parte através de um eixo, chamado de
eixo de simetria. É muito comum associar esta simetria à ideia
de espelho, em que o eixo de simetria seria o próprio espelho.
Um artesão criou o vitral da figura acima. Quantos eixos de
simetria axial existem nesse vitral?
a)1
c)3
e)5
b)2
d)4
18
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C2.H6
10. O trajeto que Maria faria está indicado pelas
setas na figura abaixo:
Shutterstock.com/ID/BR
10.(SM)
Caderno de competências
E
E
D
B
D
B
C
A
C
Alternativa e.
A
11. Verificando as grandezas, temos:
operáriosprazo
10012
x10
100 10
____
​   ​  [ x 5 120 operários; como 100 ope​  x ​ 5 ___
12
rários já estão contratados, o aumento será de
20 operários.
Alternativa b.
Maria está em seu carro rosa indo a uma entrevista de emprego. Ela coloca seu destino no GPS e recebe as seguintes
informações:
- siga em frente até a próxima bifurcação;
- vire à esquerda;
- siga em frente até a próxima rua à direita;
- entre nessa rua e siga em frente;
- entre na próxima rua à esquerda;
- siga em frente;
- entre na próxima rua à esquerda;
- seu destino encontra-se à sua direita.
Qual é o ponto que corresponde ao destino de Maria?
a)A
b)B
c)C
d)D
e)E
11.(SM) Para construir um prédio em 12 meses, foram contratados 100 operários. Por
causa da urgência do proprietário, ficou estabelecido
que o prazo seria reduzido
para 10 meses.
Quantos operários a construtora precisará contratar
a mais para conseguir cumprir o prazo?
a)17
c)83
b)20
d)120
Nagy-Bagoly Arpad/Shutterstock.com/ID/BR
C4.H15 H16 H17
e)nenhum
19
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12. Vamos usar uma regra de três para calcular a
área cortada:
80 toneladas
10 000 ​m2​ ​
10 toneladas
x ​m2​ ​
10 ? 10 000
 5 1 250 ​m2​ ​
 ​ 
Logo x 5 ​  ____________
80
A única alternativa que nos fornece uma área
de 1 250 ​m2​ ​é a resposta (e).
Alternativa e.
13. Seja x o valor do orçamento e y o valor dado
por cada uma das 50 pessoas inicialmente.
Temos que:
50y 5 x 2 510
Após ingressarem mais 5 pessoas ao grupo, o
valor da cota passou a valer y 1 7. Com isso
temos que:
55(y 1 7) 5 x
Então temos um sistema de equações:
50y 2 x 5 2510
55y 2 x 5 2385
Fazendo a segunda equação menos a primeira,
obtemos:
5y 5 125
y 5 25
Portanto, a cota a ser paga por pessoa é
25 1 7 5 32.
Alternativa d.
14. Essa questão será resolvida por regra de três:
1 tonelada
200 pneus
x toneladas
20 ? 1​06​ ​ pneus
20
? 1​06​ ​
_________
 5 1​0​5​ toneladas
 ​ 
Logo x 5 ​ 
200
1 tonelada
530 kg de óleo
1​0​5​ toneladas
y kg de óleo
Logo y 5 530 ? 1​0​5​ kg 5 53 mil toneladas de
óleo.
Alternativa b.
C4.H16
12.(SM) Em um único dia, um trabalhador chega a cortar 10
toneladas de cana-de-açúcar. Sabendo que um hectare corresponde a 10 000 m
​ 2​ ​e que, em média, são produzidas cerca
de 80 toneladas de cana-de-açúcar por hectare, a área que
um trabalhador consegue cortar por dia corresponde a um
retângulo de base e altura iguais, respectivamente, a:
a) 20 m e 40 m
d) 25 m e 100 m
b) 35 m e 35 m
e) 25 m e 50 m
c) 100 m e 40 m
C4.H16
13.(Enem) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial
para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em
cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas
as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas.
Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e
cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir
com mais R$ 7,00.
De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota
calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?
a)R$ 14,00
d)R$ 32,00
b)R$ 17,00
e)R$ 57,00
c)R$ 22,00
C1.H5
14.(Enem)
Pneus usados geralmente são descartados de forma
inadequada, favorecendo a proliferação de insetos e roedores e provocando sérios problemas de saúde pública.
Estima-se que, no Brasil, a cada ano, sejam descartados
20 milhões de pneus usados. Como alternativa para dar
uma destinação final a esses pneus, a Petrobras, em sua
unidade de São Mateus do Sul, no Paraná, desenvolveu
um processo de obtenção de combustível a partir da mistura dos pneus com xisto. Esse procedimento permite, a
partir de uma tonelada de pneu, um rendimento de cerca
de 530 kg de óleo.
Disponível em: <http://www.ambientebrasil.com.br>.
Acesso em: 3 out. 2008 (adaptado).
20
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15. No texto foi dito que, para os astrônomos,
2 a.c 5 21, 1 a.c 5 0, 1 d.c 5 1. Portanto,
3 a.c 5 22 e 2 d.c 5 2.
Alternativa b.
Caderno de competências
Considerando que uma tonelada corresponde, em média, a
cerca de 200 pneus, se todos os pneus descartados anualmente fossem utilizados no processo de obtenção de combustível pela mistura com xisto, seriam então produzidas:
a) 5,3 mil toneladas de óleo.
b) 53 mil toneladas de óleo.
c) 530 mil toneladas de óleo.
d) 5,3 milhões de toneladas de óleo.
e) 530 milhões de toneladas de óleo.
C1.H2
15.(Enem) No calendário utilizado atualmente, os anos são numerados em uma escala sem o zero, isto é, não existe o ano
zero. A era cristã se inicia no ano 1 depois de Cristo (d.C.)
e designa-se o ano anterior a esse como ano 1 antes de
Cristo (a.C.). Por essa razão, o primeiro século ou intervalo de 100 anos da era cristã terminou no dia 31 de dezembro do ano 100 d.C., quando haviam decorrido os primeiros
100 anos após o início da era. O século II começou no dia 1
de janeiro do ano 101 d.C., e assim sucessivamente.
Como não existe o ano zero, o intervalo entre os anos 50 a.C.
e 50 d.C., por exemplo, é de 100 anos. Outra forma de representar anos é utilizando-se números inteiros, como fazem os
astrônomos. Para eles, o ano 1 a.C. corresponde ao ano 0, o
ano 2 a.C. ao ano 21, e assim sucessivamente. Os anos depois de Cristo são representados pelos números inteiros positivos, fazendo corresponder o número 1 ao ano 1 d.C.
Considerando o intervalo de 3 a.C. a 2 d.C., o quadro que relaciona as duas contagens descritas no texto é:
a)
Calendário
atual
Cômputo dos
astrônomos
b)
Calendário
atual
Cômputo dos
astrônomos
c)
Calendário
atual
Cômputo dos
astrônomos
3 a.C. 2 a.C.
21
0
3 a.C. 2 a.C.
22
21
3 a.C. 2 a.C.
22
21
1 a.C.
1 d.C.
2 d.C.
1
2
3
1 a.C.
1 d.C.
2 d.C.
0
1
2
1 a.C.
1 d.C.
2 d.C.
1
2
3
21
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16. Se em Netuno cabem 58 Terras, em Júpiter cabem 23 Netunos, então em Júpiter cabem
58 ? 23 5 1 334 Terras.
Alternativa b.
17. Primeiro vamos calcular a altura da menina:
64
25 5 ​ ___2 ​ 
​h​ ​
​h​2​ 5 2,56
h 5 1,6 m
Agora podemos calcular o RIP:
160
160 40 cm
 
 
​ 3   ​ 5 ____
RIP 5 _____
​   ​ 5 ​ _______
__1  ​
​d XXX
64 ​  4
​kg​​ 3  ​​ 
Alternativa e.
d)
Calendário
atual
Cômputo dos
astrônomos
e)
Calendário
atual
Cômputo dos
astrônomos
3 a.C. 2 a.C.
23
22
3 a.C. 2 a.C.
23
22
1 a.C.
1 d.C.
2 d.C.
21
1
2
1 a.C.
1 d.C.
2 d.C.
21
0
1
C1.H3
16.(Enem)
A disparidade de volume entre os planetas é tão grande que seria possível colocá-los uns dentro dos outros.
O planeta Mercúrio é o menor de todos. Marte é o segundo menor: dentro dele cabem três Mercúrios. Terra é o
único com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno é
o quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. Júpiter é o
maior dos planetas: dentro dele cabem 23 Netunos.
Revista Veja, ano 41, n. 25, 25 jun. 2008 (adaptado).
Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras cabem dentro
de Júpiter?
a)406
d)9 338
b)1 334
e)28 014
c)4 002
C1.H3
17.(Enem)
Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições
teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas.
O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o
modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação
matemática, já que a massa é uma variável de dimensões
cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares.
As fórmulas que determinam esses índices são:
massa (kg)
 ​ 
IMC 5 ​  __________ 
[altura (m)​]2​ ​
altura (cm)
 ​
 
