Sistemas Dinâmicos Lineares
Parte I
Romeu Reginatto
Álgebra Linear
Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas Dinâmicos e Energéticos
Universidade Estadual do Oeste do Paraná
Adaptado das notas de aula de Sistemas Dinâmicos Lineares de Edson Roberto de Pieri e
Eugênio de Bona Castelan Neto, PPGEAS/UFSC, com autorização
Março de 2014
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Matrizes reais e complexas
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Matrizes
Rm×n é o conjunto das matrizes m × n com elementos reais.
A ∈ Rm×n significa que A é um elemento deste conjunto ou uma
matriz m × n.
A′ é a transposta de A. Note que (A′ )′ = A.
A é quadrada se m = n. Nos demais casos é dita retangular.
Rm×n é um espaço vetorial linear
1
∀ A, B ∈ Rm×n , A + B ∈ Rm×n .
2
∀ α ∈ R, ∀ A ∈ Rm×n , αA ∈ Rm×n .
3
∀ A ∈ Rm×n , ∃(−A) ∈ Rm×n : A + (−A) = 0.
4
Existe a matriz nula 0m×n ∈ Rm×n e 0 + A = A.
5
Facilmente se verificam as demais propriedades.
A−1 é a inversa de A. Note que AA−1 = I .
det(A) é o determinante da matriz A.
A é dita simétrica se A′ = A.
A é dita não singular se det(A) 6= 0. Neste caso A−1 existe.
A∗ é a matriz transposta conjugada de A. Note que (A∗ )∗ = A.
A é dita hermitiana se A∗ = A.
Similarmente, o conjunto das matrizes m × n com elementos complexos,
Cm×n , também é um espaço vetorial linear.
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Algumas Propriedades de Matrizes
Espaços Particulares de Matrizes
Sejam M e N matrizes quaisquer, A e P matrizes quadradas.
Rn×n , o conjunto das matrizes quadradas de ordem n × n é um
espaço vetorial linear.
M ′ M é simétrica; MM ′ é simétrica.
Toda matriz simétrica ou hermitiana é quadrada.
H n×n , o conjunto das matrizes hermitianas de ordem n × n é um
espaço vetorial linear, subespaço de Rn×n .
A + A′ é simétrica
A − A′ é antissimétrica
′
′
A−A
A = A+A
permite decompor a matriz A em parte simétrica e
2 + 2
parte antissimétrica
(MN)′ = N ′ M ′
S n×n , o conjunto das matrizes simétricas de ordem n × n é um espaço
vetorial linear, subespaço de H n×n .
Propriedades similares valem para as matrizes antissimétricas e
anti-hermitianas.
AP 6= PA. Se AP = PA, diz-se que A e P comutam.
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Representações de matrizes
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Representações de matrizes
Elemento de um espaço vetorial: Q ∈ Rm×n
Concatenação de vetores coluna:
Q = q1 q2 · · · qn
Representação dos elementos:

q11
 q21

Q =  ..
 .
onde qj , j = 1, 2, · · · , n são vetores coluna.


P =

p1
p2
..
.
pm
···
···
q1n
q2n
..
.
...
qm1 qm2 · · · qmn
Concatenação de vetores linha:

q12
q22
..
.






Reprentação compacta dos elementos:




Q = [qij ]m×n
onde pi , i = 1, 2, · · · , m são vetores linha.
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Representações de matrizes
Alguns tipos de matrizes
Matriz diagonal



Q=

Produto de matrizes
Sejam A e Q duas matrizes de dimensões apropriadas. Então
AQ = A q1 q2 · · · qn
=
Aq1 Aq2 · · · Aqn
q11 0
0 q22
..
..
.
.
0
0
···
···
0
0
..
.
...
· · · qnn





Traço de uma matriz = soma dos elementos da diagonal
Tr Q = q11 + q22 + · · · + qnn
Matriz triangular superior

Exercı́cio. Demonstre a propriedade acima.


