2.5
X
3
12  X
2
3.8 
7
8
log ( 2.8 )
47 X 60 solve  X
L0 ( X ) 
( X  X 1 ).( X  X 2).( X  X 3 )
( X 0  X 1 ).( X 0  X 2 )( X 0  X 3 )

 f ( a ) f (b) n 1
S  h

  f ( xn ) 
2
n 1

 2
2X
2
2X
4
0 solve  X
José Antelo Cancela
tan ( 3   )
sin ( 0
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Índice Analítico
1. Introdução --------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 1.1 Digitação de Textos ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 1.2 Digitação de Expressões ---------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2. Barras de Ferramentas ------------------------------------------------------------------------------------ 5 2.1 Barra de ferramentas Math ------------------------------------------------------------------------------------------ 5 2.2 Barra de ferramentas Calculator ----------------------------------------------------------------------------------- 6 3. Formatação -------------------------------------------------------------------------------------------------- 9 3.1 Formatação de Texto -------------------------------------------------------------------------------------------------- 9 3.2 Formatação da Precisão ---------------------------------------------------------------------------------------------- 9 3.3 Formatação das Expressões ------------------------------------------------------------------------------------------ 9 3.3.1 Formatação das Constantes ---------------------------------------------------------------------------------------------- 9 3.3.2 Formatação das Variáveis ----------------------------------------------------------------------------------------------- 10 3.4 Escolha da Posição e do Alinhamento --------------------------------------------------------------------------- 10 3.4.1 Escolha da Posição ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 3.4.2 Escolha do Alinhamento ------------------------------------------------------------------------------------------------ 10 4. Definição de Variáveis ------------------------------------------------------------------------------------ 12 5. Definição de Funções ------------------------------------------------------------------------------------- 14 6. Solução de Equações -------------------------------------------------------------------------------------- 16 7. Operações com Matrizes ---------------------------------------------------------------------------------- 19 7.1 Soma e Subtração de Matrizes ------------------------------------------------------------------------------------ 19 7.2 Multiplicação de Matrizes ------------------------------------------------------------------------------------------ 20 7.3 Multiplicação de Matriz por um Número ----------------------------------------------------------------------- 21 7.4 Divisão de Matriz por um Número ------------------------------------------------------------------------------- 22 7.5 Matriz Transposta --------------------------------------------------------------------------------------------------- 22 7.6 Matriz Inversa -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 23 7.7 Determinante de uma Matriz -------------------------------------------------------------------------------------- 24 8. Sistemas de Equações ------------------------------------------------------------------------------------- 25 8.1 Função Lsolv ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 25 8.2 Função Given/Find -------------------------------------------------------------------------------------------------- 27 9. Cálculo de Integrais --------------------------------------------------------------------------------------- 29 9.1 Integrais Simples ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 29 9.2 Integrais Duplas ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 31 10. Cálculo de Derivadas-------------------------------------------------------------------------------------- 32 10.1 Derivadas de 1ª Ordem --------------------------------------------------------------------------------------- 32 10.2 Derivadas de Ordem N ---------------------------------------------------------------------------------------- 33 11. Estudo de Regressões ------------------------------------------------------------------------------------- 34 11.1 Regressão Linear ----------------------------------------------------------------------------------------------- 34 11.2 Regressão Polinomial ------------------------------------------------------------------------------------------ 37 José Antelo Cancela
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Construção de Gráficos ----------------------------------------------------------------------------------- 42 12.1 Formatação de Gráficos -------------------------------------------------------------------------------------- 43 12.2 Gráficos de Duas Funções ------------------------------------------------------------------------------------ 45 13. Erro: Existência e Propagação -------------------------------------------------------------------------- 46 13.1 Existência do Erro --------------------------------------------------------------------------------------------- 46 13.2 Propagação do Erro ------------------------------------------------------------------------------------------- 46 14. Cálculo de Raízes ------------------------------------------------------------------------------------------ 50 14.1 Método Gráfico ------------------------------------------------------------------------------------------------- 50 14.2 Método da Bipartição ----------------------------------------------------------------------------------------- 51 15. Resolução de Sistemas de Equações Lineares -------------------------------------------------------- 54 15.1 Método da Eliminação de Gauss ---------------------------------------------------------------------------- 55 15.2 Método de Jacobi ----------------------------------------------------------------------------------------------- 66 15.3 Método de Gauss-Seidel -------------------------------------------------------------------------------------- 74 16. Interpolação Polinomial ---------------------------------------------------------------------------------- 79 16.1 Interpolação pelo Método de Lagrange ------------------------------------------------------------------- 81 16.2 Interpolação pelo Método de Newton (Diferenças Divididas)----------------------------------------- 84 16.3 Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados ---------------------------------------------- 86 Ajuste Linear ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 86 16.3.1 17. Integração Numérica ------------------------------------------------------------------------------------- 89 17.1 Método dos Trapézios ----------------------------------------------------------------------------------------- 89 17.2 Método de Simpson -------------------------------------------------------------------------------------------- 91 José Antelo Cancela
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Cálculo Numérico
1. Introdução
Quando se abre o MathCad é mostrado um arquivo novo, que consiste de uma folha
onde serão digitados os textos, expressões ou fórmulas, conforme mostrado na Fig. 1
abaixo.
Para iniciar a digitação basta clicar com o cursor do mouse no local da tela onde esta se
localizará e então digitar o que se deseja.
Barra de Ferramentas
Standard
Barra de Ferramentas
Formating
Fig. 1
1.1 Digitação de Textos
Para se digitar um texto proceda da seguinte forma:
 Clique com o cursor do mouse no local onde ficará o início do texto
 Digite “ (aspas) para informar ao MathCad que se trata de um texto
 Digite o texto (Por exemplo: Introdução ao MathCad)
 Clique novamente com o cursor do mouse em qualquer lugar fora do texto para
informar que terminou a digitação ou tecle Enter.
1.2 Digitação de Expressões
Para se digitar uma expressão matemática proceda da seguinte forma:
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 Clique com o cursor do mouse no local onde ficará o início da expressão.
 Digite a expressão (Por exemplo: 2+3)
 Digite o operador = para informar ao MathCad que deve ser mostrado o resultado.
 Clique novamente com o cursor do mouse em qualquer lugar fora da expressão para
informar ao MathCad que terminou a digitação ou tecle Enter.
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2. Barras de Ferramentas
O texto e a expressão digitados até agora são
extremamente simples, dispensando qualquer
ferramenta para sua digitação.
Para expressões mais complexas o MathCad
dispõe de Barras de Ferramentas (Toolbars) para
a introdução de dados e cálculo dos resultados.
Ao se criar um arquivo novo (Fig. 1) são
mostradas automaticamente duas barras de
ferramentas:
 Standard,
Mostra os comandos básicos de operação com
arquivos.
 Formating
Mostra os comandos básicos de formatação
de textos.
Fig. 2
Para ocultar ou exibir estas barras durante os trabalhos,
selecione na barra de menus View e depois selecione a barra
desejada (Fig. 2).
2.1 Barra de ferramentas Math
A barra de ferramentas Math é o meio de acesso as demais barras de ferramentas do
MathCad, conforme mostrado na Fig.2.1.a. Estas barras serão vistas mais adiante.
Calculator
Graph
Matrix
Evaluation
Calculus
Boolian
Programming
Greek Symbol
Symbolic Keyword
Fig. 1
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2.2 Barra de ferramentas Calculator
Como visto anteriormente, expressões simples podem ser digitadas
diretamente pelo teclado. Contudo, expressões mais complexas, como
por exemplo as que envolvem funções trigonométricas e exponenciais,
requerem o auxílio da barra de ferramentas Calculator.
Para exibir a barra de ferramentas Calculator leve o cursor até a
barra de ferramentas Math e clique no ícone Calculator, que ficará
conforme Fig. 2.2.a
A título de exercício, vamos calcular o valor das expressões abaixo:
a) 2.54 + 3.58 – 12.27
Fig. 2.2.a
 Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a
expressão.
 Digite o número 2.54
 Digite + (mais) ou clique na barra Calculator no
O símbolo de
símbolo + (Addition).
decimal é o ponto
Aparecerá um pequeno quadrado preto após o
sinal de soma, informando que se deve digitar o
e não a vírgula.
próximo valor.
 Digite o número 3.58
 Digite - (menos) ou clique na barra Calculator no símbolo -. (Subtration)
Aparecerá um pequeno quadrado preto após o sinal de subtração, informando que se
deve digitar o próximo valor.
 Digite o número 12.27
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = (Evaluate Expression) que
será mostrado o resultado da operação.
b) 2.54 x 3.58
 Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a expressão.
 Digite o número 2.54
 Digite * (asterisco) ou clique na barra Calculator no símbolo X (Multiplication).
Aparecerá um pequeno quadrado preto após o sinal de multiplicação, informando que
se deve digitar o próximo valor.
 Digite o número 3.58
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o
resultado da operação.
c)
169
 Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a expressão.
 Clique na barra Calculator no símbolo
(Square Root)
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 Aparecerá o símbolo de raiz quadrada com um quadradinho preto e com o cursor no
lugar onde será digitado o número. Digite 169
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o
resultado da operação.
d)
5
169
 Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a expressão.
 Clique na barra Calculator no símbolo
n
(Nth Root).
 Aparecerá o símbolo de raiz enésima com um quadradinho preto no lugar do valor da
raiz e outro no lugar do número. Clique com o cursor no lugar da raiz e digite 5
 Clique com o cursor no lugar do número e digite 169
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o
resultado da operação.
e)











f)
e 2.3  sen(1.7 )
Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a expressão.
Clique na barra Calculator no símbolo eX (Exponential)
Quando aparecer o símbolo de exponencial digite 2.3
Tecle espaço para que o cursor do MathCad vá para o final da expressão.
Digite + (mais) ou clique na barra Calculator no símbolo + (Addition).
Clique na barra Calculator no símbolo de SIN (Sine)
Clique no quadradinho preto e digite 1.7
Digite * (asterisco) ou clique na barra Calculator no símbolo X (Multiplication).
Clique na barra Calculator no símbolo ¶
Tecle espaço para que o cursor do MathCad vá para o final da expressão.
Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o
resultado da operação.
3.7

2.6
4
e2
sen(3,5 )
 Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a expressão.
 Digite 3.7
 Digite / (barra) ou clique na barra Calculator no símbolo de divisão. Aparecerá a
fração com um quadradinho preto no denominador.
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




Digite 2.6
Tecle espaço para que o cursor do MathCad vá para o final da expressão.
Digite - (menos) ou clique na barra Calculator no símbolo -. (Subtration).
Digite 4
Digite / (barra) ou clique na barra Calculator no símbolo de divisão. Aparecerá a
fração com um quadradinho preto no denominador.
 Clique na barra Calculator no símbolo eX (Exponential)
 Quando aparecer o símbolo de exponencial digite 2
 Tecle espaço para que o cursor do MathCad vá para o final da expressão e2.
 Digite / (barra) ou clique na barra Calculator no símbolo de divisão. Aparecerá a
fração com um quadradinho preto no denominador.
 Clique na barra Calculator no símbolo SIN (Sine)
 Clique no quadradinho preto e digite 3.5
 Digite * (asterisco) ou clique na barra Calculator no símbolo X (Multiplication).
 Clique na barra Calculator no símbolo ¶
 Tecle espaços até o cursor do MathCad chegar ao final da expressão.
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o
resultado da operação.
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3. Formatação
O MathCad permite a formatação diferenciada de textos, fórmulas e dos resultados
numéricos. Nas fórmulas é possível formatar as variáveis de forma diferente das
constantes.
3.1 Formatação de Texto
Para formatar um texto proceda da seguinte forma:
 Selecione o texto que quer formatar
 Selecione na barra de menu Format – Text
 Quando aparecer a janela Text Format escolha a formatação desejada
3.2 Formatação da Precisão
Os resultados das operações
matemáticas realizadas podem ser
formatados com um número fixo de
casas decimais. Para isto, proceda da
seguinte forma:
 Selecione na barra de menu
Format – Result
 Na janela Result Format
Fig. 3.2.A
selecione:
 Number of decimal places:.................... Número de casas decimais
 Show trailing zeros: ............................... Marque esta opção se quiser que mostre
zero quando não houver partes decimais.
 Show expoents in engineering format: .. Marque esta opção se quiser que os
valores
apareçam
na
notação
de
engenharia.
3.3 Formatação das Expressões
O MathCad permite formatar as fontes das variáveis e das constantes de fórmulas e
funções de maneira distinta.
3.3.1 Formatação das Constantes
Para formatação da fonte das constantes de expressões proceda da seguinte forma:
 Selecione na barra de menu Format – Equation
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 Na janela Equation Format (Fig.3.3.1)
selecione na caixa de listagem Style Name
a opção Constants
 Clique no botão Modify
 Na janela Constants escolha formatação
adequada e clique OK.
 Na janela Equation Format clique OK
Fig3.3.1
3.3.2 Formatação das Variáveis
Para formatação da fonte das variáveis de expressões proceda da seguinte forma:
 Selecione na barra de menu Format – Equation
 Na janela Equation Format (Fig.3.3.1) selecione na caixa de listagem Style Name a
opção Variables
 Clique no botão Modify
 Na janela Constants escolha formatação adequada e clique OK.
 Na janela Equation Format clique OK
A título de exercício, construa e expressão abaixo 3 formate-a da seguinte forma:
- Resultado: -------2 decimais
- Constantes: -----Times New Roman, negrito itálico, tamanho 13
- Resultado: -------Bookman Old Style, negrito, tamanho 14
Uma vez formatada a função deverá ter a aparência abaixo.
2.5  3.8 
7
8
 log  2.8  tan  3  
  sin 0.27   
 5.52
3.4 Escolha da Posição e do Alinhamento
3.4.1 Escolha da Posição
Para mudar a posição de uma expressão, proceda da seguinte forma:
 Selecione a expressão.
 Mova o cursor até uma das bordas da seleção, até que o cursor do mouse mude para
a forma de uma mão.
 Nesta posição, pressione o botão do mouse e, com ele pressionado, arraste a
expressão para o local desejado.
3.4.2 Escolha do Alinhamento
O MathCad permite alinhar todas as expressões digitadas, tanto na horizontal quanto
na vertical.
Para efetuar este alinhamento, proceda da seguinte forma:
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 Selecione as expressões que serão alinhadas. Depois selecione na barra de menu:
 Format – Align regions – Down (para alinhamento vertical) ou Across (para
alinhamento horizontal)
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4. Definição de Variáveis
A definição de variáveis pode ser feita através do teclado ou
usando a barra de ferramentas Calculator (Fig. 4.1).
Para definir variáveis através do teclado proceda da
seguinte forma:
 Escreva a variável (uma ou mais caracteres alfanuméricos)
 Digite : (dois pontos). O MathCad automaticamente
acrescentará = depois dos dois pontos.
 Digite o valor da variável
Para definir variáveis usando a barra de ferramentas
Calculator proceda da seguinte forma:
 Escreva a variável (uma ou mais caracteres alfanuméricos)
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas
Fig. 4.1
Calculator
 Digite o valor da variável.
A título de exercício, vamos definir as varáveis abaixo abaixo:
a) X = 5
 Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a expressão.
 Digite X
 Digite : (dois pontos) ou clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas
Calculator
 Digite o número 5
b) Sabendo-se que b =