 
RIP 5 __________
​ 
3 XXXXXXXXXX
​d  massa (kg) ​ 
Araujo, C. G. S.; Ricardo, D. R. Índice de massa corporal:
um questionamento científico baseado em evidências.
Arq. Bras. Cardiologia, v. 79, n. 1, 2002 (adaptado).
22
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28/02/14 15:33
1__
d) 20 cm/​kg​  ​  3  ​​
1__
1__
e) 40 cm/​kg​  ​  3  ​​
a) 0,4 cm/​kg​  ​  3  ​​
1__
b) 2,5 cm/​kg​  ​  3  ​​
1__
c) 8 cm/​kg​  ​  3  ​​
C4.H17
18.(Enem) A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro
quadrado de tela, 15 reais por metro linear de moldura, mais
uma taxa fixa de entrega de 10 reais.
Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa
loja, suficientes para 8 quadros retangulares (25 cm 3 50 cm).
Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares (50 cm 3 100 cm). O valor da segunda encomenda será:
a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura
e a largura dos quadros dobraram.
b)maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o
dobro.
c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram.
d)menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a
metade.
e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de
entrega será o mesmo.
18. A área de cada quadro da primeira encomenda
é de 0,25 ? 0,5 5 0,125 m
​ ​2​. O perímetro é de
2 ? 0,25 1 2 ? 0,5 5 1,5 m. Assim, o custo
por quadro será de 20 ? 0,125 1 15 ? 1,5 5 25.
Portanto, o custo da primeira encomenda será de 8 ? 25 1 10 5 210 reais.
Analogamente, para a segunda encomenda, a
área de cada quadro é de 0,5 ? 1 5 0,5 ​m2​ ​.
O perímetro é de 2 ? 0,5 1 2 ? 1 5 3 m. Assim,
o custo por quadro é de 20 ? 0,5 1 15 ? 3 5 55.
Portanto, o custo da segunda encomenda é
8 ? 55 1 10 5 450 reais. Como 450 . 420 5
5 2 ? 210.
Alternativa b.
Caderno de competências
Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a
25 kg/​m2​ ​, então ela possui RIP igual a:
19. Basta observar no gráfico que a categoria menos protegida é dos adultos entre 20 e 29 anos.
Alternativa d.
C6.H26
19.(Enem) O gráfico expõe alguns números da gripe A-H1N1.
Entre as categorias que estão em processo de imunização,
uma já está completamente imunizada, a dos trabalhadores
da saúde.
Números da campanha contra a gripe A “H1N1”
Adultos entre
20 e 29 anos
100,0%
90,0%
80,0%
70,0%
50,0%
60,0%
30,0%
40,0%
10,0%
20,0%
0,0%
Gestantes
Doentes
crônicos
Indígenas
Crianças de
6 meses a 2 anos
Trabalhadores
da saúde
Época 26 de abr. 2010 (adaptado).
Época. 26 abr. 2010 (adaptado).
23
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20. Usaremos regra de três para calcular as quantidades necessárias.
1 pessoa
0,25 kg de carne
30 pessoas
x kg de carne
Logo, x 5 30 ? 0,25 5 7,5 kg de carne.
4 pessoas
1 copo de arroz
30 pessoas
x copos de arroz
30
___
Logo, x 5 ​   ​ 5 7,5 copos de arroz.
4
1 pessoa
4 colheres de farofa
30 pessoas
x colheres de farofa
Logo, x 5 4 ? 30 5 120 colheres de farofa.
6 pessoas
1 garrafa de vinho
30 pessoas
x garrafas de vinho
30
​   ​ 5 5 garrafas de vinho.
Logo, x 5 ___
6
2 pessoas
1 garrafa de cerveja
30 pessoas
x garrafas de cerveja
30
​   ​ 5 15 garrafas de cerveja.
Logo, x 5 ___
2
3 pessoas
1 garrafa de espumante
30 pessoas
x garrafas de espumante
30
Logo, x 5 ___
​   ​ 5 10 garrafas de espumante.
3
Analisando as alternativas, concluímos que a
resposta é (e).
Alternativa e.
De acordo com o gráfico, entre as demais categorias, a que está
mais exposta ao vírus da gripe A-H1N1 é a categoria de:
a)indígenas.
b)gestantes.
c) doentes crônicos.
d) adultos entre 20 e 29 anos.
e) crianças de 6 meses a 2 anos.
C1.H4
20.(Enem)
Observe as dicas para calcular a quantidade certa de
alimentos e bebidas para as festas de fim de ano.
• Para o prato principal, estime 250 gramas de carne
para cada pessoa.
• Um copo americano cheio de arroz rende o suficiente
para quatro pessoas.
• Para a farofa, calcule quatro colheres de sopa por convidado.
• Uma garrafa de vinho serve seis pessoas.
• Uma garrafa de cerveja serve duas.
• Uma garrafa de espumante serve três convidados.
Quem organiza festas faz esses cálculos em cima do
total de convidados, independente do gosto de cada um.
Quantidade certa de alimentos e bebidas evita o desperdício da ceia.
Jornal Hoje, 17 dez. 2010 (adaptado).
Um anfitrião decidiu seguir essas dicas ao se preparar para
receber 30 convidados para a ceia de Natal. Para seguir essas orientações à risca, o anfitrião deverá dispor de:
a)120 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz,
120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de
cerveja e 10 de espumante.
b)120 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz,
120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 30 de
cerveja e 10 de espumante.
c)75 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz,
120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15
de cerveja e 10 de espumante.
d) 7,5 kg de carne, 7 copos americanos de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 30 de cerveja e
10 de espumante.
e)7,5 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz,
120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de
cerveja e 10 de espumante.
24
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21.(Enem)
Disponível em: <http://www.diaadia.pr.gov.br>.
Acesso em: 28 abr. 2010.
21. Percorrendo um terço de uma volta completa
em torno do seu centro, a figura permanece
igual. Logo, o polígono é invariante por rota360º
​   ​ 
ções de ______
 5 120º.
3
Alternativa d.
22. Basta dividir 523 milhões por 180 mil para encontrar a renda anual.
523 ? 1​0​6​
5 2 905
​ __________3 ​ 
180 ? 1​0​ ​
Agora basta dividir por 12 para saber a renda
mensal:
2 905
​ _______
 5 242,13
 ​ 
12
Portanto, a renda média é de R$ 242,00.
Alternativa b.
Caderno de competências
C2.H6
O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de:
a)458
b)608
c)908
d)1208
e)1808
C1.H3
22.(Enem)
Segundo a Associação Brasileira de Alumínio (ABAL),
o Brasil foi o campeão mundial, pelo sétimo ano seguido,
na reciclagem de latas de alumínio. Foram reciclados 96,5%
do que foi utilizado no mercado interno em 2007, o equivalente a 11,9 bilhões de latinhas. Este número significa, em
média, um movimento de 1,8 bilhões de reais anuais em
função da reutilização de latas no Brasil, sendo 523 milhões
referentes à etapa da coleta, gerando, assim, “emprego” e
renda para cerca de 180 mil trabalhadores. Essa renda, em
muitos casos, serve como complementação do orçamento
familiar e, em outros casos, como única renda da família.
Revista Conhecimento Prático Geografia, n. 22 (adaptado).
Com base nas informações apresentadas, a renda média mensal dos trabalhadores envolvidos nesse tipo de coleta gira em
torno de:
a)R$ 173,00.
b)R$ 242,00.
c)R$ 343,00.
d)R$ 504,00.
e)R$ 841,00.
25
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28/02/14 15:33
C1.H3
23. Para cada empregado temos uma arrecadação
de 678 ? 0,08 5 54,24. Multiplicando esse número por 6,3 2 2 5 4,3 milhões (número de
empregados ainda não registrados), obtemos
54,24 ? 4,3 ? 106 5 233 milhões, ou seja, aproximadamente 230 milhões.
Alternativa e.
23.(SM) Leia o texto a seguir:
Previdência quer ampliar número de empregados
domésticos com carteira assinada
Brasília – O número de empregados domésticos inscritos na Previdência Social é pequeno, pouco mais de 30%.
Na avaliação do diretor do Departamento do Regime Geral da Previdência Social, Rogério Nagamine, o registro do
trabalho doméstico tem avançado pouco no país, apesar
dos estímulos dados pelo governo.
São 6,3 milhões de empregados dos quais 2 milhões
trabalham com carteira assinada. Durante reunião do
Conselho Nacional da Previdência Social realizada hoje
(21), ele disse que o Ministério da Previdência Social planeja criar um setor só para cuidar dessa questão.
24. Analisando a soma de cada linha temos:
Soma:
Propriedade:
1a
1
1
12
2
121
4
22
3a
12321
9
32
:
:
:
:
9
12345678987654321
81
92
a
a
Alternativa d.
Disponível em: <http://agenciabrasil.ebc.com.br/noticia/2013203221/
previdencia-quer-ampliar-numero-de-empregados-domesticos-comcarteira-assinada acesso em 25/03/2013>. Acesso em: 23 jan. 2014.
Suponhamos que todos os empregados domésticos recebam
apenas o salário mínimo de R$ 678,00 por mês. Sabendo
que a alíquota do INSS para esse valor é de 8%, qual é o valor aproximado do aumento da arrecadação, caso o governo,
atinja a totalidade dos empregados registrados?
a) 2,3 mil
b) 23 mil
c) 2,3 milhões
d) 23 milhões
e) 230 milhões
C1.H2
24.(Enem) Ronaldo é um garoto que adora brincar com números.
Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.
1
1
1 2 1
1 2 3 2 1
2 3 4 3 2
...
1
Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma
propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível
26
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C1.H1
25.(Enem) O medidor de energia elétrica de uma residência,
conhecido por “relógio de luz”, é constituído de quatro pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados
conforme a figura:
Milhar
1
0
Centena
9
9
0
Dezena
1
1
0
9
9
0
1
8
8
2
2
8
8
2
3
7
7
3
3
7
7
3
5
6
6
5
4
4
5
6
26. Precisamos encontrar um pistão com diâmetro
próximo de 68 mm. Percebemos que todos pistões encontrados no ferro velho têm diâmetro
maior que 68 mm, e os pistões encontrados o
que mais se aproxima é 68,001 mm.
Alternativa e.
Unidade
2
4
25. Analisando o relógio do milhar, como seu ponteiro gira em sentido anti-horário e número ultrapassado foi o 2, então o milhar vale 2.
O relógio da centena, como seu ponteiro gira
em sentido horário e número ultrapassado foi
o 6, então a centena vale 6.
O relógio da dezena, como seu ponteiro gira
em sentido anti-horário e número ultrapassado foi o 1, então a dezena vale 1.
O relógio da unidade, como seu ponteiro gira
em sentido horário e número ultrapassado foi
o 4, então a unidade vale 4.
Alternativa a.
Caderno de competências
prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas.
A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9a linha da
sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?
a)9
d)81
b)45
e)285
c)64
6
5
4
Disponível em: <http://www.enersul.com.br>. Acesso em:
26 abr. 2010.
A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é
composto por 4 algarismos. Cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro.
O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é:
d)3 725
a)2 614
b)3 624
e)4 162
c)2 715
C1.H1
26.(Enem) O dono de uma oficina mecânica precisa de um pistão das partes de um motor, de 68 mm de diâmetro, para o
conserto de um carro. Para conseguir um, esse dono vai até
um ferro-velho e lá encontra pistões com diâmetros iguais a
68,21 mm; 68,102 mm; 68,001 mm; 68,02 mm e 68,012 mm.
Para colocar o pistão no motor que está sendo consertado, o
dono da oficina terá de adquirir aquele que tenha o diâmetro
mais próximo do que precisa.
Nessa condição, o dono da oficina deverá comprar o pistão
de diâmetro:
d) 68,012 mm
a) 68,21 mm
b) 68,102 mm
e) 68,001 mm
c) 68,02 mm
27
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27. Calculando o d​ ​1​:
119?218?317?416?515?61
1 4 ? 7 1 3 ? 8 1 2 ? 9 5 210
Agora dividimos por 11:
210
____
​   ​ o resto é igual a 1; portanto ​d1​​ 5 0
11
Calculando o d​ 2​ ​:
2 ? 10 1 3 ? 9 1 4 ? 8 1 5 ? 7 1 6 ? 6 1
1 7 ? 5 1 8 ? 4 1 9 ? 3 1 0 ? 2 5 244
Agora dividimos por 11:
244
_____
​   ​ o resto é igual a 2; portanto ​d2​ ​ 5
11
5 (11 2 2) 5 9
Alternativa a.
28. Ao girarmos a segunda ampulheta, ela contará
3 minutos e depois basta girar a primeira ampulheta e ela contará 8 minutos, com isso teremos os 11 minutos desejados.
Alternativa c.
C1.H1
27.(Enem) Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de
Pessoas Físicas (CPF) é composta por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d1d2, em
que os dígitos d1 e d2 são denominados dígitos verificadores.
Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda,
da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por
10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida,
calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das
multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 é zero,
caso contrário d1 5 (11 2 r). O dígito d2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo,
sendo d1 o último algarismo, isto é, é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso
contrário, d2 5 (11 2 s).
Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o
cartão de CPF, e, ao dar queixa da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789.
Neste caso, os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são,
respectivamente:
a) 0 e 9
c) 1 e 7
e) 0 e 1
b) 1 e 4
d) 9 e 1
C1.H4
28.(Enem) Um dos diversos instrumentos que o homem concebeu
para medir o tempo foi a ampulheta, também conhecida como
relógio de areia. Suponha que uma cozinheira tenha de marcar
11 minutos, que é o tempo exato para assar os biscoitos que
ela colocou no forno. Dispondo de duas ampulhetas, uma de 8
minutos e outra de 5, ela elaborou 6 etapas, mas fez o esquema, representado a seguir, somente até a 4a etapa, pois é só
depois dessa etapa que ela começa a contar os 11 minutos.
1a etapa
2a etapa
3a etapa
3 min
3 min
8 min 5 min
5 min
4a etapa
5 min
5a etapa
2 min
8 min
5 min
3 min
5 min
6a etapa
? ?
28
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28/02/14 15:33
A opção que completa o esquema é:
a)
6a etapa
5a etapa
apa
8 min
29. Sendo x o total de vendas, R$ 1.000,00 o salário fixo do vendedor e seu comissionamento
3% sobre o total de vendas (x), temos:
y 5 1 000 1 0,03x.
Alternativa c.
8 min
5 min
b)
6a etapa
5a etapa
apa
8 min
n
min
5 mi
n
8 min
c)
etap
pa
pa
5a etapa
8m
min
m
2 min
8 min
5a etapa
5 min
6a etapa
ap
pa
pa
2 min
5 min
8 min
e)
5 min
6a etapa
3 min
d)
Caderno de competências
5 min
6 min
m
8 min
5a etapa
6a etapa
ap
pa
8 min
2 min
5 min
8 min
m
3 min
C5 H9 H21 H23
29.(SM) Um vendedor recebe um salário fixo de R$ 1 000,00 mais
3% do total de vendas efetuadas no mês. Sendo x o total de
vendas, a função que corresponde ao salário do vendedor é:
a)y 5 1 000 1 3x
d)y 5 1 000 – 0,3x
b)y 5 1 000 1 0,3x
e)y 5 1 000 – 0,03x
c)y 5 1 000 1 0,03x
C4.H19
30.(Enem) O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta
uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100 000,00 por km construído (n), acrescidos
de um valor fixo de R$ 350 000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120 000,00 por km construído (n), acrescidos de um
valor fixo de R$ 150 000,00. As duas empresas apresentam
o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas
apenas uma delas poderá ser contratada.
29
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28/02/14 15:33
30. A primeira empresa cobra um valor de
R$ 100 000,00 por km(n) e um valor fixo de
R$ 350 000,00, assim nossa função ficaria
f(n) 5 100 000n 1 350 000.
A segunda empresa cobra um valor de
R$ 120 000,00 por km(n) e um valor fixo de
R$ 150 000,00, assim nossa função ficaria