Q=

q11 q12
0 q22
..
...
.
0
0
· · · q1n
· · · q2n
.
. . . ..
· · · qnn





Analogamente, define-se a matriz triangular inferior
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Alguns tipos de matrizes
Matriz em blocos
Q=
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Espaço coluna
M11 M12
M21 M22
Espaço coluna
Considere a matriz Q ∈ Rm×n
Q = q1 q2 · · · qn
Mij são matrizes de dimensões apropriadas
Matriz bloco-diagonal
Q=
Q=
0
M11
0
M22
M11 M12
0
M22
Então, span(Q) = span(q1 , q2 , · · · , qn ) é o espaço gerado pelas colunas
de Q e chamado de espaço coluna. É um subespaço de Rm .
Matriz bloco-triangular
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De maneira análoga pode-se definir o espaço linha, espaço vetorial linear
de vetores linha gerado pelas linhas da matriz.
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Imagem de matrizes
Espaço nulo de matrizes
Range ou imagem
Range ou imagem da matriz A ∈ Rm×n é o conjunto de todas as possı́veis
combinações lineares das colunas de A (é o espaço coluna da matriz)
n
o
R(A) , y = Ax : x ∈ Rn ⊆ Rm
R(A) é um subespaço vetorial do Rm .
Espaço nulo
O espaço nulo da matriz A é o conjunto de vetores x ∈ Rn tais que
Ax = 0, ou seja,
o
n
N (A) , x ∈ Rn : Ax = 0
N (A) é um subespaço vetorial do Rn .
Posto ou rank
Nulidade
Rank ou posto da matriz A ∈ Rm×n é a dimensão do range de A e
denotado por ρ(A).
A dimensão do espaço nulo é chamada de nulidade da matriz A e
denotada ν(A).
ρ(A) = número de colunas LI em A.
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Propriedades
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Matrizes
Para A ∈ Rm×n
Desigualdade de Sylvester
Para A ∈ Rq×n e B ∈ Rn×p
ρ(A) + ν(A) = n
ρ(A) + ρ(B) − n ≤ ρ(AB) ≤ min (ρ(A), ρ(B))
Posto
ρ(A)
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=
=
=
≤
número de colunas LI de A
número de linhas LI de A
ordem do maior subdeterminante não nulo da matriz A
min (n, m)
ρ(B) R(B)
p
Diz-se que A possui rank/posto completo por colunas se ρ(A) = n
Diz-se que A possui rank/posto completo por linhas se ρ(A) = m
Note que ρ(A) = ρ(A′ )
A ∈ Rn×n é não singular ⇐⇒ ρ(A) = n ⇐⇒ ν(A) = 0.
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N (B) ν(B)
Rp
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d
n
B
ρ(A)
q
R(A)o
R(AB)
N (A)
Rn
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ν(A)
A
Rq
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Matrizes
Matrizes
domı́nio de AB é igual ao domı́nio de B;
Em particular, se B é uma matriz n × n não singular, então
R(AB) = subespaço de R(A);
ρ(A) + ρ(B) − n = ρ(A) ≤ ρ(AB) ≤ min (ρ(A), n) ≤ ρ(A)
ρ(AB) ≤ min (ρ(A), ρ(B));
ρ(AB) = ρ(B) − d ; ν(A) = n − ρ(A) ⇒ d ≤ n − ρ(A). Logo
• ρ(AB) ≥ ρ(A) + ρ(B) − n
=⇒ ρ(AB) = ρ(A)
Similarmente, se A é uma matriz n × n não singular, então
Seja A ∈ Cm×n e A∗ sua conjugada transposta. Então,
ρ(A) + ρ(B) − n = ρ(B) ≤ ρ(AB) ≤ min (n, ρ(A)) ≤ ρ(A)
• ρ(A) = n ⇐⇒ ρ(A∗ A) = n ; det(A∗ A) 6= 0
=⇒ ρ(AB) = ρ(B)
• ρ(A) = m ⇐⇒ ρ(AA∗ ) = m ; det(AA∗ ) 6= 0
O rank de uma matriz não se altera ao ser pré ou pós-multiplicada por
uma matriz não singular.
A∗ A : [n × n]
;
AA∗ : [m × m]
Observe que ρ(A) = n implica: n ≤ m e Aα = 0
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⇒ α=0
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Sistemas de equações algébricas lineares
Para A matriz m × n