3
a=
1.5
3
e que Y = (sen(2b)+cos(a)3)2 determine o
valor de Y
Como usaremos vários símbolos gregos neste exercício, vamos
ativar a barra de ferramentas Greek Symbol Palette mostrada na
Fig.4.2, que dispões de vários destes símbolos
Etapa 1: Definição de b
 Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a
primeira variável.
 Clique no símbolo b da barra Greek Symbol
 Digite : (dois pontos) ou clique no ícone := (Assign Value) da
barra de ferramentas Calculator
 Digite

3
Etapa 2: Definição de
a
 Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a segunda
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Fig. 4.2
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variável.
 Clique no símbolo a da barra Greek Symbol
 Digite : (dois pontos) ou clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas
Calculator
1.5 * 
 Digite
3
Etapa 3: Definição de Y
 Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a variável Y.
 Digite Y
 Digite : (dois pontos) ou clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas
Calculator
 Digite a expressão (sen(2b)+cos(a)3)2
Etapa 4: Cálculo do valor de Y
Uma vez definidas as variáveis b, a e Y podemos agora determinar o valor de Y
 Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará o valor de Y.
 Digite Y
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o
resultado da operação.
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5. Definição de Funções
O MathCad dispõe de funções de
várias
categorias,
tais
como
matemáticas,
trigo-nométricas,
estatísticas e muitas outras, todas elas
prontas para serem utilizadas.
Para acessar estas funções proceda
da seguinte forma:
 Selecione na barra de menu
Insert – Function
 Aparecerá a janela Intert Function
(Fig.5). Para selecionar a função,
proceda da seguinte forma:
 No quadro Function Category
selecione a categoria da função
ou selecione a categoria
Fig. 5
Todas.
 No quadro Function Category selecione o nome da função.
 Clique OK.
Além destas funções, o MathCad permite que outras funções sejam definidas para nosso
uso específico, assunto este que será tratado agora.
A definição de funções é muito similar a definição de varáveis, que consiste basicamente
de três etapas:
1) Escolha do nome da função
2) Colocação do sinal de atribuição de valor (Assign Value)
3) Digitação da função
A título de exercício vamos definir as funções abaixo e calcular seu valor para um
determinado valor da variável.
a) Sabendo-se que F(X) = 5X2 – 3X +4, determine F(3,5)
 Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a variável F(X).
 Escreva F(X)
 Digite : (dois pontos) ou clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas
Calculator
 Escreva a função 5*X2 – 3*X +4
 Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará o valor de F(3,5).
 Escreva F(3,5)
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o
resultado da operação conforme abaixo.
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b) Sabendo-se que F(X) = 3,3eX – 3sen(X) +4 3 X , determine F(0.57)
 Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a variável F(X).
 Escreva F(X)
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator




Escreva a função 3,3eX – 3sen(X) +4 3 X
Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará o valor de F(0,57).
Escreva F(0.57)
Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o
resultado da operação conforme abaixo.
Y
, determine F(2,3;3,4)
1,5 X
 Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a variável F(X,Y)
 Escreva F(X,Y)
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
c) Sabendo-se que F(X,Y) = 2,75e2,3Y – 3sen(0,54X) +4 3
Y
1,5 X
 Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará o valor de F(2,3)
 Escreva F(2,3)
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o
resultado da operação.
 Escreva a função 2,75e2,3Y – 3sen(0,54X) +4 3
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6. Solução de Equações
O MathCad dispõe de dois métodos para cálculo de raízes de equações: o método
numérico e o método analítico. Aqui nos deteremos no método analítico.
Para calcular raízes de equações pelo método
analítico precisaremos das barras de ferramentas
Symbolic (Fig. 6.a) e Boolean (Fig. 6.b).
Por isso, leve o cursor do mouse até a barra de
ferramentas Math e clique nos ícones destas barras para
exibi-las.
Para determinar as raízes de uma equação pelo
método analítico são necessários os seguintes passos:
1º) Digite a equação sendo que o sinal = a ser usado
tem que ser o = (Equal to) da barra de
ferramentas Boolean.
2º) Uma vez digitada a equação clique clique na
palavra Solve da barra de ferramentas Symbolic.
3º) No quadrado preto que surgirá depois da palavra
solve digite a variável que se quer determinar.
A título de exercício, determine as raízes das
equações abaixo
Fig. 6.a
X 1
 0
5 7
 Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a equação.
X 1
 Escreva 3 
5 7
 Clique no ícone = (igual) da barra de ferramentas Boolean
a) 3
 Digite o valor 0
 Clique no botão solve da barra de ferramentas
Evaluation
 Tecle Enter que será mostrado o resultado como
abaixo
Fig. 6.b
O sinal = a ser usado é
o Equal to da barra de
ferramentas Boolean.
 Coloque o cursor no final da equação, conforme figura abaixo
 Digite = ou tecle = na barra de ferramentas Calculator que aparecerá o resultado
conforme abaixo
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
b) 2 X
2
2X
4 0
 Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a equação.
 Escreva
 Clique no ícone = (igual) da barra de ferramentas Boolean Toolbar
 Digite o valor 0
 Clique no botão Solve da barra de ferramentas Symbolic Keyword Toolbar
 Tecle Enter que será mostrado o resultado como abaixo
 Para formatar o resultado com 1 casa decimal, selecione o resultado, conforme
abaixo.
 Selecione Format – Result
 Preencha a caixa de diálogo Result
Format conforme figura ao lado e tecle
OK. Será mostrado o resultado como
abaixo.
c)
X 3  12 X 2  47 X  60
 Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a equação.
 Escreva
 Clique no ícone = (igual) da barra de ferramentas Boolean
 Digite o valor 60
 Clique no botão solve da barra de ferramentas Symbolic
 Tecle Enter que será mostrado o resultado como abaixo
Para formatar o resultado com uma casa decimal, proceda da seguinte forma:
 Selecione o resultado, conforme Fig. a.
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Fig. a
 Selecione Format – Result
 Preencha a caixa de diálogo Format
Result conforme Fig. b e clique OK
 O resultado ficará conforme Fig. c.
Fig. b
Fig. c
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7. Operações com Matrizes
Para
realizar
operações
com
Matrizes
precisaremos da barra de ferramentas Matrix. Por
isso, leve o cursor até a barra de ferramentas Math
e clique no ícone Matrix para ativar esta barra de
ferramentas, mostrada na Fig.7.a.
7.1 Soma e Subtração de Matrizes
Para se somar matrizes é necessário que elas tenham o mesmo
número de linhas e colunas
Para isto, vamos criar as matrizes MAT1 e MAT2 conforme abaixo e armazenar sua
soma na matriz MATSOMA e sua subtração na matriz MATSUB..
a) Criação da matriz MAT1
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz
MAT1
 Escreva MAT1
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas
Calculator
Fig. 7.1.a
 Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix
 Surgirá a janela Insert Matrix, solicitando o número de
linhas e o número de colunas. Digite 3 para ambas e
clique OK
 Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar
onde serão digitados os números, conforme Fig.7.1.a.
Fig. 7.1.b
Digite os valores, utilizando a tecla TAB para passar
para o próximo. Uma vez concluída a digitação, deverá estar conforme Fig.7.1.b.
b) Criação da matriz MAT2
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MAT2
 Escreva MAT2
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de
ferramentas Calculator
 Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix
Fig. 7.1.c
 Surgirá a janela Insert Matrix, solicitando o número de
linhas e o número de colunas. Digite 3 para ambas e clique OK
 Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar onde serão digitados os
números Digite os valores, utilizando a tecla TAB para passar para o próximo. Uma vez
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concluída a digitação, deverá estar conforme Fig.7.1.c.
c) Criação da matriz MATSOMA
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MATSOMA
 Escreva MATSOMA
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
 Digite MAT1 + MAT2. A equação deverá estar conforme abaixo.
d) Criação da matriz MATSUB
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MATSUB
 Escreva MATSUB
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
 Digite MAT1 - MAT2. A equação deverá estar conforme abaixo.
e) Impressão das matrizes MAT e MATS
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MAT
 Escreva MAT
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz
MAT, que deverá estar conforme abaixo:
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MATS
 Escreva MATS
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz
MATS, que deverá estar conforme abaixo:
7.2 Multiplicação de Matrizes
Para se multiplicar duas matrizes o número de linhas da primeira
deve ser igual ao número de colunas da segunda.
 Vamos multiplicar as matrizes MAT1 e MAT2 e armazenar o produto na matriz MATX.
 Para isto digite as matrizes MAT1 e MAT2 abaixo
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 Escreva MATX
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
 Digite MAT1 * MAT2. A equação deverá estar conforme abaixo.
 Escreva MATX
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz
MATX, que deverá estar conforme abaixo:
7.3 Multiplicação de Matriz por um Número
Vamos multiplicar a matriz MAT1 pelo número 2,75 e armazenar o resultado
na matriz MULT. Para isto, proceda conforme abaixo:
 Digite a matriz MAT1 abaixo.
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MULT
 Escreva MULT
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
 Escreva 2.75*MAT1. A equação deverá estar conforme abaixo.
 Escreva MULT
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz
MULT, que deverá estar conforme abaixo:
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7.4 Divisão de Matriz por um Número
Vamos dividir a matriz MAT1 pelo número 2,75 e armazenar o resultado na
matriz DIV. Para isto, proceda conforme abaixo:
 Digite a matriz MAT1 abaixo.
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz DIV
 Escreva DIV
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
 Escreva MAT1/2.75. A equação deverá estar conforme abaixo.
 Escreva DIV
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz
DIV, que deverá estar conforme abaixo:
7.5 Matriz Transposta
As linhas e colunas da matriz MATT, transposta da matriz MAT,
correspondem às colunas e linhas da matriz MAT, respectivamente,
conforme abaixo:
 Digite a matriz MAT abaixo.
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 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a equação.
 Escreva MATT
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
 Escreva MAT
 Clique no ícone Matrix Transpose da barra de ferramentas Matrix. A equação deverá
estar conforme abaixo:
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MATT
 Escreva MATT
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz
MATT, que deverá estar conforme abaixo:
7.6 Matriz Inversa
Só admitem Matriz Inversa as matrizes cujo número de linhas
seja igual ao número de colunas.
 Digite a matriz MAT abaixo.






Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz inversa.
Digite a matriz MAT
Clique no ícone XY da barra de ferramentas Calculator
Digite -1
Leve o cursor do MathCad para o final da expressão teclando na barra de espaço.
Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz
inversa, que deverá estar conforme abaixo:
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7.7 Determinante de uma Matriz
Só se pode calcular o Determinante das matrizes cujo número de
linhas seja igual ao número de colunas.
 Digite a matriz MAT abaixo.
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a expressão.
 Digite a matriz DET
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
 Clique no ícone Determinant da barra de ferramentas Matrix. Aparecerá um quadrado
preto entre barras onde se deve digitar o nome da matriz cujo determinante se deseja
calcular.
 Digite MAT e tecle Enter. A expressão deverá estar conforme abaixo:
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará o determinante DET da matriz MAT.
 Digite a matriz DET
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o
determinante DET, que deverá estar conforme abaixo:
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8. Sistemas de Equações
Um sistema de equações lineares é constituído por n equações com n incógnitas. Para
exemplificar um sistema de três equações lineares seria do tipo abaixo:
a3 X + a2Y +a1 Z = a0
b3 X + b2 Y +b1 Z = b0
c3 X + c2 Y +c1 Z = c0
O MathCad dispõe de duas funções para solução de sistemas de equações: Função
Lsolve e função Find.
8.1 Função Lsolv
O procedimento para resolver este tipo de sistema utilizando o MathCad consiste de três
etapas:
Etapa 1:
Cria-se o determinante X com os coeficientes das incógnitas, conforme abaixo:
X=
a3
a2
a1
b3
b2
b1
c3
c2
c1
Etapa 2:
Cria-se o determinante Y com as constantes das equações, conforme abaixo:
Y=
ao
bo
co
Etapa 3:
Utiliza-se a função Lsolv da seguinte
forma:
 Escreva a variável que
armazenará o resultado, por
exemplo escreva R
 Depois de escrever R clique no
ícone := (Assign Value) da
barra
de
ferramentas
Calculator
 Selecione na barra de menu
Insert – Function
 Na janela Insert Function
selecione a função Lsolve (M
v) (Fig.8.a).
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Fig. 8.a
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título de exercício vamos resolver o sistema de quatro equações abaixo:
X
2X
3X
2X
+ 3Y
- 2Y
- 5Y
- 3Y
+ 5Z
+ 3Z
+ 2Z
+ 4Z
+W
+ 4W
+W
+ 7W
= 8,2
= 11,8
= -2,2
= 18,5
Para resolver este sistema precisaremos da barra de ferramentas
Matrix. Por isso, leve o cursor até a barra de ferramentas Math e
clique no ícone Matrix para ativar esta barra de ferramentas,
mostrada na Fig.7.b acima.
a) Criação da matriz MAT
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará o determinante X
 Escreva MAT
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
 Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix
 Surgirá a janela Insert Matrix, solicitando o número de linhas e o número de colunas.
Digite 4 para ambas e clique OK
 Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar onde serão digitados os
números. Digite os valores, utilizando a tecla TAB para passar para o próximo. Uma
vez concluída a digitação, deverá estar conforme Fig.8.c.
b) Criação da matriz VET
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará o determinante Y
 Escreva VET
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
 Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix
 Surgirá a janela Insert Matrix, solicitando o número de linhas e o número de colunas.
Digite 4 para linhas e 1 para colunas e clique OK
 Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar onde serão digitados os
números. Digite os valores, utilizando a tecla TAB para passar para o próximo. Uma
vez concluída a digitação, deverá estar conforme Fig.8.d.
c) Criação da função Lsolv
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a função Lsolv
 Escreva RES
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
 Selecione na barra de menu Selecione na barra de menu Insert – Function
 Na janela Insert Function selecione a função Lsolve (M v) e clique OK. Será mostrado
o argumento da função Lsolv com dois quadrados pretos separados por vírgulas entre
os parêntesis.
 No primeiro quadrado preto escreva MAT e no segundo quadrado escreva VET e
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depois tecle Enter (Fig. 8.e)
d) Calculo das raízes
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará o vetor RES com os valores de X, Y, Z
eW
 Escreva RES
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o
resultado da operação (Fig. 8.f).
Fig. 8.c
Fig. 8.d
Fig. 8.e
Fig. 8.f
Aplicando a metodologia acima, determine os valores de V, X, Y, Z e W do sistema de
equações abaixo:
4,5 V +
10,8 X +
6,9 Y +
4,2 Z +
2,8 W +
= 19,93
0,9 V +
1,3 X +
4,2 Y +
3,2 Z +
0,6 W +
= 29,19
1,2 V +
8,7 X +
10,3 Y +
9,7 Z +
8,3 W +
= 76,75
4,3 V +
5,1 X +
2,3 Y +
6,4 Z +
5,7 W +
= 53,87
5,3 V +
3,7 X +
0+
7,3 Z +
5,7 W +
= 61,80
A solução deverá estar conforme abaixo:
Fig. 8.g
Fig. 8.h
Fig. 8.i
Fig. 8.j
8.2 Função Given/Find
Para resolver sistemas de equações utilizando a função Given/Find proceda da seguinte
forma:
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a função
 Escreva Given
 Digite o sistema de equações
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 Insira a função Find
Utilizando o método descrito, calcule as equações do sistema abaixo:
O sinal = a ser usado é
o Equal to da barra de
ferramentas Boolean.
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9. Cálculo de Integrais
Para o cálculo de integrais precisaremos da
barra de ferramentas Calculus. Por isso, leve o
cursor até a barra de ferramentas Math e clique no
ícone Matrix para ativar esta barra de ferramentas,
mostrada na ao lado.
O cálculo de integrais no MathCad pode ser feito pelo métodos Numérico e Analítico,
conforme veremos adiante.
9.1 Integrais Simples
Para calcular Integrais simples siga as seguintes etapas:
Etapa 1:
Leve o cursor até a barra de ferramentas Calculus e clique no botão
Definite Integral. Aparecerá o símbolo de integral definida, tendo
quadrados pretos indicando onde digitar os limites inferior e superior e a
função, conforme figura ao lado.
Etapa 2:
Clique nos quadrados pretos e digite a função e os limites de integração.
Etapa 3:
a) Método Numérico:
Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = para calcular a Integral.
b) Método Analítico:
Clique no botão Symbolic Evaluation da barra de ferramentas Symbolic Keyword e
depois tecle Enter para calcular a Integral.
A título de exercício vamos calcular as Integrais abaixo:
 /2
a)
 COS ( X )dX
0
 Leve o cursor até a barra de ferramentas Calculus e clique no botão Definite Integral.
 Quando aparecer o símbolo de Integral digite nos devidos locais os seguintes valores:
Limite inferior: ........0
Limite Superior: ......¶/2
Função: ...................Cos(X)dX
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a) Método Numérico:
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = (Evaluate Expression) que
será mostrado o resultado.
b) Método Analítico:
 Clique no botão Symbolic Evaluation da barra de ferramentas Symbolic Keyword e
depois tecle Enter que será mostrado o resultado.
Método Numérico
3 / 2
b)

0
Método Analítico
X3
(
 4 X 2  1.5 X  17 ) dX
2
Calcule a integral executando os passos do item a acima. Uma vez terminado deverá
estar conforme figura abaixo:
Método Numérico
Método Analítico
c)
Calcule a integral executando os passos do item a acima. Uma vez terminado deverá
estar conforme abaixo:
Método Numérico
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Método Analítico
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9.2 Integrais Duplas
O cálculo de integrais duplas é feito da mesma maneira que no caso das integrais
simples, que consiste das seguintes etapas:
Etapa 1:
Leve o cursor até a barra de ferramentas Calculus e clique duas
vezes no botão Definite Integral. Aparecerá o símbolo de integral
definida dupla, tendo quadrados pretos indicando onde digitar os
limites inferior e superior e as funções, conforme figura ao lado.
Etapa 2:
Clique nos quadrados pretos e digite a função e os limites de integração.
Etapa 3:
a) Método Numérico:
Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = (Evaluate Expression) que
será mostrado o resultado.
b) Método Analítico:
Clique no botão Symbolic Evaluation da barra de ferramentas Symbolic Keyword e
depois tecle Enter para resolver a Integral.
Exemplos:
Explo 1:
Calcule a integral pelos dois métodos, executando os passos do item a acima. Uma vez
terminado deverá estar conforme abaixo.
Método Analítico
Método Numérico
Explo 2:
Calcule a integral pelos dois métodos,
executando os passos do item a acima. Uma vez
terminado, o resultado do método numérico
deverá estar conforme ao lado. Calcule agora o
método analítico.
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10. Cálculo de Derivadas
Para o cálculo de derivadas
ferramentas Calculus e Symbolic.
precisaremos
das
barras
de
10.1 Derivadas de 1ª Ordem
Seja a função:
G(X) = 6X3 + 3 X2 -5X + 3
Para calcular a derivada de 1ª ordem desta função, proceda da seguinte forma:
 Na barra de ferramentas Cálculos, clique na ferramenta Derivative (Fig.10.a).
 Preencha a ferramenta Derivative conforme abaixo:
 Terminada a digitação conforme acima, certifique-se que o cursor está no final da
expressão.
 Clique na barra de ferramentas Symbolic na ferramenta Symbolic Evaluation e
depois tecle Enter.
A expressão deve estar conforme abaixo:
Pode-se também usar diretamente a função, sem digita-la, como abaixo:
3
2
G ( X)  6  X  3  X  5  X  3
2
d
G ( X)  18  X  6  X  5
dX
Pode-se também, armazenar a derivada em uma função, como abaixo:
H ( X) 
d
G ( X)
dX
2
H ( X)  18  X  6  X  5
Desta forma podemos calcular o valor da derivada da função em qualquer ponto,
como abaixo:
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10.2 Derivadas de Ordem N
Seja a função:
G(X) = 6X3 + 3 X2 -5X + 3
Para calcular a derivada de 2ª ordem desta função, proceda da seguinte forma:
 Na barra de ferramentas Cálculos, clique na ferramenta Nth Derivative (Fig.10.a)
 Preencha a ferramenta Nth Derivative conforme abaixo:
 Terminada a digitação conforme acima, certifique-se que o cursor está no final da
expressão.
 Clique na barra de ferramentas Symbolic na ferramenta Symbolic Evaluation e
depois tecle Enter.
A expressão deve estar conforme abaixo:
Pode-se também usar diretamente a função, sem digita-la, como abaixo:
3
2
G ( X)  6  X  3  X  5  X  3
d2
dX
2
G ( X)  36  X  6
Pode-se também, armazenar a derivada em uma função, como abaixo:
H ( X) 
d2
dX
2
G ( X)
H ( X)  36  X  6
Desta forma podemos calcular o valor da derivada da função em qualquer ponto,
como abaixo:
H ( X) 
d2
dX
2
G ( X)
H  3.58  135
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11. Estudo de Regressões
Os estudos de regressão tem por finalidade determinar a função que melhor representa
uma série de valores conhecidos. Uma vez obtida esta função, pode-se então estimar um
valor futuro, obviamente admitindo que o cenário que gerou os valores conhecidos não
venha a mudar no futuro.
Os tipos de regressão mais conhecidos são o Linear, Exponencial, Polinomial,
Logarítmica e Média Móvel. Nós nos deteremos exclusivamente nos métodos Linear e
Polinomial.
11.1 Regressão Linear
A Regressão Linear consiste em determinar a equação da reta (Fig.10.1.a) que melhor
representa uma séria de valores conhecidos (Fig.10.1.b).
Fig. 10.1.a
Fig. 10.1.b
Em resumo, queremos determinar a equação:
Y=aX+b
Onde:
a
b
Coeficiente angular da reta
Intercessão com o eixo das abscissas
A determinação dos coeficientes a e b da reta consiste de quatro etapas, conforme
abaixo:
Etapa 1:
Construção da matriz MAT com N linhas (número de pontos
conhecidos) e 2 colunas, tendo na primeira coluna os valores de X
(variável independente) e na segunda coluna os valores de Y
(variável dependente), conforme figura ao lado.
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Etapa 2:
Informar ao MathCad qual coluna contem os valores de X e qual contem os valores de Y.
Isto é feito da atraves do batão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix, conforme
abaixo:
Etapa 3:
Executar as funções conforme abaixo:
Slope(X,Y) ............ para determinar o coeficiente angular a
Intercept(X,Y)...... para determinar a Intercessão com o eixo das abscissas b
a:=Slope(X,Y)
b:= Intercept(X,Y)
Etapa 4:
Determinar os valores de a e b, digitando conforme abaixo:
a=
b=
Explo 1:
Determine a equação da reta que melhor representa os pontos abaixo:
X
Y
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
7,150 7,850 10,850 10,800 12,650 14,700 15,000 16,100 19,800 19,525
Etapa 1: Construção da matriz MAT
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MAT
 Escreva MAT
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas
Calculator
 Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix
 Surgirá a janela Insert Matrix, solicitando o número de linhas e o
número de colunas. Digite 10 para linhas e 2 para colunas e
clique OK
 Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar onde
serão digitados os números. Digite os valores, utilizando a tecla
TAB para passar para o próximo. Uma vez concluída a
digitação, deverá estar conforme Fig.10.1.c.
Etapa 2: Definição das colunas de X e Y
a) Definição da coluna de X
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 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará X
 Escreva X
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
 Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix Column
 Quando surgir o argumento de Matrix Column (conforme figura ao lado)
clique o quadrado inferior e digite MAT. Depois clique no quadrado superior
e digite 0 e tecle Enter.
a) Definição da coluna de Y
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará Y
 Escreva Y
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
 Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix Column
 Quando surgir o argumento de Matrix Column (conforme figura ao lado)
clique o quadrado inferior e digite MAT. Depois clique no quadrado superior
e digite 1 e tecle Enter.
Etapa 3: Executar as funções Slope(vx, vy) e Intercept(X,Y)
a) Definição do coeficiente a
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficarão valor de a
 Escreva a
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
 Selecione na barra de menu Insert - Function
 Na janela Insert - Function selecione a função Slope(vx, vy) e clique OK.
 Aparecera o argumento da função Slope(vx, vy) com dois
quadrados pretos indicando onde digitar os dados. No primeiro
quadrado e digite X e no segundo digite Y, conforme figura ao
lado e tecle Enter.
b) Definição do coeficiente b
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficarão valor de b
 Escreva b
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
 Selecione na barra de menu Insert - Function
 Na janela Insert - Function selecione a função Intercept(X,Y) e clique OK.
 Aparecera o argumento da função Intercept(X,Y com dois
quadrados pretos indicando onde digitar os dados. No
primeiro quadrado e digite X e no segundo digite Y, conforme
figura ao lado e tecle Enter.
Etapa 3: Determinação dos coeficientes a e b
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficarão valor de a
 Escreva a
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = para calcular o valor de a e
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tecle Enter.
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficarão valor de b
 Escreva b
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = para calcular o valor de a e
tecle Enter.
O resultado deverá ser:
a = 2.86
b = 7.008
Desta forma, a reta que melhor representa os pontos dados é dada pela equação abaixo:
y  2.86 x  7.008
11.2 Regressão Polinomial
A Regressão Polinomial consiste em determinar o polinômio que melhor representa
uma séria de valores conhecidos. Esta determinação consiste de quatro etapas, conforme
abaixo:
Etapa 1:
Construção da matriz MAT com N linhas (número de pontos
conhecidos) e 2 colunas, tendo na primeira coluna os valores de X
(variável independente) e na segunda coluna os valores de Y
(variável dependente), conforme figura ao lado.
Etapa 2:
Informar ao MathCad qual coluna contem os valores de X e qual
contem os valores de Y. Isto é feito da atraves do botão Matrix Column da barra de
ferramentas Matrix, conforme abaixo:
 Escreva X
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
 Escreva MAT
 Clique no botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix.
 Aparecerá o quadrado preto entre os símbolos <> como expoente de MAT onde se
deve digitar 0, conforme abaixo.
 Escreva Y
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
 Escreva MAT
 Clique no botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix.
 Aparecerá o quadrado preto entre os símbolos <> como expoente de MAT onde se
deve digitar 1, conforme abaixo.
Etapa 3:
Informar ao MathCad qual a ordem do polinômio a ser usado no ajuste polinomial. Isto é
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feito da seguinte forma:
 Escreva K (ou uma outra variável)
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
 Escreva 3 (ou outra ordem) e tecle Enter.
Etapa 4:
Armazenar em uma variável a função regress(Mx, vy,n), conforme abaixo:
 Escreva W (ou uma outra variável)
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
 Selecione na barra de menu Insert – Function
 Na janela Insert - Function selecione a função regress(Mx, vy,n), e clique OK.
 Aparecera o argumento da função regress(Mx, vy,n), com três quadrados pretos
indicando onde digitar os dados.
o No primeiro quadrado e digite X
o No segundo quadrado e digite Y
o No terceiro quadrado e digite K
o Tecle Enter. A função deverá estar conforme abaixo.
Etapa 5:
Criar o polinômio através da função interp(W, X,Y,S), conforme abaixo:
 Escreva F(Z)
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
 Selecione na barra de menu Insert – Function
 Na janela Insert - Function selecione a função interp(vs, Mx,My,x), e clique OK.
 Aparecera o argumento da função interp(vs, Mx,My,x), com três quadrados pretos
indicando onde digitar os dados.
 No primeiro quadrado e digite W
 No segundo quadrado e digite X
 No terceiro quadrado e digite Y
 No quarto quadrado e digite Z
 Tecle Enter. A função F(Z), que é o polinômio de ordem K deverá estar conforme
abaixo.
Exercício:
Determine o polinômio de 6ª ordem que melhor representa os valores abaixo e calcule
seu valor nos pontos X=2,75 e X= 11,47
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
F(X) 10,470 7,273 21,089 23,606 49,729 55,519 95,443 122,175 178,008 227,857
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Etapa 1: Construção da matriz MAT
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz
MAT
 Escreva MAT
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas
Calculator
 Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix
 Surgirá a janela Insert Matrix, solicitando o número de linhas
e o número de colunas. Digite 10 para linhas e 2 para
colunas e clique OK
 Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar onde
serão digitados os números. Digite os valores, utilizando a
tecla TAB para passar para o próximo. Uma vez concluída a
digitação, deverá estar conformefigura ao lado
Etapa 2: Definição das colunas de X e Y
Informar ao MathCad qual coluna contem os valores de X e qual contem os valores de Y.
Isto é feito da atraves do botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix, conforme
abaixo:
 Escreva X
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
 Escreva MAT
 Clique no botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix.
 Aparecerá o quadrado preto entre os símbolos <> como expoente de MAT onde se
deve digitar 0, conforme abaixo.
 Escreva Y
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
 Escreva MAT
 Clique no botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix.
 Aparecerá o quadrado preto entre os símbolos <> como expoente de MAT onde se
deve digitar 1, conforme abaixo.
Etapa 3: Definição da ordem do polinômio
Informar ao MathCad qual a ordem do polinômio a ser usado no ajuste polinomial. Isto é
feito da seguinte forma:
 Escreva K (ou uma outra variável)
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
 Escreva 6 (ou outra ordem) e tecle Enter.
Etapa 4: Armazenar em uma variável a função regress(Mx, vy,n)
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 Escreva W
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
 Selecione na barra de menu Insert – Function
 Na janela Insert - Function selecione a função regress(Mx, vy,n), e clique OK.
 Aparecera o argumento da função regress(Mx, vy,n), com três quadrados pretos
indicando onde digitar os dados.
o No primeiro quadrado e digite X
o No segundo quadrado e digite Y
o No terceiro quadrado e digite K
o Tecle Enter. A função deverá estar conforme acima.
Etapa 5: Criar o polinômio F(Z) através da função interp(W, X,Y,S)