g(n) 5 120 000n 1 150 000.
Para se tornar indiferente basta igualar
f(n) 5 g(n), assim: 100 000n 1 350 000 5
5 120 000n 1 150 000 ä
ä 100n 1 350 5 120n 1 150.
Alternativa a.
31. Primeiro calcularemos a taxa média de variação de emissão de dióxido de carbono (em
4,00 2 2,14 _____
1,86
ppm): _____________
​ 
 5 ​   ​  5 0,207.
 ​ 
9
9
Agora calcularemos a taxa média de produção
2,0 2 1,1
(em toneladas): __________
​ 
 ​ 
 5 0,1.
9
A taxa média de variação de dióxido de carbo0,207
no e produção será: _______
​   ​ 
 5 2,07.
0,1
Alternativa d.
Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a
prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas?
a)100n 1 350 5 120n 1 150
b)100n 1 150 5 120n 1 350
c)100(n 1 350) 5 120(n 1 150)
d)100(n 1 350 000) 5 120(n 1 150 000)
e)350(n 1 100 000) 5 150(n 1 120 000)
C6.H24
31.(Enem) A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido
de carbono de uma fábrica, em função do número de toneladas produzidas.
Produção
(em toneladas)
Emissão de dióxido de
carbono (em partes por
milhão – ppm)
1,1
2,14
1,2
2,30
1,3
2,46
1,4
2,64
1,5
2,83
1,6
3,03
1,7
3,25
1,8
3,48
1,9
3,73
2,0
4,00
Cadernos do Gestar II, Matemática TP3. Disponível em:
<www.mec.gov.br>. Acesso em: 14 jul. 2009.
Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção
(em toneladas) é:
a) inferior a 0,18.
b) superior a 0,18 e inferior a 0,50.
c) superior a 0,50 e inferior a 1,50.
d) superior a 1,50 e inferior a 2,80.
e) superior a 2,80.
C6.H26
32.(Enem) A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi levantada pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível associação,
30
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Casos de câncer pulmonar
Casos de câncer pulmonar dado o número de
cigarros consumidos diariamente
60
32. Observamos através do gráfico que quanto
maior for o número de cigarros consumidos por
dia, maior é a incidência de casos de câncer de
pulmão, mas o não tabagismo não exclui a possibilidade de haver câncer de pulmão, e como
não existe proporcionalidade entre os dois.
Alternativa e.
33. Para entendermos qual seria o melhor jeito,
basta montarmos uma pequena tabela abordando quanto cada um gastaria em cada pacote:
50
40
João
Maria
R$ 280,00
R$ 160,00
30
Pacote 1
20
Pacote 2
R$ 150,00
R$ 120,00
10
Pacote 3
R$ 105,00
R$ 60,00
0
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Número de cigarros consumidos diariamente
Centers for Disease Control and Prevention CDC-EIS Summer Course –
1992 (adaptado).
De acordo com as informações do gráfico:
Caderno de competências
foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre
esses, houve o estudo do número de casos de câncer em relação
ao número de cigarros consumidos por dia, cujos resultados são
mostrados no gráfico a seguir.
Observação: Tais valores foram adquiridos multiplicando o número de shows desejados pelos
valores estipulados em cada pacote e somando
ao valor fixo dos respectivos pacotes.
Com essa tabela é fácil notar que o melhor pacote para João e para Maria seria o 3, logo a
resposta correta é o item e.
Alternativa e.
a)o consumo diário de cigarros e o número de casos de
câncer de pulmão são grandezas inversamente proporcionais.
b) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não se relacionam.
c) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas diretamente proporcionais.
d) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão.
e) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas
sem proporcionalidade.
C5.H23
33.(Enem) Na cidade de João e Maria, haverá shows em uma
boate. Pensando em todos, a boate propôs pacotes para que
os fregueses escolhessem o que seria melhor para si.
‚‚ Pacote 1: taxa de 40 reais por show.
‚‚ Pacote 2: taxa de 80 reais mais 10 reais por show.
‚‚ Pacote 3: taxa de 60 reais para 4 shows, e 15 reais por
cada show a mais.
João assistirá a 7 shows e Maria, a 4. As melhores opções
para João e Maria são, respectivamente, os pacotes:
a) 1 e 2
c) 3 e 1
e) 3 e 3
b) 2 e 2
d) 2 e 1
31
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34. Para entendermos qual seria o melhor jeito,
basta montarmos uma pequena tabela abordando quanto cada um gastaria em cada empresa:
Executivo
Esposa
Empresa W
R$ 15,00
R$ 39,00
Empresa K
R$ 15,05
R$ 37,55
Empresa L
R$ 15,30
R$ 40,30
Observação: Tais valores foram adquiridos
multiplicando o número de quilômetros a serem percorridos pelos valores estipulados em
cada empresa e somando ao valor fixo das
respectivas empresas.
Alternativa b.
35. Como os quadrados após encaixados um do lado
do outro terão lados comuns, vamos pensar
em figuras formadas por três lados, como no
desenho abaixo:
(1)
Quando encaixarmos outra imagem (1) ao seu lado direito, teremos um quadrado fechado e outra figura (1) a direita, faltando somente um canudo para fechar o último quadrado.
Então, a função será dada por 3 que é o número de canudos da figura (1), multiplicado pelo
número de quadrados (ou seja Q) e somando 1
para fechar o último quadrado.
Alternativa b.
36. Sabemos pelo enunciado que em fevereiro
(mês 2, ou seja, x 5 2) tínhamos 880 605 trabalhadores, então em janeiro tínhamos
876 305 (880 605 2 4 300) e assim conseguimos montar a seguinte tabela:
Mês
Trabalhadores
Antes de começar o ano
(mês 0)
872 005
Janeiro (mês 1)
876 305
Fevereiro (mês 2)
880 605
Março (mês 3)
884 905
Abril (mês 4)
889 205
Maio (mês 5)
893 505
Junho (mês 6)
897 805
Como x é o número do mês, para que em janeiro
o número de trabalhadores seja 876 305, como
está na tabela, é necessário que se inicie em
872 005 e some 4 300 a cada mês percorrido.
Alternativa c.
C1.H4
34.(Enem) Três empresas de táxi W, K e L estão fazendo promoções: a empresa W cobra R$ 2,40 a cada quilômetro rodado e
com um custo inicial de R$ 3,00; a empresa K cobra R$ 2,25
a cada quilômetro rodado e uma taxa inicial de R$ 3,80 e, por
fim, a empresa L que cobra R$ 2,50 a cada quilômetro rodado
e com taxa inicial de R$ 2,80.
Um executivo está saindo de casa e vai de táxi para uma reunião que é a 5 km do ponto de táxi, e sua esposa sairá do hotel e irá para o aeroporto, que fica a 15 km do ponto de táxi.
Assim, os táxis que o executivo e sua esposa deverão pegar, respectivamente, para terem a maior economia são das empresas:
a) W e L
c) K e L
e) K e K
b) W e K
d) K e W
C5.H19
35.(Enem) Uma professora realizou uma atividade com seus
alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo.
A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da
quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir.
Figura I
Figura II
Figura III
Que expressão fornece a quantidade de canudos em função
da quantidade de quadrados de cada figura?
a) C 5 4Q
c) C 5 4Q 2 1
e) C 5 4Q 2 2
b) C 5 3Q 1 1
d) C 5 Q 1 3
C5.H19
36.(Enem)
O saldo de contratações no mercado formal no setor
varejista da região metropolitana de São Paulo registrou
alta. Comparando as contratações deste setor no mês de
fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento
de 4 300 vagas no setor, totalizando 880 605 trabalhadores com carteira assinada.
Disponível em: <http://www.folha.uol.com.br>. Acesso em: 26 abr.
2010 (adaptado).
32
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28/02/14 15:33
37. Observando a tabela podemos notar que o nível da água sobe 0,35 cm a cada 5 bolas colocadas no recipiente, ou seja, 0,07 cm para cada bola (pois são idênticas).
Quando tiver 5 bolas, o nível da água é de
6,35 cm, então ao retirar todas as bolas, o nível passará a ser 6 cm.
Assim nossa função será a multiplicação de
0,07 pelo número de bolas (x) e somando com
6 que é o nível inicial de água.
Alternativa e.
Caderno de competências
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano.
Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as
quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses,
janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por
diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é:
a) y 5 4 300x
b) y 5 884 905x
c) y 5 872 005 1 4 300x
d) y 5 876 305 1 4 300x
e) y 5 880 605 1 4 300x
C5.H19
37.(Enem) Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até
certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na
figura a seguir.
y
Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da
água é função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo. O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.
Número de bolas (x)
Nível da água (y)
5
6,35 cm
10
6,70 cm
15
7,05 cm
Disponível em: <www.penta.ufrgs.br>. Acesso em: 13 jan. 2009
(adaptado).
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da
água (y) em função do número de bolas (x)?
d) y 5 0,7x
a) y 5 30x
e) y 5 0,07x 1 6
b) y 5 25x 1 20,2
c) y 5 1,27x
33
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28/02/14 15:33
38. O custo da produção é dado pela função:
C(x) 5 1 800 1 30x. A receita é dada por
R(x) 5 80x. O lucro e o custo são iguais
quando 1 800 1 30x 5 80x, ou seja, x 5 36.
Portanto, para obter lucro, Joaquim precisa
vender mais de 36 rebimbocas.
Alternativa c.
39. Como a taxa de Fortaleza cresce 0,1% mais rapidamente que a de São Paulo e a diferença entre as taxas de desemprego entre ambas no
mês de fevereiro é 1,8%, temos que em
1,8 ; 0,1 5 18 meses a taxa será igual. Outra
maneira de resolver é por meio de função. A taxa de desemprego de São Paulo seria dada pela
função: f(x) 5 10,3 1 0,3x, enquanto a taxa de
desemprego de Fortaleza seria g(x) 5 8,5 1
1 0,4x. Portanto, quando ambas forem iguais,
temos: 10,3 1 0,3x 5 8,5 1 0,4x que resulta
x 5 18.
Alternativa c.
C5.H21
38.(SM) Joaquim é dono de uma microempresa que fabrica “rebimbocas da parafuseta”. O custo fixo mensal de sua empresa é
R$ 1 800,00, incluindo água, luz, aluguel, etc. O custo variável
(depende da quantidade de rebimbocas produzidas) é R$ 30,00
por unidade. Considerando que o preço de venda das rebimbocas seja de R$ 80,00 a unidade, quantas rebimbocas Joaquim
precisa vender para obter lucro com sua microempresa?
a)36
b) menos de 36
c) mais de 36
d)a empresa de Joaquim sempre dará lucro independentemente da quantidade de peças vendida.
e)a empresa de Joaquim nunca dará lucro, independentemente da quantidade de peças vendida.
C5.H21
39.(SM) Segundo estudo do Dieese, a taxa de desemprego em
sete regiões metropolitanas subiu.
Taxas de desemprego total
Regiões metropolitanas e Distrito Federal (1)
Fevereiro/2012 – Fevereiro/2013
Em porcentagem
Regiões
Fev-12
Jan-13
Fev-13
Total
10,1
10,0
10,4
Belo Horizonte
5,1
5,6
6,2
Distrito Federal
12,4
12,0
12,8
Fortaleza
8,5
8,1
8,5
Porto Alegre
7,0
6,3
6,2
Recife
11,9
12,6
12,9
Salvador
15,8
17,3
18,6
São Paulo
10,4
10,0
10,3
Fonte de pesquisa: Convênio Deade - Dieese. MTE/FAT e convênios regionais
(1) Corresponde ao total das regiões metropolitanas de Belo Horizonte,
Fortaleza, Porto Alegre, Recife, Salvador, São Paulo e Distrito Federal.
Disponível em: <http://www.dieese.org.br/analiseped/2013/201302
pedmet.pdf>. Acesso em: 23 nov. 2013.
Considerando que a taxa de desemprego continue aumentando na mesma proporção que a apresentada de janeiro a fevereiro de 2013 em São Paulo e em Fortaleza, daqui a quantos
meses as duas capitais teriam taxas iguais de desemprego?
a) 6 meses
b) 12 meses
c) 18 meses
d) 24 meses
e)as duas taxas nunca serão iguais
34
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40.(Enem) As frutas que antes se compravam por dúzias, hoje
em dia, podem ser compradas por quilogramas, existindo
também a variação dos preços de acordo com a época de
produção. Considere que, independente da época ou variação de preço, certa fruta custa R$ 1,75 o quilograma.
Dos gráficos a seguir, o que representa o preço m pago em reais
pela compra de n quilogramas desse produto é:
a)
m
d)
1,75
1,75
1
n
1
m
n
m
b)
e)
1,75
n
41. Como é dito no enunciado, a nossa função custo é uma reta de inclinação 2 e variável x.
Também sabemos que, quando x (produção) for
zero, temos um custo fixo de 7. Assim, nossa
função custo inicial é determinada por 2x 1 7.
Como houve uma redução de 12% nos custos,
então nossa função agora vale 88% do que
valia antes, ou seja, nossa função custo final
88
será (2x 1 7) ? ​ ____  ​ .
100
Por fim, para conseguirmos a função lucro que
é solicitada, basta subtrair da função venda a
função custo final, como segue:
L(x) 5 22x2 1 229,76x 2 441,84 2 ((2x 1
88
1 7) ? ____
​    ​ ) 5 22x2 1 229,76x 2 441,84 2
100
44x 154
2 (​ _____ ​ 1 ​ ____ ​ ) 5 22x2 1 229,76x 2
25
25
2 441,84 2 (1,76x 1 6,16) 5 22x2 1
1,75
1
c)
m
40. Se comprarmos 0 fruta, o valor será 0, então o
gráfico deve iniciar na origem. Sabemos também que são diretamente proporcionais, pois
quando aumentamos o número de frutas também aumentamos o valor. E por fim, sabemos
que é uma função do primeiro grau (uma reta),
já que a cada quilograma colocado o valor aumenta exatamente R$ 1,75.
Alternativa e.
Caderno de competências
C5.H20
1 228x 2 448
Alternativa a.
1
n
m
1,75
1
n
C5.H19
41.(Enem) A empresa SWK produz um determinado produto x, cujo custo de fabricação é dado pela equação de uma
reta crescente, com inclinação dois e de variável x. Se não
tivermos nenhum produto produzido, a despesa fixa é de
R$ 7,00 e a função venda de cada unidade x é dada por
22​x2​ ​ 1 229,76x 2 441,84.
Tendo em vista uma crise financeira, a empresa fez algumas
demissões. Com isso, caiu em 12% o custo da produção de
cada unidade produzida. Nessas condições, a função lucro
da empresa pode ser expressa como:
a) L(x) 5 22x2 1 228x 2 448,00
b) L(x) 5 22x2 1 227,76x 2 448,84
c) L(x) 5 22x2 1 228x 2 441,84
d) L(x) 5 22x2 1 229,76x 2 441,84
e) L(x) 5 22x2 1 227,76x 2 448,96
35
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42. Primeiro faremos a função de venda menos a
função de custo, para conseguirmos a função
de lucro, assim:
L(x) 5 180x 2 116 2 (3x2 1 232) 5 23x2 1
1 180x 2 348
Agora precisamos achar o x do vértice, ele será o valor máximo que queremos encontrar.
Pela regra de soma e produto temos que x’ 1
2b
1 x’’ 5 ​  ______
 .  Sabemos que para achar o x do
a ​
vértice basta somar as duas raízes e dividir
por 2, assim teremos o seguinte valor:
2b
______
   2 b 2 (180)
a ​
x’ 1 x’’ ​ ______
​x​v​5 ​  _________
 5 ​   ​  5 ​  ______ ​ 5 ​  __________ ​ 
5 30.
 ​ 
2
2
2a
2( 2 3)
Alternativa b.
43. Primeiro vamos verificar até qual temperatura
devemos usar a primeira equação substituindo
100 no t da primeira:
7 100
7t
​   ​ 
 1 20 5 160
​ ___ ​  1 20 5 ______
5
5
Sabemos então que usaremos a primeira equação
para verificar em qual t colocaremos no forno:
7t
7t
___
​   ​  5 28 à t 5 20
​   ​  1 20 5 48 à ___
5
5
Como 200 é maior que 160 vamos verificar em
qual t sairá do forno, dessa vez usando a segunda
equação:
2t2 16t
2t2 16t
____
​    ​ 2 ____
​   ​ 1 320 5 200 à (​ ____  ​ 2 ____
​   ​ 1
5
5
125
125
1 120) ? 125 5 0 ? 125 à 2t2 2 200t 1
1 7 500 5 0
E resolvendo a equação teremos:
2 b ± d​ XXXXXXXX
​b2​ ​ 2 4ac ​ 
t 5 ​  ___________________
  