a11 a12
 a21 a22

 ..
..
 .
.
am1 am2
Sistemas de equações algébricas lineares
e y ∈ Rm , conhecidos, a equação


 
y1
x1
· · · a1n




· · · a2n   x2   y2 

..   ..  =  .. 
..
.
.  .   . 
· · · amn
xn
(Ax = y )
ym
forma um sistema de equações algébricas lineares em x ∈ Rn ,
incógnita.
Três situações: m > n, m = n ou m < n
• Problema: dados A e y
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1
∃x : Ax = y ?
2
Se existe solução, qual o número de soluções LI?
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Sistemas de equações algébricas lineares
Sistemas de equações algébricas lineares
Existência garantida de solução
Teorema - Existência de Solução
Dada uma matriz A, uma solução x de
Dada uma matriz A ∈ Rm×n e um vetor y ∈ Rm×1 , existe uma solução
x ∈ Rn×1 da equação
y = Ax
y = Ax
existe para todo y se e somente se
se e somente se
ρ(A) = m
y ∈ R(A)
ou, equivalentemente,
isto é, A tem rank completo por linhas.
ρ(A) = ρ( A y )
Note que ρ(A) = m ⇐⇒ R(A) = Rm ⇐⇒ det(AA′ ) 6= 0
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Unicidade de solução
Múltiplas soluções LI - caso homogêneo
Se
ν(A) = 0,
Se
N (A) = {0},
ν(A) = k,
as seguintes afirmações são equivalentes:
então
x pode ser determinado de maneira única de y = Ax
Ax = 0
As colunas de A são LI
possui k soluções LI.
det(A′ A) 6= 0
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Sistemas de equações algébricas lineares
Exemplo: Considere a

0 1
A= 1 2
2 0
Sistemas de equações algébricas lineares
matriz A ∈ R3×5 dada por

1 2 −1
3 4 −1  = a1 a2 a3 a4 a5
2 0 2
Como a1 , a2 são LI
=⇒ ρ(A) = 2
x1 + x3 + x5 = 0
Ax = 0 ⇐⇒
x2 + x3 + 2x4 − x5 = 0
Número de Equações = ρ(A) = 2
Número de Incógnitas = 5
Número de Graus de Liberdade = 3

 

 
 


0
1
1
2
−1
Ax = x1  1  + x2  2  + x3  3  + x4  4  + x5  −1 
2
0
2
0
2
a3 = a1 + a2 ; a4 = 2a2 ; a5 = a3 − a4 = a1 + a2 − 2a2 = a1 − a2
Possı́veis soluções LI:

 

0
1
Ax = (x1 + x3 + x5 )  1  + (x2 + x3 + 2x4 − x5 )  2 
2
0
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