Escreva F(Z)
Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator
Selecione na barra de menu Insert – Function
Na janela Insert - Function selecione a função interp(vs, Mx,My,x), e clique OK.
Aparecera o argumento da função interp(vs, Mx,My,x), com três quadrados pretos
indicando onde digitar os dados.
 No primeiro quadrado e digite W
 No segundo quadrado e digite X
 No terceiro quadrado e digite Y
 No quarto quadrado e digite Z
 Tecle Enter. A função F(Z), que é o polinômio de 6ª ordem e deverá estar conforme
abaixo.
Etapa 6: Definição dos coeficientes
 Escreva W
 Digite = (igual) ou clique na barra
Calculator no símbolo = para
visualizar o vetor com os coeficientes
do polinômio e clique Enter. O vetor
deverá estar conforme figura ao lado.
Para calcular os valores nos pontos
X=2,75 e X= 11,47 proceda conforme
abaixo:
 Escreva F(2.75)
 Digite = (igual) ou clique na barra
Calculator no símbolo = para
visualizar o valor do polinômio no
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Termo Independente
Coeficiente de X1
Coeficiente de X2
Coeficiente de X3
Coeficiente de X4
Coeficiente de X5
Coeficiente de X6
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ponto X=2,75 e clique Enter.
 Escreva F(11.47)
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = para visualizar o valor do
polinômio no ponto X= 11,47 e clique Enter.
 O resultado deverá estar conforme abaixo:
Exercício:
O histórico de consumo de determinada matéria em uma empresa é mostrado na
Fig. A.
Estime o consumo para os 3 meses seguintes, utilizando um polinômio de 5º grau.
Solução:
Para construir a matriz polinomial, vamos
numerar os meses, conforme Fig. B.
Desta forma, uma vez construído o
polinômio, calcularemos os valores futuros
calculando o valor do polinômio para 13, 14
e 15, conforme abaixo.
Fig. B
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Fig. A
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12. Construção de Gráficos
Para a construção de gráficos precisaremos da
barra de ferramentas Graph. Por isso, leve o cursor
até a barra de ferramentas Math e clique no ícone
Graph Palette para ativar esta barra de ferramentas,
mostrada na ao lado.
Para a construção de gráficos de funções proceda conforme abaixo:
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a função
 Digite a função F(X)
 Clique na barra de ferramentas Graph no tipo do gráfico
desejado. Aparecerá a estrutura do gráfico com os eixos
conforme figura ao lado.
 Digite no quadrado do eixo das abscissas o nome da
variável e no do eixo das ordenadas o nome da função.
A título de exercício vamos construir o gráfico da função abaixo:
Para isto, proceda conforme abaixo:
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a função
 Digite a função
 Clique na barra de ferramentas Graph no ícone X-Y Plot. Aparecerá a estrutura do
gráfico com os eixos e os quadrados para digitar o nome da variável e da função.
 No quadrado do eixo das variáveis digite X
 No quadrado do eixo das abscissas digite F(X)
 Tecle Enter. O gráfico deve estar conforme abaixo.
Limite superior
de F(X)
Limite inferior
de F(X)
Limite superior
de X
Limite inferior
de X
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12.1 Formatação de Gráficos
Conforme visto no item anterior, o gráfico é gerado automaticamente pelo MathCad, sem
podermos escolher os limites nem a escala. No gráfico traçado acima, os limites de X, entre
-10 e +10 foram ditados pelo programa.
Isto pode gerar um gráfico que não atenda perfeitamente, principalmente quando
estamos interessados em conhecer o comportamento da função dentro de certos limites da
variável.
Desta forma, torna-se necessário alterar as propriedades do gráfico gerado.
A título de exercício vamos formatar o gráfico de F(X) gerado no item anterior da
seguinte forma:
Limite inferior de X: ............... 0
Limite superior de X: ............. 5
Limite inferior de F(X): .......... 0
Limite superior de F(X): ........ 50
Para isto, proceda da seguinte forma:
 Clique com o cursor do mouse no limite inferior de X. Apague o valor -10 e digite 0
 Clique com o cursor do mouse no limite superior de X. Apague o valor +10 e digite 5
 Clique com o cursor do mouse no limite inferior de F(X). Apague o valor -18.8 e
digite o valor 0
 Clique com o cursor do mouse no limite superior de F(X). Apague o valor 45.7 e
digite o valor 50
O gráfico deve estar conforme abaixo:
Além dos limites superior e inferior do gráfico podemos formatar também outras
propriedades, como linhas de grade, tipos de eixo, escala, etc.
Vamos formatar o gráfico acima com as seguintes propriedades:
a) Adicionar grades horizontal e vertical
b) Mudar a escala vertical para que os valores fiquem múltiplos de 10
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Para isto proceda conforme abaixo
 Dê um duplo clique sobre o gráfico. Aparecerá a caixa de diálogo Formating
Currently Selected X-Y Plot mostrada abaixo
 Selecione as opções conforme figura acima e clique OK. Formate o gráfico nas abas
Traces e Label para que fique conforme abaixo.
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12.2 Gráficos de Duas Funções
A construção de gráficos de duas ou mais funções segue os mesmo procedimento que a
dos gráficos de apenas uma função.
Para informar ao MathCad as funções que devem ser plotadas, elas devem ser escritas
no eixo das abcissas separadas por , (vírgula).
Seja, por exemplo, construir os gráficos das funções abaixo, F(X) e H(X).
F ( X)  3  X
2
2
H ( X)  3  X  50
Uma vez formatado, o gráfico das funções ficará conforme abaixo
Digite F(X),H(X)
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13. Erro: Existência e Propagação
13.1 Existência do Erro
O Erro está presente em todos os campos do Cálculo Numérico, pois:
 Os valores, em si, não são exatos.
Isto decorre do processo de medição, do erro do medidor e da incerteza do valor
verdadeiro.
Por exemplo, um valor de 50m, com uma incerteza de ±0,2, é algo no intervalo de
49,8 e 50,2
 Quando efetuamos operações com esses valores, o Erro se propaga.
Quando efetuamos operações com valores que carregam incertezas, ela é levada
para os resultados.
Isto é chamado de Propagação do Erro.
 Os métodos numéricos são, freqüentemente, aproximados
Isto realça que os métodos numéricos não são, freqüentemente, exatos. Este método
procura valores aproximados, buscando diminuir o erro e cada iteração que é feita.
 Arredondamento
O computador representa números reais com um número finito de dígitos, sendo
abrigado e aproximá-los quando este demandarem mais dígitos do que ele está
programado para usar.
Um exemplo é o número ¶ e o número e, que terão que ser arredondados, pois seus
infinitos dígitos não podem ser representados no computador.
Quando representamos um valor por M ± µ, M muito maior que µ, chamamos:
µ ..............Desvio Absoluto ou Erro Absoluto
µ / |M| .....Desvio Relativo ou Erro Relativo ( |M| é o valor absoluto de M)
13.2 Propagação do Erro
Sejam os números abaixo, a e b:
a = 60 ± 2
b = 30 ± 3
Desta forma, os valores máximos e mínimos de a e b são:
a: ....... De 58 a 62
b: ....... De 27 a 33
62 +33
95
58 + 27
85
a+b
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A Soma a + b varia de 85 a 95
62 - 27
35
58 - 33
25
a-b
A Subtração a - b varia de 25 a 35
62 x 33
2.046
58 x 27
1.566
axb
A Multiplicação a x b varia de 1.566 a 2.046
Seja:
ea ...... Erro absoluto de a
eb ...... Erro absoluto de b
Teremos:
a) O Erro Absoluto da Soma
(a ± ea) + (b ± eb) = a + b ± (ea + eb)
O Erro Absoluto da Soma é a soma dos erros absolutos das
parcelas.
b) O Erro Absoluto da Subtração
(a ± ea) - (b ± eb) = a - b ± (ea + eb)
O Erro Absoluto da Subtração é a soma dos erros absolutos das
parcelas.
c) O Erro Absoluto da Multiplicação
(a ± ea) x (b ± eb) = a . b ± (a . eb + b . ea)
O Erro Absoluto da Multiplicação é a soma dos erros absolutos
das parcelas, ponderado pelo valor das parcelas.
Para analisar o Erro Relativo, consideremos:
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Esoma ... Erro Relativo da soma
Esub ..... Erro Relativo da subtração
Eprod .... Erro Relativo da multiplicação
Ea ........ Erro Relativo d e a
Eb ........ Erro Relativo de b
d) O Erro Relativo da Soma
Esoma = esoma / (a+b) = ea / (a+b) +eb / (a+b)
E soma 
ea a
e
b
.
 b.
a ab b ab
Esoma  Ea .
a
b
 Eb .
ab
ab
O Erro Relativo da Soma é a soma dos erros Relativos de cada
parcela, ponderada pela respectiva parcela.
e) O Erro Relativo da Subtração
Esub  esub .
(e  e )
a
e
e
 a b  a  b
a b
a b
a b a b
Esub  Ea .
a
b
 Eb .
a b
a b
O Erro Relativo da Subtração é a soma dos erros relativos do
minuendo com o erro relativo do subtraendo, ponderados pelas
respectivas parcelas.
f) O Erro Relativo do Produto
E prod 
e prod
a.b