 
 ​
5
2a
2
XXXXXXXXXXXXXXXXXXX
d
±
​
200
  
(2
200​
)
​
​
2
4(2)(7500) ​
   
  
 ​ 5
5 ​  __________________________________
2
200 ± 100
 
 
5 ​  ___________
 ​
2
Então resultará em t’ 5 150 e t’’ 5 50, mas
sabemos que não pode ser 50, senão deveríamos usar a primeira equação, teremos que o
tempo final será 150. Agora para achar o tempo de permanência no forno, basta subtrair
20 (tempo inicial) de 150 (tempo final) e teremos que o tempo de permanência foi de 130,
como consta no item d.
Alternativa d.
44. Sabendo que se trata de meia-vida, temos:
12h
. 100%
13h
. 50%
3
13h30
. __
​    ​de 50% ä 37,5%
4
14h
. 25%
Como 37,5% é aproximadamente 35%.
Alternativa d.
C5.H21
42.(Enem) A empresa WQTU Cosmético vende um determinado produto x, cujo custo de fabricação de cada unidade é
dado por 3x2 1 232, e o seu valor de venda é expresso pela
função 180x 2 116. A empresa vendeu 10 unidades do
produto x, e deseja saber quantas unidades precisa vender
para obter um lucro máximo.
A quantidade máxima de unidades a serem vendidas pela
empresa WQTU para a obtenção do maior lucro é:
a) 10
c)58
e)232
b)30
d)116
C5.H21
43.(Enem) Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir
elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de
elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo.
Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função:
7
__
​    ​t 1 20, para 0 < t , 100
5
T(t) 5 t
16
2   ​ t2 2 ____
​  5 ​ t 1 320, para t > 100
​ _____
125
[...] T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus
Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado.
Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48 8C e retirada quando a temperatura for 200 8C.
O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos,
igual a:
a)100
c)128
e)150
b)108
d)130
C6.H24
44.(Enem)
A duração do efeito de alguns fármacos está relacionada à
sua meia-vida, tempo necessário para que a quantidade original do fármaco no organismo se reduza à metade. A cada
intervalo de tempo correspondente a uma meia-vida, a quantidade de fármaco existente no organismo no final do intervalo é igual a 50 da quantidade no início desse intervalo.
36
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100
% de fármaco no organismo
80
70
60
50
40
Caderno de competências
45. De acordo com o enunciado, aplicamos a fórmula:
2
7,3 5 210,7 1 ​ __ ​  log (​Mo​ ​) ä 7,3 1 10,7 5
3
2
5 ​ __ ​  log (​Mo​ ​) ä 18 ? 3 5 2 log(​Mo​ ​) ä
3
54
ä 54 5 2 log(​Mo​ ​) ä ___
​   ​ 5 log(​Mo​ ​) ä
2
ä 27 5 log(​Mo​ ​) ä ​Mo​ ​5 1​027
​ ​
Alternativa e.
90
30
20
10
0
1
2 3 4 5 6
Número de meias-vidas
7
O gráfico anterior representa, de forma genérica, o que
acontece com a quantidade de fármaco no organismo humano ao longo do tempo.
Fuchs, F. D.; Wannma, Cher l. Farmacologia clínica. Rio de Janeiro:
Guanabara Koogan,1992. p. 40.
A meia-vida do antibiótico amoxicilina é de 1 hora. Assim, se
uma dose desse antibiótico for injetada às 12 h em um paciente, o percentual dessa dose que restará em seu organismo às 13h30 min será aproximadamente de:
a)10%
b)15%
c)25%
d)35%
e)50%
C5.H21
45.(Enem)
A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como
MMS e denotada como MW), introduzida em 1979 por
Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de
Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a
MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade.
Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. MW e M0 se relacionam pela fórmula MW 5 210,7 1
1 __
​  1 ​ log10(M0), onde M0 é o momento sísmico (usualmente
3
estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina ? cm.
O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro
de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional.
Teve magnitude MW 5 7,3.
U.S. Geological Survey. Historic Earthquakes. Disponível em:
<http://earthquake.usgs.gov>. Acesso em: 1o maio 2010 (adaptado).
U.S. Geological Survey. USGS Earthquake Magnitude Policy.
Disponível em: <http://earthquake.usgs.gov>. Acesso em: 1o maio
2010 (adaptado).
37
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28/02/14 15:34
46. Cálculo do INSS
9% de 1 800,00 5 162,00.
Para cálculo do Imposto de Renda
1 800,00 2 162,00 5 Sal. Líquido 1 638,00.
Este valor está isento de Imposto de Renda,
logo este trabalhador receberá R$ 1 638,00.
Alternativa c.
Mostrando que é possível determinar a medida por meio de
conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M0
do terremoto de Kobe (em dina ? cm)?
a)1025,10
c)1012,00
e)1027,00
b)1020,73
d)1021,65
C6.H24
46.(SM) Dependendo do valor, o salário do cidadão brasileiro
sofre o desconto de impostos como INSS e imposto de renda.
Para efetuar o cálculo do salário líquido (aquele que o trabalhador efetivamente recebe), deve-se descontar primeiramente o valor do INSS, calculado conforme a tabela abaixo:
Tabela de contribuição mensal
1. Segurados empregados, inclusive domésticos e trabalhadores avulsos
TABELA VIGENTE
Tabela de contribuição dos segurados empregados,
empregados domésticos e trabalhadores avulsos, para
pagamento de remuneração a partir de 1o de janeiro de 2013
Salário de contribuição (R$)
Alíquota para fins de recolhimento
ao INSS (%)
até 1.247,70
8,00
de 1.247,71 até 2.079,50
9,00
de 2.079,51 até 4.159,00
11,00
Disponível em: <http://www.previdencia.gov.br/
conteudoDinamico.php?id5313>. Acesso em: 25 mar. 2013.
Em seguida, este valor deve ser subtraído do valor bruto do salário, obtendo-se a base de cálculo mensal. Então, calcula-se
o imposto de renda sobre este valor, conforme a tabela abaixo:
Tabela Progressiva para o cálculo mensal do Imposto sobre a
Renda da Pessoa Física para o exercício de 2014, ano-calendário de 2013.
Base de cálculo mensal em R$
Alíquota %
Parcela a deduzir
do imposto em R$
Até 1.710,78
-
-
De 1.710,79 até 2.563,91
7,5
128,31
De 2.563,92 até 3.418,59
15,0
320,60
De 3.418,60 até 4.271,59
22,5
577,00
Acima de 4.271,59
27,5
790,58
Disponível em: <http://www.receita.fazenda.gov.br/Aliquotas/
ContribFont2012a2015.htm>. Acesso em: 25 mar. 2013.
Primeiro calcula-se a alíquota, conforme a tabela, e em seguida desconta-se a parcela a deduzir do imposto, obtendo-se o valor a ser descontado do salário.
38
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47. Primeiro vamos calcular o investimento médio de cada um:
• Brasil na França:
1 897
367 1 357 1 354 1 539 1 280 ______
   
  
 ​ 5 ​   ​  5 379,4
​ ____________________________________
5
5
• França no Brasil:
825 1 485 1 1 458 1 744 1 1 214 ______
4 726
​ _____________________________________
   
  
 ​ 5 ​   ​ 
 5 945,2
5
5
Agora subtrairemos o valor médio da França pelo do Brasil,
para vermos o quanto a mais a França investiu:
955,2 2 379,4 5 565,8
Alternativa d.
48.
C6.H25
47.(Enem) Brasil e França têm relações comerciais há mais de
200 anos. Enquanto a França é a 5a nação mais rica do planeta, o Brasil é a 10a, e ambas se destacam na economia mundial. No entanto, devido a uma série de restrições, o comércio
entre esses dois países ainda não é adequadamente explorado, como mostra a tabela seguinte, referente ao período
2003­‑2007.
Investimentos bilaterais (em milhões de dólares)
Ano
Brasil na França
França no Brasil
2003
367
825
2004
357
485
2005
354
1 458
2006
539
744
2007
280
1 214
L/kg
Quantidade (kg)
Total
Milho
1 000
100
100 ? 103 L
Trigo
1 500
100
150 ? 103 L
Arroz
2 500
100
250 ? 103 L
Carne de
boi
5 000
100
500 ? 103 L
Carne de
porco
1 700
600
10 200 ? 103 L
Total
103 kg
11 200 ? 103 L
Caderno de competências
Agora, desconta-se esse valor da base de cálculo mensal (obtida anteriormente) e assim, obterá o salário líquido.
Considerando-se um trabalhador que seja contratado por
R$ 1 800,00 de salário bruto, qual será o seu salário líquido?
a)R$ 1 602,00
d)R$ 1 656,00
b)R$ 1 631,31
e)R$ 1 800,00
c)R$ 1 638,00
11 200 ? 103L
5 11 200 L/kg
 ​  
 
Média ; ​  _____________
103kg
Alternativa b.
Disponível em: <www.cartacapital.com.br>. Acesso em: 7 jul. 2009.
Os dados da tabela mostram que, no período considerado, os
valores médios dos investimentos da França no Brasil foram
maiores que os investimentos do Brasil na França em um valor:
a) inferior a 300 milhões de dólares.
b) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 400 milhões de dólares.
c) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 500 milhões de dólares.
d) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 milhões de dólares.
e) superior a 600 milhões de dólares.
C6.H25
48.(Enem) Nos últimos anos, o aumento da população, aliado
ao crescente consumo de água, tem gerado inúmeras preocupações, incluindo o uso desta na produção de alimentos.
O gráfico mostra a quantidade de litros de água necessária
para a produção de 1 kg de alguns alimentos.
39
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Litros de água
49. Como temos cerca de 400 000 habitantes da
Paraíba na faixa salarial entre 1 e 2 salários
mínimos e 51,7% da população é formada por
mulheres, temos de encontrar 51,7% de
400 000, que equivale a 206 800 habitantes.
Alternativa d.
18 000
17 000
16 000
15 000
14 000
13 000
12 000
11 000
10 000
9 000
8 000
7 000
6 000
5 000
4 000
3 000
2 000
1 000
0
Arroz Carne Legumes Banana Óleo
de
de
boi
soja
Carne Milho
de
porco
Trigo
Alimentos (1 kg)
Com base no gráfico, para a produção de 100 kg de milho, 100 kg
de trigo, 100 kg de arroz, 100 kg de carne de porco e 600 kg de
carne de boi, a quantidade média necessária de água, por quilograma de alimento produzido, é aproximadamente igual a:
a) 415 litros por quilograma.
b) 11 200 litros por quilograma.
c) 27 000 litros por quilograma.
d) 2 240 000 litros por quilograma.
e) 2 700 000 litros por quilograma.
C6.H24
49.(SM) Os gráficos abaixo foram obtidos no Censo 2010 e referem-se ao estado da Paraíba:
Pessoas de 10 anos ou mais de idade,
por classes de rendimento nominal mensal
1.600.000
1.200.000
800.000
400.000
0
Pessoas
Sem rendimento
Até 1 salário mínimo
Mais de 1 a 2 salários mínimos
Mais de 2 a 3 salários mínimos
Mais de 3 a 5 salários mínimos
Mais de 5 a 10 salários mínimos
Mais de 10 a 20 salários mínimos
Mais de 20 salários mínimos
Pessoas de 10 anos ou mais de idade,
com rendimento
51,7%
48,3%
Homens
Mulheres
Fonte de pesquisa: Censo 2010.
Disponível em: <http://www.censo2010.ibge.gov.br/apps/mapa/..
Acesso em: 23 nov. 2013.
40
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28/02/14 15:34
C5.H21
50.(Enem) Uma indústria fabrica um único tipo de produto e
sempre vende tudo o que produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função,
simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa
obtém com a venda da quantidade q também é uma função,
simbolizada por FT. O lucro total (LT) obtido pela venda da
quantidade q de produtos é dado pela expressão LT(q) 5
5 FT(q) 2 CT(q).
Considerando-se as funções FT(q) 5 5q e CT(q) 5 2q 1 12
como faturamento e custo, qual a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?
a)0
d)4
b)1
e)5
c)3
50. Devemos ter:
FT(q) 5 CT(q)
5q 5 2q 1 12
3q 5 12
q54
Assim, a quantidade mínima de produtos que a
indústria deverá fabricar é 4.
Alternativa d.
Caderno de competências
Considerando que a distribuição de rendimentos ocorra na
mesma proporção para homens e mulheres, que quantidade
aproximada de mulheres recebe entre 1 e 2 salários mínimos
na Paraíba?
a)150 000
d)206 800
b)193 200
e)400 000
c)200 000
51. Aplicando 500,00 reais na poupança:
500 ? (1 1 0,00560) é 500 ? 1,0056 5 502,80
Aplicando 500,00 reais no CDB:
500 ? (1 1 0,00876) é 500 ? 1,00876 5
504,38, um ganho de 4,38 reais, calculando o
imposto: 4,38 ? 0,04 5 0,17
O verdadeiro montante no CDB é :
504,38 2 0,17 5 504,21
Alternativa d.
C5.H22
51.(Enem) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação
de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto
a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão
resumidas no quadro:
Poupança
CDB
Rendimento
mensal (%)
0,560
0,876
IR (imposto de
renda)
isento
4% (sobre o
ganho)
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais
vantajosa é:
a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80.
b) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56.
c) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38.
d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21.
e) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87.
41
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52. Observando a tabela, percebe-se que a função apresentada é crescente e contínua nos
intervalos dados.
Alternativa b.
53. O problema utiliza uma taxa de juros simples,
então o montante M(x) que será devolvido tem
um crescimento linear, ou seja, o seu gráfico
deve ser uma reta crescente.
Alternativa a.
C5.H20
52.(SM) Observe a tabela referente à contribuição do INSS dos
trabalhadores:
Tabela de contribuição mensal
Segurados empregados, inclusive domésticos e trabalhadores avulsos
TABELA VIGENTE
Tabela de contribuição dos segurados empregados,
empregados domésticos e trabalhadores avulsos, para
pagamento de remuneração a partir de 1o de janeiro de 2013
Salário de contribuição (R$)
Alíquota para fins de
recolhimento ao INSS (%)
até 1 247,70
8,00
de 1 247,71 até 2 079,50
9,00
de 2 079,51 até 4 159,00
11,00
Disponível em: <http://www.previdencia.gov.br/
conteudoDinamico.php?id5313.. Acesso em: 23 nov. 2013.
Considerando o eixo y o valor da contribuição1 e o eixo x o salário de contribuição2, que gráfico corresponde à contribuição mensal do INSS de um trabalhador?
a)
d)
b)
e)
c)
C5.H20
53.(Enem) Paulo emprestou R$ 5 000,00 a um amigo, a uma
taxa de juros simples de 3% ao mês. Considere x o número
de meses do empréstimo e M(x) o montante a ser devolvido
para Paulo no final de x meses.
Valor da contribuição: valor calculado dependendo da faixa salarial, conforme a
tabela dada.
2.
Salário de contribuição: valor do salário recebido pelo trabalhador sem descontos.
1.
42
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28/02/14 15:34
M(x)
M(x)
5 000
x
5 000
x
b)
e)
M(x)
5 150
M(x)
5 000
x
x
c)
M(x)
5 000
54. Chamaremos de v o valor inicial, no primeiro
mês ela perdeu 30% desse v, então agora
possui somente 0,7. No segundo mês ela ganhou 20% do que havia perdido, ou seja recuperou 0,06v (que é 0,2 ? 0,3v). E por fim ela
tirou a quantia de R$ 3 800,00, como segue na
equação:
0,7v 1 0,06v 5 3 800 à 0,76v 5 3 800 à
3 800 380 000
à v 5 ​ _______ ​  5 _________
 5 5 000.
​ 
 ​ 
0,76
76
Alternativa c.
Caderno de competências
Nessas condições, a representação gráfica correta para M(x) é:
a)
d)
55. Supondo que Afonso utilizará esses empréstimos
por apenas 1 mês:
Cartão de crédito9,37% 3 R$ 1000,00 5
5 R$ 93,70
Cheque especial7,75% 3 R$ 400,00 5
5 R$ 31,00
Empréstimo pessoal2,92% 3 R$ 600,00 5
5 R$ 17,52
Logo, ele economizará R$ 93,70 2 R$ 31,00 2
2 R$ 17,52 5 R$ 45,18
Alternativa d.
x
C4.H16
54.(Enem) Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30% do total do investimento e, no
segundo mês, recuperou 20% do que havia perdido. Depois
desses dois meses, resolveu tirar o montante de R$ 3 800,00
gerado pela aplicação.
A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor de:
a)R$ 4 222,22
d)R$ 13 300,00
b)R$ 4 523,80
e)R$ 17 100,00
c)R$ 5 000,00
C4.H17
55.(SM) Segundo a Agência Brasil, em artigo intitulado “Despesas de começo do ano levam muita gente a usar o crédito rotativo do cartão”, publicado em 30 de março de 2013, muitos brasileiros acabaram se endividando no cartão de crédito
apesar de outros tipos de empréstimo oferecerem taxas mais
convidativas, conforme a tabela abaixo:
Taxa (% ao mês)
Cartão de crédito
9,37%
Cheque especial
7,75%
Empréstimo pessoal
2,92%
Oliveira, K. Despesas do começo do ano levam muita gente a usar o
crédito rotativo do cartão. Disponível em: <http://agenciabrasil.ebc.
com.br/noticia/2013-03-30/despesas-de-comeco-do-ano-levam-muitagente-usar-credito-rotativo-do-cartao>. Acesso em: 23 nov. 2013.
43
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56. Podemos observar que a razão da PA é 2 e o primeiro termo a1 5 5, então temos que encontrar o décimo termo:
A10 5 A1 1 (n 2 1) ? 2 ä A10 5 5 1 9 ? 2 ä A10 5 23
Agora temos que descobrir a soma dos termos:
(5 1 23) ? 10
(A1 1 An) ? n
 