0
−1
 −1 
 −2





v1 = 
 1  ; v2 =  0
 0 
 1
0
0



−1
 1 




 , v3 =  0 




 0 
1

{v1 , v2 , v3 } formam uma base de N (A) ; ν(A) = 3
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Múltiplas soluções LI - Caso geral
Parametrização de todas as soluções
Dada uma matriz A ∈ Rm×n e um vetor y ∈ Rm×1 , seja xp ∈ Rn×1 uma
solução da equação y = Ax e seja k = n − ρ(A) = ν(A) a nulidade de A.
1
Se ρ(A) = n (rank completo de colunas) a solução xp é única.
2
Se k > 0, então para todo αi ∈ R, i = 1, . . . , k o vetor
sendo {n1 , . . . , nk } uma base de N (A) é uma solução de Ax = y .
De fato,
k
X
Seja A ∈ Rn×n (matriz quadrada).
A é inversı́vel ou não-singular se e somente se det(A) 6= 0.
Condições equivalentes:
• as colunas de A formam uma base para o Rn
• as linhas de A formam uma base para o Rn
• a equação y = Ax tem uma solução única x = A−1 y para todo y ∈ Rn .
x = xp + α1 n1 + α2 n2 + · · · + αk nk
Axp +
Inversa
αi Ani = Axp + 0 = y
i =1
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Em particular, a única solução de Ax = 0 nesse caso é x = 0
• AA−1 = A−1 A = I
• N (A) = {0}
• R(A) = Rn
• det(A′ A) = det(AA′ ) 6= 0
A−1 =
Esta parte é opcional
1
Adj (A)
det(A)
Adj (A): matriz adjunta da matriz A
Adj (A) = [Co (A)]′
Co (A): matriz cofatora de A, composta pelos cofatores Cij da matriz A.
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Derivando-se a função objetivo (em relação a x) e igualando a 0
2x ′ A′ A − 2y ′ A = 0
Assumindo que A tem rank completo (e portanto A′ A é inversı́vel)
Solução aproximada: define-se um erro
e = Ax − y
xa = (A′ A)−1 A′ y
e busca-se a solução xa que minimiza kek, chamada solução aproximada
de mı́nimos quadrados de Ax = y . xa é o ponto no R(A) que está mais
próximo de y , ou seja, Axa é a projeção de y no R(A).
min kek2 = min (Ax − y )′ (Ax − y )
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Considere o sistema y = Ax com A ∈ Rm×n e m > n (matriz retangular
em pé), isto é, o sistema tem mais equações do que incógnitas (pode não
ter solução).
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Note que xa é uma função linear de y , e xa = A−1 y se A é quadrada.
xa é a solução exata de y = Ax se y ∈ R(A).
A† , (A′ A)−1 A′ é chamada de pseudo-inversa de A
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Estimador Mı́nimos Quadrados
Muitos problemas de reconstrução, inversão ou estimação podem ser
colocados na forma y = Ax + ∆ onde x é o vetor a ser estimado ou
reconstruı́do; y é o vetor de medidas e ∆ é o vetor de ruı́dos ou erros de
medida.
Problema: encontre a estimativa x̂ que minimiza a diferença entre os
valores medidos y e o que deveria ser obtido se ∆ = 0.
A projeção de y no R(A) é linear, dada por Axa = A(A′ A)−1 A′ y e
A(A′ A)−1 A′ é chamada matriz de projeção.
h
i
O erro e = Axa − y = A(A′ A)−1 A′ − I y é ortogonal ao R(A):
h
i′
D
E
e, Ax = y ′ A(A′ A)−1 A′ − I Ax = 0
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Solução: x̂ = (A′ A)−1 A′ y
Considere o sistema y = Ax com A ∈ Rm×n e m < n (matriz retangular
deitada), isto é, o sistema tem mais variáveis do que equações (várias
escolhas de x podem levar ao mesmo y ).
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Sistema de equações algébricas lineares
Sistema de equações algébricas lineares
Assumindo que A tem rank completo de linhas m, o conjunto de todas as
soluções tem a forma
o
n
o n
x : Ax = y = xp + z : z ∈ N (A)
De fato, para qualquer outra solução x tem-se A(x − mm ) = 0 e
sendo xp uma solução particular qualquer. Os vetores z do espaço nulo de
A caracterizam as várias soluções para o problema (N (A) = n − m graus
de liberdade).
Uma solução (de mı́nima norma) é dada por xm = A′ (AA′ )−1 y (como A
tem rank completo de linhas, AA′ é inversı́vel).
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(x − xm )′ xm = (x − xm )′ A′ (AA′ )−1 y =
i′
h
= A(x − xm ) (AA′ )−1 y = 0 =⇒ (x − xm ) ⊥ xm
kxk2 = kxm + x − xm k2 = kxm k2 + kx − xm k2 ≥ kxm k2
A matriz A′ (AA′ )−1 é chamada de pseudo-inversa de A (rank completo de
linhas). Note que xm é ortogonal a N (A) (xm é a projeção de 0 no
conjunto de soluções {x : Ax = y }).
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O mesmo resultado poderia ser obtido com multiplicadores de Lagrange.
min x ′ x
sujeito a Ax = y
Introduzindo o multiplicador de Lagrande λ e escrevendo o Lagrangeano
L (x, λ) = x ′ x + λ′ (Ax − y )
As condições de otimalidade são
∂L
= 2x ′ + λ′ A = 0
∂x
∂L
= (Ax − y )′ = 0
∂λ
=⇒
x = −A′ λ/2 ;
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λ = −2(AA′ )−1 y
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=⇒
x = A′ (AA′ )−1 y
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