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eb ea

b a
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O Erro Relativo do Produto é a soma dos erros relativos dos
fatores.
g) O Erro Relativo da Divisão
Ediv
ea eb .a

b
b.b  ea  eb

a
a b
b
O Erro Relativo da Divisão é a soma dos erros relativos do
dividendo e do divisor.
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14. Cálculo de Raízes
Um caso clássico de cálculo de raízes de equações são as de segundo grau, da forma:
a.x 2  b.x  c  0
As duas raízes são dados pela fórmula:
 b  b 2  4.a.c
x
2.a
Contudo, existem expressões cuja solução não é tão simples, como nos casos abaixo:
ex  x  0
cos( x )  x  0
Ln ( x )  x  2  0
Também os polinômios, com grau superior a 3 não tem solução simples.
Vamos ver adiante alguns métodos numéricos para cálculos de raízes destas equações,
com resultados que, embora aproximados, estejam dentro de limites estabelecidos.
14.1 Método Gráfico
Um gráfico bem plotado pode nos dar uma ideia bastante acurada das raízes de
equações e, dependendo da precisão requerida, pode resolver nossos problemas.
Caso a precisão requerida não seja atendida por este método, ele pode servir de entrada
para outros métodos mais aprimorados, que nos levem a precisão desejada.
Seja a função: G ( X)  cos ( X)  X
3
O gráfico da função ficará conforme abaixo:
Raiz
Pela análise do gráfico, constatamos que raiz da equação encontra-se entre 0,0 e 1,0.
Caso este erro não seja admissível, poderemos usar esta resposta como ponto de
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partida para métodos mais precisos.
14.2 Método da Bipartição
Este método tenta melhorar a precisão de resultados obtidos por outros métodos
aproximados como, por exemplo, o método gráfico.
Ele parte de um intervalo entre dois pontos, a e b, onde existe, pelo menos, uma raiz,
que é o ponto onde a função muda de sinal, procedendo da seguinte forma:
 Acha-se o ponto médio desse intervalo e calcula-se o valor da função nesse ponto. Se
o valor da função for zero, achou-se a raiz, o que não costuma acontecer.
 O próximo passo é reduzir o espaço à metade e repetir a operação. O sinal da
equação determinará se o espaço a ser escolhido será a metade da esquerda ou da
direita.
 Para determinar a metade onde se localiza a raiz, procede-se da seguinte forma:
 Calcula-se o ponto médio c = (a + b)/2
 Calcula-se F(a), F(b) e F(c)
 Se F(a) x F(c) < 0 a raiz está entre a e c, caso contrário estará entre b e c.
 Se a raiz estiver entre a e c, atribui-se a c o valor de b e repete-se o processo.
 Se a raiz estiver entre b e c, atribui-se a c o valor de a e repete-se o processo.
Este Processo da Bipartição permite chegar tão próximo da raiz quanto se queira, pois,
como descrito acima, a cada iteração o intervalo é dividido por dois e pode-se continuar até
atingir a precisão descrita.
Aplicando o Método da Bipartição para determinar a raiz da equação G(X) vista no
Método Gráfico, teremos o quadro abaixo:
G ( x)  Cos( x)  x3
Raiz
Pelo gráfico da função acima mostrado, constata-se que existe uma raiz entre os
pontos 0 e 1. Assim, faremos:
a  0 b 1
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Na planilha acima a coluna C mostra o local onde a função corta o Eixo X, que é o valor
da raiz.
Podem-se fazer tantas iterações quando se queira, até obter um valor de erro dentro do
limite tolerável.
Neste caso, conforme a planilha acima, verificamos que, na 14ª iteração, o valor da
raiz é 0,8654.
Para fins de comparação, pode-se calcular o valor usando funções do MathCad, que
resultará no valor abaixo:
Caso se deseje uma precisão melhor, deve-se continuar o processo acima até atingir a
precisão desejada.
Pode-se também utilizar a função lógica SE para determinar os valores de a e b, a
partir da 2ª iteração, conforme mostrado abaixo.
Os valores de a e b da 1ª iteração (células B4 e C4) tem que, obrigatoriamente, ser
digitados.
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15. Resolução de Sistemas de Equações Lineares
Os métodos de resolução de Sistemas Lineares podem ser divididos em Métodos
Diretos e Métodos Iterativos.
Independentemente do grupo escolhido, ambos visam a resolução de equações do tipo
abaixo:
Na forma matricial, o sistema de equações lineares acima fica conforme abaixo:
aij Coeficientes das incógnitas, que formam a Matriz dos Coeficientes.
bij Termos Independentes, que formam o Vetor dos Termos Independentes.
xij São as incógnitas, que formam o Vetor das Incógnitas.
Os principais Métodos Diretos são:
 Eliminação de Gauss
 Fatoração LU
Os principais Métodos Iterativos são:
 Jacobi
 Gauss-Seidel
Devemos ter em mente que estes são Métodos Iterativos o número de iterações necessárias
para atingir a solução está condicionado a precisão desejada e que pode ocorrer dos
sistema não convergir.
Pode ser demonstrado que a condição suficiente, mas não necessária para haver
convergência é que a matriz dos coeficientes seja Diagonalmente Dominante.
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Em uma matriz Diagonalmente Dominante, para cada linha, o
termo da diagonal principal é, em módulo, maior ou igual que a soma
dos demais termos da linha e, pelo menos em uma linha, o módulo é
maior.
15.1 Método da Eliminação de Gauss
Considere a sistemas de equações abaixo, no qual os coeficientes das incógnitas abaixo
da diagonal principal são todos zero.
A solução deste tipo de sistema de equações, em que os termos abaixo da diagonal
principal são todos nulos, é imediata, pois resolvendo a terceira equação temos:
X3 
3,33
 2,5
1,33
Resolvendo a 2ª equação temos:
X2 
 17,07  3,69 X 3
 2,0
3,92
Analogamente, resolvendo a primeira equação teremos:
X1 
14,75  3,6 X 3  1,50 X 2
 3,5
2,50
O Método da Eliminação de Gauss enquadro-se no grupo dos Métodos Diretos e o
objetivo é converter um dado sistema de equações para sua forma triangular (coeficientes
nulos abaixo da diagonal principal).
Portanto, este método é composto de duas fases:
1ª Fase (forward):
Converter o sistema original em um sistema triangular.
Eliminar a variável X1 de todas as equações, a partir da segunda.
Depois, eliminar a variável X2 de todas as equações, a partir da
terceira e, assim sucessivamente.
2ª Fase (backward): Resolver o sistema, começando pela última variável, depois a
penúltima, etc.
Seja o sistema de três equações abaixo:
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a11  2.5
a12  1.5
a13  3.6
b1  14.75
a21  4.30
a22  6.50
a23  2.50
b2  8.30
a31  3.2
a32  4.3
a33  3.70
b3  11.85
 a11
 a21

 a31
a12 a13 
 2.50
  4.30

 3.20
1.50 3.60 
MAT 
MAT

a23

a33 
a22
a32
2.50 

3.70 
6.50
4.30
VET 
VET
 b1 
 b2 
 
 b3 
 14.75 
  8.30 


 11.85 
======= 2a Linha = 2a Linha - 1a Linha x k1 =======
k1 
a21
a11
a21  a21  a11  k1
a22  a22  a12  k1
a23  a23  a13  k1
b2  b2  b1  k1
MAT 
MAT
 a11
 a21

 a31
 2.50
  0.00

 3.20
a12 a13 
a22
a32
1.50
3.92
4.30

a23

a33 

 3.69 

3.70 
VET 
3.60
VET
 b1 
 b2 
 
 b3 
 14.75 
   17.07 


 11.85 
======= 3a Linha = 3a Linha - 1a Linha x k2 =======
k2 
a31
a11
a31  a31  a11  k2
a32  a32  a12  k2
a33  a33  a13  k2
b3  b3  b1  k2
MAT 
MAT
 a11
 a21

 a31
 2.50
  0.00

 0.00
a12 a13 
a22
a32
1.50
3.92
2.38

a23

a33 

 3.69 

 0.91 
VET 
3.60
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VET
 b1 
 b2 
 
 b3 
 14.75 
   17.07 


 7.03 
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======= 3a Linha = 3a Linha - 2a Linha x k3 =======
k3 
a32
a22
a31  a31  a21  k3
a32  a32  a22  k3
a33  a33  a23  k3
b3  b3  b2  k3
MAT 
MAT 
 a11
 a21

 a31
a12 a13 
a32

a23

a33 
 2.50
 0.00

 0.00
1.50
3.60
a22
1.33
VET 
 14.75 
  17.07 


 3.33 

3.92  3.69 
0.00
VET 
 b1 
 b2 
 
 b3 


======= RESULTADOS =======
Usando solução de equações:
Pode-se usar também uma linguagem de programação e criar um
programa para determinar as raízes de um sistema pelo Método de
eliminação de Gauss.
O programa utilizado abaixo foi o PASCALZIM, Versão 5.1.1.,
desenvolvido com finalidades educacionais e de livre utilização.
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O programa desenvolvido e respectivos resultados são mostrados a seguir:
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Program Metodo_Gauss;
Var A: Array[1..3, 1..3] of Real; B: Array[1..3] of Real;
i, j: Integer; k1, k2, k3: Real; X1, X2, X3: Real;
Begin
{===== A(3X3) ---> Matriz dos coeficientes =====}
A[1,1]:=2.50; A[1,2]:=1.50; A[1,3]:=3.60;
A[2,1]:=4.30; A[2,2]:=6.50; A[2,3]:=2.50;
A[3,1]:=3.20; A[3,2]:=4.30; A[3,3]:=3.70;
{===== B(3x1)--> Vetor dos termos independentes =====}
B[1]:=14.75; B[2]:=8.30; B[311.85;
Writeln('Matriz A e vetor B');
For i:=1 to 3 do Begin
{Impressão de A e B}
For j:=1 to 3 do Begin
Write (A[i,j], ' - ');
End;
Write ('--> ',B[i]);
Writeln;
Writeln;
End;
Writeln;
{===== 2a Linha = 2a Linha - 1a Linha x k1 =====}
k1:= A[2,1]/A[1,1];
For i:=1 to 3 do Begin;
A[2,i]:= A[2,i]-A[1,i]*k1
End;
B[2]:=B[2]-B[1]*k1;
{===== 3a Linha = 3a Linha - 1a Linha x k2 =====}
k2:= A[3,1]/A[1,1];
For i:=1 to 3 do Begin;
A[3,i]:= A[3,i]-A[1,i]*k2
End;
B[3]:=B[3]-B[1]*k2;
{===== 3a Linha = 3a Linha - 2a Linha x k3 =====}
k3:= A[3,2]/A[2,2];
For i:=1 to 3 do Begin;
A[3,i]:= A[3,i]-A[2,i]*k3
End;
B[3]:=B[3]-B[2]*k3;
{====== Impressão de A e B ============}
Writeln; writeln;
Writeln('Matriz de Gauss');
For i:=1 to 3 do Begin
For j:=1 to 3 do Begin
Write (A[i,j], ' - ');
End;
Write ('--> ',B[i]);
Writeln;
Writeln;
End;
{======= Impressão das Raízes ==========}
X3:= B[3]/A[3,3];
X2:= (B[2]-A[2,3]*X3)/A[2,2];
X1:= (B[1]-A[1,2]*X2-A[1,3]*X3)/A[1,1];
Writeln('Raízes: ');
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MathCad 15
Writeln ('
X1= ',X1);
Writeln ('
X2= ',X2);
Writeln ('
X3= ',X3);
Writeln('Tecle ENTER p/
End.
José Antelo Cancela
Writeln;
Writeln;
Writeln;
Terminar');
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Determinar as raízes do sistema de equações abaixo, pelo Método de
eliminação de Gauss, utilizando o PASCALZIM.
Program Metodo_Gauss_4Eq ;
Var A: Array[1..4, 1..4] of Real; B: Array[1..4] of Real;
i, j: Integer;
k1, k2, k3, k4, k5, k6: Real;
X1, X2, X3, X4: Real;
{A(4x4) ---> Matriz dos coeficientes}
Begin
A[1,1]:=3.55; A[1,2]:=3.70; A[1,3]:=4.47;
A[2,1]:=6.41; A[2,2]:=5.34; A[2,3]:=2.93;
A[3,1]:=2.14; A[3,2]:=5.90; A[3,3]:=9.57;
A[4,1]:=2.95; A[4,2]:=3.18; A[4,3]:=8.32;
A[1,4]:=2.10;
A[2,4]:=1.47;
A[3,4]:=8.01;
A[4,4]:=0.35;
{B(4x1) ---> Vetor dos termos independentes}
B[1]:=9.6350; B[2]:=10.4600; B[3]:=2.2350; B[4]:=25.1000;
{====== Impressão de A e B =====================}
Writeln('Matriz A e vetor B');
For i:=1 to 4 do Begin
For j:=1 to 4 do Begin
Write (A[i,j], ' ; ');
End;
Write ('--> ',B[i]);
Writeln; Writeln;
End;
Writeln;
{===== 2a Linha = 2a Linha - 1a Linha x k1 =====}
k1:= A[2,1]/A[1,1];
For i:=1 to 4 do Begin;
A[2,i]:= A[2,i]-A[1,i]*k1
End;
B[2]:=B[2]-B[1]*k1;
{===== 3a Linha = 3a Linha - 1a Linha x k2 =====}
k2:= A[3,1]/A[1,1];
For i:=1 to 4 do Begin;
A[3,i]:= A[3,i]-A[1,i]*k2
End;
B[3]:=B[3]-B[1]*k2;
{===== 3a Linha = 3a Linha - 2a Linha x k3 =====}
k3:= A[3,2]/A[2,2];
For i:=1 to 4 do Begin;
A[3,i]:= A[3,i]-A[2,i]*k3
End;
B[3]:=B[3]-B[2]*k3;
José Antelo Cancela
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{===== 4a Linha = 4a Linha - 1a Linha x k4 =====}
k4:= A[4,1]/A[1,1];
For i:=1 to 4 do Begin;
A[4,i]:= A[4,i]-A[1,i]*k4
End;
B[4]:=B[4]-B[1]*k4;
{===== 4a Linha = 4a Linha - 2a Linha x k5 =====}
k5:= A[4,2]/A[2,2];
For i:=1 to 4 do Begin;
A[4,i]:= A[4,i]-A[2,i]*k5
End;
B[4]:=B[4]-B[2]*k5;
{===== 4a Linha = 4a Linha - 3a Linha x k6 =====}
k6:= A[4,3]/A[3,3];
For i:=1 to 4 do Begin;
A[4,i]:= A[4,i]-A[3,i]*k6
End;
B[4]:=B[4]-B[3]*k6;
{====== Impressão de A e B =====================}
Writeln('Matriz de Gauss');
For i:=1 to 4 do Begin
For j:=1 to 4 do Begin
Write (A[i,j], ' ; ');
End;
Write ('--> ',B[i]);
Writeln;
Writeln;
End;
{===== Cálculo das Raízes ======================}
X4:= B[4]/A[4,4];
X3:= (B[3]-A[3,4]*X4)/A[3,3];
X2:= (B[2]-A[2,3]*X3-A[2,4]*X4)/A[2,2];
X1:= (B[1]-A[1,2]*X2-A[1,3]*X3-A[1,4]*X4)/A[1,1];
Writeln('Raízes: ');
Writeln ('
X1= ',X1); Writeln;
Writeln ('
X2= ',X2); Writeln;
Writeln ('
X3= ',X3); Writeln;
Writeln ('
X4= ',X4); Writeln;
Writeln('Tecle ENTER p/ Terminar');
End.
José Antelo Cancela
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Podemos também aplicar o Método Eliminação de Gauss duas vezes, primeiro zerando
os elementos abaixo da diagonal principal e depois acima.
Seja o Sistema de equações abaixo:
Vamos aplicar o Método Eliminação de Gauss duas vezes para determinar as raízes:
a11  2.5
a12  1.5
a13  3.6
b1  14.75
a21  4.30
a22  6.50
a23  2.50
b2  8.30
a31  3.2
a32  4.3
a33  3.70
b3  11.85
 a11 a12 a13 