 
 ​ 
ä Sn 5 ​  _______________
 ​ 
ä
Sn 5 ​  ______________
2
2
28 ? 10
________
 ​ 
 ä S10 5 140
ä S10 5 ​ 
2
Alternativa e.
57. Observando o problema temos que as moedas são depositadas na seguinte ordem 1, 5, 10, 25 e 50, então no final de
5 dias temos um total de 0,91 centavos. Dividimos o monte
por 0,91 a fim de descobrir quantos dias se passaram:
95,05
_______
 ​  5 104 grupos de 5 dias e um resto de 0,41 centavos, e
​ 
0,91
para termos 0,41 sabemos que 0,01 1 0,05 1 0,10 1 0,25 5
5 0,41, então a última moeda depositada foi a de 25 centavos.
Alternativa d.
58. Esquematizando a situação e usando proporcionalidade de
lados, temos:
BC
AB AC ___
____
​   ​ 5 ​   ​ 
​    ​ 5 ___
AD DE BE
Para descobrirmos o tamanho total da rampa temos:
2,2 m _______
BC
AC BC
___
   ​ ä 7,04 m 5 0,8 m ? BC ä
​   ​ ä ​ _______ 
 ​ 5 ​ 
​   ​ 5 ___
DE BE
0,8 m 3,2 m
ä BC 5 8,8 metros
Então, para descobrirmos quanto falta para o paciente andar, é preciso subtrair 3,2 metros, assim temos 5,6 metros.
Alternativa d.
Afonso tem uma dívida de R$ 1 000,00 no cartão de crédito.
Para quitá-la, ele resolveu contratar um empréstimo pessoal de
R$ 600,00 e usar o cheque especial para o restante. Que valor
aproximado ele economizará?
a)R$ 25,00
b)R$ 37,00
c)R$ 41,60
d)R$ 45,00
e)Ele não economizará, haverá um acréscimo de cerca de
R$ 10,00.
C1.H2.
56.(SM) Em uma fábrica, a produção varia de acordo com os
dados abaixo:
1o mês: 5 peças
2o mês: 12 peças
3o mês: 21 peças
4o mês: 32 peças
Seguindo esse mesmo padrão, qual será a produção no 10o mês?
a)60
c)96
e)140
b)77
d)117
C1.H2
57.(Enem) Uma pessoa decidiu depositar moedas de 1, 5, 10,
25 e 50 centavos em um cofre durante certo tempo. Todo
dia da semana ela depositava uma única moeda, sempre nesta ordem: 1, 5, 10, 25, 50, e, novamente, 1, 5, 10, 25, 50,
assim sucessivamente.
Se a primeira moeda foi depositada em uma segunda-feira,
então essa pessoa conseguiu a quantia exata de R$ 95,05
após depositar a moeda de:
a) 1 centavo no 679o dia, que caiu numa segunda-feira.
b) 5 centavos no dia 186o, que caiu numa quinta-feira.
c) 10 centavos no dia 188o, que caiu numa quinta-feira.
d) 25 centavos no dia 524o, que caiu num sábado.
e) 50 centavos no dia 535o, que caiu numa quinta-feira.
C2.H8
58.(Enem) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre
a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma
altura de 0,8 metro.
44
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A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar
para atingir o ponto mais alto da rampa é:
a) 1,16 metros
c) 5,4 metros
e) 7,04 metros
b) 3,0 metros
d) 5,6 metros
59. Da semelhança de triângulos temos:
2
__
​   ​ d’
B 2
1
B 2d’
B 3
​   ​ é ​ __  ​ 5 __
​   ​  ? d’ ? __
​    ​  é ​ __  ​ 5 ____
​   ​ 
​ __  ​ 5 ____
A
A 3
A 3C
C
C
Alternativa d.
Caderno de competências
C2.H8
59.(Enem) A fotografia mostra uma turista aparentemente beijando a esfinge de Gizé, no Egito.
A figura a seguir mostra como, na verdade, foram posicionadas a câmera fotográfica, a turista e a esfinge.
Posição da
esfinge
Posição da
turista
d’
Posição da
câmera
d
c
a
b
Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia, verifica-se que a medida do queixo até o alto da cabeça da turista
é igual a __
​ 2  ​da medida do queixo da esfinge até o alto da sua
3
cabeça. Considere que essas medidas na realidade são representadas por d e d’, respectivamente, que a distância da
esfinge à lente da câmera fotográfica, localizada no plano horizontal do queixo da turista e da esfinge, é representada por
b, e que a distância da turista à mesma lente, por a.
A razão entre b e a será dada por:
____ ​ 
​  d’
d)​ __ab ​ 5 ​  2d’
a)​ __ab ​ 5 ___
c ​ 
3c
b
b
____  ​
____ ​  
b)​ __a ​ 5 ​  2d
e)​ __a ​ 5 ​  2d’
c
3c
3d’
c)​ __ab ​ 5 ​ _____ ​ 
2c
45
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28/02/14 15:34
60. Nesse exercício é preciso relembrar o conceito
de tangente, recordando que
cateto oposto
tan u 5 __________________
​ 
  
  
 ​. Em nosso exercício, a
cateto adjacente
altura denominada por h é o cateto oposto ao
ângulo de 60º. Sabendo também que
tan 60º 5 d​ XX
3 ​ e usando d​ XX
3 ​ 5 1,73, então:
h
_______
​dXX
3 ​ 5 ​     ​ ä d​ XX
3 ​ ? 1,8 km 5 h ä h 5 3,114 km,
1,8 km
que é aproximadamente 3,1 km.
Alternativa c.
61. Perigeu ä r mínimo ä menor denominador ä
ä máximo cos (0,06 t)
Apogeu ä r máximo ä maior denominador ä
ä mínimo cos (0,06 t)
Usando os conhecimentos sobre a função trigonométrica cosseno, temos:
5 865
5 865
​   
y 5 __________________
   ​ ä y 5 _______________
​ 
   
 ​ ä
1 1 0,15 ? ( 2 1)
1 1 ( 2 0,15)
5 865
 ​ ä ​yapogeu
​ ​ 5 6900
​ 
ä y 5 ______
0,85
5 865
5 865
5 865
   ​ 
​ 
  ​  
​ 
 ​  
 ä
ä y 5 _________
ä y 5 ______
y 5 ____________
​ 
1,15
1 1 0,15 ? 1
1 1 0,15
ä ​yperigeu
​ ​ 5 5 100
Somando o apogeu com o perigeu, temos 6 900 1
1 5 100 5 12 000.
Alternativa b.
C2.H8
60.(Enem)
Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na
região de Presidente Prudente, assustando agricultores da
região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus,
desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e
Itália, para a medição do comportamento da camada de
ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.
Disponível em: <http://www.correiodobrasil.com.br>.
Acesso em: 2 maio 2010.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma
estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob
um ângulo de 608; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido,
conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 308.
Balão
60°
1,8 km
30°
A
3,7 km
B
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
a) 1,8 km
d) 3,7 km
b) 1,9 km
e) 5,5 km
c) 3,1 km
C5.H21
61.(Enem) Um satélite de telecomunicações, t minutos após
ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do
centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r
em função de t seja dado por
5 865
  
   ​
r(t) 5 ​  ______________________________
1 1 0,15 ? cos (0,06t)
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele
precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S.
46
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C2.H8
62.(Enem) O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo
94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em
BC ​ , Antônio demarcou uma área quadrada no vérque AB 5 ​ ____
2
tice A, para a construção de sua residência, de acordo com o
desenho, no qual AE 5 ____
​  AB ​  é lado do quadrado.
5
B
A
62. Pelo enunciado, temos que o lado AE 5 x,
AB 5 5x, BC 5 10x, e a área total é igual a
AB ? BC 5 5x ? 10x 5 50x2; então, 50x2 é
100% da área, mas temos que deixar 94%
mantida como área de preservação ambiental.
Isso implica que temos uma área de construção igual a 6%. Se 100% 5 50x2 ä x2 5 2% e
isso implica que 6% 5 3x2, temos que é necessário triplicar a área do quadrado.
Alternativa c.
Caderno de competências
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o
valor de:
a) 12 765 km
d) 10 965 km
b) 12 000 km
e) 5 865 km
c) 11 730 km
63. A área do trapézio na figura I:
? 2,5
(30 1 20) ? 2,5 50
  
 5 62,5 m2
5 ​  _________
 ​ 
 ​ 
A 5 ​  _________________
2
2
Sabemos que Q 5 A ? v e que Q 5 1 050 m3/s,
então, 1 050 m3/s 5 62,5 m2 ? v ä v 5 16,8 m/s.
Usando a suposição de que a velocidade não
se altera.
A área do trapézio da figura II:
(49 1 41) ? 2
 
5 90 m2
A 5 ​  ______________
 ​ 
2
Dessa forma:
Q 5 90 m2 ? 16,8 m2/s 5 1 512 m3/s
Alternativa d.
C
E
D
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente
o limite determinado pela condição se ele:
a) duplicasse a medida do lado do quadrado.
b) triplicasse a medida do lado do quadrado.
c) triplicasse a área do quadrado.
d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.
e) ampliasse a área do quadrado em 4%.
C2.H8
63.(Enem) A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos,
são construídas canaletas para controlar o fluxo de água.
Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma
de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1 050 m3/s. O cálculo da vazão, Q em m3/s, envolve o produto da área A do setor
transversal (por onde passa a água), em m2, pela velocidade
da água no local, v, em m/s, ou seja, Q 5 Av.
Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes.
47
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Figura I
64. A área de um campo de futebol é dada da seguinte forma: 90 ? 120 5 10 800 m2; a área
aproximada do Pantanal é 150 355 km2 5
5 150 355 ? 1​06​ ​ m2. Dessa forma, dividimos:
150 355 ? 1​06​ ​  m2
__________________
  
 ​  
> 14 ? 1​0​6​
​ 
10 800  m2
Alternativa e.
​ 1​​, o
65. Chamaremos o centro do círculo de ​H1​​de O
centro de ​H​2​de O
​ 2​ ​, e as intersecções dos dois
círculos de A e B. Assim, calcularemos o setor
circular A​O​1​B, somaremos com o setor A​O2​ ​B e
depois retiraremos o losango A​O​1​B​O2​ ​. Dessa forma, teremos a área desejada. De acordo com a
figura, o losango em questão tem todos os lados iguais, (todos medem o raio das circunferências), logo ele é formado por dois triângulos
equiláteros. Sabemos que os triângulos equiláteros têm três ângulos de 60º; logo, o ângulo
2p
do setor circular é 120º, ou ____
​   ​.  
3
Fazendo as contas a partir do que foi dito acima:
2p
2p
____
​   ​  ? R2 ​ ____ ​  ? R2
2 ? R2 ? d​ XX
3 ​ 
3
3
​  _________
 1 ​  _________
 2 ​  ____________
 ä
 ​ 
 ​ 
 ​ 
4
2
2
2
2
d
XX
​ 3 ​ ? R
2p ? R
 2 ​  ________
 
 
 ​ 
 ​
ä ​  ________
3
2
Alternativa a.
30 m
2,5 m
20 m
Figura II
49 m
2,0 m
41 m
Disponível em: <www2.uel.br>.
Na suposição de que a velocidade da água não se alterará,
qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta?
a) 90 m3/s
c) 1 050 m3/s
e)2 009 m3/s
b) 750 m3/s
d) 1 512 m3/s
C2.H8
64.(Enem) O quadro apresenta informações da área aproximada
de cada bioma brasileiro.
Área aproximada
(km2)
Área/Total
Brasil
Amazônia
4 196 943
49,29%
Cerrado
2 036 448
23,92%
Mata Atlântica
1 110 182
13,04%
Caatinga
844 453
9,92%
Pampa
176 496
2,07%
Pantanal
150 355
1,76%
Biomas continentais
brasileiros
Área total Brasil
8 514 877
Disponível em: <www.ibge.gov.br>. Acesso em: 10 jul. 2009
(adaptado).
É comum em conversas informais, ou mesmo em noticiários,
o uso de múltiplos da área de um campo de futebol (com as
medidas de 120 m 3 90 m) para auxiliar a visualização de
áreas consideradas extensas.
Nesse caso, qual é o número de campos de futebol correspondente à área aproximada do bioma Pantanal?
a)1 400
c)140 000
e)14 000 000
b)14 000
d)1 400 000
C5.H19
65.(Enem) Dois holofotes iguais, situados em H1 e H2, respectivamente, iluminam regiões circulares, ambas de raio R.
Essas regiões se sobrepõem e determinam uma região S de
maior intensidade luminosa, conforme figura.
48
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R
2
Área do setor circular Asc 5 _____
​  aR ​,  
2
a em radianos.
A área da região S, em unidades de área, é igual a:
H2
S
R
66. Do enunciado temos que a figura S representa
a medida da área dos triângulos congruentes
MNC, BPM, MNP e PAN:
B
a
c
2
3 ​ R2
​dXX
___2 ​ 
_______
______2  ​ 2 ​  R
 2 ​  _______
 
c)​ pR
a)​  2pR
 ​ 
 ​ 
8
3
2
12
2
2
d
XX
3 ​
 
)
R
(2p
2
3​
pR
  d)​  ______ ​
  
  
 ​
b)​  ___________________
12
2
2
______ ​
  
e)​ pR
3
P
c
A
C2.H8
66.(Enem) Em canteiros de obras de construção civil é comum
perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento
e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve
começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas
algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que,
das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos
lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em
que as estacas foram indicadas por letras.
S
S
M
b
a
S
c
b
a
S
b
C
N
1
MN 5 __
​    ​B  A
2
1
PM 5 ​ __  ​A  C
2
1
PN 5 __
​    ​B  C
2
Dessa forma, a área a ser concretada é igual a
3 S.
Alternativa e.
Caderno de competências
H1
67. O produto das três dimensões de qualquer
objeto é o volume.
Alternativa b.
B
M
P
A
N
C
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto.
Nessas condições, a área a ser calçada corresponde:
a) à mesma área do triângulo AMC.
b) à mesma área do triângulo BNC.
c) à metade da área formada pelo triângulo ABC.
d) ao dobro da área do triângulo MNC.
e) ao triplo da área do triângulo MNC.
C3.H12
67.(Enem) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos
maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular,
de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue.
1,3 m
2,5 m
0,5 m
49
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68 Desconsiderando os 10 cm de cada medida da carroceria do
caminhão — pois não conseguiríamos colocar nenhuma caixa
no local — e calculando o volume da carroceria do caminhão,
temos que vale 20 m3 e cada caixa tem 1 m3 de volume.
Dessa forma, teríamos que fazer 12 viagens.
Alternativa c.
69.
Cilindros
Área lateral
AL (m2)
Volume
V (m3)
AL
___
​   ​ 
V
I
AL5 2 ? 3 ? 2 ? 6
AL572
V5 3 ? 2 ? 6
V572
72
___
​   ​ 5 1
72
II
AL5 2 ? 3 ? 2 ? 8
AL5 96
V5 3 ? 22 ? 8
V596
96
___
​   ​ 5 1
96
III
AL5 2 ? 3 ? 3 ? 8
AL5 144
V5 3 ? 32 ? 8
V5 216
144 2
​ ____ ​ 5 __
​   ​ 
216 3
2
Alternativa d.
O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria
na medida da grandeza:
a)massa.
c)superfície.
e)comprimento.
b)volume.
d)capacidade.
C2.H8
68.(Enem) Considere um caminhão que tenha uma carroceria na
forma de um paralelepípedo retângulo, cujas dimensões internas são 5,1 m de comprimento, 2,1 m de largura e 2,1 m de altura. Suponha que esse caminhão foi contratado para transportar
240 caixas na forma de cubo com 1 m de aresta cada uma e que
essas caixas podem ser empilhadas para o transporte.
Qual é o número mínimo de viagens necessárias para realizar
esse transporte?
a) 10 viagens
c) 12 viagens
e) 27 viagens
b) 11 viagens
d) 24 viagens
C2.H9
69.(Enem) Uma empresa vende tanques de combustíveis de formato cilíndrico, em três tamanhos, com medidas indicadas
nas figuras. O preço do tanque é diretamente proporcional à
medida da área da superfície lateral do tanque.
4m
4m
8m
(II)
6m
(I)
6m
8m
(III)
50
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O dono de um posto de combustível deseja encomendar um
tanque com menor custo por metro cúbico de capacidade de
armazenamento. Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo
dono do posto? (considere p ù 3)
a) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de ​  1__  ​.
3
4
b) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de ​ ___  ​.
3
3
c) II, pela relação área/capacidade de armazenamento de ​ ___  ​.
4
2
__
d) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de ​    ​.
3
7
e) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de ​  ____   ​.
12
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70.(Enem)
É possível usar água ou comida para atrair as aves e
observá-las. Muitas pessoas costumam usar água com
açúcar, por exemplo, para atrair beija-flores. Mas é importante saber que, na hora de fazer a mistura, você deve
sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de
água. Além disso, em dias quentes, precisa trocar a água
de duas a três vezes, pois com o calor ela pode fermentar
e, se for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O excesso de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o bico
da ave fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso pode
até matá-la.
70. O volume do copo é igual a V 5 3 ? 22 ? 10 5 120 ml.
A receita requer 5 partes de água para cada
parte de açúcar. Isso implica que o volume de
5
5
água usado seja ​ __ ​ V ä​ __ ​  ? 120 5 100 ml.
6
6
Alternativa c.
71. VC 5 volume do copinho
VA 5 volume da água a ser usada
VL 5 volume da leiteira
VC 5 p ? 22 ? 4 ä VC 5 16p
1
VA 5 20 ? __
​    ​ ? p ? 22 ? 4 ä VA 5 160p
2
VL 5 p ? 42 ? 20 ä VL 5 320p
VL
VL
Dessa forma, temos que VA 5 ___
​   ​ e VC 5 ___
​    ​. 
2
20
Alternativa a.
Caderno de competências
C2.H8
Ciência Hoje das Crianças. FNDE: Instituto Ciência Hoje, ano 19,
n. 166, mar. 1996.
Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para
atrair beija-flores. O copo tem formato cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro. A quantidade de
água que deve ser utilizada na mistura é cerca de (utilize p 5 3):
a) 20 mL
c) 100 mL
e) 600 mL
b) 24 mL
d) 120 mL
C3.H14
71.(Enem) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa
fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa
reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma
leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.
8 cm
4 cm
20 cm
4 cm
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher
os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona
Maria deverá:
a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.
b)encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume
20 vezes maior que o volume do copo.
51
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72. Como a camada de concreto tem 20 cm 5 0,2 m,
o raio da manilha, que era de 1 m, passa a ser
de 1,2 m. Agora vamos fazer a subtração dos
volumes:
V 5 3,1 ? (1,2)2 ? 4 2 3,1 ? 12 ? 4 ä
ä V 5 17,856 2 12 ä V 5 5,456 m3
Como o preço do concreto é 10 reais por metro
cúbico:
1 m3 ä 10 ? 5,456 5 54,56 reais.
Alternativa d.
73. A figura representa um plano a que intercepta
as 5 faces de uma pirâmide de base quadrada,
determinando assim o pentágono ABCDE.
a
D
C
E
B
A
Alternativa c.
c)encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume
10 vezes maior que o volume do copo.
d)encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume
10 vezes maior que o volume do copo.
e)encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume
10 vezes maior que o volume do copo.
C2.H8
72.(Enem) Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro
com 2 m de diâmetro e 4 m de altura (de espessura desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma camada de
concreto, contendo 20 cm de espessura.
Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00
e tomando 3,1 como valor aproximado de p, então o preço
dessa manilha é igual a:
a)R$ 230,40
c)R$ 104,16
e)R$ 49,60
b)R$ 124,00
d)R$ 54,56
C2.H9
73.(Enem) Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano. Após
fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele
concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal.
Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão?
a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas
laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados.
b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares
e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada
face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados.
c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta.
Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono
obtido nessa interseção tem 5 lados.
d)O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o
polígono tem 5 lados.
e) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao número de
arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados.
52
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C2.H7
X
XXX e DC​
74. Os cortes nas arestas ​AB​
​ X são iguais e os
74.(Enem) Uma indústria fabrica brindes promocionais em forma de pirâmide. A pirâmide é obtida a partir de quatro cortes
em um sólido que tem a forma de um cubo. No esquema,
estão indicados o sólido original (cubo) e a pirâmide obtida
a partir dele.
75. O bebedouro 3 é um semicilindro circular com
100 cm de comprimento; sua base é um semicírculo de diâmetro igual a 60 cm.
Alternativa e.
Caderno de competências
O
O
C
D
A
XX e AD​
X​ XX são iguais.
cortes nas arestas ​BC​
Alternativa e.
A
B
C
D
B
Os pontos A, B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os mesmos. O ponto O é central na face superior do cubo. Os quaXX 
XX 
X​ XX e ​XCD​
tro cortes saem de O em direção às arestas ​XAD​
, XBC​
​ XX 
, AB​
,
nessa ordem. Após os cortes, são descartados quatro sólidos.
Os formatos dos sólidos descartados são:
a) todos iguais.
b) todos diferentes.
c) três iguais e um diferente.
d) apenas dois iguais.
e) iguais dois a dois.
C2.H7
75.(Enem) Alguns testes de preferência por bebedouros de água
foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1
e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura
igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e
60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é um semicilindro,
com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de
largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura.
120 cm
60 cm
60 cm
Bebedouro 1
60 cm
Bebedouro 2
60 cm
0
10
cm
30 cm
Bebedouro 3
A escolha do bebedouro. In: Biotemas. v. 22, n. 4, 2009 (adaptado).
53
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Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa,
qual das figuras a seguir representa uma planificação para
o bebedouro 3?
a)
d)
100 cm
60 cm
60 cm
100 cm
60 cm
b)
100 cm
e)
60 cm
60 cm
100 cm
c)
100 cm
60 cm
60 cm
76. Inicialmente vamos calcular o volume do cone
com a fórmula dada, sabendo que a altura do
cone é 6 cm e o raio é 5 cm:
p ? 52 ? 6
​V​cone​ 5____________
​ 
 5 50p cm3
 ​ 
3
Sabemos assim que o volume que haverá no
cone após virarmos a figura de cabeça para
baixo será de 50p cm3, o volume total no cilindro, que era de 625p cm3, agora passa a
ser 575p cm3. Temos que a fórmula de volume
do cilindro é pr2 h e que o raio vale 5 cm, então vamos verificar qual a altura do líquido no
cilindro utilizando a seguinte igualdade:
pr2 h 5 575p à 25p? h 5 575p à h 5
575p
5 _______
​ 
 ​  
5 23 cm
25p
Agora descobrimos que a altura do liquido no
cilindro da figura 2 é de 23 cm e como é dado
que o cilindro mede 30 cm conseguimos facilmente calcular que a diferença entre a superfície do líquido até o fundo do vasilhame é 7 cm.
Alternativa b.
C2.H8
76.(Enem) Um vasilhame na forma de um cilindro circular reto
de raio da base de 5 cm e altura de 30 cm está parcialmente
ocupado por 625p cm3 de álcool. Suponha que sobre o vasilhame seja fixado um funil na forma de um cone circular reto
de raio da base de 5 cm e altura de 6 cm, conforme ilustra a
figura 1. O conjunto, como mostra a figura 2, é virado para
baixo, sendo H a distância da superfície do álcool até o fundo do vasilhame.
2
h 
​  pr  ​
Volume do cone: Vcone 5 _______
3
Fundo do
vasilhame
5 cm
6 cm
h
30 cm
30 cm
5 cm
Figura 1
6 cm
Figura 2
54
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28/02/14 15:34
C2.H7
77.(Enem) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha
muito usado em países orientais.
Disponível em: <http://mdmat.psico.ufrgs.br.>. Acesso em:
1o maio 2010.
Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de:
a)pirâmide
d) tronco de cone
b)semiesfera
e)cone
c)cilindro
C2.H8
78.(Enem) Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de
raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las. Sabendo que a capacidade da caixa é de 13 824 cm3,
então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a:
a)4
c)16
e)32
b)8
d)24
C2.H8
79.(Enem) Um artista plástico construiu, com certa quantidade de
massa modeladora, um cilindro circular reto cujo diâmetro da
base mede 24 cm e cuja altura mede 15 cm. Antes que a massa
secasse, ele resolveu transformar aquele cilindro em uma esfera.
4pr3
Volume da esfera: Vesfera 5 _______
​   ​
 
 
3
Analisando as características das figuras geométricas envolvidas, conclui-se que o raio R da esfera assim construída é igual a:
a)15
c)24
60 ​ 
e)6​3d XXX
3 XXX
b)12
d)3​d  60 ​ 
77. Vamos verificar todos os itens dados para verificar ao certo qual o único que faz a relação
correta com o desenho:
a. p ara ser considerada uma pirâmide seria
necessário que fosse composta por triângulos ligados entre si e sua base ser um polígono, ou seja, uma figura plana cujo número de lados é limitado.
b. para ser considerada uma semiesfera seria
necessário que fosse a metade de uma esfera, que não é o caso.
c. para ser considerada um cilindro não poderia ter aquela ponta da sombrinha.
d. também não pode ser tronco de cilindro,
pois tronco de cilindro também é um cilindro, e já verificamos no item anterior que
não é cilindro.
e. a ssim por exclusão temos que a sombrinha
representa um cone.
Alternativa e.
Caderno de competências
Considerando-se essas informações, qual é o valor da distância H?
a) 5 cm
c) 8 cm
e) 18 cm
b) 7 cm
d) 12 cm
78. Sabemos que o melhor modo de dispor as esferas é uma exatamente acima da outra ou
exatamente do lado em relação a caixa que
estão. Quando forem dispostas dentro da caixa, cada esfera vai ocupar o espaço de um
cubo de 12 cm de lado. Nos é dado que o volume da caixa é 13 824 cm3 e sabemos que o volume de um cubo é dado pelo lado do cubo
elevado a três, assim:
3 3
3
l3 5 13 824 à ​d XXX
l  ​ 5
  ​d XXXXX
13 824 ​ 
à l 5 24
Sabendo que o lado da caixa é de 24 cm e que
cada esfera vai ocupar espaço de cubos de 12 cm
de lado, então podemos concluir que vai caber
duas esferas de altura, multiplicado por duas de
profundidade e multiplicado por duas de base,
assim teremos oito esferas dentro da caixa.
Alternativa b.
79. Como o diâmetro é 24 cm, então o raio será
12 cm, o volume do cilindro será dado pela área
da base (que é 122 ? p, ou seja, 144p cm2) vezes a altura. Assim o volume será:
V 5 144p ? 15 5 2160p
Conseguimos o volume de toda a massa. Agora
utilizando a fórmula dada de volume da esfera
vamos verificar qual o raio que conseguimos
com esse volume, igualando esse volume à fórmula a seguir:
4pr3
 ​  à 2 160p ? 3 5 4pr3 à
2 160p 5 ​ ______
3
6 480p
3
 