MAT  a21 a22 a23


 a31 a32 a33 
 b1 
 
VET  b2
 
 b3 
 2.50 1.50 3.60 
MAT   4.30 6.50 2.50 
 3.20 4.30 3.70 


 14.75 
VET   8.30 
 11.85 


===== 2a Linha = 2a Linha - 1a Linha x k1 =========
k1 
a21
a11
a21  a21  a11  k1
a22  a22  a12  k1
a23  a23  a13  k1
b2  b2  b1  k1
 a11 a12 a13 


MAT  a21 a22 a23


 a31 a32 a33 
 b1 
 
VET  b2
 
 b3 
 2.50 1.50 3.60 
MAT   0.00 3.92 3.69 
 3.20 4.30 3.70 


 14.75 
VET   17.07 
 11.85 


José Antelo Cancela
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===== 3a Linha = 3a Linha - 1a Linha x k2 =========
k2 
a31
a11
a31  a31  a11  k2
a32  a32  a12  k2
a33  a33  a13  k2
b3  b3  b1  k2
 a11 a12 a13 


MAT  a21 a22 a23


 a31 a32 a33 
 b1 
 
VET  b2
 
 b3 
 2.50 1.50 3.60 
MAT   0.00 3.92 3.69 
 0.00 2.38 0.91 


 14.75 
VET   17.07 
 7.03 


====== 3a Linha = 3a Linha - 2a Linha x k3 =========
k3 
a32
a22
a31  a31  a21  k3
a32  a32  a22  k3
a33  a33  a23  k3
b3  b3  b2  k3
 a11 a12 a13 


MAT  a21 a22 a23


 a31 a32 a33 
 b1 
 
VET  b2
 
 b3 
 2.50 1.50 3.60 
MAT   0.00 3.92 3.69 
 0.00 0.00 1.33 


 14.75 
VET   17.07 
 3.33 


====== 1a Linha = 1a Linha - 2a Linha x k4 =========
k4 
a12
a22
a11  a11  a21  k4
a13  a13  a23  k4
José Antelo Cancela
a12  a12  a22  k4
b1  b1  b2  k4
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 a11 a12 a13 


MAT  a21 a22 a23


 a31 a32 a33 
 b1 
 
VET  b2
 
 b3 
 2.50 0.00 5.01 
MAT   0.00 3.92 3.69 
 0.00 0.00 1.33 


 21.28 
VET   17.07 
 3.33 


====== 1a Linha = 1a Linha - 2a Linha x k5 =========
k5 
a13
a33
a13  a13  a33  k5
b1  b1  b3  k5
 a11 a12 a13 


MAT  a21 a22 a23


 a31 a32 a33 
 b1 
 
VET  b2
 
 b3 
 2.50 0.00 0.00 
MAT   0.00 3.92 3.69 
 0.00 0.00 1.33 


 8.75 
VET   17.07 
 3.33 


====== 2a Linha = 2a Linha - 3a Linha x k6 =========
k6 
a23
a33
a23  a23  a33  k6
b2  b2  b3  k6
 a11 a12 a13 