 5 r3 à r3 5 1 620 à r 5 ​d XXXXX
1 620 ​ 
à ________
​ 
 ​
4p
Se fatorarmos 1 620 teremos que 1 620 5 2 ? 2 ?
? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 5 5 22 ? 33 ? 3 ? 5. Após feito is3
1 620 ​ 
5
so, podemos reescrever r como r 5 d​ XXXX
3 2
3
XXXXXXX
XXX
5 3 ? d​ 2 ? 3 ? 5 ​ 
5 3 ? d​ 60 ​. 
Assim concluímos que o item certo é o d.
Alternativa d.
55
SPM_VU_LA_CAD_COMPETENCIAS_034A055.indd 55
28/02/14 15:34
80. Para descobrirmos a altura pedida basta igualar os dois volumes, lembrando que devemos
1
multiplicar o volume da esfera por ​ __  ​,  já que
2
pelo desenho temos uma semiesfera, e substituir os raios, como segue:
pR2h
1 4pR3 ______
1
​ ​ 5 ​Vcone
​ ​ à __
​    ​ ? ______
​   ​ 
 5 ​   ​ 
 à
​ __  ​ ? V​ esfera
2
2
3
3
à 4 ? p ? 33 5 p ? 32 ? h à 2 ? 33 5 32 ? h à
à2?35hàh56
Alternativa b.
81. Vamos verificar todos os itens para saber qual
deles não é possível encaixar na figura do
cubo:
a. esta imagem pode ser obtida na segunda fileira de peças do cubo, já que não sabemos
a cor das peças contidas no interior do cubo.
b. esta imagem pode ser obtida na segunda fileira de peças do cubo, já que não sabemos a
cor das peças contidas no interior do cubo.
c. esta imagem pode ser obtida na segunda fileira de peças do cubo, já que não sabemos
a cor das peças contidas no interior e no
fundo da imagem cedida.
d. Não existe a possibilidade de haver tal disposição das peças.
e. esta imagem pode ser obtida na segunda fileira de peças do cubo, já que não sabemos
a cor das peças contidas no interior do cubo.
Alternativa d.
C2.H8
80.(Enem) Em um casamento, os donos da festa serviam
champanhe aos seus convidados em taças com formato de
um hemisfério (figura 1), porém um acidente na cozinha
culminou na quebra de grande parte desses recipientes.
Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro
tipo com formato de cone (figura 2). No entanto, os noivos
solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de
taças fosse igual.
R 5 3 cm
R 5 3 cm
h
Figura 1
Figura 2
4
Considere: Vesfera 5 ___
​   ​ pR3 e Vcone 5 __
​  1  ​ pR2h
3
3
Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida
completamente cheia, a altura do volume de champanhe que
deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de:
a)1,33
d)56,52
b)6,00
e)113,04
c)12,00
C2.H7
Shutterstock.com/ID/BR
81.(SM) Um publicitário criou como logomarca de uma empresa
o cubo abaixo. Sabendo que o plano de secção mostrado na
figura é um eixo de simetria do cubo, ou seja, a reta que divide a figura em duas partes congruentes, semelhante a um
espelho, qual a única figura que NÃO pode ser encontrada na
secção mostrada?
56
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c)
b)
d)
e)
82. Vamos ordenar e obter o rol:
​( 700, 700, 700, 700, 850, 850, 850, 850, 850,
850, 850, 850, 1 000, 1 000, 1 000, 1 000, 1 000,
1 500, 1 500, 3 000 )​. Temos 21 funcionários na
empresa. A mediana é o elemento central do
rol que coincide com a moda.
Alternativa b.
83. Ordenando todos os 7 valores da tabela para
obter o rol, determinamos a mediana, termo
central do rol, uma vez que há um número ímpar de dados nesse conjunto, ou seja, 83,00.
Alternativa d.
Caderno de competências
a)
C2.H7
82.(SM) Uma empresa fez um levantamento dos salários de
seus funcionários, obtendo a seguinte tabela:
Salário
Frequência
R$ 700,00
4
R$ 850,00
8
R$ 1 000,00
5
R$ 1 500,00
2
R$ 3 000,00
1
Sobre os valores de média, moda e mediana desse levantamento, podemos concluir que:
a) a média salarial é R$ 1 000,00.
b) a moda e a mediana são iguais.
c) a média e a mediana são iguais.
d) a média e a moda são iguais.
e) os valores da média, moda e mediana são todos diferentes.
C7.H27
83.(Enem) Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em
reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos
anos 2007 e 2008.
Mês
Cotação
Ano
Outubro
R$ 83,00
2007
Novembro
R$ 73,10
2007
Dezembro
R$ 81,60
2007
Janeiro
R$ 82,00
2008
Fevereiro
R$ 85,30
2008
Março
R$ 84,00
2008
Abril
R$ 84,60
2008
57
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84. Sabemos que a moda é o valor que mais aparece e como temos pela tabela dada que três valores dos cinco valem dois, então a moda é 2.
A mediana é a medida de tendência central do
conjunto. Dado que a média é dois, então temos três opções de conjuntos:
1a – 2, 2, 2, 1, 3
2a – 2, 2, 2, 2, 2
3a – 2, 2, 2, 3, 1
Organizando todos de forma crescente ficaremos com:
1a – 1, 2, 2, 2, 3
2a – 2, 2, 2, 2, 2
3a – 1, 2, 2, 2, 3
E, por fim, notamos que nos três conjuntos a
mediana vale 2.
Sabendo agora que a moda e a mediana valem
2, o item correto é o c.
Alternativa c.
85. Para calcular a mediana, vamos colocar todos
os termos (no caso cada elemento será dado
pelo número de gols de cada década) em ordem crescente:
Ordenando, ficaremos com 4; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 6;
6; 7; 7; 8; 8; 9; 9; 10; 11; 13.
Como existe um numero par de elementos, vamos tirar a média dos dois valores centrais,
que são 6 e 7 e, por fim, basta tirar a média
deles como segue:
6 1 7 ___
13
Média 5 ​  _______
 5 ​   ​  5 6,5
 ​ 
2
2
Alternativa b.
De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações
mensais do ovo extra branco nesse período era igual a:
a)R$ 73,10
c)R$ 82,00
e)R$ 85,30
b)R$ 81,50
d)R$ 83,00
C7.H27
84.(Enem) Cinco equipes A, B, C, D e E disputaram uma prova de
gincana na qual as pontuações recebidas podiam ser 0, 1, 2
ou 3. A média das cinco equipes foi de 2 pontos.
As notas das equipes foram colocadas no gráfico a seguir, entretanto esqueceram de representar as notas da equipe D e
da equipe E.
Pontuação da gincana
3
2
1
0
A
B
C
??
D
E
Mesmo sem aparecerem as notas das equipes D e E, pode­‑se concluir que os valores da moda e da mediana são, respectivamente:
a) 1,5 e 1,0
c) 2,0 e 2,0
b) 2,0 e 1,5
d) 2,0 e 3,0
e) 3,0 e 2,0
C7.H27
85.(Enem) O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados
pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930
até a de 2006.
14
Quantidades de gols dos artilheiros
das Copas do Mundo
12
Gols
10
8
6
4
2
0
1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
Ano
Disponível em: <http://www.suapesquisa.com>. Acesso em:
23 abr. 2010 (adaptado).
A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo?
a) 6 gols
c) 7 gols
e) 8,5 gols
b) 6,5 gols
d) 7,3 gols
58
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C7.H29
86.(Enem) Suponha que a etapa final de uma gincana escolar
consista em um desafio de conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas
pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada.
Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos,
seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos
da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última colocação,
não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova.
As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10;
6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0.
Caderno de competências
86. Observamos que temos um número par de dados. Dispondo os dados do enunciado em ordem
crescente, temos: 0; 6; 6,5; 6,5; 7; 7; 8; 8; 10; 10.
Os valores centrais 7 e 7 ocupam, respectivamente, as posições 5 e 6 (as posições centrais).
717
 ​ 
 5 7
Assim: Md 5 ​  _______
2
Se o aluno da equipe Gama não tivesse faltado
e tirasse nota 10, temos:
6; 6,5; 6,5; 7; 7; 8; 8; 10; 10; 10
Os valores centrais 7 e 8 ocupam respectivamente as posições 5 e 6 (posições centrais).
718
Assim: Md 5 ​  _______
 5 7,5
 ​ 
2
Portanto, o aluno comparecendo e tirando a
nota 10, a equipe Gama permaneceria em último lugar.
Alternativa d.
87. Usando as letras Q, W, E, R, T e Y, sem repetição, teríamos a formação de 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1
palavras, que é igual a 720.
Alternativa b.
Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido,
essa equipe:
a) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0.
b) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10.
c) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8.
d) permaneceria na terceira posição, independentemente da
nota obtida pelo aluno.
e) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se
o aluno obtivesse nota 9.
87.(SM) Apesar de hoje as máquinas de escrever, como a da foto
abaixo, quase não serem mais usadas, há algumas décadas,
havia profissionais especialmente dedicados ao seu uso: os
datilógrafos. Apertando suas teclas, eram acionadas hastes
com as letras que tocavam na fita de tinta e imediatamente
imprimiam o papel. Para que as hastes não encavalassem, as
teclas foram distribuídas de modo que as letras mais utilizadas (no teclado americano) não ficassem muito próximas,
dando origem ao teclado que até hoje é utilizado nos computadores, chamado QWERTY,
pois são as seis primeiras letras
que aparecem nele.
Quantas palavras podem ser
formadas usando essas seis letras, sem repetição?
Maisei Raman/Shutterstock.com/ID/BR
C7.H28
a)360
b)720
c)4 320
d)25 920
59
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88. O número de sequências possíveis é 5! 5 120.
Pelo enunciado, cada sequência possui apenas
uma única simétrica, que não precisa ser examinada. O número de sequências que João
120
precisa verificar é: ____
​   ​ 5 60
2
Portanto, o tempo necessário é 1,5 ? 60 5 90 minutos.
Alternativa b.
89. Como o total de selecionados é 16, e em cada
grupo é necessário manter a proporção inicial
entre homens e mulheres, que é 10:6, ou seja,
5 homens para 3 mulheres, precisamos escolher, no grupo de 10 homens, apenas 5 e, no
grupo de 6 mulheres, apenas 3. Dessa forma,
como a ordem não importa, faremos:
n!
​ 
   
 ​
​C​​( n,p )​​ 5 ___________
p!​( n 2 p )​!
10!
​ 
   
Para o grupo de homens: ​C​(​ 10,5 )​​ 5 _____________
 ​ 5
5!​( 10 2 5 )​!
10
?
9
?
8
?
7
?
6
10!
_____
_________________
5 252
5 ​    ​ 5 ​     ​ 
5!5!
5?4?3?2?1
6!
​ 
   ​  
5
Para o grupo de mulheres: ​C​​( 6,3 )​​ 5 ____________
3!​( 6 2 3 )​!
6_________
?5?4
6!
_____
5 20
 ​ 
5 ​     ​ 5 ​ 
3!3!
3?2?1
Logo, teremos 252 ? 20 5 5 040 maneiras de
escolher o grupo.
Alternativa d.
C1.H2
88.(Enem) João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto
possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA informa que ele sairá
da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem,
voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma
das cidades.
B
4
6
C
5
A
6
8
12
9
3
7
D
6
2
10
8
F
13
5
E
Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o
trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm
o mesmo custo. Ele gasta 1 min 30 s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado.
O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de:
a) 60 min
c) 120 min
e) 360 min
b) 90 min
d) 180 min
C1.H2
89.(SM) Uma empresa multinacional selecionou 16 jovens para
participar de uma dinâmica de grupo para contratar estagiários. Sabendo que neste grupo há 10 homens e 6 mulheres,
de quantas maneiras esses jovens podem ser organizados
em grupos de 8 pessoas, respeitando a proporção entre os
gêneros do grupo inicial?
a)20
b)250
c)272
d)5 040
e)3 628 800
60
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90.(Enem) O setor de recursos humanos de uma empresa vai
realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de
contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá­‑la para convocar os interessados.
Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados
números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles,
apareceram dígitos pares.
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver
recebido o número 75 913 é:
a)24
d)88
b)31
e)89
c)32
90. Antes de começar, devemos ter em mente que
vamos trabalhar apenas com os algarismos ímpares e distintos.
Primeiramente vamos calcular o número de
possibilidades dos números cujo primeiro algarismo é menor que 7:
para a primeira posição temos 3 possibilidades
(1, 3 ou 5), e nas outras 4 posições vão permutar
4 números, assim teremos 3 ? 4! 5 3 ? 24 5 72
Agora vamos assumir os números que começam com 7:
7
para segunda posição temos 2 números que
são menores que 5 (1 ou 3), e nas outras 3 posições vão permutar 3 números, assim teremos 1 ? 2 ? 3! 5 12
Agora vamos assumir que os números começam com 75:
7
C
E3
C
0,5
E1
E4
B
0,8
0,3
A
E6
E2
E5
B
A
0,6
5
para a terceira posição temos 2 números que
são menores que 9 e diferentes de 7 e 5 que
já foram usados (1 ou 3), e nas outras 3 posições vão permutar 2 números, assim teremos
1 ? 1 ? 2 ? 2! 5 4
C7.H29
91.(Enem) A figura I abaixo mostra um esquema das principais
vias que interligam a cidade A com a cidade B. Cada número
indicado na figura II representa a probabilidade de pegar um
engarrafamento quando se passa na via indicada. Assim, há
uma probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento no
deslocamento do ponto C ao ponto B, passando pela estrada
E4, e de 50%, quando se passa por E3. Essas probabilidades
são independentes umas das outras.
Agora ficaremos com 7 5 9
. Se
colocarmos 3 e depois o 1 teremos um número
maior do que aquele que nos foi dado, então o
próximo número já será o que procuramos,
assim basta somarmos todos os valores que
encontramos e então pegar o seu sucessor:
72 1 12 1 4 5 88, o sucessor de 88 é 89,
assim concluímos que o item certo é o e.
Alternativa e.
91. Para responder a essa pergunta precisamos
relembrar o conceito de probabilidade de reunião de eventos independentes (P(A ø B) 5
5 P(A) 1 P(B) 2 P(A ù B)):
Rota
P(A)
P(B)
P(A ù B)
P(A ø B)
E1E3
0,8
0,5
0,8 ? 0,5 5 0,40
0,8 1 0,5 2 0,40 5
5 0,9
E1E4
0,8
0,3
0,8 ? 0,3 5 0,24
0,8 1 0,3 2 0,24 5
5 0,86
E2E5
0,7
0,4
0,7 ? 0,4 5 0,28
0,7 1 0,4 2 0,28 5
5 0,82
E2E6
0,7
0,6
0,7 ? 0,6 5 0,42
0,7 1 0,6 2 0,42 5
5 0,88
0,7
0,4
D
D
Figura I
Figura II
Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando
exatamente duas das vias indicadas, percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento possível.
O melhor trajeto para Paula é:
a) E1E3
d) E2E5
b) E1E4
e) E2E6
c) E2E4
C7.H29
92.(Enem) Em um jogo disputado em uma mesa de sinuca, há 16
bolas: 1 branca e 15 coloridas, as quais, de acordo com a coloração, valem de 1 a 15 pontos (um valor para cada bola colorida).
Caderno de competências
C1.H2
Como P(A ø B) nos dá probabilidade de pegar
um engarrafamento, então a melhor escolha
seria o caminho E2E5.
Alternativa d.
92. Primeiro vamos verificar quais as probabilidades de cada um:
Arthur - (1, 11); (2, 10); (3, 9); (4, 8); (5, 7);
Bernardo - (2, 15); (3, 14); (4, 13); (5, 12);
(6, 11); (7, 10); (8, 9);
Caio - (7, 15); (8, 14); (9, 13); (10,12).
E com as informações adquiridas conseguimos
facilmente perceber que a alternativa correta
é o item c.
Alternativa c.
61
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28/02/14 15:37
93. Rafael mora no centro, então ele tem apenas
4 opções para se mudar. De acordo com o gráfico dado, 3 dessas opções estão de acordo
com as recomendações médicas. Assim, a probabilidade correta é expressa no item e.
Alternativa e.
O jogador acerta o taco na bola branca de forma que esta acerte
as outras, com o objetivo de acertar duas das quinze bolas em
quaisquer caçapas. Os valores dessas duas bolas são somados
e devem resultar em um valor escolhido pelo jogador antes do
início da jogada.
Arthur, Bernardo e Caio escolhem os números 12, 17 e 22
como sendo resultados de suas respectivas somas. Com essa
escolha, quem tem a maior probabilidade de ganhar o jogo é:
a) Arthur, pois a soma que escolheu é a menor.
b) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 4 possibilidades para a escolha de
Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.
c) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de
Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.
d)Caio, pois há 10 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de
Arthur e 8 possibilidades para a escolha de Bernardo.
e) Caio, pois a soma que escolheu é a maior.
C7.H28
93.(Enem) Rafael mora no centro de uma cidade e decidiu se
mudar, por recomendações médicas, para uma das regiões:
rural, comercial, residencial urbano ou residencial suburbano. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor” da região, que deveriam ser inferiores a 31 8C. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico.
Perfil da ilha de calor urbana
°C
°F
92
91
90
89
88
87
86
85
33
32
31
30
Rural
Comercial
Centro
Residencial Residencial
urbano suburbano
Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para
morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja
adequada às recomendações médicas é:
3
__  ​
c)​  2
e)​  ___  ​
a)​  1__  ​
5
5
4
3
1
b)​  ___  ​
d)​  __  ​
4
5
62
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94.(Enem)
Dados do Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas (IPEA) revelaram que no biênio 2004/2005, nas rodovias federais, os atropelamentos com morte ocuparam
o segundo lugar no ranking de mortalidade por acidente.
A cada 34 atropelamentos, ocorreram 10 mortes. Cerca de 4 mil atropelamentos/ano, um a cada duas horas,
aproximadamente.
Disponível em: <http://www.ipea.gov.br>. Acesso em: 6 jan. 2009.
94. Dado que ocorrem 10 mortes a cada 34 atropelamentos, então não morrem pessoas em 24
dos 34 atropelamentos. Assim probabilidade é
dada pela seguinte fração:
24 12
___
​   ​ 5 ​ ___ ​ 
34 17
Alternativa e.
95. Pelo quadro sabemos que 14 (1 1 10 1 3) funcionárias têm calçado maior que 36,0 e que 10
calçam 38,0. A probabilidade de escolher uma
dessas 14 aleatoriamente e ela calçar 28,0 é
dada pela seguinte fração:
10 5
​   ​ 
​ ___ ​  5 __
14 7
Alternativa d.
Caderno de competências
C7.H28
De acordo com os dados, se for escolhido aleatoriamente
para investigação mais detalhada um dos atropelamentos
ocorridos no biênio 2004/2005, a probabilidade de ter sido
um atropelamento sem morte é:
3
2  ​ 
d)​ __  ​
a)​ ____
5
17
5
12 ​ 
e)​ ____
b)​ ____  ​ 
17
17
2  ​
c)​ __
5
C7.H28
95.(Enem) O diretor de um colégio leu numa revista que os pés
das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos, a média
do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e hoje
é de 37,0. Embora não fosse uma informação científica, ele
ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu
colégio, obtendo o quadro a seguir:
Tamanho
dos calçados
Número
de funcionárias
39,0
1
38,0
10
37,0
3
36,0
5
35,0
6
Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem
calçado maior que 36,0, a probabilidade de ela calçar 38,0 é:
5
d)​ __ ​ 
a)​ __1  ​
7
3
5
1
b)​ __  ​
e)​ ____  ​ 
5
14
2  ​
c)​ __
5
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96. Inicialmente vamos calcular a combinação de
ambos, de modo que escolhemos cinco números de seis ou cinco números de nove. Assim
teremos as seguintes combinações:
Para as 84 apostas de 6 dezenas teremos:
6!
84 ? ​C​6,5​ 5 84 ? ____________
​ 
   
 ​ 5 84 ? 6 5 504
5!​( 6 2 5 )​!
Para a aposta de 9 dezenas:
9!
9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5!
​ ​ 5 ____________
​C9,5
​ 
   
  
 ​ 
5
 ​ 5 ​  _________________
5!​( 4 )​!
5!​( 9 2 5 )​!
9?8?7?6
5 ​  _____________
 
 ​ 
5 9 ? 7 ? 2 5 126
4?3?2
Já que o espaço amostral de ambas é o mesmo podemos afirmar que 504 5 4 ? 126. Daí
concluímos que o item correto é o c, já que, ao
fazer um jogo com 9 números, teremos 4 vezes menos chances.
Alternativa c.
97. Como o enunciado diz “exatamente dois” e
não “pelo menos dois”, então precisamos calcular a probabilidade de dois desses estarem
quebrados e os outros dois funcionando, e
também devemos multiplicar pela permutação
de qual aparelho estará e qual não estará funcionando. Assim teremos:
4!
  
 ​ 5
(0,2%) ? (0,2%) ? (99,8%) ? (99,8%) ? ​ _______
2! ? 2!
2
2
2
5 (0,2%) ? (99,8%) ? 2 ? 3 5 6 ? (0,2%) ?
? (99,8%)2
Alternativa c.
98. Digamos que x é o número total de pacientes;
assim, o número de pacientes submetidos a
tratamentos inovadores é 0,6x.
Agora afirmemos que o número de pacientes
curados pelos tratamentos inovadores é y:
y 5 0,35 ? 0,3x 1 0,45 ? 0,3x
y 5 (​ 0,35 1 0,45 )​ ? 0,3x
y 5 0,24x
Portanto y é 24% de x.
Alternativa b.
C7.H30
96.(Enem)
A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega-sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões
de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente
quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho
de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao
conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50.
Disponível em: <www.caixa.gov.br>. Acesso em: 7 jul. 2009.
Considere que uma pessoa decida apostar exatamente
R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas
cinco das seis dezenas da mega-sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa
faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham
cinco números em comum, do que uma única aposta com
nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no
segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente:
a) 1​ __1  ​vez menor
d) 9 vezes menor
2
b) 2​ __1  ​ vezes menor
e) 14 vezes menor
2
c) 4 vezes menor
C7.H28
97.(Enem) O controle de qualidade de uma empresa fabricante
de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse
modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente
sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos?
a)2 ? (0,2%​)4​ ​
d)4 ? (0,2%)
2
e)6 ? (0,2%) ? (99,8%)
b)4 ? (0,2%​)​ ​
c)6 ? (0,2%)2 ? (99,8%​)2​ ​
C7.H28
98.(Enem) Um grupo de pacientes com hepatite C foi submetido
a um tratamento tradicional em que 40% desses pacientes
foram completamente curados. Os pacientes que não obtiveram cura foram distribuídos em dois grupos de mesma
quantidade e submetidos a dois tratamentos inovadores.
No primeiro tratamento inovador, 35% dos pacientes foram
curados e, no segundo, 45%.
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Em relação aos pacientes submetidos inicialmente, os tratamentos inovadores proporcionaram cura de:
a)16%
b)24%
c)32%
d)48%
e)64%
C7.H30
99.(Enem) Um casal decidiu que vai ter 3 filhos. Contudo, quer exatamente 2 filhos homens e decide que, se a probabilidade fosse
inferior a 50%, iria procurar uma clínica para fazer um tratamento específico para garantir que teria os dois filhos homens.
Após os cálculos, o casal concluiu que a probabilidade de ter
exatamente 2 filhos homens é:
a) 66,7%, assim ele não precisará fazer um tratamento.
b) 50%, assim ele não precisará fazer um tratamento.
c) 7,5%, assim ele não precisará fazer um tratamento.
d)25%, assim ele precisará procurar uma clínica para fazer
um tratamento.
e) 37,5%, assim ele precisará procurar uma clínica para fazer um tratamento.
100.Primeiro vamos verificar qual dos pontos dados estão na reta y 5 x 1 4:
a. 0 5 25 1 4 à 0 5 21
b. 1 5 23 1 4 à 1 5 1
c. 1 5 22 1 4 à 1 5 2
d. 4 5 0 1 4 à 4 5 4
e. 6 5 2 1 4 à 6 5 6
Agora que sabemos quais pontos estão na reta,
basta verificarmos qual deles nos dará uma distância menor que 5, como pede o enunciado.
Para isso vamos usar a fórmula de distância entre dois pontos (​dAB
​ ​5 d​ XXXXXXXXXXXXXXXXX
  
(​xB​ ​ 2 x​ A​ ​​)2​ ​ 1 (​yB​ ​ 2 ​yA​ ​​)2​ ​ ​):
d​ b​ ​5 d​ XXXXXXXXXXXXXXXXXXX
  
( 2 5 1 3​)2​ ​ 1 (5 2 1​)2​ ​ ​ 5 d​ XXX
20 ​ 
XXXXXXXXXXXXXXXXXXX
( 2 5 1 0​)2​ ​ 1 (5 2 4​)2​ ​ ​ 5 d​ XXX
26 ​ 
​d​d​5 d​    
​d​e​ 5 d​ XXXXXXXXXXXXXXXXXXX
  
( 2 5 2 2​)2​ ​ 1 (5 2 6​)2​ ​ ​ 5 d​ XXX
50 ​ 
Daí já conseguimos perceber que a única opção que resultará em uma distância menor que
5 é a do item b.
Alternativa b.
C3.H14
100. (Enem) Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas
cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.
A reta de equação y 5 x 1
y
1 4 representa o planeja8
mento do percurso da li6
nha do metrô subterrâneo
4
que atravessará o bairro
2
e outras regiões da cidade. No ponto P 5 (25, 5),
0
28 26 24 22
2 4 6 8
22
localiza-se um hospi24
tal público. A comunida26
de solicitou ao comitê de
28
planejamento que fosse
prevista uma estação do
metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em
linha reta, não fosse maior que 5 km.
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou
corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois
já estava prevista a construção de uma estação no ponto:
a)(25, 0)
c)(22, 1)
e) (2, 6)
b)(23, 1)
d) (0, 4)
Caderno de competências
99. Vamos indicar homem com H e mulher com M
e montar o espaço amostral:
HHH; HHM; HMH; HMM; MHH; MHM; MMH; MMM;
Temos que nosso espaço amostral possui 8
maneiras diferentes para o nascimento dos filhos; dentre elas em apenas 3 nascem exatamente 2 homens e 1 mulher. Assim a probabilidade é dada pela seguinte fração:
3
​ __  ​ 5 0,375 5 37,5%
8
Portanto, eles vão ter de procurar a clinica.
Alternativa e.
x
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Gabarito
1. d
26. e
51. d
76. b
2. d
27. a
52. b
77. e
3. a
28. c
53. a
78. b
4. d
29. c
54. c
79. d
5. e
30. a
55. d
80.b
6. b
31. d
56. e
81. d
7. d
32. e
57. d
82. b
8. b
33. e
58. d
83. d
9. d
34. b
59. d
84.c
10. e
35. b
60.c
85. b
11. b
36. c
61. b
86.d
12. e
37. e
62. c
87. b
13. d
38. c
63. d
88. b
14. b
39. c
64.e
89.d
15. b
40.e
65. a
90.e
16. b
41. a
66.e
91. d
17. e
42. b
67. b
92. c
18. b
43. d
68.c
93. e
19. d
44.d
69.d
94.e
20. e
45. e
70. c
95. d
21. d
46.cw
71. a
96.c
22. b
47. d
72. d
97. c
23. e
48.b
73. c
98.b
24. d
49.d
74. e
99. e
25. a
50. d
75. e
100. b
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