MAT  a21 a22 a23


a31
a32
a33


 b1 
 
VET  b2
 
 b3 
 2.50 0.00 0.00 
MAT   0.00 3.92 0.00 
 0.00 0.00 1.33 


 8.75 
VET   7.84 
 3.33 


x1 
b1
 3.50
a11
José Antelo Cancela
x2 
b2
 2.00
a22
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x3 
b3
 2.50
a33
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15.2 Método de Jacobi
Os Métodos Diretos tem o inconveniente de alterar a matriz inicial que, no caso de
grandes matrizes, pode levar a erros não toleráveis.
Os Métodos Iterativos mantém inalterada a matriz principal, partindo de uma
aproximação inicial, melhorando continuamente a aproximação, até alcançar uma solução
aceitável.
O Método de Jacobi isola uma variável em cada equação e aplicar às outras uma
aproximação inicial chegando-se assim a a outra aproximação, que, espera-se, seja melhor
que a anterior.
Assim, dado um sistema de n equações e n incógnitas, teremos:
x1  f1 ( x2 , x3 ,....., xn )
x2  f 2 ( x1 , x3 ,....., xn )
.......... .......... .......... ...
xn  f n ( x1 , x2 ,....., xn1 )
Vamos resolver o sistema abaixo pelo Método de Jacobi
====== Método de Jacobi ======
========== 1a Iteração ==========
X1  0
X2  0
X3  0
A1:=X1
A2:=X2
A3:=X3
X1 
30.226  0.882  X2  2.762  X3
5.996
 5.041
D1  X1  A1  5.041
A1  X1
-----------------------------------------------------X1  0
X2 
X2  0
X3  0
22.716  0.998  X1  1.922  X3
5.523
 4.113
D2  X2  A2  4.113
A2  X2
-----------------------------------------------------X1  0
X3 
X2  0
X3  0
22.130  1.092  X1  1.838  X2
7.130
 3.104
D3  X3  A3  3.104
A3  X3
D1  5.041
José Antelo Cancela
D2  4.113
D3  3.104
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========== 2a Iteração ==========
X1  5.041
A1  X1
X1 
X2  4.113
A2  X2
X3  3.104
A3  X3
30.226  0.882  X2  2.762  X3
5.996
 3.006
D1  X1  A1  2.035
A1  X1
-----------------------------------------------------X1  5.041
X2 
X2  4.113
22.716  0.998  X1  1.922  X3
5.523
X3  3.104
 2.122
D2  X2  A2  1.991
A2  X2
-----------------------------------------------------X1  5.041
X3 
X2  4.113
22.130  1.092  X1  1.838  X2
7.130
X3  3.104
 1.271
D3  X3  A3  1.833
A3  X3
D1  2.035
D2  1.991
D3  1.833
========== 3a Iteração ==========
X1  3.006
A1  X1
X1 
X2  2.122
A2  X2
X3  1.271
A3  X3
30.226  0.882  X2  2.762  X3
5.996
 4.143
D1  X1  A1  1.137
A1  X1
-----------------------------------------------------X1  3.006
X2 
X2  2.122
22.716  0.998  X1  1.922  X3
5.523
X3  1.271
 3.127
D2  X2  A2  1.005
A2  X2
-----------------------------------------------------X1  3.006
X3 
X2  2.122
22.130  1.092  X1  1.838  X2
7.130
José Antelo Cancela
X3  1.271
 2.096
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D3  X3  A3  0.825
A3  X3
D1  1.137
D2  1.005
D3  0.825
========== 4a Iteração ==========
X1  4.143
A1  X1
X1 
X2  3.127
A2  X2
X3  2.096
A3  X3
30.226  0.882  X2  2.762  X3
5.996
 3.616
D1  X1  A1  0.527
A1  X1
-----------------------------------------------------X1  4.143
X2 
X2  3.127
22.716  0.998  X1  1.922  X3
5.523
X3  2.096
 2.635
D2  X2  A2  0.492
A2  X2
-----------------------------------------------------X1  4.143
X3 
X2  3.127
22.130  1.092  X1  1.838  X2
7.130
X3  2.096
 1.663
D3  X3  A3  0.433
A3  X3
D1  0.527
D2  0.492
D3  0.433
========== 5a Iteração ==========
X1  3.616
A1  X1
X1 
X2  2.635
A2  X2
X3  1.663
A3  X3
30.226  0.882  X2  2.762  X3
5.996
 3.887
D1  X1  A1  0.271
A1  X1
-----------------------------------------------------X1  3.616
X2 
X2  2.635
22.716  0.998  X1  1.922  X3
5.523
X3  1.663
 2.881
D2  X2  A2  0.246
A2  X2
------------------------------------------------------
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MathCad 15
X1  3.616
X3 
X2  2.635
22.130  1.092  X1  1.838  X2
7.130
X3  1.663
 1.871
D3  X3  A3  0.208
A3  X3
D1  0.271
D2  0.246
D3  0.208
========== 6a Iteração ==========
X1  3.887
A1  X1
X1 
X2  2.881
A2  X2
X3  1.871
A3  X3
30.226  0.882  X2  2.762  X3
5.996
 3.755
D1  X1  A1  0.132
A1  X1
-----------------------------------------------------X1  3.887
X2 
X2  2.881
22.716  0.998  X1  1.922  X3
5.523
X3  1.871
 2.759
D2  X2  A2  0.122
A2  X2
-----------------------------------------------------X1  3.887
X3 
X2  2.881
22.130  1.092  X1  1.838  X2
7.130
X3  1.871
 1.766
D3  X3  A3  0.105
A3  X3
D1  0.132
D2  0.122
D3  0.105
========== 7a Iteração ==========
X1  3.755
A1  X1
X1 
X2  2.759
A2  X2
A3  X3
30.226  0.882  X2  2.762  X3
5.996
X3  1.766
 3.822
D1  X1  A1  0.067
A1  X1
------------------------------------------------------
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MathCad 15
X1  3.755
X2 
X2  2.759
X3  1.766
22.716  0.998  X1  1.922  X3
5.523
 2.820
D2  X2  A2  0.061
A2  X2
-----------------------------------------------------X1  3.755
X3 
X2  2.759
X3  1.766
22.130  1.092  X1  1.838  X2
7.130
 1.817
D3  X3  A3  0.051
A3  X3
D1  0.067
D2  0.061
D3  0.051
========== 8a Iteração ==========
X1  3.822
A1  X1
X1 
X2  2.820
A2  X2
X3  1.817
A3  X3
30.226  0.882  X2  2.762  X3
5.996
 3.789
D1  X1  A1  0.033
A1  X1
-----------------------------------------------------X1  3.822
X2 
X2  2.820
22.716  0.998  X1  1.922  X3
5.523
X3  1.817
 2.790
D2  X2  A2  0.030
A2  X2
-----------------------------------------------------X1  3.822
X3 
X2  2.820
22.130  1.092  X1  1.838  X2
7.130
X3  1.817
 1.791
D3  X3  A3  0.026
A3  X3
D1  0.033
D2  0.030
D3  0.026
========== 9a Iteração ==========
X1  3.789
A1  X1
X2  2.790
A2  X2
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X3  1.791
A3  X3
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X1 
30.226  0.882  X2  2.762  X3
5.996
 3.806
D1  X1  A1  0.017
A1  X1
-----------------------------------------------------X1  3.789
X2 
X2  2.790
22.716  0.998  X1  1.922  X3
5.523
X3  1.791
 2.805
D2  X2  A2  0.015
A2  X2
-----------------------------------------------------X1  3.789
X3 
X2  2.790
22.130  1.092  X1  1.838  X2
7.130
X3  1.791
 1.804
D3  X3  A3  0.013
A3  X3
D1  0.017
D2  0.015
D3  0.013
========== 10a Iteração ==========
X1  3.806
A1  X1
X1 
X2  2.805
A2  X2
X3  1.804
A3  X3
30.226  0.882  X2  2.762  X3
5.996
 3.797
D1  X1  A1  0.009
A1  X1
-----------------------------------------------------X1  3.806
X2 
X2  2.805
22.716  0.998  X1  1.922  X3
5.523
X3  1.804
 2.797
D2  X2  A2  0.008
A2  X2
-----------------------------------------------------X1  3.806
X3 
X2  2.805
22.130  1.092  X1  1.838  X2
7.130
X3  1.804
Desta forma, temos que as
raízes do sistema de equações
são:
X1 = 3,80
X2 = 2,80
X3 = 1,80
 1.798
D3  X3  A3  0.006
A3  X3
D1  0.009
D2  0.008
D3  0.006
========== F I M ==========
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Verificamos que as diferenças entre os resultados obtidos nas 9ª e 10ª alterações são da
ordem de milésimos, conforme acima.
Neste caso em particular do Método de Jacobi, foi alcançada uma precisão de
centésimos na 10ª iteração.
Desenvolver um programa em PASCAL para determinar as raízes do sistema de equações pelo
Método de Jacobi, com precisão de centésimos.
Caso a precisão não seja alcançada na centécima iteração, o programa deve ser encerrado.
Ao final, apresentar o resultado, o erro e o número de iterações.
O programa desenvolvido e respectivos resultados são mostrados abaixo:
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Program JACOBI;
var
X1, X2, X3:
real;
D1, D2, D3:
real;
A1, A2, A3:
real;
B1, B2, B3: real;
I: integer;
Begin
X1:=0;
D1:=1;
B1:=0;
I:=0;
{Raízes das equações}
{Diferença entre a raíz N e a N-1}
{Armazena o valor da N-1 iteração}
X2:=0;
X3:=0;
D2:=1;
D3:=1;
B2:=0;
B3:=0;
{Número de iterações}
I:=0;
{Número de iterações}
while (D1>=0.001) and (D2>=0.001) and (D3>=0.001) and (I<100) do
begin
X2:=B2;
X3:=B3;
X1 := (30.226-0.882*X2-2.762*X3)/5.996; {Calcula X1 na 1a equação}
A1:=X1;
D1:=abs(X1-B1); {Diferença entre a iteração atual e a anterior}
X1:=B1;
X3:=B3;
X2 := (22.716-0.998*X1-1.922*X3)/5.523; {Calcula X2 na 2a equação}
A2:=X2;
D2:=abs(X2-B2); {Diferença entre a iteração atual e a anterior}
X1:=B1;
X2:=B2;
X3 := (22.130-1.092*X1-1.838*X2)/7.130; {Calcula X3 na 3a equação}
A3:=X3;
D3:=abs(X3-B3);
{Diferença entre a iteração atual e a anterior}
B1:=A1;
B2:=A2;
B3:=A3;
I:=I+1; {Contador de Iterações}
end;
writeln('Número de iterações: ',I);
writeln;
writeln('X1 = ', X1);
writeln('X2 = ', X2);
writeln('X3 = ', X3);
writeln;
writeln('D1 = ', D1);
writeln('D2 = ', D2);
writeln('D3 = ', D3);
writeln;
writeln('Tecle <ENTER> para Terminar');
End.
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15.3 Método de Gauss-Seidel
O Método de Gauss-Seidel é uma variação do Método de Jacobi. Ele também parte
de uma aproximação inicial, geralmente (0, 0, 0, ...,0), porém à medida que as raízes são
determinadas, elas são usadas desse ponto em diante nas iterações seguintes.
Este método tende a convergir mais rápido que o Método de Jacobi.
Vamos resolver o mesmo sistema pelo Método de Gauss-Seidel.
====== Método de Gauss-Seidel ======
X1  0
X2  0
X3  0
========== 1a Iteração ==========
A1:=X1
X1 
A2:=X2
A3:=X3
30.226  0.882  X2  2.762  X3
5.996
 5.041
D1  X1  A1  5.041
A1  X1
-----------------------------------------------------X2 
22.716  0.998  X1  1.922  X3
5.523
 3.202
D2  X2  A2  3.202
A2  X2
-----------------------------------------------------X3 
22.130  1.092  X1  1.838  X2
7.130
 1.506
D3  X3  A3  1.506
A3  X3
D1  5.041
D2  3.202
D3  1.506
========== 2a Iteração ==========
A1  X1
X1 
A2  X2
A3  X3
30.226  0.882  X2  2.762  X3
5.996
 3.876
D1  X1  A1  1.165
A1  X1
------------------------------------------------------
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X2 
22.716  0.998  X1  1.922  X3
5.523
 2.888
D2  X2  A2  0.314
A2  X2
-----------------------------------------------------X3 
22.130  1.092  X1  1.838  X2
7.130
 1.766
D3  X3  A3  0.259
A3  X3
D1  1.165
D2  0.314
D3  0.259
========== 3a Iteração ==========
A1  X1
X1 
A2  X2
A3  X3
30.226  0.882  X2  2.762  X3
5.996
 3.803
D1  X1  A1  0.073
A1  X1
-----------------------------------------------------X2 
22.716  0.998  X1  1.922  X3
5.523
 2.811
D2  X2  A2  0.077
A2  X2
-----------------------------------------------------X3 
22.130  1.092  X1  1.838  X2
7.130
 1.797
D3  X3  A3  0.031
A3  X3
D1  0.073
D2  0.077
D3  0.031
========== 4a Iteração ==========
A1  X1
X1 
A2  X2
A3  X3
30.226  0.882  X2  2.762  X3
5.996
 3.800
D1  X1  A1  0.003
A1  X1
------------------------------------------------------
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X2 
22.716  0.998  X1  1.922  X3
5.523
 2.801
D2  X2  A2  0.010
A2  X2
-----------------------------------------------------X3 
22.130  1.092  X1  1.838  X2
7.130
 1.800
D3  X3  A3  0.003
A3  X3
D1  0.003
D2  0.010
D3  0.003
========== 5a Iteração ==========
A1  X1
X1 
A2  X2
A3  X3
30.226  0.882  X2  2.762  X3
5.996
 3.800
D1  X1  A1  0.000
A1  X1
-----------------------------------------------------X2 
22.716  0.998  X1  1.922  X3
5.523
 2.800
D2  X2  A2  0.001
A2  X2
-----------------------------------------------------X3 
22.130  1.092  X1  1.838  X2
7.130
 1.800
D3  X3  A3  0.000
A3  X3
D1  0.000
D2  0.001
D3  0.000
Desta forma, temos que as
raízes do sistema de equações
são:
X1 = 3,80
X2 = 2,80
X3 = 1,80
========== F I M ==========
Neste caso em particular do Método de Gauss-Seidel, é alcançada uma precisão de
centésimos na 5ª iteração.
Comparando o Método de Gauss-Seidel com o Método de Jacobi,
verificamos que, neste caso particular, a precisão atingida pelo Método
de Jacobi na 10ª iteração é atingida pelo Método de Gauss-Seidel na
5ª iteração.
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Analogamente ao que foi feito no Método de Jacobi, podemos desenvolver um programa
em Pascal para determinar as raízes do sistema de equações pelo medo de Gauss-Seidel.
Desenvolver um programa em PASCAL para determinar as raízes do sistema de equações pelo
Método de Gauss-Seidel, com precisão de centésimos.
Caso a precisão não seja alcançada na quinquagésima iteração, o programa deve ser encerrado.
Ao final, apresentar o resultado, o erro e o número de iterações.
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Program GAUSS_SEIDEL ;
var
A: Array[1..3, 1..3] of Real;
B: Array[1..3] of Real;
n: Integer;
X1, X2, X3: real; {Raízes do Sitema}
D1, D2, D3: real; {Diferença entre a n-éssima iteração e a anterior}
A1, A2, A3: real; {Armazena o valor do n-éssima iteração}
I: integer;
{Contador de iterações}
Begin
A[1,1]:=5.996;
A[2,1]:=0.998;
A[3,1]:=1.092;
A[1,2]:=0.882;
A[2,2]:=5.523;
A[3,2]:=1.838;
A[1,3]:=2.762;
A[2,3]:=1.922;
A[3,3]:=7.130;
B[1]:=30.226;
B[2]:=22.716;
B[3]:=22.130;
X1:=0; X2:=0; X3:=0;
D1:=1; D2:=1; D3:=1;
I:=0;
while (D1>=0.001) and (D2>=0.001) and (D3>=0.001) and (I<50) do
begin
A1:=X1;
A2:=X2;
A3:=X3;
X1:= (B[1]-A[1,2]*X2-A[1,3]*X3)/A[1,1]; {Calcula X1 na 1a equação}
X2:= (B[2]-A[2,1]*X1-A[2,3]*X3)/A[2,2]; {Calcula X2 na 2a equação}
X3:= (B[3]-A[3,1]*X1-A[3,2]*X2)/A[3,3]; {Calcula X3 na 3a equação}
D1:=abs(A1-X1);
D2:=abs(A2-X2);
D3:=abs(A3-X3);
{Diferença entre a iteração atual e a anterior}
I:=I+1;
end;
writeln;
writeln('Número de iterações: ',I);
writeln;
writeln('Raízes:');
writeln('
X1 = ', X1);
writeln('
X2 = ', X2);
writeln('
X3 = ', X3);
writeln;
writeln('Erro:');
writeln('
D1 = ', D1);
writeln('
D2 = ', D2);
writeln('
D3 = ', D3);
writeln;
writeln('Tecle <ENTER> para Terminar');
End.
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16. Interpolação Polinomial
Seja a tabela abaixo, formada por n+1 pontos (Xi, Yi).
X
X0
X1
X2
X3
..........
XN
Y
Y0
Y1
Y2
Y3
..........
YN
O objetivo da Interpolação Polinomial é passar por n+1 pontos um polinômio de grau n,
P(x):
P(x) = an xn + an-1 xn-1 +…….+ a2 x2 + a1 x1 +a0
Trata-se, então de calcular os n+1 coeficientes de P(x), an , an-1 ,
de modo que o polinômio passe pelos n+1 pontos da tabela.
Temos, então:
, a2 , a1 , a0 ,
P(x0 ) = y0
P(x1 ) = y1
........
........
P(xn ) = yn
P(x0 ) = an x0 n + an-1 x0 n-1 + … + a2 x0 2 + a1 x0 + a0 = y0
P(x1 ) = an x1 n + an-1 x1 n-1 + … + a2 x1 2 + a1 x1 + a0 = y1
P(x2 ) = an x2 n + an-1 x2 n-1 + … + a2 x2 2 + a1 x2 + a0 = y2
……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
P(xn ) = an xn n + an-1 xn n-1 + … + a2 xn 2 + a1 xn + a0 = yn
Temos, então, um sistema de n equações e n incógnitas, onde as incógnitas
, a2 , a1 , a0 do polinômio.
são os coeficientes an , an-1 ,
Sob a forma matricial, o sistema ficaria como abaixo:
Uma vez mais, recordemos o significado de cada elemento do sistema acima:
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X0, Y0 .... Par de coordenadas por onde passará o Polinômio.
ai .......... Coeficientes do Polinômio, que são as incógnitas do sistema.
Demonstra-se que o determinante da matriz dos pontos Xi , DETX, cujo nome é
Determinante de Valdemonde, é dado por:
DETX = (x0 – x1 ) (x0 – x2 )... (x0 – xn ) (x1 – x2 ).. (x1 – xn ).... (xn-1 – xn )
Pode ser demonstrado, também, que a solução existe e é única.
Desta forma, existe um único polinômio de grau n que passa pelos
n+1 pontos dados.
Existe um tipo de sistema que tem um valor de determinante muito pequeno
quando comparado ao valor de seus elementos e uma pequena alteração em um dos
elementos acarreta uma grande variação no resultado.
Este tipo de sistema é chamado de Sistema Mal Condicionado.
O Determinante de Valdemonde é um Sistema Mal Condicionado.
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16.1 Interpolação pelo Método de Lagrange
X
X0
X1
X2
X3
..........
XN
Y
Y0
Y1
Y2
Y3
..........
YN
Deseja-se passar um polinômio de grau n pelos pontos acima.
O Método de Lagrange constrói n+1 polinômios de grau n, que são:
L0(X), L1(X), L2(X), L3(X),...... Ln(X).
Estes polinômios são construídos conforme fórmula abaixo:
Li ( X ) 
( X  X 0 ).( X  X 1 )......( X  X i 1 )( X  X i 1 )......( X  X n )
( X i  X 0 ).( X i  X 1 ).....( X i  X i 1 )( X i  X i 1 ).....( X i  X n )
O Polinômio de Lagrange, construído a partir dos n polinômios acima,
é dado por:
L ( X )  Yo .L0 ( X )  Y1.L1 ( X )  Y2 .L2 ( X )  .......  Yn .Ln ( X )
A título de exercícios, vamos determinar o Polinômio de Lagrange que
interpola os pontos.
i
0
1
2
3
Xi
0
1
2
4
Yi
4
11
20
44
Como vimos acima, os n polinômios e o polinômio interpolador de Lagrange são:
L0 ( X ) 
( X  X 1 ).( X  X 2).( X  X 3 )
( X 0  X 1 ).( X 0  X 2 )( X 0  X 3 )
L1 ( X ) 
( X  X 0 ).( X  X 2).( X  X 3 )
( X 1  X 0 ).( X 1  X 2 )( X 1  X 3 )
L2 ( X ) 
( X  X 0 ).( X  X 1 ).( X  X 3 )
( X 2  X 0 ).( X 2  X 1 )( X 2  X 3 )
L3 ( X ) 
( X  X 0 ).( X  X 1 ).( X  X 2 )
( X 3  X 0 ).( X 3  X 1 )( X 3  X 2 )
L ( X )  Yo .L0 ( X )  Y1.L1 ( X )  Y2 .L2 ( X )  Y3 .L3 ( X )
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Passando para o MathCad, temos a solução:
X0  0
X1  1
X2  2
X3  4
Y0  4
Y1  11
Y2  20
Y3  44
L0( X) 
L1( X) 
L2( X) 
L3( X) 
X  X1

X  X2

X  X3
X0  X1 X0  X2 X0  X3
X  X0

X  X2

X  X3
X1  X0 X1  X2 X1  X3
X  X0 X  X1 X  X3


X2  X0 X2  X1 X2  X3
X  X0

X  X1

X  X2
X3  X0 X3  X1 X3  X2
P ( X)  Y0  L0( X)  Y1  L1( X)  Y2  L2( X)  Y3  L3( X)
Fazendo a verificação dos resultados, temos abaixo o valor do polinômio nos pontos
dados e respectivo gráfico.
A divergência verificada entre os valores reais e os valores polinomiais deve-se a erros
de arredondamento.
Caso se deseje, pode-se fazer a solução algébrica para comparar
os resultados, conforme abaixo;
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L0 ( X ) 
( X  X 1 ).( X  X 2).( X  X 3 )  ( X  1).( X  2).( X  4)
(0  1).(0  2)(0  4)
( X 0  X 1 ).( X 0  X 2 )( X 0  X 3 )
L0 ( X )  0,125 . X 3  0,875 . X 2  1,750 . X  1
L1 ( X ) 
( X  X 0 ).( X  X 2).( X  X 3 )
( X  0).( X  2).( X  4)

( X 1  X 0 ).( X 1  X 2 )( X 1  X 3 )
(1  0).(1  2)(1  4)
L1 ( X )  0,3333 . X 3  2. X 2  2,667 . X
L2 ( X ) 
( X  0).( X  1).( X  2)
( X  X 0 ).( X  X 1 ).( X  X 3 )

( 4  0).( 4  1)( 4  2)
( X 2  X 0 ).( X 2  X 1 )( X 2  X 3 )
L2 ( X )  0,0417 . X 3  0,125 . X 2  0,0833 X
L3 ( X ) 
( X  X 0 ).( X  X 1 ).( X  X 2 )
( X 3  X 0 ).( X 3  X 1 )( X 3  X 2 )

( X  0).( X  1).( X  4)
(2  0).( 2  1)( 2  4)
L3 ( X )  0,25. X 3  1,25. X 2  X
Temos então que o Polinômio é:
L ( X )  Yo .L0 ( X )  Y1.L1 ( X )  Y2 .L2 ( X )  Y3 .L3 ( X )
L ( X )  4.L0 ( X )  11.L1 ( X )  20.L2 ( X )  44.L3 ( X )
L ( X )  0,001 . X 3  X 2  5,9989 X  4
Desenvolvendo no MathCad, temos:
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16.2 Interpolação pelo Método de Newton (Diferenças Divididas)
Seja o conjunto de pontos (Xi, Yi) de uma função Y = F(X).
Define-se Operador Diferença Dividida de Primeira Ordem sobre os pontos (Xi, Yi) e
(Xi+1,Yi+1) como:
Dyi 
F ( xi 1 )  F ( xi ) yi 1  yi

, i  0,1,2,....., n  1
xi 1  xi
xi 1  xi
Note-se que Dyi é na verdade uma aproximação da primeira derivada da função nesse
ponto.
As Diferenças Divididas das ordens superiores também são aproximações das derivadas
dessa ordem.
Define-se Operador Diferença Dividida de Segunda Ordem sobre os pontos (Xi, Yi),
(Xi+1, Yi+1) e (Xi+2, Yi+2) como:
D 2 yi 
Dyi 1  Dyi
, i  0,1,2,..., n  2
xi  2  xi
Define-se Operador Diferença Dividida de Terceira Ordem sobre os pontos (Xi, Yi),
(Xi+1, Yi+1) e (Xi+2, Yi+2) e (Xi+3, Yi+3) como:
D 2 y i 1  D 2 y i
D yi 
, i  0,1,2,...., n  3
xi  3  xi
3
Define-se Operador Diferença Dividida de Ordem r sobre os pontos (Xi, Yi), (Xi+1, Yi+1)
e (Xi+2, Yi+2), ......, (Xi+r, Yi+r) como:
D r 1 y i 1  D r 1 y i i  0,1,2,...., n
D yi 
r  0,1,2,...., n  r
xi  r  x i
r
Define-se Operador Diferença Dividida de Ordem Zero sobre os pontos (Xi, Yi), (Xi+1,
Yi+1) e (Xi+2, Yi+2), ......, (Xi+r, Yi+r) como:
D 0 y i  y i , i  0,1,2,...., n
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O Polinômio Interpolador com Diferenças Divididas é um polinômio da forma:
P(x)  y0  (x  x0 ).Dy0  (x  x0 ).(x  x1).D2 y0  (x  x0 ).(x  x1).......(x  xn1).Dn y0
Seja o conjunto de pontos abaixo:
i
xi
yi
0
1
2
3
1
2
4
8
120
94
75
62
Os valores das diferenças divididas são:
i
xi
yi
Dyi
D2yi
D3yi
0
1
2
3
1
2
4
8
120
94
75
62
(94-120)/(2-1)= -26
(-9,5+26)/(4-1)= 5,5
(1,04-5,5)/(8-1)= 0,64
(75-94)/(4-2)= -9,5
(-3,25+9.5)/(8-2)= 1,04
(62-75)/(8-4) = -3,25
P(X)=120+(X-1).DY0+(X-1).(X-2) D2Y0 +(X-1).(X-2).(X-4) D3Y0
P(X)=120+(X-1).(-26)+(X-1).(X-2) (5,5) +(X-1).(X-2).(X-4) (0,64)
P(x)  0,64X 3  X 2  33.5X 132
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16.3 Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados
O Teorema dos Mínimos Quadrados estabelece que, se um número de
medidas é realizado de um mesmo evento físico, onde existe probabilidade
de erro, então o valor mais provável do valor da medida é aquele que
torna a soma dos quadrados dos erros um mínimo.
16.3.1 Ajuste Linear
Este teorema pode ser aplicado ao caso em que se deseja passar uma linha reta por um
conjunto de pontos.
Considere o conjunto de pontos abaixo:
X
X0
X1
X2
X3
..........
XN
Y
Y0
Y1
Y2
Y3
..........
YN
Existe, então, uma reta, da forma abaixo, que representa o valor mais provável para
esses pontos com um valor de erro mínimo.
y  a  b.x
O quadrado dos somatório dos erros é dado por:
1  i2  1 ( yi  a  b.xi )) 2
n
n
Para determinar os valores de a e b que tornam o erro mínimo, calcula-se a derivada e
iguala-se a zero.
   i2
[ yi  a  b.xi ]2

a
a
1
n
   i2
[ yi  a  b.xi ]2

b
b
1
n
n
 2 [ y i  a  bxi ]  0
1
1
n
 2 xi [ yi  a  bxi ]  0
2
1
Evidenciando e e dividindo por 2n a expressão 1, temos:
n
 2 y i
1
2n
n
  yi
1
n_
n
2 a

1
2n
n

n

2 bx i
n
2n

0
2n
n
 a  bx
1
1

1
_
n
i
0
 y a  b x  0
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_
_
a  y b x
Levando este valor para expressão 2, temos:
_
n
_
 2 xi ( yi  y  b x  bxi )  0
1
n
_
_
 2 [ xi ( yi  y )  xi b ( x  xi )]  0
1
_
n
 x (y
i
1
i
_
n
 y )  b  xi ( x  xi )  0
1
_
n
b
 x (y
i 1
n
i
i
 y)
_
 x ( x  x)
i 1
i
i
O Coeficiente de Determinação R2 determina o quanto a reta está próxima dos
pontos dados. Este coeficiente varia entre 0 e 1 e, quanto mais próximo de 1, melhor é o
ajuste.
n
R2 1

i 1
n

i 1
2
i
xi
A título de exercício, vamos ajustar o conjunto de pontos abaixo por uma reta.
7.764,4
 0,4954
15.671,6
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b
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a  106,3  0,4954 .108,2  52,69
y  0,4954 x  52,69
R2  1
1.525,7
 0,98
118 .955,0
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17. Integração Numérica
Neste capítulo vamos calcular, empregando
aproximados, de integrais definidas, do tipo abaixo:
métodos
numéricos,
os
valores,
b
I   F ( X ) dX
a
Lança-se mão deste método quando não se consegue calcular analiticamente o valor
das integrais, como a do tipo abaixo, que não tem solução analítica exata:
1
I   e  2 dx
0
17.1 Método dos Trapézios
O Método dos Trapézios consiste em aproximar a função por uma reta entre os limites
inferior e superior de integração, formando assim um trapézio cujas bases são f(a) e f(b) e a
altura é (b-a), conforme figura abaixo.
Desta forma, o valor da integral da função entre os pontos a e b é calculada da seguinte
forma:
h ba
 f ( a )  f (b ) 
S
.h

2


Este método pode apresentar erro significativo, dependendo da curvatura da função
entre os intervalos de integração.
Para diminuir o erro, em vez de usar apenas um trapézio, pode-se dividir a função em n
trapézios entre os intervalos de integração, conforme figura abaixo.
Desta forma, obtem-se n intervalos de amplitude como abaixo:
h
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ba
n
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A área de cada intervalo é dada por:
f ( xn 1 )  f ( xn ) 
 f ( x0 )  f ( x1 ) f ( x1 )  f ( x2 )

 .... 
S  h

2
2
2


 f ( xo ) f ( xn ) n 1

S  h

  f ( xn ) 
2
n 1
 2

Como Xo corresponde ao limite inferior de integração (ponto a) e Xn ao superior
(ponto_b), temos a fórmula da integral pelo Método dos Trapézios é:
 f ( a ) f (b) n 1

S  h

  f ( xn ) 
2
n 1
 2

Á título de exercício, calculemos a integral abaixo pelo Método dos
Trapézios, dividindo o intervalo de integração em 2 (dois) intervalos.
4
F ( X )  e 0 , 75 X  3
I   F ( X ) dx
0
Usando a função Integral do MathCad, calculamos o valor da integral para compara-lo
com o valor obtido pelo Método dos Trapézios
Calculando pelo Método dos Trapézios, temos:
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F ( X)  e
0.75  X
F  0  4.000
40
H 
2
3
F  2  7.482
F  4  23.086
 2.000
 F  0  F  4  F  2 

2
 2

S  H  
S  42.049
O erro entre os dois métodos foi:
 
IS
I
 100
  12.29 %
Calcule, agora, o valor da mesma integral, pelo Método dos Trapézios,
dividindo o intervalo de integração em 3 (três) intervalos.
F ( X)  e
H 
0.75 X
40
3
3
 1.33
 F  0  F  4
S  

2

 F  1.333  F  2.667   H

S  39.54
IS
 100
I



 5.57 %
Conforme previsto, constata-se que o erro diminui à medida que se aumenta o número
de intervalos.
17.2 Método de Simpson
O Método Simpson consiste em dividir o intervalo de integração (a, b) em n intervalos
iguais de amplitude h, sendo n par.
Desta forma, obtém-se n intervalos de amplitude h, como abaixo:
h
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ba
n
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A seguir, construímos a tabela com os n+1 pontos (Xi, Yi):
X
Y
X0 =a
X1
X2
.....
Xn-1
Xn=b
Y0
Y1
Y2
.....
Yn-1
Yn
O passo seguinte é:
 Passar por cada dois intervalos consecutivos (a cada 3 pontos) uma equação do
segundo grau (haverá então n/2 equações).
 Acha-se a integral de cada equação.
 Somam-se todas as n/2 integrais e têm-se a integral total.
Trabalhando com os dois primeiros intervalos da tabela, (X0 , Y0 ) e (X1 , Y1 ):
X
Y
X0 =a
X1
X2
Y0
Y1
Y2
Mudando-se o eixo Y para x=x1, fica:
X
Y
-h
0
h
Y0
Y1
Y2
Seja a equação que passa pelos 3 pontos:
Y  AX 2  BX  C
y o  A(  h) 2  B (  h)  c  Ah 2  Bh  C
y1  C
y1  A(0) 2  B (0)  C
y 2  A( h) 2  B ( h)  c  Ah 2  Bh  C
h
I 1   ( AX 2  BX  C ) dx
h
AX 3 BX 2
I1  [

 CX ]h h
3
2
( 2 Ah 2  2C  4C ) h
h3
I 1  2 A  2Ch 
3
3
y 0  y 2  2 Ah 2  2C
I1 
( y 0  y 2  4 y1 ) h
3
I1 
h
( y 0  4 y1  y 2 )
3
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A fórmula acima calcula a integral da equação de segundo grau
que passa pelos três pontos y0, y1 e y2.
Seja calcular a integral abaixo pelo Método de Simpson:
1
x
I   e dx
0
Vamos definir n=4.
h
1 0
 0,250
4
X
Y
0,000
0,250
0,500
0,750
1,000
1,000
1,284
1,649
2,117
2,718
Tomemos o intervalo 0,500 – 1,000
I1 
0,250
(1,000  4  1,284  1,649 )
3
Tomemos o intervalo 0 – 0,500
I2 
0,250
(1,649  4  2,117  2,718)
3
I  I1  I 2  1,718
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Bibliografia:
http://www.raymundodeoliveira.eng.br
http://www.Wikipedia.org
http://www.iceb.ufop.br
http://www.mat.ufrgs.br
Mathcad 12 - Guia Prático
de Marcello Nitz, Rodrigo Galha
Edição/reimpressão: 2005
Páginas: 248
Editor: Erica
ISBN: 9788536500614
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